辽宁省沈阳市第二中学2016届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题

沈阳二中2015—2016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学(文科)试题命题人：石 莹 审校人：石 莹说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合{}33Αx x =-<<，{}|(4)(2)0Βx x x =+->，则ΑΒ= （ ）（A ）{}|32x x -<< （B ）{}|23x x << （C ）{|32}x x -<<- （D ）{|4x x <-或3}x >- 2. 已知i 是虚数单位，复数()21,i z i =-+则z 的共轭复数是（ ）（A ）1i -+ （B ）1i - （C ） 1i -- （D ）1i + 3. 已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m 的值为（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12 （D ） 12- 4. 在等比数列{}n a 中，11,a =则“24a =”是“316a =”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 已知倾斜角为的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为( ) （A ）45（B ）45- （C ）2 （D ）12-6. 已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为( ) （A ）35- （B ）45 （C ）35 （D ）45-7. 右面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，12]内则输入的实数x 的取值范围是( )（A ） (],1-∞- （B ） 1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）1(,1],24⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ （D ）1(,0),24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦8. 若,x y 满足30,10,,x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）7- （D ）79. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）10. 一艘轮船从O 点正东100海里处的A 点处出发，沿直线向O 点正北100海里处的B 点处航行.若距离O 点不超过r 海里的区域内都会受到台风的影响，设r 是区间[50,100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为( )（A ）20.7%（B ）29.3%（C ）58.6%（D ）41.4%11. 过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:2222>=-b a by a x C 的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率取值范围是（ ）（A ）(]2,1 （B ）()+∞,2 （C ）()2,1 （D ） ()2,1 12. 已知0x 是函数)),0((ln sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的零点，21x x <，则 ①),1(0e x ∈；②),(0πe x ∈；③0)()(21<-x f x f ；④0)()(21>-x f x f 其中正确的命题是（ ）（A ）①④ （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③第Ⅱ卷 （90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸．．．上.） 13. 函数()log (2)a f x x =-必过定点 。

14. 各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为 。

15. 如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为 。

16．322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为 。

三、解答题：（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，10cos ,10A =25sin sin sin sin 5a Ab Bc C a B +-=. （1）求B 的值；（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S .18. （本小题满分12分）据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元。

某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况：（Ⅰ）计算,x y 的值；在抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；消费金额 (0,200)[)200,400 [)400,600 [)600,800 [800,1000]人数5101547x消费金额 (0,200)[)200,400 [)400,600 [)600,800[800,1000]人数2 310y2（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为 “网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”附：20()P k k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.0050k2.7063.841 5.024 6.635 7.879（22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是 棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA AD =，且平面PAD ⊥平 面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M ,使得EM ⊥平面PCD ?（请说明理由）20. （本小题满分12分） 如图椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为32，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）直线AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q .（i ）当82||5AP =时，求直线AP 的斜率； （ii ）是否存在直线AP ，使得||3||PQ AP =? 若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在， 说明理由.女士 男士 总计 网购达人 非网购达人 总计F BD CP EAyxOBA21. （本小题满分12分） 函数()e (21)x f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AF 是圆E 切线,F 是切点, 割线ABC BM 是圆E 的直径，EF 交AC 于D ，AC AB 31=，030=∠EBC ,2MC =. （1）求线段AF 的长；（2）求证：ED AD 3=.23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）， 2C ：6cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=-，Q 为2C 上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线3:cos 3sin 823C ρθρθ-=+ 距离的最小值.24. （本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1m x --≥，其解集为[0,4]. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.沈阳二中2015—2016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学(文科)试题答案一. 选择题:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B DCABDCBCCAA二. 填空题:13. （3,0） 14.78 15. 2 16. (3，3.5) 三.解答题:17.解：（1） 25sin sin sinC sin 5a Ab Bc a B +-=，∴222255a b c ab +-=． ∴2225cos 25a b c C ab +-==． ……………………3分 又 A B C 、、是ABC ∆的内角， ∴31025s i n ,s i n 105A C ==． ()105310252cos cos cos sin sin 1051052A C A C A C +=-=⨯-⨯=-， 又 A B C 、、是ABC ∆的内角，∴0A C π<+<，∴34A C π+=．∴()4B A C ππ=-+=． ……………………8分（2） sin sin c b C B =，∴sin 410sin bc C B=⨯=． ∴ABC ∆的面积11310sin 10410602210S bc A ==⨯⨯⨯= ……………………12分 18.解：（Ⅰ）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名 …………………………1分80(5101547)3x ∴=-+++= ……………………………………………2分 20(23102)3y =-+++= …………………………………………3分抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者中有三位女性设为,,A B C ；两位男性设为,a b ，从5人中任选2人的基本事件有：(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b ,(,),(,),(,)B C B a B b ,(,),(,)C a C b ,(,)a b 共10件……4分设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件A事件A 包含的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b 共6件…………………………………5分63()105P A ∴==…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）22⨯列联表如下表所示女性 男性 总计…………………………………………8分则22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2100(5015305)80205545⨯-⨯=⨯⨯⨯9.091≈ ………………………………………10分 9.091 6.635> ………………………………………11分答：我们有99%的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关……………………12分19.（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形， 所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB ∥平面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ．……………………4分 （Ⅱ）在正方形ABCD 中，CD AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD 平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面PAD ．又AF ⊂平面PAD 所以C D A F ⊥．由（Ⅰ）可知AB ∥EF ，又因为AB ∥CD ,所以CD ∥EF .由点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点． 在△PAD 中，因为PA AD =，所以AF PD ⊥．又因为PD CD D = ，所以AF ⊥平面PCD ．…………………………………8分 （Ⅲ）不存在．假设线段PB 上是否存在点 M ,使得EM ⊥平面PCD取AB 中点N,连接NE,易知EM ∥AF ,EN ∥AF ,过E 有两条直线与AF 平行 矛盾 线段PB 上不 存在点 M ,使得EM ⊥平面PCD …………………………12分20. 解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，所以4a =. ………….1分网购达人 50 5 55 非网购达人 30 15 45 总计80 20 100F B DCP EA又离心率为32，所以3e 2c a ==，所以23c =, ……………….2分 所以2224b a c =-=, 所以W 的方程为221164x y +=. …………….3分（Ⅱ）（i ）设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率，设直线AP 的方程为(4)y k x =+， 与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=， ………………….4分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+ 由2182||1|(4)|5AP k x =+--=， 代入得到228182||145k AP k +==+，解得1k =±, 所以直线AP 的斜率为1,1-. …….8分（ii ）圆心到直线AP 的距离为2|4|1k d k =+，222168||216211A Q d k k=-==++.因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， ………………………….10分 代入得到222222228||14331113||1118114PQ k k k AP k k k k k ++=-=-==-+++++. ……………….11分 显然23331k-≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………….12分 21. 解：（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-， …………1分由于'(0)0f =，当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >， 当(,0)x ∈-∞时，0<e 1,211x x <+<，∴'()0f x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. ………………3分（2）①由()0f x <得()()e211xx a x -<-．当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，()e 211x x a x ->-；当1x <时，()e 211x x a x -<-.HCM B E D FA记()g x =()e 211x x x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数．∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=．分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． ……………………8分②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a <≤. ……………………10分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a <⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤.综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． ……………………12分22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为BM 是圆E 直径所以, 090=∠BCM ，又2MC =,030=∠EBC ，所以32=BC ，…………………………………2分 又,31AC AB =可知321==BC AB ，所以33=AC 根据切割线定理得： 93332=⨯=⋅=AC AB AF ，即3=AF … …………………………………5分 （Ⅱ）过E 作BC EH ⊥于H ，则ADF EDH ∆∆～， 从而有AFEHAD ED =，………………………………………8分 又由题意知，BC CH 321==2=EB 所以1=EH ， 因此31=AD ED ，即ED AD 3= …………………………………10分 23.解:（Ⅰ）221:(4)(3)1,C x y -++=， 222:1364x y C += 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆. ………………………………………3分2C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆.…………………………………………………………4分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)P -，………………………………………………………5分 设(6cos ,2sin )Q θθ 则(23cos ,2sin )M θθ+-+，3C 为直线3(823)0x y --+=，……………………………………7分M 到3C 的距离(23cos )3(2sin )(823)2dθθ+--+-+=3cos 3sin 62θθ--=23cos()662πθ+-=33cos()6πθ=-+从而当cos()1,6πθ+=时，d 取得最小值33- ………………………………10分24.解：（Ⅰ）不等式|2|1m x --≥可化为|2|1x m -≤-，∴121m x m -≤-≤-，即31m x m -≤≤+, ……………………………………2分∵其解集为[0,4]，∴3014m m -=⎧⎨+=⎩ ，3m =. ………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）3a b +=，∵ 222()2a b a b ab +=++222222()()2()a b a b a b ≤+++=+，∴ 2292a b +≥，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92.……………10分 （方法二：）∵ 222222()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=，∴ 2292a b +≥，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92.……………10分 （方法三：）∵3a b +=，∴3b a =-，∴222222399(3)2692()222a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92.………………………10分。