最短距离型问题的建模方法
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。
这个问题可以通过数学建模来解决。
以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。
现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。
假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。
这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。
可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。
这个约束条件保证了路径长度的传递性。
即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。
数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。
这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例最短路径问题的算法分析及建模案例一.摘要 (3)二.网络最短路径问题的基础知识 (5)2.1有向图 (7)2.2连通性................... 错误！未定义书签。
2.3割集....................... 错误！未定义书签。
2.4最短路问题 (8)三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。
3.1最短路问题的提出 (9)3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。
3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。
3.5实例....................... 错误！未定义书签。
3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9)3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9)3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9)3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10)3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。
1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法思想有很大的区别错误！未定义书签。
Bellman-Ford算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的权值，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-Ford算法结束才确定下来。
...................... 错误！未定义书签。
2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法的限制.................. 错误！未定义书签。
3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。
摘要近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等诸多领域。
而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的一个典型例子。
数学建模最短路径问题
数学建模最短路径问题
在数学建模中，最短路径问题是一个经典的问题，它在很多领域都有应用，如交通规划、网络路由等。
最短路径问题是寻找从一个起点到一个目标点的路径，使得路径上的总权重（或代价）最小。
最短路径问题有多种算法可以解决，以下是其中两个常见的算法：
1. Dijkstra算法：
Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，即从一个起点到其他所有点的最短路径。
该算法的基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点，不断更新节点的最短路径和最短距离，直到到达目标节点或者所有节点都被遍历。
2. Floyd-Warshall算法：
Floyd-Warshall算法用于解决全源最短路径问题，即任意两个节点之间的最短路径。
该算法采用动态规划的思想，通过逐步迭代更新节点之间的最短路径，最终得到所有节点之间的最短路径。
无论是Dijkstra算法还是Floyd-Warshall算法，都需要给定一个图的表示方式和节点之间的权重信息。
图可以使用邻接矩阵或邻接表表示，节点之间的权重可以是距离、时间、代价等。
在实际应用中，最短路径问题可以根据具体情况进行调整和扩展，例如考虑节点的容量限制、路径的约束条件等。
数学建模最短路径模型
数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。
在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。
例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。
所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。
最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。
其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。
解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。
（2）定义一个集合S，将起点加入S中。
（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。
（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。
若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。
（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。
（6）输出起点到终点的最短路径长度。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。
（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。
（3）输出起点到终点的最短路径长度。
以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。
无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。
最短距离求解题技巧
最短距离求解题技巧最短距离求解问题是在计算机科学和运筹学中非常重要的一个问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括路径规划、网络优化、数据挖掘等。
在本文中，我将介绍一些求解最短距离问题的常用技巧。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种经典算法。
它通过逐步确定从源点到其他节点的最短路径，并使用一个优先级队列来选择下一个最近的节点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是节点数，E是边数。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的另一种经典算法。
与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理图中存在负权边的情况。
Bellman-Ford算法通过对所有边进行V-1轮的松弛操作来逐步确定最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是节点数，E是边数。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是求解全源最短路径问题的一种经典算法。
它通过动态规划的方式计算从任意两个节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是节点数。
Floyd-Warshall算法的优势是可以处理有向图或无向图中存在负权边的情况。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于求解从起点到终点的最短路径。
它综合使用节点距离和启发式函数来评估节点的优先级，以选择下一个节点进行扩展。
A*算法通常在路径规划和游戏AI中使用。
A*算法的时间复杂度取决于启发函数的复杂度。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是一种用于求解无向图的最短路径问题的算法。
它通过选择边来构建一个连通的生成树，使得树的权重和最小。
常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
数学建模--运输问题
运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
一、问题描述
假设从一座城市A出发，要到达另一座城市B，可以选择从A到B的6条路线中的一条，每条路线的里程数都不相同，试求出从A出发到B的最短路径。
二、数学模型
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，目标为： min z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)
s.t. {m1,m2,m3,m4,m5,m6>=0}
约束条件中：m1、m2、m3、m4、m5、m6>=0，表示每条路线的里程数都不小于0，即每条路线至少要有一定里程才能到达终点B。
三、求解方法
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，可将求解最短路径的问题转换为求解极值问题，即求解最优解
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)的极小值问题，可采用贪心算法求解。
具体步骤如下：
（1）从6条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m1；
（2）再从剩下的5条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m2；
（3）依次类推，从剩余的4条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m3；
（4）直到把所有的6条路线挑选完毕，最后求出最短路径，即
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)。
四、结论
根据以上步骤，可以求得从一座城市A出发，到另一座城市B的最短路径。
最短路径最少费用数学建模论文
摘要现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务，针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证，得出如下结果：问题1：根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市，及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图，采用了求这个图最小生成树的方法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正，然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证，结果相吻合。
最终得到如下路线：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。
〔最短时间为61小时〕问题2：由于题中有货物重量与体积限制，货机一次最多只能载50件产品，考虑19个城市的总需求为114，这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果为：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。
〔总的时间为71.77777〕〔其中红色表示只路过不送货〕问题3：要求问题1，2的花费最少，只需对前两个模型做进一步优化即可，经过优化计算我们得到如下结果：问题1的最少花费为584250〔元〕，路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京问题2的最少花费为711750〔元〕，线路如下：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。
数学建模最短路径问题模型
数学建模最短路径问题模型数学建模是利用数学方法和技巧解决实际问题的过程。
最短路径问题是指在图中找到一个节点到另一个节点的最短路径。
这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如导航系统、物流运输等。
最短路径问题可以使用多种方法来解决，其中最常见的方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带非负边权的单源最短路径问题。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化，将源节点到其他节点的距离都设为正无穷，将源节点到自身的距离设为0。
2. 选择一个当前节点，将其加入已确定最短路径的节点集合。
3. 对于当前节点的邻居节点，更新其到源节点的距离，如果通过当前节点的距离更短，则更新最短距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都加入已确定最短路径的节点集合。
5. 返回从源节点到其他节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点对之间的最短路径问题。
它的基本思想是通过逐步迭代来更新节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化，将节点之间的距离设为正无穷，将每个节点到自身的距离设为0。
2. 对于每一对节点(i, j)，判断从节点i到节点j是否存在经过其他节点的更短路径，如果存在则更新最短距离。
3. 重复步骤2，直到所有节点之间的最短路径都被求出。
4. 返回任意两个节点之间的最短路径。
除了以上两种算法，还有其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法和A*算法等。
这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体情况选择合适的算法。
此外，最短路径问题还可以使用线性规划、整数规划和动态规划等数学建模方法来解决。
这些方法可以将问题转化为数学模型，通过求解模型得到最优解。
对于复杂的最短路径问题，可以将其转化为有向图或无向图来进行建模。
最短路径求最值12个模型详解
最短路径求最值12个模型详解最短路径求最值是指要在最小的距离内求出最优的结果。
最短路径求最值的12个模型如下：1. 旅行商问题（TSP）：旅行商问题是求解对给定城市进行最佳巡回路径的一种最优化问题。
2. 最大流最小割：最大流最小割是一种最优化问题，它是用最小的割点将一个连通图分割成两部分，使得最大的流量在这两部分之间流动的最优化问题。
3. 关键路径算法：关键路径算法是一种运用于解决项目计划问题的最优化算法，它寻找出在所有可能路径中，最短的项目路径作为最终的项目安排。
4. 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是一种最短路径搜索算法，它通过控制向图中每个点的距离，来求出从指定点出发到达目的地最短的距离。
5. 弗洛伊德算法：弗洛伊德算法是一种求解最短路径的算法，通过使用动态规划的方法，它可以在网络中快速求出最短路径。
6. 贝尔曼-福德算法：贝尔曼-福德算法是一种求解最短路径的算法，它利用宽度优先和深度优先搜索结合的方法，求出网络中任意两点之间的最短路径。
7. 克鲁斯卡尔算法：克鲁斯卡尔算法是一种解决最短路径问题的算法，它通过比较每条边的权值来求解8.斐波那契堆：斐波那契堆是一种运用斐波那契算法实现最小堆和最大堆结构的数据结构，可以帮助快速查找最大和最小值。
9. A*算法：A*算法是一种运用heuristics函数的最优化搜索算法，它可以快速的找到最短的路径。
10. Dijkstra–Scholten算法：Dijkstra–Scholten算法是一种在复杂网络环境中求解最短路径的算法，它采用端到端的方法求出最适合的路径。
11. Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种最短路径算法，它将路径最优化的目标写成一个系统的线性方程，并利用动态规划技术解决这类问题。
12. Johnson算法：Johnson算法是一种运用反向算法实现最短路径搜索的方法，它由索引器和搜索器两部分组成，索引器会根据输入的起点和终点，快速计算出最短路径并输出。
经典最短路径问题-数学建模
9 62
5 10 11
8
8
3 99
7 2 10
2
5
最短路径算法
Dijkstra算法
使用范围:
2
8 177
8
8
3354
5
61 1
9 9
6 2 5 12 11
3
9
7 2
10
0 2
1) 寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径;
2) 有向图、无向图和混合图;
3) 权非负.
算法思路：
采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这颗树上每 个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径.
for i=1:n
① ins=0;
for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1;
min=label(terminal);
path(1)=terminal;
i=1;
while path(i)~=start
path(i+1)=f(path(i));
i=i+1 ; end
③
path(i)=start;
②
ins=0;
for j=1:length(s)
if i==s(j)
ins=1;
end, end
if ins==0
v=i;
if k>label(v)
k=label(v); v1=v;
end, end, end
s(length(s)+1)=v1;
u=v1;
end
最短路径算法
Dijkstra算法程序的使用说明：
[D, path]=floyd(a)
【初中数学】最短路径模型及例题解析
【初中数学】最短路径模型及例题解析一、最短路径模型简介在日常生活中，我们常常会遇到寻找从一个地点到另一个地点的最短路径问题。
例如，从家到学校、从甲地到乙地等。
在数学领域，最短路径问题属于图论的研究范畴，是图论中的一个基本问题。
最短路径模型就是用来解决这类问题的一种数学方法。
最短路径模型主要包括以下几个要素：1. 图：由顶点（地点）和边（路径）组成的集合。
2. 距离：表示两个顶点之间的距离或权重。
3. 路径：从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列。
4. 最短路径：在所有路径中，长度最小的路径。
二、最短路径模型的求解方法1. 枚举法：枚举所有可能的路径，然后从中选择长度最小的路径。
这种方法适用于顶点数量较少的简单图。
2. Dijkstra算法：适用于带权重的有向图，通过逐步求解，找到从源点到其他所有顶点的最短路径。
3. Floyd算法：适用于求解任意两个顶点之间的最短路径，通过动态规划的方法，求解所有顶点对之间的最短路径。
三、例题解析【例题1】某城市有6个主要交通枢纽，分别用A、B、C、D、E、F表示。
下面是这6个交通枢纽之间的距离表（单位：千米）：```A B C D E FA 0 5 7 8 9 10B 5 0 6 7 8 9C 7 6 0 4 5 6D 8 7 4 0 3 4E 9 8 5 3 0 2F 10 9 6 4 2 0```求从A到F的最短路径。
【解析】这是一个典型的最短路径问题，我们可以使用Dijkstra算法求解。
1. 初始化：将所有顶点的距离设置为无穷大，源点A的距离设置为0。
2. 选取距离最小的顶点，标记为已访问。
此时，A为已访问顶点。
3. 更新相邻顶点的距离：从A出发，更新B、C、D、E、F的距离。
此时，B、C、D、E、F的距离分别为5、7、8、9、10。
4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。
最后得到的最短路径为A→B→E→F，长度为14千米。
【例题2】某城市有5个公园，分别用P1、P2、P3、P4、P5表示。
数学建模最短路径问题
数学建模最短路径问题
在数学建模中，求解最短路径问题是一个经典的问题。
在一个有向、加权图中，最短路径指的是从起点到终点路径上的各边权值之和最小的路径。
下面介绍两种常用的最短路径求解方法：
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种基于贪心策略的单源最短路径算法。
它的基本思想是从起点开始，不断扩展到其他结点，每次选择当前路径中距离最小的结点进行扩展。
具体步骤如下：
初始化距离数组dist[]为正无穷，起点距离设为0；
将起点加入集合S；
重复以下过程，直到所有结点都被加入集合S：
在非S中的结点中选择距离起点最近的结点w，并将它加入集合S；
对S中结点可以直接到达的结点v，更新它们的距离dist[v]为min{dist[v], dist[w]+边(w,v)的权值}。
Floyd算法
Floyd算法是一种多源最短路径算法，它通过动态规划的方式求解任意两个结点之间的最短路径。
具体步骤如下：
初始化距离矩阵D，如果结点i和结点j有边相连，则D[i,j]为边的权值，否则为正无穷；
三重循环求解任意两个结点之间的最短路径：
对于每对结点i和结点j，考虑是否经过中间结点k可以获得更短的路径。
即D[i,j] = min{D[i,j], D[i,k]+D[k,j]}。
最后得到的距离矩阵D即为任意两个结点之间的最短路径长度。
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是数学建模中一个经典的问题，它在实际生活中有很多应用，例如网络传输、交通规划、物流配送等等。
下面我们以交通规划为例，来详细解析最短路径问题的数学建模过程。
问题描述：假设有一座城市，城市中有多个地点（称为节点），这些节点之间有道路相连。
我们希望找到两个节点之间的最短路径，即耗费时间最短的路径。
数学建模：1. 数据准备：a. 用图的方式表示这座城市和道路连接关系。
我们可以用一个有向图来表示，其中各个节点代表不同的地点，边表示道路，边的权重表示通过该道路所需的时间。
b. 节点间道路的时间数据。
这是一个关键的数据，可以通过实地调研或者其他数据收集手段获取，或者通过模拟生成。
2. 建立数学模型：a. 定义问题中的主要变量和约束条件。
- 变量：选择经过的边，即路径（也可以看作是边的集合）。
- 约束条件：路径必须是从起始节点到目标节点的有向路径，不允许重复经过节点。
b. 建立目标函数。
我们的目标是最小化路径上的时间，所以目标函数可以定义为路径上各边的权重之和。
c. 建立约束条件。
- 定义起始节点和目标节点。
- 定义路径必须从起始节点出发，到目标节点结束。
- 定义路径不能重复经过同一节点。
3. 解决模型：a. 利用最短路径算法求解，比如在有向图中，可以用Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法等。
4. 结果分析和验证：找到了最短路径后，我们可以对结果进行分析，比如查看路径上的具体节点和道路，以及路径的耗时。
我们还可以按照实际情况进行验证，比如通过实地考察或者其他数据对比来验证求解得到的路径是否合理。
总结：最短路径问题是一个常见的数学建模问题，在实际应用中有着广泛的应用。
通过数学建模，我们可以准确刻画问题，用数学方法求解，得到最优的结果。
在实际解决问题过程中，还需要对结果进行分析和验证，以保证结果的合理性和可行性。
“两点之间,线段最短”的建模应用浅探
ＭＮ＝ Ｂ Ⅳ。‘ ． ‘ 点Ｂ 与点 曰关 于 Ａ Ｄ对 称 ’ ． ． ． Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｂ＝ ４ ， 又‘ ． ‘ Ｚ ＿ Ｂ Ａ Ｃ＝ ４ ５ 。 。． ‘ ． Ａ Ｂ Ａ Ｎ是 等 腰 直 角三 角 形 ， 易求 Ｂ ｜ ７ ＼ ｒ ＝ ４ ， 即Ｂ Ｍ ＋ Ｍ Ｎ的最小值为 ４ 。 三、 求最小 周长 中的 建模 用 饮 马问题 模型 解决最 小周 长 问题 ， 只要 将 最小 线 段 和加 上 定值线段的长度即可。 例： （ ２ ０ １ ０年三亚 市月 考题 ） 如图５ ， 抛 物线 ） ， ＝ ＋如 ＋ ｃ ， 交 轴于 Ａ 、 曰两点 ， 交， ， 轴 于点 Ｃ ， 对称 轴为直 线 ＝１ ， 已知 ： Ａ （一 Ｚ ， Ｏ ） 、 ｃ （ ｏ ， 一 ３ ） 。（ １ ） 求抛物线 ， ， ＝ ＋ｂ ｘ＋ｃ的解析式 ； （ ２ ） 求
２ ０ １ ３ 年第 １ Ｏ 期
“ 两点 之 间 ， 线段最短 ＂ 的 建模 应 用 浅探
王 文 强
（ 徐 州市新城 实验 学校 ， 江苏
摘
徐州
２ ２ １ １ １ １ ）
要： 《 课 标》 指 出： “ 数 学教 学活动 ， 特 别是课 堂教 学应 激发 学生兴趣 ， 调动 学生积极 性 ， 引发 学 生的数 学思 考 ， 鼓 励 学 生 的创 造
两点之间线段最短的建模应用浅探两点之间线段最短两点之间线段最短对吗两点间线段最短证明两点之间线段最短两点之间线段最短ppt点到线段的最短距离如图cd两点把线段线段最短问题线段ab上有两点mn
语数外 学 习
Ｎ ｏ ． １ ０ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
图１
图２
我 们知 道 ， 在 河边 饮 马 的地点 可 以有很 多处 ， 我 们在 河边 Ｍ Ｎ任选两个点 ， 然后把这两个点与 Ａ 、 口分别连接起来 ， 这样就构 成 了两 条线 段 ， 这 两条 线段 之 和就 是从 地 到饮 马 地点 ， 再 回到 占 地 的路 程之 和 。 但是， 问题的关键不在这里 ， 而是如何确定使两条线段长度 之和为最短的那个点。如图 ２ ， 我们可以尝试在图上过 点作河 ＡＡ Ｏ Ｃ和Ｚ Ｘ Ｂ Ｏ Ｃ的面积比； （ ３ ） 在对称轴上是否存在一个 Ｐ点， 使 边 ＭＮ的垂 线 ， 垂 足为 ｃ ， 延长Ｂ Ｃ到 曰 ， 口 是 曰地关 于河边 ＭＮ的 Ａ Ｐ Ａ Ｃ的周 长最 小？若 存在 ， 请 你求 出点 Ｐ的坐 标 ； 若 不存 在 ， 请 对 称点 ； 再 连结 Ａ Ｂ ， 交河 边 ＭＮ 于 Ｐ， 那么 Ｐ点就 是将 军所 要求 的 你 说 明理 由。 饮 马地 点 ， 即在 Ｐ点 饮 马所 走 的路程 最短 。 为什 么在 Ｐ点 饮马所 走 的路 程最 短 呢？如 图 ２ ， 因为 ＝ Ｂ Ｐ ， Ａ Ｐ与 Ｂ Ｐ的长度之和就是 Ａ Ｐ与 Ｐ Ｂ 的长度之和， 即是 Ａ Ｂ 的长 度； 而选 择河 边 ＭＮ 的任 何 其 他 点 ， 如 Ｄ， 路程Ａ Ｄ＋ Ｄ Ｂ＝Ａ Ｄ＋ Ｄ Ｂ ， 由于Ａ 、 曰 两点的连线中， 线段 肋 是最短的（ 两点之间， 线段 最短 ） ， 所 以选择 ． Ｐ 点 饮 马路程 要短 于选 择 Ｄ点 的路 程 。 “ 将军 饮马 问题 ” 反映 了数 学 中 的对 称性 问题 ， 据 此我 们 可 以 总结出这样的规律 ： 定直线 工两旁有两个定点 仰 ， 在直线 上存 在动 点 Ｐ， 若要 使得 Ｐ Ａ＋ Ｐ Ｂ的值最 小 ， 可作 定点 关 于直 线 ￡的 对称点 Ａ ， 连接 Ａ Ｂ ， 则Ａ Ｂ 与直 线 工的交 点 即为 Ｐ， 且Ｐ Ａ＋ Ｐ 曰的 最小值为 Ａ Ｂ 。我们可以应用上述规律来建模。
数学建模中的节约里程法
•
配送路线合理与否对配送速度、车辆的合理
利用和配送费用都有直接影响,因此配送路线的优
化问题是配送工作的主要问题之一。采用科学的
合理的方法制定配送路线,是配送活动中非常重要
的一项工作。
第三节 物流配送组织
• 直送式配送运输，是指—个供地点别一个客户的 专门送货。从物流优化的角度看，直送式客户的 基本条件是其需求量接近于或大于可用车辆的额 定载质量，需专门派一辆或多辆车一次或多次送 货。因此．直送情况下，货物的配送要求是多装 快跑，选择最短配送线路，以节约时间、费用， 提高配送效率。即直送问题的物流优化，主要是 寻找物流网络中的最短线路问题。
(0.9)
C
4
5
(1.2)
D
6
(1.6) E
7 9
(1.1) F
10 10
14
G
(0.9)
7
4 5
B (0.5)
6
8
5
11
5
A (1.7)
P
6
3
4
I (0.6)
5
7 12
H
(0.9)
• 计算配送中心至各用户以及各用户之 间的最短距离，列表得最短距离表：
PA HI
P
11
A8 7
B C 13 6
D 18 11
5—10
22
21
1—3
21
22
11—12
19
23
4—5
19
24
4—6
19
25
1—4
18
26
3—5
18
27
12—13
18
28
数学建模分组最短路径问题
数学建模分组最短路径问题
数学建模分组最短路径问题是一个经典的优化问题，其目标是找到一组路径，使得从起点到终点的总路径长度最短。
问题的输入包括起点、终点，以及中间的节点和与节点相关的边的信息。
每个节点都有一个特定的成本值，表示从一个节点到另一个节点的移动成本或距离。
解决这个问题的一种常见方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。
这些算法可以计算出从起点到任意节点的最短路径，然后可以根据问题的要求构建出一组最短路径。
在分组最短路径问题中，还需要考虑每个路径的长度限制。
可以通过修改Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法来考虑这个限制。
一种方法是在计算最短路径时，将路径长度作为一个约束条件来考虑，只有在路径长度不超过限制时才选择该路径。
此外，还可以使用数学规划方法来解决分组最短路径问题。
可以将问题建模为一个线性规划模型，并使用线性规划求解器来求解最优解。
在这种方法中，可以定义一组决策变量来表示每条路径的选择与否，并将路径长度和路径长度限制作为约束条件。
总而言之，数学建模分组最短路径问题涉及到图论、算法和数学规划等多个领域，可以通过适当的算法和数学工具来求解最优解。
也谈“两点之间线段最短”的建模应用
的数学基础知 识和基本技 能 ， 另一 方面是为 了培养学 生的思维 上各 取一 点 Ｍ、 Ｎ使 Ｂ Ｍ＋ ＭＮ的值最小 ， 求这个最小值 。 解析 ： 寻 找模 型 ： 此题 中只有一个定点 Ｂ 一动点 Ｍ在定直
较， 后者更为重要 。 《 义务教育数学课程标 准（ ２ ０ １ １ 年版 ） 》 指出： 线Ａ Ｃ上 ， 所 以可 作 Ｂ关 于 Ａ Ｃ的对称 点 过 Ｂ ｔ 作Ｂ ’ Ｎ上Ａ Ｂ
。
． ．
籍
Ｎ
。
调 数学学 习的实践 性和科学 性。我们要切 实搞好这些 活动 ， 提 Ｂ Ｍ＋ Ｍ Ｎ的最 小值 为、 ／ 丁。 高 学生“ 生活数学 ” 的意识 。我们 很多人都 知道 ， 在数学上 有一 Ｂ 个 著名 的 “ 将军 饮马 问题 ” ： 古 希腊有 一位 聪明 的学者 ， 一 位将到河边饮 马 ， 然后再
回到 Ｂ地 ， 怎么走路线 最短？ 如何确定 饮马 的地 点？ 答案 只有一 个： 两点之 间 ， 线段最短 。但是 ， 在这个 问题 中 ， 马走的是一条折 线， 这又该怎 么办呢？
Ｂ
’ Ａ Ｍ
— —
三
Ｂ
Ｂ
Ｎ
（ 图３ ）
（ 图４ ）
三、 在 代 数 中建 模
Ｍ
例３ ： 求代 数式Ｖ［ （ ｘ ‘ ＋ １ ） 】＋ Ｖ【 （ ４ 一 ｘ ） ‘ ＋ ４ 】（ Ｏ ≤ｘ ≤４ ） 的最
Ａ Ｅ Ｂ
，— — — ——— 一
ｒ—— ——
——一
Ｂ
小值 。
， — — — —— 一 ｒ —— ・— — ’ｒ — 一
能够很好 地培养学 生探究 问题 能 将军饮 马问题反映数学 中的对称性 问题 ， 由此我 们可抽象 模 。通过 以上 各种建模 活动 ， 力 ， 提高他们学 习数学的兴趣 ， 达到《 课 标》 提出的“ 引导学 生独 出数学模 型 ： 定直 线 Ｌ 两旁 有两个定点 Ａ Ｂ ， 在直线 Ｌ上存在动
最短距离型问题的建模方法
最短距离型问题的建模方法生活中经常会涉及到许多最优化的数学应用问题，实践上升为理论就需建立正确的数学模型进行求解。
求最短距离是初中数学应用中最赏见的数学建模问题，很具有代表性。
以下是我积累的一些教学资源，仅供参考。
1、 两点之间，线段最短。
（1）举一生活中实例：A 、B 两村在河的两侧，要修一供水管道为两村供水，问河的何处修建水泵站，可使铺设的管道长度最少？教师引导建立何种数学模型是这一问题解决的关键。
平面几何中我们把两村庄作为点A 、B ，河看作是一条直线l ，连结AB 与直线交于点P ，点P 就是所求的水泵站修建位置。
（2）往下推广，如果点A 、B 在河l 的同侧，如何确定水泵站修建位置呢？学习完轴对称变换之后，我们可把图2转化为图1的情形来解决。
（3）继续往下推广，初中人教版教材书中有几个这样的习题，如原一条河改为两条河，打台球中如何击中球的设计问题等，都可类似这样去转化解决。
2、不在一线上的三个村庄集中打一眼井修建水塔提供自来水，这眼井打在何处可使铺设通往三个村庄的自来水主管道长度最少？教师引导学生建立数模时，可化归为：不在同一直线上的三个点之间，如何确定一点到这三点的距离之和最短。
这就是著名的费尔马问题。
（1）三个点连结可构成一等边三角形，不难引导学生发现要求的点P 是这一等边三角形的中心。
（2）从∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，猜想点P 是锐角三角形内部一点，与三顶点所成张角为120°时，就是所求点。
（3）把三角形ABC 变为直角三角形及钝角三角形，情形又是怎么样的结果？3、一只蚂蚁从20×30×40规格纸箱的一角A 处到C ’处取食,求它走的最短路线的长度?教师可放开，让学生自我设计，再分组讨论，集思广益，是一很好的化立体几何问题为平面几何求最短距离的数学建模问题。
学生可得出不同的答案，如下图： l l以上两个问题以生活中实例为契机，建立一种求最短距离数学问题，其中不乏用到了轴对称、旋转、展开等几何变换，解决过程中很好的体现了数学来源于生活，又应用于生活的建模思想。
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最短距离型问题的建模方法
生活中经常会涉及到许多最优化的数学应用问题，实践上升为理论就需建立正确的数学模型进行求解。
求最短距离是初中数学应用中最赏见的数学建模问题，很具有代表性。
以下是我积累的一些教学资源，仅供参考。
1、 两点之间，线段最短。
（1）举一生活中实例：A 、B 两村在河的两侧，要修一供水管道为两村供水，问河的何处修建水泵站，可使铺设的管道长度最少？
教师引导建立何种数学模型是这一问题解决的关键。
平面几何中我们把两村庄作为点A 、B ，河看作是一条直线l ，连结AB 与直线交于点P ，点P 就是所求的水泵站修建位置。
（2）往下推广，如果点A 、B 在河l 的同侧，如何确定水泵站修建位置呢？
学习完轴对称变换之后，我们可把图2转化为图1的情形来解决。
（3）继续往下推广，初中人教版教材书中有几个这样的习题，如原一条河改为两条河，打台球中如何击中球的设计问题等，都可类似这样去转化解决。
2、不在一线上的三个村庄集中打一眼井修建水塔提供自来水，这眼井
打在何处可使铺设通往三个村庄的自来水主管道长度最少？
教师引导学生建立数模时，可化归为：不在同一直线上的三个点
之间，如何确定一点到这三点的距离之和最短。
这就是著名的费尔马
问题。
（1）三个点连结可构成一等边三角形，不难引导学生发现要求
的点P 是这一等边三角形的中心。
（2）从∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，猜想点P 是锐角三角形
内部一点，与三顶点所成张角为120°时，就是所求点。
（3）把三角形ABC 变为直角三角形及钝角三角形，情形又是怎么样的结果？
3、一只蚂蚁从20×30×40规格纸箱的一角A 处到C ’处取食,求它走
的最短路线的长度?
教师可放开，让学生自我设计，再分组讨论，集思广益，是一很好
的化立体几何问题为平面几何求最短距离的数学建模问题。
学生可
得出不同的答案，如下图： l A B l A B A B
C
以上两个问题以生活中实例为契机，建立一种求最短距离数学问题，其中不乏用到了轴对称、旋转、展开等几何变换，解决过程中很好的体现了数学来源于生活，又应用于生活的建模思想。
包头铁路第二中学
2011-1-26。