椭圆专题复习学案考点
高中数学专题椭圆的简单的几何性质学案
2.1。
2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。
椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（ ），（ ），（ ）; 长轴，其长为;短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。
(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。
(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。
（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。
二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。
例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。
当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是 （ )A 。
椭圆专题复习讲义全
1.短轴长为• 5，离心率eA.3B.6 椭圆专题复习★知识梳理★1. 椭圆定义：(1 )第一定义：平面内与两个定点F「F2的距离之和为常数2a(2a | F2F21)的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F、F2叫椭圆的焦点•(2 )椭圆的第二定义：平面内到定点匸与定直线1(定点匸不在定直线I 上)的距离之比是常数e_(0 e 1)的点的轨迹为椭圆(利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化)2. 椭圆的方程与几何性质：标准方程 2 2x yp -r 1(a b 0) a b2 2y x孑孑1(a b 0)性质参数关系a2b2 c2隹占八、、八、、(c,0), ( c,0)(0,c),(0, c)焦距2c范围|x| a,| y | b|y| a,|x| b顶点(a,0),(a,0),(0, b),(0,b)(0, a),(0,a),( b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴抽和原点对称离心率ce —(0,1)a准线2 a xc 2 a y 一c考点1椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用［例1 ］(湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A. 4aB. 2(a —c)C. 2(a+c)D.以上答案均有可能［解析］按小球的运行路径分三种情况：(1) A C A,此时小球经过的路程为2(a —c);⑵A B D B A,此时小球经过的路程为2(a+c);(3) A P B Q A此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面2—的椭圆两焦点为R, F2，过F1作直线交椭圆于 A B两点，则△ ABF的周长为(32 22.已知P为椭圆x L25 16 1上的一点，M ,N分别为圆(x 3)2 2 2y 1 和圆(x 3) y 4上的点，则C.12 D.24【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来2 ［解析］设椭圆的方程为笃a2y2a 1(ab 0),b c4( 2 1),.2 2b c解之得：a 4 .. 2 , b=c= 4.则所求的椭圆的方程为【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数2x32a, b, c的数量关2 y_ 1621或—162I 1.32PM PN的最小值为（）A. 5B. 7 C . 13 D .153 .设k > 1,则关于x, y的方程（1 - k）x2+y2=k2- 1所表示的曲线是（）A.长轴在x轴上的椭圆B. 实轴在y轴上的双曲线C.实轴在x轴上的双曲线D.长轴在y轴上的椭圆4. 椭圆9x2 y29的长轴长为（）A. 2B.3C.6D. 9x2 y25. 已知椭圆2 1 （a b 0）的两个焦点为F「F2,以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的a b另外两条边，且F1F24，则a等于_____________ .题型2求椭圆的标准方程［例2］设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为2—4,求此椭圆方程.［警示］易漏焦点在y轴上的情况.1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是___________________2.已知F1 1,0 , F2 1,0是椭圆的两个焦点，过F1的直线I交椭圆于M ,N两点，若MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）2A.x_2y 1 2 2B. y X 1C.2 2y X 12f xD.2y1161516 15 4 3433. 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为1，它的长轴长等于圆 2 2x y2x150的半径，则椭圆的标准方程是2( )222 2 222A.x y_. x 21 y1 C . 0^1 D . x y11612416 4434.已知方程x2cos y2s in 1,(0,）,讨论方程表示的曲线的形状5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是.3 ,求这个椭圆方程.考点2椭圆的几何性质,那么这个椭圆的离心率为C 二22.已知m,n,m+n成等差数列, m, n, mn成等比数列，则椭圆x22—1的离心率为n3 •已知椭圆方程，椭圆上点长是（）M到该椭圆一个焦点F1的距离是2, N是MF的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的A .2 x设F1,F2分别是椭圆aPF1F2 30 ,则椭圆C的离心率为5 •椭圆2x12yb21(0且F1PF2 6 .已知椭圆b 0的左、右23）与渐近线为90 ,则椭圆的离心率为（（C）吕C的上、下顶点分别为B1. B2，左、2y 0的双曲线有相同的焦点F-F2, P为它们的一个公共点，(D)左6右焦点分别为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆题型1:求椭圆的离心率（或范围）［例3 ］在厶ABC中，A 30°,|AB| 2,S ABC、3 •若以A, B为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e __________ •【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1 _［解析］S ABC I AB | | AC |si nA ,3 ,2I AC | 2、、3 , |BC| . | AB I2—| AC |2—2| AB「| AC | cosA 2e| AB| 2 <3 1e|AC| |BC| 2^3 2 2【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍<32的离心率e等于A. 137.过点M（ 1, 1）作斜率为-的直线与椭圆C: +=1 （a>b> 0）相交于A, B,离心率为（）A. B若M是线段AB的中点，则椭圆C的8 •椭圆C的两个焦点分别是F i, F2 ，若C上的点P满足| PF i | |F i F2 I，则椭圆C的离心率e的取值范围是A. e2x 9 •椭圆—+a2y_b21（a>b>0）的两顶点为A(a,O)，B（0，b），且左焦点为F，△ FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为（）1 34 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）［例4 ］已知实数x, y满足2—1,求x22x的最大值与最小值【解题思路】把x2y2x看作x的函数［解析］2.x由---42 1x2,2x21 时，x2y2扣1）223x取得最小值一，当x23,x22,2]2时，x2y2 x取得最大值【新题导练】1.已知点代B是椭圆2x2m n2n 0）上两点，且AO BO,则22.如图，把椭圆—y 125 16 R, l~2 , P4, Rj, P6, p七个点，则RF 的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于F是椭圆的一个焦点P2F2x 3 .已知椭圆一F3F P4F P5F RF PF2L 1上存在两点A、B关于直线y 4x m对称，求m的取值范围. 3X 2 ［例5］椭圆一162y 的最大值为111上的点到直线l: x y 9 0的距离的最小值为【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数［解析］在椭圆上任取一点 P,设P(4cos ,3sin ).那么点P 到直线I 的距离为:L4cxrs …2 运【名师指引】也可以直接设点 P(x,y)，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为 x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】2 21.椭圆— 壬 1的内接矩形的面积的最大值为16 92 2x y2. P 是椭圆— 2 1上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，求IPF 1IIPF 2I 的最大值与最小值a b23.已知点P 是椭圆 — y 2 1上的在第一象限内的点，又A(2,0)、B(0,1)，4O 是原点，则四边形 OAPB 的面积的最大值是 ___________ .2 4.已知P(x, y)是曲线C: —4 2—1上的动点，贝y z x 322考点3椭圆的最值问题A. 4B.C.D.■35.点P(x, y)是椭圆222x 3y 12上的一个动点，则 x2y 的最大值为().6 .若点O 和点 2F 分别为椭圆—1的中心和右焦点, 占 八、、P 为椭圆上的任意一点,uur uuuOP FP 的最小值为A . 2 ,2.2 ,27.动点P(x,y)在椭圆£25uuuu uuiu uuuu _ 1上,若A 点坐标为(3,0) , | AM | 1,且PM AM 0,则| PM |的最小值是() uuuuB.C. D.28•在椭圆丄361上有两个动点P,Q ,uuu E 3,0为定点，EP EQ ，则EP uuuQP 的最小值为(A.6B. ,.3C.9D. 12 63 9 . [2014 •福建调研 ］若点 x 2 O 和点F 分别为椭圆 4 2—=1的中心和左焦点,3占 八、、P 为椭圆上的任意一点，则uuu OP uuu -FP 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 中点弦问题1. 已知 1椭x y_ 1，则以点M( 1,1)为中点的弦所在直线方程为 ()4 3 A . 3x 4y 7 0 B . 3x 4y 1 0 C. 4x 3y 7 0 D . 4x 3y 1 0 2. 已知i 椭圆 2 x 2 y_ 1，则以点M( 1,2)为中点的弦所在直线方程为 () 116 A . 3x 8y 19 0 B . 3x 8y 13 0 C. 2x 3y 8 0 D . 2x 3y 4 0 3. 7 椭圆 x 2 2 y 1的一条弦被 A(4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9A . x 2y 0B . 2x y 10 0 C. 2x y 2 0 D . x 2 22y1.已知F 是椭圆 C 的一个焦点, 率为 2 . (2011?浙江) 焦点弦问题B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交uuu uuuC 于点D,且BF = 2 FD ，则C 的离心2设F 1, F 2分别为椭圆+y =1的焦点，点A , B 在椭圆上，若=5;则点A 的坐标是考点4椭圆的综合应用 题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题 ［例6 ］已知椭圆C 的中心为坐标原点 O , —个长轴端点为 0,1 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形， 直线l与y 轴交于点P (0, m ,与椭圆C 交于相异两点 A B,且AP 3PB . (1)求椭圆方程；【解题思通过AP 3PB，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等［解析］(1) 由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设2C：y2x1 (a b 0) b2由条件知a又有a2b22c，解得a 1 , b故椭圆C的离心率为e——，其标准方程为:a 22 X1 2y = kx + m2x2+ y2= 1 得(k2+2) x2+2 △ =( 2 km —42 2 2 2(k+ 2) ( m—1)= 4 (k —2m+ 2)>0 (*)—2kmX1+ X2=齐，消去X2,得3 (X1+ X2) 2+ 4x1X2= 0,—2 km 2•3 (齐)+42 m—12 = 0k + 2m=4时，1上式不成立；4时，k22 - 2m4 m i—1，容易验证k2>2n i—2成立，所以(* )成立(2)求m的取值范围.(2)设I与椭圆C交点为A(x i, y i)，B(X2,肿2m—1X1X2= 2——k2+ 2X1 + X2=—2x2AP = 3 PB .•.—X1 = 3x2 2X1X2=—3x2整理得4k2m + 2m i—k2—2= 022 2—2m 1 亠1k M 0 k = 2 -------- >0,.—1<IK—或一<IT<14m—1 ' 2 2即所求m的取值范围为(一1,—1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】1.设过点P x,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点, 点Q与点P关于y轴对称，0为坐标原点，若BPA. 3X222PA，且OQ AB1，则C. 3x23y21x 0,y 0 B.—3—3［解析］AB ( 2 x,3y),OQ ( x, y) |x 2 3y 2 1，选 A.P 点的轨迹方程是3 2—x 23y 21 x 0, y1 x 0,yD.3x 21 x 0, y(2)直线MN的方程为y1) 0x1x24k2k2必x22(k21)1 2k2J22. 如图，在Rt △ ABC中, / CAB=90 , AB=2, AC。
椭圆复习课(第一课时)学案-2025届高三数学一轮复习
椭圆复习课（第一课时）学习目标知识与技能：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握椭圆的简单应用.理解数形结合的思想. 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.教学过程一、知识梳理1、定义：平面内到两个定点21F F ，的距离之 等于常数（ ）的点的 轨迹叫椭圆.2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程22221(0)x y a b a b +=>> )0(12222>>=+b a b x a y 图 像范围 -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b对称性 对称轴：坐标轴; 对称中心：原点顶点坐标()0,1a A - ()0,2a A ()b B -,01 ()b B ,01()a A -,01 ()a A ,02 ()0,1b B - ()0,2b B焦点坐标 ()0,1c F - ()0,2c F()c F -,01 ()c F ,02轴长 长轴长2a ，短轴长2b焦距 c F F 221=a,b,c 关系222b a c +=亲，表格中有数处错误，你能一一找出吗？离心率1>=ac e（1）动点P 到两定点A （–2，0）,B(2，0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆.（ ）（2）若椭圆1ky 4x 22=+的焦距是22，则k=2. ( )三、能力提升考点一 椭圆的定义及其标准方程例1：已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）一个焦点为（2，0），离心率为 ；（2）过 ()23,N 1,6M ，），（-两点.直击高考已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，离心率为33，过2F 的直线L 交C 于A ，B 两点，若B AF 1∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A.12y 3x 22=+B. 1y 3x 22=+ C. 18y 12x 22=+ D. 14y 12x 22=+变式提升：设21F F ，分别是椭圆116y 25x 22=+的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，|OM| =3，则P 点到椭圆左焦点的距离为 （ ）A.4B.3C.2D.521=e X YPO xyBOA1F1F2F2FM考点二、椭圆的几何性质例2、已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，P 是椭圆短轴的一个端点，且21PF PF ⊥,则椭圆的离心率为 .变式提升椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为21F F ，，焦距为2c ，若直线y=3（x+c ）与椭圆C 的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 .互动探究已知椭圆C: 1by a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，M 为椭圆上一点，021=•M F M F ,则椭圆离心率的范围是 .XYMO1F2FYOXP1F2F探究思考1)本题中若P 点在椭圆内部，其他条件不变，试求之。
椭圆知识点复习
椭圆知识点复习一、要点归纳 （一）椭圆的定义：第一定义：平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|的动点P 的轨迹叫做椭圆。
即：│PF │+│PF'│=2a其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。
第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数），定点与定直线在椭圆同一侧，定常数为椭圆离心率。
其中定点F 为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是X=a^2/c)。
（二）椭圆的标准方程：椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X 轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦点在Y 轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)其中a>0，b>0。
a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b 时，焦点在x 轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c 和x=-a^2/c（三）椭圆的几何性质１．范围：椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里．原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x ,y ）都适合不等式,1,12222≤≤by a x即2222,b y a x ≤≤,∴b y a x ≤≤,2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x 换成-x 方程不变，图象关于y 轴对称； （2）把y 换成-y 方程不变，图象关于x 轴对称；（3）把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，图象关于原点成中心对称。
椭圆复习学案
椭圆复习学案考查方向:1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．一、知识梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫．这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集．2. 椭圆的标准方程和几何性质二、考点探究，讲练互动（一）利用椭圆定义解题1．设P 是椭圆1162522=+yx上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．A ．4B ．5C ．8D ．102.已知△ABC的顶点B ，C 在椭圆1322=+yx上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．23B ．34C ．4D ．123.(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．4.已知F 1、F 2是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by ax 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且21PF PF⊥,若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.变式：若 02160夹角为与PF PF ，△PF 1F 2的面积为93则b=方法总结：椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．（二）求椭圆方程1.（习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为2.(1)求与椭圆3422yx+＝1有相同的离心率且经过点(2，-3)的椭圆方程．(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为方法总结：运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，由题目所给条件求出m 、n 即可． （三）椭圆的几何性质应用 1. 设1F,2F 是椭圆E :2222x y ab+=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,△21F P F 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．452.椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 （ ）A ．14B 5C ．12D（四）直线与椭圆的位置关系1.（2012年高考（北京文））已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 3,求k 的值.2. （2012年高考（安徽文））如图,21F F 分别是椭圆C :22ax +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F A F ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1A F B ∆面积为403,求,a b 的值方法总结：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、三角形面积等问题。
椭圆复习学案
1.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么k 等于 （ ） A ．1- B ．1 C ．5D ．5-2.设P 是椭圆1121622=+y x 上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则21F PF ∆是( ) A ． 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形3.已知方程1k-2k 322=++y x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ( ) A ．213-≠->k k 且 B ．2123-≠<<-k k 且 C ．2>kD ．3-<k4.设定点)3,0(1-F ，)3,0(2F ，动点M 满足12||||MF MF +=a +9(0)a a>，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆或线段 B ．线段 C ．椭圆 D ．不存在5．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16 6.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ． 5B ． 7C ．13D ． 15 7. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) A 213- B 215- C 215- D 238. 设F 1、F 2为椭圆42x +y 2=1的两焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，21PF ⋅的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39.椭圆221369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ） A ．20x y -= B ．2100x y +-= C ．220x y --= D ．280x y +-=10．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 11．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，94B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 12．椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____13. 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值为 最小值为 14.椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________． 15. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则椭圆方程为16.点P 是椭圆22143x y +=上任意一点，12F F 、是焦点，那么12F PF ∠的最大值是 . 17. 化简方程4)1()1(2222=++++-y x y x 为有理方程，其结果是 。
考点38 高中数学-椭圆-考点总结和习题
考点38椭圆【命题趋势】椭圆是高考考查的重点，难点，可能在小题中出现，也经常出现在高考中的压轴题位置，是高考高分的分水岭.我们复习时必须掌握以下几点：（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【重要考向】一、椭圆定义的应用二、求椭圆的标准方程三、椭圆的几何性质及应用四、直线与椭圆的位置关系椭圆定义的应用平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =.定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.【巧学妙记】1.（2020·深圳实验学校高二月考）在ABC 中，点()2,0A -、点()2,0B ，且||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则点C 的轨迹方程是（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=(4)x ≠±C ．2216460x y +=D ．2216460x y +=(8)x ≠±【答案】B 【分析】由A 、B 的坐标求出||AB ，代入2||||||AB AC BC =+，可知点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是8的椭圆，由此求出其轨迹方程．【详解】解： 点(2,0)A -、点(2,0)B ，||4AB ∴=，||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则2||||||8AB AC BC =+=，∴点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是4的椭圆（去掉长轴上的顶点）．则4a =，2c =，22212b a c ∴=-=．∴点A 的轨迹方程是：221(4)1612x y x +=≠±故选：B ．2.（2021·安徽宿州市·高二期末（理））在ABC 中，已知()3,0B -，()3,0C 且ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．()22102516x y x +=≠B ．()22101625x y x +=≠C ．()22102516x y y +=≠D ．()22101625x y y +=≠【答案】C 【分析】由周长得到106AB AC +=>，利用椭圆定义写出点A 的轨迹方程.【详解】由条件可知16AB AC BC ++=，6BC =，106AB AC ∴+=>，∴点A 是以,B C 为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且210,26a c ==，2225,9a c ∴==，225916b =-=∴顶点A 的轨迹方程是()22102516x y y +=≠.故选：C3.（2021·浙江高二期末）已知12,F F 分别为椭圆2221(010)100x y b b +=<<的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）12PF PF +的值为________；（2）若1260F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为6433，求b 的值为________．【答案】208【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由2221(010)100x y b b+=<<知2100,10a a ==，12220PF PF a +==，（2）设12,PF m PF n ==，21222122cos F F m n F F mn P =+-⋅∠，可得2224()343c m n mn a mn =+-=-，所以243b mn =，所以12122133643sin 2433F PF F PF S mn mm b =⋅∠===，所以8b =，故答案为：（1）20；（2）8.求椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.【巧学妙记】4.（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C ，其长轴长为4，焦距为2，则C 的方程为（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=或2211612y x +=C ．22143x y +=D ．22143x y +=或22143y x +=【答案】D 【分析】由椭圆中a ，b ，c 的关系求出短半轴长b 的值，再按焦点位置分别写出所求方程.【详解】因椭圆C 中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则2a =，1c =，b ==当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为：22143x y+=，当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为：22143y x+=．故选：D5.（2021·全国高二单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得3c =，由椭圆定义求得a ，由b 2＝a 2－c 2，求得b ，即可得出结果.【详解】解：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．6.（2021·全国高二单元测试）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B (－2，1)两点；（2）a ＝4，c（3）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．【答案】（1）221155x y +=；（2）22116x y +=或22116y x +=；（3）2211510x y +=．【分析】（1）利用待定系数法求得椭圆方程；（2）求得b ，根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程；（3）首先求得2c ，然后利用P 点坐标求得22,a b ，由此求得椭圆方程.【详解】（1）设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由)2A-和()B -两点在椭圆上可得2222(2)1(11m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⎪⋅-+⋅=⎩，即341121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故所求椭圆的标准方程为221155x y +=．（2）因为a ＝4，c =所以b 2＝a 2－c 2＝1，1b =所以当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程是22116x y +=；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程是22116y x +=．（3）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b +=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．椭圆的几何性质及应用i)图形焦点在x 轴上焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b +=(0)a b >>x a ≤y b≤(,0)a ±，(0,)b ±(,0)c ±对称轴：x 轴，y 轴，对称中心：原点01e <<，c e a=22221y x a b+=(0)a b>>y a ≤x b≤(0,)a ±，(,0)b ±(0,)c±【巧学妙记】7.（2020·全国高二课时练习）已知椭圆方程为22916144x y +=，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．【答案】8674【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出a 、b 、c 的值，即可得出结果.【详解】把椭圆方程化成标准方程为221169x y +=，所以4a =，3b =，c ==所以椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为74c e a ==.故答案为：8；6；74.8.（2021·福建龙岩市·高二期末）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（）A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C 【分析】利用椭圆的简单几何性质求解．【详解】解： 椭圆22212x ya +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ．9.（2021·山西高三三模）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若1ABF 为等边三角形，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C ．3D ．12【答案】A 【分析】判断出12AB F F ⊥，利用22ce a=求得离心率.【详解】由于1ABF 为等边三角形，根据椭圆的对称性可知12AB F F ⊥，在12Rt AF F △中，126AF F π∠=，2112::1:2AF AF F F =所以2332123c e a ===+.故选：A直线与椭圆的位关系设直线:0l Ax By C ++=，椭圆22221x y a b+=，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.10.（2021·四川省内江市第六中学高二月考）已知直线:30l x y +-=，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系【详解】解：由223014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(3)14x x +-=，化简得2524320x x -+=，因为2244532640∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离，故选：C11.（2020·河南高二月考（理））直线y kx k =-与椭圆22194x y +=的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A 【分析】求得直线y kx k =-恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线y kx k =-与椭圆的位置关系.【详解】直线y kx k =-可化为(1)y k x =-，所以直线恒过点(1,0)，又2210194+<，即(1,0)在椭圆的内部，∴直线y kx k =-与椭圆22194x y+=的位置关系为相交.故选：A.12.（2021·莆田第十五中学高二期末）直线0x y m --=与椭圆2219x y +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【分析】将直线方程代入椭圆方程，消去x 得到2210290y my m -++=，令0∆=，计算即可求得结果.【详解】解：将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=，消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =一、单选题1．已知椭圆C ：22195x y +=的左焦点为F ，点M 在椭圆C 上，点N 在圆E ：()2221x y -+=上，则MF MN +的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．82．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，113AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则椭圆C 的离心率是（）A ．716B ．74C ．916D ．343．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：30x y --=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22163x y +=B ．22175x y +=C ．22184x y +=D ．22196x y +=4．已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左，右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，则12AF F △的内切圆的半径的最大值是（）A ．1B ．12C ．13D ．335．已知椭圆22:1(0)9x y C m m+=>的长轴长与短轴长之差为2，则C 的焦距为（）A 7B ．5C ．27D ．25276．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上､下顶点分别为12,B B ，右顶点为A ，右焦点为F ，12B F B A ⊥，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．22C ．512-D ．512+7．已知A ，B ，C 是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，且原点O 是△ABC 的重心，若点C 的坐标为3,22b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为33-，则椭圆Γ的离心率为（）A ．13B ．223C ．3D ．738．已知1F ，2F 是椭圆2222:154x y G +=的两个焦点，过1F 作直线l 交G 于A ，B 两点，若325AB =，则2F AB 的面积为（）A ．245B ．485C ．965D ．16415二、多选题9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1,2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．433AB =10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（）A ．圆形轨道的周长为()2km vt πB ．月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．近月点与远月点的距离为kmt m n νπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．椭圆轨道的离心率为m nm n-+三、填空题11．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，直线2a x =与C 交于A ，B 两点，若120AFB ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.四、双空题13．椭圆2221x y +=的长轴长为______，焦点坐标是________．五、解答题14．求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．15．已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010km a =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．16．已知椭圆的长轴在x 轴上，长轴长为4，离心率为32，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线220x y --=与椭圆交于,A B 两点，求,A B 两点的距离.17．地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同．我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气，将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为24个节气，规则是：任意2个相邻节气地球与太阳的连线成15︒．地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到达远日点．（1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长?并说明理由．（2）以立春为始，排在偶数位的12个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为闰月．经统计，1931年至2050年间，闰月最多的3个月份是：闰4月7次，闰5月9次，闰6月8次；闰月最少的3个月份是：闰11月1次，闰12月0次，闰1月0次．为什么会出现这种现象?请说明理由一、单选题1．（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．62．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．2,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、多选题4．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、双空题5．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.四、解答题6．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．7．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．8．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．9．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．10．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．参考答案跟踪训练1．B 【分析】根据椭圆的定义把求MF MN +的最小值转化为求ME MN -的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边即可求得.【详解】易知圆心E 为椭圆的右焦点，且3,2a b c ===，由椭圆的定义知：26MF ME a +==，所以6MF ME =-，所以()66MF MN ME MN ME MN+=-+=--，要求MF MN +的最小值，只需求ME MN -的最大值，显然,,M N E 三点共线时ME MN -取最大值，且最大值为1，所以MF MN +的最小值为615-=.故选：B.2．B 【分析】根据椭圆的对称性可知，21AF BF =，设2AF m =，由113AF BF =以及椭圆定义可得132a AF =，22a AF =，在12AF F △中再根据余弦定理即可得到22744a c =，从而可求出椭圆C 的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得21AF BF =.设2AF m =，则13AF m =.由椭圆的定义，知122AF AF a +=，即32m m a +=，解得2a m =，故132aAF =，22a AF =.在12AF F △中，由余弦定理，得122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即2222931742442224a a a a a c =+-⨯⨯=，则222716c e a ==，故74e =.故选：B.3．A 【分析】由题意，可得右焦点F 的坐标，联立直线l 与椭圆的方程，利用韦达定理，求出AB 的中点P 的坐标，由直线OP 的斜率可得a ，b 的关系，再由椭圆中a ，b ，c 的关系求出a ，b的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线:0l x y --=中，令0y =，可得x =F 0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立222201x y x y ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222()30a b y y b a b +++-=，所以2122223b y y a b +=-+，212122223x x y y a b +=+++，所以21221212OP y y b k x x a +==-=-+，所以222a b =，又222a b c =+，23c =，所以26a =，23b =，所以椭圆的方程为22163x y +=，故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出12y y +，12x x +，进而根据12OP k =-由两点间的斜率公式得a ，b 的关系.4．D利用椭圆的定义即可求解.【详解】设12AF F △的内切圆的半径为r ，由22143x y +=，则2a =，b =1c ==所以1224AF AF a +==，1222F F c ==，由12121211112222A F F r AF r AF r F F y ++=，即()121211222A r F F AF AF y ++=⨯，即3A r y =，若12AF F △的内切圆的半径最大，即A y 最大，又A y ≤≤所以max 33r =.故选：D 5．D 【分析】分椭圆的焦点在x 轴上和在y 轴上分别得出,a b ，根据条件先求出m ，再求焦距.【详解】当C 焦点在x 轴上，此时3,a b ==62-=，解得4m =此时焦距为2c ==当C 的焦点在y 轴上，此时3a b ==，则62=，解得16m =此时C 的焦距为=.故选：D .6．C 【分析】求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上､下顶点分别为12(0,),(0,)B b B b -，右顶点为A (a ，0)，右焦点为F (c ，0)，12BF B A ⊥，可得b bc a-⋅=﹣1，22a cac -=1，解得e =12-.故选：C.7．B 【分析】根据椭圆的第三定义22OC AB b k k a⋅=-，可求得,a b 的关系，进而求得离心率；【详解】设AB 的中点D ，因为原点O 是△ABC 的重心，所以,,C O D 三点共线，所以OD OC k k =，由于22223133OC AB b b b k k a a a ⎛⎫⋅=-⇒-=-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭，所以223e =，故选：B.8．C 【分析】判断出AB x ⊥轴，直接由三角形面积公式计算即可.【详解】由2222:154x y G +=知2222543c =-=，所以1(3,0)F -，把3x =-代入椭圆方程可得42425y =，故165y =±，又325AB =，所以AB x ⊥轴，则2113296||22255F AB AB d c ==⨯⨯=△S ，故选：C 9．BCD 【分析】根据椭圆方程可直接判断A 、B 的正误，设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，且124y y +=，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k 值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求AB ，即可判断C 、D 的正误.【详解】A ：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0,2)±，错误；B ：28a =，即椭圆C 的长轴长为2a =，正确；C ：由题意，可设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y +=，联立椭圆方程并整理得：222(21)4(12)8860k y k k y k k ++-+--=，M 为椭圆内一点则0∆>，∴1224(21)421k k y y k -+==+，可得1k =-，即直线l 为30x y +-=，正确；D ：由C 知：124y y +=，12103y y =，则433AB ==，正确.故选：BCD.10．BC 【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.【详解】由题，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道，环绕周期为s t ，则可得环绕的圆形轨道周长为vt km ，半径为2vtπkm ，故A 错误；则月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭，故B 正确；则近月点与远月点的距离为km t m n νπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故C 正确；设椭圆方程为22221x y a b +=，则,m R a c n R a c +=++=-（R 为月球的半径），22,2a m n R c m n ∴=++=-，故离心率为+2m nm n R-+，故D 错误.故选：BC.【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.11．22143x y +=（答案不唯一）【分析】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为()222210x ya b a b+=>>，进而根据题意得24a c =，再令1c =即可得到一个满足条件的椭圆方程.【详解】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为()222210x ya b a b+=>>因为长轴长等于离心率8倍，故28ca a=，即24a c =不妨令1c =，则224,3a b ==，所以满足条件的一个椭圆方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=（答案不唯一）【点睛】本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.12．45【分析】先不妨设A的坐标,22a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，利用等腰三角形的性质，列出31202tan 22a c ==-，解出即可.【详解】根据题意，把2a x =代入22221x y a b +=中，得2y =±，不妨设A3,22a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且(),0F c ，则F 到直线2ax =的距离为2a c -，由120AFB ∠=︒，得31202tan22a c ==-，则2b a c =-，平方计算得45c a =.故答案为：45.【点睛】思路点睛：1.不妨设A 的坐标3,22a ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，2.AFB △为等腰三角形，且120AFB ∠=︒，列出1202tan 22a c ==-，解出45c a =.13．220,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将椭圆化为标准方程可得22112x y +=，从而可求出,,a b c 的值，进而可求出椭圆的长轴长及焦点坐标.【详解】由题意，椭圆方程可化为22112x y +=，则2211,2a b ==，所以22211122c a b =-=-=，即221,,22a b c ===，故椭圆的长轴长为22a =，焦点坐标为220,,0,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；20,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.14．长轴长和短轴长分别是8和6，离心率74，焦点坐标分别是(，0)，，0)，顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．【分析】化方程为标准方程，得,a b ，再求得c 后可得结论．【详解】把已知方程化成标准方程为221169x y +=，所以a ＝4，b ＝3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6；离心率e ＝74c a =；两个焦点坐标分别是(，0)，，0)；四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．15．1.5288×108km ，1.4712×108km【分析】根据地球到太阳的最大距离是a +c ，最小距离是a ﹣c ，即可求得结论．【详解】∵椭圆的长半轴长约为a =1.5×108km ，离心率e ＝0.0192，∴半焦距约为c ae ==2.88×106km ，∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km ，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km ．16．（1）2214x y +=，短轴长为2，焦距为（2.【分析】（1）由长轴得a ，再由离心率求得c ，从而可得b 后可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离．【详解】（1）由已知：2a =，32c a =，故c =1b =，则椭圆的方程为：2214x y +=，所以椭圆的短轴长为2，焦距为.（2）联立2222014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1101x y =⎧⎨=-⎩，2220x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)A -，(2,0)B ，故||AB =17．（1）从夏至到小暑的时间长，理由见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同，则在远日点转过相同的角度面积较大，得出答案.（2）由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，从而得出近日点和远日点附近农历一个月内含中气的概率的大小,得出答案.【详解】（1）如图所示，太阳处于地球公转椭圆轨道的一个焦点F ，A ，B ，C ，D 分别为冬至，小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，则FB FA FC FD <<<，因此椭圆轨道内椭圆扇形FCD 的面积大于椭圆扇形FAB 的面积，根据“每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同”可知从夏至到小暑的时间长于从冬至到小寒的时间．（2）农历从朔日到下一个朔日前一日为一个月，大约是月亮围绕太阳地球转一周的时间（约29天半）．由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，所以远日点附近农历一个月内不含中气的概率较高，出现闰月较多；而近日点附近农历一个月内不含中气的概率较低，出现闰月较少．真题再现1．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤=⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.2．C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c++≤，化简得，()2220cb-≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．3．B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5．25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以255k =,由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21255PF =，于是122PF a PF +==，即a =，所以5c e a ===．故答案为：5；5．6．（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭22413k=+1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且63c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN==213k=+=化简得()22310k-=，所以1k=±，所以1kb=⎧⎪⎨=⎪⎩或1kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.7．（1）22154x y+=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x yC x y，求出直线,AB AC的方程后可得,M N的横坐标，从而可得PM PN+，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN+，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A-，故2b=，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b⨯⨯=，即a=，故椭圆的标准方程为：22154x y+=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+.直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k+==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k kk k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.8．（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.9．（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，。
学案1：2.5.1 椭圆的标准方程
2.5.1 椭圆的标准方程【情境导学】情景引入“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像．“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程． 新知初探 1．椭圆的定义(1)定义：如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且2a ＞|F 1F 2|，则平面内满足 |的动点P 的轨迹称为椭圆．(2)相关概念：两个定点F 1，F 2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F 1F 2|称为椭圆的 ． 思考1：椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2．椭圆的标准方程图形焦点坐标 (±c,0) (0，±c )a ，b ，c 的关系a 2＝思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( ) 2．以下方程表示椭圆的是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．2x 2＋3y 2＝6C ．x 2－y 2＝1D ．2x 2－3y 2＝63．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A ．x 25＋y 24＝1B ．x 23＋y 24＝1C ．x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1D ．x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝14．椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝ ．【合作探究】【例1】 根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26． (2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上． (3)过(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同的焦点．[规律方法]利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)． [跟进训练]1．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12．[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？【例2】设P是椭圆x225＋y2754＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[母题探究]1．将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”其余条件不变，求△F1PF2的面积．2．将椭圆的方程改为“x2100＋y264＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积．[规律方法]椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．拓展延伸：椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．类型三与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．[规律方法]求解与椭圆相关的轨迹问题的方法[跟进训练]2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．【课堂小结】(1)平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为常数， 即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞|F 1F 2|，轨迹为椭圆2a ＝|F 1F 2|，线段F 1F 22a ＜|F 1F 2|，不存在．(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a ，b ，c 其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．【学以致用】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．82．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．圆D ．以上都不对3．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为 ．4．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是 ．5．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程是 ．【参考答案】【情境导学】新知初探 1．椭圆的定义 (1) |PF 1|＋|PF 2|＝2a (2)焦点 焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：2．椭圆的标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1y 2a 2＋x 2b 2＝1 b 2＋c 2思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置． 思考3：[提示] 把方程化为标准形式，x 2，y 2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 初试身手1．[答案] (1)× (2)× (3)× [提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|． (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．B [只有B 符合椭圆的标准方程的形式⎝⎛ 可化为x 23＋⎭⎫y 22＝1．] 3．C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1．] 4．2 [由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以|PF 2|＝6－|PF 1|＝6－4＝2．]【合作探究】【例1】[解] (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5．∴b 2＝a 2－c 2＝144． ∴所求椭圆的标准方程为：y 2169＋x 2144＝1．(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1， 又椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，∴1b 2＋1＋94b 2＝1， 解之得b 2＝3，∴a 2＝4．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1． (3)由方程x 29＋y 24＝1可知，其焦点的坐标为(±5，0)，即c ＝5．设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝b 2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为9a 2＋4a 2－5＝1(a ＞b ＞0)，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)，b 2＝10， 故椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1．[跟进训练]1．[解] (1)∵a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12， 且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1．(2)法一： ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b2＝1，0＋⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14，因为a ＞b ＞0，所以方程组无解．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15，所以所求方程为y 214＋x 215＝1．法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，依题意得⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4，故所求方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1． 类型二椭圆的定义及其应用[探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．【例2】[解] 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|． ① 由椭圆的定义，得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|． ②②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534．[母题探究]1．[解] 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－3|PF 1|·|PF 2|． ① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|． ② ②－①，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝75， 所以|PF 1|·|PF 2|＝75(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝754(2－3)．2．[解] |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，又|F 1F 2|＝2c ＝12． 由余弦定理知：(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°， 即：144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|． 所以|PF 1|·|PF 2|＝2563，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433．【例3】[解] 由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |． ∴|CM |＋|MA |＝5．∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1．[跟进训练]2．[解] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1，∴|MC 1|＝13－r ．圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r ．∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1． 【学以致用】1．D [由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8．]2．B [|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，∴点M 的轨迹为线段F 1F 2．]3．8 [由方程得a 2＝32，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝16．∴c ＝4,2c ＝8．]4．16 [由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，又△ABF 2的周长等于|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝16．]5．x 24＋y 23＝1 [|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2， ∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1．]。
30、椭圆(学案)
三十、椭圆（学案）
柴秀亮
基础知识
注1：总有 a>b>0, c2 = a2 - b2
注2：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上注3：椭圆上到焦点的距离最大和最小的点是椭圆长轴的两个端点
1、椭圆第一定义反映的是：
椭圆上任意一点到两焦点的距离和是2a
即：| MF1| +| MF2 | = 2a
2、椭圆第二定义反映的是：
椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应准
线的距离比是e。
即：|| MF
e d
3、判断直线与椭圆位置关系的方法：
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
由∆符号判断相切、相交、相离；
4、弦长公式：设直线 l 与椭圆C 相交于A( x 1 ，y 1) ，B( x 2，y 2 )， 则 |AB|＝212212111y y k
x x k AB -+=-+=, 其中 k 是直线的斜率 5、弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
典型例题：
例1.椭圆 16x 2+25y 2=1600 上一点P 到左焦点F 1的距离为6，Q 是PF 1的中点，O 是坐标原点，则|OQ|= _____
例2.直线y=kx-k+1与椭圆x 2/9+y 2/4=1的位置关系为( )
(A) 相交 (B) 相切
(C) 相离 (D) 不确定。
高中椭圆相关知识点复习(生)
第一部分 椭圆相关知识点讲解二．点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+< 三．椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
三．直线与椭圆的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 四．椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系 6.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2121k x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+。
学案6：2.2.2 椭圆的简单几何性质
2.2.2 椭圆的简单几何性质【课标点击】1.掌握椭圆的中心、顶点、长短轴、离心率的概念2.理解椭圆的范围和对称性【预习导学】►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为( )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝13．椭圆x 216＋y 28＝12►随堂巩固1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．►课时训练1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于( )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．8．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程．12．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．►体验高考1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x212＋y28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .答 案►自测自评 1．【答案】D 2．【答案】A3．【答案】解：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.►随堂巩固 1．【答案】B 2．【答案】A【解析】圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a2＝4，b 2＝3，故选A.3．【解析】由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.【答案】224．【答案】解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．【答案】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.►课时训练1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A【解析】将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．【答案】D7.【答案】328．【答案】x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．【解析】若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 【答案】3310．【答案】解：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2， 得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．【答案】解：(1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．【答案】解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0， 即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考 1．【答案】A A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．【解析】由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)， 又e ＝c a，且e ∈(0，1)， ∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 【答案】333．【答案】解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．【解析】解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27.∴a ＝7，b ＝27.。
30：椭圆高三复习数学知识点总结(全)
椭圆1.椭圆的概念（1）第一定义：在平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距.（2）第二定义：平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上)的距离之比是常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆.定点F 为焦点，定直线l 为准线，常数e 为离心率.2.椭圆的方程（1）标准方程（注：求椭圆的标准方程应该先“定型”后“定量”）①当椭圆的焦点在x 轴上时，标准方程为)0(12222>>=+b a by a x .②当椭圆的焦点在y 轴上时，标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y .（2）一般方程为).,0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+（3）参数方程：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程是.20,sin cos πϕϕϕ<≤⎩⎨⎧==b y a x 3.重要结论（1）焦点三角形：椭圆上的点),(00y x P 与两焦点21,F F 构成的21F PF ∆称作焦点三角形.焦点三角形中常用结论：①a PF PF 221=+；②],[c a c a PF +-∈；③当P 在短轴端点时，21PF F ∠最大.④若存在一点P 使得,21θ=∠PF F 则离心率的范围是)1,2[sin0θ.⑤若,21θ=∠PF F 则2tan 2θb S =.（2）焦半径公式①对于焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，设),(00y x P 是椭圆上任一点，则.,0201ex a PF ex a PF -=+=②对于焦点在y 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a ayb x ，设),(00y x P 是椭圆上任一点，则.,0201ey a PF ey a PF -=+=4.椭圆的几何性质标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 图形范围b y b a x a ≤≤-≤≤-,bx b a y a ≤≤-≤≤-,对称性对称轴：x 轴和y 轴对称中心：原点顶点),0(),0,(b a ±±),0(),0,(a b ±±焦点)0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -轴长轴长：a2短轴长：b 2长半轴长：a短半轴长：b焦距c2准线左焦点：)0,(c -左准线：ca x 2-=；右焦点：)0,(c 右准线：ca x 2=.下焦点：),0(c -下准线：ca y 2-=；上焦点：),0(c 上准线：ca y 2=.离心率a c e =通径a b 22c b a ,,的关系222c b a +=5.直线和椭圆的综合问题①直线和椭圆位置关系判断联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax b kx y ，转化成)0(02≠=++A C Bx Ax ，判断：,0>∆两个公共点，相交；,0=∆一个公共点，相切；,0<∆无公共点，相离.②弦长公式正设直线12AB x ==-=反设直线12AB y ==-=③“点差法”处理中点弦问题.已知),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上两个不同的点，),(00y x M 是AB 的中点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(1)1(1222222221221b y a x b y a x ，)2()1(-得2121222121y y x x a b x x y y ++⋅-=--，0022y x a b k AB ⋅-=∴，.22a b k k OM AB -=⋅∴小结：中点弦问题的重要结论：已知),(),,(2211y x B y x A 是椭圆12222=+by a x 上两个不同的点，),(00y x M 是AB 的中点，则下的数下的数22x y k k AB OM -=⋅.（解答题要证明）④椭圆的一个神结论：椭圆B A b y a x ,,12222=+是关于中心对称的两点，P 是椭圆上任意一点，则下的数下的数22x y k k PB P A -=⋅.（证明：设),,(),,(2211y x P y x A 则),,(11y x B --.)1()1(222122221222222122212212121212ab x x a x b a x b x x y y x x y y x x y y k k PBP A -=----=--=++⋅--=⋅∴）⑤过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点),(00y x P 的切线方程为12020=+byy a x x .（解答题直接设出切线方程，说明将其代入椭圆方程得0=∆即可）⑥韦达定理的使用要规范，一定要写0∆>.如要求直线:AB (1)y k x =-与椭圆:C 2212x y +=相交的弦长，应这样表述：将(1)y k x =-代入椭圆方程，得2222(12)42(1)0,k x k x k +-+-=则2880,k ∆=+>12x x +=22412k k +，21222(1).12k x x k -⋅=+所以2222(1).12k AB k+=+⑦定值﹑定点﹑定线问题，可以先特殊情况得到答案，再论证一般情况证出答案.。
(完整版)椭圆知识点复习总结
椭圆知识点总结复习1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
⑥通径22b a例二：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP平行，求离心率e2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求） （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；例三：:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；例四：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率2e =（1）求椭圆的方程（2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：21212AT AF F =.∆4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。
高中数学-椭圆-超经典-知识点+典型例题讲解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间２0１４年12月１3日 第( )次课 共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是 ．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 ， 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。
椭圆知识点总结加例题
椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。
1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。
（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。
（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。
（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。
（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。
1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。
通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。
1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。
椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。
二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。
2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。
椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。
高中椭圆的知识点总结
高中椭圆的知识点总结关键信息：1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程3、椭圆的性质4、椭圆的焦点、焦距5、椭圆的离心率6、椭圆中的弦长公式7、椭圆与直线的位置关系11 椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
111 数学表达式若点$M$到两定点$F_1$，＄F_2$的距离之和为$2a$，两定点之间的距离为$2c$（＄2a ＞ 2c$），则椭圆的定义可以表示为$｜MF_1| ＋｜MF_2| ＝ 2a$。
12 椭圆的标准方程焦点在$x$轴上的椭圆标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
焦点在$y$轴上的椭圆标准方程为：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
121 推导过程以焦点在$x$轴上为例，设椭圆的两个焦点分别为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄，点$M(x, y)＄为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可得：＄＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a$，经过一系列的化简可得椭圆的标准方程。
13 椭圆的性质131 对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
132 顶点焦点在$x$轴上的椭圆，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
133 范围焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
椭圆的性质 专题学案汇编
椭圆的简单性质班级：姓名：小组：【学习目标】掌握椭圆的简单几何性质，并能利用它们解决简单的问题．【重点、难点】重点：1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．2．掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系．难点：用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．【学法指导】通过椭圆的图像，来研究椭圆的性质：对称性、范围、离心率【预习感知】通过对课本的研读，明确椭圆的性质。
（预习后，把知识梳理一下）－a≤x≤a－b≤x≤b【预习检测】1．已知椭圆的焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过定点M (3,0)，则椭圆的方程为( )A ．x 29＋y 2＝1B ．x 29＋y 281＝1 C ．x 29＋y 2＝1或x 29＋y 281＝1 D ．y 29＋x 2＝1[答案] C[解析] (1)当焦点在x 轴上时，由题意可知，a ＝3，b ＝1，此时椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆过点M (3,0)，得b ＝3， ∴a ＝9，此时椭圆的方程为x 29＋y 281＝1.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A ．45B ．35C ．25D ．15 [答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝5或e ＝－1(舍)，故选B ．3．(2014·潍坊二中调研)如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) [答案] D[解析] 由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6.解得a >3或－6<a <－2，故选D ．4．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12B ．23C ．34D ．45[答案] C[解析] 本题考查了椭圆的定义，几何性质及离心率的求法．△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF 2|＝|F 2F 1|⇒2(32a －c )＝2c ⇔e ＝c a ＝34.注意数形结合思想是解析几何的核心．5．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长、短轴B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．x，y有相同的取值范围[答案] B[解析]∵0<k<9，∴0<9－k<9,16<25－k<25，∴25－k－9＋k＝16，故两椭圆有相等的焦距．【自主探究】7．如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．[解析](1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝1 2.(2)a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为：y＝－3(x－c)．所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c ．由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．[分析] 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．[解析] 由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2， 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ． 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． [解析] (1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4，又由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－a 2＝25，∴a ＝5，∴C 的方程为225＋216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)． 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，x 1＋x 2＝3， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点为(32，－65)．【课堂检测】（见课堂多媒体，随堂检测）1．若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为12，则k ＝________________.[答案] 43或－1[解析] 当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4，∴c 2＝k ，∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，即kk ＋4＝14，∴k ＝43，当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4，∴c 2＝－k ，∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，即－k 4＝14，∴k ＝－1.综上可知，k ＝43或k ＝－1.2．椭圆24＋23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ．当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________________．[答案] 3[解析] 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎨⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【课后训练】1．(2014·全国大纲理)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1[答案] A43，∴a ＝3，b 2＝2，故椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A ．14B ．55C ．12D ．5－2[答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55.3．我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22·|AB |·|BF |＝a 2＋b 2＋a 2－(a ＋c )22·|AB |·|BF | ＝(2＋5－12)a 2－(1＋5－12)2a 22·|AB |·|BF |＝(5＋32－5＋32)a 22·|AB |·|BF |＝0 ∴∠ABF ＝90°，选C ．。
椭圆的的知识点学习复习详细计划总结
椭圆方程式知识点总结
1.椭圆方程的第必定义：
⑴①椭圆的标准方程：
i.中心在原点，焦点在 x 轴上： . ii. 中心在原点，焦点在轴上： .?????????? ②一
般方程： . ③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于） .
⑵①极点：或 . ②轴：对称轴： x 轴，轴；长轴长，短轴长 . ③焦点：或 . ④焦距： . ⑤准线：或 . ⑥离心率： . ⑦焦点半径：
i.? 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义能够推出.
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义能够推出 .
由椭圆第二定义可知：归纳起来为“左加右减” .
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆 .? ⑧
通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 . 坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于 0 的参数，的离心率也是 ?我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 .
⑸若 P 是椭圆：上的点 . 为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得） . 假如双曲线，则面积为 .
椭圆的简单几何性质
常有考法
在段考取，多以选择题、填空题和解答题的形式考察椭圆的简单几何性质。
选择题和填空题一般属于简单题，解答题一般属于难题。
在高考取，一般以解答题的形式交融其余圆锥曲线结合考察椭圆的几何性质，难度较大。
误区提示
求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。
假如不可以确立，要分类议论。
【典型例题】。
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椭圆专题复习
1. 椭圆定义：
（1）定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.
当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹_______________________ ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹_______________________ 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹________________________ 2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
)0(122
22>>=+b a b
y a x )0(122
22>>=+b a b
x a y 性 质
参数关系
焦点
焦距
范围 顶点
对称性 离心率
考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用
[例1 ]椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a
B ．2(a －c)
C ．2(a+c)
D ．以上答案均有可能
【新题导练】
1.短轴长为5，离心率3
2
=
e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则
△ABF 2的周长为 （ ）
A.3
B.6
C.12
D.24
2.已知P 为椭圆
22
12516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）
A ． 5
B ． 7
C ．13
D ． 15 题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.
【新题导练】
3. 如果方程x 2
+ky 2
=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.
4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上
的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.
考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
[例3 ] 在ABC △中，
3,2||,300
===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，
则该椭圆的离心率e = ．
【新题导练】
5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .
45 B .23 C .22 D .2
1 6.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆
12
2=+n
y m x 的离心率为
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4 ] 已知实数y x ,满足12
42
2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值
【新题导练】
7.已知点B A ,是椭圆22
221x y m n
+=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=
8.如图，把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴
的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点
则1
234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________
考点3 椭圆的最值问题
[例5 ]椭圆
19
162
2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．
【新题导练】
9.椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为
10. P 是椭圆122
22=+b
y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值
与最小值
11.已知点P 是椭圆14
22
=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．
考点4 椭圆的综合应用
题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 3=． （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．
[例7 ]、从椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点
1F ,A 为椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点,且(0)AB OP λλ=>
.
⑴、求该椭圆的离心率.
⑵、若该椭圆的准线方程是25x =±，求椭圆方程.
【新题导练】
12.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是
（ ） A.
()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132
3
22>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-
y x y x D. ()0,012
3
322>>=+y x y x 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2。
一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |+|PB |的值不变，直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；
（2）设直线l 的斜率为k ，若∠MBN 为钝角，求k
的取值范围。
基础巩固训练
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且
901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( )
A
21
3- B 21
5- C 215- D 2
3
2. 设F 1、F 2为椭圆4
2x +y 2
=1的两焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，21PF PF ⋅的
值为
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3.椭圆
22
1369
x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是
A ．20x y -=
B ．2100x y +-=
C ．220x y --=
D ．280x y +-= 4.在ABC △中，90A ∠=
，3
tan 4
B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点
C ，则该椭圆的离心率e = ．
5. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为 _________.
6.在平面直角坐标系中，椭圆22
22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径
的圆，过点2,0a c ⎛⎫
⎪⎝⎭
作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 综合提高训练 7、已知椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 与过点A (2，0)，B (0，1)的直线l 有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率2
3
=e ．求椭圆方程。