第四章《三角函数》单元检测(四)

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2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4简单的三角恒等变换练习含解析

简单的三角恒等变换考试要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S 2α：sin2α＝2sin αcos α.(2)公式C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)公式T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2α2，1＋cos α＝2cos2α2.(升幂公式)(2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22.(升幂公式)(3)sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2，tan 2α＝1－cos2α1＋cos2α.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.( √ )(2)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ ) (4)存在实数α，使tan2α＝2tan α.( √ ) 教材改编题1．sin15°cos15°等于( ) A ．－14B.14C ．－12D.12答案 B解析 sin15°cos15°＝12sin30°＝14.2．化简1＋cos4的结果是( )A ．sin2B ．－cos2 C.2cos2 D ．－2cos2答案 D解析因为1＋cos4＝2cos 22，又cos2<0，所以可得选项D 正确．3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α等于( )A ．－22B ．2C ．－13D ．－12答案 D解析由tan(π＋2α)＝－43，得tan2α＝－43，又tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限角，所以tan α＝－12.题型一三角函数式的化简例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( )A.1515B.55C.53D.153答案 A解析方法一因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515.方法二因为tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝.答案 12cos2x解析原式＝2cos 2x cos 2x －1＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 22x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x cos x 1＋sin x cos x·1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝12cos 22x cos 2x －sin 2x ＝12cos2x . 教师备选1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23C.13D.59答案 A解析由3cos2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. 2．已知0<θ<π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝.答案－cos θ解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1 (1)21＋sin4＋2＋2cos4等于( ) A ．2cos2 B ．2sin2 C ．4sin2＋2cos2 D ．2sin2＋4cos2答案 B解析 21＋sin4＋2＋2cos4＝2sin 22＋2sin2cos2＋cos 22＋2＋22cos 22－1 ＝2sin2＋cos22＋4cos 22＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵π2<2<π， ∴cos2<0，∵sin2＋cos2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π4，0<2＋π4<π，∴sin2＋cos2>0，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.(2)化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( ) A.33B.233C. 3 D ．2答案 B解析原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1 ＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5° ＝11－2sin 215°＝1cos30°＝233. 题型二三角函数式的求值命题点1 给角求值例2 (1)sin40°(tan10°－3)等于( ) A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 sin40°·(tan10°－3)＝sin40°·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－3 ＝sin40°·sin10°－3cos10°cos10°＝sin40°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin10°－32cos10°cos10°＝sin40°·2cos60°·sin10°－sin60°·cos10°cos10°＝sin40°·2sin 10°－60°cos10°＝sin40°·－2sin50°cos10°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.(2)cos20°·cos40°·cos100°＝. 答案－18解析 cos20°·cos40°·cos100° ＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.命题点2 给值求值例3 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( )A.29 B ．－29C.79 D ．－79答案 C解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－29＝79.(2)(2022·长春质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6等于( ) A.23B.29C ．－19D ．－79 答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋3cos α＝13，∴sin αcosπ3－cos αsin π3＋3cos α＝13， ∴12sin α－32cos α＋3cos α＝13， ∴12sin α＋32cos α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π2＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.命题点3 给值求角例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos2α＝，2α－β＝.答案 17 π3解析因为cos α＝277，所以cos2α＝2cos 2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314，因此sin2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 教师备选 1.cos40°cos25°1－sin40°的值为( )A ．1B.3C.2D ．2 答案 C解析原式＝cos 220°－sin 220°cos25°cos20°－sin20°＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2.2．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.7π6答案 C解析因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55，因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255.由sin B ＝1010，且B 为钝角，得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝－31010.所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，所以A ＋B ＝7π4.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝. 答案4－3310解析由题意可得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin2θcos π3－cos2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310. 思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． (2)给值(角)求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α等于( )A.15B.55C.33D.255 答案 B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55. (2)(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12B.33C.22D.32 答案 D 解析因为cos5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32.(3)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝13，则sin2x ＝. 答案－13解析 ∵sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin2x 2＝13， ∴sin2x ＝－13.题型三三角恒等变换的综合应用例5 (2022·河南中原名校联考)已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且f (α)＝65，求cos2α.解 (1)f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－ 3＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x － 3＝23cos 2x －2sin x cos x － 3 ＝3(1＋cos2x )－sin2x － 3 ＝3cos2x －sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，解得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且f (α)＝65，而f (α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝65，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝35，因为0≤α≤π2，所以π6≤2α＋π6≤7π6，则π6≤2α＋π6≤π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45，则cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝35×32＋45×12 ＝33＋410. 教师备选已知函数f (x )＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋64cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值．解 (1)由题意得f (x )＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋64cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －7π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，64，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22.(2)因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝1625－925＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－7π12 ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4 ＝－12(sin2θ－cos2θ)＝12(cos2θ－sin2θ) ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫725＋2425 ＝3150. 思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练 3 (2022·云南曲靖一中质检)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 2，2sin x2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2，3cos x 2，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的最大值，并指出f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，f (β)＝65，求f⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值．解 (1)f (x )＝cos 2x2－sin 2x 2＋23sin x 2cos x2＝cos x ＋3sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，令x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，得x ＝π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )的最大值为2，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π3＋2k π，k ∈Z . (2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝513，∵0<β<π2，∴π6<β＋π6<2π3，又f (β)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴π6<β＋π6<π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝6365， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12665. 课时精练1．已知tan α＝3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2等于( ) A ．－32B.35 C ．－35D.15答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α＝－2sin αcos α ＝－2sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×31＋32＝－35.2．(2022·安庆模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan θ＝2，则cos2θ等于( )A ．－23B.23C ．－13D.13答案 C解析 cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－13. 3．(2022·威海模拟)tan67.5°－1tan67.5°的值为( )A ．1B.2C ．2D ．4 答案 C解析 tan67.5°－1tan67.5°＝sin67.5°cos67.5°－1sin67.5°cos67.5°＝sin67.5°cos67.5°－cos67.5°sin67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin67.5°cos67.5°＝－cos135°12sin135°＝2.4．(2022·黑龙江大庆中学模拟)若cos(30°－α)－sin α＝13，则sin(30°－2α)等于( ) A.13 B ．－13C.79D ．－79答案 D解析由cos(30°－α)－sin α＝13，得32cos α－12sin α＝13，即cos(30°＋α)＝13，所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α) ＝2cos 2(30°＋α)－1＝2×19－1＝－79.5．(多选)已知f (x )＝12(1＋cos2x )sin 2x (x ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小正周期T ＝π 答案 ABC解析 ∵f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x ) ＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )， ∴f (－x )＝18[1－cos4(－x )]＝18(1－cos4x )＝f (x )， T ＝2π4＝π2， f (x )的最大值为18×2＝14，故A ，B ，C 正确，D 错误．6．(多选)下列各式中，值为12的是( )A ．cos 2π12－sin 2π12B.tan22.5°1－tan 222.5°C ．2sin195°cos195°D.1＋cosπ62答案 BC 解析 cos2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12 ＝cosπ6＝32，故A 错误；tan22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan22.5°1－tan 222.5 ＝12tan45°＝12，故B 正确； 2sin195°cos195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin15°cos15°＝sin30°＝12，故C 正确；1＋cosπ62＝2＋34＝2＋32≠12，故D 错误． 7．求值：3－tan12°2cos 212°－1sin12°＝.答案 8解析原式＝3－sin12°cos12°cos24°sin12°＝3cos12°－sin12°cos24°sin12°cos12°＝2sin 60°－12°14sin48°＝2sin48°14sin48°＝8.8．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝.答案－725解析方法一 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.方法二 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35，∴12(1＋sin2α)＝925， ∴sin2α＝2×925－1＝－725.9．(2022·杭州模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，求cos α的值．解 (1)因为f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1＋2sin5π6＝1＋1＝2. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43＋310. 10．如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝1.连接BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12？解设∠PAB ＝α，连接PB .∵AB 是圆的直径，∴∠APB ＝90°. 又AB ＝1，∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.∵PC 是圆的切线，∴∠BPC ＝α. 又PC ＝1，∴S 四边形ABCP ＝S △APB ＋S △BPC ＝12PA ·PB ＋12PB ·PC ·sin α ＝12cos αsin α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14 ＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14，由已知，得24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴2α－π4＝π4，∴α＝π4，故当点P 位于AB 的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12.11．(2022·昆明一中模拟)已知m ＝2sin18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( )A ．－14B ．－12C.14D.12答案 B解析因为m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，因此1－2cos 2153°m n＝－cos306°2sin18°·2cos18°＝－cos54°2sin36°＝－sin36°2sin36°＝－12.12．(2022·杭州模拟)“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin2θ≥1＋32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由3cos 2θ－12sin2θ＝32cos2θ－12sin2θ＋32≥1＋32，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≥12，所以－π4＋k π≤θ≤π12＋k π(k ∈Z )，因此“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin2θ≥1＋32”的充分不必要条件． 13．在平面直角坐标系Oxy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2的值是．答案－2425解析由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，cos α＝a .又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75，两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925，即1＋sin2α＝4925，∴sin2α＝2425.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α＝－2425.14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为．答案－3π4解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，且α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2.∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π， ∴－π<2α－β<0.∵tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1， ∴2α－β＝－3π4.15．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为．答案 2解析因为f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin2x (x >－1)与y ＝|ln(x ＋1)|(x >－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．16.如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解如图，连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin2θ.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400m 2.此时AO ＝DO ＝102m.故当点A ，D 到圆心O 的距离为102m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400m 2.。

第四章《三角函数》题目汇编及详解

普通高等学校招生全国统一测试数学第四章?三角函数?题目汇编及详解一、选择题〔共21题〕1.〔安徽卷〕将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象如下图,那么平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+,由图象知,73()1262πππω+=,所以2ω=,因此选C. 2.〔安徽卷〕设0a >,对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<,以下结论正确的选项是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解：令sin ,(0,1]t x t =∈,那么函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<的值域为函数1,(0,1]a y t t =+∈的值域,又0a >,所以1,(0,1]ay t t=+∈是一个减函减,应选B.3.〔北京卷〕函数y =1+cos x 的图象〔A 〕关于x 轴对称〔B 〕关于y 轴对称〔C 〕关于原点对称〔D 〕关于直线x =2π对称解：函数y =1+cos 是偶函数,应选B 4.〔福建卷〕α∈(2π,π),sin α=53,那么tan(4πα+)等于A.71 B.7 C.－ 71D.－7 解：由3(,),sin ,25παπα∈=那么3tan 4α=-,tan()4πα+=1tan 11tan 7αα+=-,选A.5.〔福建卷〕函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2,那么ϖ的最小值等于A.32B.23C.2D.3 解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,那么ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥,∴ ω的最小值等于32,选B. 6.〔湖北卷〕假设ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =,那么sin cos A A +=A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0,可知A这锐角,所以sinA ＋cosA >0,又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=,应选A7.〔湖南卷〕设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中央,假设点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π,那么)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.2π D . 4π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中央,假设点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π,∴ 最小正周期为π,选B. 8.〔江苏卷〕R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,那么a ＝〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕±1【思路点拨】此题考查函数的奇偶性,三角函数sin x 的奇偶性的判断,此题是一道送分的概念题【正确解答】解法1由题意可知,()()f x f x =--得a=0解法2：函数的定义域为R ,又f (x )为奇函数,故其图象必过原点即f (0)=0,所以得a =0, 解法3由f (x )是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.假设函数f(x)为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称. 假设函数f(x)为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.9〔江苏卷〕为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点〔A 〕向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕〔B 〕向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕〔C 〕向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕〔D 〕向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕【思路点拨】此题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时练习的比拟多的一种类型. 【正确解答】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度, 得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,选择C. 【解后反思】由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈ 〔1〕．y=Asinx,x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的〔2〕函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍〔纵坐标不变〕〔3〕函数y ＝sin(x ＋ϕ),x ∈R (其中ϕ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左〞“减右〞),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意：先伸缩时,平移的单位把x 前面的系数提取出来.10.〔江西卷〕函数4sin 21y x π⎛⎫=++ ⎪3⎝⎭的最小正周期为〔〕Ａ．π2 Ｂ．πＣ．2πＤ．4π解：T ＝22ππ＝,应选B11.〔辽宁卷〕函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,那么()f x 的值域是 (A)[]1,1-(B) 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 1,2⎡-⎢⎣⎦(D)1,2⎡--⎢⎣⎦【解析】cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩即等价于min {sin ,cos }x x ,应选择答案C.【点评】此题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识,同时考查了简单的转化和估算水平.12.〔辽宁卷〕函数1sin 32y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是〔〕Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2πＤ．4π解：2412T ππ==,选D13.〔全国卷I 〕函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭解：函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间满足242k x k πππππ-<+<+,∴ 单调增区间为3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,选C. 14.〔全国II 〕函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是〔A 〕2π 〔B 〕4π 〔C 〕π4 〔D 〕π2解析: 1sin 2cos 2sin 42y x x x ==所以最小正周期为242T ππ==,应选D 考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式此题比拟容易. 15.〔全国II 〕假设f (sin x )＝3－cos2x ,那么f (cos x )＝〔A 〕3－cos2x 〔B 〕3－sin2x 〔C 〕3＋cos2x 〔D 〕3＋sin2x 解析:22(sin )3cos 23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+所以2()22f x x =+,因此22(cos )2cos 2(2cos 1)33cos 2f x x x x =+=-+=+应选C 此题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般 16.(陕西卷)"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：假设等式sin(α+γ)=sin2β成立,那么α+γ=k π+(－1)k ·2β,此时α、β、γ不一定成等差数列,假设α、β、γ成等差数列,那么2β=α+γ,等式sin(α+γ)=sin2β成立,所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立〞是“α、β、γ成等差数列〞的．必要而不充分条件.选A ． 17.〔四川卷〕以下函数中,图象的一局部如右图所示的是〔A 〕sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭〔B 〕sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭〔C 〕cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭〔D 〕cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭解析：从图象看出,41T=1264πππ+=,所以函数的最小正周期为π,函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位,即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-,选D. 18.〔天津卷〕函数x b x a x f cos sin )(-=〔a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈〕在4π=x 处取得最小值,那么函数)43(x f y -=π是〔〕A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称解析：函数()sin cos f x a x b x =-(a 、b 为常数,0,)a x R ≠∈,∴ ())f x x ϕ-的周期为2π,假设函数在4π=x 处取得最小值,不妨设3()sin()4f x x π=-,那么函数3()4y f x π=-=33sin()sin 44x x ππ-+=,所以3()4y f x π=-是奇函数且它的图象关于点(,0)π对称,选D.19.〔天津卷〕设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，,那么“αβ<〞是“tan tan αβ<〞的〔〕Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：在开区间(,)22ππ-中,函数tan y x =为单调增函数,所以设,(,),22ππαβ∈-那么""αβ<是"tan tan "αβ<的充分必要条件,选C. 20.〔浙江卷〕函数y=21sin2+4sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］【考点分析】此题考查三角函数的性质,根底题. 解析：2142sin 22212cos 212sin 21sin 2sin 212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+=πx x x x x y ,应选择C. 【名师点拔】此题是求有关三角函数的值域的一种通法,即将函数化为()b x A y ++=ϕωsin 或()b x A y ++=ϕωcos 的模式.21.(重庆卷)假设,(0,)2παβ∈,cos()2βα-=1sin()22αβ-=-,那么cos()αβ+的值等于〔A 〕2-〔B 〕12- 〔C 〕12〔D 〕2解：由,(0,)2παβ∈,那么242βππα∈－（－，）,224αππβ∈－（－，）,又cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-,所以26βπα±－＝,26απβ－＝－解得3παβ＝＝,所以 cos()αβ+＝12-,应选B 二、填空题〔共10题〕22.〔福建卷〕函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,那么ω的最小值是＿＿＿＿.解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,那么ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥,∴ ω的最小值等于32. 23.〔湖南卷〕假设()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数,那么有序实数对(,a b )可以是 .(注:只要填满足0a b +=的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).解析．ab ≠0,()sin()sin()(cos )()442222f x a x b x a x x b x x ππ=++-=++-是偶函数,只要a +b =0即可,可以取a =1,b =－1.24.〔湖南卷〕假设)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数,那么a = .解析：()sin()3sin()()3(cos )442222f x a x x a x x x x ππ=++-=++-是偶函数,取a =－3,可得()f x x =-为偶函数.25.〔江苏卷〕︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝【思路点拨】此题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值【正确解答】：cot20°cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝︒︒︒︒+︒︒︒40cos 2cos70sin7010sin 320sin 1020cos －＝︒︒︒︒︒︒2cos40sin20cos10sin103cos1020cos －＋＝︒︒︒︒︒2cos40sin20sin103cos1020cos －）＋（＝︒︒︒︒︒︒︒2cos40sin2030cos sin1030sin cos1020cos 2－）＋（︒︒︒︒︒sin2040cos 2sin20sin4020cos 2－＝2【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看〞即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化,(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.26.〔全国卷I 〕设函数())()cos0f x ϕϕπ=+<<.假设()()/f x f x +是奇函数,那么ϕ=__________.解析：'())f x ϕ=+,那么()()/f x f x +=))2sin()6πϕϕϕ++=--为奇函数,∴ φ=6π.27.(陕西卷)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43cos77sin 43sin77cos120︒︒-︒︒=︒=－21． 28.(上海卷)如果αcos ＝51,且α是第四象限的角,那么)2cos(πα+＝解：cos()sin (2παα⇒+=-=-29.(上海卷)函数sin cos y x x =的最小正周期是_________. 解：函数sin cos y x x ==21sin2x,它的最小正周期是π.30.(重庆卷)βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43,sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ那么cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.解： ()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=-⎪⎝⎭12sin()413πβ-=,3(,2)2παβπ+∈,3(,)424πππβ-∈,∴ 4cos()5αβ+=,5cos()413πβ-=-, 那么cos()4πα+=cos[()()]4παββ+--=cos()cos()sin()sin()44ππαββαββ+-++- =4531256()()51351365⋅-+-⋅=- 31.(重庆卷)sin α=2παπ≤≤,那么tan α= .解：由sin α=,2παπ≤≤⇒cos α所以tan α=－2 三、解做题〔共16题〕 32.〔安徽卷〕310,tan cot 43παπαα<<+=- 〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=,即1tan 3tan 3αα=-=-或,又34παπ<<,所以1tan 3α=-为所求.〔Ⅱ〕225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-.33.〔安徽卷〕40,sin 25παα<<=〔Ⅰ〕求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；〔Ⅱ〕求5tan()4πα-的值. 解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=,得3cos 5α=,所以22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=-. 〔Ⅱ〕∵sin 4tan cos 3ααα==,∴5tan 11tan()41tan 7πααα--==+. 34.〔北京卷〕函数1)4()cos x f x xπ-=, 〔Ⅰ〕求()f x 的定义域；〔Ⅱ〕设α是第四象限的角,且4tan 3α=-,求()f α的值. 解：〔1〕依题意,有cosx ≠0,解得x ≠k π＋2π, 即()f x 的定义域为｛x|x ∈R,且x ≠k π＋2π,k ∈Z ｝〔2〕1)4()cos x f x xπ-=＝－2sinx ＋2cosx ∴()f α＝－2sin α＋2cos α 由α是第四象限的角,且4tan 3α=-可得sin α＝－45,cos α＝35∴()f α＝－2sin α＋2cos α＝14535.〔北京卷〕函数f (x )=xxcos 2sin 1-(Ⅰ)求f (x )的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角,且tan α=34-,求f (α)的值. 解：(Ⅰ)由cos x ≠0得x ≠k π+2π〔k ∈Z ), 故f (x )的定义域为｛|x |x ≠k π+2π,k ∈Z ｝.(Ⅱ)由于tan α=34-,且α是第四象限的角, 所以sin α=54-,cos α=53, 故f(α)=ααcos 2sin 1- =12sin cos cos ααα- =43125535⎛⎫-⨯-⨯⎪⎝⎭ =1549.36.〔福建卷〕函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R. 〔I 〕求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；〔Ⅱ〕函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的根本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等根本知识,以及推理和运算水平.总分值12分.解：〔I〕1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=+++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ==由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦〔II 〕方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度,得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62y x π=++的图象.方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-平移,就得到3sin(2)62y x π=++的图象.37.〔广东卷〕函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期； (II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)假设3()4f α=,求sin2α的值. 解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f〔Ⅰ〕)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; 〔Ⅱ〕)(x f 的最大值为2和最小值2-；〔Ⅲ〕由于43)(=αf ,即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α 38.〔湖南卷〕),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值. 解析：由条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--θθθθ. 即0sin 2sin 32=-θθ. 解得0sin 23sin ==θθ或. 由0＜θ＜π知23sin =θ,从而323πθπθ==或. 39.〔辽宁卷〕函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π-+=++=++=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.解法二:2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22f x x x x x x x x x x x =+++=++=++2)4x π=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.(II)解: ()2)4f x x π=++由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及三角函数值求角等根底知识,考查综合运用三角有关知识的水平.40.〔山东卷〕函数f (x )=A 2sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2π函数,且y =f (x )的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点〔1,2〕. 〔1〕求ϕ;〔2〕计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).解：〔I 〕2sin ()cos(22).22A Ay A x x ωϕωϕ=+=-+ ()y f x =的最大值为2,0A >.2, 2.22A AA ∴+==又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0ω>,12()2,.224ππωω∴==22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ∴=-+=-+.()y f x =过(1,2)点,cos(2) 1.2πϕ∴+=-22,,2k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z πϕπ∴=+∈,,4k k Z πϕπ∴=+∈又0,2πϕ<<4πϕ∴=.〔II 〕解法一：4πϕ=,1cos()1sin .222y x x πππ∴=-+=+ (1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.又()y f x =的周期为4,20084502=⨯,(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=解法二：2()2sin ()4f x x πϕ=+223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44f f ππϕϕ∴+=+++=22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2f f πϕπϕ+=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++= 又()y f x =的周期为4,20084502=⨯,(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯= 41(陕西卷)函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合. 解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T =2π2=π(Ⅱ)当f (x )取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2即x =k π+5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π12, (k ∈Z )}． 42.(上海卷)求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．[解]2cos()cos()44y x x x ππ=+-22112(cos sin )22cos22sin(2)6x x xx x x π=-==+∴函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域是[2,2]-,最小正周期是π； 43.(上海卷)α是第一象限的角,且5cos 13α=,求()sin 4cos 24πααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值.解：)42cos()4sin(παπα++=αααααααααsin cos 122sin cos )sin (cos 222cos )sin (cos 2222-⋅=-+=+ 由可得sin 1312=α, ∴原式=142131312135122-=-⨯. 44. 〔天津卷〕5tan cot 2αα+=,ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．求cos2α和πsin(2)4α+的值．本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等根底知识,考查根本运算水平. 解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2αααα+=那么254,sin 2.sin 25αα==由于(,),42ππα∈所以2(,),2παπ∈ 23cos 21sin 2,5αα=--=sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444πππααα+=+ 4232255== 解法二：由5tan cot ,2αα+=得15tan ,tan 2αα+=解得tan 2α=或1tan .2α=由(,),42ππα∈故舍去1tan ,2α=得tan 2.α=因此,255sin αα==那么223cos 2cos sin ,5ααα=-=-且4sin 22sin cos ,5ααα==故sin(2)sin 2.coscos 2.sin444πππααα+=+42322525210=⨯-⨯=45.〔浙江卷〕如图,函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π) 的图象与y 轴交于点〔0,1〕.(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点,M 、N 是图象与x 轴的交点,求.的夹角与PN PM此题主要考查三角函数的图像,三角函数求角,向量夹角的计算等根底知识和根本的运算水平.解：〔I 〕由于函数图像过点(0,1),所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ=由于02πϕ≤≤,所以6πϕ=. 〔II 〕由函数2sin()6y x ππ=+及其图像,得115(,0),(,2),(,0),636M P N --所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅ 1517=, 故,PM PN <>=15arccos17. 46.(重庆卷)设函数f (x )=3cos 2cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6x . 〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕如果f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3,求a的值.1()cos 2sin 22sin 23 2,6321.2f x x x x ωωαπωαπππωω=+++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⋅+==解：（I ）依题意得解之得)57 ,0,,36361 sin()1,2351 (),36212x x x f x παπππππππαα++⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-≤+≤⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦-++=（II)由（I）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知α=47.〔上海春〕函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f .〔1〕假设54sin =x ,求函数)(x f 的值；〔2〕求函数)(x f 的值域. 19. 解：〔1〕53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ , ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ……4分x x cos sin 3-=53354+=. ……8分〔2〕⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f , ……10分ππ≤≤x 2, 6563πππ≤-≤∴x , 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ,∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分。

必修4三角函数单元测试题(含答案)

必修4三角函数单元测试题(含答案) 三角函数单元测试1.sin210的值是多少？A。

3/2B。

-3/2C。

1/2D。

-1/22.终边相同的角是哪一组？A。

π或kπB。

(2k+1)π或(4k±1)π(k∈Z)C。

kπ±π/3或π/3k(k∈Z)D。

kπ±π/6或kπ±π/6(k∈Z)3.已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ在哪两个象限之间？A。

第一或第二象限角B。

第二或第三象限角C。

第三或第四象限角D。

第一或第四象限角4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弧长是多少？A。

2sin1B。

sin2C。

2D。

π5.要得到函数y=2sin(xπ/36),x∈R的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点：A。

向左平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍B。

向右平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍C。

向左平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的1/3D。

向右平移π/36个单位长度，再把所得各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的1/36.设函数f(x)=sin((x+π/3)/3)(x∈R)，则f(x)在区间：A。

(2π/7,2π/3)上是增函数B。

(-π,2π/3)上是减函数C。

(π,8π/4)上是增函数D。

(-π,2π/3)上是增函数7.函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ<π)的部分图象如图所示，则函数表达式是：A。

y=-4sin(x+π/4)B。

y=4sin(x-π/4)C。

y=-4sin(x-π/4)D。

y=4sin(x+π/4)8.函数y=sin(3x-π/4)的图象是中心对称图形，其中它的一个对称中心是：A。

(-π/4,0)B。

(-π,0)C。

(π,0)D。

(11π/12,0)9.已知f(1+cosx)=cos2x，则f(x)的图象是下图的：（删除明显有问题的段落）4.A5.D6.C7.B8.A9.C10.B二、填空题11.012.513.1/214.-sin(15π/4)三、解答题15.cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/4)=√(3/4)=±√3/216.M={θ|θ∈[0,π/4]}，N={θ|θ∈[π/4,π]}17.（1）sin²θ+cos²θ+sinθ+cosθ+2sinθcosθ=1+sinθ+cosθsinθ+cosθ+2sinθcosθ=sinθ+cosθ2sinθcosθ=0sinθ=0或cosθ=0θ=kπ或θ=kπ±π/2 (k∈Z)2）将sinθ和cosθ代入原方程得m=1/218.（1）f(x)=sin(3x-π/2)2）a=2,b=419.最大值为1/√3，最小值为-120.（I）π/2II）g(x)=2cos(2x-π/2)-sin(2x)二、填空题11.412.013.414.20三、解答题15.已知 $A(-2,a)$ 是角 $\alpha$ 终边上的一点，且$\sin\alpha=-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+16}}$，求 $\cos\alpha$ 的值。

数学练习(新教材人教A版强基版)第四章三角函数与解三角形44简单的三角恒等变换

1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－x )＝－45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．(2023·保定模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，则sin 2θ的值为( )A.79 B ．－79 C.29 D ．－293．(2023·枣庄模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－4π3等于( ) A ．－59 B.59 C ．－13 D.134．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若4m 2＋n ＝16，则m n 2cos 227°－1的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．sin 15°sin 30°sin 75°＝18C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－12D ．2sin 18°cos 36°＝126. (2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC 中，BC AC ＝5－12，根据这些信息，可得sin 54°等于( )A.25－14B.5＋14C.5＋48D.5＋387．(2023·淄博模拟)sin 12°(2cos 212°－1)3－tan 12°＝________. 8．(2023·青岛模拟)若α∈(0，π)，cos 2α＝sin 2α2－cos 2α2，则α＝________. 9．化简并求值．(1)3－4sin 20°＋8sin 320°2sin 20°sin 480°； (2)⎝⎛⎭⎫1cos 280°－3cos 210°·1cos 20°.10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝13，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3； (2)已知cos 2θ＝－45，π4<θ<π2，求sin 4θ，cos 4θ. (3)已知sin(α－2β)＝437，cos(2α－β)＝－1114，且0<β<π4<α<π2，求α＋β的值．11．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2 B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2 12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为( ) A ．－18 B ．－8 C ．8 D.1813．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则( ) A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4＝6＋236D ．sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4＝23－6614．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝513，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________.15．(2023·武汉模拟)f (x )满足：∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2<0.a ＝sin 7°sin 83°，b ＝tan 8°1＋tan 28°，c ＝cos 25π24－12，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小顺序为( ) A.f (a )a <f (b )b <f (c )cB.f (a )a <f (c )c <f (b )bC.f (b )b <f (c )c <f (a )aD.f (c )c <f (a )a <f (b )b16．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝________.。

第四章《三角函数》基础测试题

第四章《三角函数》基础测试题学习攻关基础测试(一)选择题(每题3分,共30分)1．在下列各角中,第三象限角是( )．(A)－540°(B)－150°(C)－225°(D)510°【提示】第三象限角a 满足180°＋k ·360°＜a ＜270°＋k·360°,k∈Z．【答案】(B)．【点评】本题考查终边相同的角的概念．与－540°终边相同的角为180°,为轴线角,故排除(A);与－225°终边相同的角为135°,为第二象限角,故排除(C);与510°终边相同的角为150°,也是第二象限角,排除(D)．2．若a 是第四象限角,则p －a 是 ( )．(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【提示】由a 是第四象限角,得－a为第一象限角,p＋(－a)为第三象限角．【答案】(C)．【点评】本题考查象限角之间的关系．3．Sin 600°的值是( )．(A) (B)(C)(D)【提示】sin 600°＝sin 240°＝－sin 60°＝－．【答案】(D)．【点评】本题是1998年高考题,主要考查诱导公式及特殊角的三角函数值．利用诱导公式可以把求任意角的三角函数值的问题转化为求某锐角的三角函数值．4．若b＞a＞0,且tan a ＝,sin a ＝,则a 的集合是( )．(A)｛a 0＜a ＜｝(B)｛a ＋2k pap＋2k p,k∈Z｝(C)｛a 2k pap＋2k p,k∈Z｝(D)｛a ＋2k p＜a＜p＋2k p,k∈Z【提示】由已知,tan a ＜0,sin a ＞0 ,且ab,即0,故a 是第二象限角．【答案】(D)．【点评】本题考查由三角函数值的符号确定角所在的象限．5．函数y＝tan(_＋)的定义域是( )．(A){_∈R _k p＋,k∈Z }(B){ _∈R _kp－,k∈Z }(C){ _∈R _2kp＋,k∈Z }(D){ _∈R _2kp－,k∈Z }【答案】(A)．【点评】本题考查正切函数定义域．6．在下列函数中,以为周期的函数是( )．(A)y＝sin 2_＋cos 4_(B)y＝sin 2_ cos 4_(C)y＝sin 2_＋cos 2_(D)y＝sin 2_ cos 2_【提示】可以根据周期函数的定义对四个选项逐个进行验证．【答案】(D)．【点评】本小题考查三角函数的周期性．由于sin 2(_＋)＋cos 4(_＋)＝sin(2_＋p)＋cos(4_＋2p)＝－sin 2_＋cos 4_sin 2_＋cos 4_,排除(A);由于sin 2(_＋)cos 4(_＋)＝－sin 2_ cos 4_sin 2_ cos 4_,排除(B);由于sin 2(_＋)＋cos 2(_＋)＝－sin 2_－cos 2_sin 2_＋cos 2_,排除(C);而sin 2(_＋)cos 2(_＋)＝sin 2_ cos 2_,故选(D)．实际上y＝sin 2_ cos 2_＝ sin 4_,其周期为．7．已知q 是第三象限角,且sin 4 q＋cos 4 q ＝,那么sin 2q 等于( )．(A)(B)－(C)(D)－【提示】sin4 q＋cos4 q ＝(sin2 q ＋cos2 q)2－2 sin2 q cos2 q ＝1－ sin2 2q ,得sin2 2q ＝,再由q是第三象限角,判断sin 2q 大于0．【答案】(A)．【点评】本题考查同角三角函数公式.二倍角公式及三角恒等变形的能力．8．函数y＝－3 cos(－2 _＋)的图象可由y＝－3 cos(－2_)的图象( )．(A)向左平行移动个单位长度得到(B)向右平行移动个单位长度得到(C)向左平行移动个单位长度得到(D)向右平行移动个单位长度得到【提示】y＝－3 cos[－2(_－)] ＝－3 cos(－2_＋)．【答案】(D)．【点评】本题考查三角函数的图象和性质．9．的值等于( )．(A)2 (B)－2 (C)1(D)－1【提示】arcsin＝,arcos()＝,arctan(－)＝－．【答案】(C)．【点评】本题考查反正弦..反余弦.反正切的定义及特殊角的三角函数值．10．若q 三角形的一个内角,且函数y＝_2 cos q －4_ sinq ＋6对于任意实数_均取正值,那么cosq 所在区间是( )．(A)(,1)(B)(0,) (C)(－2,) (D)(－1,)【提示】对于任意实数_,函数y均取正值必满足a＞b,且判别式＜0＜p,有－1＜cos q ＜1．由不等式组解得＜cos q ＜1．【答案】(A)．【点评】本题结合二次函数的性质考查三角函数的有关知识．(二)填空题(每题4分,共20分)1．终边在坐标轴上的角的集合是_________．【答案】{a a ＝,k∈Z }【点评】本题考查轴线角的概念．2．求的值等于___________．【提示】＝cos(＋)＝－sin ．【答案】－．【点评】本题考查诱导公式,二倍角公式以及特殊角的三角函数值．3．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值是___________．【提示】利用公式tan(a＋b ) ＝的变形tan a＋tan b＝tan(a＋b )(1－tan a tan b),得tan 20°＋tan 40°＋(tan 20°tan 40°)＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝．【答案】．【点评】本题通过两角和的正切公式的逆向使用考查三角恒等式的变形及计算推理能力．4．若sin(＋a)＝,则cos 2a ＝__________．【提示】依题意,cos a ＝,则cos 2 a＝2 cos2 a－1＝－．【答案】－．【点评】本题考查诱导公式与二倍角余弦公式．5．函数y＝2 sin _ cos _－2 sin2_＋1的最小正周期T ＝__________．【提示】y＝sin 2_＋cos 2 _ ＝ sin(2 _＋)．【答案】p．【点评】本题考查二倍角正弦余弦,两角和的三角函数及三角函数y＝Asin(w_＋j)的周期性．(三)解答题(每题10分,共50分)1．化简(－)(－)．【提示】解求题的关键是设法去掉根号,将无理式化为有理式,如＝＝＝．其它三个根式类似．【答案】原式＝(－)(－)＝．由题设,sin q cos q0,当sin q 与cos q 同号,即kp＜q＜kp＋(k∈Z)时,原式＝4;当sin q 与cos q 异号,即kp＜q＜kp＋(k∈Z)时,原式＝－4．【点评】本题考查三角函数值的符号.同角三角函数公式以及三角函数的恒等变形的能力．本题也可将结果进一步化为直接讨论sin 2q 符号．2．设a 是第二象限角,sin a ＝,求sin (－2a)的值．【提示】因为sin (－2a )＝sin (6p＋－2a )＝sin (－2a),只要利用已知条件,算出sin 2a,cos 2a 就可以了．【答案】∵ a 是第二象限角,sin a ＝,∴ cos a ＝－,∴ sin 2a ＝2 sin a cos a＝－,cos 2a ＝1－2 sin2 a ＝．sin (－2a )＝sin (－2a )＝ sin cos 2a－cos sin 2a ＝．【点评】本题考查诱导公式,同角三角函数关系式,二倍角公式,两角和与差的正弦余弦,及计算能力．3．已知＝k(＜a＜,试用k表示sin a －cos a 的值．【提示】先化简＝2 sin acos a,再利用(sin a －cos a)2＝1－2 sin a cos a 即可．【答案】∵＝＝＝2 sin a cos a＝sin 2a ＝k ≤1．而(sin a－cos a)2＝1－sin 2a ＝1－k,又＜a＜,于是sin a－cos a ＞0,∴ sin a －cos a ＝．【点评】本题考查二倍角公式,同角三角函数关系及运算能力．5．求证＝1＋tan 2a ＋sin 2a．【提示一】通过将右边的式子作〝切化弦〞的变换．【提示二】通过化〝1〞进行变换,可以将sin2a ＋cos2a 化成1,也可以根据需要将1化成sin2a＋cos2 a ．【答案一】右边＝1＋＋sin2 a＝＝＝＝＝＝左边【答案二】左边＝＝＝＝＝＝＋1＋sin2 a＝1＋tan 2 a＋sin 2 a＝右边．【点评】本题考查三角恒等式的证明．【答案一】和【答案二】均采用了综合法,即从已知条件出发,将左边(或右边)进行恒等交换,逐步化成右边(或左边)．本题也可以采用分析法,即从求证的等式出发,递推到已知．5．若函数f(_)＝a＋b cos _＋c sin _的图象过(0,1)与(,1)两点,且_∈[0,]时, f(_)2,求a的取值范围．【提示】根据函数f(_)的图象经过两个已知点,可得到b.c关于a的表达式,代入f(_)的解析式中,得f(_)＝a＋(1－a)sin (_＋),再利用 f(_)2,可得a的取值范围．【答案】∵函数f(_)的图象经过点(0,1)及(,1),∴即．从而b＝c＝1－a．∴ f(_)＝a＋(1－a)cos _＋(1－a)sin _＝a＋(1－a)sin(_＋)．由于_∈[0,],得_＋∈[,],∴ sin(_＋)∈[,1]．①当a1时,1－a0,f(_)∈[1,a＋(1－a)],而 f(_)2,有1f(_)2．∴a＋(1－a)2,即a∈[－,1]．②当a＞１时,1－a＜0,f (_)∈[a＋(1－a),1],因f (_)2,得－2f (_)1．∴－2 a＋(1－a),即a∈．综上,－a４＋即为所求．【点评】本题考查两角和的正弦公式,三角函数的值域以及综合运用函数.不等式等有关知识解决问题的能力．。

第07讲：第四章三角函数(测)(基础卷)(含答案解析)

第07讲：第四章三角函数（测）（基础卷）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第07讲：第四章三角函数（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（2022·宁夏·银川二中高一期中）1．教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（）A ．12π-B ．12πC ．6π-D ．6π（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））2．已知角α的顶点与原点θ重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),40P m m ≠，且cos 5mα=，则tan α=（）A ．43±B ．43C ．34±D ．34（2022·辽宁葫芦岛·二模）3．若()()()sin πcos 2π1sin cos π2θθθθ-+-=++，则tan θ=（）A ．13B ．13-C ．-3D ．3（2022·广西桂林·高一期中）4．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（）A ．sin y x=B ．sin y x=C ．tan y x=D ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2022·福建泉州·高二期中）5．函数()cos f x x x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））6．已知,αβ都是锐角，()35sin ,cos 513ααβ=+=-，则cos β=（）A ．5665-B ．1665-C ．1665D ．5665（2022·贵州六盘水·高一期中）7．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．22π-B ．23πC ．32π-D ．33π-（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）8．已知()2cos 2cos f x wx wx wx =+，（0w >），若函数在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则w 的范围为（）A ．1130,,634⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎝⎦⎣⎦B ．1230,,334⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．1250,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（2022·广西河池·高一期末）9．在360360-︒︒ 范围内，与410-︒角终边相同的角是（）A ．50-︒B ．40-︒C ．310︒D ．320︒（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）10．为了得到函数π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin g x x =的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度C ．向右平移π6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变D ．向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一期中）11．给出下列命题中，正确的是（）A ．存在实数α，使sin cos 1αα=B ．存在实数α，使sin cos αα+=C ．函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．若α，β是第一象限的角，且αβ>，则sinαsinβ>（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（文））12．若tan tan6tan6αααα-=+，则α的值可能为（）A ．15π-B ．215πC ．415πD ．1415π三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）（2022·江西·高一阶段练习）13．已知()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ=__________．（写出一个值即可）（2022·全国·高三专题练习）14．函数()sin ,()(|),0,|f x A x A ωϕωϕπ=+><的部分图象如图，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.（2022·江苏·徐州市王杰中学高一阶段练习）15．已知()4cos 5αβ+=,()4cos 5αβ-=-，则cos cos αβ的值为________.（2022·北京育才学校模拟预测）16．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则函数()f x 在[]0,π上存在_____个极小值点，请写出一个符合要求的正整数ω的值______.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）17．已知()()()sin 3sin 232cos cos 2f παπααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α.(2)已知tan 3α=，求()f α的值.（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）18．已知3π是函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++的一个零点.(1)求实数a 的值；(2)求()f x 单调递减区间.（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）19．如图，现要在一块半径为1m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在圆弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，设BOP θ∠=，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式；(2)求S 的最大值及相应的θ角．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）20．已知函数()()2sin cos f x a x x x x =-∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件②：62f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）21．已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；π23x -x()f x(2)解不等式()1f x ≥.（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）22．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案：1．A【分析】先由条件确定时针旋转的度数，再由弧度与角度的关系求对应的弧度数.【详解】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针15 ，其大小为15- ，故时针需要旋转12π-弧度，故选：A.2．A【分析】根据任意角的三角函数值的定义，即可求解.【详解】解：cos 5m α=，解得：3m =±，故44tan 3m α==±，故选：A 3．C【分析】利用诱导公式，弦化切进行计算.【详解】()()()sin πcos 2πsin cos 1sin cos πsin cos 2θθθθθθθθ-+-+==++-，分子分母同除以cos θ，tan 11tan 12θθ+=-，解得：tan 3θ=-故选：C 4．B【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A ，sin y x = 定义域为R ，()sin sin x x -=-，sin y x ∴=为奇函数，A 错误；对于B ，sin y x = 定义域为R ，()sin sin sin x x x -=-=，sin y x ∴=为偶函数，B 正确；对于C ，tan y x = 定义域为(),22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，即定义域关于原点对称，()tan tan x x -=-，tan y x ∴=为奇函数，C 错误；对于D ，cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 定义域为R ，()sin sin x x -=-，cos 2y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为奇函数，D 错误.故选：B.5．A【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=- ，∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ；当(0,2x π∈时，0x >，0cos 1x <<，0()f x x ∴<<，排除选项BC ．故选：A ．6．C【分析】由[]cos cos ()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求解.【详解】因为,αβ都是锐角，所以0αβ<+<π，又3sin 5α=，5cos()13αβ+=-，所以4cos 5α=，12sin()13αβ+=，所以[]cos cos ()βαβα=+-，cos()cos sin()sin αβααβα=+++，541231613513565=-⨯+⨯=，故选：C.7．B【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；【详解】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=--，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此221222233MBB AOB S S S ππ=-=⨯⨯= 弓形扇形.故选：B 8．C【分析】先通过三角恒等变换将()f x 化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．【详解】函数化简得()2cos 212sin 216f x wx wx wx π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由()262wx k k πππ+=+∈Z ，可得函数的对称轴为()32k x k wππ+=∈Z ，由题意知，322k w πππ+≤且()132k w πππ++≥，即13436k k w ++≤≤，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足13436k k ++≤，即23k ≤，又0w >，故3406k +≤，即43k >-，所以4233k -<≤，又k ∈Z ，所以0k =或1k =，所以1120,,633w ⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．9．AC【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】因为50410360︒︒-=-+︒，3104102360=-+⨯︒︒︒，所以与410-︒角终边相同的角是50-︒和310︒，故选：AC ．10．AC【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.【详解】将函数()sin g x x =的图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，A 正确.将函数()sin g x x =的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数1π()si 4n 53f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，B 不正确.将函数()sin g x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，C 正确.将函数()sin g x x =的图象向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数π()s 18in 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：AC 11．BC【分析】A 由正弦的倍角公式直接判断；B 由辅助角公式进行判断即可；C 通过诱导公式及余弦函数的性质即可判断；D 直接取特殊值判断即可.【详解】对于A ，由sin cos 1αα=，得sin22α=，矛盾，错误；对于B ，由sin cos αα+=4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭4πα=即成立，正确；对于C ，3sin cos 2y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，显然是偶函数，正确；对于D ，取136απ=，3πβ=，α，β是第一象限的角，且αβ>，但sin sin αβ<，错误．故选：BC ．12．ABD【分析】由题意易知10α≠，再根据两角差的正切公式，可知tan tan 63παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求得6()3k k πααπ=-+∈Z ，由此即可得到()155k k ππα=-+∈Z ，对k 取值，逐项判断即可得到结果.【详解】由tan tan 6tan 6αααα=，可知()tan 1tan 6ααα=+，当10α=，即tan 3α=-时，即,()6k k παπ=-+∈Z 时，tan ,tan 6tan 604αααα-+=，显然tan tan6tan6αααα=+不成立，故1tan 0α≠；tan 6α=，则tan tan 63παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6()3k k πααπ=-+∈Z ，即,()155k k ππα=-+∈Z ，当0k =时，15απ=-，当1k =时，215πα=，当5k =时，1415πα=，令411555k πππ-+=，得53k =∉Z ，故α的值不可能为415π.故选：ABD.13．2π（答案不唯一）【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，所以2k ϕπ=，Z k ∈，解得2k πϕ=，Z k ∈．故答案为：2π（答案不唯一）14．【分析】由三角函数的图象与性质求出解析式后求解【详解】由图可知2A =，427(33242T πππ=-=，故24Tπω==，将7(,2)24π-代入解析式得7sin()16πϕ+=-，又||ϕπ<，得3πϕ=，故()()2sin 43f x x π=+，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：15．0【分析】根据两角和与差的余弦公式展开,联立方程即可解得.【详解】()4cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-= ……（1）()4cos cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=-……（2）由（1）+（2）得：442cos cos 055αβ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭cos cos 0αβ∴=故答案为：016．13【分析】首先求6x πω-的范围，根据正弦函数的图象，确定极小值点个数，以及根据端点值，列不等式求ω的范围.【详解】[]0,x π∈ ，,666t x πππωωπ⎡⎤∴=---⎢⎥⎣⎦，由条件可知sin y t =在区间,66ωππ⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦有3个零点，∴由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点，且236ωππ≤π-<π，解得：131966ω≤<,其中满足条件的一个正整数是3.故答案为：1；317．(1)cos 3sin 2sin cos αααα+-+；(2)2-.【分析】(1)由诱导公式进行化简，即可求得()f α；(2)由sin tan cos ααα=，代入即可求值.(1)()()()sin 3sin cos 3sin 232sin cos 2cos cos 2f παπααααπαααπα⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭==-+⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)∵tan 3α=，∴cos 3sin 13tan 133()22sin cos 12tan 123f ααααααα+++⨯====--+--⨯.18．(1)(2),,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数a 的值．（2）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得()f x 的单调递减区间．【详解】（1）解：因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++，所以()sin 2cos 22f x a x x =++由题意可知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22sin cos 20333f a πππ⎛⎫⎪⎭= +⎝+=，即12032f π⎛⎫⎭- ⎪+⎝==，解得a =（2）解：由（1）可得()cos 2222cos 223f x x x x π=-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭++，函数cos y x =的递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈．令222,3k x k k ππππ<+<+∈Z ，得,63k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．19．(1)1πsin 22,(0,)263S θθθ=+∈(2)S 2，此时6πθ=【分析】（1）分别过,P Q 作PD OB ⊥于D ，QE OB ⊥于E ，则四边形QEDP 为矩形,则MN QP ED ==,直接利用平行四边形的面积公式求解即可.（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.【详解】（1）分别过,P Q 作PD OB ⊥于D ，QE OB ⊥于E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1m ，得sin PD θ=，cos OD θ=.在Rt △OEQ 中，33OE ==,cos 3MN QP ED OD OE θθ===-=-,2(cos )sin sin cos sin 33S MN PD θθθθθθ=⋅=-=-1sin 222θθ=，π(0,)3θ∈.（2）由（1）得1πsin 22)26S θθθ=+∵π(0,)3θ∈，∴ππ5π2(,)666θ+∈，∴π1sin(2(,1]62θ+∈当π6θ=时，2max m 6S =.20．选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为12--．【分析】(1)根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式可得()()2f x x ϕ=--(其中tan ϕ=)，选条件①或②都算出1a =，结合正弦函数的单调性即可求出结果.【详解】()2sin cos f x a x x x=-1cos2sin222a x x +=-sin22a x x =()22x ϕ=--，其中tan a ϕ=，122=-，解得1a =，得3πϕ=，所以()sin 232f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，min 1()f x =--当233x ππ-=时，max (0)f x =；若选②，131624f a a π⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，min 1()f x =--当233x ππ-=时，max (0)f x =.21．(1)答案见解析(2)π7π,π()412k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象；（2）根据函数图象列式可求出结果.(1)完成表格如下：π23x -0π2π3π22πx6π5π122π311π127π6()f x 0202-0()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：(2)不等式()1f x ≥，即1sin 232x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.由ππ5π2π22π,636k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π7πππ,412k x k k +≤≤+∈Z .故不等式()1f x ≥的解集为π7ππ,π()412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .22．(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)55,63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由图象的最小值求得A ，函数的最小正周期求得ω，再求得ϕ，即可求出函数的解析式；(2)（i ）利用三角函数的平移和伸缩变换，先求出()2sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由[0,]x m ∈，求出3x π-的范围，即可得出()g x 的值域为[2]，m 的取值范围；（ii ）利用恒成立将不等式转化为2(21)10n t n t -+--≤对任意的[]0,1n ∈恒成立，设()[]2(21)1,0,1n t n t n h n -+--∈=，对其对称轴进行讨论即可得出答案.【详解】（1）根据函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象可得：2A =，332732441264T ππππωω⎛⎫=⋅=--=⇒= ⎪⎝⎭，又因为732122ππϕ⋅+=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+.（2）由（1）知，()2sin(2)3f x x π=+，先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得：2sin(2)3y x π=-，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()2sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（i ）[0,]x m ∈，[,333x m πππ-∈--，2sin 232π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭4,323m πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以55,63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（ii ）不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()[]2sin ,2sin ,,0,,3260,1333n g x x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎢⎥⎛⎫⎛⎫==--∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以[]0,1n ∈，所以上式：不等式2(21)10n t n t -+--≤对任意的[]0,1n ∈恒成立，令()[]2(21)1,0,1n t n t n h n -+--∈=，对称轴为12n t =+，①11022t t +≤⇒≤，()()()max 112110h n h t t ==-+--≤，则13t ≥-，所以103-≤≤t .②11022t t +>⇒>，()()max 010h n h t ==--≤，则1t ≥-，所以0t >.故实数t 的取值范围为：1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。

中职数学基础模块上册学业水平考试第四章三角函数单元测试及参考答案

中职数学基础模块上册学业水平考试第四章三角函数单元测试及参考答案班级_____________姓名__________座号__________一.选择题（本大题共15题，每题4分） 1.090sin =( ) A. 21Ｂ. 0 Ｃ. －1 Ｄ. 12.角43π为( )A.第一象限的角Ｂ.第二象限的角Ｃ.第三象限的角Ｄ.第四象限的角3.已知003600≤≤α，且角α的终边与0420角的终边相同，则角α等于( )Ａ.0120 Ｂ.060 Ｃ.020 Ｄ.0120-4.下列说法正确的是( )Ａ.第一象限的角一定是锐角Ｂ.锐角一定是第一象限的角Ｃ.小于090的角一定是锐角Ｄ.第一象限的角一定是正角5.下列各式中正确的是( )Ａ.0150sin 0> Ｂ.075tan 0< Ｃ.0150cos 0> Ｄ.0)75cos(0<-6.函数y=sinx 在下列区间中单调递增的是（）Ａ.[0,π] Ｂ.[0,2π] Ｃ.[ππ，2 ] Ｄ.[π,2π]7.已知角α是第三象限的角，则α-为( )A.第一象限的角Ｂ.第二象限的角Ｃ.第三象限的角Ｄ.第四象限的角8.已知0600sin 的值是 ( )Ａ. 21- Ｂ.21Ｃ.23 D.-239.设是则ααα,0cos ,0sin >>（）A.第一象限的角Ｂ.第二象限的角Ｃ.第三象限的角Ｄ.第四象限的角10.函数x y sin 2=的最小值是( )Ａ.2 Ｂ.－2 Ｃ.1 Ｄ.－111.已知等于那么且ααα,180180,1cos 00≤≤--=( ) Ａ.0180 Ｂ.0180- Ｃ.0180或0180- Ｄ.090或027012.已知==αααtan ,cos 2sin 则（）Ａ. 2 Ｂ. -2 Ｃ. 21Ｄ. 21-13.下列结论正确的是（）Ａ.ααπsin )sin(=- Ｂ.ααπcos )cos(=+ Ｃ.ααπtan )tan(-=+ Ｄ.ααπsin )2sin(=-14.下列函数中是偶函数的是( )Ａ.x x f cos )(= Ｂ.x x f =)( Ｃ.x x f 2)(= Ｄ.x x f sin )(=15.若角α是第三象限角，则化简αα2sin 1tan -•的结果为() Ａ.αsin - Ｂ.αsin Ｃ.αcos Ｄ.αcos -二.填空题（本大题共5题，每题4分）1.(1)=45π____度 (2)弧度______450=- 2.(1)=0150sin _________ (2)=34tan π________ 3.已知,1cos a +=α则a 的取值范围是 4.）z k k ∈-•(3036000所表示的角是第象限角。

浙教版七年级下册数学第四章三角函数含答案

浙教版七年级下册数学第四章三角函数
含答案
本文档为浙教版七年级下册数学教材中第四章的内容，涉及三
角函数的知识点和相关答案。

知识点介绍
本章主要介绍以下几个三角函数的概念和性质：
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与对边的比值；
2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与邻边的比值；
3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值；
4. 值域和定义域：三角函数在定义域内的取值范围；
5. 周期性：三角函数的图像在一定范围内具有循环重复的特点。

答案示例
以下是一些题的答案示例，供参考：
1. 问题：已知一个角的正弦值为0.5，求该角的余弦值。

解答：正弦函数和余弦函数是互补的，所以该角的余弦值为0.5的互补数，即0.5。

2. 问题：求角A的正切值，已知角A的对边长为6，邻边长为8。

解答：正切函数定义为对边与邻边的比值，所以角A的正切值为6/8=0.75。

请根据实际题目进行相应的计算和解答。

以上为浙教版七年级下册数学第四章三角函数的内容概述和一些答案示例，希望能对你的学习有所帮助。

第四章三角函数与三角形4-4两角和与差的三角函数

第4章第4节一、选择题1．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 2．(2010·烟台中英文学校质检)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为( ) A ．1B.12C.22D.32[答案] C[解析] sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22. 3．(2010·吉林省质检)对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题中正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )< 2 B ．∃x ∈R ，f (x )< 2 C ．∀x ∈R ，f (x )> 2D ．∃x ∈R ，f (x )> 2[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴不存在x ∈R 使f (x )>2且存在x ∈R ，使f (x )＝2，故A 、C 、D 均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.(理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B [解析] y ＝32cos2x －12x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π.(理)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92C.12D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43，所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.(理)(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A.17B ．－17C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.7．(文)(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. (理)(2010·杭州模拟)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ，∴sin(x －y )＝－1－cos 2(x －y )＝－2149∴tan(x －y )＝sin (x －y )cos (x －y )＝－2145.8．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1C. 3D ．不存在[答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵π4－α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是单调增函数， ∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4tan(α＋β)＝tan π4＝1.9．(2010·全国新课标理，9)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2[答案] A[解析] ∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12，故选A.[点评] 本题解题思路广阔，由cos α可求sin α，也可求sin α2及cos α2，从而求出tan α2.也可以利用和角公式将待求式变形为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2，再用诱导公式和二倍角公式等等．10．(2011·浙江五校联考)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的是( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[答案] D[解析] 因为在三角形中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B 2＝tan π－C 2＝cot C 2＝cosC 2sin C2，而sin C＝2sin C 2cos C 2∵tan A ＋B 2sin C ，∴cosC2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C 2≠0，sin C 2>0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，∴C ＝π2，A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]，排除A 、C ； cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故选D. 二、填空题11．(2010·哈三中)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－7π6＝13，则tan(α＋β)＝________. [答案] 1[解析] tan(α＋β)＝tan(α＋β－π) ＝tan[(α＋π6)＋(β－7π6)]＝12＋131－12×13＝1.12．(2010·重庆南开中学)已知等差数列{a n }满足：a 1005＝4π3，则tan(a 1＋a 2009)＝________.[答案] － 3[解析] 由等差数列的性质知，tan(a 1＋a 2009)＝tan(2a 1005)＝tan 8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3.13．(2010·山师大附中模考)若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13则tan(x ＋π3)的值是________．[答案] 29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)]＝tan (x ＋y )－tan (y －π3)1＋tan (x ＋y )·tan (y －π3)＝35－131＋35×13＝29.14．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.三、解答题15．(2010·福建福州市)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)，∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛2x －π6－2cos 2x .(1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． [解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1得，－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1.可知函数f (x )的值域为[－3,1]．且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(理)(2010·辽宁锦州)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC →， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域．[解析] (1)由正弦定理有： |BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin (60°－θ)， ∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin (60°－θ)sin120°∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6，∴12<sin(2θ＋π6)≤1， ∴0<f (θ)≤16f (θ)的值域为(0，16]．17．(文)(2010·湖北黄冈)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝13，三角形ABC 的面积为S △ABC ＝25，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求BC 的长； (2)cos ∠BAD 的值． [解析] (1)由S △ABC ＝25得， 12|AC →||AB →|·sin ∠CAB ＝25 由AC →·AB →＝120得，|AC →|·|AB →|·cos ∠CAB ＝120，以上两式相除得， tan ∠CAB ＝512，∴sin ∠CAB ＝513，cos ∠CAB ＝1213， ∴|AC →||AB →|＝130，又∵|AB →|＝13，∴|AC →|＝10，在△ABC 中，由余弦定理得，|BC →|2＝102＋132－2×10×13×1213＝29，∴|BC →|＝29，即BC ＝29(2)∵cos ∠DAC ＝35，∴sin ∠DAC ＝45，∴cos ∠BAD ＝cos(∠BAC ＋∠CAD ) ＝cos ∠BAC ·cos ∠CAD －sin ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35－513×45＝1665. (理)(2010·江西新余一中)已知函数f (x )＝sin x 2＋2cos 2x4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x4－1＋1＝sin x 2＋cos x 2＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋1∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝⎛A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3，∴π4<A 2＋π4<7π12，又∵sin π4<sin 7π12，∴22<sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4≤1， ∴2<f (A )≤2＋1.。

三角函数》单元测试卷含答案

三角函数》单元测试卷含答案三角函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（。

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|x=kπ/2±π/4，k∈Z}与N={x|x=kπ/4，k∈Z}之间的关系是（。

）A.M∩NB.M∪NC.M＝ND.M∩N=∅3.若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（。

）A.60°B.－60°C.30°D.－30°4.已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是（。

）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5.设a＞0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（。

）A.5/21B.－1/55C.－5/13D.－2/56.若cos(π＋α)＝－3/22，π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（。

）A.－2/3B.3/2C.－2/5D.3/47.若是第四象限角，则απ－α是（。

）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（。

）A.2B.2sin1C.2cos1D.sin29.如果sinx＋cosx＝4/3，且π/4＜x＜π/2，那么cotx的值是（。

）A.－3/4B.－4/3或－3/4C.－4/3D.3/4或－3/410.若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于（。

）A.2x－9B.9－2xC.11D.9二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.tan300°＋cot765°的值是_____________.12.若sinα＋cosα=2，则sinαcosα的值是_____________.13.不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.14.若θ满足cosθ＞－1/2，则角θ的取值集合是_____________.15.若cos130°＝a，则tan50°＝_____________.16.已知f(x)=sin2x+cosx，则f(π/6)为_____________.sinα＝√(1-cos^2α)＝√(1-(2x^2/(x^2+5^2)))＝√((25-x^2)/(x^2+25))，tanα＝sinα/cosα＝(25-x^2)/(2x)。

中职数学基础模块(上册)基础练习-第四章三角函数

第四章三角函数第四章第一课时角的概念的推广【基础知识·一定要看】1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按____________方向旋转所形成的角．负角：按____________方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．2．象限角的判定方法(1)在坐标系中使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．3．象限角①α是第一象限角可表示为____________________________；(用集合表示)②α是第二象限角可表示为____________________________；③α是第三象限角可表示为____________________________；④α是第四象限角可表示为____________________________．4．非象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作_____________________ ；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作_____________________；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作_____________________；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_____________________；⑤终边在x轴上的角的集合可记作_____________________；⑥终边在y轴上的角的集合可记作_____________________；5．与角α终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.一、选择题1．下列命题正确的是（）．A．终边相同的角是相等的角 B．锐角是小于90°的角C．终边在第二象限的角是钝角 D．相等的角终边重合2．喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（）A．30° B．-30° C．60° D．-60°，那么的终边在（）3．已知角563A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．与20角终边相同的角是（）A．300B．280C．320 D．3405．与75终边相同的角的集合是（），A． 75360,Z k k B． 75360,Z k k C． 180360,Z k k D． (75)360,Z k k 6．已知A {第一象限角}，B {锐角}，C {小于90 的角}，那么A 、B 、C 的关系是（） A．B A CB．C C B∪C．A CD．A B C二、填空题7．平面直角坐标系中，若角532α ，则是第象限的角. 8．已知2022 ，求与角终边相同的最小正角为 . 9．在0~180 范围内，与930 终边相同的角是 .二、解答题10．写出与21 终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720 的元素α写出来.11．在0360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．（1）150 ；（2）650 .第四章第二课时弧度制【基础知识·一定要看】1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：180rad1rad =0180≈57．30°=57°18′，1°=180 ≈0．01745（rad ） 3．重要公式弧长公式：___________________，扇形面积公式：___________________．一、选择题1．若角3rad ，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．下列命题中正确的是（）．A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； B．5弧度的角是第三象限角；C．是第一象限角，则π2也是第一象限角； D．－1弧度角是锐角．3．已知单位圆上有一段长度等于2的弧，则这段弧所对应的圆心角为（） A．2B．2C．1D．14．用弧度制表示与150 角的终边相同的角的集合为（）A．52,6k k ZB．5180,6k k ZC．22,3k k ZD．52,6k k Z5．若扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是（） A．2B．3C．4D．56．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（） A．扇形的圆心角大小不变B．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C．扇形的圆心角增大到原来的4倍D．不能确定7．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（） A．3B．6C．6D．3二、填空题8．将–1485°化为2kπ+α（0≤α<2π，k ∈Z ）的形式是 . 9．与240 终边相同的所有角的集合用弧度制可以表示为 . 10．弧长为3 ，圆心角为135 的扇形，其面积为 . 11．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为 .三、解答题12．已知一个扇形的面积为4，周长为10，求该扇形的半径和圆心角． 13．用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：（1）（2）第四章第三课时任意角的三角函数【基础知识·一定要看】1．三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则r ，那么：（1）y r 做的正弦，记做sin ，即sin y r ；（2）x r 叫做的余弦，记做cos ，即cos x r ；（3）y x 叫做的正切，记做tan ，即tan (0)yx x ．2．三角函数在各象限的符号在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：（全是天才）．判断三角函数值在各象限符号的攻略：1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 3．正弦、余弦、正切函数的定义域一、选择题1．已知角的终边经过点(8,6)，则cos 的值为（）A．34 B．43C．45 D．352．若sin 0,cos 0 ，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．若点(1,2)P 在角的终边上，则sin （）A．2B．12C．54．若角的终边经过点(2,3)P ，则tan 等于（） A．23B．32C．32D．235．已知角在第二象限，则（）A．sin 0 ，cos 0 B．sin 0 ，cos 0 C．sin 0 ，cos 0D．sin 0 ，cos 06．已知角的终边经过(1,3) ，则cos sin （）C．D．7．如果角的终边经过点(3,2) ，则sin 2cos 3sin cos（）A．－49B．49C．111D．－1118．已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若 1,A y 是角终边上一点，且sin y （） A．3B．3C．1 D．19．已知角的终边经过点 3,4P ，则sin cos 11tan的值为（）A．65B．1 C．2 D．310．已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(),40P m m ，且cos 5m，则tan （） A．43B．43 C．34D．34二、填空题11．已知角的终边上有一点(1,3) ，则sin . 12．若角的终边过点 3,4 ，则cos sin .13．确定下列各式的符号：sin105cos 230 0（填“ ”、“ ”或“ ”）. 14．已知sin tan 0 ，则角位于第象限．三、解答题15．已知角的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13，求x 的值.16．已知角的终边上一点P 的坐标为 4,3t t （其中0t ），求角的正弦、余弦和正切值．17．已知角的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点04,A y ，其中00y .（1）若cos 5，求0y 的值；（2）若04y ，求2sin 3cos cos 4sin的值.第四章第四课时同角三角函数的基本关系【基础知识·一定要看】1．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：_______________；（2）商数关系：_______________ 2．利用同角三角函数的基本关系常见题型： 1 知一求二 2 弦切转换3．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 4．特殊角的三角函数值1．若sin ，为第四象限角，则cos 的值为（）A．2B．12C．2D．122．已知5cos 13，且为第二象限角，则tan （） A．125B．512C．1213 D．13123．已知tan 2 ,则cos sin sin cos的值为（）A．13B．13 C．3 D．34．已知是第二象限角，tan 2 ，则cos 等于（）A．5B．15 C．5D．255．已知的值为（） A．sin B．sin C．sin D．cos6．已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，点(1,3)P 在角的终边上，则sin cos 2sin 3cos（）A．34 B．34 C．49D．497．已知tan 2 ，则2sin 2sin cos 的值为（）A．85B．1 C．0D．858．若π(0,)2 ，212tan cos，则tan （）A．12B．1C．2 9．已知sin cos 3sin cos ，22，则sin cos （）A．B． 10．已知10,sin cos 25 ，则221cos sin的值为（）A．75 B．257C．725 D．2425二、填空题11．已知3sin 5 ，,2，则cos . 12．若4cos 5，则sin . 13．若为第二象限角，且1sin 3，则tan ＝ .14．已知7sin cos 13，(0,) ，则sin cos = .15．若sin 2cos 0A A ，则2sin cos sin 3cos A AA A. 16．已知角的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos.17．已知1sin cos 3，则44sin cos .18．已知1sin cos (0π)5，则tan .二、解答题19．已知1sin 5，并且是第二象限角，求cos ，tan 的值；20．已知为第二象限角，且4sin 3cos 0 ．（1）求tan 与sin 的值；（2）sin 2cos 2sin cos的值．第四章第五课时诱导公式【基础知识·一定要看】 1．诱导公式诱导公式一：sin(2)sin k ； cos(2)cos k ； tan(2)tan k ，其中k Z诱导公式二：sin()sin ； cos()cos ； tan()tan ，其中k Z诱导公式三：sin[((21)]sin k ； cos[(21)]cos k ； tan[(21)]tan k ，其中k Z 诱导公式四：sin cos 2 ； cos sin 2 ； sin cos 2 ； cos sin 2，其中k Z一句话：对象当锐角，符号象限找一、选择题1． cos 300 （）A．12B．12C．2D． 2．如果12sin 13 ，02，，那么 cos （） A．1213 B．513C．1213D．5133．若tan (π)3 ，则2cos sin cos （）A．25B．35C．35D．25三、填空题4．已知sin 2sin() 的值是 . 5．15cos 4. 6．计算22sin ()cos () . 7．化简下列各式（1） cos ；（2） sin ；（3） tan .8．已知角的终边经过点(2,1)P ，则cos 2的值为 .9．若 1cos 2π3，则 sin 3 .三、解答题10．求下列角的三角函数值：（1）cos(1050 )（2）sin(314)11．已知角的终边经过点 3,40P a a a ．（1）求sin 的值；（2）求 3sin cos 2的值．12．已知2 ，3sin 5. （1）求tan 的值；（2）求 sin 2cos 2sin cos的值．22．已知sin 3sin 232cos cos 2f. （1）化简 f .（2）已知tan 3 ，求 f 的值.第四章第六课时正弦函数的图像和性质【基础知识·一定要看】1．“五点法”作y ＝sin x 的图像在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是： ______________________________________________．2．正弦函数的性质1．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点（） A．1,62B．,12C．(π，0) D．(2π，0)2．函数sin ,[0,2]y x x 与12y 图像交点的个数为（） A．0B．1C．2D．33．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象的一条对称轴是（） A．y 轴B．x 轴C．直线x＝2D．直线x＝π4．函数()2sin f x x 在区间3π0,4上的最大值为（）A．0 B． D．2 5．已知集合 sin ,M y y x x R ， 12N x x ，则M N （） A． 1,1 B． 1,2C． 1,1 D． 1,16．函数y ＝|sin x |的图象( )A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称 D．关于坐标轴对称 7．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A．重合B．形状相同，位置不同 C．形状不同，位置相同 D．形状不同，位置不同8．满足1sin 2的角的集合为（） A．2,3k kZB．2,6k kZC．222,33k k kZ D．522,66k k kZ 二、填空题9．函数 2sin f x x 的最大值是 . 10．函数3sin 2y x 的最小值为 .11．函数4sin 3y x 在[,] 上的递增区间为 . 12．观察正弦函数的图像，可得不等1sin 2x的解集为 . 13．已知函数 sin 1f x a x bx ，若 12f ，则 1f .三、解答题19．设2sin 4x m ，x R ，求m 的取值范围.20．已知函数()sin 2f x x .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当x [0,2π]时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.22．写出函数3sin 1y x 的值域和单调区间.第四章第七课时余弦函数的图像和性质【基础知识·一定要看】1．“五点法”作y ＝cos x 图像在确定余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ______________________________________________．2．余弦函数的性质1．已知点5(,)6m在余弦曲线上，则m ＝（） A．2B．－2C．12D．－122．已知m 是函数 cos f x x 图象一个对称中心的横坐标，则 f m （） A．1B．0C．12D．13．从函数 cos ,0,2y x x 的图象来看，当 0,2x 时，对于cos x 的x 有（） A．0个B．1个C．2个D．3个4．在区间0,2上，下列说法正确的是（）A．sin y x 是增函数，且cosy x 是减函数 B．sin y x 是减函数，且cos y x 是增函数 C．sin y x 是增函数，且cos y x 是增函数 D．sin y x 是减函数，且cos y x 是减函数 5．函数cos y x 的一个单调递增区间是（）A． ,22B．[0，π] C．[π，32 ] D．[32 ，2π]6．函数cos y x 在区间[ ，a ]上为增函数，则a 的取值范围是（）A．(,)2B．( ，0] C．(2，0]D．(,)二、填空题7．若cos 21x m ，且R m ，则m 的取值范围是． 8．函数cos y x 相邻对称中心之间距离为． 9．函数 2cos 2cos 1f x x x 的最小值是．10．函数5()cos ,,46ππf x x x的值域为．三、解答题11．已知函数cos y a x b 的最大值是0，最小值是4 ，求,a b 的值．12．求使函数1cos 12y x 取得最大值，最小值的自变量x 的取值范围，并分别写出最大值，最小值.。

2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质课时跟踪检测理含解

第四章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质A 级·基础过关 |固根基|1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ＋3π4，k∈Z解析：选D y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋3π4，k∈Z.故选D ．2．(2019届重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋3tan x )·cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B ．3π2C ．πD ．π2解析：选 A ∵f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴T＝2π.故选A ．3．函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos 4x 4，∴T＝2π4＝π2且为偶函数．故选D ．4．(2019届江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin xC ．y ＝tan x2D ．y ＝cos 2x解析：选D y ＝sin 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性是先减后增；y ＝sin x 的最小正周期是T ＝2πω＝2π；y ＝tan x 2的最小正周期是T ＝πω＝2π；y ＝cos 2x 满足条件，故选D ．5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x∈[0，π])的增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：选C ∵y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋kπ≤x ≤5π6＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z，∴当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.故选C ．6．若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．－π3D ．π3解析：选D 因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝kπ(k∈Z)，即θ＝π3＋kπ(k∈Z)．又|θ|<π2，所以θ＝π3.7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )A B C D解析：选D y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，结合选项图形知，D 正确．8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增解析：选D f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f(x)为奇函数，所以φ＝3π4，即f(x)＝－2sin ωx.又直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f(x)的最小正周期为π2.由2πω＝π2，可得ω＝4，故f(x)＝－2sin 4x.由2kπ＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k∈Z，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k∈Z.令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D ． 9．(2019年北京卷)函数f(x)＝sin 22x 的最小正周期是________．解析：∵f(x)＝sin 22x ＝1－cos 4x 2，∴f(x)的最小正周期T ＝2π4＝π2.答案：π210．已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(2018年北京卷)已知函数f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，由题意知，－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m≥π3.所以m 的最小值为π3.12．(2019届福州调研)已知函数f(x)＝a2cos 2x2＋sin x ＋b.(1)若a ＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a ，b 的值．解：f(x)＝a(1＋cos x ＋sin x)＋b ＝2asinx ＋π4＋a ＋b.(1)当a ＝－1时，f(x)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2kπ＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a<0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届河南部分示范性高中联考)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<ω<6，|φ|<π2的图象经过点π6，2和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，则函数f(x)的图象的对称轴可以是( )A ．x ＝－11π6B ．x ＝－3π5C ．x ＝π4D ．x ＝π3解析：选A 由题意得，2π3－π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋12T ，k 1∈N ，得T ＝π2k 1＋1(k 1∈N)，故ω＝2πT ＝4k 1＋2(k 1∈N)．因为0<ω<6，k 1∈N ，所以ω＝2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，∴π3＋φ＝2k 2π＋π2(k 2∈Z)．因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k∈Z)，取k ＝－4，得x ＝－11π6.故选A ．14．(2019届湖南长沙一中模拟)若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( )A ．14B ．15C ．12D ．34解析：选D f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ωx －π4(ω>0)，令－π2＋2kπ≤ωx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k∈Z.∵f(x)＝sin ωx －cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴令－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，得0<ω≤12，结合选项知选D ．15．(2019届河北、河南重点中学联考)若对于任意x∈R，都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，则函数f(2x)图象的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k∈Z)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k∈Z)C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k∈Z)D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)解析：选D 因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，x∈R，① 所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x ＋sin x ．②联立①②解得f(x)＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f(2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝kπ(k∈Z)，得x ＝k π2－π8(k∈Z)，所以f(2x)图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)．16．(2019届湖南长沙高三模拟)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点，设∠BPC＝θ，若tan θ2＝34，则f(x)图象的对称中心可以是( )A ．(0，0)B ．(1，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 解析：选D 由已知作出图形，连接BC ，过P 作BC 的垂线，如图所示．由题意知，A ＝2.又∠BPC＝θ，所以tan θ2＝12|BC|2＋|－2|＝34，解得|BC|＝6，所以T ＝6＝2π|ω|.又∵ω>0，∴解得ω＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ.将点P(1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，解得φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．令k ＝0，得φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.令π3x ＋π6＝mπ(m∈Z)，解得x ＝3m －12(m∈Z)．令m ＝1，得x ＝52，即f(x)图象的对称中心可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.故选D ．。

人教A版数学必修四三角函数单元测试

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作必修四三角函数单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( )．A ．－32B ．－12C ．32D ．122．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值等于( )． A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－323．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )．A ．π3B ．2π3C ． 3D ．24．要想得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )． A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度5．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个对称中心是( )． A ．⎝⎛⎭⎫π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 6．下列各函数值中符号为负的是( )．A ．sin(－1 000°)B ．cos(－2 200°)C ．tan(－10)D ．sin 7π10cos πtan17π97．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( )． A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象8．如图所示是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为( )．A ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π 9．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式为( )． A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 10．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，以下说法正确的是( )． A ．周期为π4 B ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3C ．偶函数D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上为减函数二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确的答案填在题中的横线上) 11．若角α的终边经过点)2,1(-P ,则αtan 的值为 12．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α的终边在第________象限．13．已知f (x )＝ax 3＋b sin x ＋1且f (1)＝5，f (－1)的值为________．14．已知函数f (x )＝3sin πxk 的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期为________． 15．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝kπ2，k ∈Z ；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分13分)（1）已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；（2）已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．17．(本小题满分13分)已知tan α＝3，求下列各式的值：（1）3cos －π－α－sin π＋α3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α；（2）2sin 2α－3sin αcos α－1.18．(本小题满分13分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . （1）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．（2）函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？19．(本小题满分12分)交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：（1）开始时电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．20．(本小题满分12分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3. （1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调递增区间．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．参考答案BACAC CDDCB11．2- 12．二 13．3- 14．4 15．①④16．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.17．解（1）原式＝－3cos α＋sin α－3sin α－cos α＝－3＋tan α－3tan α－1＝3－3－33－1＝6－5313.（2）原式＝2sin 2α－3sin αcos α－sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α－tan 2α－1tan 2α＋1＝18－9－9－19＋1＝－110. 18．解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――→向左平移π12个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋π12―――――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32.19．解 (1)当t ＝0时，E ＝1103，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为150 s.(3)电压的最大值为220 3 V.当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300，即第一次获得最大值的时间为1300 s.20．解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，∴T ＝10π，∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋φ.∵点(π，3)在此函数图象上， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝3. ∴π5＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∵0≤φ≤π2，∴φ＝3π10.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π时，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10单调递增，所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．21．解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6， ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数情况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2；当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3。

第四章三角函数单元测试题

优秀学习资料欢迎下载三角函数单元测试题一、选择题（共大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、函数 y3sin 2x 的图象可以看成是将函数y3sin(2x) 的图象（）3（ A ）向左平移个单位（ B ）向右平移个单位66 （ C ）向左平移个单位（ D ）向右平移个单位332、已知 sin3,cos 4，则角终边所在象限是（）25 25（ A ）第三象限（ B ）第四象限（ C ）第三或第四象限（ D ）以上都不对3、已知是锐角，则下列各式成立的是（）（ A ） sincos1cos1（ C ） sin4 5（ B ） sincos（ D ） sincos2334、函数 y sin x lg cosx ）lg(x 2的定义域为（2)（ A ） 2kx2k2 (kz)（ B ） 2kx 2k2 ( kz)（ C ） 2kx(2k 1) (k z)（ D ） 2kx 2k2 (k z)25、右图是函数 y2 sin( x)(| |)的图象，那么（）2y （ A ）10 ,10 ,6（ B ）6111111112（ C ）2,6（ D ）2,6ox6、已知 f (x) 是奇函数，且 x 0时， f (x) cos x sin 2x ，则当 x 0 时， f (x) 的表达式是（）（ A ） cosx sin 2x （B ） cosx sin 2x （C ） cosx sin 2x （ D ） cosxsin 2x7、若3 ，则 (1 tan )(1 tan ) 的值是（）4（A ）1（C ）3（B ） 1（D ） 2228、函数 y sin 6 x cos 6 x 的最小正周期为（）（A ） 2（ B ）（ C ）2（ D ） 2k(k Z)9、 ABC 中，若 cosA cosB sinC ，则 ABC 的形状是（）（ A ）等腰三角形（ B ）等边三角形（ C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形10、已知锐角满足 sin 2a ，则 sin cos 的值是（）（ A ） a1a 2 a （ B ） a 1 （C ）a 1 （D ） a 1a 2a11、已知f (tan x )sin 2x，则 f ( 1) 的值是（）（A） 1（ B）1（C）1（D） 0 212、已知f (x ) a cos2 x b sin x cos x a的最大值是1，且 f ()3，则2234f ( )（）3（A）1（ B）3（ C）24一、填空题（每小题 4 分，共 16 分）1 或3（D）0或3 24413、函数ysin x cos x1sin x 的最大值为 _______________.cos x14、函数y sin( 3x) 的图象沿向量 a =_______________平移得到 y cos(3x) .44 15、函数y cos(3x) 关于原点对称的充要条件是_________________________.16、关于x的函数f (x)sin( x) 有以下命题：（ 1）对任意的， f (x) 都是非奇非偶函数.（ 2）不存在，使 f (x) 既是奇函数，又是偶函数.（ 3）存在，使 f ( x) 是奇函数.（ 4）对任意的， f (x) 都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_________________.因为当_______________ 时，该命题的结论不成立 .三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分）17．（ 12 分）在△ ABC中，a,b,c分别是A, B,C的对边，且cos Bb, cosC2a c（ 1）求角 B 的大小；（2）若b13, a c 4，求 a 的值；18. （本小题满分12 分）已知函数 f x Asin x B A 0,0 的一系列对应值如下表：x5411717 6363636y1131113（ 1）根据表格提供的数据求函数f x 的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数y f kx k0周期为2，当 x[0, ] 时，方程 f kx m 恰m 的取值范围.33有两个不同的解，求实数19．（ 12 分）已知090 , 且 sin ,sin是方程 x2( 2cos40 ) x cos2 4010 的两个2根，求 cos(2) 的值.高一数学必修 4 第一章《三角函数》测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题 , 每小题 5 分，共 60 分 )1. 下列命题正确的是（） .A. 终边相同的角都相等B. 钝角比第三象限角小C. 第一象限角都是锐角D.锐角都是第一象限角2. 若角 600 的终边上有一点 4, a ，则 a 的值是（） .A.4 3 B.4 3C.3D.4 33.1 sin 23化简的结果是（） .5A.cos3B.cos3C. cos3D. cos2555 54. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线x3 对称的是（） .sin(xA. y sin( 2x 6)B.y ) C. ysin(2 x) D. ysin(2 x)2 6635. 函数 ysin( x ) 的部分图象如右图，则，可以取的一组值是（） .yA. , 4B., 623C.,5 D. ,O12 3x44446. 要得到 y3sin(2 x 4 ) 的图象，只需将 y 3sin 2x 的图象（）.A. 向左平移 4 个单位B.向右平移4 个单位C. 向左平移 8 个单位D.向右平移8 个单位7. 设 tan()2 ，则 sin() cos( )（） .sin( ) cos()A. 3B.1C.1D.138. A 为三角形 ABC 的一个内角，若 sin A cos A 12 ）.，则这个三角形的形状为（25A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9. 定义在 R 上的函数f ( x) 既是偶函数又是周期函数，若 f ( x) 的最小正周期是，且当 x [0, ] 时，sin x ，则 f (52f (x)) 的值为（） .3A.1B.3C.3D.12 2 2 210. 函数 y 2cos x 1 的定义域是 (） .A. 2, 2 k( kZ )B. 2, 2 k( kZ )k3 3k6 6C. 2k,2k2(kZ )D.2k22(k Z )3, 2k33311. 函数 y2sin(2 x) （ x [0, ] ）的单调递增区间是（）.6755A. [0, ]B. [ , ]C.[ , D.] [ , ]312 123 6612. 函数 ysin x sin x 的值域是（）A ． 0B ．1,1C ． 0,1D ． 2,0二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)13. 在扇形中，已知半径为 8 ，弧长为 12 ，则圆心角是弧度，扇形面积是.14. 函数 y2 cos x的最大值为 ________.2 cos x15. 方程 sin x lg x 的解的个数为 __________.16. 设f ( x)a sin(x )b cos(x) ，其中a,b,,为非零常数.若 f (2009)1，则f (2010).三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分.)17. （本小题满分 12 分）已知函数f ( x) 2 cos(2 x ) ， x R ．4(1) 求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；(2) 求函数 f (x) 在区间 [， ] 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 x 的值 .8 2。

2019年高中数学三角函数单元测评新人教A版必修4

2019年高中数学三角函数单元测评新人教A 版必修4一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：∵r ＝5，∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.答案：B2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π 解析：利用公式，得T ＝2π12＝4π.答案：D3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋3π4的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π12B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝－5π4解析：令3x ＋3π4＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝－π12＋k π3(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝－π12.答案：A4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π3x ，x ≤2 011，f x －4，x ＞2 011，则f (2 012)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：f (2 012)＝f (2 008)＝sin 2 0083π＝sin ⎝⎛⎭⎫668π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3＝－32. 答案：D5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )A.B.C.D.解析：当a ＝0时，f (x )＝1，图像即为C ；当0＜a ＜1时，函数f (x )的最大值为1＋a ＜2，且最小正周期为T ＝2πa ＞2π，图像即为A ；当a ＞1时，函数f (x )的最大值为a ＋1＞2，且最小正周期为T ＝2πa＜2π，图像即为B. 答案：D6．已知tan x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，则sin x ＝( ) A.5－12B ．－1C ．0D ．1解析：tan x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝－sin x ，所以sin x cos x ＋sin x ＝sin x 1＋cos x cos x＝0，故sin x ＝0.答案：C7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2≤φ≤π2)的图像如图所示，则f (1)＝( )A. 2 B ．1＋2 C ．2＋ 2D ．22解析：由函数f (x )的图像可知：A ＝2，T ＝8，φ＝0，从而得ω＝π4，f (x )＝2sin π4x ，得f (1)＝2sin π4＝2.答案：A8．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ＋cos 3θ＝( )A.109B.97C.710D.910解析：sin θsin 3θ＋cos 3θ＝sin θsin 2θ＋cos 2θsin 3θ＋cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ＋1＝8＋28＋1＝109. 答案：A9．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称( ) A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，k ∈Z ，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图像只需向右平移π12个单位即可．答案：C10．下列说法正确的是( ) A ．在⎝⎛⎭⎫0，π2内，sin x ＞cos x B ．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图像的一条对称轴是x ＝45π C ．函数y ＝π1＋tan 2x的最大值为πD ．函数y ＝sin2x 的图像可以由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位得到解析：对于A ，结合⎝⎛⎭⎫0，π2内y ＝sin x ，y ＝cos x 的图像知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin x ＞cos x ，故A 错误；对于B ，令x ＋π5＝k π＋π2，k ∈Z ，显然当x ＝45π时，找不到整数k 使上式成立，故B 错误；对于C ，由于tan 2x ≥0，∴1＋tan 2x ≥1，∴y ＝π1＋tan 2x ≤π，∴函数y ＝π1＋tan 2x 的最大值为π，C 正确；对于D ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x ，故D 错误．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，因此cos α＝－55. 答案：－5512．在△ABC 中，cos A ＝3sin A ，则角A 的取值集合是__________．解析：由cos A ＝3sin A ⇒tan A ＝33，∴A ＝π6. 答案：{π6}13．已知α是第二象限角，且tan(2π＋α)＝－12，则sin α＝__________.解析：易知tan α＝－12，∵α是第二象限角，∴sin αcos α＝1－cos 2αcos α＝－12，得 cos α＝－255，sin α＝55.答案：5514．下列4个判断：①α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α＋cos α＞1；②α∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin α＜cos α；③α∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2时，sin α＞cos α；④α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，若sin α＋cos α＜0，则|cos α|＞|sin α|.其中正确判断的序号是__________．解析：①由三角函数定义知：sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝x ＋yr ，又x ＋y ＞r ，所以sin α＋cos α＞1；②利用图像易知α∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin α＜cos α；③当5π4＜α＜3π2时，有cos α＞sin α；④当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＋cos α＜0时，有α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则|cos α|＞|sin α|.答案：①②④三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知α是第三象限角，且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫32π＋αtan π－αtan －α－π·sin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－cos α·sin α·－tan α－tan α·sin α＝－cos α.(6分)(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫－3·π2＋α＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－265.∴f (α)＝256.(12分)16．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像过点(0,1)，如图所示． (1)求函数f 1(x )的表达式；(2)把f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图像，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.(2分)将y ＝A sin2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6. (4分)将(0,1)代入y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(6分) (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(8分) 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． (12分)17．(13分)已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋a2＋b (x ∈R ，a ＞0，ω＞0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω，a ，b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1.(2分)又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得a ＝12，b ＝1.(6分)(2)由(1)知：f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. (8分)当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，(10分)即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )单调递增，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (13分)18．(13分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω＞0,0≤θ≤π2)的图像与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图像上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把(0，3)代入 y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32.(2分) ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω＞0， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.(6分)(2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3.(8分) ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像上，且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6.(10分) ∴4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6.∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.(13分).。

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高一数学三角函数单元测试卷
时间：50分钟满分：100分
班级学号姓名 .
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1、集合{2
ππ4ππ|+≤≤+k k αα，∈k Z }中的角所表示的范围（阴影部分）是……（）（A ）（B ）（C ）（D ）
2、已知角α的终边经过点P （m 4-，m 3）（0≠m ），则α+αcos sin 2的值是…（）
（A ）1或1- （B ）52或52- （C ）1或52- （D ）1-或5
2 3、已知x x f 3cos )(cos =，则)(si n x f 等于……………………………………………（）
（A ）x 3sin （B ）x 3cos （C ）x 3sin - （D ）x 3cos -
4、已知β>αsin sin ，那么下列命题中成立的是………………………………………（）
（A ）若α，β是第一象限角，则β>αcos cos （B ）若α，β是第二象限角，
则β>αtan tan （C ）若α，β是第三象限角，则β>αcos cos （D ）若α，β是第四象限角，
则β>αtan tan 5、要得到函数)4
2sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象……………（）（A ）向左平移4π个单位（B ）向右平移4
π个单位（C ）向左平移8π个单位（D ）向右平移8
π个单位 6、已知α是三角形的一个内角且3
2cos sin =α+α，则此三角形是…………………（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7、若扇形的周长是16cm ，圆心角是2弧度，则扇形的面积是．
8、函数|
tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是． 9、已知2tan =θ，则
=θ
+θθ-θcos 3sin cos 2sin 3 ． 10、已知41)6sin(=π+x ，则=-π+-π)3(cos )65sin(2x x ．
11、不等式0tan 31≥+x 的解集是．
12、设函数)3
2sin(3)(π+=x x f ，给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线12π=x 成轴对称；③它的图象关于点（3
π，0）成中心对称；④它在区间[125π-，12π] 上是增函数．其中正确命题的序号是．
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
13、（1）化简
︒--︒︒︒-170sin 1170sin 10cos 10sin 212；
（2）证明
α+ααα=ααα-αcos cot cos cot cos cot cos cot ．（注：其中α
αtan 1cot =）
14、已知α是第二象限角，且11)sin(+-=
α+πk k ，1
13)25sin(+-=α+πk k ．（1）求角α的正弦值、余弦值和正切值；（2）在图中作出角α的三角函数线，并用有向线段表示αsin ，αcos 和αtan ．
15、设x
x x f sin 21sin 21log )(3+-=．（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；
（2）求函数)(x f y =的定义域和值域．
16、已知交流电的电流强度I （安培）与时间t （秒）满足函数关系式)sin(ϕ+ω=t A I ，其中0>A ，0>ω，π<ϕ≤20．
（1）如图所示的是一个周期内的函数图象，试写出)sin(ϕ+ω=t A I 的解析式．
（2）如果在任意一段
150
1秒的时间内电流强度I 能同时取得最大值A 和最小值A -，那么正整数ω的最小值是多少？
四、附加题（本大题10分）
已知a 为常数，∈x R ，试利用三角恒等式)4
πsin(2cos sin +=+x x x ，求函数)cos (sin 2cos sin x x a x x y +-=的最大值)(a M 和最小值)(a m ．
参考答案：
一、选择题
CBCDCC
二、填空题
7、16cm 2 8、{1-，3} 9、
54 10、165 11、26|{π+π<≤π-
πk x k x ，∈k Z } 12、 ①②③④ 三、解答题
13、（1）原式1-=．（2）略．
14、（1）1=k （舍去）或9
1=k ；54sin =α，53cos -=α，34tan -=α．（2）作图略，MP =αsin ，OM =αcos ，AT =αtan ．
15、（1）奇函数；（2）定义域6
6|{π+π<<π-πk x k x ，∈k Z }，值域R ． 16、（1）)6
150sin(300π+π=t I ；（2）943min =ω．四、附加题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<-=0,2210,221)(a a a a a M ；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤----<+=1,21211,211,212)(2a a a a a a a m ．。