数学：1.3二项式定理 课件二(新人教A版选修2-3)

n
其 每 项 是 b (k = 01⋅ ⋅ ⋅,n)的 式 中 一 都 a ,, 形 .
n−k k
对 个 (k ∈{ 0,12⋅ ⋅ ⋅n}),对 的 an−kbk 是 n −k 某 k ,, 应 项 由 ( 个a + b)中 a k个(a +b)中 b得 的 于 选 选, 选 到 . 由 b 定 后a的 法 随 确 ,因 ,an−kbk 出 的 数 , 选 也 之 定 此 现 次 相 当 从 个a +b)中 k个 的 合 C .这 ,(a + b) 于 n ( 取 b 组 数 样
1 1 例 求2 x− 展 式 的 开 . x 分析 为了方便可以先化简后展开 ,
6
解 先 原 化 ,再 开得 将 式 简 展 ,
] 1 2x −1 1 2 x − = = 3 (2x −1 ) x x x
6 6
1 6 5 4 3 1 2 3 = 3 [(2x) −C6(2x) + C6(2x) −C6(2x) x 2 4 + C6 (2x) −C5 (2x) + C6 6 6
( 我们看到a +b) 的二项式共 n +1 ,其中 有 项 各项的系
T +1 = Ckan−kbk. k n
,如果设 = 1b = x,则得到公式 a , : 在二项式定理中
0 2 (1+ x)n = Cn + C1x + Cnx2 +⋅ ⋅ ⋅ + Ckxk +⋅ ⋅ ⋅ + Cnxn. n n n
n ( 证 明 由 (a + b) 是 个a + b)相 ,每 (a + b)在 乘 于 乘 个 相 时 两 选 ,选 a或 ,而 每 (a + b)中 a或 都 有 种 择 取 b 且 个 的 b 选 定 ,才 得 展 式 一 ,因 ,由 步 法 数 后 能 到 开 的 项 此 分 乘 计 原 理 知在 并 类 之 ,(a + b) 的 开 共 2n 项 可 , 合 同 项 前 展 式 有 ,
, 且 一 类 之 ,(a +b) 的 开 共 2×2 项而 每 项 项 前 展 式 有
2
? 式是什么吗 2 在 中我 用 项 乘 法 得 了a +b) 的 开初 , 们 多 式 法 则 到 ( 展
都 a2−k ⋅ bk (k = 012)的 式 是 ,, 形 .
下面我们再来分析一下形如a 2−kbk的同类项的个数. 当k = 0 时, a 2−k ⋅ bk = a 2 ,是由2 个 (a + b )中都不选 b, 得到的, 相当于从 2 个(a + b )中取 0 个b (即都取a)的 组合数C0 ,因此a 2只有一个; 2 当k = 1时, a 2−k ⋅ bk = ab,是由1个 (a + b )中选 a,另一个 (a + b)中选b得到的.由于b选取定后, a的选定也随之 确定,因此, ab出现的次数相当于从2个(a + b )中取1个 b的组合数, 即ab共有C1 个; 2 当k = 2 时, a 2−k ⋅ bk = b 2 ,是由2 个 (a + b )中都选 b, 得 到的, 相当于从 2 个(a + b )中取 2 个b 的组合数 C2 ,因 2 此b 2只有一个. 2 由上述分析可以得到 : (a + b ) = C0a 2 + C1 ab + C2b 2 . 2 2 2
1 = (− C x − x
r 9−r 9 r
9
)Cx
r
r 9−2r 9
.
依 意得 − 2r = 3,r = 3. 题 , 9
因 ,x 的 数 (−1 C3 = −84. 此 系 是 ) 9
3 3
作业：P36—37(A组1—6)
(a ,自己推导出 + b) ,(a + b) 探究 你能仿照上述过程 ? 的展开式吗 , 从上述对具体问题的分 析得到启发对于任意正整数 n 我们有如下猜想 , :
3 4
(a +b)
n
(n∈N ).如何证明这个猜想呢 ?
∗
n
0 1 = Cnan + Cnan−1b1 +⋅ ⋅ ⋅ + Ckan−kbk +⋅ ⋅ ⋅ + Cnbn n n
n
(a 项式定 理研 究的是 +b) 的 . 二 展开式
n
探究 如何利用两个计数原理 (a + b) ,(a + b) , 得到
2 3
(a +b)4的展开式 你能由此猜想一下 +b)n的展开 (a ?
2
式 (a +b) = (a +b)(a +b) = a⋅ a + a⋅ b +b⋅ a +b⋅ b = a2 + 2ab +b2. 2 ( 从 述 程 看 ,(a +b) 是2个a +b)相 ,根 多 上 过 可 到 乘 据 项 乘 法 ,每 (a +b) 在 乘 有 种 择 选 式 法 则 个 相 时 两 选 , a或 b 而 每 (a +b)中 a或b选 后才 得 选, 且 个 的 定 , 能 到 展 式 一 .于 ,由 步 法 数 理在 并 开 的 项 是 分 乘 计 原 , 合 同
k n n
的 开 中an−kbk共 Ck个将 们 并 类 ,就 展 式 , 有 n , 它 合 同 项 可 得 二 展 式: 以 到 项 开
(a +b)
n
= C a + C a b +⋅ ⋅ ⋅ + C a b +⋅ ⋅ ⋅ + C b
0 n n
1 n−1 1 n
k n−k k n
n n n
述 式 做 om eorem). 上 公 叫 二项式定理(bin ial th
n
(a +b)
n
0 = Cnan + C1an−1b1 + ⋅ ⋅ ⋅ + Ckan−kbk + ⋅ ⋅ ⋅ + Cnbn n n n
} Cn ,, , (bin ial coef − om 数 k (k ∈{012⋅ ⋅ ⋅,n )叫做 二项式系数
fien ),式中的 kan−kbk叫做二项展 t Cn , T 开式 通项用 k+1 的 , k 项 表示即通项为展 开式 的第 +1 :
]
1 = 3 64x6 − 6⋅ 32x5 +15⋅16x4 − 20⋅ 8x3 x ) +15⋅ 4x2 − 6⋅ 2x +1 60 12 1 3 2 = 64x −192x + 240x −160 + − 2 + 3. x x x
(
) ( 4 ; 例2 (1求1+ 2x) 的展开式的第项的系数 7 )( 解 (1 1+ 2x) 的 开 的 4项 展 式 第 是 3 3 7−3 = C3 ⋅ 23 ⋅ x3 T +1 = C7 ⋅1 ⋅ (2x) 7 3
1 .3
二项式定理
1.3.1 二项式定理
么 那 ,(a +b) 的 展开式 是什么 ?我 呢 们 在 计数原 理这 一章来 习它说 学 , 明它的 理、 展开 式与分 类加法 计数 理 分步 原 、 乘 及排列、 法计数原理以 及排列 组合的 有 、 知识 . , 何把二 关那么如 项展 开式与 些知识 这 ? 联系起 来呢
7
= 35×8x = 280x ,
3
3
所 展 式 第 的 数 280. 以 开 的 4项 系 是
(1+ 2x)
7
4 的展开式的第 项的二项式系数是
C3 = 35.一个二项式展开式的某 一项的二项 7 . 式系数与这一项的系数 是两个不同的概念
1 (2)求x − 的展开式中 3的系数 x . x 9 1 (2)x − 的展开式的通项是 x