浙江省台州市临海市第六中学高中数学必修二导学案§411圆的标准方程
高中数学必修二导学案 圆的标准方程
必修二圆的标准方程【学习目标】1、理解圆的定义，能正确推导圆的标准方程2、会求圆的标准方程，了解圆的标准方程的简单应用【重点和难点】教学重、难点：理解圆的标准方程，并求圆的标准方程。
【使用说明及学法指导】1.先预习课本P118-P120内容，然后开始做导学案。
2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。
预习案一．问题导学1.圆的标准方程有什么几何意义？二．知识梳理1、由画圆的过程您能回忆起已学过的圆的定义是什么？圆的定义：_____________________ 其中定点叫______ ，定长叫____ 。
2、圆心在 A（a,b）,半径为 r 的圆的标准方程为_____________圆心在原点，半径为 r 的圆的标准方程为______________________三.预习自测1、写出下列圆的标准方程（1）圆心为 A（-2，-3）半径为 5 （2）圆心为（-3，4）半径为 32、求下列圆的圆心，坐标与半径（1）x2+y2=1 （2）(x+1)2 +(y+2)2 =2 （3）x 2+y2 -2x=0 （4）x2 +y2 -2x+4y+1=03、已知ΔAOB 的顶点坐标分别是 A（4，0），B（0，3），O（0，0），求ΔAOB 外接圆的方程四.我的疑问：探究案一．合作探究探究1.写出圆心为 A（2，-3）半径为 3 的圆的标准方程，并判断点 M1（4，-1），M2（-1，-3），M3（0，0）是在圆上、圆外、还是会圆内？探究2.平面直角坐标系中有A（0,1）,B（2,1），C（3，4），,D（-1,2）四点，这四点能否在同一个圆上，为什么？探究3.已知圆心为 C 的圆经过点 A （1，1） B （2，-2） 且圆心 C 在直线l ： x-y+1=0 上，求圆心为C 的圆的标准方程。
小结：通过三个探究，你能归纳出求圆的方程的基本思路有哪些吗？训练案一、课堂训练与检测1、已知两点 P 1（4，9） P 2（6，3） ，求以线段 P 1P 2 为直径的圆的方程，并判断点 M （6，9）在圆上、在圆内、还是在圆外？2、已知圆1)1(1221=-++y x C ）：（，圆12C C 与关于直线x-y-1=0对称，求2C 的方程3、求以点C （2，-1）为圆心，截直线x+y+1=0所得的弦长为22的圆的方程。
高一数学必修2第四章导学案课题
课题：§4.1.1圆的标准方程编写:高一数学组审核: 时间:2014年元月一、【学习目标】1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
2.通过本节的学习，由问题情景入手，我们要学会分析问题的方法；通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”的学习精神。
【重点难点】重点：圆的标准方程的求法及其应用。
难点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择合适的坐标系解决与圆有关的实际问题。
二、【问题导学】1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是2.圆定义3.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？4.圆心为，半径为的圆的标准方程为 . 特别的：若圆心为坐标原点，这时，则圆的方程是探究：确定圆的标准方程的基本要素是三、问题探究：1. 判断下列方程是否为圆的方程？如果是，写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）x2 + (y + 3)2 = 2；（2）(x + 2)2 + (y– 1)2 = a2 (a≠0)(3)x2+(y+3)2=0 （4）(x+a)2+y2=a22、写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是6 (2) 经过点P(6,3),圆心为C(2,-2)四、【合作、探究、展示】例1:写出圆心为，半径长为 5 的圆的方程，并判断点是否在这个圆上.【规律方法总结】点M(x0,y)与的关系的判断方法：⑴，点在；⑵，点在圆上；⑶，点在圆内.例 2: 三个顶点的坐标是，求它的外接圆的方程.【规律方法总结】_________________________________________________例３：已知圆C 经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程.【规律方法总结】_________________________________________________五、课堂练习：求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．六、【达标训练】1. 已知，则以为直径的圆的方程（）.A． B．C． D．2.点与圆的的位置关系是A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定3.圆心在直线上的圆 C 与 y 轴交于两点，则圆C 的方程为（）A． B．C． D．4.圆关于原点对称的圆的方程5.过点向圆所引的切线方程6. 已知圆经过点，圆心在点的圆的标准方程.7.求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程.七．本节小结课题：§4.1.2 圆的一般方程编写:高一数学组审核: 时间:2014年元月一、【学习目标】1.理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法.【重点难点】教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.二、【问题导学】１．圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程是_______________________.２．将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得__________________３．能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?4、新知识：问题1．方程表示什么图形？方程表示什么图形？问题2．方程在什么条件下表示圆？结论：方程表示的轨迹：（1）当_____________时，方程表示以为圆心，为半径的圆（2）当_____________时，方程只有实数解，即只表示一个点（3）______________________时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程表示的曲线不一定是圆，只有当时，它表示的曲线才是圆，形如的方程称为圆的一般方程。
数学必修2导学案4.1.1圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程一、学习目标知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点：学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、知识链接：1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
高中数学必修二第四章 圆与方程导学案
问题4如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？
问题5用坐标表示点M适合的条件并化简将得到什么等式？
问题6如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2就是圆心坐标为A(a，b)，半径为r的圆的方程？
【知识要点】
1．圆的定义：在平面内，到的距离等于的点的集合叫做圆．确定一个圆的基本要素是和．
2．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是，当圆的圆心在坐标原点，圆的半径为r时，则圆的标准方程是.
3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外⇔;点P在圆上⇔；点P在圆内⇔.
【问题探究】
2．点与圆的位置关系的判定：（1）利用点到圆心距离d与圆半径r比较．（2）利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．
3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解.
【课后作业】
§4.1.2圆的一般方程
【学习要求】
跟踪训练2已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
小结本例充分利用了圆的几何性质得到圆心所在的位置是两条直线的交点，然后利用代数的方法通过解方程组求出了圆心坐标，最后利用两点间的距离公式求出了半径．这种思考的方法称为几何法，有些与圆有关的问题充分利用几何性质求解往往比较简便．本例也可用待定系数法求圆的标准方程．
人教版高中数学必修二第4章第1节圆的标准方程导学案
第四章第一节圆的标准方程三维目标1．掌握圆的标准方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程；3.初步体会求点的轨迹方程的思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1.在平面直角坐标系中，圆的定义是什么？确定它的要素有哪些？问题2.如果一个圆以点P（a,b）为圆心，r为半径，你能否求出表示圆的方程？如果圆心在原点，方程又该如何？确定圆的标准方程的要素有哪些？.【学做思2】1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M（5，-7），N（2，-1），P(5，2)是否在这个圆上。
【思考】点与圆的位置关系有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？*2.已知圆的方程过点A(-4,0),B(0,2)和原点，求圆的标准方程。
【思考】从几何角度思考，该题还可以怎样解？3.已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。
【思考】比较两个例题，你能总结出求圆的标准方程的两种方法吗？达标检测*1.方程x+1=1-y2表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一个圆D．半个圆2.圆心在C(8，-3),且经过点M(5，1)的圆标准方程是_____________；3.若A(4,9),B(6,3)，则以A、B两点为直径的圆的标准方程是_____________；4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则求圆C2的标准方程。
5.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程。
高中数学必修二41圆的方程412圆的一般方程导学案
4.1.2 圆的一般方程一、学习目标：1、正确理解圆的一般方程及其特点；2、会求圆的一般方程；3、能进行圆的一般方程和标准方程的互化；4、初步了解用代数方法处理几何问题，把握求点的轨迹方程的思想方法。
二、课前导学：学问回忆：1、 圆的圆心为(1,2)C ，半径为2 ，那么圆的标准方程为222(1)(2)4x y -+-= ，将此方程绽开得222410x y x y +--+=问题导入：问题1、方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222450x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？〔1〕表示以)2,1(-为圆心，2为半径的圆；(2)表示点〔1，2〕〔3〕不表示任何图形问题2、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ （1） 配方44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （2） 当0422>-+F E D 时，方程表示 以(,)22D E --为圆心，2422F E D -+为半径的圆 （3） 当0422=-+F E D 时，方程表示 一个点(,)22D E -- （4） 当0422<-+F E D 时，方程表示 不表示任何图形 问题3、圆的一般方程的定义：当2240D E F +->时， 220 x y Dx Ey F ++++= 称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？练习1、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，在什么条件下表示圆的方程？220040A C B D E AF =≠=+->，，练习2、圆22210240x y x y +-+-=的圆心为：___)51(-，_____，半径为：___25_____。
三、合作探究：探究一、圆的一般方程的概念例1：以下二元二次方程能否表示圆？假设能表示圆，求出其圆心和半径。
高中数学必修二导学案：第四章第一节圆的一般方程
第四章第一节圆的一般方程三维目标1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化；2. 会用待定系数法求圆的一般方程；3. 会用坐标法求点的轨迹方程；4．体会代入消元的思想。
___________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么?(1)222210x y x y +-++=； (2) 054222=++-+y x y x ；(3) 064222=+-++y x y x问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是多少？【试试】1. 圆的一般方程： （ ）圆心坐标（ ， ），半径为 .【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k>1B.k<1C.1≥kD.k 1≤【学做思2】*1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=．（1）求点B 、C 的坐标； （2）求ABC ∆的外接圆的方程．【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
（学生小组讨论展示解题思路）【小结】求轨迹方程的一般步骤【变式】自圆422=+y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。
3. 已知方程01464)1(2222=+-+---+m m my x m y x 表示圆．(1)求m 的取值范围；(2)圆心的轨迹方程.达标检测*1. 当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为( )(A) 04222=+-+y x y x (B) 04222=+++y x y x(C) 04222=-++y x y x (D) 04222=--+y x y x2. 判断下列方程分别表示什么图形?(1) 022=+y x (2) 064222=-+-+y x y x3. 求圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3)的圆的方程.4. 经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点的轨迹方程.5.已知点A(－1,1)，B(3,3)是⊙C的一条直径的两个端点，又点M在⊙C上运动，点N(4，－2)，求线段MN的中点P的轨迹方程．。
新人教A版必修2高中数学学案教案： §4.1.1 圆的标准方程
"数学§4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2 "本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):4.1.1 圆的标准方程1课时4.1.2 圆的一般方程1课时4.2.1 直线与圆的位置关系2课时4.2.2 圆与圆的位置关系2课时4.3.1 空间直角坐标系1课时4.3.2 空间两点间的距离公式1课时本章复习1课时§4.1 圆的方程§4.1.1 圆的标准方程一、教材分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、教学重点与难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=++-, |CD|=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2；2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.当点M(x 0,y 0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内.（三）应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6). 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路2例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m).图2解:建立坐标系如图,圆心在y 轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得⎩⎨⎧=-=,5.14,5.1022r b 所以这个圆的方程是x 2+(y+10.5)2=14.52.设点P 2(-2,y 0),由题意y 0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y 0+10.5)2=14.52,解得y 0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2+y 2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程. 活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.圆x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即22)0()1(-+-b a =r+1, ①由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-•-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b 解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36.点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(-41,47). 又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22=+-, 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r ＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.（四）知能训练课本本节练习1、2.（一）拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2221B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||B A C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.（六）课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.（七）作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A 组第2、3题.。
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案高二数学必修2 第四章圆与方程第四章圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,ab r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上?2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外?2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内?2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径?点在圆外?_________________.2°点到圆心的距离等于半径?点在圆上?_________________.3°点到圆心的距离小于半径?点在圆内?_________________.二、合作探究例1：ABC ?的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆；(ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________；(ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ?的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。
高中数学 411圆的标准方程教案 新人教A版必修2 教案
4.1.1 圆的标准方程【教学目标】１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．【教学重难点】教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．（二）检查预习、交流展示求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．（三）合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；点评：圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4答案：(1) 圆心是(3,2),半径是5；(2) 圆心是(－４,－３),半径是7；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．例２ (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解：(1) 解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．点评：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．变式训练２：求证：以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．证明：略．（四）反馈测试导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．【板书设计】探究一：圆的标准方程1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式特点例1变式训练１例２变式训练２课堂小结【作业布置】导学案课后练习与提高学校--临清实高学科--数学编写人—X肖审稿人--周静4.１.1 圆的标准方程课前预习学案一．预习目标回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．二．预习内容1：圆的定义是怎样的？2：圆的特点是什么？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．二．学习过程探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2 +(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2 =7；(3)(x+2)2+ y 2=4例２ (1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式训练２：求证：以A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0．三．反思总结四．当堂检测１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是 （ ）A ．(1,－2),4B ．(1,－2),2C ．(－1,2),4D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．参考答案:１．Ｄ ２．22(3)2x y -+=课后练习与提高１．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（ ）Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4２．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( )Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定３．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（ ）Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．122=+y xＣ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。
高二数学(人教版)必修2导学案设计：4.1.1圆的标准方程(无答案)
圆的标准方程【课标要求】 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。
【学习目标】 1.能在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。
2.能根据圆的标准方程写出圆心和半径，会根据条件求圆的方程。
【学习重、难点】 重点：圆的标准方程的求法及其应用。
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程，以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
【问题探究】 请认真阅读教材P118—P119例1以前的内容，完成下列问题： 1.在直角坐标系中，当_________与_________确定后，圆就唯一确定了。
因此，确定圆的最基本的要素是_____________ 2.在直角坐标系中，设),(y x M 是圆心为),(b a A ，半径为r 的圆上任意一点，你能根据圆的定义推到出圆的标准方程吗？ 3.（1）圆的标准方程有哪些特征？ （2）圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为_______________ 4.（1）若点),(00y x M 在圆222r y x =+内，则满足条件____________（2）若点),(00y x M 在圆222r y x =+外，则满足条件____________同理，（3）若点),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-内，则满足条件____________（4）若点),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-外，则满足条件____________【例题剖析】例1：完成教材P119例1例2：完成教材P119例2 思考：（1）你能说说本题的解题思路吗？ （2）你能根据三角形外心的定义给出其他解法吗？ 例3：完成教材P120例3思考：（1）你能用类似例2的方法解答本题么？（2）比较例2和例3，你能说说求任意ABC ∆外接圆方程的方法有几种？ 试比较各自的优越性。
【自主测评】独立完成教材P120练习1，3，4（两种方法） 【作业布置】习题4.1A 组3，4，5， 【本节收获】通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？。
浙江省台州市临海市第六中学高中数学必修2第4章圆与方程章末复习导学案
一、学习目标知识目标：会用待定系数法求圆方程；会用代数和几何方法判断直线和圆位置关系。
能力目标：能用“数形结合”解决直线和圆有关问题，及与圆有关最值问题。
情感目标：“数形结合”解决问题方法告诉学生解决数学问题手段不是单一的，只要你理解透彻，能够把抽象、复杂问题转化成简单、好理解数学问题，给学生展示了数学美，激发了学生学习兴趣。
二、重点: 待定系数法求圆方程；代数和几何方法判断直线和圆位置关系。
难点:用“数形结合”解决直线和圆有关问题，及与圆有关最值问题。
三、预习导引四、精讲点拨用待定系数法求圆方程时，根据条件未知的个数列方程个数；能用代数和几何方法判断直线和圆位置关系。
能用“数形结合”解决直线和圆有关问题，及与圆有关最值问题。
五、典题训练题型一求圆的方程求圆的方程需要三个独立条件．待定系数法是求圆的方程的基本方法，当题设中圆心的条件明确时，常设标准方程；当题设中圆与圆心、半径关系不密切，或更突出方程的二次形式时，常设圆的一般方程．例1根据条件求下列圆的方程：(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．跟踪训练1已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9，Q′为PQ的中点．(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B.直线P A，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB的方程．题型二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形；(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线，求过点(x 0，y 0)的圆的切线方程时，要判断点(x 0，y 0)在圆上还是在圆外，若点(x 0，y 0)在圆外，则切线有两条，要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，则切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.例2 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 思维启迪：设出切线方程→利用圆心到直线的距离等于半径求得参数→ 利用关系⎝⎛⎭⎫L 22＝r 2－d 2求得a 值跟踪训练2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P ，且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．题型三 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f (x ，y )＝0，求y x，y －x ，x 2＋y 2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x ，y )是圆上任意一点，分别把给定的式子y x，y －x ，x 2＋y 2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．例3 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．跟踪训练3 如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求：(1)y x的最大值与最小值； (2)x ＋y 的最大值与最小值．题型四 数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做选择、填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．例4 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512B.⎝⎛⎭⎫512，＋∞C.⎝⎛⎦⎤13，34D.⎝⎛⎦⎤512，34跟踪训练4 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（）A ．|b |＝2B ．－1<b ≤1或b ＝－2C ．－1≤b ≤1D ．非A 、B 、C 的结论六、归纳小结初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点 等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．七、作业布置。
高中数学 411圆的标准方程教案1 新人教A版必修2 教案
创设情境引入新课逐步探究发现新知忆一忆：两点间的距离：22121212()()PP x x y y=-+-看一看：圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式。
说一说：问题1：生活中还有哪些物体是圆？画一画：问题2：如何画圆？分两组画圆，一组用圆规，一组用图钉、小绳、白板笔。
想一想：问题3：根据上面的画法，什么叫圆？议一议：问题4：在直角坐标系中，确定圆需要哪些要素？探究新知：圆的标准方程以C(a,b)为圆心,以r半径的圆的方程是什么？设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r.所以，圆C就是集合P = { M | |MC| = r }22()()x a y b r-+-=①两边平方得：(x–a)2 + (y–b)2 = r2教师出示问题学生抢答教师用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形。
学生各抒己见，根据自己生活经验作答学生画图（分组）学生思考并回顾圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，教师引导发现圆的两要素：圆心、半径。
同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这个方程具有什么特征？这就是缓解学生紧张情绪，同时为后面推导圆的方程提供理论依据教师从学生熟知的生活情境导入新课，有利于激发学生的学习兴趣，让学生体会数学与生活的紧密联系，然后引导学生回顾圆的定义，既引出新课，又为下面求圆的标准方程做铺垫。
通过实操让学生复习回顾初中圆的方程的定义，符合聋生的学习习惯。
通过演示让学生知道在直角坐标系中确定圆需要两个要素：圆心坐标和半径通过学生自己证明培养学生的探究能力.利用条件抽象概括出②知识点一：圆的标准方程圆心C(a,b),半径r(r>0)(x–a)2 + (y–b)2 = r2思考1：圆的方程形式有什么特点？思考2：当圆心在原点时，圆的方程是什么？若圆心为原点O（0，0），则圆的方程为：x2 + y2 = r2本堂课的主要内容，教师板书本节课题:圆的标准方程.小组合作的形式让学生独立完成。
浙江省台州市临海市第六中学高中数学必修二第三章直线与圆复习课导学案
一、学习目标1.学习本章的基本知识的基础上进一步提炼思想方法掌握待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
2.掌握对称问题的求法二、重点、难点数学思想方法的应用三、预习导引四、精讲点拨题型一待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法求解．选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等．例1直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．方法一：方法二：方法三：跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．题型二数形结合思想的应用数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合．例2求函数y＝|x2－2x＋5－x2－4x＋5|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值．跟踪训练2已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值．题型三分类讨论思想的应用本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在．例3过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．跟踪训练3已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．1．中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a －x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等．2．轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．例4已知直线l：y＝3x＋3，试求：(1)点P(4, 5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．跟踪训练4在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．五、作业布置校本作业。
高一数学必修2《圆的标准方程》导学案设计
圆的标准方程学习目标：（1） 掌握确定圆的几何要素；（2） 掌握圆的标准方程的推导步骤；（3） 掌握圆的标准方程，能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径；（4） 会判断点与圆的位置关系；（5） 会根据不同条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求解方法。
一、导入与探究 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。
”数学上经常用代数方法———____________来研究几何问题。
1.在平面直角坐标系中，________确定一条直线,_________和____________也可确定一条直线.2.圆的定义：________________________________________________________________________;由此知，在平面直角坐标系中，由_____________和_____________确定一个圆.3.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x M 为这个圆上任意一点，则由圆的定义知 ___________________________________代数式为___________________________________化简得 ___________________________________若点),(y x M 在圆上，显然点),(y x M 的坐标适合上述方程；反之，点),(y x M 的坐标适合上述方程，则说明点),(y x M 到圆心(,)C a b 的距离等于____，即点M 在以C 为圆心的圆上。
4.圆心为点(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：_________________________________5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的标准方程是： 圆心在坐标原点、半径为1的圆的标准方程是：二、巩固练习1.写出下列各圆的标准方程：（1） 圆心在C(-3，4)，半径等于5；（2） 圆心在点C(8，-5)，且经过点M(5,1)；（3） 已知A(2,5)，B(0，-1)，线段AB 为圆的直径。
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编写：临海六中数学组
一、学习目标
1．掌握圆的定义及标准方程；
2．能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
二、重点：掌握圆的标准方程及其应用
难点：圆的标准方程的应用
三、预习导引
1．圆的定义：在平面内，到的距离等于的点的集合叫做圆．确定一个圆的基本要素是和．
2．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是，当圆的圆心在坐标原点，圆的半径为r时，则圆的标准方程是.
3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外;点P在圆上；点P 在圆内.
四、精讲点拨
[问题情境]
在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题．
探究点一圆的标准方程
问题1圆是怎样定义的？
问题2圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
问题3设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r＞0)．设M(x，y)
为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是什么？
问题4如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？
问题5用坐标表示点M适合的条件并化简将得到什么等式？
问题6如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2就是圆心坐标为A(a，b)，半径为r的圆的方程？
小结方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2就是圆心为A(a，b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．
问题7点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？
探究点二圆的标准方程的应用
问题从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？
五、典题训练
例1写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1 (5，－7)，M2(－5，－1)是否在这个圆上．
跟踪训练1已知点A(1,2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a) 2＝2a2的内部，求a的取值范围．
例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)．求它的外接圆的方程．
小结本例是用待定系数法求圆的标准方程，即先设出圆的标准方程，把已知条件代入方程，得到关于a，b，r的三个方程组成的方程组，解方程组求出a，b，r，再将a，b，r 的值代入标准方程．
跟踪训练2已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
小结本例充分利用了圆的几何性质得到圆心所在的位置是两条直线的交点，然后利用代数的方法通过解方程组求出了圆心坐标，最后利用两点间的距离公式求出了半径．这种思考的方法称为几何法，有些与圆有关的问题充分利用几何性质求解往往比较简便．本例也可用待定系数法求圆的标准方程．
跟踪训练3用待定系数法求例3中的圆的标准方程．
六、归纳小结
1．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．
2．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．
3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解.
七、当堂检测
1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为()
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是()
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．无法判断3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
八、作业布置
1.课本P124 A
2.(1)、3、4 B 1、2、3
2.校本作业§4.1.1 圆的标准方程。