初三数学重难点专题：二次函数的综合专题(word答案版

例题精讲
例 1、如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 交 y 轴于点 A，并经过 B（4，4）和 C（6，0）两点，点 D 的坐标为（4，0），
连接 AD，BC，点 E 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 AD 向点 D 运动，到达点 D 后，以每秒 1 个
单位长度的速度沿射线 DC 运动，设点 E 的运动时间为 t 秒，过点 E 作 AB 的垂线 EF 交直线 AB 于点 F，以线段 EF 为斜边向右作等腰直角△EFG． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 G 落在第一象限内的抛物线上时，求出 t 的值； （3）设点 E 从点 A 出发时，点 E，F，G 都与点 A 重合，点 E 在运动过程中，当△BCG 的面积为 4 时，直接写出 相应的 t 值，并直接写出点 G 从出发到此时所经过的路径长．
2
2
22
2
2
﹣
1
t），4=
5
t，解得：t= 8
，∴AM= 3
t
=
3
×
8
12
=
，GM=
1
t=
1
×8
=
4
，在
Rt△AGM
中，由勾股定理得：
2
2
5
2 2 55
2 2 55
AG=
AM 2 + GM 2 =
(12)2 + ( 4)2
4
=
10 ，∴当 t= 8 时，此时点 G 运动的路径长为 4
10 ；
55
5
5
（3）如图 2，连接 BD，当 G 在 BD 上时， 3 t=4，t= 8 ，分三种情况讨论：
2
3
①当 0≤t≤ 8 时，如图 3，过 G 作 GH⊥x 轴于 H，延长 HG 交 AB 于 M，则 GM⊥AB，∵B（4，4），D（4，0）， 3
∴BD⊥x 轴，∴S△BCG=S 梯形 GHDB+S△BDC﹣S△GHC，4= 1 （4﹣ 1 t+4）（4﹣ 3 t）+ 1 ×4×（6﹣4）﹣ 1 （6﹣ 3 t）（4
5
5
例2、二次函数 y = ax2 + bx + c （a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ）
A．a ＞b＞c
B．一次函数y=ax +c的图象不经第四象限
C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
D．3b+2c＞0
答案：D
例 3、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球
2
2Fra Baidu bibliotek
OH=OE+EH=t+2，EH=2，GM=GH=2，BM=t+2﹣4=t﹣2，CH=t+2﹣6=t﹣4，过 G 作 MH⊥x 轴，交 x 轴于 H，交直
线 AB 于 M，∴S△BGC=S 梯形 BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，4= 1 （t﹣4+t﹣2）×4﹣ 1 ×2×（t﹣2）﹣ 1 ×2×（t﹣4），t=5，
2
2
2
当 t=5 时，点 G 的运动路径分为两部分组成：
i）点 G 从 A 运动到 D 时，运动路径为：如图 6 中的 AG 长，即为 2 10 ；
ii）点 G 从 D 点继续在射线 DC 上运动 1 秒时，路径为 1；
所以当 t=5 时，此时点 G 运动的路径长度为1+ 2 10 ．学.科.网
综上所述：当 t1= 8 秒，此时路径长度为 4 10 ，当 t2=5 秒，此时路径长度为1+ 2 10 ．
解析：（1） y = − 1 x2 + 4 x + 4 33
（2）如图 1，由题意得：AE= 2 t，∵A（0，4），B（4，4），∴AB⊥y 轴，且 AB∥x 轴，∵OA=OD=4，∴△AOD
是等腰直角三角形，∴∠ADO=∠BAD=45°，∴△AFE 是等腰直角三角形，∴AF=EF=t，∵△EFG 是等腰直角三角
形，∴G（t+ 1 t，4﹣ 1 t），即：点 G（ 3 t，4﹣ 1 t），将点 G（ 3 t，4﹣ 1 t）代入到抛物线得： 4﹣
2
2
2
2
2
2
1 t= − 1 ( 3 t)2 + 4 × 3 t + 4 ，解得：t1=0（舍），t2= 10 ．
2 32 3 2
3
答：当 t= 10 时，点 G 落在抛物线上； 3
2
2
2
2
2
2
2
t= 8 （不在此范围内，不符合题意）； 5
③当 E 与 D 重合时，F 与 B 重合，如图 6，t= 4 2 =4，∴G（6，2），∴AG= 62 + 22 = 2 10 ，∴S△BCG=S 梯形 BDCG 2
﹣S△BDC= 1 ×2×（4+2）﹣ 1 ×2×4=2，∴当 t＞4 时，如图 7，由题意得：DE=t﹣4，∴OE=t﹣4+4=t，∴
二次函数的综合专题
知识归纳
二次函数与一元二次方程的关系 两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：
(1)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)，一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 ⇔ △=b2-4ac
＞0。
(2)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(
，0) ⇔ 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两
个相等实根，
⇔ b2 − 4ac = 0
(3)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点，一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 ⇔ △=b2-4ac＜0.
方法归纳 1、当数学问题中的条件、结论不明确或题目中含参数或图形不确定是时，需要进行分类讨论。分类讨论要按统一 标准 ，做到不重复不遗漏。 2、对于两个函数交点的问题，一般要转化为方程来求解 ，因为两个函数图象交点的坐标一定适合两个函数解析式， 只有将点的坐标代入函数解析式再利用等量代换转化为一元二次方程求解即可 3、解是否存在某点问题时，一般先假设符合条件的点存在，并列出解析式，如果能求出结果，则点存在，反之则 不存在。 4、利用二次函数解决实际问题时，一般要先通过分析已知的数量关系，确定二次函数的解析式，建立函数模型然 后通过计算函数值或代入函数值得到关于自变量的方程求解得到实际问题的答案。
5
②当 G 在 BC 上时，如图 4，tan∠C= BD = GH = 4 =2，∴GH=2HC，∴4﹣ 1 t=2（6﹣ 3 t），t= 16 ，当 8 ＜t≤16
DC HC 2
2
2
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5
时，如图 5，S△BCG=S△BDC﹣S 梯形 BDHG﹣S△GHC，4= 1 ×4×2﹣ 1 （4﹣ 1 t+4）（ 3 t﹣4）﹣ 1 ×（4- 1 t）（6- 3 t），