2018年高考真题——文科数学(全国卷Ⅲ)Word版含解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 III 卷）文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，1．答案：C解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C.2．()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +2．答案：D解答：2(1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D.3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）3．答案：A解答：根据题意，A 选项符号题意； 4．若1sin 3α=，则cos 2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-4．答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B. 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.75．答案：B解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B. 6．函数 ()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π6．答案：C 解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C. 7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+7．答案：B解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B.8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣8．答案：A 解答：由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB ==22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++==∴点P到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤d ≤≤∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈. 9．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）9．答案：D 解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；又因为3424()(22y x x x x x '=-+=-+-，则()0f x '>的解集为(,(0,22-∞-U ，()f x 单调递增区间为(,2-∞-，(0,2；()0f x '<的解集为(()22-+∞U ，()f x 单调递减区间为(2-，()2+∞.结合图象，可知D 选项正确.10．已知双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，()40，到C 的渐近线的距离为（ ）AB ．2CD ．10．答案：D 解答：由题意c e a ==则1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==故选D. 11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π11．答案：C 解答：2222cos 1cos 442ABCa b c ab C S ab C ∆+-===，又1sin 2ABC S ab C ∆=，故t a n 1C =，∴4C π=.故选C.12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．答案：B 解答：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的重心，由ABC S ∆=6AB =，取BC 的中点H ，∴sin60AH AB =⋅︒=23AG AH ==O 到面ABC的距离为2d ==，∴三棱锥D ABC -体积最大值1(24)3D ABC V -=⨯+=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．13．答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=. 14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法. 15．若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．15．答案：3 解答：由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故12333z =+⨯=.16．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．16．答案：2-解答：())ln1()f x x x R -=+∈，()())1)1f x f x x x +-=+++22ln(1)22x x =+-+=，∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 17．答案：（1）12n n a -=或1(2)n n a -=-；（2）6. 解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2534a q a ==，∴2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112n nn S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163m m S =-=或1[1(2)]633mm S =--=（舍）， ∴6m =. 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．18．答案：见解析 解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =，∴12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为（3）222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（12分）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．19．答案：见解答解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ， ∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD .∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，∴//MC 平面PDB .20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．⑴证明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明:2FP FA FB =+ ． 20．答案：见解答： 解答：（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>， 得2243k t +>…①，且1228234kt x x k -+==+，121226()2234ty y k x x t m k+=++==+， ∵0m >，∴0t >且0k <.且2344k t k+=-…②.由①②得2222(34)4316k k k ++>，∴12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r ,∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.由于P 在椭圆上，∴214143m +=，∴34m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得1212121234y y x xx x y y -+=-⋅-+，又122x x +=，1232y y +=，∴1k =-， 直线l 方程为3(1)4y x -=--， 即74y x =-+， ∴2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 得2285610x x -+=，1,2x =||||3FA FB +==uu r uu r，3||2FP ==uu r ,∴||||2||FA FB FP +=. 21．（12分）已知函数()21xax x f x e +-=．⑴求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程； ⑵证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．21．答案：详见解析解答：（1）由题意：()21xax x f x e +-=得222(21)(1)22()()x x x x ax e ax x e ax ax x f x e e+-+--+-+'==， ∴2(0)21f '==，即曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为2，∴(1)2(0)y x --=-，即210x y --=；（2）证明：由题意：原不等式等价于：1210x e ax x +++-≥恒成立；令12()1x g x e ax x +=++-，∴1()21x g x e ax +'=++，1()2x g x e a +''=+，∵1a ≥，∴()0g x ''>恒成立，∴()g x '在(,)-∞+∞上单调递增，∴()g x '在(,)-∞+∞上存在唯一0x 使0()0g x '=，∴010210x e ax +++=，即01021x e ax +=--，且()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴0()()g x g x ≥.又01220000000()1(12)2(1)(2)x g x e ax x ax a x ax x +=++-=+--=+-，111()1a g e a-'-=-，∵1a ≥，∴11011a e e -≤-<-，∴01x a ≤-，∴0()0g x ≥，得证. 综上所述：当1a ≥时，()0f x e +≥.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。