2018高考复习数学第一轮 第39讲 数学归纳法(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

数学归纳法（2018年5月）
一、
知识要点
1、 数学归纳法是证明有关自然数命题的一种重要方法．
2、 数学归纳法证题的一般：
①证明当n 取对命题适用的第一个值0n 时，命题成立；
②假设),(0n n N k k n ≥∈=*时，命题成立；证明当1+=k n 时，命题也成立． 完成这两个步骤后就可断定结论对0n n ≥的一切正整数都成立．
二、 例题精讲
例1、用数学归纳法证明：
111111111234212122n n n n n
-
+-++-=+++-++ ．
例2、用数学归纳法证明：
2
*(1)(1)()22
n n n n N ++<+<∈
例3、是否存在常数a b c 、、，使对于一切正整数n ，不等式
()()()
222222421122n n n n n an bn c ⋅-+-++-=++ 恒成立？证明你的结论．
答案：存在．先用赋值法得11
,,044
a b c ==-=，再用数学归纳法证明即可．
例4、证明：()3171n
n +⋅-能被9整除()
*
n N ∈．
例5、由下列各式：
11,
21111,23
11111131,2345672111111
12,234131415>++>++++++>+++++++>
你能得到怎样的结论？证明你的结论． 答案：111123212
n n ++++>- ，用数学归纳法证明．
例6、已知数列{}n a 中，11a =，11n n
a c a +=-
． （1） 设52c =
，12
n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式； （2） 求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围．
答案：（1）14233n n b -=--；（2）102,3⎛⎤
⎥⎝⎦
．
*例7、已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且25a a 、是方程2
12270x x -+=的两根，
数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1
12
n n T b =-
． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
1
n
b 与1n S +的大小，说明理由． 答案：（1）21n a n =-，23n n
b =；（2）当3n ≤时，11n n S b +<；当4n ≥时，11
n n
S b +>．
三、
课堂练习
1、猜想11=，()1412-=-+，149123-+=++，……的第n 个式子为 答案：()
()
()1
1
21491112n n n n ++-+-+-=-++
2、观察下列各式运算结果：2
1，2
2
12+，222123++， ，猜想2222
123n +++ =．
答案：
()()
1216
n n n ++
3、楼梯共有n 级，每步只能上1级或2级，走完该n 级楼梯共有()f n 种不同的走法，则()()(),1,2f n f n f n --的关系为． 答案：()()()12f n f n f n =-+-
4、用数学归纳法证明11111111
1234212122n n n n n
-
+-++-=+++-++ *()n N ∈，则从k 到1k +时，左边所要添加的项是（ ）
A 、1
21k +
B 、
11
2224k k -
++
C 、1
21
k -+
D 、11
2122
k k -++ 答案：D
5、 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n
x y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应
写成（ ）
A 、假设*
21()n k k N =+∈正确，再推23n k =+正确
B 、假设*
21()n k k N =-∈正确，再推21n k =+正确
C 、假设*
()n k k N =∈正确，再推1n k =+正确
D 、假设(1)n k k =≥正确，再推2n k =+正确 答案：B
四、 课后作业 一、填空题
1、若()*111,122f n n N n n n =
+++∈++ ，那么()()1f k f k +-=． 答案：11
2122
n n -++ 2、用数学归纳法证明命题“1222n n n +≥++，*n N ∈”时，第一步的验证为． 答案：11
22
112+≥++
3、在利用数学归纳法证明等式()()()()*
1221321,n
n n n n n n N +++=⋅⋅⋅⋅-∈ 的过程中，从k 到1k +，右边需增乘的代数式是． 答案：()221n +
4、在用数学归纳法证明“当&
n N ∈时，2
211112n n +++能被133整除”时，当1
n k =+时，式子()()12
21111
12k k +++++可变形为．
答案：()
221
21111112
13312k k k +++++⨯ 5、用数学归纳法证明()
*1111,12321
n n n N n ++++<∈>- 且第一步即证不等式 成立． 答案：11
1223
+
+< 6、用数学归纳法证明“当*
2
3
51
,12222n n N -∈+++++ 时是31的倍数”时，从k
到1k +时需添加的项是． 答案：55152535422222k
k k k k ++++++++
二、选择题
7、用数学归纳法证明
()1
cos cos3cos 212
n ααα++++-= 2121
sin
cos 22sin n n ααα++()*,n n N απ≠∈验证1n =时，左边计算所得的项是（ ） A 、12 B 、1cos 2α+
C 、1cos cos32αα++
D 、1cos cos3cos52ααα+++
答案：B
8、用数学归纳法证明“()
*1111,12321
n n n N n +
+++<∈>- ”时，从k 到1k +不等式的左边增加的项数是（ ） A 、1 B 、2
C 、21k
-
D 、2k
答案：D
9、用数学归纳法证明121
*11(,1)1n n a a a a n N a a
++-++++=∈≠- ，在验证1n =成立时，左边所得的项为（ ） A 、 1
B 、1a +
C 、21a a ++
D 、231a a a +++
答案：C
三、解答题
10、用数学归纳法证明：()22
*389n n n N +--∈能被64整除．
11、是否存在常数,a b 使得等式()()2
22
1
12231112
n n n n ⋅+⋅+++=
+ ()2
10an
bn ++对一切正整数n 都成立？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理
由．
答案：3,11a b ==
12、设()111,3422
f n n n n =
++++++ 是否存在一个最大的自然数m ，使不等式()72
m f n >
对*
n N ∈恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m 的值，并证明． 答案：17m =。