2019-2020学年安徽省名校高一下学期期末联考数学试题(解析版)

2019-2020学年安徽省名校 高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（ ） A ．三棱柱 B ．四棱锥C ．四棱柱D ．五棱台【答案】A【解析】判断各选项中几何体的顶点个数后可得结论． 【详解】三棱柱有6顶点，四棱锥有5个顶点，四棱柱有8个顶点，五棱台有10个顶点． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间几何体的顶点个数，掌握基本几何体的结构是解题关键，属于基础题．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b =，c =4A π=，则a =（ ）A ．5BC ．29D 【答案】B【解析】利用余弦定理求得a 的值. 【详解】由余弦定理得a ===故选：B 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.3．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的表面积为（ ）A ．90+B ．90+C ．90+D ．90+【答案】A【解析】利用正棱台的侧面是等腰梯形，根据已知条件计算斜高，然后根据梯形的面积公式计算侧面积，进而求得表面积． 【详解】由题意可得，上底面的面积为9，下底面的面积为81，236333-= 所以该正四棱台的表面积为()39339814907232+⨯++⨯=+.故选：A 【点睛】本题主要考查了正棱台的表面积，关键在于利用正棱台侧面是等腰梯形，根据已知条件，利用等腰梯形的性质计算斜高，属于基础题．4．若0a b c ++=，且a b c <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22ab b c < B ． a b ac <C ．ac bc <D ． a b bc <【答案】C【解析】根据0a b c ++=，且a b c <<，得到0a <，0c >，然后利用不等式的基本性质判断. 【详解】因为0a b c ++=，且a b c <<， 所以0a <，0c >． 因为b c <，0a <， 所以ab ac >， 所以B 不成立； 因为a b <，0c >，所以ac bc <一定成立，故C 正确； 当0b =时，A 、D 不成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4A π=，3B π=，3a =则ABC 的面积为（ ）A．B．9-CD．9【答案】C【解析】由正弦定理求得b ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，然后可由三角形面积公式得面积． 【详解】由正弦定理得sin sin a bA B=，sin 3sin sin4a Bb A ππ===()1sin sin sin()sin cos cos sin 222C A B A B A B A B π=-+=+=+=+=⎡⎤⎣⎦，∴11sin 22ABC S ab C ==⨯=△ 故选：C ． 【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理，两角和的正弦公式、诱导公式，考查学生的运算求解能力．6．在数列{}n a 中，113a =，111n na a +=-，则28a =（ ）A ．-2B ．1C ．13D ．32【答案】C【解析】根据113a =，111n n a a +=-，进行递推，得到数列的周期性求解.【详解】因为113a =，111n n a a +=-，所以22a =-，332a =，4113a a ==， 所以数列{}n a 是周期为3的周期数列， 所以28113a a ==．故选：C 【点睛】本题主要考查数列的周期性的应用，属于基础题.7．已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A ．若m α⊥，n β⊥，//αβ．则//m n B ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ C ．若l αβ=，m βγ=，n γα=，//l γ，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 【答案】D【解析】举出反例可判断D 选项. 【详解】若m α⊥，n β⊥，//αβ．则//m n ，正确； 若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ，正确； 若l αβ=，m βγ=，n γα=，//l γ，则//m n ，正确；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误． 故选:D. 【点睛】本题考查了直线与平面位置关系的判断，属于基础题. 8．已知0a >，0b >，且2a b +=，则22a b+的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．2【答案】A【解析】由题意可得2211+2+a b a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，将2a b +=代入，利用基本不等式求出最值即可． 【详解】 由题意可得()221111+2+2a ba b a b a b a b b a⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为2a b ba+≥（当且仅当1a b ==时，等号成立），所以224a b+≥． 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查学生计算能力，属于基础题．9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为正方形，24BC AB ==，AB BC ⊥，D 为11C B 的中点，则异面直线11A C 与AD 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．1010C ．3010D 25【答案】C【解析】过点D 作11//DF AC 交11A B 于点F ，连接1,AF AD ，得到ADF ∠为异面直线11A C 与AD 所成的角，在ADF ∆中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，过点D 作11//DF AC 交11A B 于点F ，连接1,AF A D ， 则ADF ∠为异面直线11A C 与AD 所成的角， 由题意，在直角11A B D ∆中，可得2212222A D =+=在直角1AA D ∆中，可得()22221142226AD AA A D =+=+=在直角1B DF ∆中，可得22125DF =+=， 在直角1AA F ∆中，可得224117AF +=所以22230cos 2102265AD DF AF ADF AD DF +-∠===⋅⨯⨯. 故选：C.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.10．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足29n S n n =-+，给出以下四个结论：①数列{}n a 是递减数列； ②n S 的最大值是814； ③-371是数列{}n a 中的项； ④数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． 其中结论正确的个数是（ ） A ．l B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先求出{}n a 的通项，结合等差数列的定义可判断①③④的正误，利用二次函数的性质可判断②的正误，从而可得正确的选项. 【详解】因为29n S n n =-+，所以()12102n n n a S S n n -=-=-+≥，当1n =时，18a =，故210n a n =-+，所以120n n a a +-=-<，则数列{}n a 是递减数列，故①正确；因为22981924n S n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，且n *∈N ， 所以()451812044n max S S S ===-+=，故②错误； 设210371k a k =-+=-，解得*190.5k =∉N ，故③错误；由29n S n n =-+，得9nS n n=-+， 111n n S S n n --=--，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故④正确．【点睛】本题考查等差数列的判断、等差数列前n的最值，一般地，前n项和n S和通项n a之间的关系是11,1,2nn na naS S n-=⎧=⎨-≥⎩，而等差数列的判断需依据定义，本题属于基础题. 11．已知正方形ABCD的边长是4，将ABC沿对角线AC折到AB C'的位置，连接B D'.在翻折过程中，下列结论错误的是（）A．AB'⊥平面B CD'恒成立B．三棱锥B ACD'-的外接球的表面积始终是32πC．当二面角B AC D'--为2π时，4B D'=D．三棱锥B ACD'-体积的最大值是1623【答案】A【解析】根据立体几何的知识逐个分析即可.【详解】如图，对于A选项，若AB'⊥平面B CD'恒成立，则AB CD'⊥恒成立，显然在折叠过程中不满足恒成立，故A选项不正确；对于B选项，有正方形的性质知，三棱锥B ACD'-外接球的球心始终为AC中点O，半径为1222AC=，故外接球的表面积始终是32π，故B选项正确；对于C选项，当二面角B AC D'--为2π时，即2B ODπ'∠=，又因为22OB OD'==4B D'=，故C选项正确；对于D选项，在翻折过程中，三棱锥B ACD'-的底面始终是ACD△，故当二面角B AC D'--为2π时，三棱锥B ACD'-的体积最大值，为1144323V =⨯⨯⨯⨯=，故D 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，考查空间想象能力，是中档题.12．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若()cos 1cos a B b A =+，现有下列五个结论：①sin sin3C B =；②64B ππ<<；③32c a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；④tantan 12AB π-=；⑤若1b =，则(1a c +∈++.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②③⑤ B ．①②④C ．①②③④D ．①③④⑤【答案】B【解析】采用排除法，根据正弦定理可知2A B =，由内角和为π以及锐角三角形可知①②正误，利用倍角公式以及三角恒等变形可知③错误，则可得结果. 【详解】由题可知：()cos 1cos a B b A =+，所以()sin cos sin 1cos =+A B B A 则()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ， 则B A B =-或π+-=B A B （舍），所以2A B =()sin sin sin3=+=C A B B ，故①正确又ABC 为锐角三角形，可知2A B π+>且02A π<<， 所以64B ππ<<，故②正确sin sin 3sin cos 2cos sin 2sin sin 2sin 2+===c C B B B B Ba A B B则()2sin 2cos 1cos sin 212cos sin 22cos -+==-B B B B c B a B B令2cos =t B ，由64B ππ<<，所以t ∈则1==-c y t a t，t ∈，又函数1y t t=-在递增<<c a 利用排除法，可知选B故选：B 【点睛】本题考查正弦定理解三角形以及三角恒等变形，对选填可以采用排除法、特殊值法，快速得到结果，化繁为简，属中档题.二、填空题13．在等比数列{}n a 中，33a =，1112a =，则7a =________． 【答案】6【解析】根据{}n a 是等比数列，且33a =，1112a =，利用等比中项求解. 【详解】因为在等比数列{}n a 中，33a =，1112a =， 所以2731136a a a ==， 所以76a =±． 因为4730a a q =>， 所以76a =． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查等差中项的应用，属于基础题.14．已知某圆锥的高为4，体积为12π，则其侧面积为________． 【答案】15π【解析】设该圆锥的底面半径为r ，由圆锥的体积V ＝13πr 2h ，可解得r 的值，再由勾股定理求得圆锥的母线长l ，而侧面积S ＝πrl ，代入数据即可得解． 【详解】设该圆锥的底面半径为r ，圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 2×4＝12π，解得r ＝3．∴圆锥的母线长l 5，∴侧面积S ＝πrl ＝15π． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积和体积的计算，理解圆锥的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．15．有A ，B ，C 三座城市，其中A 在B 的正东方向，且与B 相距100km ，C 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距300km ．一架飞机从A 城市出发，以400km/h 的速度向C 城市飞行，飞行30min 后，接到命令改变航向，飞往B 城市，此时飞机距离B 城市__________km ． 【答案】1007【解析】根据题意，画出三角形，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图，由题意可知100km,300km,200km,120AB AC AD BAD ===∠=︒，则22212cos 10000400002100200700002BD AB AD AB AD BAD ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故1007km BD =． 故答案为：1007. 【点睛】本题考查利用余弦定理解决实际问题，属于基础题.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是_______．【答案】323【解析】设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，从而表示出DMN 的面积，再根据点P 是11A C 上的任意一点，则点P 到平面DMN 的距离是4，然后利用三棱锥的体积公式建立模型，利用二次函数的性质求解. 【详解】设AM BN x ==，则4BM CN x ==-， 故DMN 的面积()()21111444444282222S x x x x x x =⨯-⨯---⨯-=-+． 因为点P 是11A C 上的任意一点， 所以点P 到平面DMN 的距离是4，所以三棱锥P DMN -的体积()221112284283323V Sh x x x ⎛⎫==⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭． 因为04x ≤≤， 所以832833V ≤+=． 故答案为：323【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，几何体体积的求法以及二次函数的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AD ，1AB 的中点．证明：（1）//MN 平面11BDD B ； （2）1A C ⊥平面11AB D ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据M ，N 分别是1AD ，1AB 的中点，得到11//MN B D ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）连接11A C ，11A D ，由正方体的性质易得1111AC B D ⊥，111CC B D ⊥，利用线面垂直的判定定理得到11B D ⊥平面11AC C ，从而得到111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，然后由线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证明：因为M ，N 分别是1AD ，1AB 的中点， 所以11//MN B D ．因为11B D ⊂平面11BDD B ，MN ⊄平面11BDD B ， 所以//MN 平面11BDD B ； （2）连接11A C ，11A D ．由正方体的性质可知1111D C B A 是正方形，则1111AC B D ⊥． 由正方体的性质可知1CC ⊥平面1111D C B A ，则111CC B D ⊥． 因为1111CC AC C ⋂=，所以11B D ⊥平面11ACC ， 因为1AC ⊂平面11AC C ，所以111B D AC ⊥． 同理可证11AD AC ⊥．因为1111B D AD D ⋂=， 所以1A C ⊥平面11AB D ． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，还考查空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知cos (2)cos a C b c A =-． （1）求A ；（2）若25,22a b ==，求ABC 的面积． 【答案】（1）4A π=；（2）6.【解析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角函数的恒等变换求得角A 的值； （2）根据题意，利用余弦定理和三角形面积公式求得结果． 【详解】解：（1）因为cos (2)cos a C b c A =-，所以sin cos (2sin sin )cos A C B C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，所以sin()2sin cos A C B A +=．因为A B C π++=，所以sin()sin A C B +=，所以sin 2sin cos B B A =．因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以2cos 1A =， 所以2cos A =，则4A π=． （2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 因为225,22,cos 2a b A ===，所以22084c c =+-， 即24120c c --=，解得6c =或2c =-（舍去）． 故ABC 的面积为112sin 2266222bc A =⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与面积公式的应用问题，属于中档题．19．如图，在四面体ABCD 中，5AB BC AD ===，6BD =，42AC =，且BD AC ⊥．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）求点D 到平面ABC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（21234【解析】（1）取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，易知AE ⊥BD ，而BD ⊥AC ，由线面垂直的判定定理与性质定理可分别得到BD ⊥平面ACE ，BD ⊥CE ；再在△ABD 和△BCD 中，通过勾股定理可求得AE ＝CE ＝4，从而推出AE ⊥CE ；最后由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证．（2）由（1）知，AE ⊥平面BCD ，且AE ＝4，根据V A ﹣BCD ＝13•S △BCD •AE 可求得四面体ABCD 的体积，再结合勾股定理和三角形的面积公式可求得S △ABC ，设点D 到平面ABC 的距离为h ，由等体积法V D ﹣ABC ＝V A ﹣BCD ，求出h 的值即可得解． 【详解】（1）证明：取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，∵AB ＝AD ，∴AE ⊥BD ，又∵BD ⊥AC ，AE ∩AC ＝A ，AE 、AC ⊂平面ACE ，∴BD ⊥平面ACE ，∵CE ⊂平面ACE ，∴BD ⊥CE ．∵AB ＝BC ＝5，BE ＝12BD ＝3， ∴AE ＝22AB BE -＝4，CE ＝22BC BE -＝4，∵AC ＝42，∴AC 2＝AE 2+CE 2，即AE ⊥CE ，∵AE ⊥BD ，CE ∩BD ＝E ，CE 、BD ⊂平面BCD ，∴AE ⊥平面BCD ，∵AE ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD ．（2）在△BCD 中，BD ＝6，CE ＝4，且CE ⊥BD ，∴S △BCD ＝12×BD ×CE ＝12． 由（1）知，AE ⊥平面BCD ，且AE ＝4，∴三棱锥A ﹣BCD 的体积V A ﹣BCD ＝13•S △BCD •AE ＝13×12×4＝16， 在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC ＝2，∴S △ABC ＝12×AC 2212AB AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1422582342⨯-=设点D 到平面ABC 的距离为h ，∵V D ﹣ABC ＝V A ﹣BCD ，∴13×h ×S △ABC ＝V A ﹣BCD ， 即13×h ×234＝16，解得h ＝123417．故点D 到平面ABC 的距离为123417．【点睛】本题考查空间中线与面的垂直关系、点到平面的距离，熟练掌握空间中线面垂直的判定定理与性质定理，以及运用等体积法解决点到面的距离问题是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．在等比数列{}n a 中，11a =，且32a ，5a ，43a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若0n a >，记21log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；12n na ；（2）()121nn T n =-⋅+.【解析】（1）根据32a ，5a ，43a 成等差数列，利用等差中项得到534223a a a =+，进而求得公比，再写出通项公式即可.（2）根据0n a >，由（1）得到121log 2n n n n b a a n -+==⋅，然后利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为32a ，5a ，43a 成等差数列， 所以534223a a a =+， 所以423111223a q a q a q =+， 所以2223q q =+， 即22320q q --=， 即()()2120q q +-=， 解得12q =-或2q ．当12q =-时，11112n n n a a q --⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当2q时，1112n n n a a q --==；（2）因为0n a >，所以12n n a ，所以12n n a +=，则121log 2n n n n b a a n -+==⋅．故21123122322n n n T b b b b n -=++++=+⨯+⨯++⋅，①2321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，②①-②得231122222n n n T n --=+++++-⋅()12212112-=-⋅=-⋅--n n n n n ， 故()121nn T n =-⋅+．【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，等差中项以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，2PA AB ==，4=AD ，E 是PB 的中点，AF PC ⊥，垂足为F .（1）证明：//PD 平面ACE . （2）求三棱锥A CEF -的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）109. 【解析】（1）连接BD 交AC 于点H ，连接EH ，可证出//EH PD ，进而得出//PD 平面ACE 即可；（2）先证AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以可证PC ⊥平面AEF ，所以CF 就是三棱锥A CEF -的高，分别求得线段AE ，EF ，CF 的长度，最后根据棱锥体积公式计算即可得解. 【详解】（1）如下图，连接BD 交AC 于点H ，连接EH ，因为点E 是PB 的中点，点H 是BD 的中点，所以//EH PD ， 又EH ⊂平面ACE ，所以//PD 平面ACE ；（2）因为PAAB A =，所以BC ⊥平面P AB ， 又AE ⊂平面P AB ，所以BC AE ⊥，因为2PA AB ==，且E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥，且2AE =因为PB BC B ⋂=，所以AE ⊥平面PBC ，又PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥， 因为AF PC ⊥，且AE AF A ⋂=，所以PC ⊥平面AEF ， 在Rt PAC △中，2PA =，41625AC =+=42026PC =+=因为AF PC ⊥，所以453026PA AC AF PC ⋅===则103233EF =-=，10562033CF =-=， 故三棱锥A CEF -的体积为111123561023232339AE EF CF ⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查空间想象能力，属于常考题.22．在数列{}n a 中，11a =，()2222*112n n n n a a a a n ++-=∈N ．（1）证明：数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）设2221221n n n n b a a a +++=+++，是否存在最小正整数k ，使对任意*n ∈N ，12nb k <恒成立?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，2k =. 【解析】（1）根据2222112nn n n a a a a++-=，转化为()*221112n nn a a +-=∈N ，由等差数列的定义证明；（2）若存在最小正整数k ，使对任意*n ∈N ，12n b k <恒成立，则()max 12n b k <成立，由（1）得()2112121n n n a =+-=-，则2121n a n =-，从而得到n b ，然后由1n n b b +-判断数列{}n b 的单调性即可． 【详解】（1）因为2222112n n n n a a a a ++-=，所以()*221112n nn a a +-=∈N ． 因为11a =，所以2111a =， 故数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）可得()2112121n n n a =+-=-，则2121n a n =-．因为2221221n n n n b a a a +++=+++，所以22222123212223n n n n n n b a a a a a ++++++=+++++，所以222122231n n n n n b b a a a ++++-=+-111434521n n n =+-+++ ()()()870434521n n n n +=-<+++，则1n n b b +<，即数列{}n b 是递减数列． 故要使12n b k <恒成立，只需112b k <， 因为221231183515b a a =+=+=， 所以81152k <，解得1615k >． 故存在最小正整数2k =，使对任意*n ∈N ，12n b k <恒成立．【点睛】本题主要考查等差数列的定义，数列不等式恒成立以及数列的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。