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模块综合测评(二) 必修1(北师大版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．与函数f (x )＝|x |是相同函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x 2x C ．y ＝e ln xD ．y ＝log 22x解析：∵B 中y ＝x (x ≠0)，C 中y ＝x (x ＞0)，D 中y ＝x ，只有A 中y ＝|x |，故选A.答案：A2．已知函数f (x )＝11－x 的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．∅解析：依题意知M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |x ＞－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}． 答案：C3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：对选项A ，因为内外函数在(0，＋∞)上都是增函数，根据复合函数的单调性，此函数在(0，＋∞)上是增函数，故A 选项正确；对选项B ，内函数在(0，＋∞)上是增函数，外函数在(0，＋∞)上是减函数，根据复合函数的单调性，此函数在(0，＋∞)上是减函数，故B 选项不正确；对C 选项，指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，故C 选项不正确；对选项D ，函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故D 选项不正确，所以选A.答案：A4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2解析：f (a )＝lg 1－a 1＋a ＝12，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－12.答案：B5．若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝的解为x 0，则x 0属于以下区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)解析：答案：B6．若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是[2,2b ](b ＞1)，则( ) A ．b ＝2 B ．b ≥2 C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)解析：∵函数y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，其图像的对称轴为直线x ＝2，∴在定义域[2,2b ]上，y 为增函数．当x ＝2时，y ＝2；当x ＝2b 时，y ＝2b .故2b ＝12×(2b )2－2×2b ＋4，即b 2－3b ＋2＝0，得b 1＝2，b 2＝1.又∵b ＞1，∴b ＝2.答案：A7．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞zC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y解析：x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6，y ＝12log a 5＝log a 5，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7∵0＜a ＜1，∴y ＝log a x 在定义域上是减函数， ∴y ＞x ＞z . 答案：C8．函数y ＝ln 1|x ＋1|的大致图像为( )A. B.C. D.解析：由题意可知函数f (x )的图像关于直线x ＝－1对称，排除A 、C ，又f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝ln2＞0，故选D.答案：D9．已知函数f (x )＝，则当a ＜0时，f {f [f (a )]}＝( )A. 3 B ．－12 C ．－2D ．2解析：当a＜0时，f(a)＝2a∈(0,1)，∴f[f(a)]＝f(2a)＝3，于是f{f[f(a)]}＝f(3)＝3＝－12.故选B.答案：B10．已知函数f(x)＝|x＋1|＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围为()A．(－1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，－1)解析：在同一坐标系画出函数y＝|x＋1|与y＝－a的图像，如图，由图像可知函数f(x)有两个不同零点必有－a＞0，即a＜0.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．解析：答案：212．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为__________．解析：∵A ∪B ＝{0,1,2,4}，∴a ＝4或a 2＝4，若a ＝4，则a 2＝16，但16∉A ∪B ，∴a 2＝4，∴a ＝±2，又－2∉A ∪B ，∴a ＝2.答案：213．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， 即12－1－1＋a ＝－12－1－a ，∴a ＝12. 答案：12解析：答案：[－1,0]三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)讨论函数f (x )＝的单调性，并求其值域．解：∵函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，(4分)(1)当x1＜x2≤1时，x1＋x2＜2，即有x1＋x2－2＜0.又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0，则知＞1.又对于x∈R，f(x)＞0恒成立，∴f(x2)＞f(x1)．∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．(6分)(2)当1≤x1＜x2时，x1＋x2＞2，即有x1＋x2－2＞0.又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0，则知0＜＜1，∴f(x2)＜f(x1)．∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数．(8分)∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，0＜13＜1,0＜≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴函数f (x )的值域为(0,3]．(12分)16．(12分)设a 是实数，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )．(1)证明：不论a 为何实数，f (x )均为增函数； (2)试确定a 的值，使f (－x )＋f (x )＝0成立． 解：(1)设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，(2)由f (－x )＋f (x )＝0，得a －22－x ＋1＋a －22x ＋1＝0. ∴2a ＝22－x ＋1＋22x ＋1＝2·2x 1＋2x ＋22x ＋1＝2.∴a ＝1.(12分)17．(12分)已知f (x )＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ≥0)． (1)将f (x )表示成u (其中u ＝e x ＋e －x2)的函数； (2)求f (x )的最小值．解：(1)将f (x )展开重新配方得，f (x )＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.(2分)令u ＝e x ＋e －x2，得g (u )＝4u 2－4au ＋2a 2－2(u ≥1)．(6分)(2)∵f (u )的对称轴是u ＝a2，a ≥0，∴当0≤a ≤2时，则当u ＝1时，f (u )有最小值，此时f (u )min ＝f (1)＝2(a －1)2.(8分)当a ＞2时，则当u ＝a2时，f (u )有最小值，此时f (u )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－2.(10分)∴f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(a －1)2(0≤a ≤2)，a 2－2 (a ＞2).(12分)18．(14分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)，(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱) 解：(1)设利润为y .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧R (x )－0.5－0.25x (0≤x ≤5)，R (5)－0.5－0.25x (x ＞5).∴y ＝⎩⎨⎧－12x 2＋4.75x －0.5 (0≤x ≤5)12－0.25x (x ＞5)(4分)(2)y ＝－12(x －4.75)2＋10.781 25，∴x ＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(8分)(3)要使企业不亏本，需y ＞0.即⎩⎨⎧0≤x ≤5，－12x 2＋4.75x －0.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧12－0.25x ＞0，x ＞5. ∴0.11＜x ≤5或5＜x ＜48即0.11＜x ＜48.(12分)∴年产量在11台至4 800台时，企业才会不亏本．(14分)。
北师大版高中数学必修一模块综合测评(一).docx
模块综合测评(一) 必修1(北师大版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B. 答案：B2．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋3>0，得x >－3且x ≠0，所以函数定义域为(－3,0)∪(0，＋∞)，故选D. 答案：D3．若幂函数f (x )＝x a 在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ＝0D ．不能确定解析：当a >0时，f (x )＝x a 在(0，＋∞)上递增，故选A. 答案：A4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{2}B ．{x |x ≤1}C ．{－12}D ．{x |x ≤1或x ＝2}解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，故选C.答案：C5．下列各式错误的是( ) A ．30.8>30.7 B ．log 0.50.4>log 0.50.6 C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.4解析：∵y ＝0.75x 为减函数，∴0.75－0.1>0.750.1，故选C. 答案：C6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数的图像为( )A. B.C. D.解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的反函数为y ＝log 12x ，故选D.答案：D7．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图像可能是( )A. B.C. D.解析：由题意知，2a＋b＝0，所以a＝－b2.因此g(x)＝bx2＋b2x＝b(x2＋12x)＝b⎝⎛⎭⎪⎫x＋142－b16.易知函数g(x)图像的对称轴为x＝－14，排除A，D.又令g(x)＝0，得x＝0，－0.5，故选C.答案：C8．已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)＜f (4)B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (4)C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72D ．f (4)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72<f (－3)，故选D.答案：D9．函数y ＝x 2的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝x 2和y ＝|lg x |的图像，如图，可得交点个数为1，故选B.答案：B10．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：f (1)＝ln(1＋1)－21＝ln2－2＝ln2－lne 2<0，f (2)＝ln(2＋1)－22＝ln3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．解析：答案：－91012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (0≤x ≤2)，2x (x ＞2)，则f (2)＝__________；若f (x 0)＝8，则x 0＝__________.解析：f (2)＝22－4＝0，当x 0>2时，2x 0＝8， ∴x 0＝4，当0≤x 0≤2时，x 20－4＝8，∴x 0＝±23(舍)， ∴x 0＝4. 答案：0 413．已知f (x )＝x 3＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝__________. 解析：∵f (a )＝a 3＋1＝11，∴a 3＝10，f (－a )＝(－a )3＋1＝－a 3＋1＝－10＋1＝－9.答案：－914．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x ＜1)，－x ＋1 (x ≥1)是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________．解析：令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，h (x )＝－x ＋1，要满足f (x )在R 上是减函数，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，g (1)≥h (1)，解之得17≤a ＜13.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R .(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)求A ∩C .解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(2分)(∁R A )∩B ＝{x |x <1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(6分) (2)当a ≤1时，A ∩C ＝∅.(8分) 当1<a <7时，A ∩C ＝{x |1≤x <a }．(10分) 当a ≥7时，A ∩C ＝{x |1≤x <7}．(12分)16．(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，其中k1k2≠0.∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k1×1＝1，k21＝2，∴k1＝1，k2＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝2x.(6分)(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝x＋2 x ，∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(8分)∵h(－x)＝－x＋2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x＋2x＝－h(x)，(10分)∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)＋g(x)是奇函数．(12分)17．(12分)已知f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数，g(x)＝λf(x)．(1)求实数a的值；(2)若g(x)≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立，求λ的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数．(2分) 所以f(0)＝0，即ln(1＋a)＝0，得a＝0.(4分)对于函数f(x)＝lne x＝x，显然有f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝x是奇函数，所以实数a的值为0.(6分)(2)由(1)知f(x)＝x, g(x)＝λx，则λx≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立．即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立．(8分)∵函数y ＝log 2x 在x ∈[2,3]时的最小值为log 22＝1，(10分) ∴λ≤1.(12分)18．(14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x(x ≥0)．(6分)(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元． 依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．(8分)& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 令t ＝20－x (0≤t ≤25)．(10分)则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．(14分)。
高中数学 模块综合测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
模块综合测评(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}B [由题意知A ∪B ＝{1，2，4，6}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．] 2．函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增函数D.先递增再递减函数C [作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知图象开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.]3．函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]A [由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，lg （x ＋1）≠0，x ＋1>0，得－1<x <0或0<x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1]，故选A.]4．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧X 问题，已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )A ．40B ．30C ．20D ．36A [由题意，每个个体抽到的概率为90360＋270＋180＝19，其中甲社区有360户低收入家庭，所应从甲社区抽取低收入家庭的户数为360×19＝40户．]5．2019年10月1日在庆祝中华人民某某国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为( )A ．13 B ．512 C ．712D ．23C [由题知三名同学都没有被选上的概率为23×34×56＝512，所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为1－512＝712.]6．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的大致图象是( )A B C DB [当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]7．“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [记集合A ＝{x |x >2}，由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，记集合B ＝{x |x <－4，或x >2}．因为A B ，所以“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的充分不必要条件．故选B.]8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)B [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，所以f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，所以f (2log 3a )>f (2).因为2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应不同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差ABC [只有标准差不变，众数、平均数和中位数都加2.]10．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系不可能为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <bABD [由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .]11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．0＜d ＜aB ．c ＞d ＞bC ．d ＞cD ．b ＜d ＜cABD [由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．]12．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是( )A ．等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立B ．函数f (x )的值域为(－1，1)C ．若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)D ．函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点ABC [易知函数的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，故函数为奇函数，故A 正确；当x＞0时，f (x )＝x 1＋x ＝11＋1x，该函数在(0，＋∞)上递增，且当x →0时，f (x )→0；当x →＋∞时，f (x )→1.结合奇偶性，作出f (x )的图象如图所示：易知函数的值域是(－1，1)，故B 正确；结合函数f (x )为定义域内的增函数，所以C 正确；当x ≥0时，g (x )＝f (x )－x ＝x1＋x －x ＝－x 21＋x ，令g (x )＝0得x ＝0，故此时g (x )只有一个零点0，g (x )显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以D 错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．命题“∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是________． ∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 [特称命题的否定为全称命题．]14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________．12 [依题意得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f (x )是奇函数，得f (2)＝－f (－2)＝12.]15．计算：(0.027)－13－log 32·log 83＝________．3 [ (0.027)－13－log 32·log 83＝(0.3)－13×3－log 32·1log 38＝103－log32·13log32＝103－13＝3.]16．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．0．1[这组数据的平均数x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s2＝（4.7－5.1）2＋（4.8－5.1）2＋（5.1－5.1）2＋（5.4－5.1）2＋（5.5－5.1）25＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？[解](1)因为x2 000＝0.19，所以x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482 000×500＝12(名).18．(本小题满分12分)某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，实行奖惩制度．通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等级，并根据等级给予相应的奖惩(如下表).某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等级的概率分别为12，13，18，124，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、－5万元．(1)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率是多少？ (2)求该企业当年因改造而增加的利润为0的概率．[解](1)设该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率为P ，则P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋18×12＝2348.(2)依题意，该企业当年因改造而增加的利润为0的概率为13×12＝16.19．(本小题满分12分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．[解] 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716.(2)由(1)知两个小球相加之和等于3或4的取法有7种； 两个小球相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2). 两个小球相加之和等于6的取法有1种：(3，3). 则中奖概率为P (B )＝7＋2＋116＝58.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围． [解](1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示 )知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1，3].21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值X 围是(－∞，1).22．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．[解](1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4≤x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在[4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．。
高中数学北师大版必修1习题：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1满足A∪{1,-1}={1,0,-1}的集合A共有()A.2个B.4个C.8个D.16个解析:根据题意,集合可能为{0},{0,1},{0,-1},{0,1,-1},共有4个,故选B.答案:B2下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()A.y=()2B.y=C.y=D.y=解析:A选项中,函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同.B选项中,函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同.C选项中,函数的定义域为{x|x>0},两个函数的定义域不同.D选项中,函数的定义域为R,对应法则相同,所以成立.故选D.答案:D+lg(1+x)的定义域是()3函数f(x)=-A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)+lg(1+x)有意义,解析:根据题意,使f(x)=-应满足-解得f(x)的定义域为(-1,1)∪(1,+∞),故选C.答案:C4已知幂函数y=f(x)的图像经过点,则f(4)的值为()A.16B.2C. D.解析:设幂函数为y=xα,∵幂函数y=f(x)的图像经过点,∴=2α,解得α=-,y=-,f(4)=-,故选C.答案:C5下列函数图像中,能用二分法求零点的是()解析:由函数图像可得,A中的函数没有零点,故不能用二分法求零点,故排除A.B和D中的函数有零点,但函数在零点附近两侧的符号相同,故不能用二分法求零点,故排除.只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点,故选C.答案:C6三个数0.76,60.7,log0.76的大小关系为()A.0.76<log0.76<60.7B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76D.log0.76<0.76<60.7解析:由对数函数y=log0.7x的图像和性质,可知log0.76<0,由指数函数y=0.7x,y=6x的图像和性质,可知0.76<1,60.7>1,所以log0.76<0.76<60.7.故选D.答案:D7已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是()-A.f(x)有最大值,无最小值B.f(x)有最大值,最小值C.f(x)有最大值,无最小值D.f(x)有最大值2,最小值解析:函数f(x)=-=2+-,即有f(x)在[-8,-4)上是减少的,则x=-8处取得最大值,且为,由x=-4取不到,即最小值取不到,故选A.答案:A8函数f(x)=--的零点个数为()A.2B.3C.4D.5解析:根据函数f(x)=--绘出图像大致如图,由图像可知零点个数为2.答案:A9函数f(x)=2|x|-1在区间[-1,2]的值域是()A.[1,4]B.C.[1,2]D.解析:函数f(x)=2t-1在R上是增函数,∵-1≤x≤2,∴0≤|x|≤2,∴t∈[0,2].∴f(0)≤f(x)≤f(2),即≤f(x)≤2.∴函数的值域是.故选B.答案:B10已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为() A.1 B.0 C.-1 D.2解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,∵x∈[0,1],∴函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上是增加的.∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1,故选A.答案:A11已知f(x)是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞)都有--<0,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是() A. B.∪(1,+∞)C. D.(0,1)∪(10,+∞)解析:由于f(x)是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞)都有--<0,则偶函数f(x)在[0,+∞)是减少的,则f(lg x)>f(1),即为f(|lg x|)>f(1),即有|lg x|<1,即-1<lg x<1,则<x<10,故选C.答案:C12若函数f(x)=--是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是()A. B.C. D.-解析:由题意可得----解得≤a<,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13已知f(x+1)=x2-2x,则f(2)=.解析:令x+1=t,∴x=t-1.∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3.∴f(x)=x2-4x+3.∴f(2)=-1.答案:-114若f(x)=-+a是奇函数,则a=.解析:∵f(x)=-+a是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对于任意的x≠0都成立.∴--+a=---a.∴-+a=--a.∴2a=--=1.∴a=.答案:15已知函数y=f(x)在(0,3)上是增函数,函数y=f(x+3)是偶函数,则f,f,f(2)的大小关系为.解析:∵f(x+3)是偶函数,∴f(x)的图像关于直线x=3对称.∴f=f,f=f.又f(x)在(0,3)上是增函数,∴f<f(2)<f,即f<f(2)<f.答案:f<f(2)<f16给出下列五个命题:①函数y=f(x),x∈R的图像与直线x=a可能有两个不同的交点;②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数;③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2,存在x0,当x>x0时,有2x>x2成立;④对于函数y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点;⑤已知x1是方程x+lg x=5的根,x2是方程x+10x=5的根,则x1+x2=5.其中正确的序号是.解析:对于①,函数表示每个x对应唯一的y值,是一种对应关系,根据定义进行判定即可判断①错;对于②,函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不等,故不是相等函数,故②错;对于③,当x0取大于等于4的值都可使当x>x0时,有2x>x2成立,故③正确;对于④,只有函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,才有f(a)·f(b)<0,f(x)在(a,b)内有零点,故④错;对于⑤,∵x+lg x=5,∴lg x=5-x.∵x+10x=5,∴10x=5-x.∴lg(5-x)=x.如果作变量代换y=5-x,则lg y=5-y.∵x1是方程x+lg x=5的根,x2是方程x+10x=5的根,∴x1=5-x2,∴x1+x2=5.故正确.答案:③⑤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)计算:-;(1)--(2)log225·log3·log5.解(1)原式=--=--+1-1=2·-=2.(2)原式=log252·log32-4·log53-2=--=16.18(12分)已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1}.(1)求∁U A,A∩(∁U B);(2)若C={x|1-a≤x≤2a+1},且C⊆A,求实数a的取值范围.解(1)∵全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},∴∁U A={x|-1≤x≤3},∁U B={x|-5≤x<-1或1≤x≤3}.∴A∩(∁U B)={x|-5≤x<-1}.(2)∵C={x|1-a≤x≤2a+1},当1-a>2a+1,即a<0时,C=⌀,满足C⊆A;当1-a≤2a+1,即a≥0时,C≠⌀,由C⊆A得,-5≤1-a≤2a+1≤-1,a无解.综上所述,满足C⊆A的实数a的取值范围为(-∞,0).19(12分)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且函数f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在x∈[-1,2]上的值域;(3)令g(x)=f(x)-,判断函数g(x)是否存在零点,若存在,求出所有零点;若不存在,请说明理由.解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(0)=0,则c=0.由题意f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,∴解得a=b=.∴f(x)=x2+x.(2)f(x)=,x∈[-1,2],最小值为f-=-,最大值为f(2)=3,∴f(x)在[-1,2]上的值域是-.(3)由g(x)=f(x)-=0,可得x2+x-=0,∴x3+x2-2=0.∴(x-1)(x2+2x+2)=0.∴x=1,即函数g(x)的零点是1.20(12分)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如下表所示.(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像;(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图像;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉土地多少公顷?解(1)描点作图①如下所示:图①图②(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx.取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得可算得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图像如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由y=2.4+1.8×25,求得y=47.4,即当积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4公顷.21(12分)已知f(x)=g(x)=---.(1)求y=g(x)的解析式,并画出其图像;(2)写出方程x f[g(x)]=2g[f(x)]的解集.解(1)当x<1时,x-1<0,x-2<0,此时g(x)=-=1.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,此时g(x)=-.当x≥2时,x-1>0,x-2≥0,此时g(x)=-=2.故y=g(x)=其图像如图.(2)∵g(x)>0,∴f[g(x)]=2,x∈R.∴方程x f[g(x)]=2g[f(x)]即为x2=其解集为{-,2}.22(12分)已知函数f(x)=-.(1)求证:函数f(x)在区间(-1,+∞)上是增加的;(2)设g(x)=f(2x),求证:函数g(x)是奇函数;(3)在(2)的前提下,若g(x-1)+g(3-2x)<0,求实数x的取值集合.(1)证明∵f(x)=-=1-,∴任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=1--1+=-,∵x1<x2,且x1,x2∈(-1,+∞),∴x2-x1>0,且x1+1>0,x2+1>0.∴f(x2)-f(x1)>0.∴函数f(x)在区间(-1,+∞)上是增加的.(2)证明g(x)=f(2x)=-,∴g(-x)=----=-g(x).∴函数g(x)是奇函数.(3)解∵函数g(x)是奇函数且是增加的,g(x-1)+g(3-2x)<0,∴g(x-1)<g(2x-3),∴x-1<2x-3.∴x>2.∴实数x的取值集合是{x|x>2}.。
北师大版高中数学必修一模块综合测评(附解析)
北师大版高中数学必修一模块综合测评（解析版）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁U A)∪(∁U B)等于()A. {1,6}B. {4,5}C. {2,3,4,5,7}D. {1,2,3,6,7}【答案】D【解析】【分析】由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可.【详解】由补集的定义可得：∁U A={1,3,6},∁U B={1,2,6,7}, 所以(∁U A)∪(∁U B)={1,2,3,6,7}. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查补集的运算，并集运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在下列各图中能表示从A到B的映射的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】A：当0＜x＜1时，y＜1，所以集合A到集合B不成映射，故A不成立；B：1≤x≤2时，y＜1，所以集合A到集合B不成映射，故B不成立；C：0≤x≤1时，任取一个x值，在0≤y≤2内，有两个y值与之相对应，所以构不成映射，故C不成立；D：0≤x≤1时，任取一个x值，在0≤y≤2内，总有唯一确定的一个y值与之相对应，故D成立。
故选D3.已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M∩N=A. B. C. D.【答案】C 【解析】考查函数的定义域和集合的基本运算。
由解不等式1-x>0求得M=(-，1)，由解不等式1+x>0求得N=(-1，+)，因而MN=(-1，1)，故选C 。
4.若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )A. (0，＋∞)B. [0，＋∞)C. (－∞，＋∞)D. (－∞，0)【答案】D 【解析】本题主要考查的是幂函数的图像与性质。
设幂函数为，因为图像过，所以。
由幂函数的性质：当时，在上是减函数。
又为偶函数，所以在上是增函数。
北师大版高一数学模块1试卷及答案.doc
高一年级数学学科模块1试卷（宝鸡铁一中 杨文兵）（简评：本套试题知识点分布合理，难度选择总体适中，可见作者在命题时进行了认真研究。
建议：10题似乎超出必修1对函数奇偶性的学习要求，可以换掉，另外，解答题的20题放在最后一题的位置比较合适。
）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)2. 已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x <<3. 若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>4.函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ）. A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-5. 设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66. 下列大小关系正确的是（ ）.A. 30.440.43log 0.3<<B. 30.440.4log 0.33<<C. 30.44log 0.30.43<<D. 0.434log 0.330.4<<7. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.B. 2C. D. 48. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2; ② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ;③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月;④ 浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是（ ）.A. ①②③B. ①②③④C. ②③④D. ①② t/月9. 已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ ）.A. p q +B. 2p q +C. 2p q +D. 2p q +10. 已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于（ ）.A. (1)x x -+B. (1)x x +C. (1)x x -D. (1)x x --11. 设,a b 满足01a b <<<，下列不等式中正确的是（ ）.A. a b a a <B. a b b b <C. a a a b <D. b b b a <12. 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示()S f t =的函数关系的为（ ）.C. B. A. S S t t o o oS t 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学北师大版必修1练习模块检测 Word版含解析
必修模块检测班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．已知集合＝{－，－}，＝{}，则∪为( )．{}．{}．{－，－}．{－，－}答案：解析：∪＝{－，－}∪{}＝{－，－，}，故选.．函数()＝的定义域为( )．[，＋∞) ．(，＋∞)．[，＋∞) ．(，＋∞)答案：解析：函数有意义需满足(\\((－(≥，－>，))∴≥.．下列对应是从集合到集合的一个映射的是( )．＝{有理数}，＝{数轴上的点}，：有理数→数轴上的点．＝{数轴上的点}，＝，：数轴上的点→∈．∈＝，∈＝＋，：→＝．＝，∈＝∁＋，∈＝＋，：→＝答案：解析：注意取元的任意性和成像的唯一性．．如果幂函数()＝α的图象经过点，则()的值等于( )答案：解析：由α＝得α＝－，故()＝＝.．函数＝＋(－)(>，≠)的图象过定点( )．(－)．()答案：解析：－＝，＝，＝＋＝.．函数()＝(\\(＋－，≤，－，>))的所有零点之和为( )．．．．答案：解析：当≤时，令＋－＝，解得＝－；当>时，令－＝解得＝，所以已知函数所有零点之和为－＋＝.．已知函数()在[－]上满足(－)＝()，()在[]上是单调函数，且(－)＜()，则下列不等式中一定成立的是( )．(－)＜(－) ．()＜()．(－)＜() ．()＞()答案：解析：由()＝(－)＜()，及()在[]上单调可知()在[]上单调递减．．函数＝(＋＋)的单调递增区间是( )．(－，＋∞) ．(－∞，－)．[－，＋∞) ．(－∞，－]答案：是其图像上两个点，则不等式)<()又∵＝()是上的增函数∴三、解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。
北师大版高中数学必修一模块综合测评(二).docx
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y |y ＝2x }，P ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y |y ＞1} B ．{y |y ≥1} C ．{y |y ＞0}D ．{y |y ≥0}【解析】 M ＝{y |y ＝2x }＝{y |y ＞0}， P ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}． 故M ∩P ＝{y |y ＞0}． 【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，(x ≤1)，log 2x ，(x ＞1).则f (1)＋f (4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f (1)＋f (4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16B ．2 C.12D.116【解析】 设幂函数为y ＝x α，∵幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，∴22＝2α，解得α＝－12.y ＝x －12. f (4)＝4－12＝12.故选C. 【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】 由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x |2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1， 当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0.【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x可化为y ＝(1a )x，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 由题意f (x )的图像如图所示，故f (x )＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 D9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 3x |(0＜x ≤9)，－x ＋11(x ＞9)，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】 作出f (x )的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ， 则a ＝3－t ，b ＝3t ，c ＝11－t .由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)． 【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f (x )＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则f (x )的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】 设t ＝2x ，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f (x )＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f (x )＝2x －P ·2－x ，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的增函数【解析】 当P ＝1时，f (x )＝2x －2－x ，定义域为R 且f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x 是R 的减函数，∴f (x )＝2x －2－x 为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f (x )＝2x ＋2－x ，定义域为R 且f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．根据1＜2，f (1)＜f (2)可知f (x )在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f (－2)＞f (－1)可知f (x )在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】 令f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22<4，故f (x )∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f (x )＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f (x )＝ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13， 所以函数f (x )＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f (－x )＝f (x )恒成立，即13(－x )2＋(b ＋13)(－x )＋3＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3对任意的实数x 都成立，所以有b ＋13＝0，解得b ＝－13，所以a ＋b ＝0.【答案】 014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间为________．【解析】 函数f (x )的定义域为{x |x ＞3或x ＜－1}．令t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)单调递减，t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)． 【答案】 (－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】 设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r ＝1－x 2π， ∴S 正＝(x 4)2＝x 216，S 圆＝π·(1－x )24π2， ∴S 正＋S 圆＝(π＋4)x 2－8x ＋416π(0＜x ＜1)，∴当x ＝4π＋4时有最小值． 【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是________．【解析】 由已知f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f (1)＜f (ln x )，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f (－1)＜f (ln x )，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72.【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12.(2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2 ＝log 33－14＋lg102＋2 ＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)已知集合A ＝{}x | 2≤2x≤16，B ＝{}x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由已知得A ＝{x |1≤x ≤4}， B ＝{x |x ＞3}，∴A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}∪{x |1≤x ≤4}＝{x |x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)＜f (5)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f (x )为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f (3)＜f (5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知，g (x )＝log a [f (x )－ax ]＝log a (x 2－ax )(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u (x )＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤0，u (2)＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥3，u (3)＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f (x )＝a x －a－x(a >0且a ≠1)，(1)若f (1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f (1)＝32，g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )且g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．【解】 (1)f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a <0，又a >0，且a ≠1，∴0<a <1. ∵a x 单调递减，a －x 单调递增，故f (x )在R 上单调递减． 不等式化为f (x 2＋tx )<f (x －4)，∴x 2＋tx >x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t <5.(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x )＋2. 令t ＝f (x )＝2x －2－x ，由(1)可知f (x )＝2x －2－x 为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32，令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去． 综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9.(1)求f (3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f (x )表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2. 由f (x )＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2. 令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t ＝－32时，g (t )min ＝－14，即log 3x ＝－32，则x ＝3－32＝39， ∴f (x )min ＝－14，此时x ＝39；②当t＝2时，g(t)max＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，∴f(x)max＝12，此时x＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝1－g(x)m＋2g(x)是奇函数．(1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范围．【解】(1)设g(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则a3＝8，∴a＝2，∴g(x)＝2x.因为f(x)＝1－2x2x＋1＋m，又f(－1)＝－f(1)，∴1－12m＋1＝1－24＋m⇒m＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.(2)f(x)为减函数，证明如下：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.任取x1，x2∈R，设x1＜x2则f(x2)－f(x1)＝12x2＋1＝12x1＋1＝2x1－2x2(2x1＋1)(2x2＋1)，因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，∴2x1－2x2＜0. 又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)＞0得f(1－x)＞－f(1－2x)即f(1－x)＞f(2x－1)，所以⎩⎨⎧ 1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3，即x 的取值范围是[2,3]．。
(完整word版)北师大高一数学必修一单元测试题附标准答案
高一年级数学学科第一单元质量检测试题参赛试卷学校：宝鸡石油中学命题人：张新会 、选择题：本答题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出地四个选项中，只 有一项是符合题目要求地. b5E2RGbCAP 1. 集合｛ 0,1 ｝地子集有A.1 个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 2. 已知集合M {x | x 2 0｝，则下列式子正确地是A.{ 1} MB. 1 MC. — 1 MD. — 1 M 3. 已知集合M= a,0 N=1,2 且 M 1 N {2} ，那么M NA. a,0,1,B. 1,0,1,2C. 2,0,1,2D. 0,1,2 4. 已知集合A 、B 、 C 满足A B C ,则下列各式中错误地是 A. (AUB) C B . A (Bl C)C. (Al C) B D. (AUC) B 5.设集合 A {(x,y)|y 4x 6}, B {(x, y) | y 5x 3}，则 A B =A . {x=1, y=2}B .{ (1 , 2) } C . {1 , 2} D . (1, 2) 6. 设全集l={x 1 X 6,x N},则满足{1 , 3, 5} n eB ={1 , 3, 5}地所有集合B 地个 数是 A. 1 B. 4 C. 5 D. 8 p1EanqFDPw7. 设B {0,1,2}, A {x x B}则A 与B 地关系是 A. A B B . B A C. A € BD . B € Ac 3 m 18. A {n |— Z}, B {m| Z},则Al B n 2A. BB . AC. $ D. Z9.已知全集l={0 , 1, 2｝则满足 e l (AUB) ｛2｝地集合A 、B 共有A. 5 组 B .7组 C. 9组 D. 11 组10.设集合A {x | x2 x 1 0},B {x | ax 1 0},若 B A 则实数a 地不同值地个数是A . 0 B. 1 C. 2 D. 3DXDiTa9E3d11.若 p {m | mx 2 mx 1 0,对x R 恒成立｝ ，则P A .空集 B . {m | m 0} C . {m| 4 m 0} D . {m| 4 m 0}12.非空集合M 、P 地差集MP {x x M ,且 x P ｝，则 M (M P)A . PB . M n PC . M U PD . M 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共30分. 13.已知 A y | y x 2 2,x R , 则 e R A . 【答案】｛x| x 2}14.数集{2 a, a 2 a}, 则a 不可取值地集合为.【答案】｛0,1｝15.集合A 、B 各含12个兀素， A n B 含4个兀素， 则A U B 含有个兀素.【答案】20216. 满足｛1,3,a ｝ ｛1,a a 1｝地元素a 构成集合.【答案】｛-1 , 2｝17. 已知全集 I ｛1,3,a ｝1 AI,B I ，且 B ｛1,a a 1｝, qB A ,则 A【答案】A ｛ 1｝或A ｛2｝18. 符合条件｛a ,b ,c ｝ P ｛a ,b ,c ,d ,e ｝地集合P 有个.【答案】4三、解答题：本大题共 4小题，共60分.解答应写出文字说明或演算步骤.19. (15分)若集合A ｛x | ax2 2x 1 0｝中有且仅有一个元素，求a地取值.1解：当a 0时，方程为2x 1 0, x 只有一个解;2当a 0时，方程ax2 2x 1 0只有一个实数根，所以4 4a 0,解得a 1故a地取值为0或120.(本小题满分15 分)已知集合A={-1，1}，B={x|x A},C={y | y A}(1)用列举法表示集合B、C ；( 2)写出A、B、C三者间地关系.解：(1 )T A={-1 , 1} ••• B={-1 , 1} , C={{ }, {-1}, {1}, {-1, 1}} RTCrpUDGiT(2) A = B C21. (15分)设全集为R, A x12 x 5, B x|3 x 8 , C {x|a 1 x 2a}.(1)求AI B及e R(AU B) ； (2)若(AI B) I C ，求实数a地取值范围.5PCZVD7H XA解：(1) AI B= x|3 x 5••• AU B x |2 x 8 •e R( AU B) = x| x 2或x 8(2)若(AI B)I C ,2a 33则有a 1 5 得1 a -或a 62a 1 2a3••实数a地取值范围为{ a | 1 a —或a 6}222. (本小题满分15 分)已知集合M {x|x2 px q 0( p2 4q 0)} , A {1,3,5,7,9}, B {1,4,7,10}且M IA , M IB M，试求p、q 地值.解：Q M I B M , M B,2 2 2Q p 4q 0时，方程x px q 0有两个不等地根，且这两个根都在集合B中,2Q M I A , • 1,7不是M地元素，• 4, 10是方程x px q 0地两个根故p 14, q 40【试题命制意图分析】考查基本内容：①集合地基本内容包括集合有关概念，集合地三种运算和集合语言和思想地初步应用.②学习中要求能准确理解集合、子集、交集、并集、补集地概念，正确使用各种符号，掌握有关地术语.③对集合地运算要求用文字语言表述.用符号语言做出表示及用图形语言表示做出全面理解.jLBHrnAILg考查重点与难点内容：（1 ）本节地重点内容是对集合概念地准确理解与应用：①认识集合应从构成集合地元素开始，利用集合中元素地特性（确定性、互异性、无序性）可指导集合地表示.②对集合地三种表示方法（列举、描述、图示法）不仅要求了解不同表示方法地不同要求，还要求能根据不同情况对表示方法进行选择.③求有限集合地子集，应正确运用分类讨论地思想确定子集中元素地选取规律.（2）本节地难点是各种符号地正确理解和使用.正确理解和熟练运用数学符号是提高抽象思维能力地重要途径.数学符号是符号化了地数学概念.以前接触地符号都是有关数、或数与数地关系地，本节中学习地抽象符号是表示元素、集合或集合间关系地，如“”，“”，“”“二“0=“=”等，是全新地一套.对符号地使用不仅要明确其意义，而且还要注意各类符号间不能混用，并能识别和处理用集合中有关符号表述地数学命题.（3）对于集合地应用重点是交并思想在解不等式中地应用，不做过多延伸.XHAQX74J0X版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article in eludes someparts, in cludi ng text, pictures, and desig n. Copyright is pers onal own ership. LDAYtRyKfE 用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Zzz6ZB2LtkUsers may use the contents or services of this articlefor pers onal study, research or appreciati on, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisi ons of copyright law and other releva nt laws, and shall n ot infringe upon the legitimate rights of this website and its releva nt obligees. In additi on, when any content or service of this article is used for other purposes, writte n permissi on and remun erati on shall be obta ined from the pers on concerned and the releva nt obligee. dvzfvkwMI1转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.rqyn14ZNXIReproducti on or quotatio n of the content of this articlemust be reas on able and good-faith citati on for the use of n ews or in formative public free in formatio n. It shall notmisinterpret or modify the original intention of the contentof this article, and shall bear legal liability such ascopyright. EmxvxOtOco。
北师大版高中数学必修一模块综合测评
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁U A)∪(∁U B)等于()A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}解析:∁U A={1,3,6},∁U B={1,2,6,7},所以(∁U A)∪(∁U B)={1,2,3,6,7}.答案:D2.函数y=xa x|x|(a>1)的图像的大致形状是()解析:函数y=xa x|x|(a>1)={a x,x>0,-a x,x<0(a>1)的图像为C.答案:C3.已知函数f(x)=√1−x的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N等于()A.{x|x>-1}B.{x|x<1}C.{x|-1<x<1}D.⌀解析:由题意,1-x>0,得x<1,即M={x|x<1}.1+x>0,即x>-1,N={x|x>-1}, 所以M ∩N={x|-1<x<1}. 答案:C4.幂函数的图像过点(2,14),则它的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .[0,+∞) C .(-∞,+∞)D .(-∞,0)解析:设幂函数为y=x n,将点(2,14)代入得14=2n,解得n=-2,于是幂函数为y=x -2.所以它的递增区间是(-∞,0). 答案:D5.设A={x|0≤x ≤2},B={y|1≤y ≤2},在下列各图中能表示从A 到B 的映射的是( )解析:由图示可知,A,B 中的映射是从[0,2]到[0,2];C 中是从[0,2]到[1,2],但对[0,2]中的每一个值在[1,2]中都有两个值与之对应,所以它不是映射;D 中的映射是[0,2]到[1,2]的映射,故选D . 答案:D6.某工厂去年总产值为a ,计划今后5年内每年比上一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是( ) A.1.14a B.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a解析:由题意,得x 年后的总产值为y=a ·(1+10%)x,则5年后的总产值为a (1+10%)5,即1.15a.答案:B7.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f (1x )>f (1)的实数x 的取值范围是( ) A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析:由题意,得1x <1,当x<0时显然成立,当x>0时,x>1.故选D . 答案:D 8.设f (x )=lg(10x+1)+ax 是偶函数,g (x )=4x -b2x 是奇函数,那么a+b 的值为( )A.1B.-1C.-12D.12解析:由f (x )=lg(10x+1)+ax 是偶函数,可知f (-x )=lg 10x +110x -ax=f (x ),可求得a=-12,g (x )=4x -b2x 是奇函数,可知g (0)=0,得b=1.∴a+b=12.答案:D9.函数f (x )=-x 2+4x 在[m ,n ]上的值域是[-5,4],则m+n 的取值所成的集合为( ) A .[0,6] B .[-1,1] C .[1,5]D .[1,7]解析:∵f (x )=-(x-2)2+4,x ∈[m ,n ],∴m ≤2,且n ≥2.①若f (m )=-5,即-m 2+4m=-5. ∴m=-1,或m=5(舍去),此时2≤n ≤5.∴1≤m+n ≤4.②若f (n )=-5,即-n 2+4n=-5, ∴n=5.此时-1≤m ≤2,∴4≤m+n ≤7.综上得1≤m+n ≤7,选D . 答案:D10.若函数f (x )=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( ) A .1.2 B .1.3C .1.4D .1.5解析:f (1)f (1.5)<0,取中点1.25;f (1.5)f (1.25)<0,取中点1.375; f (1.375)f (1.5)<0,取中点1.438; f (1.375)f (1.438)<0,取中点1.4065; f (1.4065)f (1.438)<0,取中点1.42225.精确到0.1为1.4.故选C . 答案:C11f (x )={(2-a)x +1,x <1,a x ,x ≥1是定义在R 上的增函数,那么a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1,32]C.(1,2)D.[32,2)解析:由f (x )是增函数,可得{2−a >0,a >1,(2-a)×1+1≤a.解得32≤a<2. 答案:D12.在同一平面直角坐标系中,函数y=g (x )的图像与y=e x的图像关于直线y=x 对称,而函数y=f (x )的图像与y=g (x )的图像关于y 轴对称.若f (m )=-1,则m 的值为( ) A.-e B.-1eC.eD.1e解析:因为y=g (x )与y=e x关于y=x 对称,所以g (x )=ln x. 又由题意f (x )=ln(-x ), 又因为f (m )=-1, 所以ln(-m )=-1=lne -1. 所以-m=e -1.所以m=-1e .答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x 1 23f(x)2 11x 1 23g(x)3 21则f[g(1)]的值为;当g[f(x)]=2时,x=.解析:因为g(1)=3,所以f[g(1)]=f(3)=1,由g[f(x)]=2,所以f(x)=2,则x=1.答案:1 114.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(2x)x-1的定义域是.解析:∵f(x)的定义域是[0,2],∴g(x)=f(2x)x-1的定义域需{0≤2x≤2,x-1≠0,得0≤x<1,∴g(x)的定义域是[0,1).答案:[0,1)15.幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于.解析:(方法1)由条件,得M(13,23),N(23,13),可得13=(23)α,23=(13)β,即α=lo g2313,β=lo g1323.所以αβ=lo g 2313·lo g 1323=lg 13lg 23·lg 23lg 13=1.(方法2)由方法1,得13=(23)α,23=(13)β,则(13)αβ=[(13)β]α=(23)α=13,即αβ=1.答案:1 16.下列结论中:①定义在R 上的函数f (x )在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f (x )在R 上是增函数;②若f (2)=f (-2),则函数f (x )不是奇函数;③函数y=x-0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x 0是二次函数y=f (x )的零点,且m<x 0<n ,那么f (m )f (n )<0一定成立.写出上述所有正确结论的序号: .解析:①符合增函数定义,正确;②不正确,f (x )=0,x ∈R 就是奇函数;③正确,画出函数图像草图(图略)可判断;④不正确;⑤只对m ,n 非常接近x 0时,f (m )f (n )<0才成立. 答案:①③三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)设全集为R ,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}.求∁R (A ∪B ),(∁R A )∩B. 解:由题意,得A ∪B={x|2<x<10},所以∁R (A ∪B )={x|x ≤2或x ≥10}. 又因为∁R A={x|x<3或x ≥7}, 所以(∁R A )∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 18.(12分)已知f (x )={f(x +1),−2<x <0,2x +1,0≤x <2,x 2-1,x ≥2,(1)若f (a )=4,且a>0,求实数a 的值; (2)求f (-32)的值.解:(1)若0<a<2,则f (a )=2a+1=4,解得a=32,满足0<a<2. 若a ≥2,则f (a )=a 2-1=4, 解得a=√5或a=-√5(舍去),∴a=32或a=√5.(2)由题意,f (-32)=f (-32+1)=f (-12)=f (-12+1)=f (12)=2×12+1=2.19.(12分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a (a<0).1,3是函数y=f (x )+2x 的两个零点.若方程f (x )+6a=0有两个相等的根,求f (x )的解析式.解:因为1,3是y=f (x )+2x 的两个零点,且a<0,所以f (x )+2x=a (x-1)(x-3),得f (x )=a (x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a )x+3a.① 所以f (x )+6a=ax 2-(2+4a )x+9a=0. ② 又方程②有两个相等的实根, 所以Δ=[-(2+4a )]2-4a ·9a=0, 即5a 2-4a-1=0, 解得a=1(舍去)或a=-15. 将a=-15代入①,得f (x )=-15x 2-65x-35.20分)已知函数f (x )=log a (3-ax ). (1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)由题设,3-ax>0对一切x ∈[0,2]恒成立,a>0,且a ≠1,∵a>0,∴g (x )=3-ax 在[0,2]上为减函数.从而g (2)=3-2a>0,∴a<32.∴a 的取值范围为(0,1)∪(1,32).(2)假设存在这样的实数a , 由题设知f (1)=1, 即log a (3-a )=1,∴a=32.此时f (x )=lo g 32(3−32x),当x=2时,f (x )没有意义,故这样的实数a 不存在.21.(12分)某特许专营店销售上海世博会纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时,该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元,则增加销售400枚;而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x 元.(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域);(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出这个最大值.解:(1)依题意y=所以y定义域为{x|7<x<40,x∈N+.(2)因为y=若7<x≤20,则当x=16时,y mx=32400(元);若20<x<40,则当x=23或24时,y max=27200(元).综上可得当x=16时,该特许专营店获得的利润最大为32400元.22.(14分)已知函数f(x)=3x,f(a+2)=27,函数g(x)=λ·2ax-4x的定义域为[0,2].(1)求a的值;(2)若函数g(x)在[0,2]上单调递减,求λ的取值范围;(3)若函数g(x)的最大值是13,求λ的值.解:(1)27=3a+2=33,∴a=1.(2)由(1)得,g(x)=λ·2x-4x.任取0≤x1<x2≤2,则Δx=x2-x1>0,∵g(x)在[0,2]上是减函数,∴Δy=y2-y1<0,Δy=y2-y1=g(x2)-g(x1)=λ·2x2−4x2-(λ·2x1−4x1)=λ·2x2-(2x2)2-[λ·2x1-(2x1)2]=(2x2−2x1)[λ-(2x2+2x1)]<0,对于x∈[0,2]恒成立.∵2x2−2x1>0,∴λ-(2x2+2x1)<0对于x∈[0,2]恒成立.即λ<2x1+2x2对于x∈[0,2]恒成立.∵2x2+2x1>2,∴λ≤2.∴λ的取值范围是(-∞,2].(3)设t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤2x≤4.∴1≤t≤4.y=-t2+λt=-(t-λ2)2+λ24,1≤t≤4.①当λ2<1,即λ<2时,y max =λ-1=13, ∴λ=43; ②当1≤λ2≤4,即2≤λ≤8时,y max =λ24=13,∴λ=±2√33∉[2,8](舍); ③当λ2>4,即λ>8时,y max =-16+4λ=13, ∴λ=4912<8(舍).综上λ=43.。
精品教育新版高中数学北师大版必修1习题：模块综合检测
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1满足A∪{1,-1}={1,0,-1}的集合A共有()A.2个B.4个C.8个D.16个解析:根据题意,集合可能为{0},{0,1},{0,-1},{0,1,-1},共有4个,故选B.答案:B2下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()A.y=()2B.y=C.y=D.y=解析:A选项中,函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同.B选项中,函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同.C选项中,函数的定义域为{x|x>0},两个函数的定义域不同.D选项中,函数的定义域为R,对应法则相同,所以成立.故选D.答案:D3函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是()A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)解析:根据题意,使f(x)=+lg(1+x)有意义,应满足解得f(x)的定义域为(-1,1)∪(1,+∞),故选C.答案:C4已知幂函数y=f(x)的图像经过点,则f(4)的值为() A.16 B.2C. D.解析:设幂函数为y=xα,∵幂函数y=f(x)的图像经过点,∴=2α,解得α=-,y=,f(4)=,故选C.答案:C5下列函数图像中,能用二分法求零点的是()解析:由函数图像可得,A中的函数没有零点,故不能用二分法求零点,故排除A.B和D中的函数有零点,但函数在零点附近两侧的符号相同,故不能用二分法求零点,故排除.只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点,故选C.答案:C6三个数0.76,60.7,log0.76的大小关系为()A.0.76<log0.76<60.7B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76D.log0.76<0.76<60.7解析:由对数函数y=log0.7x的图像和性质,可知log0.76<0,由指数函数y=0.7x,y=6x的图像和性质,可知0.76<1,60.7>1,所以log0.76<0.76<60.7.故选D.答案:D7已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是()A.f(x)有最大值,无最小值B.f(x)有最大值,最小值C.f(x)有最大值,无最小值D.f(x)有最大值2,最小值解析:函数f(x)==2+,即有f(x)在[-8,-4)上是减少的,则x=-8处取得最大值,且为,由x=-4取不到,即最小值取不到,故选A.答案:A8函数f(x)=的零点个数为()A.2B.3C.4D.5解析:根据函数f(x)=绘出图像大致如图,由图像可知零点个数为2.答案:A9函数f(x)=2|x|-1在区间[-1,2]的值域是()A.[1,4]B.C.[1,2]D.解析:函数f(x)=2t-1在R上是增函数,∵-1≤x≤2,∴0≤|x|≤2,∴t∈[0,2].∴f(0)≤f(x)≤f(2),即≤f(x)≤2.∴函数的值域是.故选B.答案:B10已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为() A.1 B.0 C.-1 D.2解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,∵x∈[0,1],∴函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上是增加的.∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1,故选A.答案:A11已知f(x)是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞)都有<0,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是()A. B.∪(1,+∞)C. D.(0,1)∪(10,+∞)解析:由于f(x)是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞)都有<0,则偶函数f(x)在[0,+∞)是减少的,则f(lg x)>f(1),即为f(|lg x|)>f(1),即有|lg x|<1,即-1<lg x<1,则<x<10,故选C.答案:C12若函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是()A. B.C. D.解析:由题意可得解得≤a<,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13已知f(x+1)=x2-2x,则f(2)=.解析:令x+1=t,∴x=t-1.∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3.∴f(x)=x2-4x+3.∴f(2)=-1.答案:-114若f(x)=+a是奇函数,则a=.解析:∵f(x)=+a是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对于任意的x≠0都成立.∴+a=--a.∴+a=-a.∴2a==1.∴a=.答案:15已知函数y=f(x)在(0,3)上是增函数,函数y=f(x+3)是偶函数,则f,f,f(2)的大小关系为.解析:∵f(x+3)是偶函数,∴f(x)的图像关于直线x=3对称.∴f=f,f=f.又f(x)在(0,3)上是增函数,∴f<f(2)<f,即f<f(2)<f.答案:f<f(2)<f16给出下列五个命题:①函数y=f(x),x∈R的图像与直线x=a可能有两个不同的交点;②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数;③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2,存在x0,当x>x0时,有2x>x2成立;④对于函数y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点;⑤已知x1是方程x+lg x=5的根,x2是方程x+10x=5的根,则x1+x2=5.其中正确的序号是.解析:对于①,函数表示每个x对应唯一的y值,是一种对应关系,根据定义进行判定即可判断①错;对于②,函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不等,故不是相等函数,故②错;对于③,当x0取大于等于4的值都可使当x>x0时,有2x>x2成立,故③正确;对于④,只有函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,才有f(a)·f(b)<0,f(x)在(a,b)内有零点,故④错;对于⑤,∵x+lg x=5,∴lg x=5-x.∵x+10x=5,∴10x=5-x.∴lg(5-x)=x.如果作变量代换y=5-x,则lg y=5-y.∵x1是方程x+lg x=5的根,x2是方程x+10x=5的根,∴x1=5-x2,∴x1+x2=5.故正确.答案:③⑤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)计算:(1);(2)log225·log3·log5.解(1)原式==+1-1=2·=2.(2)原式=log252·log32-4·log53-2==16.18(12分)已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1}.(1)求∁U A,A∩(∁U B);(2)若C={x|1-a≤x≤2a+1},且C⊆A,求实数a的取值范围.解(1)∵全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},∴∁U A={x|-1≤x≤3},∁U B={x|-5≤x<-1或1≤x≤3}.∴A∩(∁U B)={x|-5≤x<-1}.(2)∵C={x|1-a≤x≤2a+1},当1-a>2a+1,即a<0时,C=⌀,满足C⊆A;当1-a≤2a+1,即a≥0时,C≠⌀,由C⊆A得,-5≤1-a≤2a+1≤-1,a无解.综上所述,满足C⊆A的实数a的取值范围为(-∞,0).19(12分)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且函数f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在x∈[-1,2]上的值域;(3)令g(x)=f(x)-,判断函数g(x)是否存在零点,若存在,求出所有零点;若不存在,请说明理由.解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(0)=0,则c=0.由题意f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,∴解得a=b=.∴f(x)=x2+x.(2)f(x)=,x∈[-1,2],最小值为f=-,最大值为f(2)=3,∴f(x)在[-1,2]上的值域是.(3)由g(x)=f(x)-=0,可得x2+x-=0,∴x3+x2-2=0.∴(x-1)(x2+2x+2)=0.∴x=1,即函数g(x)的零点是1.20(12分)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如下表所示.(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像;(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图像;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉土地多少公顷?解(1)描点作图①如下所示:图①图②(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx.取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得可算得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图像如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由y=2.4+1.8×25,求得y=47.4,即当积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4公顷.21(12分)已知f(x)=g(x)=.(1)求y=g(x)的解析式,并画出其图像;(2)写出方程x f[g(x)]=2g[f(x)]的解集.解(1)当x<1时,x-1<0,x-2<0,此时g(x)==1.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,此时g(x)=.当x≥2时,x-1>0,x-2≥0,此时g(x)==2.故y=g(x)=其图像如图.(2)∵g(x)>0,∴f[g(x)]=2,x∈R.∴方程x f[g(x)]=2g[f(x)]即为x2=其解集为{-,2}.22(12分)已知函数f(x)=.(1)求证:函数f(x)在区间(-1,+∞)上是增加的;(2)设g(x)=f(2x),求证:函数g(x)是奇函数;(3)在(2)的前提下,若g(x-1)+g(3-2x)<0,求实数x的取值集合.(1)证明∵f(x)==1-,∴任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=1--1+=,∵x1<x2,且x1,x2∈(-1,+∞),∴x2-x1>0,且x1+1>0,x2+1>0.∴f(x2)-f(x1)>0.∴函数f(x)在区间(-1,+∞)上是增加的.(2)证明g(x)=f(2x)=,∴g(-x)==-g(x).∴函数g(x)是奇函数.(3)解∵函数g(x)是奇函数且是增加的,g(x-1)+g(3-2x)<0,∴g(x-1)<g(2x-3),∴x-1<2x-3.∴x>2.∴实数x的取值集合是{x|x>2}.。
高中数学 模块测试(含解析)北师大版必修1
数学北师版必修1模块测试(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若全集U ＝{1,2,3,4}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )．A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2．已知集合M ＝{1,2}，N ＝{b |b ＝2a －1，a ∈M }，则M ∪N ＝( )．A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．3．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )．A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0]4．(2011湖南衡阳高一期末)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )．A ．y ＝2xB ．y ＝12xC ．y ＝2log 0.3xD ．y ＝－x 25．已知a ＞1,0＜x ＜y ＜1，则下列关系式正确的是( )．A ．a x ＞a yB ．x a ＞y aC ．log a x ＞log a yD ．log x a ＞log y a6．设f (x )＝32,2,log ,2,x x x x ⎧<⎨≥⎩则f (f (3))的值为 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图像中与这一过程吻合得最好的是( )．8．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝21x +C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝1lg 1x + 9．已知f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，若x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )．A．－2 B．2 C．－98 D．9810．三个数a＝70.3，b＝0.37，c＝ln 0.3的大小顺序是( )．A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b11．为了得到函数y＝3lg10x+的图像，只需把函数y＝lg x的图像上所有的点( )．A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度12．若函数f(x)＝a x＋ka－x(a＞0，a≠1)在R上既是奇函数，又是增函数，则g(x)＝log a(x ＋k)的图像是( )．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设f：x→2x－1为从集合A到集合B的一一映射，其中B＝{－1,3,5}，则集合A＝__________.14．已知集合A＝{x|x＋1＞2}，集合B＝{x|x＞m}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围是__________．15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝__________.16．(2011太原高一期末)已知函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则72f⎛⎫⎪⎝⎭，52f⎛⎫⎪⎝⎭，f(1)的大小关系为__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x－a＜0}，(1)当a＝3时，求A∪B；(2)若A B，求实数a的取值范围．18．(12分)化简：1 6 41)0－1233313864-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)lg 2lg 50＋lg 25－lg 5lg 20.19.(12分)求函数124325x xy-=-⨯+的最小值．20．(12分)某旅游公司的最大接待量为1 000(人)，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1 000，留出适当的空闲量〔如：当接待量为800(人)时，则空闲量为200(人)〕，空闲量与最大接待量的比值叫空闲率．已知该公司4月份接待游客的日增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k＞0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；(2)当k＝110时，求4月份游客日增加量的最大值．21.(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝2x－1.(1)求f(－1)的值；(2)求当x＜0时，函数的解析式；(3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减少的．22．(14分)已知函数f(x)＝lg(m x－2x)(0＜m＜1)．(1)当12m=时，求f(x)的定义域；(2)试判断函数f(x)在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明；(3)若f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，求m的取值范围．解：(1)当m ＝12时，要使f (x )有意义，须1202xx ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即2－x ＞2x ，可得－x ＞x ，即x ＜0，∴函数f (x )的定义域为{x |x ＜0}．(2)函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数． 证明：设x 2＜0，x 1＜0，且x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0.令g (x )＝m x －2x，则g (x 2)－g (x 1)＝221122x x x x m m --+=211222x x x x m m -+-.∵0＜m ＜1，x 1＜x 2＜0，∴21120,220x x x x m m -<-<，∴g (x 2)－g (x 1)＜0，即g (x 2)＜g (x 1)， ∴lg(g (x 2))＜lg(g (x 1))，∴lg(g (x 2))－lg(g (x 1))＜0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．(3)由(2)知：f (x )在(－∞，0)上是减函数， ∴f (x )在(－∞，－1]上是减少的，∴f (x )在(－∞，－1]上的最小值为f (－1)＝lg(m －1－2－1)，∴要使f (x )在(－∞，－1]上恒取正值， 只需f (－1)＝lg(m －1－2－1)＞0，即m －1－2－1＞1，∴113122m >+=，∵0＜m ＜1，∴0＜m ＜23.。
北师大版高中数学必修1模块综合测试卷(一)
模块综合评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：根据集合M，N的元素可知，二者没有包含关系，故A，B都不正确；M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}，故C正确；M∪N＝{1,2,3,4}，故D不正确．答案：C2．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的个数为()①1∈A；②{－1}∈A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.A．1B．2C．3D．4解析：集合A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，则1∈A，∅⊆A，{1，－1}⊆A，即①③④正确答案：C3．(2012·山东卷)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：易得∁U A＝{0,4}，从而(∁U A)∪B＝{0,2,4}．答案：C4．下列等式中，正确的是()A.4a4＝a B.6(－2)2＝3－2C．a0＝1 D.10(2－1)5＝(2－1)12解析：4a4＝|a|，故A不正确；∵6(－2)2>0，3－2<0，∴6(－2)2≠3－2，B不正确；若a＝0，则a0没有意义，C不正确；∵2>1，∴10(2－1)5＝(2－1)510＝(2－1)12，∴D正确，选D.答案：D5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x－1，x<2log3(2x－1)，x≥2，则f[f(2)]＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：∵f(2)＝log3(22－1)＝1，∴f[f(2)]＝f(1)＝2e1－1＝2.答案：C6．已知f(x)＝a x，g(x)＝log a x(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是()解析：f(x)＝a x与g(x)＝log a x有相同的单调性，排除A，D；又当a>1时，f(3)·g(3)>0，排除B，当0<a<1时，f(3)·g(3)<0，选C.答案：C7．下列函数在(0，＋∞)上是增函数并且是定义域上的偶函数的是()A．y＝x 23B．y＝⎝⎛⎭⎪⎫12xC．y＝ln x D．y＝x2＋2x＋3解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝ln x 不具有奇偶性，排除B 、C ；又y ＝x 2＋2x ＋3对称轴为x ＝－1，不是偶函数，排除D ；y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数且在定义域R 上是偶函数，选A.答案：A8．函数y ＝x 2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( )A ．1.55B ．1.65C ．1.75D ．1.85 解析：经计算知函数零点的近似值可取为1.75.答案：C9．(2012·天津改编)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝|lg x |，x ∈(0，＋∞)B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：显然y ＝|lg x |，x ∈(0，＋∞)的定义域关于原点不对称，因此不具有奇偶性；依据y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0的图像可得它既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数；y ＝e x －e －x 2，x ∈R 是奇函数；y ＝x 3＋1，x ∈R 不具有奇偶性．答案：B10．已知函数f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 D ．(0,1)∪(10，＋∞)解析：因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，所以函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，故f (lg x )>f (1)可以转化为－1<lg x <1，依据对数函数的性质可得110<x <10.答案：C二、填空题(每小题5分，共25分)11．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解析：依据交集的概念可得3为集合A ，B 的公共元素，所以3∈B .因为a 2＋4≥4，所以a ＋2＝3，解得a ＝1.答案：112．函数y ＝log 12(5x －3)的定义域为________．解析：由log 12(5x －3)≥0，得：0<5x －3≤1，∴35<x ≤45，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，45. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤35，45 13．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (a －2)<f (1－a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a －2≤1－1≤1－a ≤1，a －2＜1－a解得1≤a <32.故a 的取值范围是1≤a <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 14．若函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为g (x )＝x 是奇函数，f (x )＝g (x )h (x )是偶函数，所以h (x )＝e x ＋a e －x 也为奇函数，又函数h (x )的定义域为R ，所以h (0)＝e 0＋a e 0＝0，所以a ＝－1.答案：－115．下列四个结论中正确的有________(填序号)．①函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的定义域是(1，＋∞)；②若幂函数y ＝f (x )的图像经过点(2,4)，则该函数为偶函数；③函数y ＝5|x |的值域是(0，＋∞)；④函数f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)内有且只有一个零点．解析：对于①，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0，解得x >1，故①正确；∵f (x )＝x α的图像过点(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴f (x )＝x 2，为偶函数，故②正确；∵|x |≥0，∴y ＝5|x |≥1，∴函数y ＝5|x |的值域是[1，＋∞)，故③不正确；∵f (－1)＝－1＋2－1＝－12<0，f (0)＝0＋20＝1>0， ∴f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)内至少有一个零点，又f (x )＝x ＋2x 为增函数，∴f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)内有且只有一个零点，故④正确．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共75分)16．(12分)已知集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解：∵A ∩B ＝∅，且B 不为空集，因此依据A 是否为空集分两种情况讨论：(1)当A ＝∅时，由2a ＋1≤a －1，得a ≤－2；(2)当A ≠∅时，由2a ＋1>a －1，得a >－2.∵A ∩B ＝∅，则有2a ＋1≤0或a －1≥1，即a ≤－12或a ≥2，∴－2<a ≤－12或a ≥2.综上可知a ≤－12或a ≥2.17．(12分)(1)计算：(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．解：18．(12分)设函数f (x )＝2x －4，g (x )＝－x ＋4，(1)求f (1)，g (1)，f (1)g (1)的值；(2)求函数y ＝f (x )g (x )的解析式，并求此函数的零点；(3)写出函数y ＝f (x )g (x )的单调区间．解：(1)f (1)＝2－4＝－2，g (1)＝－1＋4＝3，f (1)g (1)＝－2×3＝－6.(2)∵f (x )＝2x －4，g (x )＝－x ＋4，∴y ＝f (x )g (x )＝(2x －4)(－x ＋4)．令(2x －4)(－x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝4，即此函数的零点是2,4.(3)y ＝f (x )g (x )＝(2x －4)(－x ＋4)＝－2x 2＋12x －16＝－2(x －3)2＋2，此函数是二次函数，图像开口向下，对称轴是直线x ＝3，则函数y ＝f (x )g (x )的单调递增区间是(－∞，3]，单调递减区间是(3，＋∞)．19．(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x 的最大值比最小值大1，求a 的值．解：(1)当a >1时，由题意得log a π－log a 2＝1∴a ＝π2，又π2>1，∴a ＝π2符合题意．(2)当0<a <1时，log a 2－log a π＝1，a ＝2π，∵0<2π<1，∴a ＝2π符合题意．综上所述，a 的值为π2或2π.20．(13分)已知函数f (x )＝a －12x ＋1. (1)求证：不论a 为何实数，f (x )在R 上总为增函数；(2)确定a 的值，使f (x )为奇函数；(3)当f (x )为奇函数时，求f (x )的值域．解：(1)∵f (x )的定义域为R ，设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －12x 1＋1－a ＋12x 2＋1＝2x 1－2x 2(1＋2x 1)(1＋2x 2)∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(1＋2x 1)(1＋2x 2)>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以不论a 为何实数f (x )总为增函数．(2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －12－x ＋1＝－a ＋12x ＋1解得：a ＝12.(3)由(2)知f (x )＝12－12x ＋1， ∵2x＋1>1，∴0<12x ＋1<1， ∴－1<－12x ＋1<0，∴－12<f (x )<12. 故函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 21．(14分)函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )>0.(1)证明：f (x )是奇函数；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数；(3)若f (2x )>f (x ＋3)，试求x 的取值范围．解：(1)证明：∵x ∈R ，∴函数f (x )的定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0，令x ＝－y ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (x )＝－f (－x )，∴函数f (x )为奇函数．(2)证明：设x 1，x 2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)，∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数．(3)∵函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数，且f (2x )>f (x ＋3)，∴2x>x＋3，∴x>3，∴x的取值范围为(3，＋∞)．。
高中数学 模块综合测评(一)北师大版必修1
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，C ＝{4,5}，则(A ∩B )∪C 为( ) A ．{3,4} B ．{3,4,5} C ．{4,5,6}D ．{3,4,5,6}【解析】 依题意得，A ∩B ＝{3,4}，所以(A ∩B )∪C ＝{3,4,5}，选B. 【答案】 B2．(2016·浙江瑞安市高一期中)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －1D ．y ＝x 3【解析】 选项A 中y ＝x 12＝x 是非奇非偶的函数，选项C 中y ＝x －1是奇函数，对于选项D 中y ＝x 3也是奇函数，均不满足题意；选项B 中y ＝x 4是偶函数，且过点(0,0)(1,1)，满足题意．故选B.【答案】 B3.已知函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝f (x ) 【解析】 因为f (－x )＝1＋－x 21－－x 2＝1＋x 21－x 2＝f (x )，故f (x )为偶函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋1x 21－1x2＝1＋x2x 2－1＝－f (x )． 【答案】 C4．若函数f (x )＝log 2x －12－x的定义域为A ，g (x )＝ln1－x 的定义域为B ，则∁R (A∪B )＝( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(0,1]∪[2，＋∞)D ．(0,1)∪(2，＋∞)【解析】 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1>02－x >0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0ln 1－x≥0⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]，A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)，∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)． 【答案】 C5．(2016·湖南长沙一中高一期中)三个数a ＝0.72，b ＝log 20.7，c ＝20.7之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵0＜a ＝0.72＜1，b ＝log 20.7＜0，c ＝20.7＞1.∴b ＜a ＜c .故选C. 【答案】 C6．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)已知定义域在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)＜0，则a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)【解析】 由f (a －3)＋f (9－a 2)＜0，得f (a －3)＜－f (9－a 2)；又奇函数满足f (－x )＝－f (x )，得f (a －3)＜f (a 2－9)；因为f (x )是(－1,1)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a －3＜1－1＜a 2－9＜1，a －3＞a 2－9解得22＜a ＜3.【答案】 A7．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图像，只需把函数y ＝lg x 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】 由y ＝lgx ＋310得y ＝lg(x ＋3)－1，由y ＝lg x 的图像向左平移3个单位，得y ＝lg(x ＋3)的图像，再向下平移一个单位得y ＝lg(x ＋3)－1的图像．故选C.【答案】 C8．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12等于( )【导学号：04100084】A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝2.故选D. 【答案】 D9．已知lg a ＋lg b ＝0，函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图像可能是( )【解析】 由lg a ＋lg b ＝0得ab ＝1，当a >1时，0<b <1，结合选项知B 正确． 【答案】 B10．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c 则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【解析】 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x，y ＝log 3x ，y ＝－1x的图像，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a ＜b ＜c .故选A.【答案】 A11．(2016·兰州高一期末)已知f (x )的定义域为x ∈R 有x ≠1，已知f (x ＋1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )＝2x 2－x ＋1，那么，当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，74 【解析】 由题意知，f (x ＋1)为奇函数，则f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)． 令t ＝－x ＋1，则x ＝1－t ，故f (t )＝－f (2－t )，即f (x )＝－f (2－x )． 设x ＞1，则2－x ＜1.∵当x ＜1时，f (x )＝2x 2－x ＋1，∴f (2－x )＝2(2－x )2－(2－x )＋1＝2x 2－7x ＋7， ∴f (x )＝－f (2－x )＝－2x 2＋7x －7，∴函数的对称轴x ＝74.故所求的减区间是[74，＋∞)．故选C.【答案】 C12．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，ax，x ＞1，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．－3≤a ＜0B ．－3≤a ≤－2C ．a ≤－2D ．a ≤0【解析】 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，ax，x ＞1是R 上的增函数，设g (x )＝－x 2－ax －5(x ≤1)，h (x )＝ax(x ＞1)，由分段函数的性质可知，函数g (x )＝－x 2－ax －5在(－∞，1]单调递增，函数h (x )＝a x在(1，＋∞)单调递增，且g (1)≤h (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a ＜0，－a －6≤a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，a ＜0，a ≥－3，解得－3≤a ≤－2.故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．化简(a 23b 12)(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56的结果为________．【解析】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a .【答案】 －9a14．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝3－x 2的实数解的个数是________．【导学号：04100085】【解析】 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝3－x 2.作出两函数图像如图由图可知f (x )与g (x )有两个交点．故方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝3－x 2的实数解的个数为2.【答案】 215．(2016·天津市南开大附中高一期中)已知(1.40.8)a＜(0.81.4)a，则实数a 的取值范围是______．【解析】 ∵1.40.8＞1,0＜0.81.4＜1， 且(1.40.8)a＜(0.81.4)a ， ∴y ＝x a为减函数，∴a 的取值范围是(－∞，0)． 【答案】 (－∞，0)16．(2016·宿迁高一期末)关于x 的方程|x 2－1|＝a 有三个不等的实数解，则实数a 的值是______．【解析】 构造函数y 1＝|x 2－1|，y 2＝a ，画出函数的图形，如图所示，则可得关于x 的方程|x 2－1|＝a 有三个不等的实数解时，a ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2015·江阴高一检测)计算下列各式的值：(1)(ln 5)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋1－22－2log 42.(2)log 21－lg 3·log 32－lg 5.【解】 (1)原式＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫322－0.5＋|1－2|－212＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＋2－1－2＝23.(2)原式＝0－lg 3·lg 2lg 3－lg 5＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg(2×5)＝－1.18．(本小题满分12分)(2016·河南舞钢市一高高一月考)已知集合A ＝{x |0＜ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ≤2. (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围；(3)是否存在实数a 使得A ∪B ＝A ∩B ？若存在，求出a 的值；若不存在，试说明理由． 【解】 A 中不等式的解应该分三种情况讨论确定： ①当a ＝0时，A ＝R ；②当a ＜0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 4a ≤x ＜－1a ； ②若a ＞0，则A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a≤x ≤4a .(1)若a ＜0，若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＞－12，－1a ≤2，⇒a ＜－8.若a ＞0，若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤2，－1a ≥－12，⇒a ≥2.故由A ⊆B 得a 的取值范围是{a |a ＜－8，或a ≥2}． (2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a ＞2，⇒－12＜a ＜0.当a ＞0时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≥2，－1a ＜－12，⇒0＜a ≤2.若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－12＜a ≤2. (3)由A ∪B ＝A ∩B 得，A ＝B ，即A ⊆B ，B ⊆A ，结合(1)、(2)知，a ＝2.19．(本小题满分12分)(2016·湖南永顺一中高一期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x ＞2时，y ＝f (x )的图像是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(2，＋∞)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的图像； (3)写出函数f (x )的值域及单调增区间．图1【解】 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2，所以y ＝－2(x －3)2＋4，即x ＞2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14. (2)函数f (x )的图像如图：(3)由图像可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]，单调增区间为(－∞，－3)，(0,3) 20．(本小题满分12分)(2016·湖南株州二中高一期中)已知f (x )＝log 21＋x 1－x(1)判断f (x )的奇偶性并证明；(2)判断f (x )的单调性并用单调性定义证明； (3)若f (x －3)＋f (－13)＜0，求实数x 的取值范围．【解】 (1)f (x )在(－1,1)上为奇函数，证明如下： ∵1＋x1－x＞0，∴－1＜x ＜1，∴定义域为(－1，1)关于原点对称， 又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴f (x )为(－1,1)上的奇函数．(2)f (x )在(－1,1)上单调递增，证明如下： 设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝log 21＋x 11－x 1－log 21＋x 21－x 2＝log 21＋x 11－x 21－x 11＋x 2.又－1＜x 1＜x 2＜1，∴(1＋x 1)(1－x 2)－(1－x 1)(1＋x 2)＝2(x 1－x 2)＜0， 即0＜(1＋x 1)(1－x 2)＜(1－x 1)(1＋x 2)， ∴0＜1＋x 11－x 21－x 11＋x 2＜1，∴log 21＋x 11－x 21－x 11＋x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上单调递增． (3)∵f (x )为(－1,1)上的奇函数， ∴f (x －3)＜－f (－13)＝f (13)．又f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴－1＜x －3＜13，得2＜x ＜103.21．(本小题满分12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大. 【导学号：04100086】 【解】 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x ＞500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －120＜x ≤500，12－1400x x ＞500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x ＞500时，f (x )＝12－1400x ＜12－54＝34432＜34532，故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )f (y )，且f (－1)＝1，f (27)＝9，当0≤x ＜1时，f (x )∈[0,1)．(1)判断f (x )的奇偶性．(2)判断f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明． (3)若a ≥0且f (a ＋1)≤39，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)令y ＝－1， 则f (－x )＝f (x )·f (－1)． 因为f (－1)＝1，所以f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数． (2)f (x )在[0，＋∞)上单调递增．证明如下： 设0≤x 1＜x 2， 所以0≤x 1x 2＜1，f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)． 当x ≥0时，f (x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0，f (x )不恒为零．因为0≤x ＜1时，f (x )∈[0,1)， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜1，所以f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )在[0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)2＝[f (3)]3. 所以9＝[f (3)]3， 所以f (3)＝39， 因为f (a ＋1)≤39， 所以f (a ＋1)≤f (3)，因为f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 且a ≥0，a ＋1∈[1，＋∞)， 所以a ＋1≤3，即a ≤2， 故0≤a ≤2.。
高中数学 模块综合检测 北师大版必修1
模块综合检测一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，5}，则A ∩(U B )＝( ) A ．{1，3} B ．{2} C ．{2，3}D ．{3}解析：U B ＝{1，3，4}，∴A ∩(U B )＝{1，3}，故选A. 答案：A2．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4，10)∪(10，＋∞)D ．[4，10)∪(10，＋∞)解析：要使函数有意义须⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，lg x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10，解得：4≤x ＜10或x ＞10. 答案：D3．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表，则f (x )的奇偶性是x 1 4 f (x )12A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数解析：由2＝4α知α＝12，∴f (x )＝x 12为非奇非偶函数．答案：C4．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1，2}，则A ∩B 一定是( ) A ．B ．或{1} C ．{1} D ．{}解析：令x 2＝1，得x ＝±1；令x 2＝2，得x ＝± 2.由映射的定义知，集合A 可能含元素1，可能不含元素1，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}；若1A ，则A ∩B ＝，∴A ∩B ＝{1}或.答案：B5．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43＜30.4＜log 40.3 B ．0.43＜log 40.3＜30.4C ．log 40.3＜0.43＜30.4D ．log 40.3＜30.4＜0.43解析：∵log 40.3＜log 41＝0，0＜0.43＜0.40＝1， 30．4＞30＝1，∴log 40.3＜0.43＜30.4. 答案：C6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜32，log 3（x 2－1），x ≥32，则f (f (2))的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.答案：C7．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：令y 1＝ln x ，y 2＝4－x ，在同一坐标系中画出它们的图像如图所示．由图像观察可知x 0∈(2，3)． 答案：C8．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图像中与这一过程吻合得最好的是( )解析：根据实际情况较吻合的应为D. 答案：D9．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点x ＝2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图像可能是( )解析：由题意知2a ＋b ＝0，∴a ＝－b2，∴g (x )＝bx 2＋b 2x ＝b (x 2＋12x )＝b (x ＋14)2－b 16，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－0.5，故选C. 答案：C10．若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足f (－x )＝－f (x )，当a ，b ∈(－∞，0]时总有f （a ）－f （b ）a －b＞0(a ≠b )，若f (m ＋1)＞f (2)，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤1B ．m ＞1C ．－3＜m ＜1D ．m ＜－3或m ＞1解析：∵当a ，b ∈(－∞，0]时总有f （a ）－f （b ）a －b＞0(a ≠b )，∴当a ，b ∈(－∞，0]，a －b 与f (a )－f (b )同号，∴f (x )在(－∞，0]上单调递增，又∵f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数， ∴f (x )在R 上为增函数，∴由f (m ＋1)＞f (2)得，m ＋1＞2， ∴m ＞1. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．计算log 222＋log 23·log 312＝________．解析：原式＝log 2(2)3＋lg 3lg 2·lg 12lg 3＝3－1＝2.答案：212设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)＝________． 解析：f (－2)＝f (2)＝22－3＝1. 答案：113．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x（x ≤0），x 12（x ＞0），若f (x 0)＞2，则x 0的取值范围是________．解析：当x 0≤0时，f (x 0)＝(12)x 0＞2，得x 0＜－1；当x 0＞0时，f (x 0)＝x 120＞2，得x 0＞4. ∴x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 14．下列叙述：①存在m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数； ②函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数； ③函数y ＝log 2x ＋x 2－2在(1，2)内只有一个零点； ④定义域内任意两个变量x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则f (x )在定义域内是增函数．其中正确的结论序号是________．解析：①使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，则m －1＝1，得m ＝2，此时f (x )＝x －1，故①正确；②减区间应为(－∞，－1)和(－1，＋∞)不能合并，故②错误； ③∵f (1)＝log 21＋1－2＝－1＜0，f (2)＝lg 22＋22－2＝3＞0 ∴f (1)f (2)＜0，且f (x )在(1，2)单调递增．故③正确；④由已知得x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴f (x )在定义域上为增函数． 综上知①③④正确． 答案：①③④三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，C ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}．若A ∩C ＝，B ∩C ≠，求a 的值． 解：A ＝{2，－4}，B ＝{2，3}，由A ∩C ＝，知2C ，－4C ， 又由B ∩C ≠，知3∈C ，∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝－2或a ＝5 当a ＝－2时，C ＝{3，－5}，满足A ∩C ＝， 当a ＝5时，C ＝{3，2}，A ∩C ＝{2}≠，舍去， ∴a ＝－2.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )． (1)当函数f (x )的图像过点(－1，0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）， x ＞0，－f （x ），x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0. 因为方程f (x )＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以b 2－4(b －1)＝0. 即b ＝2，a ＝1. 所以f (x )＝(x ＋1)2；(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝(x －k －22)2＋1－（k －2）24.所以当k －22≥2或k －22≤－2时，即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数； (3)f (x )为偶函数，所以b ＝0. 所以f (x )＝ax 2＋1.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1， x ＞0，－ax 2－1， x ＜0. 因为mn ＜0，不妨设m ＞0，则n ＜0. 又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0. 所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0.所以F (m )＋F (n )＞0.17．(本小题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a ＞2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，指出这个函数的定义域； (2)当AE 为何值时，绿地面积最大？ 解：(1)S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DGH ＝12(a －x )(2－x )． ∴y ＝S △ABCD －2S △AEH －2S △BEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x ) ＝－2x 2＋(a ＋2)x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，a －x ＞0，2－x ≥0，a ＞2，得0＜x ≤2，∴y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，0＜x ≤2； (2)当a ＋24＜2，即2＜a ＜6时，则x ＝a ＋24时，y 取最大值（a ＋2）28；当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，在(0，2]上是增函数，则x ＝2时，y 取最大值2a －4综上所述：当2＜a ＜6时，AE ＝a ＋24时，绿地面积取最大值（a ＋2）28；当a ≥6时 AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )定义域为[－1，1]，若对于任意的x ，y ∈[－1，1]，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，有f (x )＞0.(1)证明：f (x )为奇函数；(2)证明：f (x )在[－1，1]上是增加的；(3)设f (1)＝1，若f (x )＜m －2am ＋2，对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0. 令y ＝－x ，f (x )＋f (－x )＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数； (2)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， 令－1≤x 1＜x 2≤1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＞0 ∴f (x )在[－1，1]上是增加的；(3)f (x )在[－1，1]上是增加的，f (x )max ＝f (1)＝1，使f (x )＜m －2am ＋2对所有x ∈[－1，1]恒成立，只要m －2am ＋2＞1，即m －2am ＋1＞0.令g (a )＝m －2am ＋1＝－2am ＋m ＋1，要使g (a )＞0时a ∈[－1，1]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＞0，g （1）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋3m >0，1－m >0，－13<m <1，∴实数m 的取值范围是(－13，1)．。
北师大版高中数学必修一(上)必修模块(1)水平测试
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）焦作市2010-2011学年（上）必修模块（1）水平测试数学试卷命题： 修武一中 李同喜 校审： 焦作一中 王 静 市教研室 焦金安注意本试卷满分120分，附加题20分，答案必须写在答题卷上，在试卷上作答无效.一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个选项 是正确的，请将正确选项移到答题卷答案栏内.） 1.集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-≤<，那么A B =A.{|23}x x -<<B.{|12}x x ≤<C.{|21}x x -<≤D.{|23}x x <<2.二次函数542+-=mx x y 的对称轴为2-=x ，则当1=x 时，y 的值为 A.-7 B.1 C.17 D.253.下列各组函数中，表示同一个函数的是A ．211x y x -=-与1y x =+B ．lg y x =与21lg 2y x =C ．21y x =-与1y x =-D ．y x =与y=log a a x (a ﹥0且a ≠1) 4.函数1()1f x x=-的定义域为A. {x|x>1}B.{x|x<1}C. {x|－1<x<1}D. ∅5.右图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ A ．指数函数：t y 2= B ．对数函数：t y 2log = C ．幂函数：3t y = D ．二次函数：22t y =6.函数y= | lg （x-1）| 的图象是7.已知31)53(-=a ，21)53(-=b ，21)34(-=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.c a b <<8.已知函数1])21[(l )(21-=x og x f ，则A.函数在（-∞，0）上递减B.函数在（-∞，0）上递增C.函数在R 上递减D.函数在R 上递增9.已知)(x f y =在定义域（-1,1）上是减函数，且)12()1(-<-a f a f ，则a 的取值范围是A ．），（321-B ．），（132C ．），（320 D ．）（,10 10.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取 了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一 些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
北师大版数学高一必修1练习 模块综合检测
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则A ∩B ＝( ) A ．{3} B ．{4} C ．{3，4}D ．{1，3，4}解析：选A.因为A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则A ∩B ＝{1，3，5}∩{3，4}＝{3}． 2．函数f (x )＝ln (x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.要使f (x )＝ln (x 2－x )有意义，只需x 2－x ＞0， 解得x ＞1或x ＜0.所以函数f (x )＝ln (x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，则f [f (－2)]的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5解析：选D.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x 2，x <0.所以f (－2)＝(－2)2＝4，f [f (－2)]＝f (4)＝4＋1＝5.4.设全集U ＝R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x ＜1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |x ＜2}解析：选C.阴影部分所表示集合是N ∩(∁U M )， 又因为∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}，所以N ∩(∁U M )＝{x |1＜x ≤2}．5．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：选B.A 项，函数定义域为R ，但在R 上为减函数，故不符合要求； B 项，函数定义域为R ，且在R 上为增函数，故符合要求； C 项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要求；D 项，函数定义域为R ，但在(－∞，0]上是递减的，在[0，＋∞)上是递增的，不符合要求．6．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C.0<a ＝2－13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0， c ＝log 1213>log 1212＝1， 即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b .7．函数f (x )＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)解析：选C.f (x )的图像是一条连续的曲线且是递增的，f (0)＝－1，f (1)＝32，即f (0)f (1)<0，所以f (x )的唯一零点在(0，1)内．8．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：选B.因为log 5b ＝a ，lg b ＝c ，所以5a ＝b ，b ＝10c .又5d ＝10，所以5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ，所以a ＝cd .9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，且f (a )＝3，则实数a 的值是( ) A ．±2 B ．2 C ．－2D ．4解析：选B.法一：令x ＋2x ＝3，即x ＋2x －3＝0，所以x ＝1，故a ＝x ＋1＝2.法二：因为f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1， 设t ＝x ＋1，所以f (t )＝t 2－1(t ≥1)， 由f (a )＝a 2－1＝3(a ≥1)得a ＝2.10．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选C.因为f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1， 所以f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1. 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 所以f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． 所以f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. 所以f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.11．已知函数g (x )＝2x－12x ，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），x ≥0，g （－x ），x ＜0，则函数f (x )在定义域内( )A ．有最小值，但无最大值B ．有最大值，但无最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：选A.当x ≥0时，函数f (x )＝g (x )＝2x －12x 在[0，＋∞)上单调递增，设x ＞0，则－x ＜0，f (x )＝g (x )，f (－x )＝g (x )，则f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数，综上可知函数f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1－1＝0，无最大值．12．已知函数f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2，1)，设f －1(x )是f (x )的反函数，则F (x )＝[f －1(x )]2－f －1(x 2)的值域为( )A ．[2，5]B ．[1，＋∞)C ．[2，10]D ．[2，13]解析：选A.把(2，1)代入f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)，得1＝32－b ，2－b ＝0，b ＝2. 所以f (x )＝3x －2(2≤x ≤4)，又f (x )在[2，4]上递增，所以f (x )∈[1，9]．而f －1(x )＝log 3x ＋2(1≤x ≤9)，又对f －1(x 2)有意义，需1≤x 2≤9，所以1≤x ≤3.所以F (x )的定义域为[1，3]，令t ＝log 3x (1≤x ≤3)，则t ∈[0，1]，F (x )＝(log 3x ＋2)2－(2log 3x＋2)＝log 23x ＋2log 3x ＋2，则f (x )＝g (t )＝(t ＋1)2＋1∈[2，5]．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 解析：4a ＝2，a ＝12，lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：1014．我国2010年底的人口总数为M ，要实现到2020年底我国人口总数不超过N (其中M <N )，则人口的年平均自然增长率p 的最大值是________．解析：由题意知M (1＋p )10≤N ，所以(1＋p )10≤N M，p ≤⎝⎛⎭⎫N M 110－1.答案：⎝⎛⎭⎫N M 110－115．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________．解析：因为A ⊙B ＝{0，6，12}，所以A ⊙B 的所有元素之和为0＋6＋12＝18. 答案：1816．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎨⎧a >1，4－a2>0，⎝⎛⎭⎫4－a 2×1＋2≤a ，解得4≤a <8. 答案：[4，8)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合U ＝{0，1，2，3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}， (1)若∁U A ＝{1，2}，求实数m 的值；(2)若集合A 是单元素集(即集合内元素只有一个)，求实数m 的值．解：(1)因为U ＝{0，1，2，3}，∁U A ＝{1，2}，所以A ＝{0，3}，即0，3是x 2＋mx ＝0的两根，所以m ＝－(0＋3)＝－3.(2)因为A 为单元素集，所以x 2＋mx ＝0有两个相等的实数根，由Δ＝m 2＝0得m ＝0，此时A ＝{0}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋3)－2x 3＋4x 的图像在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：(1)计算上述表格中的对应值a 和b ；(2)从上述对应值表中，可以发现函数f (x )在哪几个区间内有零点？说明理由． 解：(1)由题意可知a ＝f (－2)＝log 2(－2＋3)－2×(－2)3＋4×(－2)＝0＋16－8＝8， b ＝f (1)＝log 24－2＋4＝4.(2)因为f (－2)·f (－1)＜0，f (－1)·f (0)＜0，f (1)·f (2)＜0，所以函数f (x )分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内有零点．19．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x ，有f (1－x )＝x 2－3x ＋3.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－(1＋2m )x ＋1(m ∈R )在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上的最小值为－2，求m 的值． 解：(1)令1－x ＝t ，则x ＝1－t ， 所以f (t )＝(1－t )2－3(1－t )＋3，即f (t )＝t 2＋t ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈R . (2)g (x )＝x 2－2mx ＋2＝(x －m )2＋2－m 2⎝⎛⎭⎫x ≥32， 若m ≥32，g (x )min ＝g (m )＝2－m 2＝－2，所以m ＝2；若m ＜32，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32，舍去．综上可知m ＝2.20．(本小题满分12分)截至2015年底，已知某市人口数为80万，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x 年后，此市人口数为y (万)．(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x )； (2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f (x )是增函数还是减函数？解：(1)由题设条件知，经过x 年后此市人口总数为 80(1＋1%)x (万)， 所以y ＝f (x )＝80(1＋1%)x .(2)因为此问题以年作为单位时间， 所以此函数的定义域是N ＋.(3)y ＝f (x )＝80(1＋1%)x 是指数型函数， 因为1＋1%>1，所以y ＝80(1＋1%)x 是增函数．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12[x 2－2(2a －1)x ＋8]，a ∈R .(1)若f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围；(2)若关于x 的方程f (x )＝log 12(x ＋3)－1在(1，3)内有两个不等实根，求a 的取值范围．解：(1)要使f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，一方面g (x )＝x 2－2(2a －1)x ＋8是递增的，另一方面g (x )>0，所以2a －1≤a 且g (a )＝a 2－2a (2a －1)＋8>0，解得－43<a ≤1.(2)由已知得x 2－4ax ＋2＝0在(1，3)内有两个不等实根，令F (x )＝x 2－4ax ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<2a <3，F （1）>0，F （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >22或a <－22，12<a <32，a <34，a <1112，解之得22<a <34. 22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1. (1)求f (3)＋f (－1)； (2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7，3]，求区间A . 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6. (2)设x ＜0，则－x ＞0， 所以f (－x )＝2－x －1， 因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0.(3)作出函数f (x )的图像，如图所示：根据函数图像可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0，解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2.所以区间A 为[－3，2]．。
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高中数学学习材料唐玲出品模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．如果A ＝{x |x ＞－1}，那么( )．A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A解析 ∵0∈A ，∴{0}⊆A .答案 D2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )． A ．－14B.14C.32 D ．－32解析 令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14.答案 A3．函数y ＝3x －1＋lg(1－x )的定义域是( )．A ．(1,3)B ．[1,3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D ．(1,3]解析 由题意得：⎩⎨⎧ 3x －1≥0，1－x ＞0，解得13≤x ＜1. 答案 C4．函数f (x )＝x 3＋x 的图像关于( )．A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 解析 ∵f (x )＝x 3＋x 是奇函数，∴图像关于坐标原点对称．答案 C5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )．A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数 解析 本题考查幂的运算性质，f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y ＝f (x ＋y )．答案 C6．若0＜m ＜n ，则下列结论正确的是( )．A ．2m ＞2n B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n C ．log 2m ＞log 2n解析 由指数函数与对数函数的单调性，知D 正确．答案 D7．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )．A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解析 因为a ＝0.3＝0.30.5＜0.30.2＝c ＜0.30＝1，而b ＝20.3＞20＝1，所以b ＞c ＞a .答案 A8．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( )．A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)解析 f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1＜0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34＞0.又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．答案 B9．已知函数f(x)＝a x＋log a x(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2＋6，则a的值为()．A.12 B.14C．2 D．4解析依题意，函数f(x)＝a x＋log a x(a＞0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a2＋log a2＝log a2＋6，解得a＝2.答案 C10．函数y＝|lg(x＋1)|的图像是()．解析将y＝lg x的图像向左平移一个单位，然后把x轴下方的部分关于x轴对称到上方，就得到y＝|lg(x＋1)|的图像．答案 A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知A＝{－1,3，m}，集合B＝{3,4}，若B∩A＝B，则实数m＝________. 解析∵A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，B∩A＝B，∴m＝4.答案 412．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝________.∴f (2)＝15lg 2.答案 15lg 213．函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x 3＋2x －1，则x ＞0时函数的解析式f (x )＝________.解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋2－x －1]＝x 3－2－x ＋1.答案 x 3－2－x ＋114．幂函数f (x )的图像过点(3，427)，则f (x )的解析式是______．15．若函数f (x )＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x －b 2x 是奇函数，则a ＋b 的值是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即lg(10－x＋1)－ax ＝lg 1＋10x10x －ax ＝lg(10x ＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x ＋1)＋ax ，∴a ＝－(a ＋1)，∴a ＝－12，又g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即2－x －b 2－x＝－2x ＋b 2x ，∴b ＝1，∴a ＋b ＝12. 答案 12三、解答题(本大题共6小题，共75分)(2)解方程：log 3(6x －9)＝3.＝53＋1＋43＝4.(2)由方程log 3(6x －9)＝3得6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．17．(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明：(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？证明理由．解 (1)由题图可知，直线 y 甲＝k x ＋b ，经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8.∴y 甲＝0.2(x ＋4)．同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172. 故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27的最大值． 当x ＝－ 3.62×(－0.8)＝214≈2时， y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大，即第二年规模最大，为31.2万只．18．(12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1，(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ＞0，即Δ＝4＋12(1－m )＞0，可解得m ＜43；Δ＝0，可解得m ＝43；Δ＜0，可解得m ＞43.故m ＜43时，函数有两个零点；m ＝43时，函数有一个零点；m ＞43时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.19．(12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．(1)函数f (x )＝1x 是否属于集合M ？说明理由；(2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，试求实数k 和b 满足的约束条件．解 (1)D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f (x )＝1x ∈M ，则存在非零实数x 0，使得1x 0＋1＝1x 0＋1，即x 20＋x 0＋1＝0，因为此方程无实数解，所以函数f (x )＝1x ∉M .(2)D ＝R ，由f (x )＝k x ＋b ∈M ，存在实数x 0，使得k (x 0＋1)＋b ＝k x 0＋b ＋k ＋b ，解得b ＝0，所以，实数k 和b 的取值范围是k ∈R ，b ＝0.20．(13分)已知奇函数f (x )是定义域[－2,2]上的减函数，若f (2a ＋1)＋f (4a －3)＞0，求实数a 的取值范围．解 由f (2a ＋1)＋f (4a －3)＞0得f (2a ＋1)＞－f (4a －3)，又f (x )为奇函数，得－f (4a －3)＝f (3－4a )，∴f (2a ＋1)＞f (3－4a )，又f (x )是定义域[－2,2]上的减函数，∴2≥3－4a ＞2a ＋1≥－2，即⎩⎨⎧ 2≥3－4a ，3－4a ＞2a ＋1，2a ＋1≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥14，a ＜13，a ≥－32.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13. 21．(14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1、x 2∈R 且x 1＜x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2)．解 (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.又∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，即ac ＜0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，所以函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2. ∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2 ＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)＜0， ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．。