2015-2016学年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5

课堂探究学案
数列的概念及分类 下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列 的是( )
1 1 1 A．1，2，3，4，„ π 2π 3π B．sin7，sin 7 ，sin 7 ，„ 1 1 1 C．－1，－2，－4，－8，„ D．1， 2， 3，„， 21
[答案] C
[解析] 选C． [方法规律总结 ] 解答数列概念题要紧扣相关定义，观察 数列的项数特征确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特 点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性 判断数列的增减． D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故
2．由上面的例子经过提炼我们得到： (1)数列的概念 按照一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数 都叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排 在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项．排在第 n 位 的数称作这个数列的第 n 项， 记作 an.数列的一般形式为 a1， a2， a两个关键词：“一定顺序”与“一 列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按 照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． ②项 an 与序号 n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个 确定的数，而序号是指项在数列中的位置． ③{an}与 an 是不同概念： {an}表示数列 a1， a2 ， a3 ， „， an， „； 而 an 表示数列{an}中的第 n 项．
④数列的简记符号 {an} ，不能理解为集合 {an} ，其区别如
下表： 数列
数列中的项是有序 的，两组相同的数 字，按照不同的顺序 区 排列得到不同的数列 别 数列中的项可以重复 出现
集合
示例
如数列1,3,4与1,4,3 集合中的元素 是不同的数列，而 集合{1,3,4}与 是无序的 {1,4,3}是相等集合
[答案] C
[解析] {1,2,3,5,7}是一个集合，所以 A 错；由于数列的项 n＋1 k＋1 1 是有顺序的，所以 B 错；数列{ n }的第 k 项是 k ＝1＋k ， C 正确；而 D 中数列应表示为{2(n－1)}．
(2)数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个 公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式．
已知下列数列： (1)2000,2004,2008,2012； n－1 1 2 (2)0，2，3，„， n ，„； 1 1 1 (3)1，2，4，„， n－1，„； 2 －1 · n 2 3 (4)1，－3，5，„， ，„； 2n－1 nπ (5)1,0，－1，„，sin 2 ，„.
n－1
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增 数 列 是 ________ ， 递 减 数 列 是 ________ ， 摆 动 数 列 是 ________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上)． [答案] (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)
注意： ①数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它 的有限子集{1,2,3，„，n}为定义域的函数表达式，即 an＝f(n)． ②已知数列的通项公式，依次用 1,2,3，„去替代公式中的 n， 就可以求出这个数列的各项； 同时利用通项公式也可以判断 某数是不是某数列中的项，是第几项． ③同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公 式．如 2精确到 1,0.1,0.01，„的不足近似值排成数列就不能用 通项公式表示．
第二章
2．1 数列的概念与简单表示法
1
自主预习学案
2
课堂探究学案
3
课 时 作 业
自主预习学案
1．理解数列及其有关概念．
2 ．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任
意一项． 3 ．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个 通项公式．
某剧场有 30 排座位， 第一排有 20 个座位， 从第二排起， 后一排都比前一 排多 2 个座位， 那么各排的座位数依次 为 20,22,24,26,28，„，78. 从 1984 年到 2008 年， 我国共参加 了 7 次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为 15,5,16,16,28,32,51. 这两个问题有什么共同特点呢？
n
3 正，则选择(－1) .又第 1 项可改写成分式－3，则每一项的分母 依次为 3,5,7,9，„，可写成(2n＋1)的形式．分子为 3＝1×3,8 ＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，可写成 n(n＋2)的形式．所以此数 列的一个通项公式为 an＝(－1)
nnn＋2
2n＋1
.
3．数列的分类： (1)按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限 的数列叫做无穷数列． (2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类： 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数 列．即 an＋1>an(n＝1,2,3„)．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 数列
“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家 列昂纳多· 斐波那契(Leonardo Fibonacci，公元 1170～1240)，斐 波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，„.这个数 列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．它的通项为：an 1 1＋ 5 n 1－ 5 n ＝ [( 2 ) －( 2 ) ]．有趣的是：这样一个完全是自然数 5 的数列，通项公式居然是用无理数来表达的．
8 15 24 数列－1，5，－ 7 ， 9 ，„的通项公式可以是(
2 n n ＋n A．an＝(－1) 2n＋1 2 n n ＋2n C．an＝(－1) 2n－1
)
B．an＝(－1)
nnn＋3
2n＋1
nnn＋2
D．an＝(－1)
2n＋1
[答案] D
[解析]
通过观察，数列中的数正负交替出现，且先负后
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现．例 如：在树木的枝干上选一片叶子，记其为数 0，然后依序点数 叶子(假定没有折损)，直到到达与那片叶子正对的位置，则其 间的叶子数多半是斐波那契数．叶子从一个位置到达下一个正 对的位置称为一个循回，叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐 波那契数．在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序 比，多数的叶序比呈现为斐波那契数的比，真让我们惊叹于这 世界的奥妙无穷．
(3)同通项公式一样，不是所有的数列都可以用递推公式表 示．
已 知 数 列 {an} 满 足 a1 ＝ 1 ， an ＝ nan － 1(n≥2) ， 则 a5 ＝
________.
[答案] 120 [解析] 因为an＝nan－1，且n≥2，所以
当n＝2时，a2＝2a1＝2；
当n＝3时，a3＝3a2＝6； 当n＝4时，a4＝4a3＝24； 当n＝5时，a5＝5a4＝120.故a5＝120.
从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数 列．即 an＋1<an(n＝1,2,3„)． 各项相等的数列叫做常数列． 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前 一项的数列叫做摆动数列．
下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递 增、递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，„； (2)2,4,6,8,10，„； (3)7,7,7,7,7,7，„； 1 1 1 1 (4)3，9，27，81，„； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3，„.
2 n ＋2n n 所以这个数列的一个通项公式是 an＝n＋ ＝ . n＋1 n＋1
(2) 这个数列可以改写为 10 ＋ 1,100 ＋ 2,1000 ＋ 3,10000 ＋ 4，„，所以这个数列的一个通项公式是 an＝10n＋n. (3) 这个数列可以改写为 10 － 1,100 － 1,1000 － 1,10000 － 1，„，所以这个数列的一个通项公式是 an＝10n－1. 1 4 9 16 (4)将每一项都统一写成分母为 2 的分数，即2，2，2， 2 ， 25 n2 2 ，„，所以它的一个通项公式是 an＝ 2 .
[解析]
项数有限的数列是有穷数列，故(5)是有穷数列；
项数无限的数列是无穷数列，故(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列． 从第 2 项起， 每一项都大于它的前一项的数列是递增数列， 故(2)是递增数列；同理，从第 2 项起，每一项都小于它的前一 项的数列是递减数列，故(1)(4)是递减数列． 数列(3)(5)的各项都相等，故(3)(5)是常数列． 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前 一项的数列是摆动数列，故(6)是摆动数列．
4．递推数列 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任一项 an 与它 的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示， 那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式．
注意：(1)要给出数列的首项或前几项，这是递推的基础； (2)要给出任一项an与它的前一项或前几项的关系式，这是
递推的依据；
[方法规律总结]
根据数列的前几项求其通项公式，一般
通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解 答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观 察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征； ③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：① 化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；②拆项；③用(－1)n 等表示符号规律；④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数 的平方，2n 等)的联系．
n－1 [解析] (1)是有穷递增数列； (2)是无穷递增数列(因为 n 1 ＝1－n)； (3)是无穷递减数列； (4)是摆动数列，也是无穷数列； (5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期 为 4.
求数列的通项公式 写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项 为下列各数．