九年级数学下册教学教案第一章 直角三角形的边角关系章末复习与提升
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版) 教案
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第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
（一）教学核心
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
（二）课时安排
1课时
（三）教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。
以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。
使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。
（四）教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。
2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。
3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
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九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系本章小结与复习教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。
二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
九年级下册第一章直角三角形的边角关系教案
1.1.1锐角三角函数一、教材依据本节为九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时。
直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。
通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。
也将为学生学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定了基础。
二、设计思路从新课标中让我们知道：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”基于课标，我运用导学稿，采用自主探究、合作交流等形式完成了本节课的教学。
三、教学准备（一）学生知识状况分析本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角三角形三边的关系来判断。
（二）教学任务分析教学目标知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。
理解正切的意义和与现实生活的联系。
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
过程与方法1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
情感态度与价值观1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案)锐角三角函数与解直角三角形(复习案)
2.教学难点
-函数互化过程中的计算：对于一些特殊角的锐角三角函数值，学生容易混淆，计算过程中需要注意细节，如特殊角的三角函数值记忆。
-解直角三角形的实际应用：将理论知识应用于实际问题，需要学生具备较强的抽象思维能力和实际问题转化能力。
2.加强学生对锐角三角函数概念的理解，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模核心素养。
3.通过对解直角三角形的方法探讨，培养学生几何直观和空间想象能力，提高数据分析和问题解决的核心素养。
4.激发学生探索数学问题的兴趣，培养合作交流、自主探究的学习习惯，提升数学思维品质和学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-解决问题的策略选择：在解决具体问题时，学生需要根据已知条件和求解目标，选择合适的锐角三角函数和解题方法。
举例解释：
-函数互化时，对于30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，学生需要熟练掌握，如sin30°=1/2，cos30°=√3/2等。
-在实际应用题中，如测量旗杆高度，学生需要将实际问题转化为解直角三角形问题，确定已知量和求解量，选择合适的三角函数进行计算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系（教案）锐角三角函数与解直角三角形（复习案）
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系回顾与思考教学设计
意图
这些题涉及到的知识点多，难度不是很大，大部分学生都做得比较快，正确率也高，能起到“抛砖引玉”的效果。
生对本章知识点有了全面、清晰的认识，为下一步在解决实际问题时，把实际问题转化为数学问题打下了基础。
分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。
通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“直角三角形的边角关系”的认识和理解，通过老师的小结以及框图概述，清晰展现各知识点之间的联系，
在布置了基础型练习题后，根据“不同学生有不同发展需要”的思想，设计了选作题，使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。
∴该船应在3.8小时内卸完货物。
活动目的：增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转为数学问题，并能针对性的利用三角函数来解决。其中渗透“数形结合”思想和方法。
第四环节:课堂小结
师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系。
活动目的：鼓励学生自己进行章节知识总结，加深印象，形成系统的知识体系。
第五环节布置作业
1、复习题A组6、9题
2、复习题B组1、6题3、选作题（附后）
选作题
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体需求如下：
【教案】第一章 直角三角形的边角关系 北师大版 九年级数学下册
错误!九年级数学下册·BS(这是边文，请据需要手工删加)知识的圣殿学生的盛宴(这是边文，请据需要手工删加)第一章直角三角形的边角关系课题：锐角三角函数(一)正切【学习目标】1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义．2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算．【学习重点】理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度以及坡度．【学习难点】在现实情境中理解正切的意义．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法提示：要求锐角A的正切值，应先根据已知条件求出∠A所在直角三角形中∠A的对边和邻边的值，再求出tan A的值．知识链接：当直角三角形一个锐角的大小确定时，其对边与邻边的比值也会随之确定，这一点可通过相似三角形证明．情景导入生成问题旧知回顾：1．如图，两个斜坡AB和EF，哪个更陡一些？你是如何判断的？解：EF更陡．∵BCAC＝12<FGEG＝1，∴EF更陡．(第1题图)(第2题图)2．如图，梯子AB沿墙OA下滑到CD处，OA＝OD＝4，OB＝OC＝3，梯子在AB或CD 处哪个更陡一些？如何用图上数据判定？解：AB更陡.OAOB＝43，OCOD＝34.∵OAOB>OCOD，∴AB更陡．自学互研生成能力知识模块一正切的定义阅读教材P2～P3，完成下面的内容：什么是锐角的正切？如何表示？答：在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比便随之确定．在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝∠A的对边∠A的邻边.范例1：(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A＝(D)A.35B.45C.34D.43(范例1题图)(仿例1题图)(仿例2题图)仿例1：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BC＝4，AC＝3，设∠BCD＝α，则tanα的值为(B)A.34 B.43 C.35 D.45学习笔记：给学生说明坡度⇔坡角正切值，使用中两者相同．求一个角的正切，必须在直角三角形中，若锐角所在的三角形不是直角三角形，应先通过作辅助线构造直角三角形．方法提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．仿例2：(烟台中考)如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB的中点，则tan∠BFE的值是(D)A.12B．2C.33D. 3仿例3：在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是(B)A.433B．4 3 C．8 D．2知识模块二坡度阅读教材P3～P4，完成下面的内容：什么是坡度？坡度与坡角的正切值有何关系？答：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度或坡比．很显然坡度即坡角的正切值．坡角的正切值越大，坡度越陡．范例2：如图为一水库大坝的横断面，坝高h＝6m，迎水坡AB＝10m，斜坡的坡度角为α，则迎水坡的坡度是34．(范例2题图)(仿例1题图)仿例1：如图，河堤横断面是梯形，上底为4m，堤高为6m，斜坡AD的坡比为1∶3，斜坡BC的坡角为45°，则河堤的横断面的面积为(A)A．96m2B．48m2C．192m2D．84m2仿例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为34．(仿例2题图)(仿例3题图)仿例3：如图，某人从山脚A走了300m的山路，爬到了120m高的小山顶B处，该山路的坡度为22121．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一正切的定义知识模块二坡度检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：正弦和余弦【学习目标】1．理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法．2．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．【学习重点】正确运用三角函数值表示直角三角形中两边之比．【学习难点】用函数观点理解正弦、余弦和正切．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．方法指导：正弦、正切、余弦的概念易混淆，需仔细区分，可以简记为：正切对比邻，正弦对比斜，余弦邻比斜．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么叫锐角A的正切？答：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝a b.2．什么是坡度？答：正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度．坡度即坡角正切值．自学互研生成能力知识模块一正弦和余弦的概念阅读教材P5～P6，完成下面的内容：什么是锐角A的正弦和余弦？如何表示？答：在Rt△ABC中，如果锐角A确定时，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定．(1)在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝∠A的对边斜边；(2)在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝∠A的邻边斜边；(3)锐角A的正弦、余弦和正切都叫做∠A的三角函数．范例1：(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(D)A.34 B.43 C.35 D.45仿例1：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，tan A＝512，那么sin B＝1213．仿例2：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6cm，sin A＝35，则菱形ABCD的面积是__60__cm2.(仿例2题图)(变例1题图)变例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝35，则tan B的值为2 3．学习笔记：由三角函数定义可知：正切、正弦、余弦的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，它只是一个数值而没有单位，其大小与角的大小有关，而与三角形的三条边长无关．行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．变例2：等腰三角形腰长为6cm，底边长为10cm，则底角的正切值为11 5．知识模块二锐角三角函数的应用阅读教材P5～P6，完成下面的内容：范例2：(乐山中考)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为(D)A.33 B.55 C.233 D.255,(范例2题图)),(仿例1题图))仿例1：如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是(D)A.13 B.617 C.55 D.1010仿例2：(常州中考)在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且过点P(1，1)，tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是(－2，0)或(4，0)．仿例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于4825．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正弦和余弦的概念 知识模块二 锐角三角函数的应用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：30°，45°，60°角的三角函数值【学习目标】1．能推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数．2．能熟练计算含有30°，45°，60°角的三角函数的运算式．【学习重点】熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并熟练进行计算．【学习难点】理解30°，45°，60°角的三角函数值推导过程，从而牢记三角函数值．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．方法指导：结合三角函数值随角的变化规律，记准特殊角的三角函数值．情景导入生成问题旧知回顾：1．锐角A的三角函数有哪几种？如何表示？答：将锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的三角函数．sin A＝∠A的对边斜边cos A＝∠A的邻边斜边tan A＝∠A的对边∠A的邻边2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，则sin A ＝55，cos A ＝255．自学互研 生成能力知识模块一 30°，45°，60°角的三角函数值 阅读教材P8～P9，完成下面的内容：1．如何得30°，45°，60°角的三角函数值？ 答：观察一副直角三角板，如图(1)，设BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，由此可得30°，60°角的三角函数值．如图(2)，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，由此可得45°角的三角函数值．角度三角函数 30°45°60°sin α 12 22 32 cos α 32 22 12 tan α3313锐角的正弦、正切值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小． 范例1：cos60°的相反数是( C )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 仿例1：在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则∠C 度数是( D ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°仿例2：若α为锐角，且3tan(90°－α)＝3，则α为( C ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°学习笔记：记准特殊角的三角函数值．锐角A正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小．另外，一个锐角的正弦等于它余角的余弦，互余两角正切值互为倒数可适当学习．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．仿例3：在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，1tan B＝33，cos A＝22，则△ABC三个角的大小关系是( D)A．∠C>∠A>∠B B．∠B>∠C>∠A C．∠A>∠B>∠C D．∠C>∠B>∠A仿例4：计算：(1)sin260°＋cos260°－tan45°；(2)cos230°·tan30°－tan45°·cos45°.解：(1)原式＝0；(2)原式＝3－22 4.知识模块二30°，45°，60°角的三角函数值的应用阅读教材P8～P9，完成下面的内容：范例2：(邵阳中考)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000m，则他实际上升了1000m.仿例1：身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放飞线长分别为30m，25m和20m，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，三人所放风筝(B) A．甲的最高B．乙的最高C．丙的最高D．丙的最低仿例2：如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于D，则∠BCD＝15°，根据此图计算tan15°＝2－3．仿例3：(龙东中考)△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为23＋5或23－5．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一30°，45°，60°角的三角函数值知识模块二30°，45°，60°角的三角函数值的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：三角函数的计算【学习目标】1．学习任意锐角三角函数值的求法，并能够结合实例进行相关计算．2．运用计算器求出任意锐角的三角函数值，并能用给定的三角函数值求出相应的度数．【学习重点】运用计算器求出任意锐角的三角函数值或由已知三角函数值求出相应的度数．【学习难点】领会锐角度数及其相应三角函数值大小变化规律．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题旧知回顾：角度三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα331 32．如图，BC＝3m，从B点望旗杆顶端A的视角为65°，怎样求旗杆AC的长呢？学习本节课，将帮助你解答这个问题．自学互研生成能力知识模块一用科学计算器求锐角三角函数值阅读教材P12～P13，完成下面的内容：锐角A为特殊角，可求得三角函数值．如果锐角不是特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？答：利用计算器可求一般角的三角函数值．范例1：用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的( A)A.sin24＝B.24sin＝C.2ndF sin24D.sin242ndF仿例1：sin65°，cos65°，tan65°的大小关系是( D)A．tan65°<cos65°<sin65°B．sin65°<cos65°<tan65°C．cos65°<tan65°<sin65°D．cos65°<sin65°<tan65°仿例2：下列四个计算结果中最大的是( D)A．sin48°＋cos48°B．sin48°＋tan48°C．cos48°＋tan48°D．tan48°＋1cos48°学习笔记：熟记用计算器计算三角函数的步骤，对结果精确程度要求准确．行为提示：在群学后期，教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示，有补充、有质疑、有评价穿插其中．仿例3：用计算器求锐角三角函数值(精确到0.001)：(1)tan55°≈1.428；(2)cos35°≈0.819．(3)sin50°26′18″≈0.771；(4)tan15°15′≈0.273．仿例4：如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3m，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC的长是11.2m.(精确到0.1m)知识模块二用科学计算器求锐角的度数阅读教材P13～P14，完成下面的内容：范例2：根据下列条件，求锐角度数． (1)若sin α＝0.6785，则∠α＝42°43′36″； (2)若cos α＝33，则∠α＝54°44′8″； (3)若tan α＝35.6，则∠α＝88°23′28″．仿例1：比较锐角α，β大小：已知sin α＝0.47，tan β＝52.3，则α__<__β. 仿例2：用“<”连接下列各题中的锐角α，β，γ.(1)若sin α＝0.123，sin β＝0.8456，sin γ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为α<γ<β； (2)若cos α＝0.0123，cos β＝0.3879，cos γ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为β<γ<α. 仿例3：已知tan α＝23，则锐角α的取值范围是( B )A ．0°<α<30°B ．30°<α<45°C ．45°<α<60°D ．60°<α<90°交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 用科学计算器求锐角三角函数值知识模块二 用科学计算器求锐角的度数检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：解直角三角形【学习目标】1．理解解直角三角形的定义，能通过已知条件正确选用关系式解直角三角形．2．熟练应用勾股定理，直角三角形两锐角关系，边角关系解直角三角形，培养分析能力和计算能力．【学习重点】学会运用已知条件解直角三角形．【学习难点】根据条件选择适当的方法解直角三角形．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：解直角三角形，就是已知直角三角形除直角五个元素中的两个元素(其中必须有一个是边)，求出另三个元素的过程．情景导入生成问题旧知回顾：1．直角三角形三边之间有什么关系？答：勾股定理：a2＋b2＝c2.2．直角三角形两锐角之间有何关系？答：互余：∠A＋∠B＝90°.3．直角三角形边与角之间有何关系？答：锐角三角函数sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab.自学互研生成能力知识模块一已知两边解直角三角形阅读教材P16～P17，完成下面的内容：1．什么叫解直角三角形？答：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形一般有哪些类型？答：①已知两边解直角三角形；②已知一边和一锐角解直角三角形．范例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若c＝62，a＝6，则b＝6，∠B＝45°，∠A＝45°；(2)若a＝3，b＝3，则∠A＝60°，∠B＝30°，c＝23．仿例1：(连云港中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A的度数为( D)A．90°B．60°C．45°D．30°仿例2：如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD ＝3，则tan C等于( B)A.34B.43C.35D.45仿例3：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝43，解这个直角三角形．解：∵tan A＝BCAC＝1243＝3，∴∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝2AC＝8 3.方法指导：解直角三角形时，关键要正确地选用锐角三角函数，否则会出现计算困难，甚至无法计算．学习笔记：在运用锐角三角函数解题时，必须首先建立直角三角形，原题中没有直角三角形时，一般作垂线段，构造直角三角形求解．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决.知识模块二 已知一边和一锐角解直角三角形阅读教材P 16～P 17，完成下面的内容：范例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为( A )A ．4B ．25C .81313 D .121313仿例1：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为( B )A ．2B .433C ．2 3D ．4 3,(仿例1题图)) ,(仿例2题图))仿例2：如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A )A .212B ．12C ．14D ．21 仿例3：等边三角形的高为2，则它的边长是( C ) A ．4 B .23 3 C .433 D ．2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 已知两边解直角三角形知识模块二 已知一边和一锐角解直角三角形检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：三角函数的应用(一)【学习目标】1．理解方位角和仰角、俯角等概念，弄清他们的意义．2．将实际问题转化为数学问题，根据解直角三角形的方法来解决问题．【学习重点】将实际问题转化成数学问题且了解方位角、仰角、俯角在解直角三角形中如何应用．【学习难点】实际情况和平面图形之间的转化．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：方位角一般指正北或正南方向与目标方向线所成的角，所以方位角常写成“北偏”“南偏”……的形式．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么叫解直角三角形？答：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫解直角三角形．2．如图，指出OA，OB，OC，OD表示的方位角．答：OA：北偏东20°；OB：西北方向；OC：南偏西65°；OD：南偏东50°.自学互研生成能力知识模块一方位角问题阅读教材P19～P20，完成下面的内容：范例1：如图，一舰艇在A处观测到灯塔C在南偏东60°方向，该舰艇以32海里/时的速度向正东航行，2h后到达B处，在B处观测到灯塔C在南偏东15°方向，此时从B处到达灯塔C 需要( D)A．2h B．23h C．22h D.2h(范例1题图)(仿例2题图)仿例1：某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B处，那么tan∠ABP＝( A)A.12B．2 C.55D.255仿例2：如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以40海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，乙202海里．方法指导：解答有关方位角的实际问题时，要正确地作出图，将实际问题转化为数学问题来解．学习笔记：运用三角函数解决实际问题，一般按下面的步骤进行：(1)审题，画出正确的示意图，并结合图形找出题目中的已知条件和所求结论；(2)根据所要解决的问题搭棚到或构造相关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式求出答案．俯角、仰角问题一定要分清仰角、俯角的位置，切勿混淆．行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误，教会学生整理反思．仿例3：如图所示，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东45°方向，前进6海里到达B处，测得该岛在北偏东30°方向，已知在该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由．解：过点C作CD⊥AB于D，由题意得∠CAB＝45°，∠BCD＝30°，AB＝6，设CD＝x，在Rt△CAD中，AD＝CD＝x，在Rt△CBD中，BD＝x·tan30°＝33x，由于AD－BD＝6，∴x－33x＝6，解得x＝9＋33>6，∴若该船继续向东航行无触礁危险．知识模块二仰角和俯角问题阅读教材P19～P20，完成下面的内容：什么是仰角？什么是俯角？答：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．(范例2题图)(仿例题图)范例2：(衡阳中考)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m)为( C)A．503B．51C．503＋1D．101仿例：如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150m，且点A，D，B在同一直线上，那么建筑物A，B间的距离为( C) A．1503m B．1803mC．2003m D．2203m交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一方位角问题知识模块二仰角和俯角问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：三角函数的应用(二)【学习目标】1．加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．2．能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力．【学习重点】对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决．【学习难点】对坡度、坡角、坡面概念的理解．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：对于计算坡度坡比的问题，可设x表示两条边，也可用坡角正切值先求出角的度数，再解直角三角形．情景导入生成问题旧知回顾：什么是坡度？它与坡角正切有何关系？答：坡面的垂直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比．如图，坡度i＝h∶l，tanα＝hl，∴坡度即坡角正切值，坡度越大，坡面越陡．自学互研生成能力知识模块坡度问题阅读教材P19～P20，完成下面的内容：范例1：某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了50m，则此时人离地面( B)A．50m B．25m C．253m D．252m仿例1：如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角角α是30°.(仿例1题图)(仿例2题图)仿例2：如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是240cm.仿例3：(丽水中考)学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12m.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小坡下降的高度AD.学习笔记：坡度问题要知道坡度是垂直高度与水平宽度之比．不能误认为是垂直高度与斜边之比．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝12AB＝6(m)，BC＝AB·cos∠ABC＝12×32＝63(m)，∵斜坡BD的坡比是1∶3，∴CD＝13BC＝23(m)，∴AD＝AC－CD＝6－23(m)，即开挖后小山坡下降的高度AD为(6－23)m.仿例4：(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意，得BC＝EF＝6m，BE＝CF＝20m.在Rt△ABE中，BE＝20m，BEAE＝1 2.5，∴AE＝50m，在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝CFtan D＝203m.∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(m)．答：坝底AD的长度约为90.6m.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块坡度问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
新版北师大版数学九年级下册教案(全)
第一章 直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1 锐角三角函数教学目标1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计➢ 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
➢ 师生共同研究形成概念1、 梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、 想一想（比值不变）☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB ABCAB C∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC= ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。
(春)九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系小结与复习教案 (新版)北师大版
直角三角形的边角关系【教学内容】小结与复习【教学目标】知识与技能：理解三角函数的定义，识记特殊三角函数值，根据条件熟练解直角三角形过程与方法：通过对本章知识进行回顾，对本章知识结构有系统认识。
情感、态度与价值观：通过学习，了解数学在生产生活中的作用，激发数学学习兴趣。
【教学重难点】重点：熟练记忆特殊角三角值，根据条件选择适当方法解直角三角形。
难点：选择适当方法解直角三角形。
【导学过程】【知识回顾】什么是锐角的正切、正弦和余弦？2、写出30°、45°、60°角的三角函数值3、什么叫解直角三角形？解直角三角形有哪两种形式？【情景导入】本节课我们对本章知识进行回顾。
【新知探究】探究一、例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高 (结果精确到0.1m)?探究二、例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？探究三、2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．…….【知识梳理】本节课在回顾全章知识基础上，继续对解直角三角形深入学习。
【随堂练习】1．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)2．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20c m，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．。
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及性质，能熟练运用直角三角形的边角关系解决相关问题。
2.学会使用勾股定理及其逆定理，解决实际问题中的直角三角形边长问题。
3.掌握锐角三角函数的概念，能运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题，并了解它们的互化关系。
b.作业完成后，及时检查，发现并纠正错误；
c.撰写短文时，注意语言表达清晰，条理分明。
3.作业批改与反馈：
a.教师应及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据；
b.对学生作业中的错误，给予个别指导，帮助学生掌握知识点；
c.对学生在作业中的优秀表现，给予表扬和鼓励，提高学生的自信心。
4.作业评价：
五、作业布置
1.根据本节课的学习内容，布置以下作业：
a.完成课本相关练习题，巩固勾股定理及其逆定理的应用；
b.结合实际生活，设计一道运用锐角三角函数解决问题的题目，并与同学分享；
c.总结直角三角形的边角关系在生活中的应用，撰写一篇小短文。
2.作业要求：
a.学生需独立完成作业，认真思考，确保作业质量；
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并熟练运用直角三角形的边角关系，特别是勾股定理及其逆定理的应用。
2.掌握锐角三角函数的定义及其互化关系，并能解决实际问题。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过引入生活中的实际例子，如建筑物的斜边测量、三角形的面积计算等，让学生感受到直角三角形边角关系在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。
3.讲解勾股定理的逆定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系复习教学设计
7.教学策略：
a.采用启发式教学，引导学生主动探究，发现规律。
b.结合多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示直角三角形的性质和判定方法。
c.设计具有挑战性的问题，激发学生的求知欲，培养他们解决问题的能力。
1.学生对基础知识的掌握程度，查漏补缺，巩固直角三角形的基本概念和性质。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，注异化教学，提高学生的整体水平。
4.激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的自主学习能力。
在教学过程中，教师应关注学生的心理特点，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感中掌握知识，提高能力。同时，注重培养学生的合作意识和团队精神，提高学生在集体中的沟通与协作能力。
d.定期组织课堂小结，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将通过一个简单的实际问题来激发学生的兴趣和好奇心。我会向学生展示一张学校升旗仪式的照片，并提问：“同学们，你们知道我们学校的旗杆有多高吗？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够吸引他们的注意力。接下来，我会引导学生思考如何用数学方法来解决这个问题，自然引出直角三角形的边角关系。
在学生完成练习后，我会挑选部分习题进行讲解，分析解题思路和方法，帮助学生发现并纠正错误。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课的主要内容，包括直角三角形的定义、性质、判定方法以及三角函数的应用。我会让学生分享自己在小组讨论和课堂练习中的收获和困惑。
此外，我还会强调数学知识在实际生活中的应用价值，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，将所学知识用于解决实际问题。通过这样的总结归纳，学生能够对直角三角形的边角关系有一个更加全面和深入的理解。
九年级数学初三下册：第一章 直角三角形的边角关系教案 教学设计
第一章直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时正切与坡度1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等．3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．一、情境导入师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？课件出示下图，提出问题：(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？(2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？甲组乙组二、探究新知引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：1．比较梯子的倾斜程度(1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？(2)分别求出每组图中的AC BC 与ED FD，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2. 如下图，小明想通过测量B 1C 1及 AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及 AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)Rt △AB 1C 1和 Rt △AB 2C 2有什么关系？ (2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？4．梯子的倾斜程度与tan A 的值有什么关系？ 5．坡度是如何定义的？ 三、举例分析例 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？甲 乙(1)tan α和tan β 的值分别是多少？ (2)你能比较tan α和tan β 的大小吗？(3)根据tan A 的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？ 四、练习巩固1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则tan A 等于( ) A.BC AB B.AC AB C.BC AC D. AB AC2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，若tan A ＝34，则AC ＝________.3．如图，Rt △ACB 中，∠B ＝90°，BC ＝10，tan A ＝512，求AB ，AC.五、课堂小结 1．易错点：(1) tan A 中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：tan α，tan β 等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan ∠BAC 或tan ∠1，tan ∠2 等；(2) tan A 没有单位，它表示一个比值；(3) tan A 是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A ”． 2．归纳小结：(1)tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边；(2)tan A 的值越大，梯子越陡．3．方法规律：(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A＝∠A的对边∠A的邻边只能在直角三角形中适用；(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．六、课外作业1．教材第4页“随堂练习”第1、2题．2．教材第4页习题1.1第1、2题．本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系．第2课时正弦和余弦1．理解正弦、余弦及三角函数的意义．2．能够运用sin A，cos A表示直角三角形两边的比．3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．重点理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算．难点正弦、余弦的理解及应用．一、复习导入1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝34，AC＝10，求BC，AB的长．2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A越大，梯子越________；tan A的值越大，梯子越________．3．当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时，其他边之间的比值也确定吗？ 可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？二、探究新知1．正弦、余弦及三角函数的定义 课件出示：(1)Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是什么？ (2)B 1C 1AB 1和B 2C 2AB 2的关系是什么？(3)如果改变B 2在斜边上的位置，则B 1C 1AB 1和B 2C 2AB 2的关系是什么？ 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？2．梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 的关系探究活动：梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 之间有什么关系？如图，AB ，A 1B 1表示梯子，CE 表示支撑梯子的墙，AC 在地面上． (1)梯子AB ，A 1B 1哪个更陡？(2)梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 有关系吗？ 三、举例分析例 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sin A ＝0.6，求BC 的长．(1)sin A等于图中哪两条边的比？(2)你能根据sin A＝0.6写出等量关系吗？(3)根据等量关系你能求出BC的长吗？四、练习巩固1．在 Rt△ABC中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值( )A．缩小4倍B．缩小2倍C．保持不变D．不能确定2．已知∠A，∠B为锐角．(1)若∠A＝∠B，则sin A________ sin B；(2)若sin A＝sin B，则∠A ________∠B.3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B的三个三角函数值．五、课堂小结1．易错点：(1)sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；(2)sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示∠A的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”符号；(3)sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别，且sin A，cos A，tan A均大于0，无单位；(4)sin A，cos A，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系．2．归纳小结：(1)正弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB 的比叫做∠A的正弦，记作sin A；(2)余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB 的比叫做∠ A的余弦，记作cos A；(3)sin A越大，梯子越陡； cos A越小，梯子越陡．3．方法规律：两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．六、课外作业1．教材第6页“随堂练习”第1、2题．2．教材第6～7页习题1.2第1、3、4、5题．本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．重点能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角大小．难点通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力．一、复习导入1．在Rt△ABC中，∠C ＝90°.(1)a，b，c三者之间的关系是什么？∠ A＋∠ B等于多少度？(2)如何表示sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B? 2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？二、探究新知课件出示：如图所示，在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°.(1)a，b，c三者之间有什么样的关系？(2)sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流．(3)cos 30°等于多少？tan 30°呢？(4)sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？(5)45°角的三角函数值分别是多少呢？引导学生填写表格：三角函数值sin A cos A tan A30°45°60°三、举例分析例1 计算：(1) sin 30°＋cos 45°；(2) sin 260°＋cos 260°－tan 45°.处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程．例2 (课件出示教材第9页例2)引导学生思考如下问题：(1)你能根据题意画出图形吗？(2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？(3)你能找到图形中的特殊角吗？(4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？四、练习巩固1．下列式子中成立的是 ( )A．cos 72°＜sin 35°＜tan 46°B．sin 35°＜tan 46°＜cos 72°C．tan 46°＜cos 72°＜sin 35°D．tan 46°＜cos 40°＜sin 35°2．已知等腰△ABC的腰长为4 3，底角为30°，则底边上的高为________，周长为________．3．若(3tan A－3)2＋||2cos B－3＝0，则△ABC按角分类是什么三角形？五、课堂小结1．易错点：(1)能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(2)能根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．2．归纳小结：sin 30°＝12，sin 45°＝22，sin 60°＝32；cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12；tan 30°＝33，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3.3．方法规律：在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则有：sin A＝cos (90°－A)；cos A＝ sin (90°－A) ；sin B＝cos (90°－B)；cos B＝sin (90°－B)．六、课外作业1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．2．教材第10页习题1.3第1～4题．本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3 三角函数的计算1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．2．能用计算器由已知三角函数值求角度．3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．重点熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序．难点非整数度的角的三角函数值的求法．一、情境导入课件出示：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m)引导学生思考以下问题：(1)在Rt△ABC中，sin α如何表示？(2)你知道sin 16°是多少吗？(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？二、探究新知1．已知角求三角函数值(1)引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？④通过自学你能利用计算器求出sin 16°的数值吗？(2)课件出示：当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？引导学生思考如下问题：①缆车从点B到点D通过的路程是多少？②缆车从点B到点D水平通过的路程是多少？③缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？2．已知三角函数值求角(1)课件出示：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？引导学生思考如下问题：①在Rt△ABC中，sin A如何表示？②你能根据题目中的已知条件求出sin A的数值吗？③你能根据sin A的数值求出∠A吗？(2)引导学生阅读教材第13～14页用计算器求角的操作过程，提出问题：①利用计算器求角用到哪些按键？②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？④你能利用计算器求出∠A的度数吗？三、练习巩固1．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是( )A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.662. 用计算器求tan 35°的值，按键顺序是____________________．3．在 Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°)．四、课堂小结1．易错点：(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的．2．归纳小结：(1)用计算器求三角函数值；(2)用计算器求角．3．方法规律：(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键．五、课外作业1．教材第14页“随堂练习”第1、2、3题．2．教材第15页习题1.4第1～6题．本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4 解直角三角形1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系．2．能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角三角形．重点直角三角形的解法．难点灵活运用三角函数解直角三角形．一、复习导入师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角．课件出示：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.(1)直角三角形的三边之间有什么关系？(2)直角三角形的锐角之间有什么关系？(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？师：直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题．二、探究新知1．已知两边解直角三角形课件出示教材第16页例1，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能正确求解吗？教师给出解直角三角形的定义及其依据．2．已知一边和一锐角解直角三角形课件出示教材第16～17页例2，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能仿照例1独立完成求解吗？3．总结(1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？(2)除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？(3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：(1)已知两条边(一直角边一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；一斜边一锐角)．三、练习巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝34，AB＝5，则边AC的长是( )A．3 B．4 C.154D.5742．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝23，那么AB＝________.3．在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．四、课堂小结1．易错点：(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形．2．归纳小结：(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；(3)解直角三角形的方法：①已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程)；②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余．3．方法规律：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，首选正切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除．五、课外作业1．教材第17页“随堂练习”．2．教材第17～18页习题1.5第1～4题．本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步．5 三角函数的应用1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．重点经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．难点灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决．一、情境导入如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．二、探究新知课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：(1)什么是仰角？(2)在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？(3)怎样求该塔的高度？处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答．解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．(2)30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.(3)∵CD是Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan 30°＝CDAC，即AC＝CD tan 30°.在Rt△BDC中，tan 60°＝CDBC，即BC＝CDtan 60°，又∵AB＝AC－BC＝50 m，∴CD tan 30°－CDtan 60°＝50.解得CD≈43 m.三、举例分析例(课件出示教材第19页“做一做”)引导学生思考：(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？(2)你能根据题意画出示意图吗？(3)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？(4)40°和35°的角分别是哪个角？(5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？(6)Rt△ABC中的哪条边不变？解：由条件可知，在Rt△ABC中，sin 40°＝ABAC，即AB＝4sin 40°，原楼梯占地长BC＝4cos 40°.调整后，在Rt△ADB中，sin 35°＝ABAD，则AD＝ABsin35°＝4sin 40°sin 35°，楼梯占地长DB＝4sin 40°tan 35°.∴调整后楼梯加长AD－AC＝4sin 40°sin 35°－4≈0.48(m)．楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝4sin 40°tan 35°－4cos 40°≈0.61(m)．四、练习巩固1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500 m，则它上升的最大高度为( )A．500sin α B.500sin αC．500cos α D.500cos α2．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________ m．(结果保留根号)3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12 m处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号)五、课堂小结1．易错点：(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化．2．归纳小结：解直角三角形一般有以下几个步骤：(1)审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．3．方法规律：(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数值；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数值；(2)求某些未知量的途径往往不唯一．选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算．六、课外作业1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．2．教材第21页习题1.6第1～4题．本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节．上课前多揣摩学生的认知特点，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让他们做课堂这个舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作．不断总结课堂教学中的得失，不断进步，只有这样，才能真正提高课堂教学效率．6 利用三角函数测高1．能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，能够对所得到的数据进行分析，从而得出符合实际的结果．2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．重点设计活动方案、自制仪器、运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．难点运用直角三角形的边角关系求物体的高．一、情境导入问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方法？问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？二、探究新知1．设计活动方案，自制仪器(1)测倾器(或测角仪、经纬仪等)由哪几部分构成？(2)制作测角仪时应注意什么？处理方式：小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤．2．测量倾斜角(1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．师：这样做的依据是什么？3．测量底部可以到达的物体的高度要测物体MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图)(1)在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE＝α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.(3)量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离)．师：根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？解：在Rt△MEC中，∠MCE＝α，AN＝EC＝l，∴tan α＝MEEC，即ME＝EC·tan a＝l·tan α.∵NE＝AC＝a，∴MN＝ME＋EN＝l·tan α＋a.4．测量底部不可以到达的物体的高度要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：(1)在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测角仪(点A，B，N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE＝β.(3)量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.师：根据测量数据，你能求出MN的高度吗？分析：根据测量的AB的长度，AC，BD的高度以及∠MCE，∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度．解：∵在Rt△MDE中，ED＝MEtan β，在Rt△MCE中，EC ＝MEtan α，∴EC－ED＝b.∴MEtan β－MEtan αtan αtan β＝b.∴ ME＝btan αtan βtan β－tan α.∴ MN＝btan αtan βtan β－tan α＋a.三、练习巩固1．直升飞机在离地面2 000 m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( )A．2 000 m B．2 000 3 mC．4 000 m D．4 000 3 m2．2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°.已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为 ________米(精确到1米)．(参考数据：sin 22.3°≈0.38，cos 22.3°≈0.93，tan 22.3°≈0.41)3．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树的生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5 m，今年他们仍在原地A处测得大树顶点D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？(精确到0.01)(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75，3≈1.732)。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系复习优秀教学案例
4.在学生解答问题过程中，教师要及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误、完善解题思路。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
2.设计具有挑战性和综合性的任务，引导学生通过合作解决问题，提高学生的解决问题能力和创新思维能力。
5.教学策略的灵活性：本案例运用了多种教学策略，如情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价等，使教学过程丰富多样，激发了学生的学习动力和兴趣。教师能够根据学生的学习情况和反馈，灵活调整教学策略，以达到最佳的教学效果。
本案例背景与学科和课本内容紧密相关，符合教学实际，使用人性化的语言进行撰写。教学案例将直角三角形的边角关系与实际问题相结合，引导学生通过观察、分析、推理等方法，探索和发现直角三角形的边角关系，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
在教学过程中，教师将注重启发学生主动参与，积极思考，通过小组合作、讨论交流等方式，促进学生之间的互动和合作学习。同时，教师将引导学生运用多种解题策略和方法，提高学生的解题技巧和思维灵活性。
五、案例亮点
1.情景创设的真实性：本案例以实际问题情境为导入，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣和好奇心。这种真实性的情境创设，使学生能够更好地理解直角三角形的边角关系，并能够将其应用于实际问题中。
2.问题导向的有效性：本案例通过一系列由浅入深、循序渐进的问题，引导学生主动参与思考和探索，培养了学生的批判性思维和创新意识。这些问题不仅帮助学生巩固了已学的知识，还提高了学生的知识应用能力和问题解决能力。
3.小组合作的深度性：本案例鼓励学生进行小组合作和讨论交流，培养了学生的团队合作能力和沟通能力。通过合作解决问题，学生能够更深入地理解和掌握直角三角形的边角关系，同时也能够相互学习和借鉴解题策略和方法。
北师大版九年级下册数学教案：第一章直角三角形的边角关系
最后，总结回顾环节，学生能够较好地总结今天所学的知识点，但我也注意到他们对一些细节问题的掌握还不够牢固。在接下来的课程中，我需要设计更多针对性的练习和复习活动，帮助他们加深记忆，确保知识的长期掌握。
注意：由于教学难点与重点通常不会要求2000字，这里我按照要求提供了详细的说明，但实际教案中这部分内容通常会更为精简。以下内容是为了满足字数要求而扩展的，实际教案应根据具体情况调整。
对于勾股定理的难点，教师应重点讲解以下细节：
-定理的几何意义，即直角三角形斜边与两直角边的关系。
-定理的代数证明，包括代数方法的引入和每一步的逻辑推理。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形的边角关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量物体高度或距离的情况？”（如测量篮球架的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形边角关系的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形的边角关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教学设计
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要包括两大部分内容：一是对直角三角形边角关系的回顾，包括勾股定理的发现和证明，以及直角三角形的性质；二是对直角三角形边角关系的思考，包括锐角三角函数的概念和应用，以及三角函数的图像和性质。
本章内容是初中数学的重要内容，是学生进一步学习高中数学的基础。
通过本章的学习，学生应掌握直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的概念和应用，为学习高中数学打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了直角三角形的性质，对勾股定理有一定的了解，但对其证明方法和应用可能还不够深入。
对于锐角三角函数，学生可能第一次接触，对其概念和应用可能存在一定的困难。
三. 教学目标1.回顾直角三角形的边角关系，加深对勾股定理的理解，掌握直角三角形的性质。
2.学习锐角三角函数的概念和应用，理解三角函数的图像和性质。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的边角关系，锐角三角函数的概念和应用。
2.教学难点：勾股定理的证明，锐角三角函数的图像和性质。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，发现和总结直角三角形的边角关系。
2.使用多媒体教学，展示勾股定理的证明过程，直观地展示锐角三角函数的图像和性质。
3.结合实例，引导学生运用直角三角形的边角关系和锐角三角函数解决实际问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.勾股定理的证明课件。
3.锐角三角函数的图像和性质的课件。
4.与直角三角形和锐角三角函数相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾直角三角形的性质，引出本节课的主题——直角三角形的边角关系。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示勾股定理的证明过程，引导学生理解并掌握勾股定理。
3.操练（10分钟）让学生独立完成与勾股定理相关的练习题，巩固所学知识。
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系回顾与思考第1课时说课稿
3.探索边角关系：组织学生分组讨论，探讨直角三角形中边与角的关系，引导学生发现并理解三角函数在直角三角形中的应用。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
作业的目的是巩固所学知识，培养学生的实际应用能力，同时激发学生的学习兴趣和探究精神。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用结构化布局，主要内容分为三部分：回顾部分、新知部分和总结部分。风格上追求清晰、简洁，突出重点。
1.回顾部分：板书左侧，列出勾股定理和三角函数的定义，以提纲形式呈现，方便学生快速回忆。
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系回顾与思考第1课时说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自北师大版数学九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》的第一课时。这一章节在整个课程体系中具有承上启下的作用，既是对前面所学勾股定理、三角函数等知识的巩固，也是为后续学习解直角三角形、相似三角形等打下基础。本节课的主要知识点包括：回顾勾股定理和三角函数的定义，探索直角三角形中边与角的关系，以及运用这些关系解决实际问题。
1.让学生总结本节课所学知识点，分享自己的学习心得。
2.组织学生互相评价，发现彼此的优点和不足。
3.教师针对学生的总结和评价，给予针对性的反馈和建议，强调重点知识，纠正错误观念。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.完成课后练习题，巩固勾股定理和三角函数的应用。
2.结合生活实际，设计一道关于直角三角形的实际问题，并运用所学知识解决。