高考数学模拟试题一新课标(学生版)(20200617112643)

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高考数学理科模拟试卷一含答案

高考数学理科模拟试卷一含答案
y1+y2=2pm,y1y2=-p2.…4分
不妨设y1>0,y2<0,则
tan∠ACF=====,
tan∠BCF=-=-,
∴tan∠ACF=tan∠BCF,所以∠ACF=∠BCF.…8分
(Ⅱ)如(Ⅰ)所设y1>0,tan∠ACF=≤=1,当且仅当y1=p时取等号,
此时∠ACF取最大值,∠ACB=2∠ACF取最大值,
(Ⅱ)建立如图所示的坐标系D—xyz,不妨设AD=2,则
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,,0),
C(0,,0),S(0,0,2),E(1,0,1).
=(2,,0),=(1,0,1),=(2,0,0),=(0,-,2).
设m=(x1,y1,z1)是面BED的一个法向量,则

因此可取m=(-1,,1).…8分
并且A(,p),B(,-p),|AB|=2p.…12分
21.解:
(Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x,
f(x)=--2ax+1=-.…2分
令Δ=1-8a.
当a≥时,Δ≤0,f(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.…4分
当0<a<时,Δ>0,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,
14.在具有5个行政区域的地图(如图)上,给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色,相邻区域不使用同一颜色,则有种不同的着色方法。
15.椭圆 的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作 轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若 ,则椭圆的离心率 。
16.在 中, 边上的高为 则AC+BC=。
三、解答题:大本题共6小题,共70分,
不妨设x1<x2,
则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f(x)>0,

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)(含答案解析)

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)(含答案解析)

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)本试卷分必考和选考两部分.必考部分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1.已知复数z 满足(2+i)z=3+4i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( )A .2−iB .2+iC .1−2iD .1+2i 2.已知集合M ={−1,0,1},N ={y |y =1+sin2x π,x ∈M },则集合M ∩N 的真子集的个数是( )A .4B .3C .2D .1 3.已知变量x 和y 的统计数据如下表:x 6 8 10 12 y2356根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x +a ,据此可以预测当x =15时,y =( ) A .7.8 B .8.2 C .9.6 D .8.5 4.若向量a ,b 满足|a |=3,|b |=2,a ⊥(a −b ),则a 与b 的夹角为( )A .2π B .23π C .6πD .56π5.阅读如图所示的程序框图,如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输入的实数x 的取值范围是( )A .{x ∈R |0 x 2log 3}B .{x ∈R |−2 x 2}C .{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}D .{x ∈R |−2 x 2log 3或x =2}6.设变量x ,y 满足10222270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤,z =2a x y +(0<a)的最大值为5,则a =( )A .1B .12C.2 D7.已知双曲线2x −2y =1的左、右两个焦点分别是1F 、2F ,O 为坐标原点,圆O 是以12F F 为直径的圆,直线lt -+=0与圆O 有公共点,则实数t 的取值范围是( ) A .[−2,2] B .[0,2] C .[−4,4] D .[0,4]8.已知等差数列{n a }的公差d ≠0,首项1a =d ,数列{2n a }的前n 项和为n S ,等比数列{n b }是公比q 小于1的正项有理数列,首项1b =2d ,其前n 项和为n T ,若33S T 是正整数,则q 的可能取值为( )A .17B .37C .12D .349.若函数y=cos(2x +φ)(0<φ<2π)的图象的对称中心在区间(6π,3π)内只有一个,则φ的值可以是( ) A .12π B .6π C .3πD .56π 10.已知三棱锥P −ABC 的顶点都在同一个球面上(球O ),且P A =2,PB =PC,当三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是( ) A .316π B .38π C .116πD .18π11.已知抛物线2y =8x 的准线与双曲线22221x y a b-=相交于A ,B 两点, 若直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直,则双曲线的离心率为( ) A .3 B .2 CD12.已知函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围是( )A .(1e +1,e −1]B .[1e+1,e −1)C.{1}∪(1e+1,e−1] D.{1}∪[1e+1,e−1)二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若261()(2)x a xx+-展开式中的常数项为60,则实数a的值为.14.已知一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.15.已知在三角形ABC中,角A,B都是锐角,且sin(B+C)+3sin(A+C)cos C=0,则tan A的最大值为.16.已知函数()f x=212ln xx-,若对任意的1x,2x∈(0,1e],且1x≠2x,122212()()||f x f xx x-->2212kx x⋅恒成立,则实数k的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS,且满足3nS=2na+1.(1)求数列{na}的通项公式;(2)设数列{nb}满足nb=(n+1)na,求数列{nb}的前n项和nT.18.(本小题满分12分)某运动会为每场排球比赛提供6名球童,其中男孩4名,女孩2名,赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球,假设每名球童被选中是等可能的.(1)在一场排球比赛中,在已知预备球童是男孩的前提下,求2名正选球童也都是男孩的概率;(2)(i)求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率;(ii)某比赛场馆一天有3场排球比赛,若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择,记球童选取情况恰为(i)中结果的场次为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)已知四棱锥A−BCPM及其三视图如图所示,其中PC⊥BC,侧视图是直角三角形,正视图是一个梯形.(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角M−AC−B的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为1F,2F,过点A (−4,0)的直线l与椭圆C相切于点B,与y轴交于点D(0,2),又椭圆的离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)圆Q与直线l相切于点B,且经过点2F,求圆Q的方程,并判断圆Q与圆2x+2y=2a的位置关系.21.(本小题满分12分)已知函数()f x=ax+ln x−2,a∈R.(1)若曲线y=()f x在点P(2,m)处的切线平行于直线y=−32x+1,求函数()f x的单调区间;(2)是否存在实数a,使函数()f x在(0,2e]上有最小值2?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4─4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合,若直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−6π)=12.(1)写出直线l 的参数方程;(2)设直线l 与圆ρ=2相交于A ,B 两点,求点P (1,1)到A ,B 两点的距离之积. 23.(本小题满分10分)选修4─5:不等式选讲设函数()f x =1+|2x −3|,()g x =|9x +3|.(1)求不等式()f x13()g x 的解集; (2)若不等式()f x 2t x +12+|x −32|的解集非空,求实数t 的取值范围.2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)答案1.A 【解析】由(2+i)z=3+4i ,得z=34i (34i)(2i)105i2i (2i)(2i)5++-+==++-=2+i ,则z 的共轭复数为2−i ,选A .2.B 【解析】因为N ={0,1,2},所以M ∩N ={0,1},其真子集的个数是3,故选B . 3.B 【解析】根据题中表格可知x =6810124+++=9,y =23564+++=4,所以a =y −0.7x =4−0.7×9=−2.3,所以ˆy=0.7x −2.3, 当x =15时,y =0.7×15−2.3=8.2.4.C 【解析】通解 因为a ⊥(a −b ),所以a ·(a −b )=0,即a ·a −a ·b =|a |2−|a |·|b |cos<a ,b >=0,所以cos<a ,b >=2||||||⋅a a b =32,又<a ,b >∈[0,π],故a 与b 的夹角为6π,选C .优解 因为a ⊥(a −b ),所以利用三角形法则不难得出,向量a ,b ,a −b 构成直角三角形,且a ,b 的夹角必定为锐角,从而可知选C .5.C 【解析】根据题意,得当x ∈(−2,2)时,()f x =2x ,由1 2x 3,得0 x 2log 3;当x ∉(−2,2)时,()f x =x +1,由1 x +1 3,得0 x 2,即x =2.故输入的实数x 的取值范围是{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}.故选C .6.A 【解析】如图,画出可行域,∵z =2a x +y ,∴y =−2a x z +,求z 的最大值,即求直线y=−2a x z+在y 轴上的最大截距,显然当直线y=−28a x +过点A 时,在y 轴上的截距取得最大值.由10270x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得A (2,3),则22a +3=5,可得a =1.故选A .7.C 【解析】双曲线2x −2y =1的两个焦点分别是1F (2,0),2F 2,0),从而圆O 的方程为2x +2y =253x t +=0与圆O 有公共点,,即|t| 4,从而实数t的取值范围是[−4,4],故选C.8.C【解析】由题意知,33ST=2222222249141d d dd d q d q q q++=++++为正整数,设为t,则1+q+2q=14t,即2q+q+1−14t=0,因为q有解,故1−4(1−14t) 0,t563.故q因而t整除56,即t的可能取值为1、2、4、7、8、14,经检验当t=8时符合题意,此时q12=,故选C.9.A【解析】令2x+φ=2π+kπ(k∈Z),则x=4π+2kπ−2ϕ,所以6π<4π+2kπ−2ϕ<3π,即ϕπ−16<k<ϕπ+16.又由0<φ<2π,得−16<ϕπ−16<13,16<ϕπ+16<23,所以k=0,此时φ∈(−6π,6π),选A.10.A【解析】三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和为12×sin∠APB+12×sin∠APC+12sin∠BPC,由于∠APB,∠APC,∠BPC相互之间没有影响,所以只有当上述三个角均为直角时,三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和最大,此时P A,PB,PC两两垂直,以其为长方体的三条棱长得出一个长方体,则三棱锥P−ABC与该长方体有共同的外接球,故球O的半径r==2,所以三棱锥P−ABC的体积与球O的体积的比值是311233241623ππ⨯⨯=⨯.11.A【解析】通解因为直线AF(点F为抛物线的焦点)与直线y=x垂直,所以直线AF的斜率为AFk=−1,又抛物线2y=8x的焦点为F(2,0),则直线AF的方程为y=−x+2,与抛物线的准线:x=−2联立,得点A(−2,4),又点A在双曲线上,所以24a−1616=1,解得2a=2,故2e=22ca=9,双曲线的离心率e=3.故选A.优解 因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直,所以直线AF 的斜率为AF k =−1,又A ,B 两点是抛物线2y =8x 的准线与双曲线222116x y a -=的交点,根据双曲线的对称性,可知△ABF 是等腰直角三角形,故由点A 的横坐标为−2,AF k =−1,知点A 的纵坐标为4,即A (−2,4),代入双曲线方程可得24a −1616=1,解得2a =2, 2e =22c a =9,故双曲线的离心率e =3.故选A .12.C 【解析】因为函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点,即点(x ,y )与(x ,−y )分别在两个函数的图象上,且唯一.又1ex e ,所以()ln ()y f x x y g x x a==⎧⎨=-=-⎩,即方程ln x =x −a 在[1e ,e ]上有唯一解,所以函数()f x =ln x 的图象和直线y=x −a 在区间[1e ,e ]上有唯一的公共点,作出大致图象如图所示.当两函数图象相切时, 设切点为(0x ,0y ),1()(ln )f x x x''==,所以001()f x x '=,所以0x =1,切点为(1,0),代入直线方程得a =1.当直线y =x −a 过点A (1e ,−1)时,a =1e+1;当直线y =x −a 过点B (e ,1)时,a =e −1.结合图象可知,若恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点,则a =1或1e+1<a e −1.13.1【解析】261(2)x x -展开式的通项为1r T +=6C r 26(2)r x -−1()r x-=(−1)r ×62r -6C r 123rx -,当12−3r =0时,r =4,而12−3r =−1时,r =133不符合题意,所以常数项为(−1)4×2246C a =60,解得a =1.14.4【解析】由三视图得该几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥,所以该几何体的体积为13×242+×2×2=4.15.34【解析】因为sin (B +C )+3sin (A +C )cos C =0,所以sin(B +C )=−3sin B cos C ,即sin B cos C +cos B sin C =−3sin B cos C ,sin C cos B =−4sin B cos C .易知C ≠90°, 所以tan C =−4tan B ,所以tan(A +B )=4tan B , 所以tan A =tan[(A +B )−B ]=2tan()tan 3tan 1tan()tan 14tan A B B BA B B B+-==-+⋅+114tan 3tan 3B B +34=(B 是锐角,tan B >0),当且仅当1tan B=4tan B , 即tan B =12时取等号,所以tan A 的最大值为34. 16.(−∞,4]【解析】由对任意的1x ,2x ∈(0,1e],且1x ≠2x ,122212()()||f x f x x x -->2212kx x ⋅, 得122212()()||11f x f x x x --min >k ,令g (21x )=()f x ,x ∈(0,1e ],则()g x =x +x ln x ,x ∈[2e ,+∞),()g x '=2+ln x ≥4,又122212()()||11f x f x x x --=2212221211()()||11g g x x x x --表示曲线y=()g x在[2e ,+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值, 则122212()()||11f x f x x x -->4,则k ≤4,即实数k 的取值范围是(−∞,4].17.【解析】(1)当n =1时,31S =21a +1⇒1a =1,当n ≥2时,由11321321n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩,得3(n S −1n S -)=2n a −21n a -⇒n a =−21n a -,从而n a =(−2)1n -.(4分)(2)由n b =(n +1) n a 得n b =(n +1)×(−2)1n -,则n T =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+…+(n +1)×(−2)1n -, ① −2n T =2×(−2)1+3×(−2)2+4×(−2)3+…+(n +1)×(−2)n , ② 由①−②得,3n T =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+…+(−2)1n -−(n +1)×(−2)n=1+1(2)1(2)n ----−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ,从而n T =49−349n +×(−2)n . (12分)18.【解析】(1)从6名球童中选取3名球童,已知预备球童为男孩,2名正选球童从其余5人中选取,共有25C =10种不同的选法,因为2名正选球童都是男孩,则需要从剩余3名男球童中选取,有23C =3种选法,由古典概型的概率计算公式,得2名正选球童也都是男孩的概率P =310. (5分)(2)(i)从6名球童中选取3名球童,共有36C =20种不同的选法,记事件A 为“选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩”,则事件A 包含的选法有2142C C =12种,由古典概型的概率计算公式,得P (A )=123205=. (7分) (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且ξ~B (3,0.6),P (ξ=0)=03C (0.6)0×(0.4)3=0.064,P (ξ=1)=13C (0.6)1×(0.4)2=0.288, P (ξ=2)=23C (0.6)2×(0.4)1=0.432,P (ξ=3)=33C (0.6)3×(0.4)0=0.216.(10分) 因而ξ的分布列为P0.064 0.288 0.432 0.216Eξ=3×0.6=1.8.(12分) 【备注】在解决概率与统计问题时,一定要根据有关概念,判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件,还是某一事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的情况,从而选择正确的概率计算公式,同时注意上述几种事件的综合问题,要全面考虑.19.【解析】(1)由三视图可知,平面PCBM ⊥平面ABC ,又平面PCBM ∩平面ABC =BC ,且PC ⊥BC ,(2分)∴PC ⊥平面ABC ,又AB ⊂平面ABC ,∴PC ⊥AB .(4分)(2)解法一 如图,取BC 的中点N ,连接MN ,由三视图可知,PM ∥CN 且PM =CN , ∴MN ∥PC ,MN =PC ,由(1)知PC ⊥平面ABC ,∴MN ⊥平面ABC . 作NH ⊥AC ,交AC 的延长线于H ,连接MH ,易知AC ⊥MH ,∴∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角.(6分)由三视图可知PC =MN =1,PM =CN =1,CB =2,AC =1,过点A 作AE ⊥BC ,交BC 的延长线于点E ,则A 到直线BC 的距离为AE 3(7分) 在Rt △AEC 中,AC =1,AE 3sin ∠ACE 3 ∴∠ACE =60°,∴∠ACB =120°,(8分) 在Rt △NHC 中,∵∠NCH =∠ACE =60°,∴NH =CN ·sin ∠NCH =1×sin 60°=32.(10分) 在Rt △MNH 中,∵MH 22MN NH +7cos ∠MHN =NH MH =217.故二面角M −AC −B的余弦值为217.(12分)解法二 如图,取BC 的中点N ,连接MN ,由三视图可知,PM ∥CN 且PM =CN , ∴MN ∥PC ,MN =PC ,由(1)知PC ⊥平面ABC ,∴MN ⊥平面ABC .(5分)由三视图知PC =MN =1,CB =2,AC =1,过A 作AE ⊥BC ,交BC 的延长线于点E ,则点A 到直线BC 的距离为AE =32.(6分) 在平面ABC 内,过C 作BC 的垂线,并建立如图所示的空间直角坐标系.在Rt △AEC 中,AC =1,AE =32,∴CE =12, ∴C (0,0,0),P (0,0,1),M (0,1,1),B (0,2,0),A 3−12,0), ∴CA u u u r 3−12,0),AM u u u u r =(3,32,1).(8分) 设平面MAC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ,得33023102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,令z =1,则x =3y =−1, ∴n =(−33,−1,1)是平面MAC 的一个法向量.(10分) 又平面ABC 的一个法向量为CP u u u r =(0,0,1),∴cos<n ,CP u u u r >=||||CP CP ⋅=u u u r u u u r n n 21. 由图可知二面角M −AC −B 为锐二面角,∴二面角M −AC −B 的余弦值为217.(12分)20.【解析】(1)由题意知,直线l的方程为x−2y+4=0,由22221240 x yabx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩,得(2a+42b)2y−162b y+162b−2a2b=0,(2分)又椭圆的离心率e=ca=12,所以2e=2222214c a ba a-==,因而42b=32a,则42a2y−122a y+234a(16−2a)=0,(3分)由直线l与椭圆相切,得Δ=22(12)a−124a(16−2a)=0,则2a=4,2b=3,所以椭圆C的方程为22143x y+=.(5分)(2)由(1)得B(−1,32),2F(1,0),由题意知圆心Q在过点B与l垂直的直线上,该直线方程为y−32=−2(x+1),即4x+2y+1=0.(6分)设圆心Q(x,y),因而4x+2y+1=0,连接QB,2QF,则|QB|=|2QF|,(7分)从而2(1)x++23()2y-=2(1)x-+2y,解得x=−38,y=14,则Q(−38,14),圆Q的半径R=|QB223135(1)()8428-++-=,(9分)所以圆Q的方程为(x+38)2+(y−14)2=12564.(10分)而2x +2y =4的圆心为O (0,0),半径r =2,两圆的圆心距|OQ ,(10分)由于144>125,因而16−5因而|OQ <2,即两圆内含. (12分)【备注】分析近几年的高考题可知,解析几何的考查基本稳定在椭圆与圆、抛物线与圆、椭圆与抛物线的结合上,已知条件以向量的形式呈现也很普遍,而众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论更是备受青睐,因而在复习备考阶段,应加以强化,这些结论不但要知其然,更要知其所以然,突破传统思维定势的影响,寻求解题的突破口,提高复习的全面性与灵活性.21.【解析】(1)∵()f x =a x+ln x −2(x >0), ∴()f x '=2a x -+1x(x >0),(1分) 又曲线y =()f x 在点P (2,m )处的切线平行于直线y =−32x +1, ∴(2)f '=−14a +12=−32⇒a =8. ∴()f x '=28x -+1x =28x x -(x >0),(3分) 令()f x '>0,得x >8,()f x 在(8,+∞)上单调递增;令()f x '<0,得0<x <8,()f x 在(0,8)上单调递减.∴()f x 的单调递增区间为(8,+∞),单调递减区间为(0,8).(5分)(2)由(1)知()f x '=2a x -+1x =2x a x- (x >0). (i)当a 0时,()f x '>0恒成立,即()f x 在(0,2e ]上单调递增,无最小值,不满足题意.(6分)(ii)当a >0时,令()f x '=0,得x =a ,所以当()f x '>0时,x >a ,当()f x '<0时,0<x <a ,(7分)此时函数()f x 在(a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减.若a >2e ,则函数()f x 在(0,2e ]上的最小值()f x min =2()f e =2a e +ln 2e −2=2a e , 由2a e=2,得a =22e ,满足a >2e ,符合题意;(8分) 若a 2e ,则函数()f x 在(0,2e ]上的最小值()f x min =()f a =a a +ln a −2=ln a −1, 由ln a −1=2,得a =3e ,不满足a 2e ,不符合题意,舍去.综上可知,存在实数a =22e ,使函数()f x 在(0,2e ]上有最小值2.(12分)22.【解析】(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程,得y −1=3(x −1), 显然,直线l 过定点(1,1),倾斜角为6π, 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).(5分)(2)圆ρ=2的直角坐标方程为22x y +=4,把12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x y +=4, 得)2+(1+12t )2=4,2t+1)t −2=0, 因为+1)2+8>0,故设其两根分别为1t ,2t ,显然12t t =−2,故点P (1,1)到A ,B 两点的距离之积为2.(10分)【备注】极坐标方程与直角坐标方程互化及参数方程与普通方程互化是本知识板块的基础,当然也是近年高考命题的重点与热点.直线参数方程中参数的几何意义的应用也是重要的考点,值得考生关注.23.【解析】(1)由()f x 13()g x,可得|3x+1|−|2x−3| 1,则当x32时,3x+1−2x+3 1,即x −3,∴不符合题意;当−13x<32时,3x+1+2x−3 1,∴−13x35;当x<−13时,−3x−1+2x−3 1,∴−5 x<−13.综上,不等式()f x13()g x的解集为{x|−5 x35}.(5分)(2)根据题意,由不等式()f x−2tx12+|x−32|,化简得()f x−tx 0,即()f x tx.由()f x=1+|2x−3|=322,2342,2x xx x⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩≥,作出y=()f x与y=tx的大致图象如图所示.由单调性可知()f x的最小值点为A(32,1),∵当过原点的直线y=tx经过点A时,t=23,当直线y=tx与AC平行时,t=−2.∴当−2 t<23时,y=()f x与y=tx的图象无交点,且y=tx的图象都在y=()f x的图象的下方,∴当不等式()f x−tx 0的解集非空时,t的取值范围是(−∞,−2)∪[23,+∞).(12分)。

2020年高考数学(理)模拟试题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

2020年高考数学(理)模拟试题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

秘密★启用前2020年普通高等学校统一招生考试终极押题卷(全国新课标Ⅰ)理科数学(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 如图,U 为全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A .()M P SB .()M P SC .()U MP C SD .()U MP C S【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集,但不属于集合S ,属于集合S 的补集,然后用关系式表示出来即可.【解析】图中的阴影部分是: M∩P 的子集,不属于集合S ,属于集合S 的补集,即是U C S 的子集,则阴影部分所表示的集合是()U MP C S 故选:C .【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算,同时考查了识图能力,属于基础题.2. 在复平面内,复数21z i=-对应的点到直线1y x =+的距离是( )A .12B .22C .2D .1【答案】B 【解析】22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+ 所以复数21i -对应的点为(1,1),点(1,1)到直线y =x +1的距离为=221112211-+=+,故选B. 3. 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标,我国采用世卫组织的最宽值限定值,即 2.5PM 日均值在35g μ/3m 以下空气质量为一级,在3575gg μμ/3m 空气量为二级,超过75g μ/3m 为超标.如图是某地5月1日至10日的 2.5PM (单位:g μ/3m )的日均值折线图,则下列说法不正确的是( )A. 这天中有天空气质量为一级B. 从日到日 2.5PM 日均值逐渐降低C. 这天中 2.5PM 日均值的中位数是D. 这天中 2.5PM 日均值最高的是5月日【答案】C【分析】认真观察题中所给的折线图,对照选项逐一分析,求得结果.【解析】这10天中第一天,第三天和第四天共3天空气质量为一级,所以A 正确; 从图可知从日到日日均值逐渐降低,所以B 正确; 从图可知,这天中日均值最高的是5月日,所以D 正确; 由图可知,这天中日均值的中位数是,所以C 不正确;故选C.【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图,描述对应变量所满足的特征,在解题的过程中,需要逐一对选项进行分析,正确理解题意是解题的关键.4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A .2π3B .4π3C .2πD .25π【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体由两个同底的圆锥拼接而成,圆锥的底面半径1r =,高2h =,所以该几何体的体积为()214π2π1233V =⨯⨯⨯⨯=,故选B .5.下列函数中同时具有性质:“①最小正周期是π,②图象关于π3x =对称,③在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的函数是( )A. πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由①最小正周期是π=2ω⇒,排除C,由②图象关于π3x =对称,当π3x =时,函数取得最大值或最小值,排除D,由③在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,对于A,,,2,,sin(2),63622663x x y x ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-∴=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在上为增函数,满足条件.对于B,[],,20,,cos(2),633363x x y x πππππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈∴=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在上为减函数,不满足条件.故选A.6. 执行下面的程序框图,如果输入1a =,1b =,则输出的S =( )A .7B .20C .22D .54【答案】B 【解析】1,1,0,0,2,2,3,2,7,5,8,4,20,13,21,620.a b s k a b k s a b k a b k =================初始值第一次循环:s 第二次循环:第三次循环:s ,输出s故选:B7. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在()0,+∞上单调递增,则( )A .()()()0.633log 132f f f -<-<B .()()()0.6332log 13f f f -<<- C .()()()0.632log 133f f f <-<- D .()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C【解析】根据题意,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,则()()33f f -=,()()33log 13log 13f f -=,有0.63322log 13log 273<<<=,又由()f x 在()0,+∞上单调递增,则有()()()0.632log 133f f f <-<-,故选C .8.多项式()834132x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为( )A .1280-B .4864C .4864-D .1280【答案】A【解析】根据二项式的展开式,可以得到第一个括号里出33x 项,第二个括号里出1x项,或者第一个括号里出4x,第二个括号里出21x ,具体为()231742688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦,化简得到21280x -,故选A .9.在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若27b =,3c =,2B C =,则cos2C 的值为( ) A .73B .59C .49D .74【答案】B【解析】由正弦定理可得:sin sin b cB C=,即sin sin 22sin cos 2772cos cos sin sin sin 33b B C C C C C c C C C =====⇒=,∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=,故选B .10.设1F ,2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若126PF PF a +=,且12PF F △的最小内角为30︒,则C 的离心率为( )A .2B .32C .3D .62【答案】C【解析】因为1F ,2F 是双曲线的两个焦点,P 是双曲线上一点,且满足126PF PF a +=, 不妨设P 是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知122PF PF a -=, 所以122F F c =,14PF a =,22PF a =,a c <,212PF F F ∴<,2PF ∴为12PF F △最小边,12PF F ∴△的最小内角1230PF F ∠=︒,根据余弦定理, 2222121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠,即222344162242a c a c a =+-⨯⨯⨯, 222330c ca a ∴-+=,3c a ∴=,所以3ce a==,故选C . 11. 某人5次上班图中所花的时间(单位:分钟)分别为,,9,10,11x y ,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x y -=( )A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】这是一道最新数学素养考题的体现,据题意有2220(10)(10)8x y x y +=⎧⎨-+-=⎩,按一般同学的常规思路解出,x y ,导致运算量大而出错,其实由点到直线的距离公式知:x y -=22x y -⨯代表直线20x y +=与圆22(10)(10)8x y -+-=的交点到直线0x y -=的距离的2倍,所以x y -=2222242x y r -==⨯=。

2020年高考数学模拟试卷1(附详细答案)

2020年高考数学模拟试卷1(附详细答案)

ABC(第7题)2020年高考数学模拟试卷(1)第Ⅰ卷(必做题,共160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 已知集合{}11A x x =-<<,{}102B =-,,,则A B =I ▲ .2. 复数2i1iz =-(i 为虚数单位)的实部是 ▲ . 3. 甲、乙两人下棋,结果是一人获胜或下成和棋.已知甲不输的概率为0.8,乙不输的概率为0.7,则两人下成和棋的概率为 ▲ .4. 某地区连续5天的最低气温(单位:°C )依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的方差为 ▲ .5. 根据如图所示的伪代码,当输出y 的值为12时,则输入的x 的值为 ▲ .6. 在平面直角坐标系xOy 中,圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ .7. 如图,三个相同的正方形相接,则tan ABC ∠的值为 ▲ .8. 如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 为PD 上一点,且2PE ED =.设三棱锥P ACE -的体积为1V ,三棱锥P ABC -的体积为2V ,则12:V V = ▲ .9. 已知F 是抛物线C :28y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点,则FN 的长度为 ▲ .10.若函数()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x >时,()ln f x x x =,则不等式()e f x <-的解集为 ▲ .11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛(如图).现将99根相同的圆钢Read xIf x ≤0 Then y ←x 2+1 Else y ← End If Print y(第5题)( 第8题 )ABCD PE(第10题)ABCB 1C 1A 1MN (第16题)A BCMN(第12题)捆扎为1个尽可能大的正六边形垛,则剩余的圆钢根数为 ▲ .12.如图,在△ABC 中,点M 为边BC 的中点,且2AM =,点N 为线段AM 的中点,若74AB AC ⋅=u u u r u u u r ,则NB NC ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ .13.已知正数x y ,满足11910x y x y +++=,则1x y+的最小值是 ▲ . 14.设等比数列{a n }满足:12cos 3sin n n n a a θθ==,其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,*n ∈N .则 数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 15.(本小题满分14分)已知31sin cos θθ-+=,ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,. (1)求θ的值;(2)设函数()22()sin sin f x x x θ=-+,x ∈R ,求函数()f x 的单调增区间.16.(本小题满分14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知M ,N 分别为线段1BB ,1A C 的中点,MN 与1AA 所成角的大小为90°,且1MA MC =.求证:(1)平面1A MC ⊥平面11A ACC ; (2)//MN 平面ABC .O xyABP E F(第18题)17.(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装.根据经验,每生产1百套该款式服装的成本为 1万元,每生产x (百套)的销售额(单位:万元)20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤,,, (1)该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本?(2)试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大,并求最大利润. (注:利润=销售额-成本,其中成本=设计费+生产成本)18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :222210x y a b a b+=>>()的离心率为32,且过点312⎛⎫⎪⎝⎭,.设P 为椭圆C 在第一象限上的点,A ,B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点,且PA 交y 轴于点E ,PB 交x 轴于点F . (1)求a b ,的值;(2)若F 为椭圆C 的右焦点,求点E 的坐标; (3)求证:四边形ABFE 的面积为定值.19.(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ,且满足:()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ,,.(1)若29p =,求a 1的值; (2)若123a a a ,,成等差数列,求数列{a n }的通项公式.20.(本小题满分16分)已知函数()e (1)xf x a x =-+,其中e 为自然对数的底数,a ∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性,并写出相应的单调区间;(2)已知0a >,b ∈R ,若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立,求ab 的最大值; (3)设()(e)g x a x =+,若存在0x ∈R ,使得00()()f x g x =成立,求a 的取值范围.2018年高考模拟试卷(1)数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答.................. A . [选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,△ABC 内接于圆O ,D 为弦BC 上一点,过D 作直线DP // AC ,交AB 于点E , 交圆O 在A 点处的切线于点P .求证:△P AE ∽△BDE .B . [选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)BDCA PE(第21—A 题)ABCDP(第22题)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ,4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N .求满足方程=MX N 的二阶矩阵X .C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, (t 为参数),圆C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩,(θ为参数).设直线l 与圆C 相切,求正实数a 的值.D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >,,,证明:222111x y z y z x x y z++++≥. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内........作答. 22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P ABCD -中,棱AB ,AD ,AP 两两垂直,且长度均为1,BC AD λ=u u u r u u u r(01λ<≤). (1)若1λ=,求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值; (2)若二面角B PC D --的大小为120°,求实数λ的值.23.(本小题满分10分)甲,乙两人进行抛硬币游戏,规定:每次抛币后,正面向上甲赢,否则乙赢.此时, 两人正在游戏,且知甲再赢m (常数m >1)次就获胜,而乙要再赢n (常数n >m ) 次才获胜,其中一人获胜游戏就结束.设再进行ξ次抛币,游戏结束.(1)若m 2=,n 3=,求概率()4P ξ=;(2)若2n m =+,求概率()P m k ξ=+(23k =,,…1m +,)的最大值(用m 表示)2020年高考数学模拟试卷(1)参考答案数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.{}0 2. -1 3.0.5 4. 16 5.6.7. 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ,则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯.8. 23【解析】因为2PE ED =,所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13,所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23.因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等,所以12:V V =23.9. 6【解析】如图,过点M 作准线的垂线,垂足为T ,交y 轴于点P ,所以112MP OF ==,3MF MT ==,所以26FN MF ==.10. (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间.由于()f x 是奇函数,结合函数图像得,不等式的解集是(,e)-∞-.11. 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根,则这个正六边形垛的层数是21n -,每一层的根数从上往下依次为: 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++,,,,,,,,,,,则圆钢的总根数为:()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即2993n n --≤0,设函数299()3f x x x =--,则299()3f x x x =--在[)1+∞,上单调递增. 因为(6)0(7)0f f <>,,所以6n =.此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=.12. 54-【解析】由极化恒等式知,22AB AC AM BM ⋅=-u u u r u u u r ,则32BM ==,所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-u u u r u u u r . 13. 2【解析】设1a x y =+,19b y x=+,则10a b +=.因为ab =()1x y+⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥ (当且仅当19xy xy =时取“=”),所以()1016a a -≥,解得28a ≤≤,所以1x y +的最小值是2.14. 1009π6【解析】因为()π02n θ∈,,所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ=+=+∈,,所以等比数列{a n }的公比0q >.若1q >,由1a n 充分大,则2n a >,矛盾;若01q <<,由1a n 充分大,则1n a <,矛盾,所以1q =,从而1n a a ==π12n θ=.则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.(本小题满分14分)解:(1)由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=-,即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=-sin 2θ=.因为()ππ44θ∈-,,所以()ππ222θ∈-,,所以π23θ=-,即π6θ=-. (2)由(1)知,()22π()sin sin 6f x x x =--,所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦ABCB 1C 1A 1MN()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦3112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-.令πππ2π22π+262k x k --≤≤,得ππππ+63k x k -≤≤,所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,Z k ∈.16.(本小题满分14分证明:(1)因为MN 与1AA 所成角的大小为90°,所以MN ⊥1AA , 因为1MA MC =,且N 是A 1C 的中点,所以MN ⊥1A C . 又111AA AC A =I ,1AC ,1AA ⊂平面11A ACC , 故MN ⊥平面11A ACC ,因为MN ⊂平面1A MC ,所以平面1A MC ⊥平面11A ACC .(2)取AC 中点P ,连结NP ,BP .因为N 为A 1C 中点,P 为AC 中点,所以PN //AA 1,且PN 12=AA 1.在三棱柱111ABC A BC -中,BB 1 // AA 1,且BB 1=AA 1. 又M 为BB 1中点,故BM // AA 1,且BM 12=AA 1.所以PN // BM ,且PN =BM ,于是四边形PNMB 是平行四边形, 从而MN // BP .又MN ⊄平面ABC ,BP ⊂平面ABC ,故//MN 平面ABC . 17.(本小题满分14分 解:(1)考虑05x <≤时,利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-.令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得,17x ≤≤,从而15x ≤≤,即min 1x =. (2)当05x <≤时,由(1)知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+, 所以当4x =时,max 3.6y =(万元).当5x >时,利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--.因为()99323633x x x x -+-⋅--≥(当且仅当933x x -=-即6x =时,取“=”), 所以max 3.7y =(万元).综上,当6x =时,max 3.7y =(万元).答:(1)该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本;(2)该厂生产6百套此款式服装时,利润最大,且最大利润为3.7万元. 18.(本小题满分16分)解:(1)依题意,221314a b +=,c a =222(0)c a b c =->,解得2241a b ==,. 因为0a b >>,所以21a b ==,. (2)由(1)知,椭圆C的右焦点为)0F,椭圆C 的方程为2214x y +=,①所以()()2001A B --,,,.从而直线BF1y =. ②由①②得,)17P ,.从而直线AP的方程为:2)y x =+.令0x =,得7y =-E的坐标为(07-,. (3)设()00P x y ,(0000x y >>,),且220014x y +=,即220044x y +=.则直线AP 的方程为:00(2)2y y x x =++,令0x =,得0022y y x =+. 直线BP 的方程为:0011y y x x ++=,令0y =,得001xx y =+. 所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=. 19.(本小题满分16分)解:(1)因为29p =,所以()211129a S a ==+,即211540981a a -+=,解得119a =或49.(2)设等差数列123a a a ,,的公差为d . 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ,,所以()211a a p =+, ①()2122a a a p +=+, ②()21233a a a a p ++=+. ③②-①,得()()22221a a p a p =+-+,即()2122a d a a p =++, ④③-②,得()()22332a a p a p =+-+,即()3232a d a a p =++, ⑤ ⑤-④,得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦,即22d d =. 若0d =,则230a a ==,与0n a >矛盾,故12d =. 代入④得()1111112222a a a p +=+++,于是14p =.因为()()2*14n n S a n =+∈N ,所以()21114n n S a ++=+, 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+,即()()221111044n n n a a a +++--+=,整理得()()22111044n na a +--+=,于是()()11102n n n na a a a +++--=.因为0n a >,所以1102n n a a +--=,即112n n a a +-=.因为()21114a a =+,所以114a =.所以数列{a n }是首项为14,公差为12的等差数列. 因此,*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N .20.(本小题满分16分)解:(1)由()e (1)x f x a x =-+,知()e x f x a '=-.若0a ≤,则()0f x '>恒成立,所以()f x 在()-∞+∞,上单调递增; 若0a >,令()0f x '=,得ln x a =,当ln x a <时,()0f x '<,当ln x a >时,()0f x '>,所以()f x 在(ln )a -∞,上单调递减;在(ln )a +∞,上单调递增. (2)由(1)知,当0a >时,min ()(ln )ln f x f a a a ==-.因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立,所以ln b a a -≤, 所以2ln ab a a -≤.设2()ln t a a a =-,(0a >),由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+,令()0t a '=,得12e a -=,当120e a -<<时,()0t a '>,所以()t a 在()120e-,上单调递增;当12e a ->时,()0t a '<,所以()t a 在()12e -∞,+上单调递减,所以()t a 在12e a -=处取最大值,且最大值为12e.所以21ln 2e ab a a -≤≤,当且仅当12e a -=,121e 2b -=时,ab 取得最大值为12e. (3)设()()()F x f x g x =-,即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围.① 当0a ≥时,由(1)30F a =-≤,1(1)e e 0F a --=++>,所以()F x 有零点. ② 当e 02a -<≤时,若0x ≤,由e 20a +≥,得()e (e 2)0x F x a x a =-+->;若0x >,由(1)知,()(21)0F x a x =-+>,所以()F x 无零点. ③ 当e 2a <-时,(0)10F a =->,又存在010e 2a x a -=<+,00()1(e 2)0F x a x a <-+-=,所以()F x 有零点.综上,a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答.............题区域内作答.......若多做,则按作答的前两题评分. A . [选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)证明:因为P A 是圆O 在点A 处的切线,所以∠P AB =∠ACB . 因为PD ∥AC ,所以∠EDB =∠ACB , 所以∠P AE =∠P AB =∠ACB =∠BDE . 又∠PEA =∠BED ,故△P AE △△BDE . B . [选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ,因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA , 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩A BCDPxzy解之得1a 41b 21c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ,所以A -1=11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A .C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)解:直线l 的普通方程为33y x =+,圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=.因为直线l 与圆C 223232(3)(1)a -+=+-.解得3a =53a =,又0a >,所以3a = D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)证明:由柯西不等式,得()()2222222111111...y y x z x z x y zx y z y z x y z x ++++≥,即()()()2222111111y x z x y zx y z y z x ++++++≥,所以222111yx z x y z y z x++++≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.22.(本小题满分10分)解:(1)以{}AB AD AP u u u r u u u r u u u r,,为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz .因为1λ=,所以BC AD =u u u r u u u r.依题意,()110C ,,,()001P ,,,()100B ,,,()010D ,,, 所以()111PC =-u u u r ,,, ()101PB =-u u u r ,,,()11PD =-u u u r0,,. 设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =,,,则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r,,n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩,. 取1z =得,n ()111=,,.所以1 cos 3PC PC PC ⋅〈〉===⋅u u u ru u u r u u u r,n n n . 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13.(2)依题意,()10C λ,,,()101PB u u u r ,,=-,()11PC λu u u r ,,=-,()011PD u u u r,,=-. 设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ,,=,则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r,,n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩,,取11z =得,()1101=,,n . 设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ,,=,则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r,,n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩,,取21z =得,2n ()111λ=-,,.所以121212 cos⋅〈〉=⨯,n n n n n n 1 cos120 2==o , 解得1λ=或5λ=,因为01λ<≤,所以1λ=. 23.(本小题满分10分)解:(1)依题意, ()()31343128P ξ==⨯⨯=.(2)依题意,()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅(23k =,,…1m +,). 设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦. 而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ (*) ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤.(#) 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<(显然在*1m m >∈N ,时恒成立), 所以2220k k m m -+-->.又因为k m ≤,所以(#)恒成立,从而(*)成立. 所以()()11f k f k +≥,即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时,取“=”), 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅,即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221CC2m m m mm+-++⋅.。

2020年全国统一高考文科数学模拟试卷(新课标I)含答案解析

2020年全国统一高考文科数学模拟试卷(新课标I)含答案解析

2020年全国统一高考数学模拟试卷(文科)(新课标I)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则下列Venn图中阴影部分表示集合{3,5}的是()A.B.C.D.2.若数据x1,x2,x3,…,x n的平均数为=5,方差σ2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3x n+1的平均数和方差分别为()A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,93.“m>3”是“曲线mx2﹣(m﹣2)y2=1为双曲线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A.24里B.48里C.96里D.192里5.已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0,且焦点在x轴上,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的方程为()A.B.C.D.6.设曲线y=sinx(a∈R)上任一点(x,y)处切线斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为()A.B. C.D.7.执行如图的程序,若输出的值为2,则输入的值构成的集合是()A.{2}B.{1,2,﹣1,﹣2} C.{1,﹣1} D.{2,﹣2}8.圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a﹣b的取值范围是()A.(﹣∞,4)B.(﹣∞,0)C.(﹣4,+∞)D.(4,+∞)9.如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,,,∠ABC=120°,∠DAB=75°,则CD=()A.B. C. D.10.若x,y满足,则z=y﹣2|x|的最大值为()A.﹣8 B.﹣4 C.1 D.211.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的外接球的体积是()A.12πB.48πC.4πD.32π12.已知函数f(x)=|2x+1+|在[﹣,3]上单调递增,则实数a的取值范围是()A.[0,1]B.[﹣1,1] C.[﹣1,2] D.(﹣∞,2]二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设(i为虚数单位),则=_______.14.已知向量,且,则=_______.15.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5,则△PFO的面积为_______.16.函数f(x)=sin2x在[﹣π,π]内满足的n的最大值是_______.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某市根据地理位置划分成了南北两区,为调查该市的一种经济作物A(下简称A作物)的生长状况,用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点,其生长状况如表:生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是:2代表“生长良好”,1代表“生长基本良好”,0代表“不良好,但仍有收成”,﹣1代表“不良好,绝收”.(Ⅰ)估计该市空气质量差的A作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例;(Ⅱ)能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”?(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中,绝收种植点的比例?并说明理由.附:P(K2≥k)0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828.18.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.(1)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;(2)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值.19.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=(λ+1)S n+1(n∈N*,λ≠﹣2),且3a1,4a2,a3+13成等差数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.20.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(I)求C的方程.(Ⅱ)若直线y=k(x﹣1)与曲线C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR?若存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=(其中k∈R,e是自然对数的底数),f′(x)为f(x)导函数.(Ⅰ)若k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f′(1)=0,试证明:对任意x>0,f′(x)<恒成立.选修4-1:几何证明与选讲22.如图,在⊙O中,弦AF交直径CD于点M,弦的延长线交CD的延长线于点E,M、N分别是AF、AB的中点.(Ⅰ)求证:OE•ME=NE•AE;(Ⅱ)若,求∠E的大小.选修4-4:坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=(p∈R).(1)求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程;(2)设曲线C与直线l相交于点A、B,若点P为曲线C上一动点(异于点A、B),求△PAB面积的最大值.选修4-5:不等式选讲24.已知f(x)=|x﹣3|,g(x)=|x﹣k|(其中k≥2).(Ⅰ)若k=4,求f(x)+g(x)<9的解集;(Ⅱ)若∀x∈[1,2],不等式f(x)﹣g(x)≥k﹣x恒成立,求实数k的值.2020年全国统一高考数学模拟试卷(文科)(新课标I)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则下列Venn图中阴影部分表示集合{3,5}的是()A.B.C.D.【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【分析】结合已知条件即可求解.观察Venn图,得出图中阴影部分表示的集合,【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},∴(∁A)={3,5,6},∵B={1,3,5},∴B∩(∁A)={3,5}.故选:B.2.若数据x1,x2,x3,…,x n的平均数为=5,方差σ2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3x n+1的平均数和方差分别为()A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,9【考点】极差、方差与标准差.【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3x n+1的平均数为,方差为32•σ2.【解答】解:∵x1,x2,x3,…,x n的平均数为5,∴=5,∴+1=3×5+1=16,∵x1,x2,x3,…,x n的方差为2,∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3x n+1的方差是32×2=18.故选:C.3.“m>3”是“曲线mx2﹣(m﹣2)y2=1为双曲线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可.【解答】解:若曲线mx2﹣(m﹣2)y2=1为双曲线,则对应的标准方程为,则>0,即m(m﹣2)>0,解得m>2或m<0,故“m>3”是“曲线mx2﹣(m﹣2)y2=1为双曲线”的充分不必要条件,故选:A4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A.24里B.48里C.96里D.192里【考点】等比数列的前n项和.【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由求和公式可得首项,可得答案.【解答】解:由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得=378,解得a1=192,∴第此人二天走192×=96步故选:C5.已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0,且焦点在x轴上,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的方程为()A.B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】设双曲线的方程为﹣=1(a,b>0),求得渐近线方程,由题意可得=,运用点到直线的距离公式,解方程可得a=4,b=6,进而得到双曲线的方程.【解答】解:设双曲线的方程为﹣=1(a,b>0),可得渐近线方程为y=±x,由题意可得=,设一个焦点为(c,0),可得=6,可得c=2,即a2+b2=52,解得a=4,b=9,则双曲线的方程为﹣=1.故选:D.6.设曲线y=sinx(a∈R)上任一点(x,y)处切线斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为()A.B. C.D.【考点】函数的图象;利用导数研究函数的单调性.【分析】求导y′=cosx,从而可得y=x2g(x)=x2cosx,从而判断.【解答】解:∵y=sinx,∴y′=cosx,由导数的几何意义知,g(x)=cosx,故y=x2g(x)=x2cosx,故函数y=x2g(x)是偶函数,故排除A,D;又∵当x=0时,y=0,故排除C,故选B.7.执行如图的程序,若输出的值为2,则输入的值构成的集合是()A.{2}B.{1,2,﹣1,﹣2} C.{1,﹣1} D.{2,﹣2}【考点】程序框图.【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值,由题意分类讨论即可得解.【解答】解:由框图知程序功能是计算并输出y=的值,当x>0时,令x2﹣x=2,解得x=2或﹣1(舍去);当x<0时,令x2+x=2,解得x=﹣2或1(舍去);故输入的值构成的集合是:{﹣2,2}.故选:D.8.圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a﹣b的取值范围是()A.(﹣∞,4)B.(﹣∞,0)C.(﹣4,+∞)D.(4,+∞)【考点】直线与圆相交的性质.【分析】由题意知,圆心在直线上,解出b,再利用圆的半径大于0,解出a<2,从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围.【解答】解:∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,∴圆心(1,﹣3)在直线y=x+2b上,故﹣3=1+2b,∴b=﹣2.对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0,有4+36﹣20a>0,∴a<2,a﹣b=a+2<4,故选A.9.如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,,,∠ABC=120°,∠DAB=75°,则CD=()A.B. C. D.【考点】解三角形.【分析】分别过C,D作AB的垂线DE,CF,则通过计算可得四边形DEFC为矩形,于是CD=EF=AB﹣AE+BF.【解答】解:过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB交AB延长线于F,则DE∥CF,∠CBF=60°.DE=ADsinA==,CF=BCsin∠CBF=()×=.∴四边形DEFC是矩形.∴CD=EF=AB﹣AE+BF.∵AE=ADcosA==,BF=BCcos∠CBF=()×=.∴CD=1﹣+=.故选:A.10.若x,y满足,则z=y﹣2|x|的最大值为()A.﹣8 B.﹣4 C.1 D.2【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,分类化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,当x≥0时,可行域为四边形OACD及其内部区域,A点是目标函数取得最大值的点;当x≤0时,可行域为三角形OAB及其内部区域,A点是目标函数取得最大值的点.∴z=y﹣2|x|的最大值为2.故选:D.11.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的外接球的体积是()A.12πB.48πC.4πD.32π【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体为棱锥,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为,即可求出此四面体的外接球的体积.【解答】解:由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4.故选:C.12.已知函数f(x)=|2x+1+|在[﹣,3]上单调递增,则实数a的取值范围是()A.[0,1]B.[﹣1,1] C.[﹣1,2] D.(﹣∞,2]【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】为去绝对值号,讨论a:(1)a<0时,根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[,3]上单调递增,从而需满足g(﹣)≥0,这样可得到﹣1≤a <0;(2)a=0时,显然满足条件;(3)a>0时,得到f(x)=,并可判断x=时取等号,从而需满足,可解出该不等式,最后便可得出实数a的取值范围.【解答】解:(1)当a<0时,函数在上单调递增;∴;∴﹣1≤a<0;(2)当a=0时,f(x)=2x+1在上单调递增;(3)当a>0时,,当且仅当,即x=时等号成立;∴要使f(x)在[]上单调递增,则;即0<a≤1;综上得,实数a的取值范围为[﹣1,1].故选B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设(i为虚数单位),则=2﹣i.【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】直接由复数求模公式化简复数z,则答案可求.【解答】解:由=,则=2﹣i.故答案为:2﹣i.14.已知向量,且,则=5.【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算,求出x的值,再求的值.【解答】解:向量,且,∴•=x﹣2=0,解得x=2,∴﹣2=(﹣3,4);==5.故答案为:5.15.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5,则△PFO的面积为2.【考点】抛物线的简单性质.【分析】利用抛物线的定义,求出P的坐标,然后求出三角形的面积.【解答】解:由抛物线定义,|PF|=x P+1=5,所以x P=4,|y P|=4,所以,△PFO的面积S==.故答案为:2.16.函数f(x)=sin2x在[﹣π,π]内满足的n的最大值是4.【考点】正弦函数的图象.【分析】由题意可得,本题即求函数f(x)=sin2x与y=kx的图象的交点个数,但不含原点,数形结合得出结论.【解答】解:满足的x的个数n,即为函数f(x)=sin2x与y=kx的图象的交点个数,但不含原点,如图所示,存在k∈(﹣∞,0),使得n取到最大值4,故答案为:4.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某市根据地理位置划分成了南北两区,为调查该市的一种经济作物A(下简称A作物)的生长状况,用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点,其生长状况如表:生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是:2代表“生长良好”,1代表“生长基本良好”,0代表“不良好,但仍有收成”,﹣1代表“不良好,绝收”.(Ⅰ)估计该市空气质量差的A作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例;(Ⅱ)能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”?(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中,绝收种植点的比例?并说明理由.附:P(K2≥k)0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828.【考点】线性回归方程.【分析】(I)根据表格数据计算;(II)采用独立检验方法列联表计算K2,与6.635比较大小得出结论;(III)根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理.【解答】解:(1)调查的500处种植点中共有120处空气质量差,其中不绝收的共有110处,∴空气质量差的A作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例.(2)列联表如下:收绝收合计南区160 40 200北区270 30 300合计430 70 500∴K2=≈9.967.∵9.967>6.635,∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“.(3)由(2)的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关,因此在调查时,先确定该市南北种植比例,再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好.18.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.(1)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;(2)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值.【考点】平面与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角.【分析】(1)根据题意,得△ABE是正三角形,∠AEB=60°,等腰△CDE中∠CED==30°,所以∠AED=90°,得到DE⊥AE,结合DE⊥AA1,得DE⊥平面A1AE,从而得到平面A1AE ⊥平面平面A1DE.(2)取BB1的中点F,连接EF、AF,连接B1C.证出EF∥A1D,可得∠AEF(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.利用勾股定理和三角形中位线定理,算出△AEF各边的长,再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值.【解答】解:(1)依题意,BE=EC=BC=AB=CD…,∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°…,又∵△CDE中,∠CED=∠CDE==30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°,即DE⊥AE…,∵AA1⊥平面ABCD,DE⊆平面ABCD,∴DE⊥AA1.…,∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE…,∵DE⊆平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.….(2)取BB1的中点F,连接EF、AF,连接B1C,…∵△BB1C中,EF是中位线,∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…,可得∠AEF(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角….∵△CDE中,DE=CD==A1E=,AE=AB=1∴A1A=,由此可得BF=,AF=EF==…,∴cos∠AEF==,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…19.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=(λ+1)S n+1(n∈N*,λ≠﹣2),且3a1,4a2,a3+13成等差数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(Ⅰ)讨论可判断出数列{a n}是以1为首项,λ+2为公比的等比数列,从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0,从而解得;(Ⅱ)化简可得b n=,从而可得T n=1+++…+,T n=+++…+,利用错位相减法求其前n项和即可.【解答】解:(Ⅰ)∵a n+1=(λ+1)S n+1,+1,∴当n≥2时,a n=(λ+1)S n﹣1∴a n+1﹣a n=(λ+1)a n,即a n+1=(λ+2)a n,又∵λ≠﹣2,∴数列{a n}是以1为首项,λ+2为公比的等比数列,故a2=λ+2,a3=(λ+2)2,∵3a1,4a2,a3+13成等差数列,∴8a2=3a1+a3+13,代入化简可得,λ2﹣4λ+4=0,故λ=2,故a n=4n﹣1;(Ⅱ)∵a n b n=log4a n+1=n,∴b n=,故T n=1+++…+,T n=+++…+,故T n=1+++…+﹣=(1﹣)﹣,故T n=﹣.20.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(I)求C的方程.(Ⅱ)若直线y=k(x﹣1)与曲线C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR?若存在,请说明理由.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)求出圆M和圆N的圆心及半径,设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.由圆P与圆M外切并与圆N内切,得到曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为的椭圆(左顶点除外),由此能求出C的方程.(Ⅱ)假设存在T(t,0)满足∠OTS=∠OTR.联立得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出存在T(4,0),使得当k变化时,总有∠OTS=∠OTR.【解答】解:(Ⅰ)圆M:(x+1)2+y2=1的圆心为M(﹣1,0),半径r1=1,圆N的圆心N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.∵圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4.…由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为的椭圆(左顶点除外),∴C的方程为.…(Ⅱ)假设存在T(t,0)满足∠OTS=∠OTR.设R(x1,y1),S(x2,y2)联立得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,由韦达定理有①,其中△>0恒成立,…由∠OTS=∠OTR(由题意TS,TR的斜率存在),故k TS+k TR=0,即②,由R,S两点在直线y=k(x﹣1)上,故y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),代入②得,即有2x1x2﹣(t+1)(x1+x2)+2t=0③…将①代入③即有:④,要使得④与k的取值无关,当且仅当“t=4“时成立,综上所述存在T(4,0),使得当k变化时,总有∠OTS=∠OTR.…21.已知函数f(x)=(其中k∈R,e是自然对数的底数),f′(x)为f(x)导函数.(Ⅰ)若k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f′(1)=0,试证明:对任意x>0,f′(x)<恒成立.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),代入切线方程即可;(Ⅱ)求出k的值,令g(x)=(x2+x)f'(x),问题等价于,根据函数的单调性证明即可.【解答】解:(Ⅰ)由得,x∈(0,+∞),所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为:,而f(1)=,故切线方程是:y﹣=﹣(x﹣1),即:x+ey﹣3=0;(Ⅱ)证明:若f′(1)=0,解得:k=1,令g(x)=(x2+x)f'(x),所以,x∈(0,+∞),因此,对任意x>0,g(x)<e﹣2+1,等价于,由h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,∞),得h'(x)=﹣lnx﹣2,x∈(0,+∞),因此,当x∈(0,e﹣2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;x∈(e﹣2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)的最大值为h(e﹣2)=e﹣2+1,故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1,设φ(x)=e x﹣(x+1),∵φ'(x)=e x﹣1,所以x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,φ(x)>φ(0)=0,故x∈(0,+∞)时,φ(x)=e x﹣(x+1)>0,即,所以.因此,对任意x>0,恒成立.选修4-1:几何证明与选讲22.如图,在⊙O中,弦AF交直径CD于点M,弦的延长线交CD的延长线于点E,M、N分别是AF、AB的中点.(Ⅰ)求证:OE•ME=NE•AE;(Ⅱ)若,求∠E的大小.【考点】相似三角形的性质;与圆有关的比例线段.【分析】(1)通过证明△AME∽△ONE,即可推出结果.(2)利用(1)的结论,设OE=x,求解x,然后在直角三角形中求解即可.【解答】(1)证明:∵M、N分别是AF、AB的中点.∴∠AME=∠ONE=90°,又∵∠E=∠E,∴△AME∽△ONE,∴,∴OE•ME=NE•AE.(2)设OE=x,(x>0),∵BE==,∴NE=2,AE=3,又∵OM=,∴x=2,即:(x﹣4)(2x+9)=0,∵x>0,∴x=4,即OE=4,则在Rt△ONE中,cos∠E===∴∠E=30°.选修4-4:坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=(p∈R).(1)求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程;(2)设曲线C与直线l相交于点A、B,若点P为曲线C上一动点(异于点A、B),求△PAB面积的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)令x﹣2=cosα,y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程,直线l过原点,且斜率为tanθ,利用点斜式方程写出直线l的方程;(2)解方程组求出A,B坐标,得到AB,则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和.【解答】解:(1)令x﹣2=cosα,y﹣3=sinα,则x=2+cosα,y=3+sinα,∴曲线C的参数方程为(α为参数).直线l的斜率k=tanθ=1,∴直线l的直角坐标方程为y=x.(2)解方程组得或.设A(2,2),B(3,3).则|AB|==.∵圆C的圆心为C(2,3),半径r=1,∴C到直线AB的距离为=.∴P到直线AB 的最大距离d=+1.∴△PAB面积的最大值为=.选修4-5:不等式选讲24.已知f(x)=|x﹣3|,g(x)=|x﹣k|(其中k≥2).(Ⅰ)若k=4,求f(x)+g(x)<9的解集;(Ⅱ)若∀x∈[1,2],不等式f(x)﹣g(x)≥k﹣x恒成立,求实数k的值.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(Ⅰ)将k=4代入g(x),通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(Ⅱ)问题等价于∀x∈[1,2],x+3≥2k恒成立,根据x的范围求出k的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)k=4时,f(x)+g(x)<9,即|x﹣3|+|x﹣4|<9,即或或,解得:﹣1<x<3或3≤x≤4或4<x<8,故原不等式的解集是{x|﹣1<x<8};(Ⅱ)∵k∵≥2且x∈[1,2],∴x﹣3<0,x﹣k<0,∴f(x)=|x﹣3|=3﹣x,g(x)=|x﹣k|=k﹣x,则∀x∈[1,2],不等式f(x)﹣g(x)≥k﹣x恒成立,等价于∀x∈[1,2],x+3≥2k恒成立,∴4≥2k,即k≤2,又∵k≥2,∴k=2.2020年9月9日。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(九)(含答案解析)

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(九)(含答案解析)

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(九)本试卷分必考和选考两部分.必考部分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1.已知集合1{|3}2M x x =<≤,函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ,则M N I =( )A .(0,12]B .(0,12)C .[12,1]D .[12,1)2.已知i 是虚数单位,若复数z 满足z(1+i)=1-3i ,则z 的虚部为( )A .-iB .-2iC .-1D .-23.设平面α⊥β,l 是两个平面的交线,若a 在平面α内,b 在平面β内,且1,b 均与l 不垂直,则( )A .a ,b 可能垂直,但不可能平行B .a ,b 可能垂直,也可能平行C .a ,b 不可能垂直,但可能平行D .a ,b 不可能垂直,也不可能平行4.已知函数()f x =2log (),41,42018x m x x +⎧⎪⎨<⎪⎩≥的零点为4,则((6)2)f f -=( )A .1B .2C .12018D .2 018 5.“函数x y a =是增函数”是“2log 1a >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为10,则判断框内可填入的条件是( )A.S 34? B.S1112? C.S2524? D.S137120?7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a,b,c,d∈N*),则b da c++是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.141 59…,如果初始值取3.1<π<3.2,即3110<π<165,则在此基础上使用三次“调日法”,得出的π的更为精确的近似分数值为()A.227B.4715C.6320D.69228.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2 B.4 C.2D.1039.已知x,y满足24243x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩≥≥≤,则目标函数2(24)2(24)z y x y x=---的取值范围是()A.[−1,24] B.[−4,8] C.[−4,48] D.[−1,143]10.已知函数()f x =sin cos x x ωω-(14ω>,x ∈R ),若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(2π,3π),则ω的取值范围是( )A .(38,712)B .[38,1112]C .(38,712)∪(78,1112)D .[38,712]∪[78,1112]11.已知双曲线224x y -=上存在两点M ,N 关于直线2y x m =-对称,且MN 的中点在抛物线216y x =上,则实数m 的值是( )A .0B .16C .0或16D .0或−1612.已知函数()f x =23(1)(1)x x x x e e x ⎧-<⎨-⎩≥,若关于x 的方程()f x =kx 恰有两个不同的实根,则实数k的取值范围为( ) A .(0,14) B .(−∞,0]∪(14,+∞) C .(−∞,0)∪[12,+∞) D .{14} 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a =(−1,1),b =(0,1),c =(x ,2),若222|2|||||-=+-a b a b c ,则实数x =_______.14.381()2)x x+⋅的展开式中2x 的系数为_______.15.设F 是抛物线C :24y x =的焦点,过点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于P ,Q 两点,若111||||3PF QF -=,则直线l 的斜率为_______. 16.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AD ,BE 分别是△ABC 的中线,若5a =3b ,则ADBE的取值范围是_______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知在正项等比数列{}n a 中,1a 与3a 分别是方程2x −5x +4=0的两根. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 是递增数列,其前n 项和为n S ,且2log 1n n b a =+,求数列{1nS }的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)已知在如图①所示的矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AD上靠近D的一个四等分点.现将△BCE以BC为旋转轴旋转到△BCF,使平面BCF⊥平面ABCD,设G,H分别为AD,CF的中点,如图②所示.图①图②(1)求证:平面BGF⊥平面CDF;(2)求平面BGF与平面DGH夹角的余弦值.19.(本小题满分12分)某市统计局为了了解人们的网上购物情况,对该市众多市民在某月的网上购物情况进行随机抽样调查,并绘制了月网购金额(单位:元)的频率分布直方图,如图所示.(1)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表,估计该市市民的月网购金额的平均值;(2)将月网购金额在各组的频率视为概率,从该市市民中随机抽取3人,用ξ表示这3人在该月的月网购金额不低于1 200元的人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆C:22221x ya b+=(a>b>0)3(−1,3)在椭圆C上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若过椭圆C 的上顶点A 作圆M :222(1)x y r ++=(0<r <1)的两条切线分别与椭圆C 相交于B ,D (不同于点A )两点,当r 变化时,试问直线BD 是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 21.(本小题满分12分)已知函数()F x =21ln 2ax x x -,()()1f x F x '=+,2()()2a F x g x x=-(a ∈R ).(1)当a =(1)g '时,求()f x 的图象在(e ,()f e )处的切线方程(e 是自然对数的底数); (2)当x ∈(0,e ]时,是否存在实数a ,使得()f x 的最小值是3?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4─4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x ty at =+⎧⎨=⎩,(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为(10cos )210ρρθ-+=.(2)当直线l 与曲线C 相交,且弦长为2时,求实数a 的值. 23.(本小题满分10分)选修4─5:不等式选讲已知函数()f x =|a −3x |−|2+x |. (1)若a =2,解不等式()f x 3;(2)若存在实数a ,使得不等式()f x 1−a +2|2+x |成立,求实数a 的取值范围.2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(九)答案1.D 【解析】由题意得N ={x |1−x >0}={x |x <1},又M ={x |12 x <3},所以M N I =[12,1). 2.D 【解析】由已知得,13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-,则复数z 的虚部为-2,故选D .3.C 【解析】由题意,若a 与b 垂直,因为α⊥β,a 在平面α内,b 在平面β内,则a ⊥l ,b⊥l 至少有一个成立,与a ,b 均与l 不垂直矛盾,所以a 与b 不可能垂直.当a ∥l ,b ∥l 时,a ∥b .故选C .4.C 【解析】因为函数()f x 的零点为4,所以2log (4)0m +=,即m =−3,所以()f x =2log (3),41,42018x x x -⎧⎪⎨<⎪⎩≥ 所以2(6)2log 32f -=-∈(−1,0),所以((6)2)f f -=12018,故选C . 5.B 【解析】由函数x y a =是增函数,得a >1;由2log 1a >,得a >2.所以“函数x y a =是增函数”是“2log 1a >”的必要不充分条件,故选B . 6.C 【解析】由程序框图可知,k =2,S =12;k =4,S =12+14=34;k =6,S =34+16=1112;k =8,S=1112+18=2524;k =10,S =2524+110=137120,此时不满足判断框中的条件,输出k 的值为10.因此判断框内可填的条件是“S 2524?”.7.A 【解析】第一次为3116105++=4715,则该值为π的一个不足近似分数值,即4715<π<165;第二次为4716155+=+6320,该值为π的一个过剩近似分数值,即4715<π<6320;第三次为47631520++=227,该值为π的一个更为精确的过剩近似分数值.8.D 【解析】将题中三视图还原成几何体如图中多面体EF ABCD 所示,连接BD ,则其体积111110222(12)2232323B CDE B ADEF V V V --=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,故选D .9.D 【解析】令24m y x =-,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线0l :240y x -=,即20x y -=,平移直线0l ,当经过点A 时,24m y x =-取得最大值,当经过点B 时,24m y x =-取得最小值.解方程组2424x y x y -=-⎧⎨+=⎩可得点A (0,2),解方程组243x y x +=⎧⎨=⎩,可得点B (3,12),所以m max =4,m min =−11,故目标函数24m y x =-的取值范围是[−11,4],所以2(24)2(24)z y x y x =---=22m m -(m ∈[−11,4])的取值范围是[−1,143].故选D . 10.D 【解析】因为()f x =sin cos x x ωω-2)4x πω-,设函数()f x 的最小正周期为T ,易知2T T ω= π,所以14<ω 1,由x ω−4π=k π+2π(k ∈Z),得()f x 的图象的对称轴方程为x =3()4k πω+(k ∈Z),依题意有3()423(1)43kkππωππω⎧+⎪⎪⎪⎨⎪++⎪⎪⎩≤≥(k∈Z*),所以3728312k kω++≤≤(k∈Z).当k=−1时,−18ω14,不合题意;当k=0时,38ω712;当k=1时,78ω1112;当k=2时,118ω54,不合题意.故ω的取值范围是[38,712]∪[78,1112],故选D.11.C【解析】设11(,)M x y,22(,)N x y,MN的中点为00(,)P x y,因为点M,N在双曲线上,所以2211222244x yx y⎧-=⎨-=⎩,两式相减得21212121()()()()x x x x y y y y-⋅+=-+,显然1x≠2x.当1y≠−2y,即y≠0时,21212121y y x xx x y y-+=-+,即MNk=0xy,因为点M,N关于直线2y x m=-对称,所以MNk=−12,所以002y x=-,又002y x m=-,所以04mx=,所以2my=-≠,即(,)42m mP-,m≠0,代入抛物线方程得2()1624m m-=⨯,得m=16;当12y y=-时,P(0,0),则m=0,符合题意.综上,m=0或m=16.12.B【解析】当x<1时,方程()f x=kx可化为kx=23x x-,即x[k−(x−2x)]=0,故x=0或k=x−2x.记()g x=2x x-(x<1,x≠0),显然函数()g x在(−∞,0)和(0,12)上单调递增,在(12,1)上单调递减,()g x的最大值为1()2g=12−21()2=14.当x 1时,方程()f x =kx 可化为kx =xe −e ,即x e ek x-=.记()x e eh x x-=(x 1),则2(1)()x e x eh x x-+'=,因为x 1,所以()h x '>0,即函数()h x 在[1,+∞)上单调递增. 所以()h x (1)h =1e e-=0. 如图,作出函数()p x =(),1,0(),1g x x x h x x <≠⎧⎨⎩≥,的图象及直线y k =.显然,当k 0或k >14时,直线y k =与函数()p x 的图象有一个交点; 当k =14时,直线y k =与函数()p x 的图象有两个交点; 当0<k <14时,直线y k =与函数()p x 的图象有三个交点.综上,当k 0或k >14时,方程()f x =kx 有两个不同的实根.故选B .13.【解析】由已知得2a −b =(−2,1),b −c =(−x ,−1),所以2|2|-a b =(−2)2+12=5,|a |2=(−1)2+12=2,|b −c |2=2x +1.因为222|2|||||-=+-a b a b c ,所以5=2+2x +1,所以x .14.5 712【解析】82)的通项1r T +=(1)r-×88C 2r rr -⨯⨯=828(1)2C r r rr x--⨯⨯⨯,其有理项为000448(1)2C x x -⨯⨯⨯=,222338(1)2C 112x x -⨯⨯⨯=, 444228(1)2C 1120x x -⨯⨯⨯=,66618(1)2C 1792x x -⨯⨯⨯=x ,8888(1)2C 256-⨯⨯=,因为333131()3x x x x x x +=+++,所以2x 的系数为3×1792+3×112=5712.15.F (1,0),设直线l 的方程为(1)y k x =-(k >0),P ,Q 两点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),1x <2x ,将(1)y k x =-代入24y x =得,22222(2)0k x k x k -++=,则1x +2x =24k+2,1x 2x =1,2x −1x2k =,2112121211111||||1113x x PF QF x x x x x x --=-===+++++,得k. 16.(1311,7)【解析】由5a =3b ,可设a =3k ,b =5k (k >0),则2k <c <8k ,2<ck<8. 在△ADB 中,BD =32k ,由余弦定理得cos ∠ADB =2223()2322AD k c AD k +-⋅,在△ADC 中,CD =32k ,由余弦定理得cos ∠ADC =2223()(5)2322AD k k AD k +-⋅,又∠ADC +∠ADB =π,所以cos ∠ADB =−cos ∠ADC ,因此2223()2322AD k c AD k +-⋅=−2223()(5)2322AD k k AD k +-⋅,得22241142AD k c =+.同理 2227142BE k c =-+,则22222222222222411412484842117172272()742k c AD k c k c BE k c c k k c k ++===+=+-+--+-. 因为2<c k <8,所以1<22()ck −7<121,则24848481212()7c k<<-,所以2169481491212()7c k<+<-,因此13711AD BE <<,即AD BE 的取值范围是(1311,7).17.【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意得1314a a =⎧⎨=⎩或1341a a =⎧⎨=⎩若1314a a =⎧⎨=⎩,因为n a >0,则q =2,所以n a =1×12n -=12n -;(2分)若1341a a =⎧⎨=⎩,因为n a >0,则q =12,所以n a =4×11()2n -=32n -.(4分)(2)因为数列{}n b 是递增数列,2log 1n n b a =+,所以由(1)知n a =12n -,2log 1n n b a =+=12log 211n n n -=-+=,(6分) 所以{}n b 是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以n S =1()(1)22n n b b n n ++=. 所以12112()(1)1n S n n n n ==-++, 所以n T =2(11−12+12−13+…+1n −11n +)=2(1−11n +)=21n n +.(12分)18.【解析】(1)在题图①中,∵AB,AD =4,E 为AD 上靠近D 的一个四等分点,∴AE =3,DE =1,∴BECE =2,(2分) ∴2BC =2BE +2CE ,得BE ⊥CE , ∴在题图②中,BF ⊥CF .(3分)又平面BCF ⊥平面ABCD ,且平面BCF ∩平面ABCD =BC ,DC ⊥BC , ∴DC ⊥平面BCF ,∴DC ⊥BF . 又DC ∩CF =C ,∴BF ⊥平面DCF .又BF ⊂平面BGF ,∴平面BGF ⊥平面CDF .(5分)(2)以F 为坐标原点,FC ,FB 所在直线分别为x ,y 轴,过点F 且垂直于平面BCF 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则F (0,0,0),B (0,,0),G (1),H (1,0,0),D (2,0,(6分)∴FB u u u r =(0,30),FG u u u r =(133),DG u u u r =(−130),DH u u u u r=(−1,0,3.设1n =(1x ,1y ,1z )为平面BFG 的法向量,则1100FB FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n , 即1111230330x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,则10y =, 令11z =-,则1x 3,∴平面BFG 的一个法向量为1n 30,−1).(7分)设2n =(2x ,2y ,2z )为平面DGH 的法向量,则2200DG DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u rn n , 即22223030x x z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩, 令2x 32y =1,2z =−1,∴平面DGH 的一个法向量为2n 31,−1).(9分) 设θ为平面BFG 与平面DGH 的夹角, 则1222222212||33cos |||(3)0(1)(3)1(1)θ⋅==⋅++-⨯++-n n |n n 55.(12分)19.【解析】(1)估计该市市民的月网购金额的平均值为200×(0.000375×400)+600×(0.000625×400)+1000×(0.00075×400)+1400× (0.0005×400)+1800×(0.00025×400)=940(元).(3分)(2)将月网购金额在各组的频率视为概率,则月网购金额不低于1200元的概率为 (0.0005+0.00025)×400=0.3=310.ξ所有可能的取值为0,1,2,3, 则P (ξ=0)=0333343C (1)101000⨯-=,P (ξ=1)=12333441C (1)10101000⨯⨯-=,P (ξ=2)=221333189C ()(1)10101000⨯⨯-=, P (ξ=3)=333327C ()101000⨯=.(10分) 故ξ的分布列为又ξ~B (3,310),故ξ的数学期望E (ξ)=3×10=10.(12分)20.【解析】(1)由已知可得,222221314a b ca ab c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩⇒a =2,b =1,所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (3分)(2)由(1)知,顶点A 的坐标为(0,1).设过点A 与圆M 相切的直线方程为1y kx =+, r =,即222(1)210r k k r --+-=.(5分)设两切线AB ,AD 的斜率分别为1k ,2k (1k ≠2k ),B (1x ,1y ),D (2x ,2y ),则1k ,2k 是方程222(1)210r k k r --+-=的两根,所以1k ·2k =1. 由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)80k x kx ++=,所以1x =121814k k -+,1y =21211414k k -+, 同理可得2x =21222188144k k k k --=++,2y =22212221144144k k k k --=++.(8分) 所以2211221111221141441488414BDk k k k k k k k k ---++=---++=−21113k k +,于是直线BD 的方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++, 令x =0,得y =21211414k k -++21113k k +121814k k -⨯+=21215203(14)k k --+=−53, 故直线BD 过定点(0,−53).(12分)21.【解析】(1)因为()F x =21ln 2ax x x -,所以()F x '=ln 1ax x --,所以()f x =ln ax x -.(1分)因为ln ()xg x x =, 所以21ln ()xg x x-'=,所以a =(1)g '=1,(2分) 此时()f x =ln x x -,()f x '=1−1x =1x x-,()f x 的图象在(e ,()f e )处的切线的斜率1()e k f e e -'==, 又()f e =e −1,所以()f x 的图象在(e ,()f e )处的切线方程为1(1)()e y e x e e---=-, 即1e y x e-=.(5分) (2)假设存在实数a ,使得()f x =ln ax x -(x ∈(0,e ])的最小值为3,由题知1()f x a x '=-=1ax x-.(6分)①当a 0时,函数()f x 在(0,e ]上单调递减,所以()f x min =()f e =ae −1=3,即a =4e,不满足a 0,舍去.(7分)②当0<1a <e 时,函数()f x 在(0,1a )上单调递减,在(1a,e ]上单调递增,所以()f x min =f (1a)=1+ln a =3,即a =2e ,满足条件.(9分)③当1a e 时()f x 在(0,e ]上单调递减,()f x min =()f e =ae −1=3即a =4e ,不满足1a e ,舍去.(11分)综上所述,当x ∈(0,e ]时,存在实数a =2e ,使得()f x 的最小值为3.(12分)22.【解析】(1)由1x ty at=+⎧⎨=⎩,消去t 得直线l 的普通方程是(1)y a x =-.因为(10cos )210ρρθ-+=,所以210cos 210ρρθ-+=,又222x y ρ+=,cos x ρθ=,所以2210210x y x +-+=,即曲线C 的直角坐标方程是22(5)4x y -+=.(5分) (2)由(1)知直线l 的方程是(1)y a x =-,曲线C 的方程是22(5)4x y -+= ,即圆心C (5,0),半径r =2, 由点到直线的距离公式可得圆心C 到直线(1)y a x =-的距离d,所以22−2=2,解得a =±7.(10分) 23.【解析】(1)当a =2时,不等式()f x 3为|2−3x |−|2+x | 3,则22323x x x -⎧⎨-++⎩≤≤或2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤ 或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---⎩≤ 解得34- x 72,所以不等式()f x 3的解集为{x |34- x 72}.(5分)(2)不等式()f x 1−a +2|2+x |等价于|a −3x |−3|2+x | 1−a ,即|3x −a |−|3x +6| 1−a ,由绝对值不等式的性质知|3x −a |−|3x +6| |(3x −a )−(3x +6)|=|a +6|.若存在实数a ,使得不等式()f x 1−a +2|2+x |成立,则|a +6| 1−a , 解得a −52,所以实数a 的取值范围是[−52,+∞).(10分)【备注】不等式选讲主要有两个考点:一是带有绝对值的不等式的求解;二是不等式的证明.对于带有绝对值的不等式的求解,要掌握好三种方法:一是根据绝对值的几何意义,借助于数轴的直观解法;二是根据分类讨论思想,采用零点分区间法去绝对值后,转化为不等式组的解法;三是构造函数,通过函数图象求解.。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)(含答案解析)

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)(含答案解析)

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)本试卷分必考和选考两部分.必考部分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1.设集合U ={1,2,3,4},集合A ={x ∈N |2x −5x +4<0},则U A ð=( )A .{1,4}B .{1,2}C .{2,4}D .{1,3,4} 2.已知复数z =i1im (m >0),z ·z =1,则z =( ) A .2+2i B .2−2i C .2+2i D .2−2i 3.已知数列{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,若2017S =4 034,则3a +1009a +2015a =( )A .2B .4C .6D .8 4.某几何的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为( )A .4π+4B .3π+4C .3πD .32π+4 5.已知0<a <b <1,则下列结论正确的为( )A .3a >3bB .ln a a >ln b bC .1()a e <1()b e D .log 3a >log 3b6.执行如图所示的程序框图,则输出的i 的值是( )A .5B .7C .9D .3 7.已知将函数()f x =a sin2x +b cos2x 的图象向右平移6π个单位长度后所得到的图象关于直线x =4π对称,则b a 的值为( )A 3B .1C 3D .2 8.已知x ,y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,如果目标函数z =1y x m +-的取值范围为[0,2),则实数m 的取值范围为( )A .[0,12]B .(−∞,12]C .(−∞,12) D .(−∞,0]9.已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC =2,则此三棱锥的体积为( ) A .26 B .36 C .23 D .2210.已知直线y 25与双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)交于A ,B 两点,若在双曲线上存在点P ,使得|P A |=|PB 3AB |,则双曲线的离心率为( ) A 2 B .3 C .52D 511.已知二次函数()f x =a 2x −2x +2c,x ∈R 的值域为[0,+∞),其图象过定点(0,1),且()g x =x ()f x +b 2x +a 在区间(12,1)上不是单调函数,则实数b 的取值范围为( )A .(0,2B .(0,2C .[2+∞)D .(2+∞)12.已知数列{n a }的前n 项和为n S ,对任意n ∈N *,n S =(−1)n n a +12n +2n −6, 且(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立,则实数p 的取值范围是( ) A .(−74,234) B .(−∞,234) C .(−74,6) D .(−2,234) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若(1x−2x )n 的常数项是15,则展开式中3x 的系数为 .14.已知AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为150°,|AB u u u r |AC u u u r AP u u u r =λAB u u u r +μAC u u u r ,且AP u u u r ⊥BC uuu r ,则λμ的值为 .15.已知函数()f x =2x −2x sin2πx +1的两个零点分别为a ,b (a <b ),则a ⎰dx = .16.已知直线y =kx +1与抛物线2y =2x 相切于M 点,过M 点作两条直线,分别与抛物线交于A 、B 两点,若两直线的斜率之和为0,则直线AB 的斜率为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,且a cos C +c cos A =2b cos B ,b . (1)求证:角A ,B ,C 成等差数列; (2)求△ABC 面积的最大值. 18.(本小题满分12分)某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示45名同学的饮食指数.说明:饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜,饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类.(1)根据茎叶图,完成下面2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”,说明理由;喜食蔬菜喜食肉类合计男同学女同学合计(2)用分层抽样的方法按照喜食蔬菜、喜食肉类从全班同学中随机抽取15名同学进行进一步调查,记抽到的喜食肉类的女同学的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ.附:2K=2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++.P(2K≥k) 0.10 0.05 0.01k2.706 3.841 6.63519.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是菱形,且AB=2,∠ABC=60°,点A在平面PBC上的射影为PB的中点O,PB⊥AC.(1)求证:PC=PD;(2)求平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别是点1F ,2F ,其离心率e =12,点P 为椭圆上的一个动点,12PF F ∆面积的最大值为. (1)求椭圆的方程;(2)若A ,B ,C ,D 是椭圆上不重合的四个点,AC 与BD 相交于点1F ,AC BD ⋅u u u r u u u r =0,求|AC u u u r |+|BD u u u r|的取值范围. 21.(本小题满分12分)已知函数()f x =(x −a )x e −2x .(1)若a =1,x ∈[0,1],求函数()f x 的最值;(2)若a ∈Z ,函数()f x 在x ∈[0,+∞)上是增函数,求a 的最大整数值.选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4─4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的极坐标方程为ρθ.(1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于A ,B 两点,若点P 的坐标为(3,求|P A |+|PB |. 23.(本小题满分10分)选修4─5:不等式选讲已知二次函数()f x =2x −bx +c 在 x =1处取得最小值−1. (1)解不等式|()f x |+|()f x -)| 6|x |;(2)若实数a 满足|x −a |<1,求证:|()f x −()f a |<2|a |+3.2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)答案1.A 【解析】由2x −5x +4<0得1<x <4,由于x ∈N ,所以A ={2,3},于是U A ð={1,4}.2.A 【解析】解法一 z =i 1i m +=i(1i)(1i)(1i)2m m -=+-+2m i ,z =2m −2mi ,z·z =22m =1, 又m >0,则mz=2+2i ,选A . 解法二 由题意知|z|=|i ||1i |m =+,由z·z =2||z ,得22m =1, 又m >0,则m==2+2i ,选A . 3.C 【解析】依题意,120172017()2a a +=4 034,所以21009a =1a +2017a =4,3a +1009a +2015a =31009a =6,选C .4.B 【解析】由三视图,可得到该几何体为一个底面半径为1,高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体,因而其侧面积S =34×2π×1×2+2×1×2=3π+4,故选B .5.D 【解析】对于A ,由于y =3x 为增函数,因而3a <3b ,故A 错误;对于B ,令y =x ln x ,y '=ln x +1,则y =x ln x 在(0,1e )上单调递减,在(1e,1)上单调递增,则ln a a ,ln b b 的大小关系不确定;对于C ,y=1()x e 为减函数,所以1()a e >1()b e;对于D ,y=3log x 为增函数,因而3log a <3log b <0, 则log 3a =31log a >31log b=log 3b .故选D . 6.B 【解析】第一次循环:S =2×1+20=3,i =3;第二次循环:S =2×3+23=14,i =5;第三次循环:S =2×5+214,i =7,此时S >2 017,结束循环.故输出的i 的值是7. 7.C 【解析】通解 ()f x =a sin 2x +b cos 2xx +φ),其中tan φ=ba,将其图象向右平移6π个单位长度后,所得图象对应的函数表达式为()6f x π- =22a b +sin(2x −3π+φ),其对称轴为2x −3π+φ=kπ+2π,k ∈Z ,由题意知其中一解为x =4π,则φ=kπ+3π,k ∈Z ,即tan φ=b a =3,故选C .优解 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象对应的函数表达式为y=a sin2(x −6π)+b cos 2(x −6π),因为所得图象关于直线x =4π对称,则4y x π'==2[a cos(2x −3π)−b sin(2x −3π)]4x π==3a −b =0,因而b a =3,故选C . 8.C 【解析】由约束条件,作出可行域如图中阴影部分所示,而目标函数z=1y x m+-的几何意义为可行域内的点(x ,y )与A (m ,−1)连线的斜率.由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩,即B (2,−1).由题意知m =2不符合题意,故点A 与点B 不重合,因而当连接AB 时,斜率取到最小值0.由y =−1与2x −y −2=0得交点C (12,−1),在点A由点C 向左移动的过程中,可行域内的点与点A 连线的斜率小于2,因而目标函数的取值范围满足z ∈[0,2),则m <12,故选C . 9.A 【解析】根据题意作出图形如图所示,设球心为O ,过A ,B ,C 三点的小圆的圆心为1O ,连接1OO ,则1OO ⊥平面ABC ,连接1CO 并延长交球面于点D ,连接SD ,则SD ⊥平面ABC .∵1CO =2332⨯=33,∴1OO =63,∴三棱锥的高SD =21OO =263,∵△ABC 是边长为1的正三角形,∴ABC S ∆=34, ∴三棱锥的体积V =132623436⨯⨯=,故选A . 10.B 【解析】通解 由2222251y x x y ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,得22x a −2245x b =1,则2x =221145a b -,2y =2245145a b -, 因而|OA |2=|OB |2=2295145a b -,如图,连接OP ,由于|P A |=|PB |,因而直线OP 的方程为y=−52x ,同理可得|OP |2=2294154a b-,又|P A |=|PB |=3|AB |,∴|OP |2=2|OA |2, 从而得22b a =2,∴e =221b a+=3,故选B .优解 连接OP ,设|OA |=m >0,由题意知|OP 2|OA 2m ,且OP ⊥OA ,设直线AB 的倾斜角为α,则tan α=255,因而sin α=23,cos α=53,不妨设点A 在第一象限,则A (53m ,23m ),直线OP 的倾斜角为2π+α,同理可得P (−23m 10)或(23m ,10m ),∵A ,P 均在双曲线上,∴2259m a−2249m b =1,且2289m a −22109m b =1,则259a −249b =21m =289a −2109b,解得22b a =2, ∴eB .11.A 【解析】由函数()f x 的图象过定点(0,1)得c =2,又()f x 的值域为[0,+∞),则a >0,244ac a-=0,因而a =1,则()f x =2x −2x +1,()g x =3x +(b −2)2x +x +1, ()g x ' =32x +2(b −2)x +1,由题意知方程()g x '=0在区间(12,1)上有解,由于()g x '=0不能有两个相等的实根,因而Δ=4(b −2)2−12>0, 即b或b,同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4,−, 所以0<b,从而0<b,故选A . 12.A 【解析】∵n S =(−1)n n a +12n +2n −6,∴当n 2时,1n S -=(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8, 两式相减得,n a =(−1)n n a + 12n +2n −6−[(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8],整理得[1−(−1)n ]n a =(−1)n 1n a -+2−12n (n 2) (*).又n S =(−1)n n a +12n +2n −6,∴1S =−1a +12+2−6,即1a =−74.①当n 为偶数时,化简(*)式可知,1n a -=12n −2,∴n a =112n +−2(n 为奇数);②当n 为奇数时,化简(*)式可知,2n a =−1n a -+2−12n ,即12n −4=−1n a -+2−12n ,即1n a -=6−112n -,∴n a =6−12n (n 为偶数). 于是n a =112216,2n nn n +⎧-⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩,为奇数为偶数.∵对任意n ∈N *,(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立,∴对任意n ∈N *,(p −1n a +)(p −n a )<0恒成立.又数列{21k a -}单调递减,数列{2k a }单调递增,∴当n 为奇数时,有n a <p <1n a +,则1a <p <11a +,即−74<p <234;当n 为偶数时,有1n a +<p <n a ,则21a +<p <2a ,即−3116<p <234.综上所述,−74<p <234,故选A .13.−20【解析】设第r +1项是常数项,则1r T +=C r n (1x)n r -·(−2x )r =(−1)r C r n x3n r-+, 由−n +3r =0得n =3r ,又(−1)r C r n =15,所以n =6,r =2.设第m +1项是含3x 的项,则1m T +=(−1)m 6C m x 63m -+,令−6+3m =3,得m =3,则展开式中3x 的系数为3(1)-36C =−20.14.59【解析】通解 由AP u u u r ⊥BC uuu r ,得AP u u u r ·BC uuu r =0,即(λAB u u u r +μAC u u u r )·(AC u u u r −AB u u u r )=(λ−μ) AB u u u r ·AC u u u r −λ2AB u u u r +μ2AC u u u r =(λ−μ)×3×1×(−32)−λ×2(3)+μ×21=52μ−92λ=0,因而λμ=59.优解 如图,以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则由题意知AB u u u r =(3,0),AC u u u r =(−3,12),BC uuu r =(−33,12),AP u u u r =(3λ−3μ,12μ),由AP u u u r ⊥BC uuu r ,得−332(3λ−32μ)+14μ=0,得λμ=59.15.2π【解析】函数()f x 的零点,即方程()f x =2x −2x sin 2πx +1=0的根, 由于x =0不是方程的根,因而可化为2sin 2πx =x +1x ,又x +1x ∈(−∞,−2]∪[2,+∞),所以sin 2πx =±1,则2x ±2x +1=0,从而x =±1,因为a <b ,所以a =−1,b =1,因而21ax -⎰dx =121x --⎰,由定积分的几何意义,知121x --⎰=2π. 16.−12【解析】数形结合可知k ≠0,由212y kx y x=+⎧⎨=⎩,得2k 2x +2(k −1)x +1=0,因而Δ=4(k −1)2−42k =0,即k =12,从而2x −4x +4=0,则M (2,2),设直线MA 的方程为y−2=m (x −2),易知m ≠0,由2222y mx my x=+-⎧⎨=⎩,得m 2y −2y+4−4m =0,解得y =2m −2或2,即A (2(1m −1)2,2m−2), 同理设直线MB 的方程为y −2=−m (x −2),得B (2(1m +1)2,−2m−2),则AB k =22112(1)2(1)112(1)2(1)m m m m------+=−12.17.【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ,(1分)即sin(A +C )=2sin B cos B ,从而可得cos B =12. ∵在△ABC 中,0<B<π,∴B =3π,(3分) ∴A +C =23π=2B , ∴角A ,B ,C 成等差数列.(5分)(2)由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ,得2a +2c −ac =3, 即ac 3,当且仅当a =c 时等号成立.(7分)ABC S ∆=12ac sin Ba =c 时取等号,即△ABC面积的最大值为4.(12分) 18.【解析】(1)根据茎叶图,完成的2×2列联表如下,计算得2K =245(19367)3692025⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=0.562 5<2.706,对照临界值得出,没有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”.(5分)(2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×1545=3,所以ξ的可能取值有0,1,2,3.P (ξ=0)=3639C C =521,P (ξ=1)= 216339C C C =1528, P (ξ=2)= 126339C C C =314,P (ξ=3)= 3339C C =184.(10分) 所以ξ的分布列为ξ 0123P521 1528 314 184所以ξ的数学期望Eξ=0×21+1×28+2×14+3×84=1.(12分)【备注】本题的易错点是审题不仔细,对所给图表理解不清,不能从图表中准确提取信息,另外,对于这类题目,运用公式不难,但运算量大,对运算能力要求较高,不少考生过不了运算关.把分层抽样、独立性检验与离散型随机变量的分布列与数学期望结合起来进行考查,代表了统计案例解答题的一种命题趋势,这类试题难度不大,但考查的知识面较广. 19.【解析】(1)如图,连接CO ,由题意知PB ⊥AO ,且AP =AB =2,又PB ⊥AC ,AO ∩AC =A ,因而PB ⊥平面AOC . 又CO 平面AOC ,则PB ⊥OC ,(2分) 又O 为PB 的中点, 因而PC =BC =2,(3分)又ABCD 是菱形,且∠ABC =60°,则AC =2,所以OA =OC =1. 作DH ⊥平面PBC 于H ,连接PH ,CH ,则PH =DH =1, 因而PD =2,即PC =PD .(5分)(2)解法一 以O 为坐标原点,OC ,OP ,OA 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),C (1,0,0),P (0,1,0),D (1,1,1), PC uuu r =(1,−1,0),PD u u u r=(1,0,1), (7分) 设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ),则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ,即00x y x z -=⎧⎨+=⎩, 取x =1,则y =1,z =−1,所以m =(1,1,−1)是平面PCD 的一个法向量,(9分) 易知平面BAP 的一个法向量为n =(1,0,0), 那么cos<m ,n >=||||⋅⋅m n m n =331=⨯, 即平面BAP 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为3.(12分)解法二 由(1)知平面BAP ∥平面HCD ,因而等价于求平面HCD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值,由于PH ⊥平面HCD ,则PH ⊥CD ,如图,作HM ⊥CD 于M ,连接PM , 由PH ∩HM =H ,得CD ⊥平面PHM ,(6分)所以CD ⊥PM ,则∠PMH 为二面角P −CD −M 的平面角. 在直角三角形HCD 中,CD 112+=, 则HM =222=tan ∠PMH 222=,因而cos ∠PMH=3,(10分) 所以平面BAP 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3. (12分) 【备注】从近几年高考题来看,立体几何的考查往往避开规则几何体,给人以新颖感,但无论如何创新,空间中线线、线面、面面的位置关系是必考点,一般位于第(1)问,要求考生运用性质定理、判定定理进行推理证明,当然借助向量解决也是一种趋势.在运用向量法求解时,关键是注意以下几点:①如何恰当地建立空间直角坐标系;②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示,能否顺利坐标化;③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论;④运算结果和证明的结论不一致时,应该及时检查初始点或基向量是否正确;⑤运用向量法求二面角时要注意判断二面角是锐角还是钝角. 20.【解析】(1)由题意知,当点P 是椭圆的上、下顶点时,12PF F ∆的面积取得最大值,此时12PF F ∆的面积S =12·2c ·bc①.(1分)又椭圆的离心率e =12,所以c a =12②,(2分)联立①②解得a =4,c =2,2b =12,所以椭圆的方程为2211612x y +=.(4分)(2)由(1)知1F (−2,0),因为AC BD ⋅u u u r u u u r=0,所以AC ⊥BD .①当直线AC ,BD 中有一条直线的斜率不存在时,|AC u u u r |+|BD u u u r|=8+6=14; ②当直线AC 的斜率为k ,k ≠0时,其方程为y=k (x +2),由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 并整理得(3+42k )2x +162k x +162k −48=0.(6分)设A (1x ,1y ),C (2x ,2y ),则1x +2x =−221634k k +,1x 2x =22164834k k -+,所以|AC u u u r|1x −2x=2224(1)34k k ++,直线BD 的方程为y =−1k(x +2),同理可得|BD u u u r |=2224(1)43k k ++,所以|AC u u u r |+|BD u u u r|=2222168(1)(34)(43)k k k +++,(8分)令1+2k =t ,则t >1,所以|AC u u u r |+|BD u u u r |=22221681681681(41)(31)12112t t t t t t t t ==--++-+, 设()f t =21t t-(t >1),则()f t '=32t t -+, 所以当t ∈(1,2)时,()f t '>0,当t ∈(2,+∞)时,()f t '<0,(10分) 故当t =2时,()f t 取得最大值14. 又当t >1时,()f t =21t t ->0,所以0<21t t- 14, 所以|AC u u u r |+|BD u u u r |∈[967,14).综上,|AC u u u r |+|BD u u u r |的取值范围为[967,14].(12分)【备注】解决本题的关键有以下几点:(1)熟练掌握有关椭圆的基础知识;(2)注意对特殊情况进行讨论,如本题中讨论了直线斜率不存在的情况;(3)正确利用题目所给条件得到|AC u u u r|,|BD u u u r|的表达式;(4)灵活运用函数的有关知识求最值.21.【解析】(1) 若a =1,则函数()f x =(x −a )x e −2x ,()f x '=x e +(x −1)x e −2x =x (x e −2).令()f x '=0,则x =0或x =ln 2,由于x ∈[0,1], 因而当x ∈(0,ln 2)时,()f x '<0,()f x 单调递减, 当x ∈(ln 2,1)时,()f x '>0,()f x 单调递增, 所以()f x 的最小值为(ln 2)f =−1−(ln 2−1)2,最大值为(0)(1)f f ==−1.(5分) (2) ()f x '=x e +(x −a )x e −2x =(x +1−a )x e −2x ,由()f x 在x ∈[0,+∞)上是增函数,得()f x ' 0在x ∈[0,+∞)上恒成立, 即(x +1−a )x e −2x 0,x ∈[0,+∞), 分离参数得1−a2x xe−x ,x ∈[0,+∞).(7分) 设()g x = 2x x e −x ,则()g x '=22x xe-−1=22x xx e e --, 令()g x '=0,即2−2x −x e =0.(8分)设()h x =2−2x −x e ,由于(0)h =1>0,1()2h<0,因而方程2−2x −x e =0在(0,12)上有解,设为0x ,则0x e =2−20x ,且当x ∈(0,0x )时,()g x '>0,当x ∈(0x ,+∞)时,()g x '<0,所以()g x 的最大值为0()g x =002x x e −0x =001x x -−0x =2001x x -.(10分)因而1−a 2001x x -,即a 1+2001x x -=3+011x -+0x −1,又0x ∈(0,12),0x −1∈(−1,−12),因而3+011x -+0x −1∈(12,1),因而a 的最大整数值为0. (12分)【备注】在高考题中,函数与导数试题多以对数、指数形式出现,而且属于压轴题,对考生的能力要求很高,意在提高区分度,有利于选拔.试题一般考查含有参数的函数的单调性、极值、最值,曲线的交点等,解题时由于对参数的讨论往往比较复杂,因而考生通常会由于对参数的分类标准分析不到位而出现失误.在复习过程中,对于某些常规函数的性质及图象要做到了如指掌,如对数函数、y=ln xx以及y=x ln x 的图象等更要多加积累,并善于利用数形结合思想进行研究,寻求问题的求解方法.22.【解析】(1)由直线l的参数方程322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 得直线l 的普通方程为y =−x由ρθ,得2x +2y −=0,即圆C 的直角坐标方程为2x +(y2=5.(5分)(2)通解由22(53x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩得2x −3x +2=0,解得12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设A (1,,B (2,,又点P 的坐标为(3. 故|P A |+|PB(10分)优解 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得(3−2t )2+(2t )2=5, 即2t −t +4=0.由于)2−4×4=2>0,故可设1t ,2t 是上述方程的两个实根,所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P (3,故|P A |+|PB |=|1t |+|2t |=1t +2t. (10分)23.【解析】(1)由题意知,二次函数图象的顶点为(1,−1),得b =2,c =0,因而()f x =2x −2x .不等式|()f x |+|()f x -| 6|x |,即|2x −2x |+|2x +2x | 6|x |, 当x =0时,不等式成立;当x ≠0时,不等式化为|x −2|+|x +2| 6,从而2226xx x-⎧⎨-+--⎩≤≥,或20226xx x-<<⎧⎨-+++⎩≥或02226xx x<⎧⎨-+++⎩≤≥,或2226xx x>⎧⎨-++⎩≥,解得x −3或x 3,故不等式的解集为{x|x −3或x=0或x 3}.(5分)(2)因为|x−a|<1,所以|()f x−()f a|=|2x−2x−2a+2a|=|(x+a−2)(x−a)|=|x+a−2|·|x−a|<|x+a−2| |x−a|+|2a|+2<2|a|+3.(10分)。

2020-2021学年(新课标i卷)高考数学文科模拟试题及答案解析高考模拟题

2020-2021学年(新课标i卷)高考数学文科模拟试题及答案解析高考模拟题

题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答 .
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
( 13)设向量 a=(x, x+1), b=(1, 2),且 a b,则 x=.
( 14)已知 θ是第四象限角,且 sin( θ+ π)= 3 ,则 tan(θ–π)=.
45
4
22
( 15)设直线 y=x+2a 与圆 C: x +y -2ay-2=0 相交于 A, B 两点,若
p x , 代 入 y2 t
2 px 整理 得
px 2
2t 2 x 0 ,解得 x1
0 , x2
2t 2
2t 2
,因此 H ( ,2t) .
p
p
所以 N 为 OH 的中点,即 | OH | 2 . | ON |
(Ⅱ)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点 .理由如下:
直 线 MH 的 方 程 为 y t p x , 即 x 2t ( y t) . 代 入 y 2 2 px 得 y2 4ty 4t 2 0 , 解 得
( A)
(B)
( C)
(D)
( 10)执行右面的程序框图,如果输入的
x 0, y 1, n=1,则输出 x, y 的值满足
( A) y 2x
( B) y 3x
( C) y 4x
( D) y 5x
( 11)平面 过正文体 ABCD— A1B1C1D1 的顶点 A // 平面 CB1D1 , I 平面 ABCD m , I 平面 ABB1A1 n ,则 m, n 所成角的正弦值为
( 6) D
( 7) A ( 8) B ( 9)D ( 10) C ( 11) A ( 12) C

高考数学模拟试题全国新课标卷(供参考)

高考数学模拟试题全国新课标卷(供参考)

高考模拟数学试题(一)(全国新课标卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,复数ii++13= A .i +2 B .i -2 C .2-i D .2--i2.等边三角形的边长为,如果那么等于 A .B .C .D . 3.已知集合}4|4||{2<-∈=x x Z x A ,}8121|{≥⎪⎭⎫⎝⎛∈=+yN y B ,记A card 为集合A 的元素个数,则下列说法不正确...的是 A .5card =A B .3card =B C .2)card(=B A D .5)card(=B A 4.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧视图的面积为A .6 3B .8C .8 3D .125.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点,若126x x +=,则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为A .5B .4C .3D .26.下列说法正确的是A .互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件B .互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件C .事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 D .事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小 7.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的S 为 A .1030020(())a x a x a a x +++的值 B .3020100(())a x a x a a x +++的值 C .0010230(())a x a x a a x +++的值 D .2000310(())a x a x a a x +++的值8.若(9x -13x)n(n ∈N *)的展开式的第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为A .252B .-252C .84D .-849.若S 1=⎠⎛121x d x ,S 2=⎠⎛12(ln x +1)d x ,S 3=⎠⎛12x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为A .S 1<S 2<S 3B .S 2<S 1<S 3C .S 1<S 3<S 2D .S 3<S 1<S 210.在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点。

2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷(一) 含解析

2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷(一) 含解析
【答案】 (1)。 (2)。
【解析】
【分析】
将直线 的方程与抛物线 的方程联立,列出韦达定理,利用抛物线的焦点弦长公式可求得 的值,设点 ,可得 ,利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得 的最小值。
【详解】由题意知,直线 ,即 .
直线 经过抛物线 的焦点, ,即 .
直线 的方程为 .
设 、 ,联立 ,消去 整理可得 ,
【详解】(Ⅰ) 设等差数列 的公差为 ,依题意得
又 ,解得 ,所以 .
(Ⅱ)依题意得 ,即 ( 且 )
所以 ,

对 上式也成立,所以 ,即 ,
所以 .
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用,考查了累加法求数列的通项公式,考查了裂项相消法求数列的和,考查了推理能力与计算能力. 形如 的数列 均可利用累加法求通项公式。
8。将函数 的图象向右平移 ( )个单位长度得到 的图象.若函数 在区间 上单调递增,且 的最大负零点在区间 上,则 的取值范围是( )
A. B。 C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律,求得 的解析式,再利用正弦函数的性质求得 的取值范围.
【详解】将函数 图象向右平移 ( )个单位长度得到 的图象.
故选:AD
【点睛】本题考查导数几何意义、基本不等式应用,考查基本分析求解与判断能力,属中档题.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知 ,且 ,则 __________.
【答案】
【解析】
分析:根据 的值得到 的值,再根据二倍角公式得到 的值.
详解:因此 且 ,故 ,
所以 ,故填 .
12。已知函数 ,若 在 和 处切线平行,则( )

高考数学模拟试题(新课程卷).doc

高考数学模拟试题(新课程卷).doc

高考数学模拟试题(新课程卷)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.向量=(cos α,sin α,=(cos β,sin β),其中α=β+34π,则与+的夹角为 ( )A 、6π B 、3π C 、32πD 、65π 2.设f(x)的定义域为R ,a 、b 是两个常数且b>a ,如果对于任何x ∈R 均有f(x+a)=f(x+b),那么对于任何x ∈R,n ∈Z ,均有f(x)= ( ) A 、f[x+n(a+b)] B 、f[x -n(a+b)] C 、f[x -n(a -b)] D 、f(x)-n(a -b) 3.已知f(x)=132-+x x ,函数y=g(x)的图象与y=f -1(x+1)的图象关于直线y=x 对称,则g(3)等于 ( ) A 、3B 、27 C 、29 D 、311 4.集合M={(x,y)|y=-22x x -},N={(x,y)|y=kx -3k+1},若M ∩N ≠Ф,则k 的取值范围是 ( ) A 、[0,1] B 、[0,34] C 、[31,1] D 、[31,34]5.设a=21cos6°-23sin6°02013tan 113tan 2+,则有 ( )A 、a<b<cB 、a<c<bC 、a>c>bD 、a>b>c6.一个简单多面体的面有三角形和八边形两种,其顶点有24个,每个顶点处有3条棱,那么该多面体的面中三角形和八边形的数目分别是 ( ) A 、8,10 B 、10,8 C 、8,6 D 、6,87.若点F 1、F 2为椭圆42x +y 2=1的焦点,P 为椭圆上的点,且△F 1PF 2的面积为1时,1PF ·2PF 的值为 ( ) A 、0B 、3C 、-38 D 、-31 8.已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=3,则球面的面积是 ( ) A 、4π B 、8π C 、12π D 、16π9.已知等差数列{a n }的前n 项和为18,前三项和S 3=1,a n-2+a n-1+a n =3,则n 的值是 ( ) A 、9 B 、21 C 、27 D 、3010.如果命题“非p 或非q ”是假命题,则在下列各结论中,正确为 ( ) ①命题“p 且q ”是真命题 ②命题“p 且q ”是假命题③命题“p 或q ”是真命题 ④命题“p 或q ”是假命题 A 、①③ B 、②④ C 、②③ D 、①④ 11.已知t ∈R *,由不等式x+x 1≥2,x+24x =2x +2x +24x ≥3,…启发我们可推广为x+n xt ≥n+1,则t 的值为 ( )A 、2nB 、22(n-1)C 、n 2D 、n n12.如图所示,在A 、B 间有四个焊接点,若焊接点 脱落,则可能导致电路不通。

最新高中数学新课程标准考试模拟试卷及答案(三套)

最新高中数学新课程标准考试模拟试卷及答案(三套)

最新高中数学新课程标准考试模拟试卷及答案(三套)高中教师数学新课程标准考试模拟试卷(一)附答案一、填空题(每小题4分,共40分)1.数学教育在学校教育中占有特殊的地位,它使学生掌握数学的基本概念、基本技能、基本方法,使学生表达清晰、思考有条理,使学生具有逻辑思维能力、创新能力,使学生会用数学的思考方式分析问题、解决问题。

2.高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,认识数学的科学性、规范性,提高提出问题、分析和解决问题的能力,形成数学思维惯,发展数学素养具有基础性的作用。

3.高中数学课程标准最突出的特点就是体现了思想性、方法性和应用性。

4.高中数学课程应力求通过各种不同形式的研究、实践,让学生体验数学探究的历程,发展他们的创新意识。

5.高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一。

人们在研究数学和运用数学解决问题时,不断地经历问题意识、分析、抽象、归纳、演绎、验证、推广、创新、评价等思维过程。

6.为了适应信息时代发展的需要,高中数学课程应增加信息技术的内容,把最基本的计算机操作、数据处理等作为新的数学基础知识和基本技能;同时,应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容,克服“应试化”的倾向。

7.普高中数学课程的总目标是:培养学生的数学思维能力、数学素养和数学方法,使其具有独立思考、自主研究、创新探究的能力,为学生未来的研究和工作打下坚实的数学基础。

8.高中数学课程的目标是要求学生具备广阔的数学视野,逐步了解数学的基本知识、基本技能和基本思想,培养批判性思维惯,崇尚数学的科学价值和文化价值,体会数学的美学意义,从而建立起符合辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观。

9.算法是一个全新的课题,已经成为计算机科学和数据处理的重要基础,在现代社会中起着越来越重要的作用。

10.高中数学研究的评价应该重视学生参与数学活动的兴趣和态度,以及数学研究的自信心和独立思考惯等方面,不仅要注重结果,还要注重过程。

2020届新高考数学模拟试卷及答案解析(1)

2020届新高考数学模拟试卷及答案解析(1)

B. e 2
C. b 5a
D. b 3a
11. 已知函数 f (x) ex ex , g(x) ex ex ,则以下结论错误的是 (
)
A.任意的 x1 , x2 R 且 x1
x2 ,都有
f (x1) f (x2 ) x1 x2
0
x1
x2
,都有
g ( x1 ) x1
g(x2 ) x2
当 x 3
2 时,该零配件体积的最大值为 Vmax
3 2
9(3
2)4 (3 2)6 27 . 3
【答案】 D .
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是 ( )
0.1 个单位
10.
已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线上一点,
且 | PF1 | 2 | PF2 | ,若 sin F1PF2
15 ,则对双曲线中 a , b , c , e 的有关结论正确的是 ( 4
)
A. e 6
求 AOB 面积的最大值.
22.(12 分)已知函数 f (x) 1 x2 2alnx (a 2)x . 2
(1)当 a 1 时,求函数 f (x) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使函数 g(x) f (x) ax 4 x3 在 (0, ) 上单调递增?若存在,求出 a
9 的取值范围;若不存在,请说明理由.
B. x (, 2) , x2 4
C. x0 [2 , ) , x02 4

新课标高考数学模拟卷01

新课标高考数学模拟卷01

新课标高考数学模拟卷01一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p:?十、r、辛克斯≤ 那么()A?p:?十、r、辛克斯≥1.c.? p:?十、r、辛克斯?一b.?p:?x?r,sinx≥1d.?p:?x?r,sinx?1B(1,±1),然后是向量2。

已知平面向量a?(11)? 1)a.(?2,,0)c.(?113a?b?()22,b.(?21),2)d.(?13.功能y?罪2倍?π??π?在区间的简图是()?,π3??2?yy??31?1??2?1o?6a.十、3o2?1?6?xb.yy61o?62?31?3x??1?2o?x开始?1d.c.4.知道吗?一这是一个算术序列,A10?10、前10项和S10?70,那么它的容忍度是D?()a.? K1秒?0没有23B?13c.13d.235.如果执行右面的程序框图,那么输出的s?()a.2450b.2500c.2550d.2652一k≤50?是s?s?2k输出s结束k?k?16.已知的抛物线Y2?2px(P?0)的焦点是1(X12(X2,3(x3)和2x2?X1?X3,有()个fp1吗?fp2?fp3b.fp1?fp2d.fp2222?fp32.c.2fp2?fp1?fp3?Fp31(a?B)27。

知道x吗?0,y?如果0,x,a,B和y 是等差序列,x,C,D和y是等比序列,那么cd最小值是()a.0b.1c.2d.48.众所周知,几何图形的三个视图如下所示。

根据图中标注的尺寸(单位:cm),该几何体的体积为()2040003cm380003cmb.3a.c、 2000cmd。

4000厘米9。

如果3320正面图20侧视图101020俯视图cos2?2,则cos??sin?的值为()??π?2?sin4??721x2a.?b.? 12c.12d.曲线y?Ea.在点(4,e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()b.4e2292e2c.2e2.d.E211.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数555B级环的数量为78910,频率为6442丙的成绩环数78910频数466465S1、S2和S3分别代表运动员a、B和C的测试结果的标准偏差,则有()a.s3?s1?s2b.s2?s1?s3c.s1?s2?s3d.s2?s3?s112.金字塔和三角金字塔可以拼接成一个三棱柱体。

新高考数学第一次模拟试卷及答案

新高考数学第一次模拟试卷及答案

新高考数学第一次模拟试卷及答案一、选择题1.设1i2i 1iz -=++,则||z =A .0B .12C .1 D2.已知在ABC 中,::3:2:4sinA sinB sinC =,那么cosC 的值为( ) A .14-B .14C .23-D .233.若43i z =+,则zz=( )A .1B .1-C .4355i + D .4355i - 4.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表:参照附表,得到的正确结论是( )A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”5.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A .12B .512C .14D .166.当1a >时, 在同一坐标系中,函数x y a -=与log a y x =-的图像是( )A .B .C .D .7.在如图的平面图形中,已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A .15-B .9-C .6-D .08.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图,则该几何体的体积为A .72B .64C .48D .329.已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .13-B .13C .-3D .310.在△ABC 中,AB=2,AC=3,1AB BC ⋅=则BC=______ A 3B 7C 2D 2311.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A .对立事件 B .互斥但不对立事件 C .不可能事件D .以上都不对12.在[0,2]π内,不等式3sin 2x <-的解集是( ) A .(0)π,B .4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C .45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13.设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和,且141,7a a ==,则5______S =14.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,4c =,42a A =,且C 为锐角,则ABC ∆面积的最大值为________.15.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________. 16.已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点,圆心在x 轴上,则C 的方程为__________. 17.计算:1726cos()sin 43ππ-+=_____. 18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若21n n S a =+,则6S =_____________. 19.若45100a b ==,则122()a b+=_____________. 20.如图,已知P 是半径为2,圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点,2A B B C =,则PC PA ⋅的最小值为_______.三、解答题21.已知函数2()(1)1xxf x a ax-=+>+.(1)证明:函数()f x在(1,)-+∞上为增函数;(2)用反证法证明:()0f x=没有负数根.22.已知数列{}n a与{}n b满足:*1232()n na a a ab n N++++=∈,且{}na为正项等比数列,12a=,324b b=+.(1)求数列{}n a与{}n b的通项公式;(2)若数列{}n c满足*2211()log lognn nc n Na a+=∈,nT为数列{}n c的前n项和,证明:1nT<.23.已知2256x≤且21log2x≥,求函数22()log log22x xf x=⋅的最大值和最小值.24.如图,已知四棱锥P ABCD-的底面为等腰梯形,//AB CD,AC BD⊥,垂足为H,PH是四棱锥的高.(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若AB6=,APB ADB∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD-的体积.25.如图,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,//EF AB,90BAF∠=︒,2AD=,1AB AF==,点P在线段DF上.(1)求证:AF⊥平面ABCD;(2)若二面角D AP C--的余弦值为63,求PF的长度.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数z ,然后求解复数的模. 详解:()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=,则1z =,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.2.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ,不妨设3,2,4a k b k c k ===,,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ,选A.3.D解析:D 【解析】 【详解】由题意可得 :5z ==,且:43z i =-,据此有:4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.4.A解析:A【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>,而()26.6350.010P K ≥=,故由独立性检验的意义可知选A5.B解析:B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ,即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况, 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512故选B.6.D解析:D 【解析】 【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性,判断出正确选项. 【详解】由于1a >,所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数,且过()0,1;log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数,且过()1,0,故只有D 选项符合. 故选:D. 【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断,考查函数图像的识别,属于基础题.7.C解析:C 【解析】分析:连结MN ,结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解:如图所示,连结MN ,由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点, 则()33BC MN ON OM ==-, 由题意可知:2211OM ==,12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-,结合数量积的运算法则可得:()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.8.B解析:B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形,高为5的正四棱柱,挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱锥,利用体积公式,即可求解。

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3 ( Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程; ( Ⅱ ) 过点 M ( 0 ,
2
两点 ,
试问:在坐标平面上是否存在一个定点
T ?若存在 ,
求出点 T 的坐标;若不存在 ,
T,
使得无论 l 如何转动 ,
请说明理由.
1 3
)
的动直线
l 交椭圆
C 于 A 、B
以 A B 为直径的圆恒过定点
4
四.选考题
1.《几何证明选讲》

A. ( 1,1) B . ( 1, ) C . ( , 1) D . R
11.执行右面的程序框图 ,
如果输出的是 a 341,
那么判断框(

A . k 4? C. k 6?
B. k 5? D. k 7?
n C.π
2
12.(理)给出定义:若函数 f ( x) 在 D 上可导 ,
即 f (x) 存在 ,
5. 设 f(x)= 1
,
1+x2 |x|>1
1 则 f(f(2))=
(
1 )A . 2
B

4 13
C.-
9 5
25 D . 41
6. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》 规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100m(l 不含 80)之间 ,

于酒后驾车 ,
处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证 ,
等于
(
A→C=
r b
,
r 3r )A. a + 4 b
→ BD
=3D→C
,
3r 1r
B . 4 a+4b
1r 1r
1r
C.4 a + 4 b D . 4 a +
c- a),
3r 4b
10.函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( 1) 2 , 对任意 x R, f ' ( x) 2 , 则 f (x) 2x 4 的解集为(
D. f ( x) xe x
第Ⅱ卷 ( 非选择题 共 90 分 )
二、填空题: 13.在 △ ABC 中,
A,
BC 3 ,
AB 6 ,
则C

3
14.若 a,b, c 是直角三角形 ABC 的三边的长( c 为斜边) ,
圆 C : x2 y2 4 被直线 l : ax by c 0 所截弦
长为
2
15.(理)若 x,
y 满足约束条件
x+ y≥ 1, x- y≥- 1, 2x- y≤ 2,
目标函数 z= ax+ 2y 仅在点 (1,0)处取得最小值 ,
则 a 的取值
范围是

yx
(文) 已知不等式组 y x ,
表示的平面区域的面积为
4,
点 P( x, y) 在所给平面区域内 ,

xa
z 2x y 的最大值为
16. 已知函数 f ( x)
求曲线 C1 上的点到直线 l 距离的最小值.
再向左
5
其中正确命题的序号是
Hale Waihona Puke (把所有满足要求的命题序号都填上) .
三.解答题:本大题共 6 小题 ,
共 74 分.解答应写出文字说明 ,
证明过程或演算步骤.
17. ( 本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) 2sin x cos x sin( 2x ) . 2
( I)若 x R ,
求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; ( II )设 x [ 0, ] , 3
又知 P1, P2 为方程 25x 2 -15x+a=0 的
两根 , 且 P2 P3 .
( Ⅰ) 求 P1, P2, P3 的值 ; (Ⅱ)记 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和
,
求 的分布列及数学期望.
19. 已知等差数列 { a n} 的公差不为零 ,
且 a3 5 ,
a1, a2 , a5 成等比数列.
如图 ,
已知点 C 在圆 O直径 BE的延长线上 , CA 切圆
O于 A点, 于 D点,
DC 是∠ ACB的平分线并交 AE于点 F、交 AB 则∠ ADF为多少度?
3.《不等式选讲》 已知函数 f (x) log 2 (| x 1 | | x 2 | m).(I )
求函数 f (x) 的定义域; ( II )若关于 x 的不等式 f ( x) 1 的解集是 R ,
f 1 g (1), f / 1 g / (1).
( Ⅰ ) 求函数 f x ,
g x 的解析式; ( Ⅱ ) 求 F x f (x) g ( x) 的极小值;
21. 已知直线 l : y x 1 ,
圆O
:
2
x
2
y
3
, 直线 l 被圆截得的弦长与椭圆
2
x2 C : a2
y2 b2
1(a b
0) 的
短轴长相等 , 椭圆的离心率 e
28800 人 ,
如图 1 是对这 28800 人酒后驾车血
液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布
直方图 ,
则属于醉酒驾车的人数约为(

A .2160
B. 2880
C . 4320
D. 8640
1
7.—个空间几何体的三视图如图所示 , A. 48
B. 32 8 17 C. 48 8 17
D. 80
A .第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D .第四象限
3. 现有四个函数① y x sin x ② y x cos x ③ y x | cos x | ④ y x 2 x 的部分图象如下 ,
乱,
则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是(

y
y
y
y
但顺序被打
O
x
O
x
O
x
O
x
A.①④②③
B . ①④③②
并处 200 元以上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在
80mg/100ml (含 80)以上时 ,
属醉酒驾车 ,
处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证
,
并处 500 元以上 2000 元以下罚款.
据《法制晚报》报道 ,
2013 年 8 月 15 日至 8
月 28 日 ,
全国查处酒后驾车和醉酒驾车共
高考模拟题
一、选择题:本大题共 12 小题 , 要求的.
第Ⅰ卷 ( 选择题 共 60 分 )
每小题 5 分 ,
共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目
1.(理)已知全集 M { x y 2x} ,集合 N = { x | y = lg(2 x- x2 )} ,则 M I N = ( )
C. ④①②③
D . ③④②①
4.(理)已知 cos(
) sin
6
4 3,
5
则 sin(
7 ) 的值是
6
()
A.
23
5
B. 2 3 5
4
C.
5
(文)若 cos(
1
)
,
3
π α∈[ -2,
0],
2 A.- 4
2 B. 4 C .- 2 2 D . 2 2
D. 4 5
则 tanα= ( )
|x- 1|- 2 |x|≤ 1
且导函数 f (x) 在
D 上也可导 ,
则称 f ( x) 在 D 上存在二阶导函数 ,
记 f (x) f x ,
若 f ( x) 0 在 D 上恒成立 ,
则称 f ( x) 在 D 上为凸函数.以下四个函数在
0, 上 2
不是凸函数的 ( )A . f ( x) sin x cos x B. f ( x) ln x 2x C. f ( x) x3 2 x 1
则该几何体的表面积为(

8 . 已知函数 f ( x) 在 x R 上恒有 f ( x) f (x) ,
若对于 x 0 ,
都有 f ( x 2) f (x) ,
且当
x [0,2) 时 ,
f ( x) log 2 ( x 1) ,
则 f ( 2012) f (2013) 的值为(
)A. 2
B. 1
C.1
求 m 的取值范围.
当 m 5时,
2.《坐标系与参数方程》
已知曲线 C 的极坐标方程为
4 cos ,
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程 ,
平移 1 个单位 ,
得到曲线曲线 C1 ,
x 直线 l 的参数方程是:
y
2
5
t
2
2
5
t
2
(t为参数).
直线 l 的普通方程;(Ⅱ)将曲线 C 横坐标缩短为原来的 1 , 2
A . (0, 2)
B. ( 2, )
C. [ 0, )
D . ( ,0) (2, )
(文)已知集合 A { x x 1}, B {0,1,2,4} ,
则 (CR A) I B (
)
A . {0,1}
B. {0}
C. {2, 4} D .
2. 在复平面内 ,
复数 z 1 i 3 , 1i
则复数 z 对应的点位于 ( )
ex , x ≥ 0
,
2x, x 0
则关于 x 的方程 f f x k 0 给出下列四个命题:
①存在实数 k , ②存在实数 k , ③存在实数 k , ④存在实数 k ,
使得方程恰有 使得方程恰有 使得方程恰有 使得方程恰有
1 个实根; 2 个不相等的实根; 3 个不相等的实根; 4 个不相等的实根.
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