11-2毕奥萨法尔定律
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毕奥—萨伐尔定律
B = ∫ dBx = ∫ dB ⋅ cos θ
θ p yθ r
o x
dx
x
µ 0 Id x =∫ ⋅ cos θ 2π r a y cos θ = 2 2 2 2 r= x +y x +y
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
一个圆环之磁矩
r r 2 dm = π r dIen
m = ∫ dm
= ∫ π r ωσ rdr
2 0 R
r R
dr
1 2 = ω qR 4
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
=
=
µ0 I dl sin α
∫ 4π
µ0 I
r Idl
2 2 3 2
r
2
2π R
x
4π r
sin α ∫ 2
0
dl =
µ0 IR
2
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
2( R + z )
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
B=
µ0 IR
2
2 2 3 2
2( R + z )
θ2
1
x
C
o
r0
=
(cos θ1 − cos θ 2 )
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
推论
0
无限长载流长直导线的磁场。 无限长载流长直导线的磁场。
第五版普通物理11-2,11-3毕奥—萨伐尔定律及其应用
第五版普通物理习题11-2,11-3毕奥—萨伐尔定律及其应用选择题两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为（A ）0 （B ）πμ02000T （C ）πμ04000 T （D ）πμ0400T [ ] 答案：A通有电流I 的无限长直导线弯成如图所示的3种形状，则P 、Q 、O 各点磁感应强度的大小关系为（A ）P B ＞Q B ＞O B （B ）Q B ＞P B ＞O B （C ） Q B ＞O B ＞P B （D ）O B ＞Q B ＞P B[ ] 答案：D在一个平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如图所示。
问哪个区域中有些点的磁感应强度可能为零（A ）仅在象限1 （B ）仅在象限2 （C ）仅在象限1、3 （D ）仅在象限2、4[ ]答案：D无限长直导线通有电流I ，右侧有两个相连的矩形回路，分别是1S 和2S ，则通过两个矩形回路1S 、2S 的磁通量之比为：（A ）1：2 （B ）1：1 （C ）1：4 （D ）2：1[ ]答案：（B ）边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度（A ）与a 无关 （B ）正比于2a （C ）正比于a （D ）与a 成反比[ ]答案：D边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I ，图中ab 、cd 与正方形共面，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为（A ）01=B ，02=B （B ）01=B ，lIB πμ0222=（C ）l I B πμ0122=，02=B （D ）l I B πμ0122=， lIB πμ0222= [ ]答案：C载流的圆形线圈（半径1a ）与正方形线圈（边长2a ）通有相同的电流强度I 。
若两个线圈中心1O 、2O 处的磁感应强度大小相同，则1a ：2a ＝（A ）1：1 （B ）π2：1 （C ）π2：4 （D ）π2：8[ ]答案：D如图所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流11=I A ，方向垂直纸面向外；电流22=I A ，方向垂直纸面向内。
毕奥-萨伐尔定律及其应用
sin d
0 I
4a
(cos1
cos2 )
若导线长度远大于点P到直导线的垂直距离（L a），则导 线可视为无限长。此时，θ1＝0 ， θ2＝π，P点的磁感应强度为
B 0I
a
上式表明，无限长载流直导线周围的磁场 B 1/ a。这一正 比关系与毕奥－萨伐尔的早期实验结果是一致的。
【例8-2】设在半径为R的圆形线圈上通有电流I，求载流圆 形线圈轴线上一点P的磁感应强度。
有电流元在P点的磁感应强度B的方向 都相同，所以P点的磁感应强度的大小 等于各电流元在P点产生的dB的大小 之和，即
B dB 0 Idl sin
L
L 4 r2
由上图所示可知有以下几何关系
r a
sin( )
l a cos( )
r a
sin
dl
a
sin2
d
于是可得
B
2 1
0 I
4a
但是应当注意的是，磁感应强度是矢量，上式的积分是
矢量积分。在进行具体积分运算时，要首先分析载流导线上 各电流元所产生的磁场dB的方向，若各个dB的方向不同，则 应先求出dB沿3个坐标轴的分量dBx、dBy、dBz，然后对其分 量进行积分，即
Bx L dBx
By L dBy
Bz L dBz
B
dBx
dB sin
0 Idl
4r 2
r
40IrR3 dl
设P点的坐标为（x，0，0），则
所以
r R2 x2
B
0 IR
dl
0 IR
2R 0IR2
4 R2 x2 3/2
4 R2 x2 3/2
2 R2 x2 3/2
11.2 毕萨定理
B= 2R
0I
2R
I I
0 (NI )
(3) 一段圆弧在圆心处产生的磁场
B=
0I φ
2R 2π
=
0Iφ
4πR
φ
如图， 点的磁感应强度。 例 如图，求O 点的磁感应强度。 解
dB =
2
O R
B =0 1
30I B2 = = 4πR 2 8R B3 = =
4π r3
I
0 Idl × r
1 3
0I 3π
dq
1
ω
b a
3
dq = λdl = λbdθ
dB = 1
v
=
dθ
4
r
O
0 dqv ×r
4π r
3
0 dqv
4π r
2
=
0 dq ωb
4π
π
0
b2
=
0λω
4π
dθ
2
B1 = ∫
0λω
1 dθ = 0λω 4π 4 1 B2 = 0λω 4
线段2： 线段 ： 同理
线段3 线段
dq = λdr
4π r 4πr
讨论
B=
0I
4πa
θ2
(cosθ1 cosθ2 )
I
(1) 无限长直导线
θ1 →0
θ2 →π
B
θ1
B=
0I
2πa
方向： 方向：右螺旋法则
(2) 任意形状直导线
B = B + B2 = 0 + 1
0I
4πa
2
P
I a
B
r
1
(3) 无限长载流平板
大学物理：11-2,3 毕奥-萨伐尔定律
r E
=
qrr
4π ε0r 3
r B
=
μ0qvv × rr
4πr 3
r dB
=
μ
0
r Idl
×
rr
4πr 3
无限长均匀带电直线的电场
无限长直电流的磁场
E= λ 2π ε0r
(⊥带电直线）
B=
μ0I 2πr
（环绕电流）
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
均匀带电圆环轴线上电场 圆电流轴线上磁场 带电圆环圆心处电场
2 β1
讨论
B
=
μ0nI
2
(cos β2
−
cos β1)
(1) 无限长的螺线管
( ) 由 β1 = π , β2 = 0 代入
B = μ0nI
2
cos β2 − cos β1
实际上，L>>R 时，螺线管内部的 磁场近似均匀，大
小为 μ0nI
B = μ0nI
B
=
μ0nI
2
(cos
β2
−
cos
β1
)
R2
*o
B0
=
μ0I
4R2
− μ0I
4R1兹圈：两个完全相同的 N 匝共轴密绕
短线圈，其中心间距与线圈半径 R 相等，通同向平
行等大电流 I。求轴线上 o1 , o2 之间任一点P 的磁
场.
N匝
R
N匝
R
R
BP
=
μ0 NIR2
2[( R2 + ( R + x)2 ]32
§11-2 毕奥—萨伐尔定律
历史之旅
1819 年4月: 丹麦物理学家奥斯特（1777～1851） 发现电流的磁效应。
毕奥萨伐尔定律
• 我们只计算了轴线上的磁场分布,轴线以外磁场分布的计算比 较复杂, 略。为了给同学们一个较全面的印象，下左图显示 了通过圆线圈轴线的平面上磁感应线的分布图。可以看出， 磁感应线是一些套连在圆电流环上的闭合曲线。
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
毕奥-萨伐尔定律
结果对比
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
11-2毕奥-萨伐尔定律
a 2 sec2β
=
μo
4π
I a
cosβ
dβ
B
=
μo
4π
I a
β2
β 1 cosβ
dβ
=
μ oI
4π a
( sinβ 2
sinβ 1 )
B
=μ4πo
I a
( sinβ 2
sinβ 1 )
I
讨论：
当直线电流为“无限长”时
β1
π
2
β2
π
2
β 1 β 2 dB a
B
=
μo
2π
I a
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
dB = μ on I d l R 2
. 2 ( R 2 + l 2 )3 2
μ
=
on 2
I (
( R2
R cscβ2 dβ ) R 2 + R 2ctg2β )3 2
=μ
on I
.( R cscβ2
2 R 3 csc 3β
dβ
) R2
=
μ onI dβ
2cscβ
B=
μ onI dβ
2cscβ
=
μ onI
由上两式得：
B =μ εo 0 v × E
此式表明运动电荷激发的电场和磁场紧
密相关。
§11-3 毕奥 萨伐尔定律的应用 1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
=
μo
4π
I a
cosβ
dβ
B
=
μo
4π
I a
β2
β 1 cosβ
dβ
=
μ oI
4π a
( sinβ 2
sinβ 1 )
B
=μ4πo
I a
( sinβ 2
sinβ 1 )
I
讨论：
当直线电流为“无限长”时
β1
π
2
β2
π
2
β 1 β 2 dB a
B
=
μo
2π
I a
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
dB = μ on I d l R 2
. 2 ( R 2 + l 2 )3 2
μ
=
on 2
I (
( R2
R cscβ2 dβ ) R 2 + R 2ctg2β )3 2
=μ
on I
.( R cscβ2
2 R 3 csc 3β
dβ
) R2
=
μ onI dβ
2cscβ
B=
μ onI dβ
2cscβ
=
μ onI
由上两式得：
B =μ εo 0 v × E
此式表明运动电荷激发的电场和磁场紧
密相关。
§11-3 毕奥 萨伐尔定律的应用 1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
11-2 毕奥—萨伐尔定律
§11-2 毕奥—萨伐尔定律
（Biot−Savart Law）
又称毕奥−萨伐尔−拉普拉斯定律，简称毕−萨定律 这是由毕奥 −萨伐尔经大量的间接实验归纳、总结、 在拉普拉斯的帮助下进行严格的数学推理给出的，由电流元 激发的磁场的实验规律。其地位相当于静电场中的库仑定律。 一般空间分布电流激发的磁场， 原则上由毕−沙定律给出的 结果按矢量叠加得到。 由于稳恒电流必定是闭合的，实验中不可能提供 稳恒的电流元，这种实验只能是间接推理性的。
由于电流磁效应的横向性，可考虑下面的实验方案， 测量直线电流对电流元的作用、电流元间的作用。
毕奥 − 沙伐尔做了第一 组实验，总结出磁感应强度与 I 成正比、与 r2 成反比；
安培做了第二组实验 两个结果拼在一起，构 成了毕 − 沙定律。
电场分布的一般计算方法
磁场分布的一般计算方法
Idl
E
q r 3 4 0 r 1
q
v
r
P
B
E
运动电荷的磁场
0 qv r B 3 4 r
E q r 3 4 0 r 1
B 0 0v E
运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。
3. 平面载流线圈的磁矩（磁偶极子） magnetic (dipole) moment 定义载流 I 的刚性平面线圈 S 的磁矩为
pm IS
— S 为线圈的面积 — I 为刚性平面线圈通过的电流
图中，n 为线圈平面的法向，
它也是磁矩的方向。
pm
n
I
n 与电流的方向成右手螺旋
关系。
m IS n
说明：只有当圆形电流的 面积S很小，或场点距圆电流 很远时，才能把圆电流叫做 磁偶极子.
（Biot−Savart Law）
又称毕奥−萨伐尔−拉普拉斯定律，简称毕−萨定律 这是由毕奥 −萨伐尔经大量的间接实验归纳、总结、 在拉普拉斯的帮助下进行严格的数学推理给出的，由电流元 激发的磁场的实验规律。其地位相当于静电场中的库仑定律。 一般空间分布电流激发的磁场， 原则上由毕−沙定律给出的 结果按矢量叠加得到。 由于稳恒电流必定是闭合的，实验中不可能提供 稳恒的电流元，这种实验只能是间接推理性的。
由于电流磁效应的横向性，可考虑下面的实验方案， 测量直线电流对电流元的作用、电流元间的作用。
毕奥 − 沙伐尔做了第一 组实验，总结出磁感应强度与 I 成正比、与 r2 成反比；
安培做了第二组实验 两个结果拼在一起，构 成了毕 − 沙定律。
电场分布的一般计算方法
磁场分布的一般计算方法
Idl
E
q r 3 4 0 r 1
q
v
r
P
B
E
运动电荷的磁场
0 qv r B 3 4 r
E q r 3 4 0 r 1
B 0 0v E
运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。
3. 平面载流线圈的磁矩（磁偶极子） magnetic (dipole) moment 定义载流 I 的刚性平面线圈 S 的磁矩为
pm IS
— S 为线圈的面积 — I 为刚性平面线圈通过的电流
图中，n 为线圈平面的法向，
它也是磁矩的方向。
pm
n
I
n 与电流的方向成右手螺旋
关系。
m IS n
说明：只有当圆形电流的 面积S很小，或场点距圆电流 很远时，才能把圆电流叫做 磁偶极子.
11、2毕萨定律及其应用
E 运动电荷除了产 r 生磁场外，还在其周 q B . 围激发电场。若电荷 v 运动速度远小于光速， 则空间一点的电场强度为： 1 q μ o q v× r 而B = E= r 3 r3 4 π π 4ε r
0
由上两式得：
B =μ ε v × E o 此式表明运动电荷激发的电场和磁场紧 结束 密相关。
0 IR 圆环 B 电流: 2( x 2 R 2 )3 2
（下一页）
电偶极子
q q Pe qr
1 pe E 3 20 r
延长线 上： 中垂面 上：
r
类 比
磁偶极子 I S
n
0 pm B 3 2r 0 pm B 3 4r
2
0 nI R csc d R 0 nId 3 3 2 R csc 2 csc
2 2
2 1
B dB
0 nId 0 nI 2 2 csc 2
2
1
sin d
0 nI cos 2 cos 1 2
返回
dB =
μ
I dl sin a r2 4π
o
μo
真空中的磁导率
μ o = 4π
× 10
7
( H . m 1 ) 或 ( 亨利.米 萨伐尔定律
×(
1
)
用矢量形式表示的毕奥 dB =
4π
μ o I dl
×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r3
4π
r
μ o I dl = r2 4π
×
r ) r
结束
返回
B =
μ o I dl
毕奥萨伐尔定律
电磁炉具有加热速度快、热效率高、安全可靠等优点，广泛 应用于家庭和餐饮行业。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
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THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
毕奥萨伐尔定律推导过程
毕奥萨伐尔定律推导过程嘿，咱今天就来唠唠毕奥萨伐尔定律的推导过程！这可真是个神奇又有趣的玩意儿呢！你想啊，电和磁那可是紧密相连的呀！电流通过的时候，就会产生磁场。
那这毕奥萨伐尔定律呢，就是描述这个过程的重要定律。
咱先从最基础的开始说。
想象一下，有那么一根导线，电流在里面欢快地流淌着。
这时候，周围就会有磁场产生啦。
那这个磁场到底是怎么个分布法呢？这就引出了毕奥萨伐尔定律啦。
它就像是一个神奇的魔法公式，能告诉我们在不同的位置，磁场的强度和方向。
就好比是一个指南针，给我们指引着磁场的路呢！在推导的过程中，可不能马虎呀！得一步步来，仔细琢磨。
就像是搭积木一样，一块一块地往上垒。
先得考虑电流的大小吧，电流越大，那产生的磁场不就越强嘛！这很好理解吧？然后呢，还得考虑距离呀，离得越远，磁场自然就会弱一些啦。
你说这是不是很有意思？就这么几个因素，通过复杂又巧妙的推导，就能得出这么重要的定律来。
这推导过程就像是一场冒险，充满了未知和惊喜。
每一步都需要我们用心去探索，去思考。
哎呀，真的很难用简单的几句话就把整个推导过程说清楚呢！那可是科学家们经过无数次的研究和尝试才得出的呀！咱平时生活中用到的好多东西，可都离不开这毕奥萨伐尔定律呢！像那些电磁设备呀，不都是靠它来工作的嘛。
所以说呀，这毕奥萨伐尔定律可真是太重要啦！它就像是一把钥匙，打开了电磁世界的大门。
让我们能更深入地了解电和磁的奥秘。
怎么样，听我这么一说，是不是对毕奥萨伐尔定律的推导过程有点感觉啦？这可真是个值得我们好好研究和探索的领域呀！咱可不能小瞧了这些科学知识，说不定哪天就能派上大用场呢！嘿嘿！。
11-2 毕奥-萨伐尔定律
π β1 = , β 2 = 0 2
1 B = 0 nI 2
0nI
x
B=
0nI
2
(cos β2 cos β1 )
B
1 0 nI 2
O
毕奥—萨伐尔定律 11 – 2 毕奥 萨伐尔定律
第十一章 稳恒磁场
2. 运动电荷的磁场
电荷运动
形成
电 流
磁场
毕奥—萨伐尔定律 11 – 2 毕奥 萨伐尔定律
四 运动电荷的磁场
R
o * p
dx
x
x
++ ++++ ++ +++++ +
解 由圆形电流磁场公式
B=
0 IR
2
2 2 3/ 2
（x + R ） 2
毕奥—萨伐尔定律 11 – 2 毕奥 萨伐尔定律
β1
β
第十一章 稳恒磁场
x1
o p
β2
x2
++ + + + + + + + + + + + + +
x
dB =
0
2
B = ∫ dB =
v r r r Idl × r dB⊥r ,v v v dB = dE // r 有心力 ⊥ Idl 4π r 3 v v 1 dq v r r ∴ E = ∫ dE = ∫ r2 r r r 4πε Idl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r * 矢量积分
毕奥—萨伐尔定律 11 – 2 毕奥 萨伐尔定律
+4
毕奥-萨伐尔定律
x
l 2
17
B
I0 I0
从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场 分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在 管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管 外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎 等于零了。
18
例4. 在半径R=2cm的无限长的半圆形金属薄片中， 有电流I=6A自下而上的通过，如图求 圆柱轴线上任一点的磁感应强度。
位矢量，指向与电流的方向满足右螺旋关系。
多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝
线圈的电流的乘积代替。
0 m m 0 圆电流 B n 3 3 2π x 2x
10
三 磁矩
m ISen
2
I
例2 中圆电流磁感强度 公式也可写成
S
en
m
B
0 IR
2x
3
0 IR 2
0 IR 2
a
4π a
25
例7 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相 当于一个圆电流，具有相应的磁矩（称为轨道磁 矩）。求轨道磁矩 与轨道角动量之间的关系。 解： 设电子的轨道半径为r，每秒转速为ν。 电流：
I e 2 磁矩： IS e πr
圆电流面积： S π r 2
4π d
R
o （ 3） I R
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
13
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为 l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
毕奥 萨伐尔定律
2( R 2
x )2
3 2
0m
2 (R2
x )2
3 2
圆电流圆心处磁场：
I
B 0
0 2R
3. 无限长载流直螺线管内的磁场：
B nI 0
电流的磁矩：
P I Sn
m
31
4
2. 运动电荷的磁场 -----电流元磁场的本质
运动电荷
形成
电流
磁场
5
设电流元 Idl，横截面积S，单位体积内有n个
定向运动的正电荷, 每个电荷电量为q，定向速度
为v。
dl
单位时间内通
过横截面S的电量 I
I
即为电流强度I:
I qnvS
电流元在P点产生的磁感应强度
dB 0 qnvS d l sin
R
I
dB dB'
d P
y
x
dB
0dI 2R
0 Id 2 2R
R P
由对称性：By dBy 0
B
B x
dB sin
沿 x 方向
0
I sind 0 2 2R
I 0
2R
15
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
设有圆形线圈L，半径为R，通以电流I。
I dl
•
r
d B
dB
R
IO
x
P
d B//
由上式：
B 的方向为 v r 的方向
P
7
矢量式：
B
0 4
qv r
r3
•
r
+
v
q>0
r
v
q0
运动电荷除激发磁场外，同时还在其周围 空间激发电场。
11-1磁感应强度 毕奥—萨伐尔定律
向定义为该点的 B 的方向.
Fmax
磁感强度大小 磁感强度方向： B 特定直线方向
Fmax qv
运动电荷在磁场中受力
v
q
+
B
F qv B
单位 特斯拉 1(T ) 1N/A m
§11-2 稳恒磁场
一 毕奥—萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
Id l
R1
0 I
4π d
（2） R
o （3） I R o
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
练 ：
习
三 磁偶极矩 磁矩
m ISen
2
I S
例2中圆电流磁感强度公 式也可写成
en
m
B
0 IR
2x
3
0 m B en 3 2π x
（x R ）2 2
2 2 3
I
R o
x
*
B
x
B
B
0 IR
2
2 2 3
讨 论
（x R ）2 2 2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） 0 I 圆环形电流 B 3）x 0 2 R 中心的磁场
2 2
1）若线圈有 N 匝
（x R ）2 2 2 N 0 IR
本章教学内容
11-1 稳恒磁场 11-2 毕奥-萨伐尔定律 11-3 磁通量 磁场的高斯定理
11-4 安培载流导线在磁场中所受的力 11-7 磁场对载流线圈的作用
第五版普通物理112113毕奥—萨伐尔定律及其应用
度大小为。
答案：
在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r的长直圆柱体，两柱体轴线平行其间距为a，如图，今在此导体上通有电流I，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O
点的磁感强度的大小为。
答案：
无限长直ห้องสมุดไป่ตู้线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感应强度
大小等于。
答案：
如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过X1=1，X2=3的点，且平
答案：y= x/3
两平行载流导线，导线上的电流为I,方向相反，两导线之间的距离a，则在与两导
线同平面且与两导线距离相等的点上的磁感应强度大小为。
答：
两平行载流导线，导线上的电流为I,方向相反，两导线之间的距离a，则在与两导线同平面且与其中一导线距离为b的、两导线之间的点上的磁感应强度大小为。
答：
在真空中有一根半径为R的半圆形细导线，流过的电流为I，则圆心处的磁感应强
（A）竖直向上（B）竖直向下（C）水平向右（D）水平向左
[ ]
答案：D
题号：30913018
分值：3分
难度系数等级：3
两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为 ，两条导线到P点的距离都是a，P点的磁感应强度方向
（A）竖直向上（B）竖直向下（C）水平向右（D）水平向左
[ ]
答案：B
电流由长直导线1沿切线方向经a点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源，如图。已知直导线上的电流强度为I，圆环的半径为R，且a、b和圆心O在同一条直线上。设长直导线1、2和圆环中的电流分别在O点产生的磁感应强度为 、 、 ，则O点的磁感应强度大小
答案：
在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r的长直圆柱体，两柱体轴线平行其间距为a，如图，今在此导体上通有电流I，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O
点的磁感强度的大小为。
答案：
无限长直ห้องสมุดไป่ตู้线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感应强度
大小等于。
答案：
如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过X1=1，X2=3的点，且平
答案：y= x/3
两平行载流导线，导线上的电流为I,方向相反，两导线之间的距离a，则在与两导
线同平面且与两导线距离相等的点上的磁感应强度大小为。
答：
两平行载流导线，导线上的电流为I,方向相反，两导线之间的距离a，则在与两导线同平面且与其中一导线距离为b的、两导线之间的点上的磁感应强度大小为。
答：
在真空中有一根半径为R的半圆形细导线，流过的电流为I，则圆心处的磁感应强
（A）竖直向上（B）竖直向下（C）水平向右（D）水平向左
[ ]
答案：D
题号：30913018
分值：3分
难度系数等级：3
两条长导线相互平行放置于真空中，如图所示，两条导线的电流为 ，两条导线到P点的距离都是a，P点的磁感应强度方向
（A）竖直向上（B）竖直向下（C）水平向右（D）水平向左
[ ]
答案：B
电流由长直导线1沿切线方向经a点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源，如图。已知直导线上的电流强度为I，圆环的半径为R，且a、b和圆心O在同一条直线上。设长直导线1、2和圆环中的电流分别在O点产生的磁感应强度为 、 、 ，则O点的磁感应强度大小
11.2 毕奥--萨伐尔定律
r
v
v S r I e 2r 1 23 2 pm IS vre 0.93 10 Am 2
2
pm ISn
方向
例4、均匀带电圆环 已知：q、R、 圆环绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 解： 带电体转动，形成运流电流。 q q q I T 2 2
R
a
I A
a
L
S
I
a
P T
R点
0 I 0 5 10 5 T 4a
方向
BR BLA BLA 0 I 0 I 3 1 (cos 0 cos ) (cos cos ) 4a 4 4a 4
1.71 105 T
方向
I
2
dl
1 r0
a
I sin d
r
l 0 I (cos 1 cos 2 ) 4a 0 I O B (cos 1 cos 2 ) 4a 0 I (sin 2 sin 1 ) 或： B 4a
dB
X P
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4a
2.26 10
6
wb
练 习
求角平分线上的 B p
B
0 P c 解： 0 I B AO (cos 1 cos 2 ) I 4a a 0 I A [cos 0 cos( )] 4a 2 所以 0 I (1 cos ) B p B AO BOB 2 4c sin 2 0 I (1 cos ) 方向 同理 2 2c sin 0 I 2 BOB (1 cos ) 2 方向 4c sin 2
§11-2、3 毕奥—萨伐尔定律
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二、 毕奥---萨伐尔定律应用举例 dB 方向均沿
例： 载流长直导线的磁场.
x 轴的负方向
z
D
θ2
dz θ
I
z
θ1
r
dB
* P y
x
o
r0
µ0 Idz sin θ 解 dB = 2 4π r µ0 Idz sin θ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π r z = −r0 cot θ , r = r0 / sinθ
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP = 2 µ 0 NIR
2 2 3/2
2 R 2 R + 2 µ 0 NI = 0 . 716 R
同 学 们 好
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§11-2 毕奥—萨伐尔定律 一、毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)
Idl
dB
µ0 Idl sin θ dB = 2 4π r µ0 Idl × r dB = 4π r 3
(2) 无限长的螺线管
（3）半无限长螺线管
B = µ 0 nI
或由 β1 = π , β 2 = 0 代入
π β1 = , β 2 = 0 2
1 B = µ 0 nI 2
µ0nI
x
µ0nI (cos β2 − cos β1 ) B= 2
1 µ 0 nI 2
B O
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毕奥萨伐尔定律
在静磁学中，Biot-Savart定律描述了电流元素在空间中任何一点p 激发的磁场。
该法则的文字描述：电流元素Idl在空间中某个点p上产生的磁感应强度dB与电流元素Idl的大小成正比，与电流元素Idl 和点p之间的位置矢量的正弦成正比该定律在静磁逼近中有效，并且与以让-巴蒂斯特·比奥（Jean-Baptiste Biot）和费利克斯·萨瓦特（Jean-Baptiste Biot）和费利克斯·萨瓦特（FélixSavart）命名的安培电路定律和高斯磁定律一致。
电流元素Idl在空间的某个点p上产生的磁感应强度dB与电流元素Idl的大小成正比，与电流元素Idl和点p之间的位置矢量的正弦成正比，与电流元素Idl的大小成反比。
当前元素Idl与点p之间的距离的平方。
在正确的公式中，μ。
/4π是比例系数μ。
这称为真空渗透率，其值为4π×10-7T * m / a，dB的方向垂直于由Idl和R确定的平面。
当右手弯曲并且四根手指从小于角度的方向，用笔直指向的方向是dB的方向，即三个向量DB，dl和R的方向符合右手定则。
毕奥-萨伐尔定律是由H.C.奥斯特（Oster）的实验（请参阅电流磁效应）表明，由长直载流线作用在磁极上的力是横向力。
为了揭示电流对磁极的作用力的一般定量定律，JB Biot和F. Savar认为，电流对磁极的作用力也应垂直于电流与磁极形成的平面，即，横向力。
他们通过长而弯曲的载流导线作用在磁极上的实验，获得了作用力与距离和弯曲角度之间的关系。
借助P.S.M拉普拉斯（P.S.M Laplace），经过适当的分析，可以获得电流元件在磁极上的作用力定律。
根据近距离作用的观点，现在可以理解为电流元件产生的磁场定律。
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§11-2 毕奥—萨伐尔定律
11.2
• 研究思路
Biot-savart’s law
– 静电场：点电荷模型 任一个带电体 Q dq dE E d E
（ 微元分析法）
– 静磁场：电流元模型
I Idl dB B dB
研究内容
• 在恒定磁场中引入电流元的概念，分析电流 元产生磁场的规律，即B-S 定律，最后利用 磁场的叠加原理，可以解决任意载流体所产 生的稳恒磁场的分布。
0 3
Biot-savart’s law 讨论
• B－S Law的物理意义
表明一切磁现象的根源是电流（运动电荷）产生 的磁场。反映了载流导线上任一电流元在空间任 一点处产生磁感应强度在大小和方向上的关系。 由此定律原则上可以解决任何载流导体在起周围 空间产生的磁场分布。
Biot-savart’s law 讨论
3. 运动电荷的磁场表达式(微观意义的B-S定律)
按经典电子理论，导体中电流是大量带电粒子的定向 运动，电流激发磁场，实质是运动电荷在其周围空间激发 磁场。
v
dl
S 电流元
Idl
r
0 Idl sin dB 4 r2
I qnvS
0 qnvSdlsin dB 2 4 r
引入电流元矢量 I d l 的物理意义
任意载流回路可设想为是由无限多个首尾相 接的电流元构成，
I Idl dB B dB
电流元与点电荷的区别
• 点电荷可以独立存在 • 电流元不能单独存在
2、 Biot-savart’s law
I d l sin 大小： B d 4 r 方向： 或者：右手螺旋
I Idl dB B dB
1.电流元矢量
在一根载流直线上任意取一无限小的直线， 做一个矢量 I dl I
I dl
r
P
大小：该小直线的长度乘以I 方向：该点直线上电流的方向
对空间任意点P，从 I d l 到P的位置矢量为 r
产生的磁场为 d B
0 2
I'
I dl
I
Idl r
其中：
0 4 107 NA2 真空磁导率 r : 指Idl 到待求场点的矢径
r
0 I d l r dB 4 r3 P
毕奥-萨伐尔定律
叠加原理
B d B
L
B总 Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
• 公式的应用
– 公式为矢量积分。故积分要用矢量的直角坐标分量式，将 矢量积分化为标量积分，分别求出后再矢量合成。 dl , r , r都 是 变 量 ， 积 分 前 须 统 分 变 量 一积
dB dB i dB j dB k BBi B jBk
L
0
L
3
Biot-savart’s law 讨论
• 问：一个静止的点电荷能在它周围空间任 一点激起电场，一个线电流元是否也能在 它周围空间任一点激起磁场？
Biot-savart’s law 讨论
• 库仑定律与B-S law 的异同
– 两个定律在各自的领域地位相当。在形式上都是平方 反比律 – 适用对象不同，一个是电性质，一个是磁性质。 – 库仑定律可以直接由试验验证，而B-S law 只能间接验 证。
1.从电流产生磁场的观点 求B u Idl r dB B dB 4 r r : 从电流元指向场点（视电流元为一个点）
0 3
用B-S Law求 B 的两种思路
：视电流元有一定长度
2.从电荷运动产生磁场的 观点求B u qv r B 4 r r : 从运动电荷指向场点
B 的方向垂直于 v, r 组成的平面。
带电量为q，运动速度为v的电荷产生的磁场为：
dB 0 q v si n B dN 4 r 2
u qv r B 4 r
0 3
u qv r B 4 r
0 3
r
＋
○ P
r
v
－
P
vq0源自q0x y z x y z
B dB
x
x
B
y
dB B dB
y z
z
dB dB i dB j dB k BBi B jBk
x y z x y z
B dB
x
x
B
y
dB B dB
y z
z
若载流体具有某种对称性，P点的合场强在某个 方向上的投影可能为0，所以有时可以直接判断上式 三个积分中有一个或者多个积分为0。
11.2
• 研究思路
Biot-savart’s law
– 静电场：点电荷模型 任一个带电体 Q dq dE E d E
（ 微元分析法）
– 静磁场：电流元模型
I Idl dB B dB
研究内容
• 在恒定磁场中引入电流元的概念，分析电流 元产生磁场的规律，即B-S 定律，最后利用 磁场的叠加原理，可以解决任意载流体所产 生的稳恒磁场的分布。
0 3
Biot-savart’s law 讨论
• B－S Law的物理意义
表明一切磁现象的根源是电流（运动电荷）产生 的磁场。反映了载流导线上任一电流元在空间任 一点处产生磁感应强度在大小和方向上的关系。 由此定律原则上可以解决任何载流导体在起周围 空间产生的磁场分布。
Biot-savart’s law 讨论
3. 运动电荷的磁场表达式(微观意义的B-S定律)
按经典电子理论，导体中电流是大量带电粒子的定向 运动，电流激发磁场，实质是运动电荷在其周围空间激发 磁场。
v
dl
S 电流元
Idl
r
0 Idl sin dB 4 r2
I qnvS
0 qnvSdlsin dB 2 4 r
引入电流元矢量 I d l 的物理意义
任意载流回路可设想为是由无限多个首尾相 接的电流元构成，
I Idl dB B dB
电流元与点电荷的区别
• 点电荷可以独立存在 • 电流元不能单独存在
2、 Biot-savart’s law
I d l sin 大小： B d 4 r 方向： 或者：右手螺旋
I Idl dB B dB
1.电流元矢量
在一根载流直线上任意取一无限小的直线， 做一个矢量 I dl I
I dl
r
P
大小：该小直线的长度乘以I 方向：该点直线上电流的方向
对空间任意点P，从 I d l 到P的位置矢量为 r
产生的磁场为 d B
0 2
I'
I dl
I
Idl r
其中：
0 4 107 NA2 真空磁导率 r : 指Idl 到待求场点的矢径
r
0 I d l r dB 4 r3 P
毕奥-萨伐尔定律
叠加原理
B d B
L
B总 Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
• 公式的应用
– 公式为矢量积分。故积分要用矢量的直角坐标分量式，将 矢量积分化为标量积分，分别求出后再矢量合成。 dl , r , r都 是 变 量 ， 积 分 前 须 统 分 变 量 一积
dB dB i dB j dB k BBi B jBk
L
0
L
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Biot-savart’s law 讨论
• 问：一个静止的点电荷能在它周围空间任 一点激起电场，一个线电流元是否也能在 它周围空间任一点激起磁场？
Biot-savart’s law 讨论
• 库仑定律与B-S law 的异同
– 两个定律在各自的领域地位相当。在形式上都是平方 反比律 – 适用对象不同，一个是电性质，一个是磁性质。 – 库仑定律可以直接由试验验证，而B-S law 只能间接验 证。
1.从电流产生磁场的观点 求B u Idl r dB B dB 4 r r : 从电流元指向场点（视电流元为一个点）
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用B-S Law求 B 的两种思路
：视电流元有一定长度
2.从电荷运动产生磁场的 观点求B u qv r B 4 r r : 从运动电荷指向场点
B 的方向垂直于 v, r 组成的平面。
带电量为q，运动速度为v的电荷产生的磁场为：
dB 0 q v si n B dN 4 r 2
u qv r B 4 r
0 3
u qv r B 4 r
0 3
r
＋
○ P
r
v
－
P
vq0源自q0x y z x y z
B dB
x
x
B
y
dB B dB
y z
z
dB dB i dB j dB k BBi B jBk
x y z x y z
B dB
x
x
B
y
dB B dB
y z
z
若载流体具有某种对称性，P点的合场强在某个 方向上的投影可能为0，所以有时可以直接判断上式 三个积分中有一个或者多个积分为0。