课时作业55 曲线与方程
高考数学总复习课时作业55曲线与方程理北师大版
A 级1．已知两点M( －2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，知足→→→ →| MN|·|MP|＋MN· NP＝ 0，则动点P( x，y) 的轨迹方程为 ()A．y2＝ 8x B．y2＝－ 8xC．y2＝ 4x D．y2＝－ 4x2．方程 ( x2＋y2－ 4)x＋ y＋1＝0的曲线形状是 ()3．已知点P 在定圆 O的圆内或圆周上，动圆C过点 P 与定圆 O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是 ()A．圆或椭圆或双曲线B．两条射线或圆或抛物线C．两条射线或圆或椭圆D．椭圆或双曲线或抛物线4．设点A为圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1上的动点， PA是圆的切线，且| PA|＝1，则 P 点的轨迹方程为 ()A．y2＝ 2x B． ( x－ 1) 2＋y2＝ 4C．y2＝－ 2x D． ( x－ 1) 2＋y2＝ 25．长为 3 的线段的端点，B 分别在x轴、y轴上挪动，→＝ 2→，则点C的轨迹AB A AC CB是 ()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线0，y→→6．平面上有三点A( －2，y) ，B2， C( x， y)，若 AB ⊥B C，则动点 C 的轨迹方程为 ________．7．已知△ABC的周长为6，A( － 1,0)， B(1,0)，则极点 C的轨迹方程为________．8．已知定点A(2,0) ，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________．9．已知⊙O 的方程是x2＋y2－ 2＝0，⊙′的方程2＋y2－ 8 ＋10＝ 0，由动点P向⊙OO x x和⊙ O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．10．已知点A( － 1,0)， B(2,4)，△ ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．→→11．已知点A(－2,0)， B(2,0)，曲线C上的动点P知足 AP· BP＝－3，(1)求曲线 C的方程；(2) 若过定点M(0，－2)的直线 l 与曲线 C有交点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．B 级1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)， B(－1,3)，若点 C→→→知足 OC＝λOA＋λ OB( O12为原点 ) ，此中λ，λ ∈R，且λ ＋λ ＝1，则点C的轨迹是()1212A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线2．(2011 ·北京卷 ) 曲线C 是平面内与两个定点1(－1,0)和2(1,0)的距离的积等于常F F数a2(a＞1)的点的轨迹．给出以下三个结论：①曲线 C过坐标原点；②曲线 C对于坐标原点对称；③若点P 在曲线C上，则△12 的面积不大于12.F PF2a此中全部正确的结论的序号是________．3．(2012 ·山西省考前适应性训练) 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点 F1， F2在 y 轴上，它的一个极点为(2，0) ，且中心到直线AF的距离为焦距的1的直线，过点 (2,0)14l 与椭圆交于不一样的两点，，点N在线段上．P Q PQ(1)求椭圆的标准方程；(2)设| PM|·|NQ|＝ | PN| ·|MQ| ，求动点N的轨迹方程．详解答案课时作业 ( 五十五 )A级1．B |→| ＝ 4，|→| ＝x＋ 22＋2，→·→＝4(x－2) ，MN MP y MN NP∴ 4x＋22＋ y2＋4( x－2)＝0，∴ y2＝－8x.2． C由题意可得x2＋ y2－4＝0，或 x＋ y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆 x2x＋y＋1≥0，＋ y2－4＝0在直线 x＋ y＋1＝0右上方的部分．3．C当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆 O内切或外切， O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点 P 在定圆 O内时(非圆心)，| OC|＋| PC|＝ r 0为定值，轨迹为椭圆；当 P与 O重合时，圆心轨迹为圆．4． D如图 ，设 P ( x ，y ) ，圆心为 M (1,0) ．连结 MA ，则 MA ⊥PA ，且 | MA |＝ 1，又∵ | PA | ＝ 1， ∴| PM |＝ | MA |2＋| PA | 2＝ 2，即 | PM |2＝2，∴ ( x －1) 2＋ y 2＝ 2.5． C 设 C ( x ，y ) ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ，则 a 2＋ b 2＝ 9，①又 →＝ 2→ ，因此 (x － ， ) ＝2( － ， b － ) ，ACCB a yx y＝ 3 x ，a即3 ② b ＝ 2y ，2y 2把②代入①式整理可得 x ＋ 4 ＝ 1. 应选 C.→y →y6．分析：AB ＝ 2，－2 ， B C ＝ x ， 2 .→→→ → y y2∵ AB ⊥ B C ，∴ AB ·BC ＝0，得 2·x － 2·2＝ 0. 得 y ＝ 8x .答案：y 2＝ 8x7．分析： ∵A ( － 1,0) ， B (1,0) ，∴ | AB | ＝ 2，又∵△ ABC 的周长为 6，∴ | CA | ＋| CB | ＝ 4>2，∴ C 点的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆 ( 去掉左、右极点 ) ．22∵ 2a ＝4， c ＝ 1，∴ b ＝ a － c ＝ 3.x 2 y 2∴轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝ 1( x ≠± 2) ．答案：x 2＋ y 2＝ 1( x ≠± 2)438．分析：设 ( 1，1)， ( ， ) ，则y 12＝ 1，①P xy M x yxx 1＋ 2x ＝ 2x 1＝ 2x － 2又 M 为 AP 中点，∴，即 ，y1y 1＝ 2y ＝ 2代入①得答案：221(2 y ) ＝ 2x － 2，即 y ＝ 2( x －1) ．21y ＝ 2( x － 1)9．分析：由⊙ O ： x 2＋y 2＝ 2，⊙ O ′： ( x － 4) 2＋ y 2＝ 6 知两圆相离，而 2＝2－ 2，2＝ ′ 2－6，PTPO PQ PO22－6，设 P ( x ， y ) ，∴ PO － 2＝ PO ′222 23即得 x ＋ y － 2＝ ( x － 4) ＋ y －6，即 x ＝2.答案： 3x ＝2222010．分析： ∵AB ＝ 3 ＋4 ＝ 5，∴ AB 边上高 h ＝ 5 ＝4.故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线．∵ k AB ＝ 4，3的方程为 4 － 3 y ＋ 4＝0，可设轨迹方程为 4 x－ 3 ＋ ＝ 0.ABx y c由| c －4|＝ 4 得 c ＝ 24 或 c ＝－ 16，5故动点 C 的轨迹方程为： 4x － 3y － 16＝ 0 或 4x － 3y ＋ 24＝ 0.11．分析：(1) 设 P ( x ， y ) ，→ → 2 2由 AP ·BP ＝ ( x ＋2， y ) ·(x － 2， y ) ＝x － 4＋ y ＝－ 3，得 P 点轨迹 ( 即曲线 C ) 的方程为 x 2＋y 2 ＝1，即曲线 C 是圆．(2) 可设直线 l 方程为 y ＝ kx － 2，其一般方 程为： kx － y － 2＝0，由直线l 与曲线 C 有交点，得 |0 －0－ 2|k ≤－ 3或 k ≥ 3，≤1，解得k 2＋ 1即所求 k 的取值范围是 ( －∞，－3] ∪[ 3，＋∞ ) ．B 级1． A 设( ， y ) ，则 →＝ ( x ， y )，→＝(3,1) ， → ＝( － 1,3) ，C xOC OAOB→→→x ＝ 3λ 1－ λ2∵ OC ＝λ1OA ＋ λ2OB ，∴，又 λ1＋ λ 2＝ 1，y ＝λ1＋ 3λ2∴ x ＋2 y － 5＝ 0，表示一条直线．2．分析：设 ( ， y ) 为曲线C 上随意一点，A x122则由 | AF | ·|AF | ＝a ，得C ： x ＋ 1 2＋ y 2· x － 12＋y 2＝ a 2，把 (0,0) 代入方程可得 1＝ a 2，与 a ＞ 1 矛盾，故①不正确； 当 M ( x ， y ) 在曲线 C 上时，点 M 对于原点的对称点 M ′( － x ，－ y ) 也知足方程，故曲线C 对于原点对称，故②正确；1 S △ F 1PF 2＝ | PF 1|| PF 2|sin ∠ F 1PF 221＝2a2sin 答案：1∠F1PF2≤2a2，故③正确．②③y2x23．分析：(1) 设椭圆的标准方程是a2＋b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个极点是A( 2 ，0) ，故b2＝2.1π1b2依据题意得，∠ AFO＝6，sin∠ AFO＝a，即 a＝2b， a ＝8，因此椭圆的标准方程是y2＋ x2＝1.82(2) 设P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，N( x，y) ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝ (－2) ．k x直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：( k2＋ 4) x2－ 4k2x＋ 4k2－ 8＝ 0.由＝16k 4－ 4(k2＋ 4)(4k2－ 8)>0 ，得－ 2< <2.k依据根与系数的关系得x1＋x2＝4k22，4k2－ 84＋kx x4＋k又 | PM|·|NQ| ＝| PN| ·|MQ|，即 (2 －x1)( x2－x) ＝ ( x－x1)(2 －x2) ．解得 x＝1，代入直线 l 的方程得 y＝－ k， y∈(－2,2)．因此动点 N的轨迹方程为 x＝1，y∈(－2,2)．。
高中数学选修2-1课时作业5：2.1.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程1.方程y=3x-2(x ≥1)表示的曲线为( ).A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定[答案]:B[解析]:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x ≥1时,它表示一条射线.2.已知曲线C 的方程为2x 2-3y-8=0,则有( ).A.点(3,0)在C 上B.点20,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上C.点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上D.点80,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上 [答案]:D[解析]:经逐一检验知只有点80,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标适合曲线C 的方程,故只有点80,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线C 上.3.方程y=2||x x 表示的曲线的图象大致为( ).[答案]:C[解析]:当x>0时,y=21x x x =;当x<0时,y=2x x -=-1x ,即y=1,x 0,1,x 0.x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩ 4.一动点C 在曲线x 2+y 2=1上移动时,它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ).A.(x+3)2+y 2=4B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.232x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+y 2=1 [答案]:C[解析]:设C (x 0,y 0),P (x ,y ).依题意有003,2.2x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以002x 3,2y.x y =-⎧⎨=⎩ 由于点C (x 0,y 0)在曲线x 2+y 2=1上,所以(2x-3)2+(2y )2=1,即点P 的轨迹方程为(2x-3)2+4y 2=1.5.已知A (-1,0),B (2,4),△ABC 的面积为10,则动点C 的轨迹方程是( ).A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0[答案]:B[解析]:5.由于S △ABC =12|AB|·h=10, ∴h=4,即顶点C 到AB 所在直线的距离为4.易知AB 所在直线的方程为4x-3y+4=0. 设点C (x ,y ),则|434|5x y -+=h=4,∴4x-3y+4=±20. 6.平面内有两定点A ,B 且|AB|=4,动点P 满足|PA PB +u u u r u u u r |=4,则点P 的轨迹是( ).A.线段B.半圆C.圆D.直线[答案]:C[解析]:以AB 的中点为原点,以AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系,则A (-2,0),B (2,0).设P (x ,y ),则PA PB +u u u r u u u r =2PO uuu r =2(-x ,-y ).∴x 2+y 2=4.7.方程x 2+y 2-3x-2y+k=0表示的曲线经过原点的充要条件是k= .[答案]:0[解析]:若曲线过原点,则(0,0)适合曲线的方程,即02+02-3×0-2×0+k=0,得k=0.8.已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN u u u u r |·|MP u u u r |+·MN NP u u u u r u u u r =0,则动点P (x ,y )的轨迹方程为 .[答案]:y 2=-8x[解析]:设点P 的坐标为(x ,y ),则MN u u u u r =(4,0),MP u u u r =(x+2,y ),NP uuu r =(x-2,y ).∴|MN u u u u r |=4,|MP u u u r|=MN u u u u r ·NP uuu r =4(x-2). 由已知条件得4(2-x ),整理得y 2=-8x.∴点P 的轨迹方程为y 2=-8x.9.在△ABC 中,A (-2,0),B (0,-2),顶点C 在曲线y=3x 2-1上移动,求△ABC 的重心的轨迹方程.解:设△ABC 的重心为G (x ,y ),顶点C 的坐标为(x 1,y 1).由重心坐标公式得1120,302,3x x y y -++⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∴113x 2,3y 2.x y =+⎧⎨=+⎩代入y=3x 2-1中,得3y+2=3(3x+2)2-1.∴所求轨迹方程为y=9x 2+12x+3. 10.若曲线y 2-xy+2x+k=0过点(a ,-a )(a ∈R ),求k 的取值范围.解:∵曲线y 2-xy+2x+k=0过点(a ,-a ),∴a 2+a 2+2a+k=0.∴k=-2a 2-2a=-221122a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴k ≤12.∴k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
课时作业11：2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.1 曲线与方程的概念基础巩固一、选择题1．设圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝2，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，点P 的坐标为(2,1)，那么( )A ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上B ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上C ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上D ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上2．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A ．x 2＋y ＝0与xy ＝0 B.x ＋y ＝0与x 2－y 2＝0 C ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x D ．x －y ＝0与y ＝lg10x4．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( ) A ．±3 B ．0 C ．±2D. 一切实数 5．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( ) ①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③D ．②③④6．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点是( )A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(22，5)D ．(±2,1)或(±25，5) 二、填空题7．如图所示曲线方程是__________________．8．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．三、解答题9．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为32，求m的值．能力提升一、选择题1．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是()A．直线2x－y＝0B．直线2x＋y＋3＝0C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝02．设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P，那么曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定() A．经过P点B．经过原点C．经过P点和原点D．不一定经过P点3．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示曲线是()A．圆B．两条直线C．一个点D．两个点4．曲线y＝－1－x2与曲线y＝－|ax|(a∈R)的交点个数一定是()A．2B．4C．0D．与a的取值有关二、填空题5．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是________．6．已知直线y＝2x－5与曲线x2＋y2＝k，当________时，有两个公共点；当________时，有一个公共点；当________时，无公共点．7．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为____．三、解答题8．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，且|AB|＝5，求实数b的值．9．求方程|x2－1|＝x＋b的解的个数．参考答案基础巩固一、选择题 1．【答案】 C【解析】 将P (2,1)代入圆M 和直线l 的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P (1,2)既在圆(x －3)2＋(y －2)2＝2上也在直线l ：x ＋y －3＝0上，故选C. 2．【答案】 C【解析】 根据曲线与方程的概念知． 3．【答案】 D【解析】 ∵lg10x ＝x ，故x －y ＝0与y ＝lg10x 表示相同的曲线． 4．【答案】 A【解析】 两曲线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3. 5．【答案】 D【解析】 y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x －3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0，Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点； 同理y ＝－2x －3与x 22±y 2＝1也有交点．故选D.6．【答案】 B【解析】 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2. 二、填空题 7．【答案】 |y |＝x【解析】 曲线表示两条射线y ＝x (x ≥0)和y ＝－x (x ≥0)∴曲线方程为|y |＝x . 8．【答案】 四个点【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2.故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点． 三、解答题9．解：设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立直线与曲线得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，(1)y ＝x 2.(2)将(2)代入(1)得x 2＋x －m ＝0， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋(－1)2·|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·1＋4m ＝32，所以1＋4m ＝3，所以m 的值为2.能力提升一、选择题 1．【答案】 C【解析】 ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)， ∴原方程表示两条直线2x －y ＝0和2x ＋y ＋3＝0. 2．【答案】 A【解析】 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知． 3．【答案】 C【解析】 由题意得x ＝2且y ＝－2为一个点． 4．【答案】 A【解析】 画出图形，易知两曲线的交点个数为2. 二、填空题5．【答案】 两条线段【解析】 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1∴曲线表示两条线段． 6．【答案】 k >5；k ＝5；0<k <5【解析】 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究． 7．【答案】 2【解析】 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2. 三、解答题8．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2.消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0， ①运用x 1＋x 2＝－b2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2 ＝5·(x 1－x 2)2＝5·b 24＋4＝5. 解得b 2＝4，b ＝±2.而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2.9．解：方程|x 2－1|＝x ＋b 的解的个数就是曲线y ＝|x 2－1|和y ＝x ＋b 的公共点的个数．作出曲线y ＝|x 2－1|，如图中实线部分，方程y ＝x ＋b 表示斜率是1，在y 轴上截距为b 的直线．当－1≤x ≤1时，y ＝|x 2－1|＝1－x 2. 将y ＝x ＋b 代入y ＝1－x 2， 令Δ＝0，得b ＝54.由图可知：当b <－1时，原方程无解； 当b ＝－1时，原方程只有一解； 当－1<b <1时，原方程有两解； 当b ＝1时，原方程有三解； 当1<b <54时，原方程有四解；当b ＝54时，原方程有三解；当b >54时，原方程有两解．。
2022届高考数学一轮复习课时作业曲线与方程
曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 26．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝17．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①③④2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A ，B ，C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30 km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 0秒(注：信号每秒传播V 0千米)．(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②A [由题意，2x 2－9xy ＋8y 2＝0化为：9xy ＝2x 2＋8y 2≥0，说明x ，y 同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y 换y ，方程发生改变，所以图形不关于x 轴对称，所以②不正确；以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以③正确；方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0，x ，y 互换，方程化为8x 2－9xy ＋2y 2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A.]4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5B [如图，由椭圆方程x 2＋y 25＝1，得a 2＝5，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝2，则A (0，－2)，B (0,2)为椭圆两焦点，∴|CA |＋|CB |＝2a ＝25，∵|PC |＝|BC |， ∴|P A |＝|PC |＋|CA |＝|BC |＋|CA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.]5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程 ①△ABC 周长为10 C 1：y 2＝25 ②△ABC 面积为10 C 2：x 2＋y 2＝4(y ≠0) ③△ABC 中，∠A ＝90°C 3：x 29＋y 25＝1(y ≠0)A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 2A [①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②△ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝ (－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A.]6．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝1A [设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.]7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16(x ＞0，y ＞0) [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )， 则a 2＋b 2＝36.因为AP→＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．[解] 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22＜4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2， 所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解] (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM→＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．故选B.]2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．②③ [在△ABC 中，|BC |＝λ|AC |，当λ＝1时，|BC |＝|AC |，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，所以点C 的轨迹是一条直线．当λ＝2时，|BC |＝2|AC |，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，AD (图略)．设|BD |＝h ，则|BC |＝|CD |2＋h 2.设|AD |＝2a ，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，AD→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C (x ，y )，则A (－a,0)，D (a,0)，|CA |＝(x ＋a )2＋y 2，|CD |＝(x －a )2＋y 2，|CB |＝|CD |2＋h 2＝(x －a )2＋y 2＋h 2，所以(x －a )2 ＋y 2＋h 2＝2(x ＋a )2＋y 2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53a 2＋y 2＝16a 29＋h23，所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．[解] OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 22(1－λ2)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22(λ2－1)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④A [对于①，因为xy ＜0，所以x 与y 异号，故图象在第二和第四象限，即①正确．对于②，因为x 2＋y 2≥2xy (x ＞0，y ＞0)，所以xy ≤x 2＋y 22，所以(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16×(x 2＋y 2)24＝4(x 2＋y 2)2， 所以x 2＋y 2≤4，即②正确．对于③，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即③错误．把x ＝2，y ＝2代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(2，2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即④错误．故选A.]2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒(注：信号每秒传播V0千米)．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？[解](1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30,2a＝40，所以a＝20，则b＝105，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为x2400－y2500＝1，x＜0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝－x(x＜0)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ，x 2400－y 2500＝1，可得x ＝－205，y ＝205，观察员遇险地点坐标(－205，205)，观察员遇险地点与监测中心O 的距离为 2 000＋2 000＝2010.(3)由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2＋(y －30)2＝r 2，与x 2400－y 2500＝1，x ≤0联立，消去x 可得9y 2－300y ＋6 500－5r 2＝0， Δ＝90 000－36(6 500－5r 2)≥0，解得r ≥20 2.为保证有救援希望，扫描半径r 至少是202公里．。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业55曲线与方程+Word版含解析.docx
课时作业55曲线与方程［授课提示：对应学生用书第258页］一、选择题1.方程(x2+y2—4)yjx+y+1 =0的曲线形状是( )［x2+^2—4=0, 解析：由题意可得x+y+l= 0或,1兀十1刁0,它表示直线x+尹+1 = 0和圆x2-\~y2—4 = 0在直线x~\~y-\-1=0右上方的部分.答案：C2.设点/为圆(x-l)2+^2=l ±的动点，刃是圆的切线，且冋|=1,则P 点的轨迹方程为()A・y2 = 2x B. (x~l)2+y2=4C・y2=—2x D. (x—1 )2 +y2— 2解析：如图，设P(x, y),圆心为M(l,0)・连接MA,则胚4丄刊，且|胚4| =1.又・・・|冲|= _____・・・ | W =yf\MAf+\R4^=边，即|PA/|2=2, A(X-1)2+/=2.答案：D3.(2018-珠海模拟)己知点/(1,0),直线人y=2x~4,点7?是直线/上的一—►—►点，若RA=AP,则点P的轨迹方程为( )A. y= _2xB. y=2xC ・y=2x—8D ・y=2x+4―►—►解析：设P(x, y), R(X\, /),由RA=AP知，点A是线段RP的中点，"x+xi2 =1，[X!=2-X,・・・], 即Z±2L_n31 = —)人I 2 _山・・•点门)在直线y=2x~4上，••吵i=2x]—4, /. 一尹=2(2—x)一4,即y=2x.答案:B4.已知点弔，0),直线/：x=—点B是/上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析：由已知^\MF\ = \MB\,根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F 为焦点，直线Z为准线的抛物线.答案:D5・(2018-河北衡水六调，8)已知/(—1,0), B 是圆F：x2-2x+y2~\\=0(F 为圆心)上一动点，线段M的垂育平分线交貯于P,则动点P的轨迹方程为() 2 2 2 2A — 1 R U 1A.]?十][一1 匕6 35_,2 2 2 2C旨-牙=1 D. f+f = 1解析：由题意^\PA\=\PB\. :.\PA\+\PI^=\PB\+\PF]=r=2yl3>\AF]=29 :. 点P 的轨迹是以A. F为焦点的椭圆，且a=百,c=l, ・・・b=吊，・•・动点P的 2 7轨迹方程为〒+牙=1，故选D.答案：D―►6・已知/(一1,0), 5(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N,若Ml/—► —►=MN・NB,当久V0时，动点M的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线—►—► —►解析：设M(JC, y),则N(x,0),所以MN2=y2,1,0)・(1 —x,0)2=久(1 —工)，所以y2—A(1 —x2),即变形为X24~1.又因为久<0,所以动点M的轨迹为双曲线.答案：C二、填空题(ci｝苗,0)(Q>0),且7・在厶/BC屮，力为动点，B, C为定点，㊁，满足条件sinC—sin5=|sirk4,则动点A的轨迹方程是 ___________解析：由正弦定理得噗1—劈二养1!肆，即\AB\~\AC\=^BC\,故动点/是以B, C为焦点，号为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为爭一豊_=l(x>0且尹工0)・答案：今4—豊■=l （x>0且尹工0）8. （2018-河南开封模拟）如图，已知圆E ： （%+^3）2+/=16，点、F （书,0）, P 是圆E 上任意一点.线段PF 的垂宜平分线和半径PE 相交于0.则动点Q 的轨 迹厂的方程为 ___________________ .解析：连接0F,因为0在线段PF 的垂直平分线上，所^\QP\ = \QF\,得|0E| + \QF\ = \QE\ + \QP\ = \PE\=4.又|釦=2^3<4,得0的轨迹是以E, F 为焦点，长轴长为4的椭圆为亍+r 2答案：j+r=i9. （2018-中原名校联考，16）已知双曲线牙一長=1的左、右顶点分别为力2，点P （xi ，刃）,0（兀1，—yi ）是双曲线上不同于Ml 、力2的两个不同的动点，则 直线AiP 与A 2Q 交点的轨迹方程为 _____ ・解析：由题设知kd>V2, AK —迄,0）,缶（迈，0）,则有直线A X P 的方程为尸点尹+Q'①・・.兀工0,且\x\<^2,因为点P （%i ，yi ）在双曲线y —/=1 ±,所以号—卅=1・2将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为牙+#=1（详0,且详皿）・ 答案：牙+尸=1（兀工0,且 三、解答题10. 在平面直角坐标系兀0尹中，点B 与点/（—1,1）关于原点O 对称，P 是动 点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于一*・求动点P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点昇（一1,1）关于原点O 对称. 所以点B 的坐标为（1, 一1）・设点P 的坐标为（x,力，由题设知直线/卩与的斜率存在且均不为零，则尹一ly+1 _1 x+1 x— 1 3’联立①②，解得化简得/+3J?=4(X H±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y=4(x^±l)・11.如下图所示，从双曲线%2—y2=l ±一点0引直线x+y=2的垂线，垂足为N.求线段0N的中点P的轨迹方程.解析：设动点P的坐标为(兀，尹)，点0的坐标为(X[, 口), 则N(2x—x\2y—yi)代入x+y=2,得2x—xi+2y—y\ =2@又P0垂直于直线x+y=2,故=即x—y+y\ —X] =0.②3 1由①②解方程组得X!拐x+匆一1 ,代入双曲线方程即可得尸点的轨迹方程是2x2-2y2—2x~l-2y— 1 =0.[能力挑战]12.(2017-新课标全国卷III)在直角坐标系xOy屮，曲线y=x2+mx—2与x 轴交于力，B两点，点C的坐标为(0,1).当加变化时，解答下列问题：(1)能否出现/C丄BC的情况？说明理由；(2)证明过力，B, C三点的圆在尹轴上截得的弦长为定值. 解析：⑴不能出现/C丄BC的情况.理由如下：设^(%1 0), 5(X2 0)»则兀1，兀2 满足x2 + wx —2 = 0, 所以X|X2=—2・又点C的坐标为(0,1),—1 — 1 1 故AC的斜率与BC的斜率之积为丁•二一=—刁X\ X2Z所以不能出现MC丄3C的情况.由(1)可得xi+^2 —~m,所以的中垂线方程为x=-岁.，可得BC的中垂线方程为y-|=X2又X22+mxi—2 = 0, 可得］1/=_2-/=*x+|y_l所以过力，B, C三点的圆的圆心坐标为故圆在歹轴上截得的弦长为2 yp~^=3, 即过B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。
2018-2019学年人教A版选修2-1 2.1.1曲线与方程 课时作业
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程A级基础巩固一、选择题1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是()解析：对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x＞0，y＞0.答案：C2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝()A．±3B．0C．±2 D．一切实数解析：两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，所以k ＝±3.答案：A3．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0. 由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．答案：C4．方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的曲线是( )A ．两个半圆B ．两个圆C ．抛物线D ．一个圆 解析：方程|y |－1＝1－（x －1）2可化为(x －1)2＋(|y |－1)2＝1(|y |≥1)，y ≤－1时，(x －1)2＋(y ＋1)2＝1；y ≥1时，(x －1)2＋(y －1)2＝1；所以方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的曲线是两个半圆.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”，以下不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y 解析：因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差为8， 所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支，方程为x 216－y 24＝1(x ≥4)． A ：直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意；B ：x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C ：x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意； D ：方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以y ＝3，满足题意．故选B.答案：B二、填空题6．已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的点，则m ＝________．解析：根据点A 在曲线y ＝mx 2上，也在直线x －y ＝0上，则⎩⎨⎧2＝ma 2，a －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12.答案：127．已知A (0，1)，B (1，0)，则线段AB 的垂直平分线的方程是________．解析：设点M (x ，y )是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点M 属于集合P ＝{M ||MA |＝|MB |}， 由两点间距离公式得x 2＋（y －1）2＝（x －1）2＋y 2，化简得，y ＝x .答案：y ＝x8．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案：③三、解答题9．方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线C .若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值． 解：将点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 代入方程 x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2（m 2－1）＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2（n 2－1），所以m ＝±2，n ＝±12或±32. 10．求方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线． 解：依题意可得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.B 级 能力提升1．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示( )A ．过点P 且垂直于l 的直线B ．过点P 且平行于l 的直线C ．不过点P 但垂直于l 的直线D ．不过点P 但平行于l 的直线答案：B2．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案： π23．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ→＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0，2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝y 2. 又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．。
金优课高中数学北师大选修课时作业： 曲线与方程 含解析
第三章 §4 课时作业34一、选择题1．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线解析：方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.答案：C2．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)， P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝4(x >0) C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2(0<x <2)解析：注意所求轨迹在第四象限内． 答案：D4．[2014·广东省珠海一中模考]点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1上，点C 是∠AOB 的平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为( )A ．(x －23)2＋y 2＝49B ．(x ＋23)2＋y 2＝49C ．(x －13)2＋y 2＝49D ． (x ＋13)2＋y 2＝49解析：本题主要考查求曲线的方程．设B (x 0，y 0)，C (x ，y )由|OA ||OB |＝2，得AC →＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1y 0＝32y，因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得(x －23)2＋y 2＝49，故选A.答案：A 二、填空题5．动点P 到点(1，－2)的距离为4，则动点P 的轨迹方程为________． 解析：设P (x ，y )，由题意易知所求轨迹为圆，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝166．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__________． 解析：设圆C 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0的距离 d ＝|a －b －1|2＝r ，①又圆C 过A (4,1)，B (2,1)， ∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2， ② (2－a )2＋(1－b )2＝r 2，③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2， ∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝27．由动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__________．解析：由题意得OP ＝2，为定长，所以点P 的轨迹是以定点O 为圆心，r ＝2的圆． ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝4 三、解答题8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任一动点，若F 2关于∠F 1PF 2的平分线的对称点H 在线段PF 1上，求点H 的轨迹方程．解：如图，设点P 在双曲线的右支上，且PQ 为∠F 1PF 2的平分线．∵F 2关于PQ 的对称点为H ， ∴|PF 2|＝|PH |，且H 在PF 1上． 又|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－|PH |＝|F 1H |＝2a .即H 在以F 1为圆心，半径为2a 的圆上，其方程为(x ＋c )2＋y 2＝4a 2.9．△ABC 的三边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．解：以C 为原点O ，CB 、CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于AC ＝3，BC ＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝12×3r＋12×4r ＋12×5r ，得r ＝1， 于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，那么当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.。
高中数学 2.1曲线与方程课时作业 新人教A版选修21
高中数学 2.1曲线与方程课时作业 新人教A 版选修21课时目标 1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程．1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔____________；②点P 不在曲线C 上⇔____________. 3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝__________； (3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一、选择题1．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线 3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与xy＝1C ．y 2－x 2＝0与|y|＝|x|D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x≤2)5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x>0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x<2)6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F(x ，y)＝0B ．方程F(x ，y)＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为 ______________________________．9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是________________． 三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M 的轨迹方程．11．动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B(3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．能力提升12．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A .[]－1，1＋22B .[]1－22，1＋22C .[]1－22，3D .[]1－2，31．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．第二章圆锥曲线与方程§2.1曲线与方程知识梳理1．(2)曲线的方程方程的曲线2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠03．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标作业设计1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]2．C [方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.]3．C [考虑x 、y 的范围．]4．B [直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．] 5．D [注意所求轨迹在第四象限内．] 6．C [直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然A 、B 、D 中的说法都不正确．] 7．16－8 3 28．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 10．解以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)． 由于|AB |＝2a ，则设A (－a,0)，B (a,0)， 动点M (x ，y )．因为|MA |∶|MB |＝2∶1， 所以x ＋a 2＋y 2∶x －a 2＋y 2＝2∶1， 即x ＋a 2＋y 2＝2x －a 2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2.所以所求动点M 的轨迹方程为 ⎝⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y，又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.12．C [曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b的距离等于2，解得b＝1＋22或b＝1－22，因为是下半圆故可得b＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3，所以C正确．]。
课时作业10：2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.1 曲线与方程的概念基础达标1.曲线y =x1与xy =2的交点是（ ） A.（1，1） B.（2，2）C.直角坐标系内的任意一点D.不存在2.下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A.y =x 与y =2xB.(x -1)2+(y +2)2=0与(x -1)(y +2)=0C.y =x1与xy =1 D.y =lg x 2与y =2lg x 3.“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )=0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )=0”的_________条件（ ）A.充分B.必要C.充要D.既不充分又不必要4.“以方程f (x ，y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )=0”的___________条件（ ）A.充分B.必要C.充要D.既不充分又不必要5.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x -2)2+y 2=3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3 C.π3或5π3 D.π3或π66.曲线x 2-xy -y 2-3x +4y -4=0与x 轴的交点坐标是_____________.7.方程(x +y -1)(x -y +2)=0表示_______________________.8.判断点P (-4，3)、Q (-32，-4)、R (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25（x ≤0）所表示的曲线上.综合运用9.点M 到x 轴的距离是它到y 轴距离的2倍，则点M 的轨迹方程是__________________.10.设A 、B 两点的坐标是(-a ，0)、(a ，0)，若动点M 满足ｋＭＡ·ｋＭＢ＝-１，则动点M 的轨迹方程是____________________.11.已知点M 到点F (0，1)和直线l :y =-1的距离相等，求点M 的轨迹方程.12.已知点P (x 0，ｙ0）在曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝0上，P 也在曲线g (x ，y )=0上.求证：P 在曲线f (x ，y )+λｇ（ｘ，ｙ）＝0上(λ∈R ）.13.求方程(x +y -1)2--y x =0的曲线.拓展探究14.判断过点P （0，-1）且与x 轴平行的直线l 是否是方程|y |=1所表示的曲线.参考答案基础达标1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】（4，0）和（-1，0）7.【答案】两条直线x +y -1=0和x -y +2=08.解：点P 在曲线x 2+y 2=25(x ≤0)上，点Q 、R 都不在曲线x 2+y 2=25(x ≤0)上.综合运用9.【答案】2x +y =0或2x -y =010.【答案】x 2+y 2=a 2（x ≠±a ）11.解：设点M 的坐标为(x ，y )，点M 的轨迹就是集合P =｛Ｍ｜｜ＭＦ｜＝｜ＭＱ｜｝，其中Q 是点M 到直线y =-1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得＝｜y +1｜，将上式两边平方得x 2+(y -1)2=(y +1)2，化简得y =41x 2.① 下面证明方程①是所求轨迹的方程.(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1=41x 12， 即x 12＋（ｙ1-１）2＝（ｙ1＋１）2，=-+2121)1(y x ｜y 1+1｜，｜Ｍ1Ｆ｜＝｜Ｍ1Ｑ1｜.其中Q 1是点M 1到直线y =-1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点.由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如下图所示.12.证明：∵点P 在曲线f (x ，y )=0上也在曲线g (x ，y )=0上，∴f （x 0，y 0）＝0，g （x 0，y 0）＝0.∴f （x 0，y 0）＋λg （x 0，y 0）＝0＋λ·0＝0，即P 点在曲线f (x ，y )＋λg （x ，y ）＝0上.13.解：把方程（ｘ＋ｙ－１）2--y x ＝0写成⎩⎨⎧≥--=-+02,01y x y x 或x -y -2=0.22)1(-+yx由⎩⎨⎧≥--=-+02,01y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≥=-+23,01x y x ∴⎩⎨⎧≥--=-+02,01y x y x 表示射线x +y -1=0(x ≥23). ∴方程(x +y -1)2--y x =0的曲线是射线x +y -1=0(x ≥23)和直线x -y -2=0.拓展探究14.解：过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y =-1.因此，直线l 上的点都满足方程|y |=1，即直线l 上的点都在方程|y |=1所表示的曲线上.然而，以方程|y |=1的解为坐标的点不全在直线l 上.这是因为方程|y |=1表示两条直线y =1和y =-1.所以|y |=1不是直线l 的方程，l 也不是方程|y |=1所表示的曲线.。
高中数学 2.1.1曲线与方程课时作业 新人教A版选修21
高中数学 2.1.1曲线与方程课时作业新人教A版选修21(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 C.由曲线与方程的概念可知,若点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,则必有f(x0,y0)=0;又当f(x0,y0)=0时,点P(x0,y0)也一定在方程f(x,y)=0对应的曲线上,故选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A.y2=x与y=B.y=lgx2与y=2lgxC.=1与lg(y+1)=lg(x-2)D.x2+y2=1与|y|=【解析】选D.主要考虑x,y的取值范围,A中y2=x中y∈R,而y=中y≥0,B中y=lgx2中x≠0,而y=2lgx中x>0;C中=1中y∈R,x≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D正确.3.(2014·石家庄高二检测)方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )【解析】选C.方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.4.(2014·安阳高二检测)曲线y=和y=-x+公共点的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选C.由得-x+=,两边平方并整理得(x-1)2=0,所以x=,这时y=,故公共点只有一个.【误区警示】解题中易忽略y=中x的取值范围,而写成x2+y2=1,从而解出两组解而导致出错.5.如果曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选C.A,B错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D错,选C.6.(2014·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,所以x=1,y=1或x=-1,y=-1,所以方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .【解析】将(2,-3)代入x2-ay2=1,得a=.答案:【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A在曲线y=mx2上,所以2=m·22,得m=.答案:8.(2014·重庆高二检测)如果直线l:x+y-b=0与曲线C:y=有公共点,那么b的取值范围是.【解题指南】本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线y=的图象,利用数形结合解题.【解析】曲线C:y=表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(±1,0)),如图,当l 与l1重合时,b=-1,当l与l2重合时,b=,所以直线l与曲线C有公共点时,-1≤b≤.答案:[-1,]9.方程y=所表示的曲线是.【解析】原方程可化为:y=|x-2|=所以方程表示的是射线x-y-2=0(x≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】本题易忽视方程自身的条件对y的约束,即y≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每小题10分,共20分)10.方程=表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为即所以它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x≤0)和y=x(0≤x≤1).如图:11.曲线x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k的范围,若有一个交点、无交点呢?【解析】由得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]=48k-20.所以Δ>0,即k>时,直线与曲线有两个不同的交点;Δ=0,即k=时,直线与曲线有一个交点;Δ<0,即k<时,直线与曲线没有交点.【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方法曲线与直线交点的个数就是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判断.本题是判断直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k的范围.有些题目,在判断交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知曲线ax2+by2=2经过点A(0,2)和B(1,1),则a,b的值分别为( )A.,B.,C.-,D.,-【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax2+by2=2上,所以解得2.(2014·临沂高二检测)方程+=1表示的图形是( )A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个顶点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x≠0,y≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两端点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标分别代入圆C及直线l的方程,均满足.4.(2014·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.0<a<1或a>1D.a∈【解题指南】分别作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再根据图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,所以方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则要求y=a|x|在y轴右侧的斜率足够大,所以a>1.【变式训练】如图所示,定圆半径为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由所以因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,所以x<0,y<0,所以交点在第三象限,选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共顶点的射线,易得顶点为B(2,-2),与x轴的交点为O(0,0),A(4,0),所以曲线y=|x-2|-2与x轴围成的三角形面积为S△AOB= |OA|·|y B|=4.答案:46.(2014·石家庄高二检测)曲线y=-与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数为.【解析】由得-|ax|=-,即a2x2=1-x2,所以(a2+1)x2=1,解得x=和x=-,代入y=-|ax|,得y=-,所以它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-,得x2+y2=1(y≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.所以由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知点P(x0,y0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,所以P在曲线f(x,y)=0上,即f(x0,y0)=0,P在曲线g(x,y)=0上,即g(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0+λ0=0,故点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技巧解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原则,即若点的坐标适合方程,则该点必在方程的曲线上;若点在曲线上,则该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,根据定义需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k的取值范围.【解析】曲线y=1+是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图.直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为k0,切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2,即=2,所以k0=,直线PA的斜率k1=,所以实数k的取值范围是<k≤.。
高考数学一轮复习课时作业55曲线与方程理(含解析)新人教版
高考数学一轮复习课时作业55曲线与方程理（含解析）新人教版课时作业55 曲线与方程一、选择题1．方程(x 2－y 2－1)x －y －1＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( B )解析：原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－1＝0，x －y －1≥0或x －y －1＝0，前者表示等轴双曲线x 2－y 2＝1位于直线x －y －1＝0下方的部分，后者为直线x －y －1＝0，这两部分合起来即为所求．2．动点P (x ，y )满足5x －12＋y －22＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．直线解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝x －12＋y －22，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l上，所以点P 的轨迹是直线．选D.3．方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( D ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0.4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝3x ＋y10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( A )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：设另外两个切点为E ，F ，如图所示，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．又∵a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．6．过抛物线x 2＝4y 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作抛物线的切线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是( A )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．y ＝x －1D ．y ＝－x －1解析：抛物线的焦点为F (0,1)，设l ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2＝4kx ＋4，即x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.将y ＝14x 2求导得y ′＝12x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧l 1：y －y 1＝12x 1x －x 1，l 2：y －y 2＝12x 2x －x 2，由x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧l 1：y ＋y 1＝12x 1x ，l 2：y ＋y 2＝12x 2x ，两方程相除得y ＋y 1y ＋y 2＝x 1x 2，变形整理得y ＝x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1＝x 1x 2x 2－x 14x 2－x 1＝－1，所以交点P 的轨迹方程是y ＝－1.二、填空题7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是y ＝2x －2.解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.8. 如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是y 2＝23x －19.解析：如图，过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH ，PM ，易证得PH ⊥A 1D 1.设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是x 24a 2＋y 24b2＝1.解析：如图，由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10. 如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P 是圆上的动点，点Q 在直线CP 上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解：圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是线段AP 的中点，即MQ 是AP 的垂直平分线，连接AQ ，则|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝r ＝2，又|AC |＝22>2，根据双曲线的定义，知点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.11．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是16x 2a 2－16y 23a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >a 4. 解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >a 4.12．如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12DP →，知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝24k21＋4k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3) ＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用13．(2019·昆明调研测试)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，直线l 2：x ＋5ay ＋5a ＝0，直线l 1与l 2的交点为M ，点M 的轨迹为曲线C.(1)当a 变化时，求曲线C 的方程；(2)已知点D (2,0)，过点E (－2,0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋5ay ＋5a ＝0消去a ，得曲线C 的方程为x 25＋y 2＝1.(y ≠－1，即点(0，－1)不在曲线C 上，此步对考生不作要求)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 25＋y 2＝1，得(m 2＋5)y 2－4my －1＝0，则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5， △ABD 的面积S ＝2|y 2－y 1| ＝2y 2＋y 12－4y 2y 1＝216m 2m 2＋52＋4m 2＋5＝45·m 2＋1m 2＋5， 设t ＝m 2＋1，t ∈[1，＋∞)， 则S ＝45t t 2＋4＝45t ＋4t≤5，当t ＝4t(t ∈[1，＋∞))，即t ＝2，m ＝±3时，△ABD 的面积取得最大值 5.。
高中数学课时训练(四)曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2-1(2021年整理)
（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（四）曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（四）曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时跟踪检测（四）曲线与方程求曲线的方程层级一学业水平达标1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3）2＋（y－2)2＝2，则点M(2,1)（) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上,但在曲线C上解析：选B 将点M（2,1）的坐标代入方程知M∈l，M∈C．2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线（)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y,方程不变,所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3．方程x＋｜y－1|＝0表示的曲线是( ）解析：选B 方程x＋｜y－1｜＝0可化为|y－1｜＝－x≥0,则x≤0,因此选B．4．已知两点M（－2,0)，N（2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN｜·|MP|＋MN·NP＝0,则动点P(x，y)的轨迹方程为（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选B 设点P的坐标为（x，y)，则MN＝（4,0），MP＝(x＋2，y）,NP＝（x－2,y),∴|MN｜＝4，｜MP｜＝错误!，MN·NP＝4(x－2)．根据已知条件得4 错误!＝4（2－x)．整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．5．已知A(－1，0),B（2,4），△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( ）A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是y－0 4－0＝x＋12＋1，即4x－3y＋4＝0,线段AB的长度|AB｜＝错误!＝5．设C的坐标为(x，y),则错误!×5×错误!＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0．6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．解析:对方程左边配方得(x－2）2＋2(y＋2）2＝0．∵（x－2)2≥0，2（y＋2)2≥0，∴错误!解得错误!从而方程表示的图形是一个点（2，－2)．答案：一个点(2，－2）7．已知两点M（－2,0），N(2，0)，点P满足PM·PN＝12，则点P的轨迹方程为________________．解析:设P(x，y)，则PM＝（－2－x，－y),PN＝(2－x，－y）．于是PM·PN＝(－2－x）（2－x)＋y2＝12,化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．答案：x2＋y2＝168．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________．解析：设M（x，y），B（x0，y0),则y0＝2x错误!＋1．又M为AB的中点，所以错误!即错误!将其代入y0＝2x错误!＋1得,2y＋1＝2×(2x）2＋1，即y＝4x2．答案：y＝4x29．在平面直角坐标系中，已知动点P（x,y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP·MN＝4，求动点P的轨迹方程．解:由已知得M(0，y），N（x,－y),则MN＝（x,－2y),故OP·MN＝(x，y)·（x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4．10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y 轴的交点为N，若向量OQ＝OM＋ON，求动点Q的轨迹．解：设点Q的坐标为（x，y），点M的坐标为(x0，y0)（y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ＝OM＋ON，即(x，y）＝(x0，y0)＋(0，y0）＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝错误!．又点M在圆C上，所以x错误!＋y错误!＝4，即x2＋错误!＝4(y≠0）．所以动点Q的轨迹方程是错误!＋错误!＝1（y≠0）．层级二应试能力达标1．已知点O(0,0），A（1，－2），动点P满足|PA|＝3|PO｜,则点P的轨迹方程是( ) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：选A 设动点P（x,y)，则由|PA｜＝3|PO|,得错误!＝3错误!．化简,得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A．2．下列四组方程表示同一条曲线的是( )A．y2＝x与y＝错误!B．y＝lg x2与y＝2lg xC．错误!＝1与lg（y＋1）＝lg（x－2)D．x2＋y2＝1与｜y|＝1－x2解析：选D 根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1，1］，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D．3．方程y＝－错误!对应的曲线是（）解析：选A 将y＝－错误!平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A．4．已知0≤α≤2π，点P(cos α，sin α）在曲线（x－2）2＋y2＝3上，则α的值为（）A．错误!B．错误!C．错误!或错误!D．错误!或错误!解析：选C 将点P的坐标代入曲线（x－2)2＋y2＝3中,得(cos α－2)2＋sin2α＝3,解得cos α＝12．又0≤α<2π,所以α＝错误!或错误!．故选C．5．方程|x－1｜＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析:方程|x－1|＋｜y－1|＝1可写成错误!或错误!或错误!或错误!其图形如图所示，它是边长为2的正方形,其面积为2．答案：26．给出下列结论：①方程错误!＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是________．解析：对于①，方程错误!＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且除掉点（2，0)，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误;对于③，方程（x2－4)2＋（y－4）2＝0表示点（－2，2）,（－2，－2）,（2，－2)，（2,2)四个点，所以③正确．故填③．答案：③7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC｜＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示），则A(0，3）．设△ABC的外心为P（x，y)，因为点P在线段BC的垂直平分线上,所以不妨令B（x＋2,0），C(x－2,0）．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB｜，即错误!＝错误!，化简得x2－6y＋5＝0．于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0．8．已知两点P(－2,2),Q（0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为错误!的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．解：设A（m，m），B（m＋1，m＋1)，当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝错误!(x＋2）＋2和y＝错误!x＋2．由错误!消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0．当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2,其交点为(－2,－4）,满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4），满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0．。
高中数学课时作业(人教B版选修第一册)课时作业(十八) 曲线与方程
课时作业(十八)曲线与方程一、选择题1．在点A(4，4)，B(3，4)，C(－3，3)，D(2，2√6)中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上()A．1个B．2个C．3个D．4个2. “点M在曲线x2＝4y上”是“点M的坐标满足方程x＝2√y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．方程y＝－√12−x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．一个半圆4．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线()A．恒过定点(－2，3)B．恒过定点(2，3)C．恒过点(－2，3)和点(2，3)D．都是平行直线二、填空题5．已知动点M到点A(9，0)的距离是M到点B(1，0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．6．已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．y＝x x＝√y x＋y＝1(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________________．三、解答题8．已知曲线C的方程为x＝√4−y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．9.已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．[尖子生题库]10．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则不正确的说法是() A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤3。
高中数学 2.6.1曲线与方程课时作业 苏教版选修21
2.6.1 曲线与方程课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解； (2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________． 2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.一、填空题1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________． 3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．①y＝x ，yx ＝1；②y＝x ，y ＝x 2；③|y|＝|x|，y ＝x ；④|y|＝|x|，y 2＝x 2.4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0； ②方程F(x ，y)＝0的曲线是C ；③坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上； ④坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上． 二、解答题9．(1)过P(0，－1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|＝1吗？为什么？ (2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．能力提升11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面．2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性． 3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x ，y)的关系．§2.6 曲线与方程 2．6.1 曲线与方程知识梳理1．(1)曲线C 上点的坐标(x ，y ) (2)曲线C 的方程 方程f (x ，y )＝0的曲线 2．①f (x 0，y 0)＝0 ②f (x 0，y 0)≠0 作业设计1．与l 平行的一条直线解析 方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线． 2．过A 点与圆C 同心的圆解析 由点B (x ′，y ′)在圆上知f (x ′，y ′)＝0. 由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数， 点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立． 所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点． 3．④解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线． 4．必要不充分解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0. 5．2解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2. ∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2. 6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0. 7．16－8 3 2 8．③解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法③.特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．9．解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．所以|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部分．(2)由方程x＋y－2＝0知，当x＝4时，y＝－2.故点(4，－2)的坐标是方程x＋y－2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB上．∴x＋y－2＝0不是线段AB的方程．10．解①x∈R，y≥0，②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.∴曲线关于y轴对称．④当x≥0时，有y＝|x－1|，此时，若x≥1，则y＝x－1，若0≤x<1，则y＝1－x.先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．11．4π12．证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。
选修2-1第一章曲线方程的概念课时作业
选修2-1第一章曲线方程的概念课时作业work Information Technology Company.2020YEAR课时作业7 曲线与方程的概念时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A.π3 B.5π3 C.π3或5π3 D.π3或π6【答案】 C【解析】 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又∵0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.2．如图所示，方程和曲线相对应的是( )【答案】 C【解析】A应为单位圆，B为两条直线，D为第一象限的一条曲线．故选C.3．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条()A．过点P且垂直于l的直线B．过点P且平行于l的直线C．不过点P但垂直于l的直线D．不过点P但平行于l的直线【答案】 B【解析】点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．4．曲线y＝－1－x2与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数是() A．2 B．4C．0 D．与a值有关【答案】 A【解析】y＝－1－x2表示圆x2＋y2＝1的下半部分，y＋|ax|＝0表示x轴下方的两条射线，由数形结合易知有两个交点．5．如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么()A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上C ．不在曲线C 上的点的坐标都不是方程F (x ，y )＝0的解D ．坐标不满足F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上 【答案】 D【解析】 由题意可知：曲线C 上的所有点的坐标构成的集合是方程F (x ，y )＝0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．根据以上知识可知A ，B ，C 都是不正确的，而D 则是正确的．显然，选项D 正好是原命题的逆否命题，它与原命题同真同假．6．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0 ②x 2＋y 2＝3 ③x 22＋y 2＝1 ④x 22－y 2＝1 A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】 D【解析】 ∵y ＝－2x －3可变形为4x ＋2y ＋6＝0，显然与直线4x ＋2y －1＝0平行，故排除A 、C ；将y ＝－2x －3代入③x 22＋y 2＝1，并整理得9x 2＋24x ＋16＝0，即(3x ＋4)2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝－13.故选D.二、填空题(每小题10分，共30分)7．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为____． 【答案】 2【解析】 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2.8．直线y ＝x ＋2被抛物线y ＝x 2截得的线段长为________． 【答案】 3 2 【解析】由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ＋2，得交点A (－1,1)，B (2,4)，∴|AB |＝(2＋1)2＋(4－1)2＝3 2.9．已知直线y ＝2x －5与曲线x 2＋y 2＝k ，当k ________时，有两个公共点；当k ________时，有一个公共点；当k ________时，无公共点．【答案】 k >5；k ＝5；0<k <5【解析】 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？ (2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？【解析】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎨⎧x －1≥0x ＋y －1＝0或⎩⎨⎧x －1≥0x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)．(2)方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎨⎧2(x －1)2＝0(y ＋1)2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1.∴方程表示的图形是点(1，－1)．11．(13分)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．【解析】解法一：由方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，得⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0).消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0，解得1≤b < 2解法二：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2.12．(14分)若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值．【解析】 设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点⎩⎨⎧x ＋y －m ＝0 ①y ＝x 2②由②代入①得：x 2＋x －m ＝0∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1x 1x 2＝－m|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝2·1＋4m ∴由2·1＋4m＝32得∴1＋4m＝9，∴m＝2.。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习 课时作业 第55讲曲线与方程
课时作业第55讲曲线与方程时间/30分钟分值/80分基础热身1.在平面直角坐标系中,已知定点A(0,-),B(0,),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A.+x2=1B.+x2=1(x≠0)C.-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.x2=12yB.y2=-12xC.y2=12xD.x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是()A.x2-4y2=1B.4y2-x2=1C.x2-=1D.-y2=14.平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足=λ+μ,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A.x-y=0B.x+y=0C.x+2y-3=0D.(x+1)2+(y-2)2=55.已知F1(-2,0),F2(2,0),满足||PF1|-|PF2||=2的动点P的轨迹方程为.能力提升6.动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x27.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=08.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1B.x2-=1C.y2-=1(y≤-1)D.x2-=1(y≥1)9.已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是()A.x2+=1B.+y2=1C.x2+=1D.+y2=110.在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:则分别满足条件①②③的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C211.已知两定点A(-2,0),B(2,0)及定直线l:x=,点P是l上一个动点,过B作BP的垂线与AP 交于点Q,则点Q的轨迹方程为.12.已知圆C:x2+y2=25,过点M(-2,3)作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,当两条切线相交于点Q时,点Q的轨迹方程为.13.(10分)已知P,Q为圆x2+y2=4上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.难点突破14.(5分)已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=115.(5分)已知过点A(-2,0)的直线与直线x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.。
2020高三数学一轮复习(人教版理)：课时作业60曲线与方程
解析 设 P(x，y)，则 x＋22＋y2＝2 x－12＋y2，整理得 x2＋y2－4x ＝0，又 D2＋E2－4F＝16>0，所以动点 P 的轨迹是圆。故选 B。
答案 B
3．已知 A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为点 N，
→ →→ 若MN2＝λAN·NB，当 λ<0 时，动点 M 的轨迹为( )
答案 A
6．(2019·衡水调研卷)双曲线 M：xa22－by22＝1(a>0，b>0)实轴的两个顶点
为 A，B，点 P 为双曲线 M 上除 A，B 外的一个动点，若 QA⊥PA 且 QB⊥
PB，则动点 Q 的运动轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析 A(－a,0)，B(a,0)，设 Q(x，y)，P(x0，y0)，kAP＝x0y＋0 a，kBP＝x0y－0 a， kAQ＝x＋y a，kBQ＝x－y a，由 QA⊥PA 且 QB⊥PB，得 kAPkAQ＝x0y＋0 a·x＋y a＝－ 1，kBPkBQ＝x0y－0 a·x－y a＝－1。两式相乘即得轨迹为双曲线。故选 C。
(1)当 a 变化时，求曲线 C 的方程； (2)已知点 D(2,0)，过点 E(－2,0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，求△ ABD 面积的最大值。 解 (1)由ax＋x－5ya＋y＋1＝5a0＝，0 消去 a，得曲线 C 的方程为x52＋y2＝1。(y≠－1，
即点(0，－1)不在曲线 C 上，此步对考生不作要求) (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－2，
x＝my－2， 由x52＋y2＝1， 得(m2＋5)y2－4my－1＝0，
则 y1＋y2＝m42＋m 5，y1y2＝－m21＋5，
课时作业4：§2.4 曲线与方程
§2.4 曲线与方程课时对点练1．“曲线C 上的点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是F (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 结合曲线方程的定义易得．2．方程|x |－|y |＝0表示的图形是( )答案 C解析 由|x |－|y |＝0知y ＝±x ，即表示第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线．3．平面内有两定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A →＋PB →|＝4，则点P 的轨迹是( )A ．线段B ．半圆C ．圆D ．直线答案 C解析 以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，则P A →＋PB →＝2PO →＝2(－x ，－y )．∴x 2＋y 2＝4.4．与点A (－1,0)和点B (1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)答案 B解析 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1， 所以k P A ·k PB ＝y x ＋1·y x －1＝－1. 整理得x 2＋y 2＝1，又k P A ，k PB 存在，所以x ≠±1.所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．5．(多选)若曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是( )A ．(0,0)B ．(7,15)C ．(2,3)D ．(4,7)答案 CD解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得A ，B 的横坐标不满足题意，C ，D 项中坐标代入后满足方程，故选CD.6．(多选)下列方程对应的曲线与曲线y ＝x 是同一条曲线的是( )A ．y ＝log a x aB ．y ＝x 2C ．y ＝log a a xD ．y ＝3x 3 答案 CD解析 y ＝log a a x ＝x ，y ＝3x 3＝x ，故选CD.7．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.答案 5解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0， 解得a ＝5.8．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹方程为__________．答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .9．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π. 所以所求图形的面积为2π.10.如图，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点，∴点A 的坐标为(2x ,0)，点B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y2－0，∴21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.11．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是( )A ．两条直线B ．一条直线和一条双曲线C ．两个点D ．圆答案 C解析 方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，故方程表示两个点(－1，－1)，(1,1)．12．已知y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是() A ．a >1 B ．0<a <1C ．0<a <1或a >1D ．a ∈∅答案 A解析 ∵a >0，∴y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图像大致如图，要使y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.13．笛卡尔、牛顿都研究过方程(x －1)(x －2)(x －3)＝xy ，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y 轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是( )A ．②③B ．①④C ．③D ．③④答案 C解析 以－x 代x ，得到(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝xy ，方程改变，不关于y 轴对称；以－x 代x ，－y 代y ，得到(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝－xy ，方程改变，不关于原点对称； 当x <0，y <0时，(x －1)(x －2)(x －3)<0，xy >0，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令x ＝－1，易得y ＝24，即(－1,24)适合题意，同理可得(1,0)，(2,0)，(3,0)适合题意， ∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的．14．给出下列说法： ①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确说法的序号是________．答案 ③解析 对于①，方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；对于②，到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，所以②错误；对于③，方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．15．直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为________________．答案 ⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝254⎝⎛⎭⎫0＜x ＜165 解析 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2，∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝254. ∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16，得两曲线交点的横坐标为x ＝165，又k ≠0， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝254⎝⎛⎭⎫0＜x <165. 16．过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点．故设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k (x －1)，y ＝a x， 消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝[－(2－k )]2＋4ka >0.(*)设方程①的两根分别为y 1，y 2，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k .又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ，代入(*)式中，得3a 2－8a <0，解得0<a <83. 又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝⎛⎭⎫2，83.。
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课时作业55 曲线与方程时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案：C2．动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝(x －1)2＋(y －2)2，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D.答案：D3．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：∵AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB |＝5，设点C (x ，y )由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，∴4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B4．动点P (x ，y )到定点A (3,4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－6x －10y ＋24＝0B ．x 2－6x －6y ＋24＝0C ．x 2－6x －10y ＋24＝0或x 2－6x －6y ＝0D ．x 2－8x －8y ＋24＝0解析：本题满足条件|P A |＝|y |＋1，即(x －3)2＋(y －4)2 ＝|y |＋1，当y >0时，整理得x 2－6x －10y ＋24＝0；当y ≤0时，整理得x 2－6x －6y ＋24＝0，变为(x －3)2＋15＝6y ，此方程无轨迹．答案：A5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA→＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋x 12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4， ∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x . 答案：B6．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM→＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM→＝λMQ →得 ⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λ(x 0－x )y －y 0＝λ(－y )(λ>0) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝(λ＋1)y ，由x 20＋y 20＝1， ∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1(λ>0)，∴点M 的轨迹为椭圆． 答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y 2)，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是________．解析：AB →＝(0，y 2)－(－2，y )＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y )－(0，y 2)＝(x ，y 2)，∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴(2，－y 2)·(x ，y 2)＝0，即y 2＝8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x8．直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝ －12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b 2＝1三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，则点D 的坐标为D (x 0,0)，∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，∴⎩⎨⎧x －x 0＝0y ＝23y 0，即⎩⎨⎧x 0＝x y 0＝32y.∵P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1.∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(2)存在．假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x 22＝1y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1x 229＋y 224＝1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0. ∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.11．(20分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎨⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋k 2)(x 1－x 2)2＝4125×41＝415.——创新应用——12．(20分)(2013·福建卷)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9.连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为，求直线l 的方程．解：解法1：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100. ②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.解法2：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上． 证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i .B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x .由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i10x ，解得P i 的坐标为(i ，i 210)．因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)同解法1.。