八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形直角三角形的性质和判定学案无答案新版北师大版
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-直角三角形的斜边上的中线性质及其在解决问题中的应用。
-实际问题中直角三角形的识别和运用勾股定理解决方法。
举例：讲解直角三角形的判定方法时，可以列举一些常见的直角三角形图形，如等腰直角三角形、含30°或60°角的直角三角形等，强调如何快速识别直角三角形。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解和应用，直角三角形的斜边上的高的计算。
-难点解析：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何关系和代数表达，以及如何在实际问题中灵活运用。
-直角三角形的斜边上的高的计算：学生需要掌握如何利用直角三角形的性质和勾股定理来求解斜边上的高。
-问题解决中的难点：将实际问题抽象为直角三角形问题，以及如何选择合适的数学方法解决问题。
举例：
-勾股定理的应用难点：可以设计一些复杂的实际问题，如测量距离、计算斜边长度等，指导学生如何将问题转化为直角三角形的边长计算。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾，它的形状就是一个直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
在实践活动中，学生们通过测量和计算，亲自验证了勾股定理，这样的教学方式有助于加深学生对定理的理解。但同时，我也注意到操作过程中部分学生存在粗心大意的问题，导致计算结果出现偏差。在以后的教学中，我要加强学生对细节的关注，培养他们的耐心和细致。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形全等的判定》教案_9
第一章 三角形的证明 直角三角形(2)教学设计【课题】 第一章 三角形的证明 直角三角形（2）【教材】 义务教育教科书北师大版八年级下册教学目标1．探索直角三角形全等的判定方法，通过尺规作图获得判断直角三角形全等特殊判定方法（“斜边、直角边”或“HL”定理），并能证明“HL ”定理。
2.会运用“HL”定理解决与直角三角形有关的问题。
教学重点、难点1．教学重点直角三角形“HL ”全等判定定理。
2．教学难点证明“HL ”定理的思路的探究和分析教学方法探究式教学与讲练结合法教学过程一．回顾与思考1．判断三角形全等的方法：SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS2．如图，Rt ABC 中，直角边 、 ，斜边 。
3．如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，（1）若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△（2）若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （ ）（3）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与 △DEF （ ）（4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 则△ABC 与△DEF （ ）二．创设情境，引入新课1．思考：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等吗？如图：由图⑴和图 C ⑴ C ⑵ ⑶A B C⑵可知，这两个三角形全等；由图⑴和图⑶可知，这两个三角形不全等；因此，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（SSA）2.如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.提问：你能帮他想个方法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA)或(AAS)问题：（分小组讨论）（1）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？（2）工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.为什么呢？三．做一做（合作探究）动手做一做：已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c acαA 'B'C 'C B A结论总结：通过尺规作图引导学生获得判断直角三角形全等特殊判定方法：斜边、直角边（HL ） 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形的性质与判定》教案_13
[活动1] 复习旧知引入新课已知△ABC，A=60°，请同学们补充一个条件，使△ABC一个成为等边三角形。
教师拿出准备好的三角形，出示问题，复习等边三角形的判定方法。
板书课题。
学生思考教师提出的问题并回答，回顾旧知。
回顾旧知，为本节课的学习做好铺垫。
后面性质的证明要用到等边三角形判定方法。
4分钟[活动2]合作探究构建新知一动手体验将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB 之间的数量关系吗？二猜想思考同学们能否用完整的数学文字语言叙述猜想？如何证明用文字语言叙述的证明题，需要几个步骤？如何写已知和求证？请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？教师巡视观察、倾听各组学生是否发现含30°角的直角三角形的性质，根据情况进行点拨、引导。
教师根据学生猜想的含30°角的直角三角形的性质进行板书，并根据学生叙述的情况进行追问、强调文字语言叙述证明题四步骤和写已知和求证方法。
发挥教师的主导作用。
学生通过两个相同的含30°角的直角三角尺的摆放、测量、思考直角边BC与斜边AB之间的数量关系。
学生根据图形指出含30°角的直角三角形的性质，并回忆文字语言叙述的证明题的证明步骤和方法。
学生通过动手拼、量等边三角形这一实验几何的过程，培养学生动手实践探究的意识，同时使这一抽象的性质直观化，符合学生的认知特点，更易于学生理解接受。
学生通过思考，尝试用数学文字、符号、图形语言来说明该性质，培养学生的符号感，学生通过图形深入理解所总结的性质，并培养学生的逻辑推理能力。
16分钟三合作探究学生猜想的命题是真命题吗？学生根据上一环节写出的已知、求证证明这条命题的正确性。
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.求证：BC=21AB．四性质总结含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.2 直角三角形导学案 (新版)北师大版
1.2.2 直角三角形学习目标1.通过探索判定直角三角形全等的条件，学会利用HL进行判定的方法2.会灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等，并能已知斜边和直角边作直角三角形。
学习重点：灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等。
学习难点：直角三角形全等的应用。
一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究探究点一问题1：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？结论：问题2：两边分别相等且其中一组等边的对角是直角的两个三角形全等吗？结论：探究点二已知一条直角边和斜边你能作出一个直角三角形吗？观察你做的直角三角形和同伴交流发现什么？例1.已知：R△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边上的中线且BD=B′D′ (如图)．'D A 'B 'C 'DBA例2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜∠B 和∠F 的大小有什么关系.随堂检测1．如图，点P 是∠BAC 内一点，PE⊥AC 于点E ，PF⊥AB 于点F ，PE ＝PF ，则直接得到△PEA≌△PFA 的理由是()A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS 2．不能判断两个直角三角形全等的条件是( ) A ．两锐角对应相等的两个直角三角形B ．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形3.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有()A．3对 B．4对 C．5对 D．6对4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝．5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．参考答案探究点一问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.2《直角三角形》教案1 (新版)北师大版
《2 直角三角形》第1课时教学目标1、知识与技能：（1）掌握直角三角形的性质和判定．（2）掌握勾股定理及其逆定理．2、过程与方法：通过本节的学习掌握勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理判定三角形为直角三角形．3、情感态度与价值观：（1）通过学习进一步培养动手操作的能力和锲而不舍的探索意识．（2）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满了探索性、知识性、趣味性，同时又具有严密的逻辑性，当然，许多数学问题又都源于生活实际，由此引出相关的内容，以培养大家应用数学的意识．教学重难点教学重点：直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理．教学难点：直角三角形的性质和判定以及勾股定理及其逆定理的应用．教学过程1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，有一个角为90°．（2）在直角三角形中，两锐角互余．（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．2、直角三角形的判定：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．3、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2．4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．5、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边．（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系．（3）用于证明线段平方关系的问题．6、勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理．7、勾股定理的逆定理把数的特征（a2＋b2＝c2）转化为形的特征（三角形有一个角为直角），因此逆定理的作用是提供了一个判定三角形是不是直角三角形的方法，它与前面讲的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来．第2课时教学目标1、掌握判定直角三角形全等的条件和方法．2、经历探索直角三角形全等条件的过程，把握直角三角形全等的条件，并能灵活地解决一些问题．教学重难点教学重点：直角三角形全等的判定．教学难点：HL定理（或简写成“斜边、直角边”）；直角三角形全等的判定定理及其应用．教学过程一、学习直角三角形全等的判定方法：（1）SAS定理（2）ASA定理（3）AAS定理（4）SSS定理（5）HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二、重点讲解重点讲解HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．1、情景创设：（1）直角三角形全等的条件有哪些？（2）你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？2、合作探索：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？如图（1）：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？图1研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教师演示）如图1（2），因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝90°，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”．这就是判定直角三角形的“斜边、直角边”公理（简称HL）．三、应用迁移B图2例：如图2，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF；求证：AB=AC．四、小结关于HL定理应用的注意：1、HL定理是判定直角三角形全等独有的方法，因此在应用这一性质时，必须点明“在Rt△×××和Rt△×××”中．2、由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等．所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”和“HL”．。
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.2《直角三角形》教案2 (新版)北师大版
《2 直角三角形》第1课时教学目标1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理．2．掌握勾股定理和它的简单应用．教学重难点教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．教学过程一．直角三角形的性质1．在直角三角形中，有一个角为90°．2．在直角三角形中，两锐角互余．二．勾股定理的探索做一做：下面的三组数分别是一个三角形的三边a，b，c．5、12、13 7、24、25 8、15、171．这三组数都满足a2+b2=c2吗？同学们在运算．交流形成共识后，教师要学生完成．2．分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？同学们在形成共识后板书：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．大家可以想这样的勾股数是很多的，今后我们可以利用“三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法．三．讲解例题例1．一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC =12，BC=13，这个零件符合要求吗？DA分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了．解：在△ABD 中，222222516943BD AD AB ==+=+=+所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°在△BDC 中，2222221316914425125BC DC BD ===+=+=+所以△BDC 是直角三角形∠CDB =90°因此这个零件符合要求．例2．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形．如右图，图中△ABC 的∠C＝90°，AC = 4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ABC 的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．解：由勾股定理得BC 2=AB 2－AC 2=52－42=9（千米2）即 BC=3千米飞机20秒飞行3千米．那么它l 小时飞行的距离为：203600×3=540（千米/时） 答：飞机每小时飞行540千米．同学在议论交流形成共识后，老师总结．勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理．四．随堂练习：1．下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．（1）9，12，15； （2）15，36，39； （3）12，35，36； （4）12，18，22．2．已知∆ABC 中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为_______三角形，_____是最大角．五．小结：1．直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a ，b ，c2．满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．教学反思：这是勾股定理的逆应用，大部分的同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解，当然勾股定理的理解掌握是关键．第2课时教学目标知识目标：1．已知斜边和直角边会作直角三角形；2．熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．能力目标：1．通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；2．通过一题多变．一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；3．通过实践探究，培养学生读题．识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力．品德目标：1．通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；2．在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研．实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神．教学重难点教学重点：“斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用．教学难点：数学语言的正确表达．教学过程：一．提出问题，创设情景1．说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点．2．问题：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全？教师边提问边用符号写出判定三角形全等的依据．二．实验操作，探究结论如图（1）：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教师演示）如图（2），因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝90°，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇，根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．教师引导学生动手做实验操作，并巡回辅导学生看书、画图、剪纸、叠合、思考，并互相讨论．探索学生通过看书、画图、剪纸、叠合、思考，参与公理的验证过程，这样既进一步强化学生对公理的认识，又能激发学生的学习兴趣，提高学生学习的主动性，培养学生的能力．三．揭示课题，理解公理1．判定两个直角三角形全等的公理：斜边．直角边公理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”公理或“HL”）2．注意：（1）“HL”公理是仅适用于Rt△的特殊方法．因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”．“ASA”．“AAS”．“SSS”外，还可以使用“HL”．（2）应用HL公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△，书写格式为：在Rt△______和Rt△______中，∴Rt△______≌Rt△______（HL）四．归纳总结，深化目标1．直角三角形全等的判定方法有四项依据：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”和“HL”．其中，“HL”公理只适用判定直角三角形全等．2．使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形的性质与判定》教案_12
直角三角形与勾股定理（一）一、学习目标1.了解直角三角形的概念2.掌握直角三角形的性质及勾股定理3.掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理二、学重难点：勾股定理及勾股定理的逆定理三、教学过程（一）、自主测试1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是( ),2,3 D.5,12,131.A.3,4,5 B.6,8,10 C. 52.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF的度数为 ( )A.30°B.40°C.25°D.35°3.如图,在△ABC中,AB=AC=8,AD是顶角的角平分线,E为AC中点,则DE= .4.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为.（二）、活动探究探究一：勾股定理例1.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.例2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13, CB=12,求四边形ABCD的面积探究二:勾股定理的实际应用如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14 km,C,D为两村庄(可看为两个点),DA⊥AB 于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=8 km,CB=6 km,现要在铁路上建一个土特产收购站E,使C,D 两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?四：拓展提升：变式训练：有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6 m,8 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.五、总结反思：通过本节课学习，我总体 (掌握、部分掌握、有待强化)，你的收获是什么？（知识/能力/情感）你还存在什么问题？。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形的性质与判定》教案_10
1.2 直角三角形（一）直角三角形的性质与判定一、学情分析勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，为本节课的学习打下一定的基础。
学生需要通过老师的进一步引导迎难而上解决本节课的实际问题，提升学生的综合能力。
二、教学目标知识与技能：掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
过程与方法：经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
情感态度与价值观：发展演绎推理的能力和迎难而上的勇气。
三、教学重点：了解勾股定理及其逆定理的证明方法。
结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
四、教学难点：勾股定理及其逆定理的证明方法。
五、教具学具：自制教具和学具、多媒体课件等。
六、教学过程本节课设计了六个教学环节：第一环节：自主探索；第二环节：对子交流；第三环节：合作交流；第四环节：达标检测；第五环节：课堂小结；第六环节：课后作业。
（一）自主探索（请认真审题)1.直角三角形的两个锐角的关系：互余;为什么？2.有两个角互余的三角形是：直角三角形；为什么？3.勾股定理的内容是：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？直角三角形的性质：1.在直角三角形中，两锐角互余.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 直角三角形的判定： 1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.2.有两个角互余的三角形是直角三角形.勾股定理的证明已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．求证：a 2+b 2＝c 2．证明：延长CB 至D ，使BD ＝b ，作∠EBD ＝∠A ，并取BE ＝c ，连接ED 、AE(如图)，则△ABC ≌△BED ．∴∠BDE ＝90°，ED ＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．∴四边形ACDE 是直角梯形．∴S 梯形ACDE ＝12 (a+b)(a+b) ＝ 12 (a+b)2．∴∠ABE ＝180°－(∠ABC ＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB ＝BE ．∴S △ABE ＝12 c 2∵S 梯形ACDE ＝S △ABE +S △ABC +S △BED ，∴12 (a+b) 2＝ 12 c 2 + 12 ab + 12 ab,即12 a 2 + ab + 12 b 2＝12 c 2 + ab,∴a 2+b 2＝c 2（二）对子交流（生生互评质疑）将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形 导学案设计(无答案)
《1.2.1直角三角形》--导学案【教师寄语】幸福是奋斗出来的。
【学习目标】1、分别从角和边的角度来理解并掌握直角三角形的性质定理和判定定理，理解并掌握其证明方法；2、应用定理解决直角三角形的有关问题；3、结合具体实例了解并掌握逆命题的概念；【重难点】1、重点：了解并掌握勾股定理极其逆定理的证明和应用2、难点：股定理的逆定理的证明和找一个命题的逆命题。
【学习过程】一、课前准备1、叫命题。
命题由和组成，命题由和之分。
2、叫直角三角形。
3、直角三角形的边和角各有哪些性质？边：（1）（2）角：4、如何从边和角来判定一个三角形是直角三角形？边：角：二、情境引入你会证明直角三角形的边和角的这些性质和判定吗？比如：直角三角形的两锐角互余这个命题怎么证明呢？这个命题的条件是( )结论是（）请写出证明过程：已知：如图，在△ABC中，∠C=90°求证：∠A+∠B=90°。
证明：三、探究新知（一）直角三角形的相关证明1.探究一这样我们证明了直角三角形的两个锐角互余，反之，两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°。
求证：∠C=90°。
证明：结论：直角三角形的角的有关定理性质定理：直角三角形两锐角互余.判定定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.思考：这两个定理的条件和结论有什么关系？２.探究二直角三角形的边的定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如何来证明这个命题呢？这个命题的条件是( )结论是（）我们可以用下面两个图形来证明勾股定理。
左图证明：右图证明：得出结论发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.把这个命题的条件和结论交换位置，我们可以得到一个什么命题？如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
这个命题的条件是( )结论是（）已知：如图，在△ABC 中， AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形 .证明:跟踪练习：（1）若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20cm，则两直角边为 .（2）已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.（3）直角三角形的一直角边为3cm，斜边的长为5cm，则其面积为．举一反三：（1）在△ABC中，∠C=90°，若a=5， b=12，则c= ．（2）在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2= ．（3)把一根12厘米长的铁丝，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两根铁丝，用这三条铁丝摆成的三角形是．(4)一个三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为．结论：直角三角形的边的定理：性质定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.思考：这两个定理的条件和结论有什么关系？（二）相关概念自学课15页议一议至16页想一想，回答下列问题：1、什么是互逆命题？其中一个命题是一个命题的什么？2、一个命题一定有逆命题吗？如果有，如何写出一个命题的逆命题？3、任意写出一个命题，然后写出它的逆命题，并判断逆命题是否是真命题。
八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形教案(新版)北师大版
八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形教案（新版）北师大版直角三角形课题直角三角形（第一课时）课型新授课教学目标1．知识目标：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．重点难点重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．教具 准备学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；课时安排1课时教学过程与教学内容教学方法与学法1：创设情境，引入新课通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm ，CB 1⊥AB，B 1C⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少? B 1C 1呢?解：在Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AB=10 cm ， ∴BC＝12 AB ＝12 ×10＝5 cm ．∵CB 1⊥AB，∴∠B+∠BCB 1＝90° 又∵∠A+∠B＝90° ∴∠BCB 1 ＝∠A＝30°在Rt△ACB 1中，BB 1＝12 BC ＝12 ×5＝ 52cm ＝2．5 cm ．让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明＝12 AB ＝12＝12 (a+b)(a+b) 12 (a+b)∴S△ABE＝12c ∴12 (a+b) 12 c + 12 ab + 12 即12 a + ab + 12 b ＝12 c教学目标1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力重点难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形的性质与判定》教案_19
2 直角三角形第1课时【教学目标】知识技能目标1.掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.过程性目标进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.情感态度目标鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.【重点难点】重点:1.直角三角形性质与判定定理的证明方法.2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.难点:勾股定理逆定理的证明方法.【教学过程】一、开门见山直角三角形有哪些性质？师：这是什么三角形？生：直角三角形。
师：直角三角形具有一般三角形的所有性质，那它还有哪些特殊的性质？生：直角三角形两锐角互余。
直角三角形有一个角是直角。
直角三角形的两斜边的平方和等于第三边的平方。
二、探究归纳师：刚刚我们同学说直角三角形两锐角互余，(多媒体出示定理)（板演）三角形ABC是直角三角形可推出？生：∠A+∠B=90°A∠A+∠B=90 ° B C定理：直角三角形的两个锐角互余师：这是个文字命题，要证明就要写出什么？（超链接证明页面）生：已知，求证。
师：这个定理的已知什么？求证什么？生：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°求证：∠A+∠B=90°师：如何证明？生：口头表达证明过程。
生：三角形内角和为180°，∠C=90°，则∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°教师出示证明过程师：符号语言是什么？符号语言：在△ABC，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（教师领学生一起说）师：这个命题的条件是什么？生：直角三角形师：结论是什么？生：两锐角互余。
师：将这个命题的条件和结论互换位置，会得到什么？定理：有两个角互余的三角形是直角三角形（多媒体出示）师：三角形ABC中，∠A+∠B=90°推出∠C=90°师：这个定理已知是什么？求证什么？生：已知：如图，在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°求证：∠C=90°师：一名学生口头表述证明过程符号语言：在△ABC，如果∠A+∠B=90°那么∠C=90°（教师领学生一起说）探索二:师：这张图是我们探索什么时用到的。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形的性质与判定学案(无答案)北师大版(2021年
辽宁省法库县八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1 直角三角形的性质与判定学案（无答案）（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省法库县八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1 直角三角形的性质与判定学案（无答案）（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为辽宁省法库县八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1 直角三角形的性质与判定学案（无答案）（新版）北师大版的全部内容。
1。
2。
1 直角三角形的性质与判定请回忆并整理：我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.直角三角形的两个锐角有什么关系?为什么？如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？(独立证明）【归纳结论】探究2：勾股定理及其逆定理。
1.一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC，∠BAC=30°,AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1,垂足分别是B1C1，那么BC的长是多少？ B1C1呢？B想一想:一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢？2. 勾股定理的证明. 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=c ．求证:222c b a =+【归纳结论】勾股定理:反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?逆定理的证明。
已知：如图,在△ABC 中,求证:△ABC 是直角三角形．【归纳结论】勾股定理的逆定理探究3：互逆命题和互逆定理。
观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗?C A BCA BP15议一议： 每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．【归纳结论】互逆命题的相关概念。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形学案(无答案)(新版)北师大版
1.2直角三角形 一、学习指南：【达成目标】1.能够证明直角三角形的性质定理和判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．【方法建议】认真看书、动手动脑、独立完成。
二、学习任务：【潜伏训练】1、Rt △ABC 中，∠C 是直角，∠A=20°，则∠B=。
2、△ABC 中，∠C=35°，∠B=55°，则△ABC 是三角形。
3、Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4,则AB=。
思考：直角三角形有哪些性质？【归纳】1、定理：直角三角形的两个锐角。
定理：有两个角互余的三角形是三角形。
2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
【自主探究1】在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形吗？你能证明这个结论吗？请尝试分别写出已知、求证。
（参阅课本第14-15页）已知：求证：【分层操练】 已知：在△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm 。
（1）△ACD 是直角三角形吗？（2）求证：AB=ACB【自主探究2】1、阅读课本P15，16，回答下列问题：①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？②什么是互逆定理？是否任何定理都有逆定理？③思考我们学过哪些互逆定理？2、练习：完成课本16页第3题【自我检测】1、下列说法正确的是（）A 每个命题都有逆命题B 每个定理也都有逆定理C命题正确时其逆命题也正确 D 直角三角形两边分别是3，4，则第三边为52、写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，3、下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（）A 22BC2AB=+ B ∠B：∠C: ∠A=1:2：3ACC ∠B+∠C= ∠AD AB：BC: CA=1:2:34、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F为AB上的一点，且∠ADF=53°，∠BCF=37°，DF=3，CF=5，求CD的长。
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.2《直角三角形》教案3 (新版)北师大版
《2 直角三角形》第1课时教学目的1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用．2、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题．3、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．4、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．5、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．教学重难点重点：探索并掌握直角三角形的判别条件．难点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题．教学过程一、直角三角形的判别条件1、有一个角为90°的三角形是直角三角形．2、有两个角互余的三角形是直角三角形．二、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2．三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．1、创设问题情境，引入新课：例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米．所以至少需13米长的梯子．2、讲授新课：蚂蚁怎么走最近A BAB出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？（π的值取3）．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形．好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）．我们不难发现，刚才几位同学的走法：（1）A→A′→B；（2）A→B′→B；（3）A→D→B；（4）A→B．哪条路线是最短呢？你画对了吗？第（4）条路线最短．因为“两点之间的连线中线段最短？”．3、课时小结：这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题．我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型．第2课时教学目标1、使学生能熟练地应用判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等．2、使学生掌握斜边、直角边公理及其应用．教学重难点教学重点：“斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用．教学难点：数学语言的正确表达．教学过程一、提出问题，创设情景1、说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点．2、问题：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全？二、实验操作，探究结论例：如图，已知线段a 、c （a c <）．画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，一直角边CB ＝a ，斜边AB ＝c ．c三、揭示课题，理解公理1、判定两个直角三角：全等的公理：斜边、直角边公理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL ”）2、注意：（1）“HL ”公理是仅适用于Rt△的特殊方法，因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”外，还可以使用“HL ”．（2）应用HL 公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△．书写格式为：在Rt△______和Rt△______中，{______________,______________,==∴Rt△______≌Rt△______（HL ）四、巩固练习，达成目标1、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则______≌______．依据是______，BD ＝______，∠BAD=______．2、如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．D Ca五、归纳总结，深化目标1、直角三角形全等的判定方法有四项依据：“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”其中，“HL ”公理只适用判定直角三角形全等．2、使用“HL ”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路．A BCD。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形的性质与判定》教案_5
北师大版八年级数学(下册) 第一章三角形的证明§1.2.1 直角三角形教学目标1.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2.了解勾股定理及其逆定理的证明方法；3.结合具体例子了解逆命题及逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立,其逆命题不一定成立。
教学重点和难点重点：勾股定理及其逆定理；难点：勾股定理逆定理的证明。
教学方法观察法，讲练结合法，自主探究法教学手段多媒体课件教学过程一、巩固复习，引入新课1.回顾直角三角形的相关性质.定理1：直角三角形的两个锐角互余。
定理2：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
定理3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.定理的几何表示及应用.定理1：直角三角形的两个锐角互余。
∵∠C= 90°∴∠A+∠B=90°配套练习1(分层次完成):A.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A= °；B.在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是°；C.直角三角形两锐角的平分线所夹钝角的度数为°.定理2：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
∵∠C= 90°∴a2+b2=c2配套练习2(分层次完成):A.直角三角形中两直角边长为3和4，则斜边长为．B.等腰直角三角形中，若斜边长为16，则直角边的长为．C.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距地面2米．则小巷宽度为米.定理3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
∵∠C= 90°，∠A= 30°，∴ BC= AB配套练习3(分层次完成):A.如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝ .B.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，若CD＝1，则BD＝．C.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．二、合作探究1. 交换“定理1：直角三角形的两个锐角互余”的条件和结论:有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形的性质与判定》教案_14
1.2.1直角三角形的性质与判定一、学生起点分析勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索,所以学生对这些结论已经有所了解,对于它们,教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理,而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行,虽然证明的方法有多种,但对现阶段的学生来说,这些都有难度,因此教科书将其两种证明方法放在“读一读”中,供有兴趣的学生阅读,不要求所有学生掌握,其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．二、教学目标1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立．3.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维．4.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理的能力．三、教学重点、难点1.重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立．2.难点勾股定理及其逆定理的证明方法．四、教法教学1.学法：自主学习、合作学习2.教法：讲授、引导、视频五、教学流程第一环节：创设情境,引入新课前几节课我们主要探索了等腰三角形及等边三角形的性质及其判定定理,而直角三角形是一种特殊的三角形,我们曾经用各种方法探索过直角三角形的一系列问题及其判定方法,那么这节课我们再通过推理、论证来证明曾经所探索到的直角三角形的一系列的性质与判定方法.第二环节：自主学习请同学们观察右边图形：问题1：直角三角形有哪些性质？问题2：如何判定一个三角形是直角三角形？直角三角形的性质定理：直角三角形两锐角互余.直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.第三环节：合作学习曾经我们用过测量和数格子等方法发现勾股定理,那么如何利用推理、论证的方法证明勾股定理呢？问题3：如何证明勾股定理？直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.已知：如图,在△ABC中,∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c．求证：a2+b2＝c2．[证法1]（赵爽证法）以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于12ab.把这四个直角三角形拼成如下图所示的形状：22222229090=90142Rt ADH Rt ABEHDA EABHDA HADEAB HADABCD cEF FG GH HE b a HEFEFGH b aab ca b c∆≅∆∴∠=∠∠+∠=∴∠+∠=∴====-∠∴-∴⨯+=∴+=oooQQQ是一个边长为的正方形，它的面积等于c，是一个边长为的正方形，它的面积等于（b-a）（b-a）[证法2]（美国第20任总统茄菲尔德的证法）这个直角梯形是由2个直角边分别为、,斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的.因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积.22222211()()(2)22111222ABCDAED EBC CEDABCDs a b a b a ab bs s s s ab bc ca b∆∆∆=++=++=++=++∴=+QQ梯形梯形又整理得：c[证法3]（欧几里得的证明方法）反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?问题4：如何证明勾股定理的逆定理？如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.已知：如图：在△ABC中,AB2+AC2＝BC2求证：△ABC是直角三角形．分析：要从边的关系,推出∠A＝90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,可证．证明：如图所示,作∠MFN=90°,在射线FM、FN上分别取点D、E,使FD=CA=b,FE=CB=a.在RtΔFDE中222222=+=+=Q，DE FD FE a b c∴DE=AB=c∴ΔDFE≅ΔACB（SSS）∴∠DFE=∠C=90°（全等三角形对应角相等）∴ΔABC是直角三角形总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．互逆命题和互逆定理．请同学们写出下列命题的条件与结论直角三角形两锐角互余.条件:如果一个三角形是直角三角形;结论:那么这个三角形两锐角互余.有两个角互余的三角形是直角三角形.条件:如果一个三角形中两锐角互余;结论:那么这个三角形是直角三角形.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.条件:如果一个三角形是直角三角形;结论:那么这个三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.条件:如果三角形的两边平方和等于第三边的平方;结论:那么这个三角形是直角三角形.问题5：观察上面两组命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?条件和结论相反.结论：在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题．再来看以下三个命题,请同学们写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题.如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角. 假命题.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.真命题.有一个角是60.的三角形是等边三角形.等边三角形有一个角是60..真命题.问题6：想一想,一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题？可能是真命题也可能是假命题.结论：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理．这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.第三环节：练习巩固、当堂检测（见）1.2.1直角三角形的性质与判定课内练习及检测题第四环节：课堂小结今天我们学习了哪些知识？用什么方法解决？还用到了哪些数学思想？第五环节：布置作业（见）学科管理作业分层布置薄六、教学设计反思学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准,部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺,作为教师要关注到学生的个体差异,对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导.使每一个学生都能经历证明的过程,为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法,体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法,锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距.所以作为教师一定不能急躁,要本着以学生为本的目的,注意学生个体差异,对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形直角三角形的性质和判定学案无答案新版北师大版
教学目标
1.进一步掌握直角三角形的性质定理：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；
2.探讨上述定理的逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°；
3.能利用直角三角形的性质解决一些实际问题.
教学重点与难点
重点：直角三角形的性质。
难点：直角三角形性质的应用。
教学过程
一、创设情境，导入新课
1.问题：(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=37°,那么∠B等于多少度?
(2)在△ABC中,∠C=90°,CD是中线,AB=12,
那么CD有多长?
直角三角形的性质填空:
(1)直角三角形的两锐角_______；
(2)直角三角形的斜边上的中线等于_____________.
2.按要求画图：
(1)画∠MAN，使∠MAN=30°，
(2)在AM上任意取点B，过B作AN的垂线BC，垂足为C，
量一量BC,AB的长度，BC,AB有什么关系？
(3)在AM上再取点B1,B2，分别过B1,B2作AN的垂线B1C1,B2C2垂足分别为C1,C2，量一量B1C1,AB1，它们有什么关系？量一量B2C2,AB2,它们有什么关系？
由此你发现了什么规律？
直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边________________。
为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.
二、合作交流，探究新知
1.探究
直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC为什么会等于AB？
分析：要判断BC=AB,可以考虑取AB的中点，如果
BD=BC，那么BC=AB，由于∠A=30°,所以∠B=60°, 如果BD=BC,
则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？
由此，我们可以得到
在直角三角形中，如果有一个锐角等于____，那么它所对的直角边等于斜边的_____.
常简写成:直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半
课外思考:这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？
2.上面定理的逆定理
上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=AB”交换，结论还成立吗？
学生交流
方法:(1)取AB的中点D，连结CD,得△BCD是等边三角形,
得出∠B=60°,从而∠A=30°.
(2)沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出. (课外讨论)
(3)你能把上面问题用文字语言表达吗？
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的____,那么这条直角边所对的角等于_____。
三、应用迁移，巩固提高
1.几何中的运用
例 1.如图:在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足为点E,交BC边于点D,BD=16cm，求AC的长.
练习.如图:在△ABC中，若AB=AC,∠BAC=120°，
AD⊥AC于点,BD=3,则BC=______.
请你课后写出计算过程
2.实际应用
例2.在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30 海里，
该轮船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？
(由学生讨论并书写在黑板上,再点评)
四.课堂练习，巩固提高
教材
五.反思小结，拓展提高
直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？
六.作业：。