量子力学 第三章3.4 氢原子
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
原子物理第三章量子力学初步答案
第三章 量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----••⨯=⨯==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E ==焦耳151083410986.110/1031063.6---⨯=⨯⨯⨯=。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meVh 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--⨯=⨯=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--⨯=⨯=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。
因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。
试证明之。
证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +⋅==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。
所以，可以将上式的根式作泰勒展开。
只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm hc m eV eVm h -⨯-=-=λ 由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
量子力学周世勋习题解答第三章
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr ar a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学-氢原子和类氢离子
角动量及其算符(1)
9
二、角动量的本征值与本征函数（2）
角动量及其算符(2)
x r sin cos 在球坐标下， y r sin sin z r cos ˆ 则 l x i(sin cot cos ), ˆ l y i( cos cot sin ) ˆ l z i 形式简洁
( 2) ( 3)
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： 将（1） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得： 将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得：
r sin cos x r sin sin s y r cos z
d lm ( ) （1－cos ) P (cos ) m l d (cos ) 1 m ( ) exp(im ) 2
2 2 2 d | Y ( , ) | sin d 1 lm 0 0
4
|m| 2
m
一、氢原子(3)
2、氢原子能级图
6
一、氢原子波函数(5)
3、氢原子的能级简并度(2)
En n ,
2
n 1, 2,3, ,
l 0,1, 2, ,( n 1); m l , l 1, , l 1, l ; 波函数 nlm ( r, , ) Rnl ( r )Ylm ( , ) n 2，l 0,1 当l 0 m 0； 当l 1 m 1,0, 1, ( nlm) (200),(210),(211),(21 1) E2 200 R20Y00； 210 R21Y10； 211 R21Y11；
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
量子力学32 合流超几何方程解法 氢原子问题
量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支，其理论框架包括量子力学32 合流超几何方程解法以及氢原子问题的研究。
本文将对量子力学32 合流超几何方程解法及氢原子问题进行深入探讨，并提出相关解决方案。
一、量子力学32 合流超几何方程解法1.概述量子力学32 合流超几何方程是描述高能物理过程中的“合流”场景的一种重要方程。
该方程形式复杂，解析解难以获得，在解决实际问题时常需要借助数值计算方法。
然而，通过对方程特性的深入研究，可以寻找一些特殊情况下的解析解，为实际问题的研究提供重要参考。
2.解决方法对于量子力学32 合流超几何方程的解法，可以采用数值计算方法进行近似求解。
也可以利用变换和推导等数学方法，寻找特殊情况下的解析解。
还可以借助计算机模拟和数值模拟的手段，对方程进行深入研究，探索其中的规律和特性，为实际问题的解决提供参考。
3.实际应用量子力学32 合流超几何方程的解法在高能物理实验和理论研究中具有重要意义。
通过对该方程的研究和求解，可以更好地理解物质微观结构和相互作用规律，为高能物理实验的设计和数据解读提供支持。
二、氢原子问题1.概述氢原子是量子力学研究的经典问题之一，它涉及到氢原子中电子的运动规律、能级结构和谱线特性等重要问题。
通过对氢原子问题的研究，可以深入理解量子力学的基本原理和应用。
2.解决方法氢原子问题的解决涉及到多体量子力学、波函数、哈密顿算符等内容，在求解过程中通常采用定态薛定谔方程进行分析。
通过对定态薛定谔方程的求解，可以得到氢原子的能级和波函数，进而揭示其内在规律和特性。
3.实际应用氢原子问题在原子物理和量子化学领域有着广泛的应用。
通过对氢原子问题的研究，可以为原子光谱的解释、分子结构的预测和材料性能的优化提供重要的理论支持，并且对于发展新型材料和设计新型能源装置具有重要意义。
结语量子力学32 合流超几何方程解法和氢原子问题是量子力学研究中的重要课题，对于推动量子力学理论的发展和应用具有重要意义。
大学课件 量子力学 氢原子
c[ d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 ] c * [ d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1 ]
令c = 1，得：
d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1
令c = i，得：
[ d 1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 ) * 1 c d (Fˆ 1 ) * 2
左式=右式 d 1 * Fˆ 1 | c |2 d 2 * Fˆ 2 c * d 2 * Fˆ 1 c d 1 * Fˆ 2
2
2
r 2
(r )
V
(
r
)
(r )
E
(r )
问题的求解上一节已经
解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。于 是氢原子能级和相应的本 征函数是：
e4
En 22n2
n 1,2,3,
nlm
(r )
Rnl
(r )Ylm
(
,
)
V(r) e2 r
r x2 y2 z2
（I）能级
1. 基态及电离能
[ r] re 3/ 2 2
1
1
1 3 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R31(r)
2 a0
( r ) e 3/ 2 1 1 81 15 a0
2
3
1 a0
r
W10 (r ) R102 (r )r 2 r e 4 2 2r / a0
a03
的归一化
求最可几半径极值
dW10(r ) dr
4 a03
（1）二体问题的处理
（I）基本考虑 二体运动动, 二粒子作为一个整体的质心运动。
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
量子力学第三章习题
而 比较上两式,我们得到:
当时，则 此时我们同时求得能量的本征值和本征函数.
(3)角动量分量 的本征值方程为 它是的一个因子。 的值取决于量子数，题给定的状态不是的本征态，而是本征态的线 性叠加。在态中，而在态中，故在所给的态中，的可能值为和，出现和 的几率分别为和，即和。 的平均值
3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 求粒子的能级和定态波函数。
解: 这是一个无限深方势阱的问题,它只存在束缚态解.当,. 设粒子的质量为,因此,系统的哈密顿算符为 考虑到的球对称性,采用球坐标系,此时,有
第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态 ,求
(1) 势能的平均值 ;
(2) 动量的几率分布函数;
(3) 动能的平均值 .
解: (1) 势能的平均值:
(2) 动量的几率分布函数
所以
(3) 动能的平均值
计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点
能的一半.
以上计算中,用到积分公式: 费曼方法介绍: 设某系统的能量本征值方程为 其中含有一参数, 那么, 便有 于是有 再根据, 得到
(5) 另解：氢原子基态波函数为
， 仅是的函数而
， 所以只考虑径向的“测不准关系”
氢原子的径向能量为 而 所以
因而
取
由上两式得
即
将上式代入氢原子的径向能量表示式中
得
基态能量是上面表达式使取极小值。满足这一条件的由求极值的方法求
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第三章
*
x
ih
d dx
x
dx
*
x
ih
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
1 2πh
dx
i p(xx)
dpe h
*
x
-ih
d dx
x dx
dx
1
dx
2πh
i
eh
p( xx)
dp
*
x
-ih
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
加法结合律 Fˆ Gˆ Kˆ Fˆ Gˆ Kˆ
（4）算符乘积
两算符与之积定义为
FˆGˆ Fˆ Gˆ
若 [Fˆ ,Gˆ ] (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 , 为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符对易。
一般 FˆGˆ ,则GˆF称ˆ 二者不对易。
14
若 Fˆ ,Gˆ (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 ,为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符反对易。
（5）逆算符
设 Fˆ 能唯一的解出,则定义 的逆Fˆ算符为
Fˆ 1
氢原子的量子力学处理
峰值位置：r a0
0.2
0.1
n2 l 1 r a0
5 10
R21 (r )
15
1 2 a0
3/ 2
1 a0 3
re
21 a0 r
0
0.1
峰值位置：r 4a0
n3 l 2 r a0
0
峰值位置：r 9a0
5
10
15
20
25
结论：电子在玻尔轨道上
出现的概率最大。
玻尔的氢原子轨道半径：
解此方程组可得波函数
(r, , ) Rn,l (r)Yl ,m ( , )
l
电子的几个波函数 nlm r , ,
l
1 100 (r , , ) R 10 (r )Y 00 ( , ) 1 200 (r , , ) R 20 (r )Y 00 ( , ) 4 2
K壳层——s次壳层： 两个电子
1s
2
1 1 （ 1， 0， 0，）和（ 1， 0， 0， ） 2 2
n = 2， l = 0
l=1
ml = 0
ms = 1/2 ，- 1/2
2s 2
ml = -1，0，1 ，ms = 1/2 ，- 1/2 2p 6
L（n＝2）壳层共有八个电子。
原子壳层和次壳层上最多可能容纳的电子数 l n
r n2 a0
a0
基态氢原子电子云
电子的磁矩 原子的壳层结构
塞曼效应：在磁场中一些光谱线 会发生分裂的现象。 电子环电流： I ev 2r 无外磁场 有外磁场
ev evr 2 r 轨道磁矩： μ IS 2r 2
电子的角动量： L mvr e L 轨道磁矩矢量式： μ 2m 电子磁矩与磁场的相互作用能：
量子力学课件(9)(氢原子)
类氢离子
以上结果对于类氢离子（He+, Li++, Be+++ 等）也 都适用，只要把核电荷 +e 换成 Ze，μ 换成相应 的折合质量即可。类氢离子的能级公式为：
En
e4 Z 2
2
2
n
2
n 1, 2,3,
即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
21a r
3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei 3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei
假设存在
(r, , ) R(r )Ylm ( , )
代入上式，可以化解为一个径向的常微分 方程：
1 2 l (l 1) 2 e2 [ r ]R(r ) ER(r ) 2 2 2me r r 2me r 4 0r
2
对于E〈0的情形，常微分方程的本征函数 和本征值有解析解，详细见附录C
Z
z
y
x z
例3. = 1, m = 0 时，W1,0() = {3/4π} cos2。正好与例2相反，在 = 0时，最大； 在 =π/2时，等于零。
y
x
m = +2
m = +1
m=0
=2
m = -2
m = -1
11.5 波函数
T=0时，氢原子被制备在本征态：
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
大学物理课件 氢原子
答案C
2.具有下列哪一能量的光子，能被处在n = 2的能 级的氢原子吸收？ (A) 1.51 eV． (B) 1.89 eV．
(C) 2.16 eV．
(D) 2.40 eV．
答案B
例题1. 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV的 光子． (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几 条谱线？请画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能 级图上． （3）巴耳末线系有几条？ 莱曼系有几条？
定态薛定谔方程变为
1 2 1 1 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 r r r r sin r sin 2
2
2m e2 2 (E ) 0 4π 0 r
设波函数
(r , , ) R(r )Θ( )Φ( )
解（1） 激发态能量 (n 1) E1 13.6 En 2 - 2 eV n n
1 E n - E1 13.6(1 2 ) 12.75e V n
n =4
第三激发态
43 42 32 41 31 21
n =4 3 2 1
42 21 六条谱线． 41 43 31 32 (2) 可以发出 （3）巴耳末线系有 42 32 2条 莱曼线系有 41 31 21 3条
h Em En
第一激发态
第二激发态
基态 n 1
13.6
氢 原 子与 能光 级谱 跃系 迁
n4 n3 n2
n
帕邢系 巴耳末系
莱曼系
E 0
n 1
E
氢原子光谱
1.由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激 发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光． (C) 三种波长的光． (B) 两种波长的光． (D) 连续光谱．
[新版]量子力学周世勋习题解答第三章
![[新版]量子力学周世勋习题解答第三章](https://img.taocdn.com/s3/m/9ea9050afd4ffe4733687e21af45b307e871f989.png)
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t ix e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=；(2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dxe x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T(3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/31),,(a r e ar -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学知识：量子力学中的氢原子模型
量子力学知识：量子力学中的氢原子模型量子力学中的氢原子模型量子力学被誉为20世纪科学最伟大的发现之一，它革命性地改变了我们对微观世界的理解。
其中最重要的应用之一就是描述原子和分子行为的氢原子模型。
本文将详细介绍氢原子模型的基本概念和量子力学的一些基本理论。
氢原子是由一个电子绕着一个质子核旋转而形成的，这一体系的动态性质可以用量子力学来描述。
氢原子模型是第一个获得广泛认可的量子机制之一，它将通常的经典物理学概念改变为一个新颖的量子体系。
量子力学在不同的层次上讨论氢原子模型。
首先，在氢原子模型中，一个质子核和一个电子被看做是相互作用的粒子。
接下来，基于薛定谔方程，氢原子模型计算出了由电子在磁场中移动到不同能级的数学解，称为氢原子的波函数。
这个波函数保证了各个能级都是正交的，因此，电子不可能处于处于其他能级，只能在某个特定的能量状态下。
氢原子模型中常用的概念有：能量、电子轨道和电子能级等。
首先，能量是氢原子中电子的属性。
根据量子力学，能量可以分成几个层次，从低到高的数值称为能量级别。
其次，电子轨道描述了电子在绕质子核旋转时的路径。
由于电子有自旋和质量，它们的径向运动和有规律的转动限制了电子轨道的几何形状。
最后，电子能级是电子在原子的能量状态。
在氢原子中，电子以一定的能量向外运动，然后跳到更高的能量轨道，也称为能级上。
当电子跳的距离越远，它就越容易使能量级差距越高。
氢原子模型中，电子最稳定的状态是它处于第一能级上，也称为基态。
电子在高能级不稳定的状态下，会形成激发态，并在一定时间内回到基态。
氢原子模型及其理论在量子力学中具有极高的应用价值。
首先，氢原子模型可以帮助我们预测氢原子的能量值和跳跃，根据氢原子的能级分布和电子轨道，我们可以理解元素周期表上元素的配置。
其次，由于其他的原子都是由更多的电子组成的，氢原子模型可以为复杂原子和分子的理解提供基础。
此外，氢原子模型还是理解化学反应和电子行为的重要工具。
总之，氢原子模型概述了原子和分子中电子的量子属性，它帮助我们理解原子中能级、电子轨道和电子状态的变化。
量子力学 第三章3.4 氢原子
Z 3/ 2 a0
2e
Z a r 0
R10 (r )
2 2
Z 3/ 2 a0
2e
2r a0
Z a r 0
1 3 w10 R10 r ( ) 4e a0
r
2
w10 (r )
w 经典
dw10 0 ，则可得： 令 dr
(r10 ) max a0 (玻尔半径)
w 量子
巴尔末公式
若用约化质量 ，则 R 10967758 米－1 与实验值
R实验＝ 10967757 米－1 .6
符合的很好。
3.简并度：
es 4 En 2 2 2n
( n 1, 2,3, )
氢原子（电子）的能量本征值 En 依赖于主量子 数
n 。对于给定的能级 En ， 0,1,2, n 1 共 n 个；而
n 1
给定 , m 0, 1, 2 共 (2 1) 个，所以能级 En 的 简并度 f (n) (2 1) n 2 。
0
氢原子能量的简并度比一般中心辏力场的能级简
1 并度 (2 1) 要大。原因在于库仑势 。这样的中心 r
力场比一般的中心场 V(r ) 具有更多的对称性所致。
同理：
2 x 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 M Xx x M X
2
2 2 2 2 同理可得： y 2 、 y 2 、 2 和 2 的变换式。 1 z1 z 2 2
把这些式子代入薛定谔方程(1)中，可得到以相对坐
标和质心坐标表示的体系薛定谔方程：
内找到电子的几率是：
dWm ( , ) wm ( , )d
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es 4 13.60ev E E1 2 2
注：若采用折合质量 计算：E1 13.5926 eV (书上 13.597eV)
n 1
给定 , m 0, 1, 2 共 (2 1) 个，所以能级 En 的 简并度 f (n) (2 1) n 2 。
0
氢原子能量的简并度比一般中心辏力场的能级简
1 并度 (2 1) 要大。原因在于库仑势 。这样的中心 r
力场比一般的中心场 V(r ) 具有更多的对称性所致。
即是能量为E total E的自由粒子的定态薛定谔方程。 由此可见，质心是按能量为 E total E 的自由粒子的 方式运动，波函数是平面波。
2.相对方程
我们感兴趣的是原子内部的状态，即电子相对于
核的运动状态。相对运动能量 E 就是电子的能级。
2 rel 2 U(x, y, z) E 2
巴尔末公式
若用约化质量 ，则 R 10967758 米－1 与实验值
R实验＝ 10967757 米－1 .6
符合的很好。
3.简并度：
es 4 En 2 2 2n
( n 1, 2,3, )
氢原子（电子）的能量本征值 En 依赖于主量子 数
n 。对于给定的能级 En ， 0,1,2, n 1 共 n 个；而
前面我们讨论电子在核所产生的电场中运动时，选
取了核的位置作为坐标原点。如把以上结果直接应用到 氢原子，则只有当原子核固定的时候，才完全准确，即 把核的质量看作无穷。实际上核的质量是有限的，在库 仑力的作用下，核与电子都绕它们的质心运动。（当然
质心位置非常接近核的中心）。于是氢原子问题成为两
体问题。在经典力学中两体问题可归结为单体问题，在 量子力学中，也可以这样做，引入电子相对核的坐标和 质心在空间的坐标，可把两体薛定谔方程分解为质心运 动方程和一个电子相对核的运动方程。
说明：由于 2(质子） （电子） ，所以 与电子质量相当， 1
1 2 1 （这是从数量级上而言的） 即： 1 2
三、结果讨论： 1.能级 a.束缚态（即结合态）能级取分立值，即：
es 4 En 2 2 2n 减小）；
相邻能级间距：
es 4 2n 1 E En 1 En 2 2 2 n (n 1)2
随 n 的增大而减小，即能级越来越密。
es 4 En 2 2 2n
( n 1,2,3, )
b.非束缚态能谱为连续谱，电子处于电离状态，能
量 E 0 。这时电子脱离原子核的库仑力作用而作自
2 2 2 2 ( 2 2) i (x, y, z, X, Y, Z, t) [ 2 2M X Y Z t
2 2 2 2 ( 2 2 2 ) U(x, y, z)] (x,, Z, t ) 2 x y z
(4)
1 2 式中 称为约化质量（或折合质量）。 1 2
(3)
其中 M 1 2为体系的总质量。
则： X x 1
x 1 x 1 X x 1 x M X
2
x
2 x 1
2
1 1 ( )( ) M X x M X x
1 2 1 2 2 2 2 2 2 M Xx x M X
=2
20 n=3
9a0
=1 0.1
n=1
0.2 0.1
0.5
=0
r
0.4 0.3
0.2 0.1 0 2 a0 4 6 0.2
0
4 8 4a0
12
n=2 =0
16
0
10
20
0.2 0.1
n=3
=0
0.1
0 4 8 12 16
0
10
20
纵坐标是 wnl ，横坐标是 r ，单位是 a0
从图象中可以看出 nr n 1，给出了 Rn 的节点数
其它为：(r21 )max 4a0 ， (r32 )max 9a0 ， (r43 ) max 16a0 。 所以玻尔轨道与量子力学中电子位置几率分布最 大位置符合，此也即为玻尔电子轨道半径的本质。
<2> 角向几率分布: a. r取所有值，在方向 ( , ) 附近立体角d sin dd
同理：
2 x 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 M Xx x M X
2
2 2 2 2 同理可得： y 2 、 y 2 、 2 和 2 的变换式。 1 z1 z 2 2
把这些式子代入薛定谔方程(1)中，可得到以相对坐
标和质心坐标表示的体系薛定谔方程：
2
R
n
(r )r dr
0 0
Rn r 2 dr Ym ( , ) sin dd
2
2
dWn 2 其中径向几率密度 wn Rn r 2 表示半径为r的单 dr
位厚度的球壳内找到电子的几率。
b. wnl 的图象：
n=2 =1 0.1 0 10
n=3
<1> 径向几率分布： a.在不同球壳内找到电子的几率分布： 对 , 取所有值（即对 , 积分）在半
径 r r dr 的球壳内找到电子的几率 是：
dWn
2
dr r
0 0
2
Rn (r )Ym ( , ) r 2 sin drdd
2 2
2 1 2 1 2 cen rel 2 U(x, y, z) E total 2M 2
2 1 2 1 2 而 cen 和 rel2 U(x, y, z) 应分别等 2M 2
于常数，令为 E
E 和,E total
(5)
2 2 2 2 则： ( 2 2 2 ) U(x, y, z) E 2 x y z
内找到电子的几率是：
dWm ( , ) wm ( , )d
2 2 2 r 0
r 0
Rn (r )Ym ( , ) r 2 drd
2
2
Ym ( , ) d Rn (r ) r dr Ym ( , ) d
Nm [ P (cos )]2 d
(1)
其中 1、 2 分别为电子与核的质量。
r r1 r2 引入相对坐标和质心坐标： 1 r1 2 r2 R 1 2 电子相对于核的坐标的分量为：
x x1 x 2 ，y y1 y 2 ， z z1 z 2
m = +1
m=0
m = -2
m = -1
(2)
质心坐标的分量为：
1 x 1 2 x 2 1 x 1 2 x 2 X 1 2 M
1 y1 2 y 2 1 y1 2 y 2 Y 1 2 M
Z 1 z1 2 z 2 1 z1 2 z 2 1 2 M
Z 3/ 2 a0
2e
Z a r 0
R10 (r )
2 2
Z 3/ 2 a0
2e
2r a0
Z a r 0
1 3 w10 R10 r ( ) 4e a0
r
2
w10 (r )
w 经典
dw10 0 ，则可得： 令 dr
(r10 ) max a0 (玻尔半径)
w 量子
在
2
时有最大值，在极轴方向 ( 0) 时值为0。
Z
Z
y
x
y
1, m 0 时，几率密度为:
w10 Y10
2
3 3 cos cos2 4 4
2
w10
在 0 处几率最大，
Z
2
处几率为零。
z
y
x
y
=2
m = +2
4.几率分布
Wnm d d Rn (r )Ym ( , ) r 2 sin drd d
2 2
Rn (r ) Ym ( , ) r 2 sin drd d
2 2
为氢原子处于 nm 态时，电子处于(r , , ) 点周围的
体积元 d r 2 sin drdd 内的几率。
2 m
而 Ym 中关于
的部分仅为 e im
dWm ( , ) 2 Ym 其中角向几率密度 wm ( , ) d 仅与 有关，与无关，关于 是对称的。
所以角向几率分布绕 z 轴具有旋转对称性。
b. wm 的图象：
如： 0, m 0 时，几率密度为:
一、两体问题化为单体问题： 由多粒子体系的薛定谔方程得：
i ( x1 , y1 , z1 ; x 2 , y 2 , z 2 ; t ) t
2 2 2 2 ( 2 2 2) ＝ [ 21 x 1 y1 z 1
2 2 2 2 ( 2 ) U] (x 1 z 2 ; t ) 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
2.光谱公式(跃迁频率)：
E n E n' 2
es 4 En 2 2 2n
( n 1, 2,3, )
es 4 1 1 1 1 ( 2 2 ) Rc( 2 2 ) 43 n n n n
es 4 10973731 米－1 。 .1 其中 R 3 4 c