_基尔霍夫定律

§10-4 含源电路欧姆定律 *基尔霍夫定律1. 一段含源电路的欧姆定律如果研究的电路中包含电源，则在欧姆定律中应包含非静电场强，即将欧姆定律的微分形式推广为)(k E E ���+=γδA BCRi R ,εI即kE E ���−=γδA BCRi R ,εI 电源放电电源充电积分得∫⋅B A l E ��d l E l B Ak B A ����d d ⋅−⋅=∫∫γδ欧 姆A BC RiR ,εI A BCRi R ,εI 电源放电电源充电∫⋅BA l E ��d lE l l B A k B C C A ������∫∫∫⋅−⋅+⋅=d d d γδγδ 电源放电时，电流密度与积分方向相反；电源充电时，电流密度与积分方向相同，且BA BA V V l E −=⋅∫��d ε−=⋅=⋅∫∫l E l E C A k B A k ����d d SI =δ代入上式，则一段含源电路的欧姆定律εγγ++=−∫∫)d d (B C C A B A SlI S l I V V ∓∫⋅BA l E ��d l E l lB A kB C C A ������∫∫∫⋅−⋅+⋅=d d d γδγδε++=−)(i B A IR IR V V ∓A BCRi R ,εI A BCRi R ,εI 电源放电电源充电电流与电动势方向相同时，取负号，反之取正号。

上式称为一段含源电路的欧姆定律。

一段含源电路的欧姆定律•若I =0，则i B A IR V V −=−ε电源放电，端电压低于电动势。

iB A IR V V +=−ε电源充电，端电压高于电动势。

•若R =0，则ε=−B A V V 电路断开，端电压等于电动势。

•若AB 接在一起，形成闭合电路，则ABRiR ,εIiR R I +=εiR R +总电阻 闭合电路中的电流等于电源的电动势与总电阻之比。

一段含源电路的欧姆定律•一段含多个电源的电路的欧姆定律ABC 2R 22,i R ε1I 1R 3R 2I 3I 11,i R ε33,i R ε∑∑−=−εIR V V B A 正负号选取规则：任意选取线积分路径方向，写出初末两端点的电势差；电流的方向与积分路径方向相同，电流取正号，反之为负；电动势指向与积分路径同向，电动势取正号，反之为负。

一段含源电路的欧姆定律例题10-2 在图所示的电路中，已知电池A电动势εA=24V，内电阻RiA=2Ω，电池B电动势εB=12V，内电阻RiB=1Ω，外电阻R=3Ω。

试计算IR B3421I IA（1）电路中的电流；（2）电池A的端电压U12；（3）电池B的端电压U34；（4）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率；（5）输入电池B的功率及转变为化学能的功率；（6）电阻R所产生的热功率。

A A R R R I iB iA B A 21231224=++−=+=＋－εε（2）设所选定的积分路径自1经过电池A 而到2，应用一段含源电路的欧姆定律得电流的指向如图中箭头所示的方向。

解： （1）应用闭合电路的欧姆定律得VV IR V V U 20)24(222112=−−×−=−==∑∑ε－IR B 3421IIA计算结果表示1处的电势V 1高于2处的电势V 2 。

现在再从1342这一积分路径来计算1、2之间的电势差。

得()VV IR V V U 20)12(1322112=−−+×−=−==∑∑ε－所得结果与前相同。

IRB 3421IIAVV IR V V U 14)12(124334=−−×−=−==∑∑ε－（3）设所选定的积分顺序方向自3经过电池B 而到4，仍应用一段含源电路的欧姆定律得（4）由电动势的定义可知，当电源中通有电流I 时，电源作功的功率为IRB 3421IIA电池A 所消耗的化学能功率P 1=I εA =2×24W =48W ，而其输出功率P 2=I U 12=2×20W=40W ，消耗于内阻的功率P 3=I 2R iA =4×2W =8W 。

P 3等于P 1减去P 2。

Idtdq dt dAP εε===IRB 3421IIAIR B3421I IA（6）电阻R上的热功率P7=I 2R=4×3W=12W。

（5）输入电池B的功率P4=I U34=14×2W=28W，其中变化为化学能的功率P5=IεB=12×2W=24W，消耗于内阻的功率P5= P4 - P5 =I 2R iB=4W。

最后应当指出：按能量守恒定律，电池A所消耗的化学能功率，应等于电池B中转变为化学能的功率以及消耗在外电阻和两电池内电阻上的热功率。

一段含源电路的欧姆定律2. 基尔霍夫(G.R.G.R.Kirchhoff Kirchhoff Kirchhoff))定律复杂电路：不能化解为等效的电阻串、并联电路的组合，含有较复杂的分支和节点的电路。

复杂电路的基本方程：基尔霍夫定律。

A BC2R 22,i R ε1I 1R 3R 2I 3I 11,i R ε33,i R ε33,i R ε44,i R ε4R D基尔霍夫（1）基尔霍夫第一定律A BC2R 22,i R ε1I 1R 3R 2I 3I 11,i R ε33,i R ε44,i R ε4R D节点：三条或三条以上通电导线的会合点。

基尔霍夫第一定律：在任一节点处，流向节点的电流和流出节点的电流的代数和等于零。

∑=0I（2）基尔霍夫第二定律A BC2R 22,i R ε1I 1R 3R 2I 3I 11,i R ε33,i R ε44,i R ε4R D基尔霍夫第二定律：沿任一闭合回路中电动势的代数和等于回路中电阻上电势降落的代数和。

∑∑=IRε应用基尔霍夫定律时的注意事项：（1）如果电路中有n个节点，那么只有(n-1)个相互独立的节点电流方程。

（2）新选定的回路中，至少应有一段电路是已选回路中未曾出现过的。

（3）独立方程的个数应等于未知数的个数。

（4）每一电路上电流的方向可以任意假定，解出的结果若为负，则说明电流的方向与假定的相反。

3. 基尔霍夫方程组的应用（1）惠斯通电桥ABCADR1IRR2I3IiR,εxRD4I5IDCRKIGABCADR 1I RR 2I 3I iR ,εxR D4I 5I DCR KIG应用第一定律，得节点方程组节点A 021=−+I I I 节点B 0153=−+I I I 节点D254=−−I I IABCADR 1I RR 2I 3I iR ,εxR D4I 5I DCR KIG应用第二定律，得回路方程组回路ADCKA ：)(42R R I R I R I i DC AD +++=ε回路ABGDA ：AD G x R I R I R I 2510−+=回路BCDGB ：GCD R I R I R I 54030−−=解上面六个方程组成的方程组，可以得到各电流。

ABCADR 1I RR 2I 3I iR ,εxR D4I 5I DCR KIG实验时，调节D 的位置，使G 中电流为零，电桥平衡，此时D 移动至O 的位置。

4231,I I I I ==AO x R I R I 21=OCR I R I 201=代入回路方程得OCAOx R R R R 0=（2）电势差计电势差计是测量未知电动势的一种装置，通常也叫电位差计或电位计。

ABCR1I EI ′I 0εDR ′KIGix R ,ε节点A ：00I I I −′+=回路ABCDA ：RI IR IR G i x ′−+=−ε则G i x R R R R I I ++−=ε0平衡时，I =0，则RI x 0=ε比较法测量未知电动势ABCR1I EI ′I 0εDR ′KIGix R ,ε 接入待测电动势时，平衡时电阻为R x ；在完全不加变动的线路中，用标准电动势代替未知电动势，平衡时电阻为R S ，则有x x R I 0=εss R I 0=ε则有sxsx R R εε=例题10-3 图表示把两个无内阻的直流电源并联起来给一个负载供电，设已知电源的电动势以及各个电阻，试求每一电源所供给的电流I 1以I 2及通过负载的电流I 。

R 1BAR 2RI 1I 2I123ε1ε221=−I I I －解： 利用基尔霍夫定律来解这个问题时，可先根据基尔霍夫第一定律（节点定律）列出电流方程，对节点A ：R 1BAR 2RI 1I 2I123ε1ε2由于这电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出一个独立的方程，由此对节点B 没有必要再列方程式了。

为了求出各未知电流，还需要两个方程，这两个方程必须利用基尔霍夫第二定律（回路定律）列出，221121R I R I －=−εεIRR I +=222ε对这三个联立方程求解对回路B2A3B ：R R R R R R R R R I 21212121)(++−+=εεR 1BAR 2RI 1I 2I123ε1ε2RR R R R R R R R I 21212112)(++−+=εεRR R R R R R R I 212121123+++=εε对回路B1A2B ：ee R R R R R R R R R R R I +=++++=εεε2121212112我们可以把式（6）改写为如下形式其中eee e R R R R R R R +++=εεεε＝，212112 表明图中的负载R 就象是连接在一个电动势为εe和内阻为R e 的电源上一样。

换句话说，对于负载R 来说，图中的两个并联电源可以用一个“等效电源”来代替。

如图所示，等效电动势和等效内阻的公式如上所示。

不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电源来代替，在分析多回路电路中某一分支电路的电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个等效电动势和一个等效内阻来代替，这就是所谓的等效电源原理。

R1 R2 R ε1ε2R eRεe再以具体的数值来讨论：（1）设已知， ε1=220V ， ε2=200V ， R 1=R 2 =10Ω, R =45 Ω，则算出各电流分别为AA I 1.11000110045104510101022045200)4510(2==×+×+××−×+=AA I 1.31000310045104510101020045220)4510(1==×+×+××−×+=AA I 2.41000420045104510101020010220103==×+×+××+×=这三个电流都是正的，表明图中所假定的电流方向与实际的电流方向一致，这时两电源都向负载供电。