一道高考数学题的解法研究及思考.kdh

题就是考察新版高中数学教材中关于高等数学的内容。
最后， 我们指出现在我们对学生的教育正由应试教育
向素质教育转变， 因此， 我们应该把培养学生 的 能 力 、提 高
学 生 的 素 质 放 在 首 位 。该 题 的 目 的 是 要 求 高 中 老 师 注 意 培
养学生的思维能力， 防止思维僵化。因此， 我认为该题有很
又 ∵ｆ（０）＝０，
∴
。
因 为 ａ 是 任 意 的 ， 所 以（ １） ，（ ２） 其 实 就 是 我 们 要 证
明的结论， 这种证法是典型的循环论证。在处理含有两个
变量的问题时， 一般采用的方法是取定一个变量， 观察另
一个变量的变化， 这是高等数学常用的方法； 而在初等数
学中很少用到。如果能看出结论中的 ｘ 为题目条件中的 ａ，
抽象思维 能 力 放 在 重 要 位 置 。 如 ２０ 题 中 的 ａ 和 ｘ 可 以 取
无数个值， 但我们只选择一个或两个具体的值就能解决该
问题， 同时在该题中的 ｘ 在条件和结论中代表两种不同的
意义， 在初等数学中， 这种情况不多见； 但在高等数学中，
这种情况却很多， 例如积分
中的 ｘ 有两种含义，
的积分
＝０， 该函数有无穷多
个不为零的点， 但积分为零， 这在初等数学中是无法想象
的。在文献［３］中指出， 以前初等数学与高等数学往往是呈阶
梯式上升， 而螺旋式上升的内容和结构较少。在初等数学中
适当增加高等数学的内容， 在高等数学中适当增加初等数
学中的解法， 使增加初等数学内容和结构与高等数学内容
和结构呈螺旋式上升， 这是目前教材改革的一个重点， 而该
思考。
首先， 有人认为数学起源于猜想， 猜想是一个没有边
际的东西， 它更需要跳跃性思维， 如牛顿发现“万有引力定
律 ”起 源 于“ 苹 果 树 上 的 苹 果 为 什 么 落 向 地 球 ， 而 不 飞 向
月球。”这个猜想， 这种想法的思维的跳跃不是一般的逻辑
思维能得到的， 因此在大学数学教育中应该把培养学生的
收稿日期： ２００６－ ０９－ ２０ 作者简介： 夏慧异（ １９６９－ ） ， 男， 安徽宣城人， 池州师范专科学校数学与计算机科学系教师， 硕士， 研究方向为数理统计。
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∴令 ｋ＝ｆ（１）， 得 ｆ（ｘ）＝ｋｘ，
∵当 ｘ＜０ 时，ｆ（ｘ）＝－ ｘｆ（－ １）
∴ 令 ｈ＝－ ｆ（－ １），得 ｆ（ｘ）＝ ｈｘ。
好的实用价值。
参考文献： ［１］ 陈纪修， 於崇华， 金 路． 数 学 分 析［Ｍ］． 北 京 ： 高 等 教
育出版社， ２００４． ［２］ 胡 适 耕 ． 实 变 函 数 ［Ｍ］ ． 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ，
２００１． ［３］ 叶 立 军． 高 初 结 合 在 数 学 教 学 中 几 个 应 用 及 其 教
一个表示积分变量， 一个是表示积分上限。
其次， 在高等数学中加入一些形象的内容， 如用古希腊
的 学 者 Ｚｅｎｏ 的 悖 论（ Ａｃｈｉｌｅｓ 追 赶 乌 龟 的 故 事 ） 引 入 无 穷
级数的概念。减少了抽象性， 增加了形象性， 增加了趣味性。
但 高 等 数 学 抽 象 性 的 本 质 没 有 改 变 ， 如 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ 函 数
学对策［Ｊ］．甘肃联合大学学报．２００５（ ４） ． （ 责任编辑： 潘杨友）
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案的思路， 也是最简捷的思路。但有许多学生做了很多， 结
论却是错的。这是因为有些同学一看到“任意”两个字， 就
认为 ａ 和 ｘ 必须取很多个值， 还有一些同学是审题不清造
成的错误。典型错误解法有以下三种：
第一种错误的解法是：
∵ｆ（２）＝２ｆ（１）， ．．．．．．， ｆ（ｎ）＝ｎｆ（１）， ．．．．．．， ∴ｆ（０）＝０ 第二种错误的解法是： ∵ｆ（ ）＝ ｆ（１）， ．．．．．．， ｆ（ ）＝ ｆ（１） ， ．．．．．． ∴ｆ（０）＝０ 第三种错误的解法是： 令 ａ＝０， ∵ｆ（ａｘ）＝ａｆ（ｘ）， ∴ｆ（０）＝０． 第一种错误的解法是猜测， 这是因为对题目根本不理 解， 只是想通过“蒙”的方法得分， 这是一些 高 中 老 师 经 常 教学生的一种方法， 因为在常见题中， 对题意的分析有步 骤分 。第二种错误的解法是在于学生对极限和连续的定义 不理解 ， 如果在题目条件中加上 ｆ（ｘ）是 连 续 函 数 ， 这 种 解 法 正确； 但没有连续这个条件。（ 证明 ｆ（ｘ）是连续函数是高等 数学的内容， 用初等数学无法证明。） 第三种错误的解法是 因为审题不清而造成的， 题中条件明确要求 ａ＞０， 而它却令 ａ＝０， 这显然是错的。我们只要抓住条件对任意实数 ａ＞０ 和 任 意 实 数 ｘ 都 有 ｆ（ａｘ）＝ ａｆ（ｘ）和 结 论 ｆ（０）＝０ 这 两 点 ， 若 出 现 ｆ （０）的情况只有 在 ｘ＝０ 时 才 能 出 现 ， 因 此 令 ｘ＝０， 只 要 再 令 ａ 取任何一个大于 ０ 且不等于 １ 的具体实数值（ 即 ａ 可以不 取值为 ２， 可以取 ３ 或 ４ 等数时） 也能得出结论。 对第二问， ｋ 和 ｈ 值的求取是解题的关键， 标准答案的 解题思路如下： ∵ 当 ｘ＞０ 时，ｆ（ｘ）＝ｘｆ（１），
求导即得， 这是对导数性质这个知识点的测试， 这
是新版高中数学教材新增高等数学的内容。
３ 对这题的思考
该题的第一、二问， 强调了思维的跳 跃 性 ， 有 大 学 数 学
的思想， 第三问是微积分的内容， 由于以前高中数学教育
缺乏对思维跳跃性的训练， 导致与高等数学教学的脱节，
这使得许多刚踏入大学的学生开始很难适应高等数学教
实数 ｘ 都有 ｆ（ａｘ）＝ ａｆ（ｘ）．
（１）证明 ｆ（０）＝０；
（２）证 明
其中 ｋ 和 ｈ 均为常数；
（３）当 （２）中 的 ｋ＞０，设
（ｘ＞０），讨 论
ｇ（ｘ）在
内的单调性并求极值。
考试的题目应该反映当前教材的改革， 从小学的数学
教材到大学的数学教材， 都在进行改革。对于该题， 许多高
中数学阅卷老师认为出的不好， 但我却不这样认为， 因为
又 ∵ｆ（０）＝０
∴
。
但有的学生做出一种貌似正确， 实际是错误的一种解
法， 具体解法如下：
当 ｘ＞０ 时
∵ｆ（ａｘ）＝ａｆ（ｘ）＝ｘｆ（ａ）
∴ｆ（ｘ）＝ ｘ
令
（ １）
则 ｆ（ｘ）＝ｋｘ，ｘ＞０。
当 ｘ＜０ 时，
∵ｆ（ａｘ）＝ａｆ（ｘ）＝－ ｘｆ（－ ａ）
∴ｆ（ｘ）＝
ｘ
令
（ ２）
则 ｆ（ｘ）＝ｈｘ ｘ＜０。
［关键词］ 初等数学； 高等数学； 思维 ［中图分类号］ Ｇ６３３．６ ［文献标识码］ Ａ ［文章编号］ １００８－ ７７１０（ ２００６） ０５－ ０１３５－ ０２
１ 问题的提出
２００６年安徽理科高考题的第 ２０ 题为：
已 知 函 数 ｆ（ｘ）在 Ｒ 上 有 定 义 ， 对 任 意 实 数 ａ＞０ 和 任 意
第 ２０ 卷 第 ５ 期 Ｖｏｌ．２０ Ｎｏ．５
池州 师 专 学 报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ
２００６年 １０ 月 Ｏ ｃｔｏｂ．，２００６
一道高考数学题的解法研究及思考
夏慧异
（ 池州师范专科学校 数学与计算机科学系， 安徽 池州 ２４７０００）
［摘要］ 本文通过对一道高考数学题的解法研究， 指出应在初等数学教育中加强高等数学思维的培养， 同时谈到我的 一些看法。
而结论中的 １ 为题目条件中的 ｘ 的具体的取值， 则该题将
变得非常简单， 但在解题的过程中， 有些同学对题目中的 ｘ
和 ａ 产生混淆致使该题算错。 当 然 ｋ 可 以 不 取 ｆ （１） 这 个
值，Leabharlann ，等值时结论也是正确的。
对第三问， 只要知道函数导数大于 ０ 的区间是增函数
区间， 函数导数小于 ０ 的区间是减函数区间， 对函数 ｇ（ｘ）＝
学 。现 在 的 数 学 教 材 一 方 面 把 大 学 数 学 的 一 些 内 容 编 到 高
中教材中， 另一方面在大学教材中增加一些形象的事例，
加强与初等数学的联系， 对高等数学进行分类， 对非数学
专业强调应用性， 减少抽象的理论证明； 尽管如此， 但高等
数学抽象的本质无法改变， 下面就这两方面谈谈我的一些
从大学的数学观点来说， 这是一道好题， 原因在于该题中
强调了思维的跳跃性， 这在高等数学中很重要， 但在初等
数学中常被忽视。本文通过对该题的解法研究， 提出自己
的看法及思考。
２ 该题的具体解法与错误解法
本题共三问， 每一问都有自己的特点， 下面谈谈每一
问的解法及错误解法。
对 第 一 问 ， 我 们 只 需 令 ａ＝２ 和 ｘ＝０ 即 得 ， 这 是 标 准 答