2007届泰州师专附中高三数学12月份月考试卷
江西师范大学附属中学2017届高三12月月考数学(理)试题 含答案
江西师大附中高三年级数学(理）月考试卷命题人：曾 敏 审题人：李清荣2016. 12一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．定义集合(){}(){}221,log 22x x A xf x B y y ==-==+,则RAB =( ）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ．[)0,1D ．[)0,22．若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数(i 为虚数单位）,则tan ()4πθ-的值为( ）A ．7-B ．17-C ．7D ．7-或17-3．下列说法正确的是（ ）A ．R a ∈，“11<a"是“1>a ”的必要不充分条件B ．“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题"的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得0322<++x x"的否定是:“R x ∈∀，0322>++x x ”D ．命题p :“R x ∈∀，2cos sin ≤+x x "，则p ⌝是真命题4．已知向量,a b 满足()2,3a a b a =⋅-=-，则b 在a 方向上的投影为（ )A ．23-B ．23C ．12-D ．125．为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点（ )A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位6．已知等差数列{}na 满足357217,26,(),1n n aa ab n N a *=+==∈-数列{}nb 的前n 项和为,nS 则100S 的值为（ )A ．10125B ．3536C ．25101D ．3107．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法"是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （,,,*a b c d N ∈)，则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅,若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3116105π<<,若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法"后可得π的近似分数为A ．227B ．6320C ．7825D ．109358．两圆222240x y ax a +++-=和2224140xy by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R∈∈且0ab ≠,则2211a b +的最小值为（ ）．A ．1B ．3C ．19D ．499．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩所确定的平面区域内的动点，Q是直线20x y +=上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ -的最小值为（ ）A ．55B ．23C ．22D ．1 10．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1（底面是正三角形，侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,D 为AA 1的中点．M ,N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点（含端点），且满足BM =C 1N ．当M ,N 运动时,下列结论中不正确．．．的是( ）A ．平面DMN ⊥平面BCC 1B 1B ．三棱锥A 1−DMN 的体积为定值C ．△DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π11.已知关于x 的方程2||2x k k x -=在区间[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A 。
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江苏省泰州市2024年数学（高考）统编版模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知在中，为的中点，为所在平面外一点，且，设二面角的大小为，二面角的大小为，则（）A．B．C．D．的大小与点的位置有关第(2)题如图，在中，，，，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将沿线段AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法错误的是（）A．不存在点，使得B．点在平面上的投影轨迹是一段圆弧C．与平面所成角的余弦值的取值范围是D．线段的最小值是第(3)题已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（）A．B．C．D．2第(4)题定义在上的函数满足（其中为的导函数），若，则下列各式成立的是A．B．C．D．第(5)题已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（）．A．B．C．D．3第(6)题在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，满足图像始终在图像的下方，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(8)题如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点分别为A，B，C，其横坐标分别为，，，且，则的值为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则（）A．存在唯一的点，使得B．若，则点的轨迹长为4C．若，则四面体的外接球的表面积为D．若，则点的轨迹长为第(2)题已知定义在上的奇函数对任意的有，当时，．函数，则下列结论正确的是（）A．函数是周期为4的函数B．函数在区间上单调递减C．当时，方程在上有2个不同的实数根D．若方程在上有4个不同的实数根，则第(3)题圆与轴相切于点，与轴正半轴交于、两点，且，则（）A．圆的标准方程为B．圆关于直线对称C．经过点与圆相交弦长最短的直线方程为D．若是圆上一动点，则的最大值为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
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注：使用全国卷Ⅰ的省份：河北 河南 山西 广西 ；
使用全国卷Ⅱ的省份：吉林 黑龙江 云南 贵州 新疆 青海 甘肃 内蒙 西藏
湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,04.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21B.19C.12D.425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D.820人6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ，求CD 的长．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张1.9 1.982.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 64αβαβ⋅+⋅=，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞.故答案为：()()1,01,−∪+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】 【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值； （2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． ②若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ .【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=.直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−−代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=，220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛． 参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t +（2）433774n n P =+⋅− （3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,a b 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新，12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−.【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
月河北省高中会考试卷数学(附答案)
河北省2012年高二普通高中学业水平（12月）考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括两道大题，33道小题，共100分，考试时间120分钟．2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案．4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh （其中S 为柱体的底面面积，h 为高） 锥体的体积公式：V ＝ 13Sh （其中S 为锥体的底面面积，h 为高）台体的体积公式：V ＝ 13(S '＋S 'S ＋S )h （其中S '、S 分别为台体的上、下底面面积，h 为高）球的体积公式：V ＝ 4 3πR 3（其中R 为球的半径）球的表面积公式：S ＝4πR 2（其中R 为球的半径）一、选择题（本题共30道小题，1－10题，每题2分，11－30题，每题3分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin 150︒＝（） A ．1 2B ．－ 1 2C ．32D ．－322．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6}，则A ∩B 中的元素个数是（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．函数f (x )＝sin (2x ＋ π3)（x ∈R ）的最小正周期为（）A ． π 2B ．πC ．2πD ．4π4．不等式(x －1)(x ＋2)＜0的解集为（）A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－2，1) 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（） A ．圆锥B ．棱柱C ．棱锥D ．圆柱6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4，则a 3＝（）正视图侧视图俯视图A ．2B ．－2C ．±2D ． 27．函数f (x )＝log 2x － 1x 的零点所在区间是（）A ．(0， 12)B ．( 1 2，1)C ．(1，2)D ．(2，3)8．过点A (1，－2)且斜率为3的直线方程是（） A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －5＝0C ．3x －y ＋1＝0D ．3x ＋y －1＝09．长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积（） A ．3πB ．9πC ．24πD ．36π10．当0＜a ＜1时，函数y ＝x ＋a 与y ＝a x 的图象只能是（）11．将函数y ＝sin 2x （x ∈R ）图象上所有的点向左平移 π6个单位长度，所得图象的函数解读式为（）A ．y ＝sin (2x － π6)（x ∈R ）B ．y ＝sin (2x ＋ π6)（x ∈R ）C ．y ＝sin (2x － π3)（x ∈R ）D ．y ＝sin (2x ＋ π3)（x ∈R ）12．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（） A ．16B ．18C ．27D ．3613．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是（）A ．y ＝－ 1xB ．y ＝cos xC ．y ＝－x 2＋3D ．y ＝e |x |14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若c ＝1，b ＝2，C ＝30︒，则a ＝（）A ． 3B ．3C ． 5D ．115．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥0，|x |， x ＜0，且f (x 0)＝3，则实数x 0＝（）A ．－3B ．1C ．－3或1D ．－3或1或316．从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从集合{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是（） A ． 1 5B ． 2 5C ． 3 5D ． 4517．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝5π3，则tan a 3＝（）A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－3318．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(－ 1 2，32)，则a 与b 的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒19．函数y ＝2x －1的定义域是（） A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)20．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微M 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方M ）列出的茎叶图，如图，则甲、乙两地所测数据的中位数较低的是（） A ．甲B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定21．下列命题中正确的是（）A ．若直线m //平面α，直线n ⊂α，则m //nB ．若直线m ⊥平面α，直线n ⊂α，则m ⊥nC ．若平面α//平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m //nD ．若平面α⊥平面β，直线m ⊂α，则m ⊥β22．在下列直线中，与圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0相切的直线是（） A ．x ＝0B ．y ＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y ＝023．某程序框图如图所示，若分别输入如下四个函数：f (x )＝ 1x ，f (x )＝f (x )＝e x ，f (x )＝sin x ，则可以输出的函数是（） A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝ 1xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sin x24．在△ABC 中，AB →2＋AB →·BC →＜0，则△ABC 为（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形25．现有下列四个命题：①若直线y ＝k 1x ＋b 1与直线y ＝k 2x ＋b 2垂直，则k 1k 2＝－1； ②若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③若实数a ，b ，c 满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列． 其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．326．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ，则函数f (x )最大值为（） A ．2B ．23C ．3D ．23＋227．如图，点(x ,y )在四边形OACD 所围成的区域内（含边界），若(1，2)是目标函数z =mx －y 唯一的最优解，则实数m 的取值范围是（）A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)28.定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1, x 2∈(－∞，0]（x 1≠x 2），有f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1＜0，则（）A ．f (－3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (－3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (－3)D ．f (－3)＜f (1)＜f (－2)29．如右图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC ⊥AB 且AA 1＝AC ＝AB ，则直线AC 1与直线A 1B 所成的角等于（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒30．函数y ＝log a (x ＋3)－1（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0（m ＞0，n ＞0）上，则 1 m ＋ 2n 的最小值等于（）A ．16B ．12C ．9D ．8二、解答题（本大题共3道小题，满分20分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 31．（本小题满分6分）（注意：在试卷卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 某种零件按质量规范分为五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析， 得到频率分布表如下：（Ⅰ）求m ；（Ⅱ）从等级为三和五的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．D BCAB 1C 1A32．（本小题满分7分）（注意：在试卷卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）已知圆心为(1，1)的圆C经过点M(1，2)．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线x＋y＋m＝0与圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数m的值．33．（本小题满分7分）（注意：在试卷卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n2a n＋1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2，n∈N*时，不等式a n＋1＋a n＋2＋…＋a2n＞1235(log3m－log2m＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答 案 一、选择题ACBDD ACABD DBDAC AACBB BBDCB CCBCD 二、解答题31．解：（Ⅰ）由频率分布表，得0.05＋0.35＋m ＋0.35＋0.10＝1，即m ＝0.15．……2分（Ⅱ）由（Ⅰ）得等级为三的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为五的零件有2个， 记作y 1，y 2．从x 1，x 2， x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)， 共计10种．……4分记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”，则A 包含的基本事件为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)共4个，故所求概率为P (A )＝410＝0.4．……6分32．解：（Ⅰ）由已知，圆的半径r ＝|CM |＝(1－1)2+(2－1)2＝1， 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1．……3分（Ⅱ）由题意可知，|CA |＝|CB |＝1，且∠ACB ＝90 ， ∴圆心C 到直线x ＋y ＋m ＝0的距离为22，即|1＋1＋m |12＋12＝22， 解得m ＝－1或m ＝－3．……7分33．解：（Ⅰ）由题意得a n ＞0，且1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝1a n ＋2，1a n ＋1－1a n ＝2，所以数列{1a n }是以 1a 1为首项，2为公差的等差数列，故1a n ＝ 1 a 1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1．……3分（Ⅱ）令f (n )＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ，f (n ＋1)＝a n ＋2＋a n ＋3＋…＋a 2n ＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2， f (n ＋1)－f (n )＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2－a n ＋1＝14n ＋1＋14n ＋3－12n ＋1＝1(4n ＋1)(4n ＋3)(2n ＋1)＞0，∴函数f (n )单调递增，当n ≥2时，[f (n )]min ＝f (2)＝a 3＋a 4＝1235．故有1235＞1235(log 3m －log 2m ＋1)，整理，得log 3m ＜log 2m ，lg m lg 3＜lg m lg 2，得lg m (lg 3－lg 2)＞0，即lg m ＞0，解得m ＞1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)． ……7分。
2，若A={xx-12},B={xx+a0}
江苏省洪泽中学06——07学年度第一学期第三次段试卷高一数学试题时间：120分钟 满分：150分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题有且仅有．．．．一个正确答案) 1．若U={1,2,3,4}，M={1,2}，N={2,3}，则U C (M ∪N)A ． {1,2,3}B ． {2}C ．{1,3,4}D ． {4} 2．cos300 的值是A 、12 B 、12- C D 、-3．下列四式中不能化简为AD的是A 、()AB CD BC ++ B 、()()AD MB BC CM +++C 、()MB AD BM +- D 、()OC OA CD -+4．已知函数21()2x f x x⎧+=⎨-⎩ )0()0(>≤x x ，若f (a )=10，则a 的值为A ． 3或－3B ． －3C ． 3或25-D ．3或－3或25- 5．若集合A={x|ax 2+2x+1=0}的真子集．．．只有一个，则实数a 满足 A ．a=1 B ． a=0 C ．a ≤1 D ．a=0或a=16．如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 7．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①=②||||=③||||+=- ④||4||||22=+ 2其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．三个数0.760.76,0.7,log 6a b c ===的大小顺序是A ． b<c<aB ． b<a<cC ． c<a<bD ． c<b<a9用函数sin()y A t k ωϕ=++近似模拟这些数据。
下列的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y π D ．123sin(),[0,24]122y t t ππ=++∈ 10．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t(月)的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等;⑤ 若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=.其中正确的是 A. ①② B.①②③④ C.②③④⑤ D. ①②⑤（请将以上所有答案填写在答题纸上，否则答案无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．！！！）1 0 t/月班级___________ 学号 ___________ 姓名 ___________装订线内请勿答题江苏省洪泽中学06——07学年度第一学期期中试卷高一数学答题纸一．选择题：（10×5/=50/）二．填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，每小题直接写出最简结果）11．已知函数x y a b =+的图像如图所示，则,a b 的取值范围分别为a ∈ ,b ∈ .12．函数f(x)= lg (-2x +4x+5)的单调减区间为 ． 13．已知1cos 3α=且α是第四象限角，则tan α14．函数f(x)=x 2－(a ＋1)x ＋(a 2+a －1)的两个零点一个比1大，另一个比1小，则实数a 的取值范为 ．15、电流强度I （安）随时间t （秒）的变化的函数sin()6I A t πω=+(0,0)A ω>>的图象如图所表，当150t =秒时，电流强度是__________安。
向量的坐标运算
西安昆仑中学高三文科一轮复习数学讲义 1课题：平面向量的坐标运算教学目标：1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2．学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.．教学重点：向量的坐标运算．教学过程：（一）主要知识：1．平面向量坐标的概念；2．用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；3．会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题．（二）主要方法：1．建立坐标系解决问题（数形结合）；2．认清向量的方向求坐标值得注意的问题；（三）基础训练：1.若向量(1,1a b c ==-=-,则c = （ ）()A 1322a b -+ ()B 1322a b - ()C 3122a b - ()D 3122a b -+ 2．设,,,A B C D 四点坐标依次是(1,0),(0,2),(4,3),(3,1)-，则四边形ABCD 为 （ ）()A 正方形 ()B 矩形 ()C 菱形 ()D 平行四边形3．下列各组向量，共线的是 （ ）()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b == ()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-4.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且有3,2CM CA CN CB =⋅=⋅,则= 。
5．已知点(1,5A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为 。
6.设31(,sin ),(cos ,)23a b αα==,且有//a b ,则锐角=α 。
（四）例题分析：例1．已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值。
西安昆仑中学高三文科一轮复习数学讲义 2例2．已知).1,2(),0,1(==b a（1）求|3|b a +； （2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平行， 平行时它们是同向还是反向？.例3．已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P的坐标.例4．已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及OP OA t AB =+⋅,试问:（1）当t 为何值时,P 在x 轴上? P 在y 轴上? P 在第三象限?（2）四边形OABP 是否能成为平行四边形?若能,则求出t 的值.若不能,说明理由.西安昆仑中学高三文科一轮复习数学讲义 3例5．设椭圆方程为2214y x +=，过M （0，1）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，动点P 满足()1,2OP OA OB =+，点N 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，当l 绕点M 旋转时. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）NP 的最大值与最小值。
2007年泰州市中考数学试题及答案
泰州市2007年初中毕业、升学统一考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）第一部分 选择题（共36分）一、选择题（下列各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共36分） 1．的倒数是（ ） 3A ．B ．C ．D ． 3133-13-2．下列运算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．236a a a = 236()y y -=2353()m n m n =222253x x x -+=3．下列函数中，随的增大而减小的是（ ） y x A ． B ． C ．（） D ．（） 1y x=-2y x=3y x =-0x >4y x=0x <4．如图所示的几何体中，俯视图形状相同的是（ ）A ．①④B ．②④C ．①②④D ．②③④（第4题图）①②③④5．已知：如图，，，以为位似中心， (42)E -，(11)F --，O 按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标 1:2EFO △E E '为（ ）A ．或B ．或(21)-，(21)-，(84)-，(84)-，C ．D ．(21)-，(84)-，6．函数的取值范围是（ ） y =x A ．B ．1x -≥12x -≤≤（第5题图）C ．D ． 12x -<≤2x <7．下列说法正确的是（ ）A ．小红和其他四个同学抽签决定从星期一到星期五的值日次序，她第三个抽签，抽到星期一的概率比前两个人小B ．某种彩票中奖率为10%，小王同学买了10张彩票，一定有1张中奖C ．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应进行普查D ．晚会前，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果由众数决定 8．按右边方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内33⨯（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，王大伯家屋后有一块长12m ，宽8m 的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在处的一棵树上，为了不A 让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）A ．3mB ．5mC ．7mD ．9m10．2008年奥运会日益临近，某厂经授权生产的奥运纪念品深受人们欢迎，今年1月份以来，该产品原有库存量为（）的情况下，日销量与产m 0m >量持平，3月底以来需求量增加，在生产能力不变的情况下，该产品一度脱销，下图能大致表示今年1月份以来库存量与时间之间函数关系的是y t （ ）A ．B ．C ．D ．11．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；（4）丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（ ） A ．一中 B ．二中 C ．三中 D ．不确定 12．已知：二次函数，下列说法错误的是（ ）24y x x a =--（第9题图）A DA ．当时，随的增大而减小 1x <y xB ．若图象与轴有交点，则x 4a ≤C ．当时，不等式的解集是3a =240x x a -+>13x <<D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点，则(12)-，3a =-第二部分 非选择题（共114分）二、填空题（每题3分，共24分）13．数据，，，的方差 ．13-42-2S =14．改革开放以来，我国教育事业快速发展，去年普通高校招生人数达540万人，用科学记数法表示540万人为 人．15．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题 ．16．直线，直线与轴围成图形的周长是 （结果保留根号）． y x =-2y x =+x 17．我国城镇居民2004年人均收入为9422元，2006年为11759元，假设这两年内人均收入平均年增长率相同，则年增长率为 （精确到0.1%）．18．如图，直角梯形中，，，，ABCD AD BC ∥AB BC ⊥2AD =，，将腰以点为中心逆时针旋转至3BC =45BCD ∠= CD D 90，连结，则的面积是 ．ED AE CE ，ADE △19．用半径为12cm ，圆心角为的扇形做成一个圆锥模型的侧面，150则此圆锥的高为 cm （结果保留根号）．20．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与22⨯ABC △成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个．ABC △（第20题图）ABC三、解答下列各题（21题8分，22，23每题9分，共26分）21．计算：．11453(2007π)2-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭（第18题图）A BCDE22．先化简，再求值：，其中，是方程的根． 2224124422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭a 2310x x ++=23．如图，在四边形中，点，分别是的中点，分别是ABCD E F AD BC ，G H ，BD AC，的中点，满足什么条件时，四边形是菱形？请证明你的结论． AB CD ，EGFH（第23题图）四、（本题满分9分）24．数学课上，年轻的刘老师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法： ①教师讲,学生听； ②教师让学生自己做；③教师引导学生画图，发现规律；④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图．数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种，他随机抽取了60名学生的调查问卷，统计如图：（1）请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中方法③的圆心角．（2）全年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？ （3）假如抽取的60名学生集中在某两个班，这个调查结果还合理吗？为什么？ （4）请你对老师的教学方法提出一条合理化的建议．④③①②表示教学方法序号n五、（本题满分9分）25．已知：如图，中，，点为的中点，以为直径的切ABC △CA CB =D AC AD O BC 于点，．E 2AD =（1）求的长；（2）过点作交于点，求的长．BE D DF BC ∥O F DF六、（本题满分10分） 26．2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．在“创卫”过程中，要在东西方向M N ，两地之间修建一条道路．已知：如图点周围180m 范围内为文物保护区，在上点处测C MN A 得在的北偏东方向上，从向东走500m 到达处，测得在的北偏西方向上． C A 60A B C B 45（1））MN 1.732（第26题图）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？（第25题图）A B CE D FO七、（本题满分10分）27．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．（第27题图）（2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？八、（本题满分12分）28．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量（千克）与市场价格（元y x /千克）（）存在下列关系：030x <<（元/千克）x 5 10 15 20 （千克）y 4500400035003000又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量（千克）与市场价格（元/千克）成z x 正比例关系：（）．现不计其它因素影响，如果需求数量等于生产数量400z x =030x <<y ，那么此时市场处于平衡状态．z （1）请通过描点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式； y x元／千克)（第28题图）（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量与市场价格的函数关系z x 发生改变，而需求数量与市场价格的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，y x 该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？九、（本题满分14分）29．如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点Rt ABC △90B ∠=30CAB ∠=A (100)，B 的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点(510AB =P A A B C →→Q 从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，(02)D ，y P C 设运动的时间为秒． t （1）求的度数．BAO ∠（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象P AB OPQ △S t 为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．P （3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． S t S P （4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着P Q ，P AB OPQ ∠时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿t BC OPQ ∠t P 这两边运动时，使的点有几个？请说明理由． 90OPQ ∠=P（第29题图①）x t （第29题图②）参考答案二、填空题（每题3分，共24分） 13．7.514． 15．如：对顶角相等（答案不唯一）65.410⨯16． 17．18．1920．2+11.7％15三、解答下列各题（21题8分，22、23每题9分，共26分）21．解：原式 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 231=+⨯ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 2134=-+=22．解：原式 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 2(2)(2)1(2)(2)22a a a a a a ⎡⎤+--=+⨯⎢⎥--⎣⎦ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 21(2)222a a a a a +-⎛⎫=+⨯⎪--⎝⎭(3)2a a +=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分21(3)2a a =+ 是方程的根，a 2310x x ++= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 2310a a ∴++= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分231a a ∴+=- 原式 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 ∴12=-23．（1）当时，四边形是菱形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 AB CD =EGFH （2）证明：点分别是的中点，E G ，AD BD ，，同理，．12EG AB ∴∥12HF AB ∥EG HF ∴∥四边形是平行四边形 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分∴EGFH ，又可同理证得，12EG AB = 12EH CD =， AB CD = ，EG EH ∴=四边形是菱形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 ∴EGFH （用分析法由四边形是菱形推出满足条件“”也对）EGFH AB CD =四、（本题满分9分） 24．（1）补横轴------教学方法 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 补条形图-------方法②人数为（人） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分60618279---=方法③的圆心角为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 1836010860⨯=（2）方法④，（人） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分42045189⨯=％（3）不合理，缺乏代表性． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 （4）如：鼓励学生主动参与、加强师生互动等 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 五、（本题满分9分） 25．（1）连结交于点， OE FD G 切于，．BC O E BE BC ∴⊥CE ∴===． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分4BE ∴=-（2）， DF BC ∥，OGD OEC ∴△∽△．GD OD EC OC∴=，．13=GD ∴=，，OE BC ∴⊥OE FG ∴⊥． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 2FD GD ∴==六、（本题满分10分）26．（1）过作于点，设， CCH AB ⊥H m CH x =则，．AH =HBx =，AH HB AB += （第25题图）B AB C （第26题图）N HM． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分500x +=， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 183180x ∴==>不会穿过保护区． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分∴（2）设原计划完成这项工程需要天，y 则， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 11(125)5y y=+⨯-％解之得：． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 25y =经检验知：是原方程的根． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 25y =答：（略） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 （其它解法类似给分） 七、（本题满分10分）（1）树状图略 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 41()123P ==进入迷宫中心（2）不公平，理由如下： 法一：由树状图可知，， 51()3P =的倍数，． 521()126P ==非的倍数的奇数561()122P ==非的倍数的偶数所以不公平．法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．，， 1()4P =奇数3()4P =偶数所以不公平． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分可将第二道环上的数4改为任一奇数． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 （3）设小军次进入迷宫中心，x 则， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 23(10)28x x +-≤解之得．2x ≥所以小军至少2次进入迷宫中心． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 八、（本题满分12分）（1）描点略． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 设，用任两点代入求得， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 y kx b =+1005000y x =-+再用另两点代入解析式验证． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 （2），，y z = 1005000400x x ∴-+=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 10x ∴=总销售收入（元） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 ∴10400040000=⨯=农副产品的市场价格是10元/千克，∴农民的总销售收入是40000元． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 （3）设这时该农副产品的市场价格为元/千克，a 则， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 (1005000)4000017600a a -+=+解之得：，．118a =232a =，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 030a << 18a ∴=这时该农副产品的市场价格为18元/千克． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分∴九、（本题满分14分）（1）． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 60BAO =∠（2）点的运动速度为2个单位/秒． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 P（3）（）(10)P t -05t ≤≤ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分1(22)(10)2S t t =+- ． 2912124t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当时，有最大值为， ∴92t =S 1214此时． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分112P ⎛ ⎝（4）当点沿这两边运动时，的点有2个． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 P 90OPQ =∠P ①当点与点重合时，，P A 90OPQ <∠当点运动到与点重合时，的长是12单位长度， P B OQ 作交轴于点，作轴于点，90OPM =∠y M PH y ⊥H 由得：， OPH OPM △∽△11.5OM ==所以，从而．OQ OM >90OPQ >∠所以当点在边上运动时，的点有1个． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分P AB 90OPQ =∠P ②同理当点在边上运动时，可算得． PBC 1217.8OQ ==而构成直角时交轴于， y 0⎛ ⎝20.217.8=>所以，从而的点也有1个．90OCQ <∠90OPQ =∠P 所以当点沿这两边运动时，的点有2个． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 P 90OPQ =∠P第29题图①。
江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学)22-23学年高三12月联考数学试题 附答案
G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{－1，0}，B ＝{x |－2＜x ＜0}，则A ∩B ＝ A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{x |－2＜x ＜0}D ．{x |－2＜x ≤0}2．若复数z 的共轭复数z 满足i ⋅z ＝4＋3i （其中i 为虚数单位），则z z ⋅的值为AB ．5C ．7D ．253．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是 A ．城镇人口与年份星现正相关B ．乡村人口与年份的相关系数r 接近1C ．城镇人口逐年增长率大致相同D ．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．若椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．23D ．36．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a ，盆地半径为b （0＜b ＜a ），根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A <B <C ．22222a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭D ．33322a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭7．在数列{a n }中，()()111sin sin 10n n n n a a a a ++-⋅+=，则该数列项数的最大值为 A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，CA ＝2，点P 在该三角形的内切圆上运动，若AP mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最小值为 A ．518B ．13C ．718D ．49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则A ．114a b+≤B ．22a b+≥C ．log 2a ＋log 2b ≤－2D ．1sin sin 2sin2a b +≤ 10．已知函数()x a a x f x e e --=+，()x a a x g x e e --=-，则 A ．函数y ＝g （x ）有且仅有一个零点B ．f ′（x ）＝g （x ）且g ′（x ）＝f （x ）C ．函数y ＝f （x ）g （x ）的图象是轴对称图形D ．函数()()g x y f x =在R 上单调递增 11．乒乓球（tabletennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），实际比赛局数的期望值记为f （p ），下列说法正确的是 A ．三局就结束比赛的概率为p 3＋（1－p ）3B ．f （p ）的常数项为3C ．1435f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1．G 为PC 的中点，M 为平面PBD 上一点下列说法正确的是A ．MGB ．若MA ＋MG ＝1，则点M 的轨迹是椭圆C．若MA =M 的轨迹围成图形的面积为12π D ．存在点M ，使得直线BM 与CD 所成角为30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项为 ．14．如图，将绘有函数()sin 2f x M πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（M ＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A ，Bφ＝ ．15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n 项和，进而可利用该法求数列{（2n －1）⋅3n }的前n 项和S n ，其操作步骤如下：由于S n ＝1×31＋3×32＋…＋（2n －1）⋅3n ，()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅，从而()()21232323213n n n S n +=--⨯++⨯+-⋅，所以()1133n n S n +=-⋅+，始比如上方法可求数列{n 2⋅3n }的前n 项和T n ，则2T n ＋3＝ ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ．若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ＋a ）≤f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在数列{a n }中，a ＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＝（n ＋1）a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若m 为正整数，记集合22n nn a a m a ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤的元素个数为b m ，求数列{b m }的前20项和． 18．（本小题满分12分）在轴截面为正方形ABCD 的圆柱中，M ，N 分别为弧AD ，弧BC 的中点，且在平面ABCD 的两侧．（1）求证：四边形ANCM 是矩形； （2）求二面角B －MN －C 的余弦值．19．（本小题满分12分）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N 个字脱落． （1）若N ＝3，用随机变量X 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X 的分布列及期望； （2）若N ＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 20．（本小题满分12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2． （1）若2CD DB =，2AD CB ⋅=，求A ； （2）若23C B π-=，求△ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线C 1：y 2＝4x 上，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝r 2（0＜r ＜2）． （1）若r ＝1，Q 为圆C 2上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线m ，n 与圆C 2相切，分别交抛物线C 1于A ，B （异于点P ），求证：直线AB 过定点．22．（本小题满分12分）若对实数x 0，函数f （x ），g （x ）满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称()()()0,,f x x x F x g x x x <⎧⎪=⎨⎪⎩≥为“平滑函数”，x 0为该函数的“平滑点”．已知()323122x f x ax x x =-+，g （x ）＝bx ln x ． （1）若1是平滑函数F （x ）的“平滑点”， （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点P （2，t ）可作三条不同的直线与函数y ＝F （x ）的图象相切，求实数t 的取值范围； （2）对任意b ＞0，判断是否存在a ≥1，使得函数F （x ）存在正的“平滑点”，并说明理由．G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022-2023学年第一学期12月联合调研高三数学答案及其解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 2．【答案】D【解析】4334i z i z i ⋅=+⇒=-，所以25z z ⋅= 3．【答案】B【解析】因为乡村人口与年份望负线性相关关系，所以r 接近－1，故选B 4．【答案】D 5．【答案】C【解析】由题意得22245109436b b a a a ⎧⎧==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以6c ==，故椭圆离心率为23c e a == 6．【答案】D 7．【答案】C【解析】()()()()()()11112111cos cos sin sin sin 2n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++--+--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+==-21sin 10n a =，所以{}2sin n a 为等差数列，公差为110，所以()2211sin sin 1110n a a n =+-⨯≤，所以110n -211sin 111a n -⇒≤≤≤，故选C8．【答案】B【解析】()m n AP mAB nAC m n AB AC m n m n ⎛⎫=+=++⎪++⎝⎭，由P 在内切圆上，故APm n m n AB AC m n m n +=⎛⎫+⎪++⎝⎭，则11cos 16A =，所以BC 边上高为2h =6r =，故由平行线等比关系，可得213h r m n h -+=≥，故选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BCD 【解析】选项A ，应该是114a b +≥，B ：22221a ba b+++≥，B 正确；C ：222log log 2log 22a b a b ++=-≤，C 正确；D ：1sin sin 2sin cos 2sin 222a b a b a b +-+=⋅≤，D 正确；答案为BCD 10．【答案】ABD【解析】AB 正确，因为()f x 关于x a =轴对称，()g x 关于(),0a 中心对称，故()()f x g x 为中心对称图形，C 错误：而()()()()()220'g x f x q x f x B x ⎡⎤-=>⎢⎥∠⎣⎦或根据一般得分离常数变形可知D 正确；答案为：ABD 11．【答案】ABD 【解析】 显然A 正确；()()()()()323131223343141151f p p p C p p C p p C p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦()03f =，13328f B ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，D 正确； 求导或根据()f p 关于12对称，且p 越极端，越可能快结束，有11412352--≤，得1435f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：ABD 12．【答案】ABC 【解析】A 选项判断：应用等体积法，可()()min min 1122MG AG =≥A 正确；B 选项：因为面PBD 不与AG 垂直，也不平行，故轨迹不可能时圆，即为椭圆，B 正确；C 选项判断：设MH ⊥面PBD ，H ∈面PBD ，2112MA HM =⇒=，故C 正确； D 选项判断：由于CD 与面PBD 夹角θ满足1sin2θ=>，故[],6πθπθ∉-，D 错误；综上所述，答案为ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】15【解析】展开式的通项为()()36621661rr r r Tr Cx C x --+⎛==- ⎝，当31602r -=，4r =时，为常数项15 14．【答案】56π【解析】如图，因为()f x 的周期为242T ππ==，所以22T CD ==，22TCD ==，所以AB ===解得M =所以()2f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()0f ϕ==，1sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=或56π，又因为函数()f x 在y 轴右侧单调递减，所以56πϕ=． 15．【答案】()2113n n n +-+⋅【解析】2122213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅① 222321313233n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅②②－①()()()222222322123123233133n n n T n n n +⎡⎤=-+-⋅+-⋅++--⋅+⋅⎣⎦()()3321333532133n n n n +=--⋅+⋅++-⋅+⋅()()212112333313n n n n n S n S n n n +++=---+⋅=-+⋅=-+⋅所以()212313n n T n n ++=-+⋅16．【答案】[]3,1-． 【解析】()()()()[]2221,3f x a fx f x f x x +==⇒∀∈≤，[]23,1x a a +⇒∈-≤四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 解析：（1）()()()()()111212221212nn n n n n n n n n a S n a a S S n a na n n a na n n---=+⇒=-=+-⇒-=⇒=≥≥11111n n a a a n n -===⇒=-（2）2214222n n a n m m n m a n n ⎛⎫+⇒+⇒-+ ⎪⎝⎭≤≤≤， 因为1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2n =时成立， 所以10b =，21b =，当3n ≥，35b =，47b =，59b =，611b =，…，2339b = 所以{}m b 的前20项和为()135739378+++++=．18．（本小题满分12分） 【解析】（1）设轴截面正方形ABCD 边长为2a ，取弧BC 另一侧的中点Q ， 则BC 与NQ 垂直平分，且2BC NQ a ==， 所以四边形BNCQ为正方形，BQ NC ==，因为M 为弧AD 中点，所以MQ AB ∥，四边形ABQM 为矩形， 所以AM BQ ∥，所以AM CN ∥，所以四边形AMCN 为平行四边形，因为AN ==，MN ==，所以22228AM AN MN a +==，所以AM ⊥AN ，所以四边形ANCM 为矩形； （2）由（1）知，MB MC ===，BN CN ==，MN =，所以2MNB MNC π∠=∠=所以MNB MNC ∆∆≌，Rt △MBN 斜边MN上的高2h a ==， 作BP ⊥MN ，则CP ⊥MN ，∠BPC 即为二面角B -MN -C的平面角，2BP CP ==，2BC a =， 在△BPC 中，由余弦定理得222222341cos 233BP CP BC a a BPC BP CP a +--∠===-⨯，二面角B -MN -C 的余弦值为13- 19．（本小题满分12分） 【解析】（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，12C()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===，随机变量X 的分布列如下表：随机变量X 的期望为()163012 1.2101010E X =⨯+⨯+⨯= 法二：随机变量X 服从超几何分布X ～H （3，2，5），所以()26355E X =⨯= （2）设脱落一个“学”为事件A ，脱落一个“好”为事件B ，脱落一个“数”为事件C ，事件M 为脱落两个字M AA BB AB AC BC =++++，()2225110C P AA C ==，()2225110C P BB C ==，()112225410C C P AB C ⋅==，()112125210C C P AC C ⋅==，()112125210C C P BC C ⋅==， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为()()()()()()()11413125525P P AA P BB P AB P AC P BC =+⨯+++⨯=+⨯=，法二：掉下的两个字不同的概率为1020.810p -==， 所以标语恢复原样的概率为()110.62p p -+=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）()112123333CD DB AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =⇒=+=+=+-=+ 所以()22212118112cos 233333333AD CB AB AC AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=+-=--⋅=--⨯⨯=⇒⎪⎝⎭1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）法一： 因为23C B π-=，所以562A C π=-，62AB π=-， 因为2c b =，sin 2sinC B =， 则5sin 2sin 6262A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得tan 29A =，所以22tan2sin 1tan 2AA A ==+故面积为1sin 214S bc A == 法二：因为2sin 2sin c b C B =⇒=， 因为23C B π-=，所以2sin 2sin sin 3B B B B π⎛⎫+=⇒=⎪⎝⎭①， 联立22sin cos 1B B +=②解得sin cos B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 2sin C B ==，232C B ππ=+> 所以cos 0C <，则cos C ==所以()sin sin sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+= 所以△ABC的面积为1sin 214ABC S bc A ∆==． 21．（本小题满分12分）【解析】 （1）设()2,2P t t ，则211PQ PC -=≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ =（2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切，r =，即()222416160r k k r --+-=，①设直线AB 为：()()441m x n y -+-=，则与抛物线C 的交点方程可化为：()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，故：直线AB 恒过()6,7-．22．（本小题满分12分）【解析】（1）（ⅰ）()21'332f x ax a =-+，()[]'1lng x b x =+， 由题意可知10a -=，且532a b -=， 故解得：1a =，12b =， （ⅱ）进一步()323,122ln ,12x x x x F x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，过点()2,P t 作()F x 的切线，切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x -=-，故题意等价于方程：()()()'2t F x F x x =--有3个不同根，()()()()'2p x F x F x x =--，()()()''2p x F x x =--， 代入得1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时， ()p x 单调递减，1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 单调递增，[)2,x ∈+∞时，()p x 单调递减， 故()13,2,ln 228t p x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫∈∈=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （2）题意等价于：0b ∀>，是否1a ∃≥，使得[]3223ln 221331ln 2x ax x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消a 有：()313212ln 122ln 1x x b x b x ---=-⇒=-，其中由0b >，可得23x ⎛∈ ⎝，故题意进一步化简23x ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()3ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立，23x ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+-，()()'83ln q x x x =-，故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，(x ∈，()q x 单调递增，故：()()10q x q =≥得证，即0b ∀>，31a ≥，使得()F x 存在的“平滑点”．。
2007年江苏省高考数学试卷及答案
绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）1的是B．sin2y x=C．cos4xy=D．cos4y x=221,0,1,2},{|}B x x x-==，则UA C B为B．{1,0}-C．{0,1}D．{1,2}3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20x y-=，则它的离心率为A B．C D．24．已知两条直线,m n，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m nαα⊥⇒⊥②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m nαα⇒④//,//,m n m nαβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有A ．132()()()323f f f << B ．231()()()323f f f << C ．213()()()332f f f << D ．321()()()233f f f << 7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为A ．3B ．6C ．9D ．128．设2()lg()1f x a x =+-A ．(1,0)- D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax =x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为A ．3 D ．3210．在平面直角坐标系xOy 0,0}y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)B x y x y x y =+-∈A ．2 ．145分，共30分。
泰州中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(原卷版)
14. 幂函数 f x m2 m 1 x2m1 在 0, 上为减函数，则实数 m 的值为__________.
15. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x 1，则 f 1 ______.
ax 2, x 2
16.
命题 P :
f
x 2ax2
D. x 3 x 5
1
D.
4
A. f x x0 与 g x 1
B. f x x2 与 g x x3
x
C. f x x 1 x 1 与 g x x 1 x 1
D. f x x 2 与 g x (x 2)2
5. 已知 x x1 4 ，则 x2 x2 等于（ ）
20. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f x x2 2x ，
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（1）现已画出函数 f x 在 y 轴左侧的图象，请将函数 f x 的图象补充完整，并写出函数 f x x R 的
解析式和单调减区间；
（2）若函数 g x f x 4ax 3 x 1, 2，求函数 g x 的最大值.
是一个无理数），则 a,b, c 的大小关系为（ ）
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. c b a
二，多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
（2）求当 2023 年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x0 ，且 x0 0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱偶 函数”.若在定义域内存在实数 x0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱奇函数”. （1）判断函数 f x ex 1 是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）
2007年江苏省高考数学试卷及解析
2007年江苏省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列函数中，周期为的是（）A． B．y=sin2x C． D．y=cos4x2．（5分）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．24．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A．[﹣π，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣，0]D．[﹣，0] 6．（5分）设f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），且当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）7．（5分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．128．（5分）设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）9．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．10．（5分）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x ≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x﹣y）|（x，y）∈A}的面积为（）A．2 B．1 C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ=．12．（5分）山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有种不同的选修方案．（用数值作答）13．（5分）已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=．14．（5分）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．16．（5分）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d （cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t∈[0，60]．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．18．（12分）如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM ⊥面BCC1B1；（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于P，Q，（1）若，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．20．（16分）已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记S n为数列{b n}的前n项和，（1）若b k=a m（m，k是大于2的正整数），求证：S k﹣1=（m﹣1）a1；（2）若b3=a i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．21．（16分）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．2007年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2007•江苏）下列函数中，周期为的是（）A． B．y=sin2x C． D．y=cos4x【分析】利用公式对选项进行逐一分析即可得到答案．【解答】解：根据公式，的周期为：T=4π，排除A．y=sin2x的周期为：T=π，排除B．的周期为：T=8π，排除C．故选D2．（5分）（2007•江苏）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A ∩∁U B为（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【分析】B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．【解答】解：由题设解得B={0，1}，C U B={x∈Z|x≠0且x≠1}，∴A∩C U B={﹣1，2}，故选A3．（5分）（2007•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．【解答】解：由得b=2a，，．故选A．4．（5分）（2007•江苏）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】由题意用线面垂直和面面平行的定理，判断线面和面面平行和垂直的关系．【解答】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；②中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；③中，用线面平行的判定定理知，n可以在α内；故选C．5．（5分）（2007•江苏）函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A．[﹣π，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣，0]D．[﹣，0]【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：f（x）=sin x﹣cos x=2sin（x﹣），因x﹣∈[﹣π，﹣]，故x﹣∈[﹣π，﹣]，得x∈[﹣，0]，故选D6．（5分）（2007•江苏）设f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），且当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【分析】本题是关于函数图象对称性的一个题，方法一：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），知对称轴是x=1，故有f（）=f（），f（）=f（），又x≥1时，f（x）=2x﹣1，函数在（1，+∞）上是增函数，＞＞，由此可选出正确选项；方法二：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），知对称轴是x=1，由对称性知其在（﹣∞，1）上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，由此特征判断函数值的大小即可．【解答】解：方法一：由条件f（x）=f（2﹣x）可得函数图象关于直线x=1对称，则f（）=f（），f（）=f（），由于当x≥1时，f（x）=2x﹣1，即函数在[1，+∞）上为增函数，由于＞＞，故有f（）=f（）＞f（）＞f（）=f （）故应选B．方法二：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），知对称轴是x=1，由对称性知其在（﹣∞，1）上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，∵1﹣＜﹣1＜1﹣∴f（）＜f（）＜f（）故应选B．7．（5分）（2007•江苏）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．【解答】解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B8．（5分）（2007•江苏）设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x 的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，然后由对数函数的单调性解之．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），，，即=，1﹣x2=（2+a）2﹣a2x2此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=﹣1则即解得﹣1＜x＜0故选A9．（5分）（2007•江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．10．（5分）（2007•江苏）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={（x，y）|x+y ≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x﹣y）|（x，y）∈A}的面积为（）A．2 B．1 C．D．【分析】将x+y和x﹣y看成整体，设，根据题意列出关于u，v的约束条件，画出区域求面积即可．【解答】解析：令，∴，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积选B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）（2007•江苏）若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ=．【分析】先由两角和与差的公式展开，得到α，β的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积．【解答】解：由已知，，∴cosαcosβ=，sinαsinβ=∴故应填12．（5分）（2007•江苏）山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有75种不同的选修方案．（用数值作答）【分析】由题意知本题需要分类来解，可以从A、B、C三门选一门有C31•C63，也可以从其他六门中选4门有C64，根据分类计数加法得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A、B、C三门选一门有C31•C63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：7513．（5分）（2007•江苏）已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=32．【分析】先对函数f （x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间[﹣3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，3）3f′（x）+0﹣0+极值﹣8﹣1f（x）17极值24可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案为：3214．（5分）（2007•江苏）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离．【解答】解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0∴BC⊥平面APM又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APM，又∵平面ABC∩平面APM=PM，∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高设底面边长为a，则设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离故答案为：15．（5分）（2007•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．【分析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．【解答】解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为16．（5分）（2007•江苏）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B 两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t∈[0，60]．【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360°，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接AB，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果．【解答】解：∵∴根据直角三角形的边长求法得到d=2×5×sin=10sin，故答案为：10sin．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）（2007•江苏）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【分析】（1）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，有5次恰好发生2次，根据独立重复试验概率公式写出结果．（2）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到概率．（3）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，表示除第三次外另外四次恰有一次正确，根据独立重复试验的概率公式得到概率．【解答】解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确的概率是（2）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到（3）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.85次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，根据独立重复试验的概率公式得到18．（12分）（2007•江苏）如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM ⊥面BCC1B1；（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．【分析】（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面．（2）在正方体中，易知AB⊥面BCC1B1，所以欲证EM⊥面BCC1B1，可以先证AB ∥EM；或者也可以从平面ABB1A1⊥平面BCC1B1入手去证明，那么我们一开始就需要算出BM的长度．（3）由第二问的证明可知，利用三垂线定理，∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角．【解答】解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面；（2）因为GM⊥BF所以△BCF∽△MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，所以EM⊥面BCC1B1；（3）EM⊥面BCC1B1，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，所以∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，∠EMH=90°，所以，ME=AB=3，△BCF∽△MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=．19．（14分）（2007•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于P，Q，（1）若，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（1）设过C点的直线的方程，与抛物线方程联立设出A，B的坐标则【分析】可分别表示出来，根据求得﹣c﹣k2c+kc•k+c2=2，求得c．（2）设过Q的切线方程，通过对抛物线方程求导求得切线的斜率，进而可表示出切线方程求得与y=﹣c的交点为M的坐标进而根据P为线段AB的中点，求求得Q点的坐标，根据x1x2=﹣c，进而可表示出M的坐标，判断出以点M和点Q 重合，也就是QA为此抛物线的切线．（3）根据（2）可知点Q的坐标，根据PQ⊥x轴，推断出点P的坐标，进而求得，判断出P为AB的中点．【解答】解：（1）设过C点的直线为y=kx+c，所以x2=kx+c（c＞0），即x2﹣kx﹣c=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），，因为，所以x1x2+y1y2=2，即x1x2+（kx1+c）（kx2+c）=2，x1x2+k2x1x2﹣kc （x1+x2）+c2=2所以﹣c﹣k2c+kc•k+c2=2，即c2﹣c﹣2=0，所以c=2（舍去c=﹣1）（2）设过Q的切线为y﹣y1=k1（x﹣x1），y′=2x，所以k1=2x1，即y=2x1x﹣2x12+y1=2x1x ﹣x12，它与y=﹣c的交点为M，又，所以Q，因为x1x2=﹣c，所以，所以M，所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ⊥x轴，所以因为，所以P为AB的中点．20．（16分）（2007•江苏）已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记S n为数列{b n}的前n项和，（1）若b k=a m（m，k是大于2的正整数），求证：S k﹣1=（m﹣1）a1；（2）若b3=a i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设{a n}的公差为d，由a1=b1，把b k=a m代入a1q k﹣1=a1，进而可表示，题设得证．出S k﹣1（2）利用）b3=a1q2，a i=a1+（i﹣1）a1（q﹣1），进而可得q2=1+（i﹣1）（q﹣1），q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）=0，整理即可求得q=i﹣2，进而可判定i﹣2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n﹣1（n∈N+），设数列{a n}中的某一项a m（m∈N+）=a1+（m﹣1）a1（q﹣1）只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即在方程a1q n﹣1=a1+（m﹣1）a1（q﹣1）中m有正整数解即可．（3）设数列{b n}中有三项b m，b n，b p（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设n﹣m=x，p﹣n=y，进而可得以2=，令x=1，y=2，求得q．【解答】解：设{a n}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q ﹣1）（a1≠0）（1）因为b k=a m，所以a1q k﹣1=a1+（m﹣1）a1（q﹣1），q k﹣1=1+（m﹣1）（q﹣1）=2﹣m+（m﹣1）q，所以（2）b3=a1q2，a i=a1+（i﹣1）a1（q﹣1），由b3=a i，所以q2=1+（i﹣1）（q﹣1），q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）=0，解得，q=1或q=i﹣2，但q≠1，所以q=i﹣2，因为i是正整数，所以i﹣2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n﹣1（n∈N+），设数列{a n}中的某一项a m（m∈N+）=a1+（m﹣1）a1（q﹣1）现在只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即在方程a1q n﹣1=a1+（m﹣1）a1（q ﹣1）中m有正整数解即可，m﹣1==1+q+q2+…+q n﹣2，所以m=2+q+q2+q n ﹣2，若i=1，则q=﹣1，那么b2n=b1=a1，b2n=b2=a2，当i≥3时，因为a1=b1，a2=b2，﹣1只要考虑n≥3的情况，因为b3=a i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b n}中任意一项为b n=a1q n﹣1（n∈N+）与数列{a n}的第2+q+q2+q n﹣2项相等，从而结论成立．（3）设数列{b n}中有三项b m，b n，b p（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q p﹣1，设n﹣m=x，p﹣n=y，（x，y∈N+），所以2=，令x=1，y=2，则q3﹣2q+1=0，（q﹣1）（q2+q﹣1）=0，因为q≠1，所以q2+q﹣1=0，所以，即存在使得{b n}中有三项b m，b m+1，b m+3（m∈N+）成等差数列．21．（16分）（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f （x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．【分析】（1）不妨设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．进而有g（0）=g（f（r））=0，再由g（0）=d求解．（2）由（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．所以有g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．而方程f（x）=0即为x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0即为x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②最后按方程的类型，分（ⅰ）当c=0时，b≠0，（ⅱ）当c≠0，b=0（ⅲ）当c≠0，b≠0讨论．（3）由a=1，f（1）=0得b=﹣c，将函数的系数都用c表示：f（x）=bx2+cx=cx （﹣x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]．由f（x）=0可以推得g（f （x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．然后，按照c=0和c≠0两种情况，用判别式判断求解．【解答】解：（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．所以，d=0．（2）由题意及（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx2+cx=x（bx+c），则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②当b=0时，c≠0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．当b≠0，c=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．当b≠0，c≠0时，方程①的根为x1=0，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根．则方程b2x2+bcx+c=0无实数根时，符合题此时△=（bc）2﹣4b2c＜0，得0＜c＜4，综上所述，b=0时，c≠0时，b≠0时，0≤c＜4；（3）由a=1，f（1）=0得b=﹣c，f（x）=bx2+cx=cx（﹣x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]．③由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．当c=0时，符合题意．当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f2（x）﹣cf（x）+c=0④的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．那么当（﹣c）2﹣4c＜0，即0＜c＜4时，f2（x）﹣cf（x）+c＞0，符合题意．当（﹣c）2﹣4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得，即，⑤则方程⑤应无实数根，所以有且．当c＜0时，只需，解得，矛盾，舍去．当c≥4时，只需，解得．因此，．综上所述，所求c的取值范围为．。
2007年全国高中数学联赛试题及答案详解
2007年全国高中数学联赛考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
江苏省苏州园三2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a=−，则公比q =（ ）A. 2B. 4−C. 4D. 2−【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意33418,2a a q q q ===−=−. 故选：D2. 已知过(,2),(,1)A m B m m −−两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（ ）A. 2B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用倾斜角求出1m =，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，12tan 451m m m−−=°=−−， 解得1m =，故(1,2),(1,0)A B −，则,A B 故选：C3. 直线320x my m +−=平分圆C ：22220x x y y ++−=，则m =（ ）A.32B. 1C. -1D. -3【答案】D 【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220x x y y ++−=变形为()()22112x y ++−=，故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320x my m +−=上，故320m m −+−=，解得3m =−.故选：D4. 设双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为2，焦距为 ）A. y =B. 2y x =±C. y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到1b =，c =a =.【详解】由题意得22b =，2c =1b =，c =故a故双曲线渐近线方程为b y x x a=±. 故选：C5. 椭圆22192x y +=中以点()21M ，为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. 49−B.12C.D. −【答案】A 【解析】【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11A x y ，，()22B x y ，，代入椭圆得22112222192192x y x y += += ， 两式相减得()()()()12121212092x x x x y y y y −+−++=，即()()()()1212121292x x x x y y y y −+−+=−，即()()1212121229x x y y y y x x +−−=+−， 即12122492y y x x −×−=×−， 即121249y y x x −=−−，∴弦所在的直线的斜率为49−， 故选:A ．6. 已知()1,0F c −，()2,0F c 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设点P .【详解】设()00,P x y ，则()22002210x ya b a b +=>>，∴2220021x y b a=−， 由212PF PF c ⋅=，∴()()20000,,c x y c x y c −−−⋅−−=， 化为2222x c y c −+=，∴22220212x x b c a+−=， 整理得()2222023a x c a c=−， ∵220x a ≤≤，∴()2222203a c a a c≤−≤，e ≤≤，故选：B7. 过动点(),P a b （0a ≠）作圆C：(223x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=°，则ba的取值范围是（ ）A.B.C. , −∞+∞D.(),−∞∪+∞【答案】D 【解析】【分析】求出PC =，确定动点(),P a b 的轨迹方程，从而结合ba表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆C：(223x y +−=因为A ，B 分别为两条切线PA ，PB 的切点，且60APB ∠=°，则30APC BPC ∠=∠=°，所以2PC AC ==，所以动点(),P a b在圆(2212x y +−=上且0a ≠，b a表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率， 设bk a=，则直线y kx =与圆(2212x y +−=有公共点，≤，解得k ≤k ≥，即ba的取值范围是(),−∞∪+∞， 故选：D8. 已知数列{}n a 满足()2123111N 23n a a a n n na n +++++=+∈ ，设数列{}nb 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A. 1,4+∞B. 1,4+∞C. 3,8∞+D. 38 +∞,【答案】D 【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n++++=+ ，① 当2n ≥时，()2123111111231n n a a a a n n −++++−−=+− ，②①−②得，12n a n n=，故22n a n =， 则()()2222121211114411n n n n n b a a n n n n +++===− ++， 则()()22222211111111114223411n T n n n=−+−++−=− ++，由于()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，故()2111411nn n λ −< ++， 整理得：()21144441n n n λ+>=+++，因()11441n ++随n 的增加而减小， 所以当1n =时，()11441n ++最大，且38， 即38λ>. 故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）为9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1 C. 过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 已知点()1,2P，向量()m =，过点P 作以向量m为方向向量的直线为l ，则点()3,1A 到直线l的距离为1【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A 正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B 正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C 错误；根据题意，求得直线l 的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令0x =，可得=2y −，令0y =，可得2x =，则直线20x y −−=与两坐标轴围成三角形的面积12222S =××=，所以A 正确； 对于B 中，设()0,2关于直线1y x =+对称点坐标为(),m n ，则212122n mn m − =−+ =+ ，解得1,1m n ==，所以B 正确； 对于C 中，直线的两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，所以C 错误；对于D中，以向量()m =为方向向量的直线l的斜率k =，则过点P 的直线l的方程为)12y x −+，即10x +−−=， 则点()3,1A 到直线l的距离1d −，所以D 正确． 故选：ABD ．的10. 已知椭圆221259x y +=上一点P ，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，则（ ）A. 若点P 的横坐标为2，则1325PF = B. 1PF 的最大值为9C. 若12F PF ∠为直角，则12PF F △的面积为9D. 若12F PF ∠为钝角，则点P的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离； 对B ，1PF 最大值为a c +对C ，设1PF x =，则210PF x =-，列勾股定理等式，可求面积；对D ，所求点P 在以原点为圆心，4c =为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为5a=，半焦距为4=c ，∴()()124,0,4,0F F −对A ，2x =时，代入椭圆方程得，=，1175PF ==，A 错； 对B ，1PF 的最大值为9a c +=，B 对；对C ，12F PF ∠为直角，设1PF x =，则210PF x =-，则有()222210810180x x x x +-=⇒-+=，则12PF F △的面积为()11810922x x −==，C 对； 对D ，以原点为圆心，4c =为半径作圆，则12F F 为圆的直径，则点P 在圆内时，12F PF ∠为钝角，联立2222125916x y x y += +=，消y得x =，故点P的横坐标的取值范围为 ，D 对. 故选：BCD11. 已知数列{}n a 满足12a =，12,2,n n na n a a n ++ = 为奇数，为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（ ）A. 520a =B. 32nn b =×C. 12632n n T n +=−−+×D. 2261232n n S n +=−−+×【答案】ACD 【解析】【分析】分析1n a +与n a 的递推关系，根据数列{}n a 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得2,n n T S .【详解】依题意，2132435424,28,210,220a a a a a a a a =+====+===，A 选项正确. 112432b a ==≠×，所以B 选项错误.当n 为偶数时，2111222n n n n a a a a ++++==+=+，所以()2222n n a a ++=+，而226a +=，所以1122262,622nn nn a a −−+=×=×−，所以12242662622nn nT a a a n − ++++×++×−()16122263212n n n n +−=−=−−+×−，所以C 选项正确.当n 为奇数时，()211122224n n n n n a a a a a ++++++，所以()2424n n a a ++=+，而146a =，所以11122462,624n n nn a a +−−+=×=×−，所以1213521662624n n a a a a n −−+++++×++×−()16124463212n n n n +−=−=−−+×−，所以()()11224632263261232n n n n S n n n +++=−−+×+−−+×=−−+×，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如()11n n a pa q p +=+≠的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为()1n n a p a λλ++=+的形式，再结合等比数列的知识来求得n a .求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+．已知椭圆C，点A ，B 均在椭圆C 上，直线:40l bx ay +−=，则下列描述正确的为（ ） A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则01b <<D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为a ，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去a 可判断A ，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B ，分析可得点Q 应在蒙日圆外，解不等式从而判断C ，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.【详解】由离心率c e a ==，且222a b c =+可得223a b ， 所以蒙日圆方程2224x y b +=； 对于A ，由于原点O 到蒙日圆上任意一点的距离为2b ，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a ，所以椭圆C 上的点A 与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2b −，即A 错误；对于B ，由蒙日圆定义可知：直线:40l bx ay +−=与蒙日圆2224x y b +=相切， 则圆心到直线l422b b=，解得1b =； 所以椭圆C 的方程为2213x y +=，即B 正确；对于C ，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为π0,2，若若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，可知点Q 应在蒙日圆外，所以此时直线l 与蒙日圆2224x y b +=422b b >，解得11b −<<， 又0a b >>，所以可得01b <<，即C 正确.对于D ，易知椭圆C 的方程为2213x y +=，即2233x y +=，蒙日圆方程为224x y +=， 不妨设()0,Mx y ，因为其在蒙日圆上，所以22004xy +=，设()()1122,,,A x y B x y ，又MA MB ⊥，所以可知,MA MB 与椭圆相切，此时可得直线MA 的方程为1133x x y y +=，同理直线MB 的方程为2233x x y y +=； 将()00,M x y 代入,MA MB 直线方程中可得101020203333x x y y x x y x +=+= ，所以直线AB 的方程即为0033x x y y +=， 联立00223333x x y y x y +=+=，消去y 整理可得()2222000036990x y x x x y +−+−=； 由韦达定理可得200121222220000699,33x y x x x x x y x y −+==++, 所以()20202122y AB y +=+， 原点O 到直线AB的距离为d，因此AOB 的面积()2020********AOBy S AB d y +=⋅=×=+333222==≤=；，即201y =时等号成立， 因此AOBD 正确； 故选：BCD的【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）13. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =_________. 【答案】55 【解析】【分析】根据下标和性质求出6a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列{}n a 中7825a a =+，又7862a a a =+，所以65a =， 所以()111611611112115522a a a S a +×====. 故答案为：5514. 已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为_____【解析】【分析】首先求12,PF PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．【详解】因为12||||26PF PF a +==，12||2||PF PF =，所以12||4,||2PF PF ==， 212954,||24c F F c −====，则121||||4F F PF ==，等腰12PF F △边2PF 上的高h =，所以12122PF F S =×= ，设22PF F 的内切圆半径为r ，则121211(||||||)1022PF PF F F r r ++×=××=所以r =15. 已知圆M经过((()2,,1,0,A C B −．若点()3,2P ，点Q 是圆M 上的一个动点，则MQ PQ ⋅的最小值为__________．【答案】4−【解析】【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆经过(2,A，(B ，()1,0C −，所以有72072010D F D F D F ++=++=−+=，解得203D E F =− = =− ， 所以圆M 的一般方程为22230x y x +−−=，即标准方程为()2214x y −+=. 则圆M 的圆心()1,0M ，半径2==r MQ ，且=MP，因为()2424 ⋅=⋅−=−⋅≥−×=−MQ PQ MQ MQ MP MQ MQ MP ，当且仅当MQ 与MP同向时，等号成立，所以MQ PQ ⋅的最小值为4−.故答案为：4−.16. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为30 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.【详解】依题意，由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=， 得22220F P F Q QP F P F Q+⋅=，即2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直， 如图，设2PF Q ∠的平分线2F D 与直线PQ 交于点D ，则22PF D QF D ∠=∠，2290F DP F DQ ∠=∠= ，又22DF DF =， 所以22PDF QDF ≌△△2QF ．由题得()1,0F c −，()2,0F c ，设2DF h =，2QF s =，1PF t =，在12Rt DF F △中，1290F DF ∠=，1230DF F ∠=，则h c =，1DF =，由双曲线的性质可得122122QF QF PQ t s a PF PF s t a −=+−=−=−= ，解得4PQ a =，则2PDQD a ==，所以在2Rt QDF△中，s=又12t DF PD a =−=−，2s t a −=)22a a −−=，，整理得222ac =，所以cea==四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 满足：122,4a a ==，数列{}n a n −为等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12nn S a a a =++⋅⋅⋅+． 【答案】（1）12n n −+ （2）2112122n n n ++− 【解析】【分析】（1）首先求出11a −，22a −，即可求出等比数列{}n a n −的通项公式，从而求出{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】因为12a =，24a =，数列{}n a n −为等比数列，所以111a −=，222a −=2=，即{}n a n −是以1为首项，2为公比等比数列， 所以12n n a n −−=，则12n n a n −=+. 【小问2详解】12n n S a a a =++⋅⋅⋅+01211222322n n −=++++++++()()01211232222n n −=+++++++++()2112112121222n n n n n n +−=+=++−−. 18. 已知圆()()22:121M x y ++−=，直线l 过原点()0,0O ． （1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．的【答案】（1）0x =或34y x =− （2）y x =−或7y x =−．【解析】【分析】（1）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线l 的方程.（2）设出直线l 的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形PQM 面积的表达式，结合二次函数的性质求得MPQ 的面积最大时直线l 的方程. 【小问1详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为y kx =，圆M 的圆心坐标()1,2-，圆心到直线的距离d由题意得：直线l 与圆M1，解得：34k =−，所以直线l 的方程为：34y x =−， 综上所述，直线l 的方程为：0x =或34y x =− 【小问2详解】直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =与圆相切，不符合题意，故直线l 斜率必存在， 设直线l 的方程为：y mx =， 圆心到直线的距离d，弦长PQ ==，所以12PQM S PQ d =⋅⋅=△当212d =时，面积S 最大，12=，整理得2870m m ++=，解得7m =−，或1m =−，所以直线l 的方程：y x =−或7y x =−．19.如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k −−=．（1）证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标； （2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；（3）若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为(2,； （2170y +−=； （3）2100x −=． 【解析】【分析】（1）整理得到(2))0k x y −+−=，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S =得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到12P P k =由对称性得PK k =写成直线方程. 【小问1详解】直线:(20l k x y k +−−=可化为(2))0k x y −+−=，令200x y −= −=，解得2x y = = l经过的定点坐标为(2,；【小问2详解】因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12ABAC BC ===， 由题意得直线AB方程为y =，故直线l经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM ==，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =××，所以3||||94AD AC ==， 设00(,)D x y ，所以34AD AC = ，即003(6,(6,4x y −−=−，所以0212x =，0y =D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =， 所以直线l 170y+−=； 【小问3详解】设P 关于BC 的对称点1(2,P −，关于AC 的对称点2(,)P m n ， 直线AC12612x −=−，即)12y x −，直线AC的方程为12)y x −，所以(12122m =−+ =− ，解得14,m n ==2P ， 由题意得12,,,P K I P四点共线，12P P k =PK k =， 所以入射光线PK的直线方程为2)y x −−，即2100x +−=．20.已知两定点()()12,2,0F F ，满足条件212PF PF −=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =−与曲线E 交于A ，B （1）求曲线E 的方程； （2）求实数k 的取值范围；（3）若||AB =AB 的方程． 【答案】20. ()2210x y x −=<21. ()1−22.10x y ++= 【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为()2210x y x −=<；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解k 的取值范围； （3）由AB =，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于k 的方程，解方程即可得结果. 【小问1详解】由双曲线定义可知，曲线E是以()1F，)2F为焦点的双曲线的左支，且c =由2122PF PF a −==，所以1a =，1b ，所以曲线E 的方程为()2210x y x −=<.故曲线E 的方程为：()2210x y x −=<.【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意联立方程组2211x y y kx −= =− ，消去y 得()221220k x kx −+−=， 又因为直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k −≠ ∆=+−> − +=< −− => −，解得1k <<−. 故k的取值范围为()1−. 【小问3详解】因为2AB x =−====，整理化简得422855250k k −+=，解得257k =或254k =， 因为1k<<−，所以k =AB 10x y ++=. 故直线AB 10x y ++=. 的【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=−，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. （1）证明2n n a为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n+的前n 项和为n T ；（3）求使不等式1321111111n m b b b −+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥n 都成立的最大实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；(1)2nn a n =+⋅ （2）188(4)4339n n T n =+⋅− （3【解析】【分析】（1）根据数列递推式可得122nn n a a −−=，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案； （3）将原不等式化为()111111321n+++≥ −调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】当1n =时，11124a S a ==−，则14a =， 当2n ≥时，11,22nn n n n n a S S a a −−∴=−−=，即11122n n n n a a −−−=，即2n n a 是以122a =为首项，公差为1的等差数列， 故(1,22)1n n n n a n a n =++⋅∴= 【小问2详解】由（1）可得2(1)41n n a n n =+⋅+， 故22434(1)4n n T n =×+×+++⋅ ，故231424344(1)4n n n T n n +=×+×++⋅++⋅ ，则231324444(1)4n n n T n +−=×++++−+⋅14(14)884(1)4(4)41433n n n n n +−=+−+⋅=−+⋅−， 故188(4)4339n n T n =+⋅−； 【小问3详解】22log log 21n n n a b n n ===+，则1321111111n m b b b − +⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥即()111111321n+++≥ −即11321n m −≤对任意正整数n 都成立，令()11111?·1321n f n +++−=则()111111?·11321211n n f n ++++−++故()()11f n f n +=>， 即(),N f n n +∈随着n 的增大而增大，故()()1f n f ≥m ≤， 即实数m【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得111111321n m +++−≤ 对任意正整数n 都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0M 的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴的交点为E ，求ABE 的面积的最大值． 【答案】（1）22143x y += （2【解析】【分析】（1）根据题意得到22212226c a a c a b c = +==+，再解方程组即可. （2）首先设出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点,B D 关于x 轴对称、,,A E D 三点共线得到()1,0E ，从而得到ABES = ，再利用换元法求解最值即可. 【小问1详解】由题知：2221222261c a a a c b a b c c == +=⇒ =+=， 所以椭圆22:143x y C += 【小问2详解】如图所示：设直线():40l x ty t =+≠，()()1122,,,A x y B x y . ()222243424360143x ty t y ty x y =+ ⇒+++= += . ()()2224434360t t ∆−+×>，解得24t >.1222434t y y t −+=+，1223634y y t =+. 因为点,B D 关于x 轴对称，所以()22,D x y −. 设()0,0E x ，因为,,A E D 三点共线，所以AE DE k k =. 即121020y y x x x x −=−−，即()()120210y x x y x x −=−−. 解得()()()12211212122101212124424y ty y ty ty y y y y x y x x y y y y y y ++++++===+++ 2364124t t×=−+=. 所以点()1,0E 为定点，3EM =.1212ABE AME BME S S S EM y y =−=⋅−=令0m =>，则()22181818163163443ABE m m S m m m m===≤++++△ 当且仅当163m m =，即m =时取等号. 所以ABE。
江苏决胜新高考2023届高三年级12月大联考数学试题含答案
决胜新高考——2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知z =i 为虚数单位，则z =A ．12B ．2CD2．已知向量a ，b 满足==+a b a b ，则a 与b 的夹角为A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π3．给定空间中的直线l 和平面α，“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面a 内无数条直线都垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件(110)k A k k ∈N ≤≤，表示“第k 位发言的是学生”，则A ．23()5P A =B ．123()25P A A =C ．1021(|)3P A A =D ．12(54)P A A +=江苏5．已知π1sin()cos 62αα-+=，则5πsin(2)6α+=A ．13B ．34C ．12D ．34-6．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为7．设3log 2a =，6log 4b =，3e log (2e)c =，则A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．a c b<<8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点11()A x y ，，22()B x y ，在椭圆22:12x C y +=上，且直线OA ，OB 的斜率之积为12-，则22221122x y x y -+-=A ．1B ．3C ．2D ．52二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州市泰兴市多校联考2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题
江苏省泰州市泰兴市多校联考2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题一、单选题1．已知集合{}2A =，{}3,1,2,5B =--，则A B = （）A ．{}3,1--B ．{}1,2-C ．{}2D ．{}3,1,2--2．已知复数z 的共轭复数是1i -，则复数2iz-在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()3,sin a θ= ，()5,1b =- ，若a，b 是共线向量，则cos2θ=（）A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（）倍．（精确到1）（参考数据：lg29.5 1.470≈，lg30.5 1.484≈，lg31.5 1.498≈，lg32.5 1.512≈）A ．29B ．30C ．31D ．325．在1和15之间插入m 个数，使得这2m +个数成等差数列．若这m 个数中第1个为a ，第m 个为b ，则125a b+的最小值是（）A ．54B ．2C ．94D ．36．已知函数()()21log 2,1,14,1a x x f x x a x ⎧+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上为单调函数，则函数值()2f 的取值范围是（）A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)1,4D ．[)2,57．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角ABC V 中，AD 为斜边BC 上的高，1AB =，AC =ABD △沿AD 翻折成AB D 'V ，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（）A ．5π2B ．5πC ．3πD ．13π48．已知函数()()e ln xf x m x m =--+，若()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m ≤C ．11m -≤≤D ．12m -≤≤二、多选题9．设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，下列命题正确的是（）A ．如果m α⊥，n ⊂α，那么m n ⊥．B ．如果αβ∥，m α⊂，那么m β ．C ．如果αβ⊥，m α⊂，n β⊂，m n ⊥，那么m β⊥．D ．如果m α⊂，n ⊂α，m β ，n β ，那么αβ∥．10．已知函数()f x 与()g x 及其导函数()f x '与()g x '的定义域均为R ，()f x 是偶函数，()g x 的图象关于点()1,0对称，则（）A ．()()31g g =--B ．()f x '是奇函数C ．()g x '是偶函数D ．()()2f g a f g a -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦'⎣'⎦11．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为π,,,3,3a b c a A ==，O 为ABC V 的外心，则（）A ．若ABC V 有两个解，则3c <<B ．OA BC ⋅的取值范围为[-C ．BA BC ⋅ 的最大值为9D ．若,B C 为平面上的定点，则A 三、填空题12．在ABC V 中，已知4a =，5b =，6c =，则ABC V 的面积是13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若372S =，6632S =，则12a =．14．已知(m =- ，(),n a b = ，0a >，0b <，则m nn⋅ 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()2f x x =-，()()221,0g x mx mx m m =-+∈≠R ．(1)若对任意x ∈R ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；(2)若对任意[]11,2x ∈，存在[]23,4x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，2AB =，AC BD O = ，⊥PO 底面ABCD，PO =E 在棱PD 上，且CE PD ⊥．(1)证明：//PB 平面ACE ；(2)求二面角D AC E --的大小．17．设函数()()sin 0f x x x ωωω=>．从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在．条件①：函数()f x 的图象经过点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；条件②：()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；条件③：π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心．(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)若()65f α=，ππ,122α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin2α的值．18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，2a 为1a 和5a 的等比中项，11121S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在正整数m ，()3n m n <<，使得31a ，1m a ，1na 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由；(3)求证：数列12123n i i S +=<∑.19．已知函数()22exx ax af x -+=，其中a ∈R ．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 是否存在极小值，若存在，请求出极小值；若不存在，请说明理由；(3)当ln4x ≤时，()()2f x f x ≥恒成立，求实数a 的值．。
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2007
届泰州师专附中高三数学
12
月份月考试卷
第I卷(选择题)
、选择题：共12小题每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选
x1 2 a
4.如果不等式组有解，则实数a的取值范围是()
x42a
A . ( — m,—1)u(3,+ m)
B . ( — m, —3)U( 1 , + m)
C. (- 1 , 3)
D. (-3, 1)
39, a3 a6 a927，则数列｛a.｝前9项的和S9等设集合M{x||x|2
2}, N {x|x3x 0}，贝y M n N( )
A.(,0] B . [-2, 0]C. [0, 2]D.(,2][3,)
一1—*■
已知向量
a(8,严(x,1)，其中x 1，若(2a b)// b，贝U x的值
为
( )
A. 0 B . 2C. 4D. 8
已知函数f(x) ax2x c，且f (x)0的解集为( (—2, 1)则函数y f(x)( ) 项是符合题目要求的，把正确的选项的代号涂在答题卡上
1
.
2
.
3
.
A. 66 B . 99 C . 144 D . 297
6.已知函数y sin3x在区间is上至少取得2个最大值，则正整数t的最小值( )
A. 8 B . 9 C . 10 D . 11
7.设函数f (x)x m ax的导函数f (x)2x
1，则数列
｛-
1
}( n N*)的前n项和于) 是
5.等差数列｛a n｝中，a1 a4 a?
&已知正数 —a x, y 满足2x y 1,且— x 1的最小值是9,则正数a 的值是
y
C . 4
9.函数 xln x 的单调递减区间是
(e
,e 1)
C . (0,e 1)
D . (e,
10. 函数y X
|log 1
2
|的定义域为 ［a,b ］，值域为［0, 2］
则b
a 的取小值是
11. 12. 在等比数列 {a n } 中, a 1 2，前n 项和为& ,若数列｛a n
1｝也是等比数列，则
S n 等
A . 2n 1
已知f(x)
3n C . 2n
3n — 1
2
a cos x
bsin xcosx
二、填空题：本大题有 后面的空格内• a 1
的最大值是，且f
2
-
4个小题，每小题 C .
13.已知x 、y 满足约束条件 彳，则f( 3)
14.若 sin(— )
-,且
4 13
0或」
4
(非选择题)
4分，共16分; 0
，则 z 2x
(0‘2)，则
将答案填写在第II 卷相应的题号
4y 的最小值为
cos( )
4
15.如图，函数y f (x)的图象在点P 处的切线方程是
y x 8，则 f(5)
f(5)= _________ .
16•有两个向量$ (1,0),e 2
(0,1)，令有动点P 从
P o ( 1,2)开始沿着与向量 e‘ e 2相同的方向作匀速直线运动，速度为
e 2 |；另一
动点Q 从Q o ( 2, 1)开始沿着与向量3舌 2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度为 |3e‘ 2e 2 |.设P 、Q 在时刻t=0秒时分别在P o 、Q o 处，则当PQ 丄F 0Q o 时，t= ________ 秒. 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤 .
17. (本题满分12分)
在△ ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、 c ,若 sin 2 B sin 2 C sin 2 A sin BsinC ，且 AC AB 4，求△ ABC 的面积 S
18. (本题满分12分)
(1)求向量a 与b 的夹角 (2 )求、 的值.
19. (本题满分12分)
已知函数y g(x)与
f (x) lo
g a (x1)(a 1)的图象关于原点对称
(1)写出y g(x)的解析式;
(2)若函数F(x) f(x) g(x) m 为奇函数，试确定实数 m 的值; (3)当x [0,1)时，总有f(x) g(x) n 成立，求实数n 的取值范围
已知
(0,
—),a (sin ,1 cos ),b (sin
—r.
—fr
cos ),且a b 3 cos
2
20. (本题满分12分)
某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的
3
—，设该企业裁员x人后纯收益为y万元.
4
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)当140<a w280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在
保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)
21. (本题满分12分)
2 x
已知f(x) (x ax a)e (a 2, x R).
(1 )当a=1时，求f (x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f (x)的极大值为3?若存在，求出a的值，若不存在，说明
理由.
22. (本题满分14分)
1 1
已知：f(x) ■ 4 —2，数列｛a n｝的前n项和为S n ,点P n(a n, )在曲线
V X a n 1 y f (x)上(n N*),且a1 1, a n 0.
(1)求数列｛a n｝的通项公式;
得数列｛b n｝是等差数列;
(3)求证：
1
〈24n 1 1,n N
(2)数列｛b n｝的前n项和为T n，且满足T
n 1
2
a n
T n
~2~
a
n 1
16n2 8n 3，设定b1的值，使。