中科大-傅里叶光学Ch2【2】

二：线性系统
系统↔变换,线性系统,线性性质和迭加积分
不变线性系统：传递函数 二维抽样定理


1:线性性质和迭加积分
系统 表示一个系统最合适的方法是一个数学算符： 数学算符
g 2 ( x2 , y2 ) = S{g1 ( x1 , y1 )} , S{}算符 ↔ 变换 g1表示系统的输入， 2 表示系统相应的输出 g
线性系统：
S{as ( x1 , y1 ) + bt ( x1 + y1 )} = aS{s ( x1 , y1 )} + bS{t ( x1 , y1 )}
线性的好处是： 输入函数可分解某些基元函数的线性组合,基元函数通过系统后输出 函数(基元响应函数)可方便求出,对线性系统其输出即为基元响应函 数的线性组合


光学中基元函数:
⎧δ 函数（点基元、球面波） ⎨ ⎩指数函数（余弦基元、平面波）
分解 → 变换 → 综合 线性系统： 基元 → S {
} → ∑S{ }
以点基元为例：δ 函数


分解 输入函数g1 ( x1 , y1 ) ⎯⎯⎯ δ 函数的线性组合（筛选性） →
∞
g1 ( x1 , y1 ) =
−∞
∫ ∫ g (ζ ,η )δ ( x − ζ , y
1 1
∞ −∞
1
− η )d ζ dη
系统输出函数g2 ( x2 , y2 ) = S{ ∫ ∫ g1 (ζ ,η )δ ( x1 − ζ , y1 −η )dζ dη} 把 g 1 (ζ , η ) 看 作 加 在 基 元 δ ( x1 − ζ , y1 − η ) 上 的 权 重 因 子
∞
g 2 ( x2 , y2 ) =
令h( x2 , y2 ; ζ ,η ) = S{δ ( x1 − ζ , y1 − η )}
−∞
∫ ∫ g (ζ ,η )S{δ ( x − ζ , y
1 1
1
− η )}dζ dη


h( x2 , y2 ; ζ ,η )表征系统在输出平面的( x2 , y2 )点上 对输入平面坐标(ζ ,η )上的δ 函数的输入响应
函数h( x2 , y2 ; ζ ,η )称为系统的脉冲响应
∞
∴ 输出：g 2 ( x2 , y2 ) =
−∞
∫ ∫ g (ζ ,η )h( x , y ; ζ ,η )dζ dη
1 2 2
线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征
问题：h( x2 , y2 ;ζ ,η )是位置的函数，通通知N多点源的响应 → 输出


2:空不变线性系统：传递函数
有无点源的输出函数不随输入函数的空间位置而变 ?
有→空不变线性系统.对理想成像系统空不变线性系统是必备的
物函数g1 ( x1 , y1 ) → 像函数g 2 ( x2 , y2 )
物平移g1 ( x1 − x0 , y1 − y0 ) → 像函数形式不变g2 ( x2 − Mx0 , y2 − My0 )
→脉冲响应就简单了,例:
响应函数 物平面中位于坐标原点的单位脉冲δ ( x1, y1 ) ⎯⎯⎯⎯ h( x2 , y2 ) →
响应函数 位于x1 = ζ ,y1 = η点的δ ( x1 − ζ , y1 −η) ⎯⎯⎯⎯ h( x2 − Mζ , y2 − Mη) →


∞
输出：g 2 ( x2 , y2 ) =
−∞
∫ ∫ g (ζ ,η )h( x
1
∞ 1
2
− M ζ , y2 − Mη ) d ζ dη
物、像坐标取合适，如4F系统，M = 1
输出：g 2 ( x2 , y2 ) =
−∞
∫ ∫ g (ζ ,η )h( x
2
− ζ , y2 − η ) d ζ dη
g 2 = g1 ∗ h
对于空不变线性系统：输出函数g2是输入函数g1和系统脉冲响应h的卷积 卷积表示一输出，是描述描述空不变系统的，系统的成像特性完全由h体现
h是在空域中描述系统的全部成像特性


传递函数
卷积的F.T.性质：
F { g2} =F { g1 ∗ h}⇒
G2 ( f x , f y ) = H ( f x , f y )G1 ( f x , f y )
∞
H ( fx , f y ) =
−∞
∫ ∫ h(ζ ,η ) exp[− j 2π ( f ζ + f η )]dζ dη
x y
函数 H 称为成像系统的传递函数，表示系统的频域 称为成像系统的传递函数 的效应,同样可以体现系统的全部成像特性


输入
线性空不变系统
输出
空域：
g1 (ζ ,η ) ∗ h( x2 − ζ , y2 − η ) ⇒ g 2 ( x2 , y2 )
↓ ↓ ↓
F { g1 (ζ ,η )} F {h( x2 − ζ , y2 − η )}
F { g 2 ( x2 , y2 )}
频域：
G1 ( f x , f y ) • H ( f x , f y ) ⇒ G 2 ( f x , f y )


1、H ( f x , f y )表示各个f x , f y 频率分量在振幅上透过率为多少， 位相发生多少移动。

2 = HG1是相乘作用，所以系统不会产 G 生新的频率。

即G1原有的频率按透过比例和相移通过，G1中 原来没有的频率经过系统后不会产生新的频率分量
2、H ( f x , f y )只适合于空不变线性系统，既响应为 h( x2 − ζ , y2 − η )的系统。

H = G2 G1
3、能给出h( x2 − ζ , y2 − η ) 或H 系统是空不变线性系统， 否则不是


)。