基本不等式“1”的代换和拼凑法
基本不等式中“1的妙用”
基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式 ax + by ，一个是分式mx + ny ，当然会在此基础上进行变形。
解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式： x y + y x的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。
二、典型题剖析 例 1：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 1，求1x +2y 的最小值；（2）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 3 ，求1x + 2y 的最小值；（3）已知 x , y ∈ R * ，3x +2y = 2 ，求 6x + 2 y 的最小值；（4）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = xy ，求 x + 2 y 的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1 的替换”的最基础题目，已知整式的值为 1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了 3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。
1 +2 = (x + 2 y )( 1 + 2) = 1+ 2x + 2 y + 4 ≥ 5 + 2= 9 【答案】（1） 4 x y x y xy当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号1 21 (x +2 y )( 1 2 1 2x 2 y1（2）+=+) =（）（）1+ + + 4 ≥5 + 2 4 = 3x y 3 x y x 3 3 y当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号（3） 6x + 2 y =12 (3x +2y )(6x + 2 y ) = 9 +3x y + 6y x+ 2 ≥ 18 + 626x 3y = x = y = 3 2+2当且仅当即 2 时取等号 y x 21（4）因为 x + 2 y = xy ，所以1y + 2x = 1，然后 x + 2 y =(x +2y)( 1y + 2x )= x y + 4x y+ 4 ≥ 8当且仅当x y = 4x y即 x = 2 y = 4 时取等号例 2：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 x1+1 + y 2+ 3 的最小值；*， x + y = 1，求 x 2 y 2（2）已知 x , y ∈ R + 的最小值；x +1 y + 1（3）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 1 + 2的最小值；2x + y y + 3（4）已知 x , y ∈ R *， 2x + 3y = 1，求 1 + 2的最小值；x + y y + 3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。
基本不等式求最值的思维方法
ʏ吴春艳从近几年高考试题看,基本不等式主要应用在求最值及证明方面㊂下面将对基本不等式求最值的思维方法进行归纳提炼,期望大家通过练习㊁感悟,提升对基本不等式的应用能力㊂方法1: 拼凑法凑积或和为定值 用基本不等式求最值例1 (1)若实数x ,y 满足2x 2+x y -y 2=1,则5x 2-2x y +2y 2的最小值为㊂(2)已知0<x <1,则x (4-3x )取得最大值时x 的值为㊂解:(1)拼凑积为定值,运用a 2+b 2ȡ2a b(a ,b ɪR )求最值㊂由2x 2+x y -y 2=1,可得(2x -y )(x +y )=1,则5x 2-2x y +2y 2=4x 2-4x y +y 2+x 2+2x y +y 2=(2x -y )2+(x +y )2ȡ2(2x -y )(x +y )=2,当且仅当x =23,y =13时等号成立㊂故5x 2-2x y +2y 2的最小值为2㊂(2)拼凑和为定值,运用a +b ȡ2a b(a ,b ɪR +)求最值㊂x (4-3x )=13(3x )(4-3x )ɤ133x +4-3x 2()2=43,当且仅当3x =4-3x ,即x =23时取等号㊂故所求x 的值为23㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数㊁凑常数是求解的关键㊂方法2: 常数代换法凑积为定值 用基本不等式求最值例2 (1)已知x ,y 均为正数,若2x+6y=1,则当3x +y 取得最小值时,x +y 的值为( )㊂A.16 B .4C .24D .12(2)若a >b >0,a +b =4,则4a +4b+12a -b的最小值为( )㊂A.14B .34C .18D .38解:(1)由 1的整体代入展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为2x +6y=1,所以3x +y =(3x +y )2x +6y()=6+18x y +2y x +6ȡ12+218x y ㊃2y x =24,当且仅当18x y =2y x ,即y =3x 时取等号㊂又因为2x +6y=1,所以x =4,y =12,这时x +y =16㊂应选A ㊂(2)由(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,整体代换展开凑定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >b >0,a +b =4,所以(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,a +4b >0,2a -b >0,所以4a +4b +12a -b =112ˑ4a +4b +12a -b ()[(a +4b )+(2a -b )]=112ˑ4+4(2a -b )a +4b +a +4b 2a -b +1[]ȡ112(5+4)=34,当且仅当a =2b =83时取等号㊂故4a +4b +12a -b 的最小值为34㊂应选B ㊂81 知识结构与拓展 高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.感悟:灵活运用 1的整体代换是解答本题的关键㊂当条件等式和所求式子之间变量系数 不一致 时,可直观凑配或者分母换元化归 1 的整体代换,如本题(2)中依据目标4a +4b +12a -b 对条件变形为(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,利用整体代入展开凑积为定值,再求最小值㊂方法3: 反解代入消元法凑积为定值 用基本不等式求最值例3 (1)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3x y +4y 2-z =0,则当z x y 取得最大值时,x +2y -z 的最大值为( )㊂A.0 B .98C .2D .94(2)已知正数a ,b 满足1a +1b=2,则3b +1-a 的最大值为㊂解:条件和结论之间无法沟通时,采用反解代入法凑积为定值,再求最大值㊂(1)因为z x y =x 2-3x y +4y 2x y =xy+4y x -3ɤ2x y ㊃4y x-3=1,当且仅当x =2y时取等号,所以z =4y 2-6y 2+4y 2=2y 2,所以x +2y -z =4y -2y 2=-2(y -1)2+2ɤ2㊂应选C ㊂(2)由1a +1b =2,可得b =a2a -1㊂由a >0,b >0,可得a >12㊂所以3b +1-a =3a2a -1+1-a =3(2a -1)3a -1-a =2-13a -1+3a -13()-13=53-13a -1+3a -13()㊂而13a -1+3a -13ȡ213a -1㊃3a -13=233,当且仅当13a -1=3a -13,即a =1+33时取等号,所以53-13a -1+3a -13()ɤ53-233=5-233,所以3b +1-a 的最大值为5-233㊂感悟:多元满足的条件等式和所求等式之间互化难以实现时,可以借助反解代入消元,再重新构造结构式凑积为定值,然后求最值,这是求解最值的通法㊂方法4: 利用不等式构建不等式 求最值例4 (1)已知正实数x ,y 满足(x +4)㊃(y +1)=9,则x y 的最大值等于()㊂A.0B .5C .1D .2(2)已知a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=4,则a 的最大值为( )㊂A.1 B .223C .233D .263解:注意题设中两变量的和与积的形式,借助基本不等式构建不等式求最值㊂(1)正实数x ,y 满足(x +4)(y +1)=9,即x y +x +4y =5,所以5=x y +x +4y ȡx y +2x ㊃4y =x y +4x y ,所以x y +4x y ɤ5(当且仅当x =4y 时取等号),所以-5ɤx y ɤ1,即0ɤx y ɤ1㊂故x y 的最大值为1㊂应选C ㊂(2)由a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=4,可得b +c =-a ,b 2+c 2=4-a 2㊂因为b 2+c 22ȡb +c 2()2,所以4-a 22ȡ-a 2()2,解得-263ɤa ɤ263,即a 的最大值为263㊂应选D ㊂感悟:灵活借助基本不等式a 2+b 2ȡ2a b(a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),a 2+b 22ȡa +b2()2(a ,b ɪR ),构造不等式求解,这是求解最值的一条简捷的途径㊂作者单位:河南省商丘市回民中学(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基本不等式之1的代换
专题：均值不等式应用中“1的代换〞不等式是高中数学的重要内容之一，利用均值不等式求最值以与证明不等式是重中之重.纵观近几年全国各省的高考题与竞赛题，可以发现均值不等式中与“1〞有关的试题频频出现，好学教育老师对此总结如下，以供大家参考.[题引][XX 省皖江名校2016届高三12月联考数学〔理〕试题]已知实数,x y 满足22020220x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数5(0,0)z ax by a b =++>>的最小值为2，则23a b+的最小值为〔 〕8214.3A +426.3B +9215.3C +1046.3D + [答案]D[解析] 首先作出可行域，如下图所示，42246551015z =ax +by -5A (-2,-2)-33-2-1-1211Oyx2x -y +2=0x +y -2=0x -2y -2=0把目标函数5(0,0)z ax by a b =++>>，变形可得5az y x bbb=-+-，斜率为负数，当z 取得最小值时，联立求出交点A 的坐标220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩(2,2)A ∴--，当目标函数5(0,0)z ax by a b =++>>过点A 时取最小值，代入得32a b +=，即2()13a b += 所以232232231046()()(5)333b a a b a b a b a b ++=++=++≥32a b =时，23a b+取最小值，故选D ．[考点]线性规划；基本不等式之1的代换.[点评]这道题目除了考查线性规划外，还考查了常数的代换，或称为“1的代换〞，更具体的说，其与一般代换还是不同的，它更像是在所求的式子后面乘以一个1，或者是一个常数，因此，我们把此类解题技巧定义为“1的代换〞. [使用情景]使用“1的代换〞解题的结构特征：①都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式〞，所求也是“和式〞，同时要求两和式是一整式，一分式〔或化为分式〕； ②已知“和式〞可变为常数“1〞；③两个“和式〞都是齐次式或可变为齐次式。
高中数学1的代换
高中数学1的代换代换是高中数学1中的一个重要概念，它在解决方程、证明定理等数学问题中起着至关重要的作用。
代换是将一个变量用其他数或符号替换，从而改变问题的形式，使其更易于求解或证明。
下面将介绍代换在高中数学1中的应用及其相关的概念和技巧。
一、代换的基本概念代换是指用一个变量或符号替换另一个变量或符号，通常是为了简化问题或改变问题的形式。
在高中数学1中，常见的代换形式有以下几种：1. 数字代换：将一个变量用具体的数值替换，通常是为了求解方程或验证等式的真假。
2. 字母代换：用一个字母或符号替代一个变量，通常是为了简化问题或引入新的变量。
3. 函数代换：将一个函数用另一个函数替换，通常是为了求导、积分或证明定理等。
二、代换的应用1. 代换在解决方程中的应用代换在解决方程中起着至关重要的作用。
通过代换，我们可以将一个复杂的方程转化为一个简单的方程，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过令t=x^2，将其转化为一个一次方程at^2+bt+c=0，然后再用一次方程的解法求解。
2. 代换在证明定理中的应用在证明定理时，代换是一个常用的技巧。
通过合理的代换，我们可以将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而更容易证明。
例如，在证明数列的通项公式时，我们常常会通过代换将其转化为一个简单的等式，然后再运用等式的性质进行证明。
3. 代换在函数求导与积分中的应用代换在函数求导与积分中也有着重要的应用。
通过合理的代换，我们可以将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而更容易求导或积分。
例如，在求解不定积分∫f(x)dx时，我们可以通过合理的代换将其转化为一个标准的积分形式，然后再求解。
三、代换的技巧与方法1. 合理选择代换的变量在进行代换时，我们应该根据问题的特点和需要，选择合适的代换变量。
通常，我们选择的代换变量应该能够简化问题，引入新的变量或将问题转化为一个已知的形式。
2. 注意代换的逆过程在进行代换时，我们还需要注意代换的逆过程。
基本不等式的变形
基本不等式的变形
基本不等式的变形指的是对基本不等式的一些操作，可以使原式变化成另一种形式，但其结果不变。
主要有四种操作：
1、同号相加：将不等式的两边都加上正数或负数，该正数或负数的符号必须与原式两端的符号相同。
这样做之后，不等式的结果不变。
2、翻转：如果不等式中有符号<或>，可以将其翻转变为>或<，同时将不等式的两边翻转。
3、同号相乘：将不等式的两边都乘以正数或负数，该正数或负数的符号必须与原式两端的符号相同。
这样做之后，不等式的结果不变。
4、分式变形：如果不等式的两边都是分式，可以尝试将分式化简或者将分式分解，使不等式变形，但结果不变。
数学必修一基本不等式方法
数学必修一基本不等式方法（最新版1篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、拼凑法解基本不等式三、一元二次不等式的解法四、常见题型和解题技巧五、总结与拓展正文（篇1）数学必修一基本不等式方法是高中数学中的一个重要知识点，本文将针对这个知识点进行详细的讲解和分析。
一、基本不等式的概念和性质基本不等式是指对于任意的实数 x 和 y，都有 (x-y)≥0，即x-2xy+y≥0。
这个不等式可以展开为 x+y-2xy≥0，进一步化简得到 (x-y)≥0，这是一个显然成立的不等式。
基本不等式的性质包括：1.平等性：当且仅当 x=y 时，(x-y)=0，即基本不等式取到等号。
2.齐次性：对于任意的实数 k，都有 (kx-ky)=k(x-y)，即基本不等式对于任意的实数 k 都成立。
3.可积性：对于任意的实数 x 和 y，都有∫(x-y)dx=x+y-2xy，即基本不等式可以推广到积分形式。
二、拼凑法解基本不等式拼凑法是解决基本不等式的一种常用方法，其核心思想是将基本不等式的形式进行拼凑，使其转化为一个容易求解的形式。
具体来说，对于不等式 x+y-2xy≥0，我们可以将其改写为 (x-y)+2xy-2xy≥0，进一步化简得到 (x-y)+2xy(1-1)≥0，即 (x-y)+2xy(1-1/2)≥0。
这样，我们就将基本不等式转化为了一个容易求解的形式。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如 ax+bx+c>0 或 ax+bx+c<0 的不等式，其中a、b、c 是实数且 a≠0。
对于一元二次不等式，我们可以通过求解其根和判别式来确定其解集。
具体来说，设一元二次不等式 ax+bx+c>0 的根为 x1 和 x2，则当 x<x1 或 x>x2 时，不等式成立；当 x1<x<x2 时，不等式不成立。
对于判别式Δ=b-4ac，如果Δ>0，则不等式有两个不同的实根，即不等式的解集为两个开区间的并集；如果Δ=0，则不等式有两个相同的实根，即不等式的解集为一个开区间；如果Δ<0，则不等式无实根，即不等式的解集为空集。
基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的八种变形技巧基本不等式是用来求两个正变量和与积的最值的，但有些题目需要用到基本不等式的变形形式才能求最值，或者需要对待求式作适当变形后才能求最值。
下面介绍几种常见的变形技巧。
1.加上一个数或减去一个数使和或积为定值例如，对于函数$f(x)=\frac{x}{3-x}$，当$x<3$时，求$f(x)$的最大值。
因为$x0$，所以$f(x)=\frac{-3+x}{3-x}+3\leq \frac{4}{3-x}\leq -2+\frac{4}{3-x}=2+\frac{2}{3-x}$。
当且仅当$3-x=2$时等号成立，即$x=1$时，$f(x)$的最大值为$-1$。
2.平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值。
例如，若$x>0$，$y>0$，且$2x^2+y^2=8$，求$x^6+2y^2$的最大值。
由于已知条件式中有关$x$，$y$的式子均为平方式，而所求式中$x$是一次的，且$\sqrt{y}$是二次的，因此考虑平方后求其最值。
设$a=x^2$，则$2a+y^2=8$，所以$y^2=8-2a$，代入$x^6+2y^2=x^6+16-4a$，即要求$a$的最小值。
由于$x>0$，所以$a>0$，所以$2a+y^2>0$，即$8-2a>0$，所以$a<4$。
由基本不等式，$(1+1+1+1+1+1)(a+a+a+y^2+y^2+y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$，即$6(6a+3y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$。
代入$y^2=8-2a$，整理得$x^6+2y^2\leq 29$，当且仅当$x^2=2$，$y^2=2$时等号成立，所以$x^6+2y^2$的最大值为$29$。
3.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值。
例如，已知$a>0$，$b>0$且$a+b=2$，求$(a+1)(b+1)$的最小值。
基本不等式中的变换技巧
２０２４年１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀基本不等式中的变换技巧◉河北定州中学㊀李㊀强㊀㊀摘要:基本不等式及其应用,是高中数学中的一个重要知识点,也是一个基本解题工具．结合基本不等式的应用与关系式的变形与转化,借助合理分拆㊁巧妙拼装㊁正确配凑㊁准确合成等方式加以综合与应用,剖析应用基本不等式的技巧与方式,开拓解题思路,提升数学品质．关键词:基本不等式;分拆;拼装;配凑;合成㊀㊀基本不等式作为高中数学 不等式 章节的一个重要知识点,一直是历年高考数学试卷中考查的重点与热点．在具体考查中,有时以简单问题的形式单独考查基本不等式,有时与其他相关知识加以交汇与融合来综合考查与应用,是每年高考必考的一个基本知识点．其中涉及基本不等式的应用技巧与策略比较强,需要对条件进行适当的恒等变形,合理构建出适用基本不等式的条件 一正㊁二定㊁三相等 ,进而结合基本不等式及其变形公式等加以多视角㊁多层面的转化与应用,实现最值的确定与不等式的确定等[１]．下面就基本不等式的应用过程中几个基本的变换技巧与策略加以实例剖析,进行分拆处理㊁拼装转化㊁配凑构建㊁合成组合等,抛砖引玉,供参考与学习．１分拆根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理分拆相关的项,或平均分拆,或根据系数关系按比例分拆等,与其他相关的项重新合理组合,进而满足应用基本不等式的条件,为进一步巧妙利用基本不等式来合理放缩处理提供条件并指明方向[２]．例１㊀(２０２１年高考数学天津卷第１３题)已知a ＞０,b ＞０,则１a ＋ab２＋b 的最小值为．分析:根据所求目标代数式的结构特征,结合基本不等式的应用条件,合理分拆处理,巧妙利用基本不等式加以放缩与变形,即可求解对应代数式的最值．解决问题时两次利用基本不等式,要注意等号成立的条件．解析:根据题设条件,由a ＞０,b ＞０,合理分拆相关的项,并利用基本不等式,可得１a ＋a b ２＋b ＝１a＋b ２＋a b ２＋b２ȡ２１a ˑb ２＋２a b２ˑb ２＝２b２a ＋２a ２b ＝２b a ＋２abȡ２２b a ˑ２ab＝２２,当且仅当１a ＝b ２且a b ２＝b２,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋ab２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:合理分拆,构建能利用基本不等式的基本条件,为进一步利用基本不等式进行放缩提供场景．充分挖掘题目目标代数式的参数㊁系数等的数字特征,为构建 和定值 或 积定值 进行必要的分拆处理．特别地,两次及以上利用基本不等式时,要注意确定满足等号成立的条件之间的一致性．２拼装根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理拼装相关的项,或移项处理,或合理组合等,构建符合利用基本不等式的基本条件,借助基本不等式来合理转化与变形,合理放缩应用,实现问题的求解．例２㊀ ２０２２届浙江省宁波市高三第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷 ８ 正实数a ,b ,c 互不相等且满足a ２＋b ２＋c ２＝２a b ＋b c ,则下列结论成立的是(㊀㊀)．A．２a ＞b ＞c ㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２a ＞c ＞bC ．２c ＞a ＞b D．２c ＞b ＞a分析:根据题设条件中的代数关系式,通过不同视角的拼装,利用基本不等式来放缩,结合不等式的基本性质判断相应两变量所对应的关系式之间的大小,进而得以确定不等式结论成立的选项．解析:由a ２＋b ２＋c ２＝２a b ＋b c ,利用基本不等式,可得２a b ＋b c －c ２＝a ２＋b ２ȡ２a b ．由于正实数a ,b 互不相等,因此２a b ＋b c －c ２＞２a b ,即b c －c ２＞０,可得c (b －c )＞０,则有b ＞c ．又由a ２＋b ２＋c ２＝２a b ＋b c ,利用基本不等式,可得２a b ＋b c －b ２＝a ２＋c ２ȡ２a c ．由于正实数a ,c 互不相等,因此２a b ＋b c －b ２＞２a c ,即b (２a －b )＋c (b －２a )＞０,可得７４学习指导２０２４年１月上半月㊀㊀㊀(２a －b )(b －c )＞０．结合b ＞c ,则有２a ＞b ．综上分析,可得２a ＞b ＞c ．故选择答案:A ．点评:充分挖掘题目条件,构建利用基本不等式的条件与结论,注意对条件中的代数关系式进行必要的恒等变形,正确地拼装,为合理利用基本不等式进行放缩处理与恒等变形提供条件．在以上问题的解析中,要注意利用基本不等式时,由于参数之间互不相等,因此等号不成立．３配凑根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理配凑相关的项．配凑的技巧主要有常数代换㊁换元引参㊁配添分离㊁升次降幂等．合理的配凑主要是为了构建和定值 或 积定值 ,满足利用基本不等式的条件,进而合理应用基本不等式来处理问题[３]．例３㊀若正数a ,b 满足a ＞１,b ＞１,且a ＋b ＝３,则１a －１＋４b －１的最小值为(㊀㊀)．A．４㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀C ．９㊀㊀㊀D．１６分析:根据题设条件中的代数关系式与目标代数式的结构特征,合理配凑组合,利用乘 １ 法进行常数代换,构建满足基本不等式的条件,进而利用基本不等式的放缩处理来确定对应目标代数式的最值．解析:根据题设条件,正数a ,b 满足a ＞１,b ＞１,且a ＋b ＝３,进行合理配凑,可得a －１＋b －１＝１,a －１＞０,b －１＞０．所以,由基本不等式,可得１a －１＋４b －１＝(１a －１＋４b －１)[(a －１)＋(b －１)]＝５＋b －１a －１＋４(a －１)b －１ȡ５＋２b －１a －１ˑ４(a －１)b －１＝５＋４＝９,当且仅当b －１a －１＝４(a －１)b －１,即b －１＝２(a －１),亦即b ＝５３,a ＝４３时,等号成立．所以１a －１＋４b －１的最小值为９．故选择答案:C ．点评:合理配凑,题目类型多样,技巧方法众多,关键是要抓住基本不等式的条件,借助相关的方法配凑对应参数之间满足 和定值 或 积定值 ,恒等变形来构建目标代数式,为进一步利用基本不等式来分析与处理奠定基础．当然,该问题也可以直接利用常数代换,通过分式的合理配凑来转化与应用,也可以达到求解的目的．４合成根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理合成相关的项,或平方处理,或构建对偶式,或取倒反推,合理创设条件来满足利用基本不等式的场景,进一步借助合成过程的逆向处理来解决问题．例４㊀已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝２,则a ＋１＋b ＋１的最大值为(㊀㊀)．A．２２B ．４C ．４２D．１６分析:根据所求目标代数式的结构特征,通过合成进行所求代数式的平方处理,利用代数式的恒等变形与基本不等式的应用加以转化,结合条件确定对应的最值,再利用开方处理来确定所求代数式的最值．解析:根据题设条件,因为正实数a ,b 满足a ＋b ＝２,所以利用基本不等式,可得(a ＋１＋b ＋１)２＝(a ＋１)＋(b ＋１)＋２a ＋１ b ＋１ɤ(a ＋１)＋(b ＋１)＋(a ＋１)＋(b ＋１)＝２(a ＋b ＋２)＝８,当且仅当a ＋１＝b ＋１,即a ＝b ＝１时,等号成立．于是a ＋１＋b ＋１ɤ２２,所以a ＋１＋b ＋１的最大值为２２．故选择答案:A ．点评:合理合成处理,改变条件中代数关系式或目标代数式的结构特征,方便进一步利用基本不等式来合理变形与转化．合成代数式的依据主要是结合题目条件与所求结论的代数式之间的联系,巧妙构建二者之间的关联,同时注意合成的逆向处理．５结束语在利用基本不等式来分析与解决相应的数学问题时,首先要合理构建吻合基本不等式的适用条件(即等号成立的条件 一正㊁二定㊁三相等 ),进而结合题设中相关代数式结构特征的合理变化与转化,从多个视角㊁多个层面加以恒等变换与巧妙处理,创新性地利用基本不等式进行放缩与变形,有效开拓解题思路,发散数学思维,提升数学品质,培养数学核心素养．参考文献:[１]徐志莲．掌握通性通法,以不变应万变 基本不等式的应用技巧[J ]．高中数理化,２０２２(１９):５１Ｇ５２．[２]田加贵．谈谈基本不等式应用中 项 的 拆分 [J ]．数理化解题研究,２０２２(２５):７８Ｇ８０．[３]郭小松．巧用配凑法解决基本不等式相关问题[J ]．数理天地(高中版),２０２２(１８):６Ｇ７．Z８４。
基本不等式之_1的代换_任卫兵
基本不等式之“1”的代换利用基本不等式求最值是高考的基本考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题.运用基本不等式需要注意“一正、二定、三相等”的条件，为了得到“定值”，往往需要对目标式进行恰当的“配”“奏”.“1的代换”是一种常用的方法，可用来创造使用基本不等式的条件.此类问题通常有 如下特点:1.变量a 、b 是正实数;2.有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式,ma nb +一个是分式,p qa b+也有其它的变形形式. 通过“1 的代换”奏出可以使用基本不等式的齐次式:b aa bμλ+1 看得见的“1”例 1 已知 0,0,1,a b a b >>+= 则 11a b+ 的最小值为 .分析 为了构造齐次式,可将11a b+的分子“1”代换为“a b +".112a b a b b a a b a b a b+++=+=++24,+=当且仅当12a b ==时取等号. 即11a b+ 的最小值为4 注也可以将11a b +“乘1”构造,即11a b +=11()2b a a b a b a b ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭变式 1已知110,0,4,a b a b>>+= 则a +b 的最小值为 .解由 114a b+=可得111111 1.()2444424424b a b a b a b a b a b a b a ⎛⎫+=+=++=+++= ⎪⎝⎭1 当且仅当12a b ==时取等号.即a b +的最小值为1. 变式2已知0,0,23,a b a b >>+=则21a b+的最小值为解由23a b +=可得2211.33a b a b+=+=2124442333333a b b aa b a b ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8,3=当且仅当322a b ==时取等号.即2a 1b +的最小值为83. 变式3 已知10,0,21,a b a b >>+=则2a+b 的最小值为 .221225b b a a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22529,ab ab += 当且仅当22,ab ab =即1=,33a b =时取等号，即2a+b 的最小值为9. 2 看不见的“1””例2已知10,2a <<则1812a a+-的最小值为分析 题目中没有已知的“1"，但观察分母，可以配奏出“1”: 2121a a +-=解：18282(12)16(212)1012212212a a a a a a a a a a-⎛⎫+=+⋅+-=++ ⎪---⎝⎭18 =，当且仅当2(12)2a a -=1612a a -时，即16a =时取等号 故1812a a+-的最小值为18. 例3 设正数,,a b c 满足,abc a b c =++求证：4936ab bc ac ++证明：由abc a b c =++可得1111ab bc ac++=. 49(49)ab bc ac ab bc ac ++=++111494914a c b c b a ab bc ca c a c b a b ⎛⎫++=++++++ ⎪⎝⎭14236a c +=当且仅当2,3,1a b c ===时取等号. 例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若20194038S =,则10201019a a +的最小值为 . 解由等差数列的前n 项和公式,得()1201920191201920194038, 42a a S a a +==+=则由等差数列的性质得1020104,a a +=所以()102010102010102010191194a a a a a a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭=20101010201091110(1044a a a a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4, 当且仅当2010103a a =时等号成立. 3 将1看成21,构造齐次式 例5已知0,0,1,a b a b >>+=则111a b ab++的最小值为 . 分析目标111a b ab ++中1a 和分母为一次式,可与例1相同的方法处理，但1ab分母为二次式，为了构造齐次式，将1看成“1”代换. 解 2111()a b a b a b a b ab a b ab+++++=++= 42448b a b a b a ⎛⎫+++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号即111a b ab++的最小值为8. 例6已知0,0,1,a b a b >>+=求221111 a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值 ..分析 题目中有己知的“1”,观察分母为二次式,为了构造齐次式,考虑将1看成看成21.解：222222111111a ba b a b --⎛⎫⎛⎫--=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222222()()(2)(2)a b a a b b a b a b a b ab +-+-++⋅= 2225529b a b a b a =+++=，当且仅当12a b ==时取等号. 即221111 a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9.例7 已知,a b 均为正数,且20,ab a b --=则22214a b a b-+-的最小值为 .解 由20ab a b --=可得211a b+= 222221144a ab b a b -+-=+-分子为二次形式，为了构造齐次式，可将分式乘以21 22222222141144a a b b b a b a ⎛⎫⎛⎫+-=+⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222441244a b a b b a b a ++++⋅1=7 当且仅当2a b =，即4,2a b ==时等号.即22214a b a b-+-的最小值为7.4 局部“1”的代换 例8 已知0,0,1,a b a b >>+=则1aa b +的最小值为 . 分析本题与例1的不同之处在于a b 已经是齐次式，只需将1a进行“1的代换".解111a a b a b a a b a b a b ++=+=+++3=，当且仅当12a b ==时取等号.即 1a +ab 的最小值为3.例9 设2,0,a b b +=>则当a = 时，1||2||a a b+取得最小值. 解1||||2||4||4||4||a a b a a b a b a b a a ++=+=+||13244a b +-+= 当且仅当||4||b a a b=且0a <时取等号.即2,4a b =-=时， 1||3 .2||4a ab +取最小值 5 多变量问题中的“1的代换”例10已知0,0,0,1a b c a b c >>>++=则111a b c++的最小值为解1 113a b c a b c a b c b a a c c b a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3+2+2+2=9.当且仅当13a b c ===时取等号.即111a b c++的最小值为9. 变式 已知正数123,,,,n a a a a 满足1231n a a a a ++++=，求证：22212122311 2n n a a a S a a a a a a =++++++ 分析 观察待求证式的分母,()()()()122311222n n a a a a a a a a a ++++++=+++=再运用“1”的代换即 求得最小值. 证明 因为()()(1223n a a a a a +++++)()11222,n a a a a +=+++=所以22212122312nn a a a S a a a a a a ⎛⎫=+++ ⎪ +++⎭⎝()()1223a a a a ++++⎡⎣()1n a a ++⎤⎦()2222123na a a a =++++()()221223121223a a a a a a a a a a ⎡⎤+++⋅++⎢⎥++⎦⎣()21231n a a a a ++++=，当且仅当121n a a a n ====时取到等号，所以1 2S . 备注 本题关键是配凑出基本不等式所需要的两项，如()()221223121223a a a a a a a a a a ⋅+⋅+++与相加 相加，利用基本本不等式有()212312a a a a a ⋅+++()221212232a a a a a a a ⋅++，从而最终得出()212321n Sa a a a ++++=例11 已知,,a b c 为互不相等的正实数，且1abc = 求证:111a b c<++.证明111abc abc abc ab bc ac a b c a b c++=++=++=1[()()()]2ab bc ab ac bc ac +++++12= 又因为,,a b c 为互不相等的正实数，所以等号取不到,111a b c++. 运用“1的代换”求最值的步骤：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); （2）把确定的定值（常数）变形为1;（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，配凑成齐次式: b aa b μλ+； （4）利用基本不等式求解最值.解题过程中要根据表达式的具体特点，选择“部分1的代换”或者“将1看成21",并且要注意基本不等式成立的前提条件.。
基本不等式之配凑法
基本不等式之配凑法不等式是应用数学的一种有用的研究工具，它可以帮助我们解决各种科学问题，例如求解最优解、分析不确定性、定义域等。
基本不等式是一类重要的不等式，其中包括常见的不等式如大致不等式、欧拉不等式、限制不等式以及Cauchy不等式等等。
其中，配凑法是一种用来处理基本不等式的有效方法。
配凑法是一种方便快捷的解决基本不等式的方法，它的基本思想是将不等式变换成一个函数的形式，然后求解这个函数，从而解决不等式的问题。
配凑法的关键是要找到一个合适的形式，可以将不等式变换成一个函数形式。
例如，要解决x2+2x+1<0的基本不等式，可以将它变换成一个函数形式f(x) = x2+2x+1，然后可以根据函数的定义求解解的解集。
在基本不等式的处理中，配凑法是一种非常有用的方法。
它可以简化基本不等式的计算，可以把复杂的不等式转化成简单的函数形式，从而更好地解决不等式的问题。
此外，配凑法还可用于处理复杂的非线性不等式，从而为研究更复杂的不等式问题提供更多有效的解决方案。
基本不等式之配凑法的使用需要一定的数学基础知识。
首先，需要具备函数分析的基本概念，即函数的定义、极值、极限、变换、求导等。
其次，要具备非线性函数的相关知识，例如复平面函数、平面变换、曲线绘制等。
最后，要熟练掌握配凑法的各种技巧，比如使用牛顿迭代法、梯度下降法来求解不等式、利用拉格朗日法来求解约束最优解等。
配凑法在不等式的处理方面有着广泛的应用，可以用来解决各类复杂的问题。
例如，在自然科学中，配凑法可以用来解决许多热力学问题，比如求解质量平衡方程、解决多相系统的平衡问题、求解热力学极限等。
此外，配凑法在经济学、计算机科学等领域也有着重要的应用，可以用来求解复杂的优化问题、定义域等。
总而言之，配凑法是一种重要的不等式处理方法，其使用的方便快捷，并且可以把复杂的不等式转化成简单的函数形式，从而解决不等式的问题。
它在解决基本不等式中发挥着重要作用，同时也在自然科学、经济学、计算机科学等领域有重要应用。
基本不等式常数代换法
基本不等式常数代换法1. 介绍基本不等式常数代换法是解决一元一次不等式的一种常用方法。
通过将不等式中的常数进行代换，可以简化不等式的求解过程，使得问题更易处理。
本文将介绍基本不等式常数代换法的原理、步骤以及应用示例。
2. 原理基本不等式常数代换法的原理是通过将不等式中的常数进行代换，将不等式转化为更简单的形式，从而方便求解。
常用的常数代换包括将不等式中的常数替换为0或1，使得不等式的求解更加直观和简单。
3. 步骤基本不等式常数代换法的步骤如下：步骤1：观察不等式首先，我们需要仔细观察给定的不等式，确定不等式中的常数和变量。
步骤2：选择合适的常数代换根据不等式的形式和要求，选择合适的常数代换。
常见的常数代换包括将常数替换为0或1。
步骤3：进行常数代换将不等式中的常数进行代换，将不等式转化为更简单的形式。
步骤4：求解代换后的不等式根据代换后的不等式，进行求解。
可以使用常见的解不等式的方法，如图像法、分析法等。
步骤5：还原变量将求解得到的代换后的不等式结果还原为原始的不等式，得到最终的解。
4. 应用示例下面通过一个具体的例子来演示基本不等式常数代换法的应用。
例子：解不等式3x−2>4步骤1：观察不等式，确定不等式中的常数和变量。
不等式中的常数为4，变量为x。
步骤2：选择合适的常数代换。
由于不等式中的常数为4，我们选择将常数替换为1，即将不等式转化为3x−2>1。
步骤3：进行常数代换，得到代换后的不等式3x−2>1。
步骤4：求解代换后的不等式。
我们可以通过分析法求解该不等式。
首先，将不等式转化为等式，得到3x−2=1。
然后，解这个等式，得到x=1。
由于要求解的是不等式，所以我们需要确定解的范围。
将解代入不等式，得到3⋅1−2>1，即1>1。
由于不等式不成立，所以解集为空集。
步骤5：还原变量，将代换后的不等式结果还原为原始的不等式。
将代换后的不等式3x−2>1还原为原始的不等式3x−2>4，得到最终的解为解集为空集。
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤(a +a 2)2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a +a 2)2(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【题型1 利用基本不等式求最值（拼凑法）】【例1】（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则4x x+3y+3y x的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【解答】解：∵x ，y 为正实数， ∴4x x+3y+3y x=41+3y x+（1+3yx ）﹣1 ≥2√41+3y x(1+3yx )−1＝4﹣1＝3， 当且仅当(1+3yx )2=4即x ＝3y 时“＝”成立， 故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题． 【变式1-1】（2020•天津模拟）设x ＞y ＞0，则x +4x+y +1x−y 的最小值为（ ） A ．3√2B ．2√3C ．4D ．3√102【分析】原式可变形为x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y]，然后根据基本不等式即可求出原式的最小值． 【解答】解：∵x ＞y ＞0， ∴x ﹣y ＞0，∴x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y ]≥2√2+√2=3√2，当且仅当12(x +y)=4x+y，12(x −y)=1x−y，即x =3√22，y =√22时取等号．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式求最小值的方法，利用基本不等式时需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．【变式1-2】（2021•浙江模拟）已知正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则a 2+1a+2b 2b+1的最小值是（ ）A ．94B ．73C ．174D ．133【分析】变形利用基本不等式即可得出结论． 【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b ＝2, ∴a 2+1a +2b 2b+1=a +1a +2b +2﹣4+2b+1=1a +2b+1, =14(a +2b +2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a +2a b+1)≥14×(5+2√2b+2a ×2a b+1)=94, 当且仅当a =43，b =13时，取得最小值， 故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-3】（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题． 【题型2 利用基本不等式求最值（常数代换法）】【例2】（2021•丙卷模拟）若a ＞0，b ＞0，且ab ＝a +b ，则4a +9b 的最小值为（ ） A ．25B ．5C ．26D ．13【分析】由ab ＝a +b 可得1a+1b =1，再由4a +9b 转化（1a+1b）（4a +9b ）可解决此题．【解答】解：由ab ＝a +b 可得1a +1b=1，又a ＞0，b ＞0，∴4a +9b =(4a +9b)(1a +1b )=13+9b a +4a b ≥13+2×√9b a ×4a b=13+12=25， 当且仅当9b a=4a b，且1a+1b=1，即a =52，b =53时，等号成立，所以4a +9b 的最小值为25，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．【变式2-1】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m ，n 满足m （n ﹣1）＝4n ，则m +4n 的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．8【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为m （n ﹣1）＝4n ，可得mn ﹣m ＝4n ，整理可得1=4m +1n， 所以m +4n ＝（m +4n ）（4m+1n）＝8+m n +16n m ≥8+2√m n ⋅16n m=16， 当且仅当m n=16n m时，即m ＝8，n ＝2时等号成立，所以m +4n 的最小值为16． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 【变式2-2】（2021•辽阳一模）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝4，则4a+9b 的最小值为 ．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可． 【解答】解：因为4a+9b=14(a +4b)(4a+9b)=14(40+16b a+9a b)，16b a+9a b ≥2√16b a⋅9a b=24，当且仅当a ＝1，b =34时，等号成立．所以4a+9b≥16．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2-3】（2021•红桥区二模）已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为 ．【分析】将a 2+4a+b 2+1b变形再代入a +b ＝1，利用基本不等式可得答案．【解答】解：已知正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则a 2+4a+b 2+1b=a +4a +b +1b =a +b +4a +1b =1+4a +1b =1+（a +b ）（4a +1b）＝1+5+ab +4b a ≥6+2√a b ⋅4b a=10， 当且仅当a b=4b a且a +b ＝1时，取等号，即a =23，b =13时取等号，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为10；故答案为：10．【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 【题型3 利用基本不等式求最值（消元法）】【例3】（2021•浙江模拟）若正实数x ，y 满足1x +1y+x y=4，则x +1x +1y的最小值为 ．【分析】先由已知关系式求出y 的表达式，代入所求的关系式中化简，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由1x +1y+x y=4可得：x+1y=4−1x=4x−1x,所以y =x(x+1)4x−1, 则x +1x+1y =x +1x +4x−1x(x+1)＝x +x+1+4x−1x(x+1)=x +5x+1=(x +1)+5x+1−1 ≥2√(x +1)⋅5x+1−1=2√5−1,当且仅当x +1=5x+1,即x =√5−1时取等号， 此时x +1x+1y的最小值为2√5−1, 故答案为：2√5−1．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 【变式3-1】（2021•海曙区校级模拟）已知正数a ，b 满足1a +1b=2，则3b+1−a 的最大值为 ．【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：因为1a+1b=2，所以a +b ＝2ab ，当a =12时，1b=0，不符合题意，所以b =a 2a−1(a ＞12)， 则3b+1−a =3a2a−1+1−a =2−(13a−1+3a−13)−13，因为a ＞12,则a ＞13，所以3a ﹣1＞0，则13a−1+3a−13≥2√13a−1⋅3a−13=2√33， 当且仅当13a−1=3a−13，即a =1+√33时取等号， 所以2−(13a−1+3a−13)−13≤2−2√33−13=5−2√33, 则3b+1−a 的最大值为5−2√33． 故答案为：5−2√33． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．【变式3-2】（2021•鄞州区校级模拟）若实数x ，y 满足2x 2+xy ﹣y 2＝1，则5x 2﹣2xy +2y 2的最小值为 ． 【分析】由已知2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，而5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1， 令t ＝2x ﹣y ,则x +y =1t,则5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2=t 2+1t 2≥2√t2⋅1t 2=2, 当且仅当t 2=1t 2，即t ＝±1时取等号，此时5x 2﹣2xy +2y 2取最小值2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．【变式3-3】（2021•嵊州市二模）已知x ＞0，y ＞0，若x •（y +1）＝2，则x −1y的最大值为 ． 【分析】根据条件可得x −1y =x−x 22−x ，设t ＝2﹣x ，则x −1y =−（t +2t ）+3，然后利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，x •（y +1）＝2，所以y=2−xx，则x−1y=x−x2−x=x−x22−x，设t＝2﹣x，则由0＜x＜2，得0＜t＜2，所以x−1y=−(2−t)2+2−tt=−（t+2t）+3≤3−2√2，当且仅当t=2t，即t=√2时取等号，所以x−1y的最大值3﹣2√2．故答案为：3﹣2√2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．【题型4 基本不等式的综合（求参数）】【例4】（2021•广东模拟）当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【分析】当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，只需m≤（x+4x−4）min，求出x+4x−4的最小值即可．【解答】解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴x+4x−4=x﹣4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x＝6时取等号，∵当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤（x+4x−4）min＝8．∴m的取值范围为：（﹣∞，8]．故选：A．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．【变式4-1】（2020•藁城区校级模拟）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】将不等式x+y4＜m2﹣m有解转化为m2﹣m＞（x+y4）min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式x +y 4＜m 2﹣m 有解，即m 2﹣m ＞（x +y 4）min 即可， ∵1x +4y=2，∴12x+2y =1，则x +y4=（x +y4）（12x +2y）=12+24+2xy +y8x ≥1+2√2xy ⋅y8x =1+2×√14=1+2×12=1+1＝2， 当且仅当2x y=y 8x，即y 2＝16x 2，即y ＝4x 时取等号，此时x ＝1，y ＝4，即（x +y 4）min ＝2，则由m 2﹣m ＞2得m 2﹣m ﹣2＞0，即（m +1）（m ﹣2）＞0， 得m ＞2或m ＜﹣1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 故选：D ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 【变式4-2】（2020•湖北模拟）若不等式1x +11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1x+11−4x 的最小值为9，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，x ∈（0，14），则1﹣4x ＞0，则1x+11−4x=44x+11−4x=[4x +（1﹣4x ）]（44x+11−4x）＝5+4(1−4x)4x +4x1−4x≥5+2×√4(1−4x)4x ×4x 1−4x=9，当且仅当1﹣4x ＝2x 时等号成立， 则1x +11−4x 的最小值为9，若不等式1x+11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，即式1x+11−4x≥m 恒成立，必有m ≤9恒成立，故实数m 的最大值为9； 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题． 【变式4-3】（2021•浙江模拟）已知x ＞0、y ＞0，且2x +1y=1，若2x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．[﹣9，1]D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【分析】先把2x +y 转化为（2x +y ）（2x+1y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x +y ＞m 2+8m 恒成立求得m 2+7m ≤9，进而求得m 的范围． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +1y=1，∴（2x +y ）（2x+1y）＝5+2x y +2y x ≥5+2√2x y ⋅2yx=9，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号， ∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1， 故选：B ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 【题型5 基本不等式与其他知识综合】【例5】（2021•河北模拟）已知函数f （x ）＝x +21+e x ，若正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，则2m+1n的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．83D ．89【分析】直接利用函数的单调性和对称性的应用及基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：函数f （x ）＝x +21+e x ， 所以f （﹣x ）＝﹣x +21+e −x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）＝2．由于函数f （x ）＝x +21+e x 在定义域上单调递增， 故正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2， 故9﹣m ＝2n ， 所以m +2n ＝9， 所以2m+1n=19⋅（m +2n ）（2m +1n）=19(4+4n m +m n )≥19×(4+2√4)=89（当且仅当买m ＝2n 时，等号成立）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，函数的单调性和对称性的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式5-1】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn ＞0，则1m +2n的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【分析】由对数函数的性质可求A （﹣2，﹣1），代入直线方程可得2m +n ＝4，从而有1m+2n=14（1m+2n）（2m +n ），利用基本不等式即可求解．【解答】解：f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx +ny +4＝0上， ﹣2m ﹣n +4＝0即2m +n ＝4， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0， ∴1m+2n=14（1m +2n ）（2m +n ）=14(4+n m +4m n )≥14(4+4)=2，当且仅当4m n=n m且2m +n ＝4即m ＝1，n ＝2时取得最小值2．故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性． 【变式5-2】（2020•济宁模拟）已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a n 2＝a 42，则2m+1n的最小值为 ，等号成立时m ，n 满足的等量关系是 ．【分析】设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)，根据a m a n 2＝a 42，可得到m ，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)， ∵a m a n 2＝a 42，∴a m +2n ＝a 8，∴m +2n ＝8，m ，n ∈Z +． ∴2m+1n=18(m +2n)(2m+1n)=18(4+4n m+m n)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n ＝2，m ＝4时取等号，此时m ＝2n ． 故答案为：1，m ＝2n ．【点评】本题主要是考查了基本不等式的应用．注意适用条件的判断．属于中档题．【变式5-3】（2020•河南三模）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为 ．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y ＝2sin （x −π6），可得0＜m ≤2，讨论m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m ＝2，将A 代入直线方程，可得a +2b ＝2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6）， 存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π， 则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上， 可得a +2b ＝2，a ，b ＞0， 即b +12a ＝1， 则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +ab≥52+2√b a ⋅ab =52+2=92．当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92．故答案为：92．【点评】本题考查最小值的求法，注意运用基本不等式，运用乘1法，同时考查三角函数的化简，以及等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题． 【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021•湖南模拟）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．【分析】先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x ，y 2=k2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为5x +20x∵5x +20x ≥2√5x ×20x =20，当且仅当5x =20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元 故答案为：2，20【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．【变式6-1】（2020秋•浙江期中）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y =x 210−30x +4000．问：（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．【分析】（1）根据题意得出z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），利用二次函数求解即可． （2）得出函数式子W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250），运用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）年产量为x ，年利润为z 万元，根据题意得： z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250）， 当x ＝230时，z max ＝1290（万元），（2）年产量为x 吨时，每吨的平均成本为W 万元，为y =x 210−30x +4000．∴W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250）， ∵x +40000x≥2√40000=400，（x ＝200等号成立）， ∴x ＝200时，W 最小=110×400﹣30＝10．故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．【点评】本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x +48≥2√8x ⋅7200x+48＝528， 当且仅当8x =7200x ，即x ＝30（m ）时取等号，S min ＝96（m 2），此时1200x=40（m ）， 所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小， 最小面积是528m 2．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．【变式6-3】（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．（2）由题意得b ≥2a ，b =20000a ，求得a 的范围，由（1）可得S ＝30（a +40000a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，所以b=20000a，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2√a×40000a+60600＝72600，当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．（2）由题意得，b≥2a，b=20000a，解得0＜a≤100，由（1）可得S＝30（a+40000a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．【点评】本题考查函数模型的构建，基本不等式的运用，解题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．。
专题05基本不等式(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)
解：显然， a2 1 0 ，
则， a2 2 a2 1 1 2 a2 1 1 2 ，
a2 1
a2 1
a2 1
当且仅当
a2 1
1
a2 1 ，即 a 0 时，等号成立.
所以， a2 2 的最小值是 2，此时 a 0 .
a2 1
例 14 ．（ 2022 秋 ·云 南 楚 雄 ·高 三 云 南 省 楚 雄 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 函 数
A．有最大值 4 B．有最小值 4 C．有最大值 4 D．有最小值 4 解： x 0，x 0，
y
x
4 x
(x)
4 x
2
(
x)
4 x
4
，当且仅当
x
2
时等号成立，
故选：A
考点二 拼凑法求最值
例 6．（2023·陕西榆林·统考三模）若 a 1，则 a 9 的最小值为________． a 1
a
2
b
2
a
b2
4a
b
4
0
a
b
2
2
2，
当且仅当 a b 时成立，A 正确；
对于 B， ab 1 a b 2 ab ，即
故答案为：3
例 20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数 a，b 满足 a 2b 4 ，则 1 1 的最 a b1
小值是（ ）
A．1 B． 33 C． 3 2 2 D．1 3
28
6
3
解：由已知可得，
a
2b
1
6
，所以
1 6
a
2
b
1
1.
又 a,b 0 ，
所
利用基本不等式求函数值域的基本策略
求某些函数值域 (或 最 值)时 应 满 足 三 个 条 件:①a＞
０,
b＞０;②a＋b(或 ab)为 定 值;③ 等 号 成 立 的 条 件 是
三个条 件 缺 一 不 可 ．
此 外,有 时 需 要 合 理 地 “配
a＝b．
凑”,即利用添项、拆 项 和 同 时 平 方 等 技 巧 ．添 项 和 拆
２)把确定的定 值 (常 数)变 形 为 １;３)把 “
１”的 表 达 式
与所求最值的表达式相乘 或 相 除,进 而 构 造 和 或 积 为
定值的形式;４)利用基本不等式求解最值 ．
例 ３ 已知 a＞０,
b＞０,
a＋b＝１,则
１０
当所求最值的代数式 中 的 变 量 比 较 多 时,可 考 虑
利用已知 条 件 消 去 部 分 变 量 后,凑 出 “和 为 常 数 ”或
令 x＋３y＝t,则t＞０ 且t２ ＋１２
t－１０８≥０,得t≥
６,即 x＋３y 的最小值为 ６．
４ 多次利用基本不等式求最值
当连续多次使用基本 不 等 式 时,一 定 要 注 意 每 次
是 否 能 保 证 等 号 成 立,并 且 注 意 取 等 号 的 条 件 的 一
致性 ．
值为
１
例 ５ 已知 a＞b＞０,那 么 a２ ＋
拼凑法的实质是代数式的
灵活变形,拼系数、凑常数是关键 ．
x２
(
例 １ 求函数 h(
x)＝
x＞１)的值域 ．
x－１
２
(
x２
x－１)
＋２(
x－１)＋１
h(
x )＝
＝
基本不等式常数代换法
基本不等式常数代换法
基本不等式常数代换法是一种常用的解决不等式问题的方法，它通过将不等式中的常数进行代换，使得不等式的形式更容易处理。
具体步骤如下：
1. 找出不等式中的常数，将其代换成一个新的常数，通常选择一个使得不等式更容易分析的值。
2. 利用新的常数进行推导和处理，找出不等式的解集。
3. 将新的常数还原成原来的常数，得到最终的解集。
例如，对于不等式2x + 5 > 7，可以进行常数代换，令u = 2x + 5，得到u > 7。
然后，可以利用u进行推导和处理，得到u 的解集为(u > 7)。
最后，将新的常数u还原成原来的常数2x + 5，得到原始不等式的解集为(2x + 5 > 7)。
常数代换法在解决不等式问题时可以简化计算和推导的过程，特别是在处理特殊形式的不等式时更为有效。
但需要注意选择合适的常数代换，以确保代换后不等式的形式更易于处理，同时要还原代换后的解集到原始不等式的解集。
基本不等式求最小值
基本不等式求最小值解析针对基本不等式求最值，一直是高考的重点和难点，本人就基本不等式最值的情况分类以及各类别的求解方法加以简析，以供各位参考和指正。
一． 一元不等式求最小值 （1） 配凑法 例1：当x>1时，求x +1x−1的最大值解：∵x>1∴x-1>0 ∴x +1x−1=x-1+1+1x−1=2√(x −1)∗1x−1+1=3当且仅当x-1=1x−1时即x=2时取得等号。
总结： 当遇见式子出现整式项加一个分数项时，常常用 加或减一个常数项，使得整式凑成与分式相等或者其倍数.注意：每一次用基本不等式，必须保证参与的每一项“一正二定三相等”变形：当x<1时，上述式子有最值吗？是最大值还是最小值？多少呢？思路解析：∵x<1∴x-1<0，此时不可以运用基本不等式来计算最小值，需要变形来解决。
解：∵x<1∴x-1<0则x +1x−1=-[-（x+1x−1）] =-[-x+（−1x−1）]=-[-（x+1）+（−1x−1）+1]又[-（x+1）+（−1x−1）+1]≥2√−(x +1)∗（−1x−1）=1=3∴-[-（x+1）+（−1x−1）+1]≤-3针对练习： 设m>1，P=m+4m−1，Q=5，则P ，Q 的大小关系是例2：求2√x 2+1的最大值 解：原式=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√x 2+1∗√x 2+1=2当√x 2+1=√x 2+1时，即x=0时取得最值。
总结：当遇到一个分式求最值时，观察分子和分母之间的关系，尝试能不能把分子变成坟墓的完全平方式与常数项的和，再利用完全平方式与分母单独分离，再利用基本不等式求解 针对练习：（1） 当x>0时，求y=x 2+3x+42x的最小值（2） 当x>1时，求y=x 2+2x−1的最小值二．二元不等式求最小值（1）.例3：若x ，y>0，x+y=2时，求1x+2y 的最小值。