2018届相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷理科数学(全国I卷)(解析版)

2018届相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷理科数学（全国I卷）一、单选题1．设复数满足,则复平面内表示的点位于( ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：利用复数的除法求出后得到它对应的点进而可判断其所处象限.详解：由题设，该复数表示的点为，它在第四象限，故选D.点睛：本题考查复数的计算及复数的几何意义，属于基础题.2．设全集为，集合，,则=( ）A. （-3，0）B. (-3,-1)C.D. (-3,3)【答案】C【解析】分析：先解一元二次不等式得到，再求出，最后求出两者的交集.详解：，，所以，故，故选C.点睛：本题为一元二次不等式与集合的交、并、补运算的综合，属于基础题.3．下列命题中，假命题是( )A. B.C. 的充要条件是D. 是的充分不必要条件【答案】C【解析】分析：根据指数函数的性质可知A正确，再通过举例说明B正确.而根据不等式的性质又可以知道D 正确的，最后再根据是否为零判断出C是错误的.详解：对于A，根据指数函数的性质可知，总成立的，故A正确；对于B，取，则，故B正确；对于C，若，则无意义，故C错误，为假命题；对于D，根据不等式的性质可以当时，必有，故D正确；综上，选C.点睛：本题有4个命题，涉及到全称命题和存在性命题的真假判断，又涉及到充分必要条件判断，属基础题.4．设是等比数列，为其前项和，若，则=（）A. B. 4 C. D. 8【答案】A【解析】分析：与公比有关，我们可利用等比数列的通项公式把表示为基本量的关系式，再把变化为，从而可求出公比.详解：设公比为，则①，②.两式相比有，故或（舎），所以，故选A.点睛：解决数列的问题一般有两个角度，一是可把数列问题归结基本量的关系式，二是合理利用等比数列的性质.5．某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为( ).A. 7B.C. 6D.【答案】B【解析】分析：根据三视图还原四面体（如图），该四面体的四个面都是直角三角形，最长的棱长为，利用勾股定理可以计算其长度.详解：四面体如图所示，其中平面且中，.由平面，平面得到，同理，所以棱长最大为且点睛：通过三视图还原几何体是高考中的常见内容，注意根据三视图还原点线面的位置关系，这类问题属于基础题.6．已知0a >， ,x y 满足约束条件()1{3 3x x y y a x ≥+≤≥-,若2z x y =+的最小值为1，则a 等于（ ） A.14 B. 12C. 1D. 2 【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域， 由2z x y =+， 2y x z =-+ 将最大值转化为y 轴上的截距，当直线2y x z =-+经过点B 时，z 最小，由1{21x x y =+=得： 1{1x y ==-，代入直线y =a (x −3)得，a =12故选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7．设,在区间上随机产生10000个随机数，构成5000 个数对，记满足的数对的个数为,则估计值约为( )A. 3333B. 3000C. 2000D. 1667【答案】A【解析】分析：设事件为“上随机产生数对，满足”，则总的基本事件为，对应的测度为正方形的面积1，而随机事件对应的测度为为曲边梯形的面积，它可利用定积分来计算.详解：满足是在曲线、所围成的区域内（含边界），又该区域的面积为，故的估计值为，，故选A.点睛：对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.8．己知为双曲线右支上一点，为双曲线右焦点，若(为坐标原点)为等边三角形，则双曲线的离心率为( ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据为等边三角形得到的坐标（可用来表示），代入双曲线方程可以得到的方程，从中可解出离心率.详解：因为为等边三角形，所以，故，化简得，解得，故.故选B.点睛：圆锥曲线中求离心率的值或取值范围，关键在于合理构建关于的方程或不等式.其中不等式可以通过坐标的范围、几何量的范围或点在圆锥曲线的内部等来构建. 9．如果执行下边的程序框图，输入正整数,实数...分别为2,7,4,5，1,3，6，8,则输出分别为( )A. 8和1B. 5和4C. 4和5D. 1和8【答案】A【解析】分析：题设中的流程图有两处判断，第一个判断是如果比大，那么就是，否则再与比较，如果比小，就是，所以、分别是中的最大值和最小值.详解：流程图的功能是找出中的最大值和最小值，故，选A.点睛：对于流程图，我们可以通过计算变量的若干起始值和若干临界值来判断它的功能.比如，第一次执行两个判断后，；第二次判断两个判断后，；┄.依次计算就可以发现该流程的功能是求最大值和最小值.10．若,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是，因此三者可化为的形式，该函数为上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：，，，令，则在上是单调增函数.又，所以即.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.11．设抛物线的焦点为,为上纵坐标不相等的两点，满足，则线段的垂直平分线被轴截得的截距为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】分析：设，则由焦点弦公式可以得到，从而中点的纵坐标是定值，而直线的斜率也可以用点的坐标表示，它的中垂线也可以用点的坐标表示，求出该直线与轴交点的纵坐标即可得定值. 详解：设，则即，又的中点坐标为即为，又 ，故的中垂线方程为：令，则有，故的垂直平分线被轴截得的截距为，故选B.点睛：圆锥曲线中的对称问题应抓住中点和垂直，点差法后就可以用交点的坐标来表示直线的斜率、直线的方程以及中垂线的方程，从而解决与对称有关的问题.12．己知函数有一个零点，则（ ）A. -2B. -1C. 0D. 2 【答案】B【解析】分析：函数满足，故其在上的零点如果不是1，那么要么没有零点，要么零点是成对出现的，最后根据零点的个数为1得到函数的零点为，从而求出实数的值.详解：，故，若有零点，那么，所以也是的零点，因为只有一个零点，从而即，故，选B.点睛：函数的形式比较复杂，通过导数讨论函数的图像性质不可行，但函数的解析式满足，从而根据这个性质结合函数有一个零点判断出零点只能为1，否则必有多于1个的零点.二、填空题13．若向量满足:,则__________．【答案】【解析】分析：根据向量垂直得到它们的数量积为零，从而，再根据已知条件得到．详解：由题设有，故．又，故，故填．点睛：数量积有两个方面的应用：（1）可以计算长度；（2）衡量角的大小．前者主要是模长的计算，后者常是向量夹角的余弦的计算．特别地，当两个向量垂直时，它们的数量积为零．14．的展开式中，的系数为__________．【答案】90【解析】分析：把看成6个的乘积，利用的二项展开式中的的推导方法来求解的系数．详解：把看成6个相同因式的乘积，6个因式中有两个因式提供，余下的4个因式有两个提供，其余的因式提供常数，故系数为．填．点睛：一般地，，其中表示个因式中有个因式提供，表示余下的个因式中有提供，余下的个因式提供，这样的思想方法来自二项展开式的推导过程．15．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学，《九章算术》在数学上有其独到的成就，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

下面问题源自其中:“今有金籌(chui),长五尺，斩本一尺，重四斤，斩来一尺，重二斤，问金籌重几何?”意思是:“有长5尺的一根金籌，一头粗一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤; 在细的一端截下一尺，重2 斤: 问金籌重多少斤?”，将以上问题一般化，可表述为: 有长尺的一根金籌，一头粗一头细，(质量均匀变化)，在两端各截下1尺，截下的部分分别重斤和斤: 问金籌原来的重量为多少斤? 答案为________(用的代数式表示)．【答案】【解析】分析：因为金籌的质量是均匀变化的，所以每尺的质量应该是一个等差数列，题设中给出了等差数列的首末两项，则可求各尺质量之和．详解：由题设，金籌的每一尺的重量依次成等差数列，该数列的首末两项分别为，该数列共有项，故其总重量为．填．点睛：数学文化题是高考的热点，解这类问题时要将实际问题抽象成数学模型，注意在建模时对关键信息的理解（如质量均匀等）．16．设四棱锥的底面是一个正方形，5 个顶点都在一个半径为1的球面上，则四棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：因为球的内接四棱锥的底面是正方形，故球心在过底面中心且垂直于底面的直线上．对于同一底面，当顶点在这条直线上且在球面上时，四棱锥的高是最大的．又要使得内接四棱锥体积最大，球心还必须在四棱锥的内部，否则可以通过平移底面得到更大体积的四棱锥．最后通过以角为参数构建体积的函数表达式，利用导数求最值即可．详解：如图，要使得体积最大，则在四棱锥的内部（否则我们可以把底面平移球心的另一侧的位置，球心到这两个的面的距离相等，但高增加了，从而体积增大）且球心及其顶点在过底面中心且垂直于底面的直线上.设，则（为底面的中心），所以，又，故.令，则，.当时，；当时，，所以在为增函数，在为减函数，故.填.点睛：内接几何体的体积的最值，往往涉及到取最值时几何体中不同几何量的关系，这种关系的获得须通过动态变化来考虑（如本题中球心的位置和顶点的位置）.不同几何量的关系确定后，我们还需要选择合理的自变量来构建体积的函数关系式，需要注意的是如果函数关系式有根号，那么我们需要调整自变量（如本题的角等）使得目标函数更简洁.三、解答题17．在中，已知(l) 求;(2) 设是边中点，求.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）题设中给出了两角一边，故可以用正弦定理求；（2）因为且都已知，故可由数量积求得.解析：（1）∵且，∴.∵，∴.在中，由正弦定理得：，∴.（2）∵为边中点，∴，∴ 即. （或利用求解）点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）. 18．如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==， 1CD SD ==.（Ⅰ）证明： SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.【答案】（1）见解析（2 【解析】试题分析：（Ⅰ）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，先证线线垂直，即,SD SA SD SE ⊥⊥，从而问题可得解；（Ⅱ）要求直线与平面所成角，一般步骤是先根据图形特点作出所求的线面角，接着将该所在三角形的其他要素（包括角、边或是三角形的形状等）算出来，再三角形的性质或是正弦定理、余弦定理来进行运算，从问题得于解决（类似问题也可以考虑采用坐标法来解决）. 试题解析：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连接,DE SE ， 则四边形BCDE 为矩形， 所以2DE CB ==，所以AD =因为侧面SAB 为等边三角形， 2AB = ，所以2SA SB AB ===，且SE = 又因为1SD =，所以222222,SA SD AD SE SD ED +=+=， 所以,SD SA SD SE ⊥⊥. 又SA SE S ⋂=， 所以SD ⊥平面SAB . （Ⅱ）过点S 作SG ⊥DE 于点G ，因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥⋂=， 所以AB ⊥平面SDE . 又AB ⊂平面ABCD ， 由平面与平面垂直的性质， 知SG ⊥平面ABCD ，在Rt DSE ∆中，由··SD SE DE SG =，得12SG =，所以SG =. 过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ，连接BH ， 则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角，因为//,CD AB AB ⊥平面SDE ， 所以CD ⊥平面SDE ， 又SD ⊂平面SDE ， 所以CD SD ⊥.在Rt CDS ∆中，由1CD SD ==，求得SC =在SBC ∆中， 2,SB BC SC ===所以122SBCS ∆==， 由A SBC S ABC V V --=， 得11··33SBC ABC S AH S SG ∆∆=，即11122332AH =⨯⨯⨯，解得AH =所以AH sin ABH AB ∠==，故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为7. 19．某保险公司针对电动自行车车主推出甲、乙两种保险，假设某地共有20000名车主，每名车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立。