762.八年级新人教版数学上册专题练习：等腰三角形
人教版八年级上册数学《等腰三角形》同步训练含答案
八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。
新人教版八年级数学上册《等腰三角形》专项练习题
初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题则∠ A 的度数为（ ）A 、 30°B 、 40°C 、45 °D 、 60°一、选择题8、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）1 已知一个等腰三角形的底边长为 5, 这个等腰三形的腰A 角B 等边三角形 C线段 D 不等边三角形长为 x, 则 x 的取值范围是 ( )9、正△ ABC 的两条角平分线BD 和 CE 交于点 I ，则∠ BICA .0<x<5B .x≥5C x ＞5D 0<x<10AA D22 2A2. 等腰三角形的底角为15° ,FE腰长为 a, 则此三角形的面积为()DAa2B1 a 2E2BCC1 a 2D 2 a2图 543 将一张长方形的纸片 ABCD 如图 (4) 那样折起 , 使顶点 C 落在 F 处 . 其中 AB=4, 若∠ FED=30° , 则折痕 ED 的长为()A. 4 B 43C 8D 5310. 如图 (5), 在△ ABC 中 ,BC=8 ㎝ ,AB 的垂直平分线交 AB于点 D, 交 AC 于点 E, △ ABC 的周长为 18 ㎝ , 则 AC 的长等于 ( )A 6 ㎝B 8㎝ C 10 ㎝ D 12㎝4 下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A 有两个内角相等的三角形B 有一个内角是 45°直角三角形C. 有一个内角是 30°的直角三角形D.有两个角分别是 30°和 120°的三角形5、下列图形中，轴对称图形有（）个A.1B.2C. 3D.46、等腰三角形周长是 29，其中一边是 7，则等腰三角形的底边长是（） A 15 B15或 7 C 7 D 117、在△ ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ ABC ，若∠ BDC ＝ 75°，D12BECBC为（ ） A ． 60 B ． 90 C ． 120 D ． 150°10、下列三角形： ①有两个角等于 60°； ②有一个角等于 60°的等腰三角形； ?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（ ） A ①②③ B ①②④ C ①③ D ①②③④11、如图 1， D 、E 、F 分别是等边△ ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（ ）AA ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角D三角形 D ．不等边三角E形12Rt △BCABC 中，CD 是斜边 AB上 的 高 ， ∠ 图 5B=30°，AD=2cm ，则 AB 的长度是（ ）A ． 2cm B． 4cm C ． 8cm D ． 16cm13 如图 2， E 是等边△ ABC 中 AC 边上的点，∠ 1= ∠ 2， BE=CD ，则对△ ADE 的形状判断准确的是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D．不能确定形状图（ 1)图(2)二、填空题1、△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=∠ C ，则∠ B=_______．2、已知 AD 是等边△ ABC 的高， BE 是 AC 边的中线， AD与 BE 交于点 F ，则∠ AFE=______．3、△ ABC中，∠ B=∠ C=15°， AB=2cm，CD⊥ AB交 BA 的延长线于点D，?则 CD?的长度是 _______ ．4、如图（ 3），在ABC中 AB=AC，∠ A=36°， BD平分∠ABC，则∠1=________, 图中有_______ 个等腰三角形。
人教版八年级数学上册等腰三角形练习题(含知识点)
八年级上册教案2021-2022学年度 秋季 八年级上学期 人教版数学 八年级上册等腰三角形练习题 一、选择题（每小题3分，共18分）1.已知一个等腰三角形内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A ．20° B ．120° C ．20°或120°D ．36° 2.在等腰三角形中，腰上的高在三角形的外部，则这个三角形是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在 3．在△ABC 中，如果只给出条件∠A ＝60°，还不能判定△ABC 是等边三角形，给出下面三种说法：（1）如果再加上条件“AB ＝AC ”，那么△ABC 是等边三角形；（2）如果再加上条件“D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ”，则△ABC 是等边三角形；（3）如果再加上条件“AB 、AC 边上的高相等”，那么△ABC 是等边三角形．其中正确的说法有（ ）A ．0B ．1个C ．2个D ．3个4．已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上任一点，连接AD 并作等边△ADE ，若DE ⊥AB ，则BD CD 的值是（ ） A.12 B.23 C ．1 D.325．如图1所示，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 图1 图2 6．如图2所示，AB ＝AC ，∠BAD ＝α，且AE ＝AD ，则∠EDC 等于（ ） A.12α B.13αC.14αD.23α 二、填空题（每小题6分，共24分） 7．等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为________cm. 8. 请你仔细观察图3中等边三角形图形的变换规律，写出你所发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：____________.图39．如图19，在四个正方形拼接成的图形内，以A1、A2、A3…A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的方法与他人交流吗？若愿意，请在下方简要写出你的探究过程：__________________.图19 图2010．如图20，△ABC和△CDE是等边三角形，则AD________BE.三、解答题11．如图21所示，△ABC中，AD⊥BC于D，E为BD上一点，EG∥AD，分别交AB，CA的延长线于点F，G，∠AFG＝∠G .图21（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）若∠B＝40°，求∠G和∠FAG的大小．12．如图22，C为线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB同侧作等边△ACD 和等边△BCE，AE交DC于G点，DB交CE于H点，你能说明GH∥AB吗？图2213．如图23，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点且BD ＝CE，∠DEF＝∠B，你能说明△DEF是等腰三角形吗？图23 14．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h，AM是BC边上的高．若点P在一边BC上，如图24①，此时h3＝0，可得结论h1＋h2＋h3＝h.请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内如图24②，（2）当点P在△ABC外如图24③，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予说明；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需说明．图2415．如图25所示，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，可证AN＝BM.图25（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在（1）得到的图形中，设AM的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD 与四边形MDNC的形状．人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念： ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. ⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质： ⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -. ②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -. ⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算： ⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()nm mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法： ⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法： ⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±八年级上册教案 ③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法 第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念： 1.分式：形如A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分11 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
人教版八年级数学上册等腰三角形练习题
人教版八年级数学上册等腰三角形练习题初中数学试卷八年级数学等腰三角形练题（一）一．选择题1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD2.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3.已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+y=20，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对4.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个5.下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形6.下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4D．AB=3，BC=7，周长为137.下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A.1个B．2个C．3个D．4个8.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.A.110°B.55°C.35°D.以上都不对9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°二．填空题10．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是120°。
人教版初中数学八年级上册《等腰三角形》复习试题(配套练习附答案)
【答案】44°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等解答．
详解】∵AB=AC，∠ABC=68°，
∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=44°．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图像．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-- x＋8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长和点C的坐标；
(2)求直线CD的表达式．
23.如图是平面直角坐标系及其中的一条直线,该直线还经过点C（3,﹣10）．
13.已知y+1与2﹣x成正比，且当x=﹣1时，y=5，则y与x的函数关系是____________．
14.已知直线y=kx+b经过点（2，3），则4k+2b﹣7=_____．
15.已知点M（1，a）和点N（﹣2，b）是一次函数y=﹣3x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是_____．
16.已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为______．
故选C
考点：等腰三角形三线合一
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°ห้องสมุดไป่ตู้则∠C的度数为（ ）
A.35°B.40°C.45°D.50°
【答案】A
【解析】
∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
初二数学-等腰三角形10道典型题剖析
思路分析：由BD平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得
1
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中
2
由三角形内角和定理可列出x B
D C
的方程，求出x．
解：设1 x,
BD平分ABC，
A
1 2 x, AB AC,
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
在DBC中，
提示： 本题为文字命题，解题时应分为以下 三个步骤： （1）根据题意作图； （2）写出已知， （3）进行求证．
已知：在ABC中，AB AC, D为底边BC
的中点，DE AB于点E, DF AC于点F．
求证：DE DF．
A
思路分析：由等腰三角形的性质易得
E
F
B C,又BD DC，DE AB, DF AC，
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C, ∴BF=FC, ∴AC-AB=2BE.
例8．如图，△ABD、 △AEC都是等边三角 形，求证： △AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等，进而说明
△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD 和△AED是正三角形， ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴ ∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB, ∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB, ∴ ∠CAD=∠BAE, △ADC≌△BAE, ∴ ∠ADF=∠GBA．
70°、40°或55°、55°
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°， 求其余两角．
人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称之等腰三角形专题拓展练习(含答案)
人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称之等腰三角形专题拓展练习（含答案）例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
E分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。
因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝∠ACB ，所以2121∠1＝∠E ，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点所以∠1＝∠ABC 21又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E所以∠ACB ＝2∠E即∠1＝∠E所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例2. 如图，已知：中，，D 是BC 上一点，且，ABC ∆AC AB =CA DC DB AD ==，求的度数。
BAC ∠ A B CD 解：因为，所以AC AB =CB ∠=∠ 因为，所以；DB AD =C DAB B ∠=∠=∠ 因为，所以（等边对等角）CD CA =CDA CAD ∠=∠ 而DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以BDAC B ADC ∠=∠∠=∠22， 所以B3BAC ∠=∠又因为 180=∠+∠+∠BAC C B 即 所以 180B 3C B =∠+∠+∠36B =∠即求得108BAC =∠ 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
例3. 已知：如图，中，于D 。
求证：ABC ∆AB CD AC AB ⊥=，。
新人教版八年级数学上册《等腰三角形》练习题
八年级数学等腰三角形练习题一．选择题（共7小题）1．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O 是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（）个．2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB 最小，则点P应该满足（）3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：①AG=CE ②DG=DE③BG﹣AC=CE ④S△BDG﹣S△CDE=S△ABC．4．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正确的是（）5．如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有（）6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（）7．如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①B E=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=∠ABC，其中正确的结论是（）二．解答题（共8小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．9．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE 的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN 交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．10．如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形=16．OBAC（1）∠COA的值为_________；（2）求∠CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．11．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2=0，（1）求A点坐标；（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．12．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．13．（2013•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE 的最小值为_________．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．14．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是_________；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．15．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．八年级数学提优练习题参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O 是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（）个．BAD=∠BAC=×，AP CH+OA AP OA CH=CH CH2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB 最小，则点P应该满足（）3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：①AG=CE ②DG=DE③BG﹣AC=CE ④S△BDG﹣S△CDE=S△ABCC4．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正确的是（）CM=ACCN=CM=AC=BCADC=CDM=CN=CM=AC=BC5．如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有（）是EF不垂直6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（）AP=BCAP=BC=PCAP=BC7．如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=∠ABC，其中正确的结论是（）ABE=∠=，，MAL=二．解答题（共8小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．H，根据两直线平行，同位角相等可得∠（（，9．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE 的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN 交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．°，10．如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形=16．OBAC（1）∠COA的值为45°；（2）求∠CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．COA=∠∠COB=×OC AN+OB，11．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2=0，（1）求A点坐标；（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．，，=112．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．E=AE=，2；×=5的最小值为．13．（2013•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．∠CE=由于的中点得到∠OA=BCE=CE=BE=故答案为；的度数为是OA=，故答案为；14．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是DE=BC；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．DE=BF+BP=DEBCBCDE，BCDEBF+BP=BP=DE15．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．，，BF=AF，。
人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形综合训练(含答案)
人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形综合训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD 与BD的长度之比为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶12. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，53. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．84. 如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，CE＝3，则AB的长为()A．11 B．12 C．13 D．145. 如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为()A．6 B．7 C．8 D．96. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为()A．40°B．45°C．55°D．70°7. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．308. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为()A．105°B．95°C．85°D．75°9. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE ∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为()A．6 B．8 C．10 D．1210. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共5道小题）11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为________．13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图K－22－6，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．三、解答题（本大题共5道小题）16. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.18. 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE 相交于点P.求证：∠AOB＝60°.19. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形综合训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.2. 【答案】C3. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.4. 【答案】B[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝60°.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°.∴∠CDE＝30°.∴CD＝2CE＝6.∵D是AC的中点，∴AC＝2CD＝12.∴AB＝AC＝12.5. 【答案】B[解析] 由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.6. 【答案】C[解析] ∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝12(180°－40°)＝70°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－70°)＝55°.∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.7. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.8. 【答案】A[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC.∴∠DAC＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝180°－30°2＝75°.∴∠DEC＝105°.9. 【答案】C[解析] ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠CBD. ∴∠EBD ＝∠EDB.∴BE ＝DE. ∵△AED 的周长为16，∴AE ＋DE ＋AD ＝AE ＋BE ＋AD ＝AB ＋AD ＝16. ∵AD ＝6，∴AB ＝10.10. 【答案】D[解析] ∵OC ＝CD ＝DE ，∴∠O ＝∠ODC ，∠DCE ＝∠DEC. ∴∠DCE ＝∠O ＋∠ODC ＝2∠ODC. ∵∠O ＋∠OED ＝3∠ODC ＝∠BDE ＝75°， ∴∠ODC ＝25°.∵∠CDE ＋∠ODC ＝180°－∠BDE ＝105°， ∴∠CDE ＝105°－∠ODC ＝80°.二、填空题（本大题共5道小题）11. 【答案】36[解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠A ＝30°，AB ＝12，∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12×12＝6. ∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】5[解析] ∵在等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，AB ＝8，∴AD＝4，BC ＝AC ＝AB ＝8，∠A ＝∠C ＝60°.∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，∴∠AED ＝∠CFE ＝90°. ∴AE ＝12AD ＝2.∴CE ＝8－2＝6.∴CF ＝12CE ＝3.∴BF ＝5.13. 【答案】7014. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】105°或55°或70°[解析] (1)如图①，点P在AB上时，AP＝AC，顶角∠A＝105°.(2)∵∠B＝20°，∠BAC＝105°，∴∠ACB＝180°－20°－105°＝55°.点P在BC上时，如图②，若AC＝PC，则顶角∠C＝55°.如图③，若AC＝AP，则顶角∠CAP＝180°－2∠C＝180°－2×55°＝70°.综上所述，顶角为105°或55°或70°.三、解答题（本大题共5道小题）16. 【答案】证明：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝60°.∵∠B＝60°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB.∴△ABC是等边三角形．17. 【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)∵BE⊥AC,∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD.(5分)18. 【答案】证明：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠DCE ＋∠BCE ， 即∠ACE ＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD.∴∠CAE ＝∠CBD. 又∠APC ＝∠BPO ，∴∠AOB ＝∠ACB ＝60°.19. 【答案】解：OE ＝OF. 理由：∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF. ∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ， ∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠DCF. ∴∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF. ∴OE ＝OC ，OC ＝OF.∴OE ＝OF.20. 【答案】解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴点A 在BC 的垂直平分线上．∵DB ＝DC ，∴点D 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AD 是BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE. (3)DE ＝AC ＋BE.理由：同(2)得∠BAD ＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。
人教版八年级数学上册13.3等腰三角形(包含答案 )
13.3等腰三角形知识要点：1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．2.等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．4.一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半一、单选题1．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF△BC，垂足为点F，△ADE ＝30°，DF＝2，则△ABF的周长为（）A．B．C．D．【答案】D3．如图，△ABC中△ACB＝90°,CD是AB边上的高，△BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A4．如图，梯形ABCD中，AD△BC，△B＝30°，△BCD＝60°，AD＝2，AC平分△BCD，则BC长为( )．A．4B．6C．D．【答案】B5．如果过三角形重心的一条直线将该三角形分成两个直角三角形，则该三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C6．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与腰垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是（）A．110°B．125°C．140°D．160°【答案】B7．如图,矩形ABCD中,AB=7,BC=4,按以下步骤作图：以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AB,BC于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧在△ABC内部相交于点H,作射线BH,交DC于点G,则DG的长为( )A．1B．112C．3D．212【答案】C8．如图，已知AB△CD，BC平分△ABE，△C=32°，则△BED的度数是（）A．32°B．16°C．49°D．64°【答案】D9．若等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．10B．7或10C．4D．7或4【答案】C10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，D是AB的中点，E在边AC上，若D与C关于BE成轴对称，则下列结论：△△A＝30°；△△ABE是等腰三角形；△点B到△CED 的两边距离相等．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D11．等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为( )A．30°B．15°C．30°或15°D．50°【答案】B12．下列说法错误的是( )A．等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴；B．等腰三角形底边上的中线所在直线是它的对称轴；C．等腰三角形顶角的平分线所在直线是它的对称轴；D．等腰三角形的一内角平分线所在直线是它的对称轴.【答案】D二、填空题13．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则△EDC = ______________【答案】15°14．如图，△ABC中，AB =AC，DE是AB的中垂线，△BCD的周长是14，BC = 5，那么AB =_________.【答案】915．等腰三角形周长为40，以一腰为边作等边三角形，其周长为45，则等腰三角形的底边长为_________【答案】1016．等边三角形的周长是30厘米，则边长为_______.【答案】10厘米17．等腰三角形的腰长为10,则底边长m的取值范围是_____.【答案】0＜m＜2018．等腰三角形的一个角是50°,则它的底角为__________°.【答案】50或65．19．等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为_____cm.【答案】5三、解答题20．如图所示，在△ABC中，△B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM 是等腰三角形．证明：连接BM ，∵AB ＝BC ，AM ＝MC ，∵BM∵AC ，且∵ABM ＝∵CBM ＝12∵ABC ＝45°， ∵AB ＝BC ，所以∵A ＝∵C ＝1802ABC ︒-∠＝45°， ∵∵A ＝∵ABM ，所以AM ＝BM ，∵BD ＝CE ，AB ＝BC ，∵AB －BD ＝BC －CE ，即AD ＝BE ，在∵ADM 和∵BEM 中，,45,,AD BE A EBM AM BM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∵∵ADM∵∵BEM （SAS ），∵DM ＝EM ，∵∵DEM 是等腰三角形．21．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE△AB，DF△AC，垂足分别为点E、F，△BAC＝120°．求证：12DE DF BC+=．证明：∵AB=AC，∵BAC=120°，∵∵B=∵C=30°，∵DE∵AB，DF∵AC，垂足为E，F，∵DE=12BD，DF=12DC，∵DE+DF=12BD+12DC=12（BD+DC）=12BC．∵DE+DF=12 BC．22．如图:已知在△ABC中,AB=AC,AE△BC,试说明AE平分△DAC.证明：∵AB=AC，∵∵B=∵C，∵AE∵BC，∵∵DAE=∵B，∵CAE=∵C，∵∵DAE=∵EAC，∵AE平分∵DAC．23．如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE△BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，那么△ADF是等腰三角形吗?为什么?【答案】∵ADF是等腰三角形，理由见解析.∵ADF是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∵∵B=∵C（等边对等角），∵DE∵BC于E，∵∵FEB=∵FEC=90°，∵∵B+∵EDB=∵C+∵EFC=90°，∵∵EFC=∵EDB（等角的余角相等），∵∵EDB=∵ADF（对顶角相等），∵∵EFC=∵ADF，∵∵ADF是等腰三角形．24．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC和△ACB的平分线交于点O.(1) 结合图形，请你写出你认为正确的结论；(2) 过O作EF△BC交AB于E，交AC于F. 请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；(3) 若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？【答案】（1）结论：∵ABO=∵CBO=∵ACO=∵BCO，理由如下：∵AB=AC，∵∵ABC=∵ACB．∵OB平分∵ABC，OC平分∵ACB，∵∵ABO=∵CBO=∵ACO=∵BCO．（2）等腰三角形有：∵ABC、∵AEF，∵BEO，∵COF，∵BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF，理由如下：由（1）可得，∵ABC、∵BOC是等腰三角形；∵EF∵BC，∵∵ABC=∵AEF，∵AFE=∵ACB,∵∵ABC=∵ACB，∵∵AEF=∵AFE，∵AE=AF,即∵AEF是等腰三角形；∵BO平分∵ABC，∵∵EBO=∵OBC；∵EF∵BC，∵∵OBC=∵EOB，∵∵EBO=∵EOB；∵EO=BE，∵∵BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∵∵COF是等腰三角形；∵EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（3）图中的等腰三角形有：∵BEO，∵COF ；结论仍然成立，理由如下：∵BO平分∵ABC，∵∵EBO=∵OBC；∵EF∵BC，∵∵OBC=∵EOB，∵∵EBO=∵EOB；∵EO=BE，人教版八年级数学上册13.3等腰三角形（包含答案）∵∵BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∵∵COF是等腰三角形；∵EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．11/ 11。
八年级数学上册-人教版八年级上册数学 专题练习专题练习：等腰三角形
专题练习：等腰三角形基础训练1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A ) A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 9或72．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D )A. 1，2，3B. 1，1， 2C. 1，1，3D. 1，2， 33．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D ) A. 60° B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120° 4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第5题图)5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn . 其中正确的结论是( A )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④(第6题图)6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交于点O .给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD .上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．7．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ ABC ＝45为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD ＝90°，连结CD ，则线段CD 的长为．(第8题图)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F .请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)并加以证明．解：AD ＝AF .证明如下： ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵DE ⊥BC ，∴∠B ＋∠BFE ＝∠C ＋∠D ＝90°， ∴∠BFE ＝∠D . ∵∠BFE ＝∠DF A ， ∴∠DF A ＝∠D ， ∴AF ＝AD .拓展提高(第9题图)9．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为Q .若BF ＝2，则PE 的长为(B )A. 2B. 3C. 23D. 310．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝12BC ，则△ABC 底角的度数为(D )A. 45°B. 75°C. 60°D. 45°或75°11．在平面直角坐标系中，点A (2，2)，B (32，32)，动点C 在x 轴上，若以A ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为(B )A. 2B. 3C. 4D. 512．如图，等腰△ABC 纸片(AB ＝AC )可按图中所示方法折成一个四边形，点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，则在原等腰△ABC 中，∠B ＝72度．(第12题图)(第13题图)13．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC 与∠DCB 的平分线相交于点H ，过H 作AD 的平分线交AB 于E ，交CD 于F .若BE ＝3，CF ＝2，则EF ＝__5__．14．如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA ，OB 上分别取点OA ＝OB 1，连结AB 1，在B 1A ，B 1B 上分别取点A 1，B 2，使B 1B 2＝B 1A 1，连结A 1B 2，…，按此规律下去，记∠A 1B 1B 2＝θ1，∠A 2B 2B 3＝θ2，…，∠A n B n B n ＋1＝θn ，则：(1)θ1＝180°＋α2；(2) θn ＝()2n －1·180°＋α2n．,(第14题图))15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，则∠A 的度数是__12°__．,(第15题图))16．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图： 以点A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以点A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2； 再以点A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3； ……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝__9__．,(第16题图)) 17．如图，已知点A (3，0)，B (0，4)，C 为x 轴上一点． (1)画出等腰三角形ABC . (2)求出C 点的坐标．,(第17题图))解：(1)如解图．,(第17题图解))(2)①当A 是顶点时，C 1(－2，0)，C 2(8，0)， ②当B 是顶点时，C 3(－3，0)③当C 是顶点时，C 4⎝⎛⎭⎫－76，0.(第18题图)18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .(1)求证：△MED 为等腰三角形． (2)求证：∠EMD ＝2∠DAC .解：(1)证明：∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴ME ＝12AB ，MD ＝12AB ，∴ME ＝MD ，∴△MED 为等腰三角形． (2)∵ME ＝12AB ＝MA ，∴∠MAE ＝∠MEA ， ∴∠BME ＝2∠MAE .同理，MD ＝12AB ＝MA ，∴∠MAD ＝∠MDA ， ∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2∠DAC .(第19题图)19．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE 平分∠BDC .(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD .解：(1)证明：∵△ABC 为等腰Rt △，∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)．∴∠DCA＝∠DCB.又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.(第19题图解)(2)如解图，连结MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.。
766.八年级新人教版数学上册同步练习：等腰三角形
同步练习：等腰三角形(60分)一、选择题(每题6分，共30分)1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是 (B)A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20°2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E .若∠E ＝35°，则∠BAC 的度数为 (A) A ．40° B ．45° C ．60° D ．70° 【解析】 ∵AE ∥BD ， ∴∠CBD ＝∠E ＝35°， ∴∠CBA ＝70°，∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠CBA ＝70°， ∴∠BAC ＝180°－70°×2＝40°.3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝72°，则∠ABD ＝(B)A ．36°B ．54°C ．18°D ．64°【解析】 ∵AB ＝AC ，∠ABC ＝72°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°， ∴∠A ＝36°， ∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－36°＝54°.4．如图23－3，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM ＋CN ＝9，则线段MN 的长为(D) A ．6B ．7 图23－1图23－2图23－3C ．8D ．9【解析】 ∵∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点E ， ∴∠MBE ＝∠EBC ，∠ECN ＝∠ECB . ∵MN ∥BC ，∴∠EBC ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECB ， ∴∠MBE ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECN ， ∴BM ＝ME ，EN ＝CN . ∵MN ＝ME ＋EN ， ∴MN ＝BM ＋CN . ∵BM ＋CN ＝9， ∴MN ＝9，故选D.5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC 中，AC ＝4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，则BC 的长为 (C) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．4 cm【解析】 ∵MN 是线段AB 的垂直平分线， ∴AN ＝BN ，∵△BCN 的周长是7 cm ， ∴BN ＋NC ＋BC ＝7(cm)， ∴AN ＋NC ＋BC ＝7(cm)，∵AN ＋NC ＝AC ，∴AC ＋BC ＝7(cm)， 又∵AC ＝4 cm ，∴BC ＝7－4＝3(cm)． 二、填空题(每题6分，共30分)6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是__20__.7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm ，图23－4图23－5若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图23－6②，则此时A，B两点之间的距离是__18__cm.图23－6【解析】∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝18 cm.8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝__15__°.【解析】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠AED＝90°，∴∠A＝∠ABD，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝90°－40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝65°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB 与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.图23－8 图23－9图23－710．如图23－9，在等边△ABC 中，AB ＝6，点D 是BC 的中点．将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为__33__. 三、解答题(共8分)11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：△BED ≌△CFD . 证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠DFC . 又∵BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD (AAS )．(20分)12．(8分)如图23－11，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连结AD ，AE .①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) __①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明) 解：(2)选择①③⇒②， ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ， 又∵BD ＝CE ， ∴△ABD ≌△ACE ， ∴AD ＝AE .13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AE ＝CE . 求证：(1)△AEF ≌△CEB ；图23－10图23－11(2)AF ＝2CD .证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠BCE ＋∠CFD ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°， ∴∠CFD ＝∠B ， ∵∠CFD ＝∠AFE ， ∴∠AFE ＝∠B ， 在△AEF 与△CEB 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠B ，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB (AAS )； (2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2CD ， ∵△AEF ≌△CEB ， ∴AF ＝BC ， ∴AF ＝2CD .(12分)14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连结DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF ＝FD . 求证：AD ＝CE .图23－13证明：如答图所示，作DG ∥BC 交AC 于G ，则∠DGF ＝∠ECF ，在△DFG 和△EFC 中，⎩⎨⎧∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC ，FD ＝EF ，∴△DFG ≌△EFC (AAS )， ∴GD ＝CE ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∵DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∴∠A ＝∠ADG ＝∠AGD ， ∴△ADG 是等边三角形， ∴AD ＝GD ， ∴AD ＝CE .初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案-人教版
八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1. 边长为2的等边三角形的面积是( )B. √ 3C. 2D. 2√ 3A. √ 322. 已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为( )A. 6cm或13cmB. 6cmC. 13cmD. 大于7cm，且小于19cm的任何值3. 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )A. ∠A=30°，∠B=60°B. ∠A=70°，∠B=50°C. ∠A=40°，∠B=70°D. ∠A=60°4. 如图，在△ABC中AB=AC，CE是△ACB的角平分线，若∠A=50°，则∠AEC的度数是( )A. 50°B. 65°C. 82.5°D. 97.5°5. 如图AB//CD，AB=AC，∠1=40°则∠ACE的度数为( )A. 80°B. 160°C. 120°D. 100°6. 如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形8. 如图，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED若∠ABC=54°，则∠E的度数为( )A. 25°B. 27°C. 30°D. 45°9. 如图所示，已知等腰直角三角形ABC中∠A=90∘，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD垂足为点E，若CE=2，则BD=( )A. 4B. 5C. 6D. 710. 如图，已知锐角△ABC中CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点∠A=70°则∠DME的度数为( )A. 15∘B. 30∘C. 40°D. 60∘二、填空题11. 等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是．12. 如图，在△ABC中AB=AC，点D在BC上，BD=CD若∠BAD=20°，则∠C=______°.13. 如图，在△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB交AC于点D，交AB于点E，若BC=4且△BDC的周长为10，则AE的长为______ ．14. 如图：在△ABC中∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作线段DE使DE//AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF，EF.已知DC=5，CE=12则△DEB的面积是______ ．15. 在扇形OAB中，∠AOB=30°，扇形所在圆的半径为12，点P，N，M分别是弧AB，线段OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为______ ．16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．17. 如图，在△ABC中AB=AC，AD⊥BD于点D，且BD=1BC若∠ABD=67∘，则∠C=．218. 已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC如图，若DE平分∠ADC，∠ABC=30°在BC 边上取点F使BF=DF，若BC=9，则DF的长为．19. 如图，在△ABC中AC=BC，∠B=38°点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D//AC时，则∠BCD的度数为．20. 如图，AD，BE在AB的同侧AD=4，BE=9，AB=12，点C为AB的中点，若∠DCE=120∘则DE 的最大值是__.三、解答题21. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB=BD，∠ABD=120°，BC=4m，求AB 的长度．22. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC=60°，∠C=45°．(1)求∠ADB的度数；(2)若BE=3，求EC的长度．23. 如图1，在△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线．(1)写出图中全等的三角形______ ，线段AD与线段BC的位置关系是______ ；(2)如图2，在(1)的条件下，过点B作BE⊥AC，垂足为E，交AD于点F，且AE=BE，请说明△AEF≌△BEC 的理由．24. 如图，△ABC中AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD和CE相交于点O．(1)OB与OC相等吗？请说明你的理由；(2)连接AO，AO的延长线交BC于点F，试判断AF与BC的位置关系，并说明理由．25. 已知：等边三角形△ABC，BC交y轴于点D，A(−3,0)，B(1,0)，如图，若点M在CA延长线上，点N在AB延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN−AM的值．参考答案1、B2、C3、C4、D5、D6、C7、C8、B9、A10、C11、55°或70°12、7013、314、65215、1216、(2,0)17、67∘18、319、33°20、1921、解：∵BC⊥AC∴∠ABD=120°∵AB=BD∴∠A=30°∵BC=4∴AB=2BC=8(米)．答：AB的长度为8米．22、解：(1)∵BD平分∠ABC∴∠DBC=12∠ABC=30°∵∠ADB是△BDC的一个外角∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°∴∠ADB的度数为75°(2)∵AE⊥BC∴∠AEB=∠AEC=90°∵∠ABC=60°∴∠BAE=90°−∠ABC=30°∴AE=√ 3BE=3√ 3∵∠C=45°∴∠EAC=90°−∠C=45°∴∠EAC=∠C=45°∴AE=EC=3√ 3∴EC的长度为3√ 3．23、△ABD≌△ACD AD⊥BC24、(1)解：OB=OC，理由如下：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴∴∴OB=OC(2)解：AF⊥BC，理由如下：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴点O是△ABC三条角平分线的交点∴AF平分∠BAC又∵AB=AC∴AF⊥BC．25、解：如图2在CA上截取CE=CD=2∵∠C=60∘∴△CDE是等边三角形∴∠CED=60∘DE=CD=2∴∠MED=180∘−∠CED=120∘AE=2∵∠CBA=60∘BD=2∴∠NBD=120∘BD=DE∴∠MED=∠NBD∵∠CMD=∠BND∴△MED≌△NBD(AAS)∴BN=EM∵AN−AM=AB+BN−AM ∴AN−AM=AB+EM−AM=AB+AE=4+2=6．。
人教版八年级上册数学13.3等腰三角形习题课件
B
P
Q
C
15. 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙 三家农户．如果∠C = 90°，∠B = 30°，要使这三家 农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，
并在图上画出来.
A
解:如图，作∠CAB 的平分线，交 BC 于
点 D，过点 D 作 DE ⊥ AB，垂足为E. 则
E
△ABC 就分成了三个大小、形状都相同
9. 某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房 梁是否水平: 在等腰直角三角尺斜边中点忡一条线绳，线绳的另一端挂一个铅 锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直 角顶点，同学们由此确信房梁是水平的.他们的判断对吗？为什么？
O
A
B
C
10. 如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB， MN 经过点 O，与 AB，AC 相交于点 M，N，且 MN // BC. 求证: △AMN 的周长等于 AB + AC.
的三角形，即△AED，△ACD和△BED. C
D
B
习题13.3
R·八年级上册
复习导入
1.（1）等腰三角形的一个角是 110°，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一个角是 80°，它的另外两个角是多少度？
解:（1）∵等腰三角形的一个角是110°，内角和为180°，∴这个角 只能是顶角.∴它的另外两个底角的度数为(180°-110°) ÷2=35°. （2）∵等腰三角形的一个角是80°，内角和为180°，∴这个角有可 能是顶角，也有可能是底角. 分以下两种情况: ①当80°的角是顶角时， (180°-80°)÷2 = 50°，即另外两个角分别是 50°，50°.
人教版八年级数学上册第13章-专项训练——等腰三角形
证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴ ∠ ABC ＝ ∠ABE ＋ ∠EBC ＝ 60° ， ∠ ACB ＝ ∠DAC＋∠ADC＝60°. ∵∠EBC＝∠DAC，∴∠ABE＝∠ADC. ∵CE∥AB，∴∠BEC＝∠ABE.∴∠ADC＝∠BEC. 又∵BC＝AC，∠EBC＝∠DAC， ∴ △ BCE ≌ △ ACD(AAS) ， ∴ CE ＝ CD ， ∠ BCE ＝ ∠ACD， 即∠ECD＝∠ACB＝60°.∴△CDE 是等边三角形．
∵BD＝AD，∠B＝∠DAF，BE＝AF， ∴ △ BDE ≌ △ ADF(SAS) ， ∴ DE ＝ DF ， ∠ BDE ＝ ∠ADF. ∴ ∠ EDF＝ ∠EDA ＋ ∠ADF＝ ∠EDA＋ ∠BDE＝ 90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形．
类型四 等边三角形的性质与判定的综合 6．如图，已知点 D 是等边三角形 ABC 的边 BC 延 长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB.求证：△CDE 是等边三角形．
5．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， D 为 BC 的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE ＝AF，试判断△DEF 的形状，并说明理由．
解：△DEF 为等腰直角三角形．理由如下： 连接 AD. ∵AB＝AC，D 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴∠ADB＝90°，∠B＝∠C＝45°，BD＝CD. ∴∠BAD＝45°，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD. ∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝45°，∴∠DAC＝ ∠B.
B．70°
C．20°
D．50°
类型二 “等边对等角”与三角形的内角和的综合 3．如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝ EB，求∠A 的 度数．
部编数学八年级上册专题04等腰三角形的判定(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04 等腰三角形的判定考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）V中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使1．（2分）（2022八上·西湖期末）如图，在ABCPA PB BC+=，下列作法正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.故答案为：C.【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.2．（2分）（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C【完整解答】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB ＝AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM ＝BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA ＝MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：C ．【思路引导】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．（2分）（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【完整解答】解：以点A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线BC 于两个点12P P ，，然后作AB 的垂直平分线交直线BC 于点3P ，如图所示：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60ABC ∠=︒，∵33AP BP =，∴3ABP V 是等边三角形，∴点32P P ，重合，∴符合条件的点P 有2个；故答案为：B ．【思路引导】先求出60ABC ∠=︒，再求出3ABP V 是等边三角形，最后求解即可。
新人教版教材八年级数学上册《等腰三角形》练习题
八年级上册等腰三角形练习题一、选择题（每小题3分，共18分）1.已知一个等腰三角形内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A ．20°B ．120°C ．20°或120°D ．36° 2.在等腰三角形中，腰上的高在三角形的外部，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不存在 3．在△ABC 中，如果只给出条件∠A ＝60°，还不能判定△ABC 是等边三角形，给出下面三种说法：（1）如果再加上条件“AB ＝AC ”，那么△ABC 是等边三角形；（2）如果再加上条件“D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ”，则△ABC 是等边三角形；（3）如果再加上条件“AB 、AC 边上的高相等”，那么△ABC 是等边三角形．其中正确的说法有（ ）A ．0B ．1个C ．2个D ．3个4．已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上任一点，连接AD 并作等边△ADE ，若DE ⊥AB ，则BD CD 的值是（ ） A.12 B.23C ．1 D.32 5．如图1所示，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个图1图2 6．如图2所示，AB ＝AC ，∠BAD ＝α，且AE ＝AD ，则∠EDC 等于（ ） A.12α B.13αC.14αD.23α 二、填空题（每小题6分，共24分）7．等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为________cm.8. 请你仔细观察图3中等边三角形图形的变换规律，写出你所发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：____________.图39．如图19，在四个正方形拼接成的图形内，以A1、A2、A3…A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的方法与他人交流吗？若愿意，请在下方简要写出你的探究过程：__________________.图19 图2010．如图20，△ABC和△CDE是等边三角形，则AD________BE.三、解答题11．如图21所示，△ABC中，AD⊥BC于D，E为BD上一点，EG∥AD，分别交AB，CA的延长线于点F，G，∠AFG＝∠G.图21（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）若∠B＝40°，求∠G和∠FAG的大小．12．如图22，C为线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB同侧作等边△ACD 和等边△BCE，AE交DC于G点，DB交CE于H点，你能说明GH∥AB吗？图2213．如图23，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点且BD ＝CE，∠DEF＝∠B，你能说明△DEF是等腰三角形吗？图23 14．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h，AM是BC边上的高．若点P在一边BC上，如图24①，此时h3＝0，可得结论h1＋h2＋h3＝h.请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内如图24②，（2）当点P在△ABC外如图24③，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予说明；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需说明．图2415．如图25所示，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，可证AN＝BM.图25（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在（1）得到的图形中，设AM的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状．。
2023-2024学年人教版八年级数学上学期：等腰三角形(附答案解析)
2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.3等腰三角形一．选择题（共7小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或122．等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为（）A．17B．19C．17或19D．无法确定3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（）A．6B．5C．4D．34．下列判断错误的是（）A．等腰三角形是轴对称图形B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合5．若等边三角形的一条高为 ，则其边长为（）A．2B．1C．3D．46．一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形7．关于等边三角形的说法：（1）等边三角形有三条对称轴；（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；（4）等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共3小题）8．如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长cm．9．已知等腰三角形一个外角等于130°，则这个等腰三角形的底角等于．10．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.3等腰三角形参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或12【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．2．等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为（）A．17B．19C．17或19D．无法确定【解答】解：三角形的腰长是5时，三角形的三边长是：5，5，7，则周长是：5+5+7＝17；当三角形的腰长是7时，三角形的三边长是：5，7，7，则周长是：5+7+7＝19．故选：C．3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，∵DE是AC的中垂线，∴AD＝CD，△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠C＝36°，∠BAD＝108°﹣36°＝72°，∵∠B＝36°，∴∠BDA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠BAD＝∠BDA，△ABD是等腰三角形，∵DF平分∠ADB，∠ADB＝72°，∴∠BDF＝∠ADF＝36°，∴△ADF和△BDF是等腰三角形．故选：B．4．下列判断错误的是（）A．等腰三角形是轴对称图形B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；故选：D．5．若等边三角形的一条高为 ，则其边长为（）A．2B．1C．3D．4【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是高，∴AB＝AC＝BC，AD⊥BC，∴BD BC AB，∴在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2+BD2，AD ，∴AB2 AB2+3，∴ AB2＝3，∴AB＝2，故选：A．6．一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据等腰三角形的三线合一的性质，可得三边相等，则对这个三角形最准确的判断是正三角形．故选：C．7．关于等边三角形的说法：（1）等边三角形有三条对称轴；（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；（4）等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据等边三角形的性质：（1）等边三角形三条边都相等，三个内角都相等，每一个角为60度；（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线；由此分析判定（1）（2）（3）（4）都正确，所以正确的说法有4个，故选：D．二．填空题（共3小题）8．如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长22cm．【解答】解：当腰长为4cm时，则三边分别为4cm，4cm，9cm，因为4+4＜9，所以不能构成直角三角形；当腰长为9cm时，三边长分别为4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，此时其周长＝4+9+9＝22cm．故答案为22．9．已知等腰三角形一个外角等于130°，则这个等腰三角形的底角等于65°或50°．【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为130°，∴与这个外角相邻的角的度数为50°，∴当50°角是顶角时，其底角为65°；当50°角是底角时，底角为50°．故这个等腰三角形的底角等于65°或50°．故答案为：65°或50°．10．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为6cm．【解答】解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6．。
数学：12.3《等腰三角形》专项练习(人教版八年级上)
数学：12．3《等腰三角形》专项练习（人教版八年级上）题目 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在AC 上，且BD = BC = AD ，求△ABC 各角的度数．（人教课本P 50例1）解 ∵ AB = AC ，BD = BC = AD ， ∴ ∠ABC =∠C =∠BDC ，∠A =∠ABD ． 设 ∠A = x ，则 ∠BDC =∠A +∠ABD = 2x ， 从而 ∠ABC =∠C =∠BDC = 2x ．于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180︒， 解得 x = 36︒．∴ ∠A = 36︒，∠ABC =∠C = 72︒．点评 根据三角形的内角和、外角性质以及角平分线、平行线的性质列出方程，是求角大小的重要方法，充分运用了方程的思想．演变变式1 如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠A = 50︒，BD 为∠ABC 的平分线，•则∠BDC = ．（答案：82.5︒）变式2 如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠BAD = 20︒，且AE = AD ，则 ∠CDE = ． （答案：10︒）变式3 如图，D 为BC 上一点，且AB = AC = BD ，则图中 ∠1与∠2的关系是（ ）．A ．∠1 = 2∠2B ．∠1 +∠2 = 180︒C ．∠1 + 3∠2 = 180︒D ．3∠1－∠2 = 180︒ （答案：D ）变式4 如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明．解 等腰三角形有：△ABC ，△BDC 或 △DAB ． 证明 在△ABC 中，∵ ∠A = 36°，∠C = 72°， ∴ ∠ABC = 180°－（72° + 36°）= 72°． ∴ ∠C =∠ABC ，从而 AB = AC ，△ABC 是等腰三角形．ABCDAE D CB20︒2 DAB C1ABCD ABCD变式5 如图，△ABC 中，AB = AC ，∠A = 36°，AB 的垂直平分线 交AC 于点D ，交AB 于点M ，证明：△BDC 是等腰三角形．变式6 如图甲，在△ABC 中，AB = AC ，AB 的垂直 平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A = 40°．（1）求∠NMB 的大小．（2）如图乙，如果将（1）中∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小． （3）根据（1）（2）的计算，你能发现其中所蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．（4）如图丙，将（1）中的∠A 改为钝角，其余条件不变，则上述规律是否需要加以修改? 请你把∠A 代入一个钝角度数验证你的结论．甲 乙 丙（答案：（1）20° （2）35° （3）∠NMB =21∠A ，证明略 （4）若∠A 改为钝角，其余条件不变，规律不变，仍为∠NMB =21∠A ）NCAB MNCAB MN CA BMNMAB CD。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题练习：等腰三角形基础训练1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A ) A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 9或72．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D )A. 1，2，3B. 1，1， 2C. 1，1，3D. 1，2， 33．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D ) A. 60° B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120° 4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第5题图)5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn . 其中正确的结论是( A )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④(第6题图)6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交于点O .给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD .上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．7．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ ABC ＝45为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD ＝90°，连结CD ，则线段CD 的长为__5或13__．(第8题图)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F .请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)并加以证明．解：AD ＝AF .证明如下： ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵DE ⊥BC ，∴∠B ＋∠BFE ＝∠C ＋∠D ＝90°， ∴∠BFE ＝∠D . ∵∠BFE ＝∠DF A ， ∴∠DF A ＝∠D ， ∴AF ＝AD .拓展提高(第9题图)9．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为Q .若BF ＝2，则PE 的长为(B )A. 2B. 3C. 23D. 310．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝12BC ，则△ABC 底角的度数为(D )A. 45°B. 75°C. 60°D. 45°或75°11．在平面直角坐标系中，点A (2，2)，B (32，32)，动点C 在x 轴上，若以A ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为(B )A. 2B. 3C. 4D. 512．如图，等腰△ABC 纸片(AB ＝AC )可按图中所示方法折成一个四边形，点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，则在原等腰△ABC 中，∠B ＝72度．(第12题图)(第13题图)13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H 作AD的平分线交AB于E，交CD于F.若BE＝3，CF＝2，则EF＝__5__．14．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA，OB上分别取点OA＝OB1，连结AB1，在B1A，B1B上分别取点A1，B2，使B1B2＝B1A1，连结A1B2，…，按此规律下去，记∠A1B1B2＝θ1，∠A2B2B3＝θ2，…，∠A n B n B n＋1＝θn，则：(1)θ1＝180°＋α2；(2) θn＝()2n－1·180°＋α2n．,(第14题图))15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__12°__．,(第15题图)) 16．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__9__．,(第16题图)) 17．如图，已知点A(3，0)，B(0，4)，C为x轴上一点．(1)画出等腰三角形ABC.(2)求出C点的坐标．,(第17题图))解：(1)如解图．,(第17题图解))(2)①当A是顶点时，C1(－2，0)，C2(8，0)，②当B是顶点时，C3(－3，0)③当C 是顶点时，C 4⎝⎛⎭⎫－76，0.(第18题图)18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .(1)求证：△MED 为等腰三角形． (2)求证：∠EMD ＝2∠DAC .解：(1)证明：∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴ME ＝12AB ，MD ＝12AB ，∴ME ＝MD ，∴△MED 为等腰三角形．(2)∵ME ＝12AB ＝MA ，∴∠MAE ＝∠MEA ， ∴∠BME ＝2∠MAE .同理，MD ＝12AB ＝MA ，∴∠MAD ＝∠MDA ， ∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2∠DAC .(第19题图)19．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE 平分∠BDC .(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD . 解：(1)证明：∵△ABC 为等腰Rt △， ∴AC ＝BC ，∠CAB ＝∠CBA ＝45°. ∵∠CAD ＝∠CBD ＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD . 又∵CA ＝CB ，∴△BDC ≌△ADC (SAS )． ∴∠DCA ＝∠DCB .又∵∠ACB ＝90°，∴∠DCA ＝∠DCB ＝45°.∵∠BDE ＝∠ABD ＋∠BAD ＝30°＋30°＝60°，∠EDC ＝∠DAC ＋∠DCA ＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM ＝∠EDC .∴DE 平分∠BDC .(第19题图解)(2)如解图，连结MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。