3 运动的守恒定律 1

tg=0.010，夹角很小
1 2 gs gstg v 0 2
2
或
2 v0 s 2 g( tg )
代入已知数字得
10 2 s m 85 m 2 9.8(0.05 0.010)
解二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系统 内只有汽车受到 f r和 N 两个力的作用，运用系统的 功能原理，有 1 2 fr s ＝ (0 Gs sin ) ( mv0 0) 2 1 2 Gs mv 0 Gs sin 2
3. 机械能守恒定律 如果一个系统内只有保守内力做功，或者非 保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的 动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持 不变。这一结论称为机械能守恒定律。 条件: 定律:
W
ex
W
in nc
0
E Ka E Pa E Kb E Pb
或
E E K E P 常量
F1 F
y2
m1
解 根据受力平衡有
F ky1 m1 g m1 g＋ky2
m2被提起必须满足 ky2 m2 g
F m1 g＋ky2 m1 g m2 g
dv mg sin m dt ds rd rd v dt dt dt v v ( gr sin )d vdv
90 0
en FN

et
P
1 2 v v 2 gr cos 2 g cos / r 2 2 v FN mg cos m 3mg cos FN FN 3mg cos en r gr cos | gr cos 90
例3：一质量为m的小球最初位于 A点，然后沿半径为r的光滑圆轨 道 ADCB 下滑。试求小球到达点 C 时的角速度和对圆轨道的作用力。
A
O
B
r
C
D
解：研究对象：小球
参考系：地面，建立自然坐标系 受力分析：FN P man mat
v2 FN mg cos m r
O
W
in nc
E W
ex
1 al 2 2
例2 一汽车的速度v0=36km/h, 驶至一斜率为0.010的斜坡时， 关闭油门。设车与路面间的摩 擦阻力为车重G的0.05倍，问 汽车能冲上斜坡多远？
N
G2
s
fr
解一：取汽车为研究对象。 G G1 汽车上坡时，受到三个力的 作用。根据动能定理： 1 2 f s Gs sin 0 mv r 0 W Ek 2 1 2 G1 s Gs sin mv 0
讨论： （1）势能是物体状态的函数。 （2）势能的大小具有相对性，其值与势能的零 点的选取有关 。但两点间的势能差则是绝对的， 与势能零点的选取无关。 （3）势能是属于相互作用为保守力的物体所组 成的系统的。
三、势能曲线
Ep mgy
Ep
Mm Ep G r
1 2 Ep kx 2
Ep
r
y
dr dxi dyj
dW mg dr mgj dxi dyj mgdy
W
y2
y1 a


2
y2
m dr c P
d
b
o
x
mgdy mg( y
y1
y1 ) (mgy2 mgy1 )
2 弹性力作功
F m
O
xa
x
xb
x
弹性力
二、势能
—与质点在保守力场中的位置有关的能量。
W ( Ep2 Ep1 ) Ep
万有引力的功 引力势能
m 'm Mm Mm Ep G W ( G ) ( G ) r rb ra 重力势能 重力的功 E p mgy W (mgy2 mgy1 ) 弹性势能 弹力的功 1 2 1 2 1 2 W ( kxb kxa ) Ep kx 2 2 2
例3 起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以速度v0 作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因 惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？(设 钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不计)。这样 突然刹车后，钢丝绳所势能点
x0
v0
G
h
零重力势能点
解 由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。除重力和 钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都不作功， 所以系统的机械能守恒。
重 p2
钢丝绳所受的最大拉力：
mg k ( x0 h) k ( Tm k
m v0 ) mg km v0 k
由此式可见，如果v0较大，T'm也较大。所以对 于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度v0不得超过 某一限值。
例4 如图所示，用一弹簧把两块质量分别为 m1 和 m2 的板连接起来。问在 m1上需要加多大的压 力方可在力停止作用后，恰能使 m1在跳起时 m2 稍被提起。弹簧的质量忽略不计。
4. 能量守恒定律
一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有 能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另 外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。 这就是普遍的能量守恒定律。
宏观系统的总能量：
内能+动能+重力势能+静电能+磁能+形变能+表面能+…
广义内能：由系统内部状况决定的能量，即全部微观粒 子各种能量的总和，包括微观粒子的动能、势能、化学 能、电离能、核能等等的总和 。
解： F 3ax xg
3 1 2 W (3ax xg)dx al gl 2 0 2 2 1 l 2 2 E Ek E P l v lg v 2al 2 2
ex l
X
v
x
a
in W ex Wnc Ek E p E
F＝－kxi dW F dx kxi dxi kxdx
W
xb xa
1 2 1 2 1 2 1 2 kxdx kxa kxb ( kxb kxa ) 2 2 2 2
3 万有引力作功
a
ra
M
m
d W F dl mM －G 2 e r d l r mM －G 2 d r r
婉约,缠绵,灵动兼保守的中国建筑！
conservative force
保守力的普遍定义：在任意的参考系中，成对
保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，
而与各质点的运动路径无关。 保守系统（守恒系统）：所有的作用力都是保 守力的系统。
§3-1 保守力与非保守力 势能
1. 保守力
1.1 重力作功
xo位置的机械能:
E1 ＝Ek 1 ＋E ＋E
最低位置的机械能:
弹 p2
弹 p1 重 p1
1 1 2 2 mv 0 kx0 mgh 2 2
1 2 E 2＝E k 2＋E ＋E 0 k ( x0 h) 0 2 1 1 2 1 2 mv 0 kx0 mgh k ( x0 h)2 2 2 2 m x0=G/k=mg/k h v0 k
Ep
O
O
y
O
x
引力势能曲线
重力势能曲线
弹性势能曲线
利用势能曲线，可判断质点在任一位置的保守力
W Ep
一维情况下
dW dEp
dW F ( x)dx dEp
F ( x) dE p dx
三维情况下
F EP
§3-2 功能原理 机械能守恒定律
1. 质点系统动能定理
W
2.系统的功能原理
ex
W
in
E k
W W W
in in c
in nc
W E p
in c
W W Ek E p E
ex in nc
例1 一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量 为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握 住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条 刚好被完全提起时，求链条内力所作的功。
y o
y2
y1
m1
m2
y
F m1 g ky1 o y1 1 2 ky1 m1 gy1 2 m1 g m2 1 2 ky2 m1 gy2 2 1 k ( y1 y2 )( y1 y2 ) m1 g( y1 y2 ) 2 ky1 m1 g m1 g ky2
rb
r
r dr

dl
dr
c
rb
b
mM GMm GMm W －G 2 dr ( ) ( ) ra r ra rb
保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路 径无关。 这一特点的力——万有引力、重力、弹性力。
数学表达式
W
F dr 0
l
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对 它所作的功为零。 非保守力：作功与路径有关的力——如摩擦力