建筑力学(位移法)

第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。

（可选用各种各样的基本结构）。

位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。

位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。

由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。

位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。

第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。

称为位移法的基本结构。

在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。

由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。

两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。

此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。

ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。

由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。

位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。

ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22图22-1cF PCBA316Fl 532Fl 图22-1b位移法是以结点位移作为基本未知量，通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超静定梁来逐个分析，再组合成整体，利用力和力矩的平衡方程求解未知量的。

第二节位移法基本未知量和基本结构1. 结点角位移一、位移法的基本未知量位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。

刚结点的数目=结点角位移数目。

2个结点角位移2、结构独立线位移：（1）忽略各杆轴向变形；（2）弯曲变形后的曲线长度与弦线长度相等。

上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变，即杆长保持不变。

∆∆ϕCϕDABCD∆∆∆假设：∆1∆2结点线位移数确定方法13将结构中所有刚结点和固定支座用铰结点和铰支座代替，分析新体系的几何组成性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余约束的几何不变体系，所增加的链杆数即为原结构位移法计算时的结点线位移数。

二、位移法的基本结构位移法的基本结构是通过增加约束使原结构成为若干个单跨超静定梁而得到的。

附加刚臂——附加链杆——作用是使结点不能转动限制结点移动练习位移法的基本结构是通过附加刚臂和附加链杆得到的，其中附加刚臂的数目等于原结构中结点角位移的数目，附加链杆的数目则等于原结构独立线位移的数目。

第三节单跨超静定梁的杆端力一、杆端位移和杆端力的正负号规定杆端力的正负规定杆端弯矩对杆端以顺时针为正; 对结点以逆时针为正。

杆端剪力的正向同前。

M AB ME IBAF Q AB F Q BAAϕBϕl∆E I♥杆端位移的正负规定杆端转角ϕA、ϕB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。

Δ——杆两端相对线位移。

二、荷载引起的杆端力对于单跨超静定梁仅由荷载作用而产生的杆端力，称为固端力。

等截面两端固定梁，承受均布荷载q 作用。

用力法求解其固端力为122F ql MAB-=2F Q ql FAB=122F ql M BA=2F Q ql FBA-=M F ABM F BAEI qlF QABFF QBAFM F 表示固端弯矩；F Q F 表示固端剪力。

由于固端力是只与荷载形式有关的常数，所以称为载列出了常见超静定梁的载常数。

常数。

表22-1表17-1 等截面单跨超静定梁的载常数Array 2三、杆端位移引起的杆端力等截面两端固定梁，固定端A 发生单位角位移，抗弯刚度EI ，用力法求其杆端力为i M AB 4=，l iF AB 6Q -=iM BA 2=，l iF BA 6Q -=l EI i =称为线刚度。

由单位位移引起的杆端力是只与梁的几何尺寸和材料性质有关的常数，所以称为形常数。

ϕB =1ABlEI表17-2 等截面单跨超静定梁的形常数单跨超静定梁简图M ABM BA F Q AB = F Q BA4i2iϕ=1A B A B1212l ili6-li6-li6-AB1li3-AB ϕ=13i023liABϕ=1i－ili3-F PC ABDΔ1Δ2一、位移法的典型方程第四节位移法典型方程和计算实例基本未知量：结点C 的角位移Δ1，结点D 的水平线位移Δ2CABD基本结构基本体系F PCABDΔ1Δ2使基本结构承受与原结构相同的荷载，并使结点C 处的附加刚臂转动Δ1，而结点D 处附加链杆发生水平线位移Δ2，如图示，称为位移法的基本体系。

F PC ABDΔ1Δ2为了保证基本体系的受力和变形情况与原结构完全相同，基本体系上附加约束的约束反力F 1和F 2应为零。

021==F F根据叠加原理，把基本体系中的总约束反力F 1和F 2分解成几种情况分别计算：F PCABDCABDΔ1CA BDΔ2k 11=1k 21=1图1M k 12k 22图2M F 1P F 2PM P 图⎭⎬⎫+∆+∆=+∆+∆=P P 2222121212121111F k k F F k k F位移法基本方程⎭⎬⎫=+∆+∆=+∆+∆P P 0022221211212111F k k F k k 对于具有n 个基本未知量的结构，可得位移法基本方程如下：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∆++∆+∆=+∆++∆+∆=+∆++∆+∆P P P 00022112222212111212111n n nn n n n n n n F k k k F k k k F k k k 从方程中即可求出基本未知量Δ1和Δ2。

位移法的典型方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∆++∆+∆=+∆++∆+∆=+∆++∆+∆P P P 00022112222212111212111n n nn n n n n n n F k k k F k k k F k k k k i j产生反力的地方引起反力的原因主系数：0>ii k 副系数：反力互等定理：k ij ＝k jiF i P＞0＝0＜0k ij＞0＝0＜0k ii ——基本结构上，由于单位结点位移Δi ＝1的作用，引起第i 个约束上的约束反力自由项：k ij ——基本结构上，由于单位结点位移Δj ＝1的作用，引起第i 个约束上的约束反力F i P ——基本结构上，由于荷载作用，引起第i 个约束上的约束反力为了求得典型方程中的系数和自由项，可借助于表22-1、表22-2，分别绘出基本结构中由于单位位移引起的单位弯矩图M 1、M 2和由于外荷载引起的M P 图。

P+∆++∆+∆=M M M M M n n 2211系数和自由项确定后，代入典型方程就可解出基本未知量。

最后弯矩图可按下式作出★附加刚臂上的约束力矩，可取利用结点力矩平衡的条件求出；★附加链杆上的约束力,可利用结构部分平衡（一般取横梁部分沿附加链杆方位的投影平衡）的条件求出。

用位移法计算的步骤为：1、加入附加约束，阻止结点的转动和移动，得到一组以单跨超静定梁为组合体的基本结构。

2、建立位移法典型方程。

3、绘出基本结构的各单位弯矩图和荷载弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。

4、解方程，求出基本未知量。

5、用叠加法画弯矩图。

6、根据弯矩图画剪力图，根据剪力图绘轴力图。

二、计算实例1. 连续梁和无侧移刚架无侧移刚架是指刚架的各结点无结点线位移。

基本未知量：所有刚结点的转角。

基本结构：在所有刚结点上加附加刚臂。

例17-1 用位移法计算图示连续梁，并作弯矩图。

解（1）选取基本体系。

（2）建立位移法典型方程。

1111=+∆P F k ABC3m 3m6mii16kN2kN/mA BC16kN2kN/mΔ118（3）求系数和自由项。

（4）求基本未知量。

i7121=∆2i4i3ik 11ABCΔ1=1图1M 4i3iF 1P618A BC66M P 图（kN.m ）ii i k 73411=+=mkN 121861⋅-=-=P F182i4i3i ABCΔ1=1图1M A BC66M P 图（kN.m ）mkN 86.12187123mkN 86.1267124mkN 57.267122⋅-=-⋅=⋅=+⋅=⋅-=-⋅=ii M i i M i i M BCBAAB 根据杆端弯矩的正负号规定，确定杆端弯矩方向及杆的受拉边。

将杆两端弯矩连成虚线，再叠加相应简支梁的弯矩，即得整个连续梁的弯矩图。

(5) 作弯矩图12.862.57924例17-2 用位移法作图示刚架的内力图。

各杆EI ＝常数。

解（1）选取基本体系。

（2）建立位移法典型方程。

1111=+∆P F k（3）求系数和自由项。

（4）求基本未知量。

i51=∆iiik73411=+=mkN354051⋅-=-=PF(5) 作弯矩图mkN 1052mkN 2054m kN 40mkN 20553⋅==⋅==⋅-=⋅=+=ii M i i M M ii M DBBD BC BA根据弯矩图作剪力图取杆件AB 为隔离体，其受力图如示，=∑B M 0=∑A M 0kN 420245.2Q =-⨯⨯=ABF 0kN1kN 420245.2QB -=-⨯⨯-=AF kN5.7QB Q -==D DB F F 0kN1QB Q ==C CB F F 取杆件为隔离体，根据力矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力。

Q =AB F 0kN1QB -=A F 0kN1QB Q ==C CB F F kN 5.7QB Q -==D DB F F 根据剪力图作轴力图取结点B 为隔离体，其受力图如示。

BC 杆段是悬臂梁段且荷载与杆轴相垂直，因此该段各截面轴力相等，且等于零，即F N BC ＝0。

=∑x F 0=∑y F ()20kNkN 1010NB -=--=D F F N BA ＝7.5kN取结点为隔离体，利用投影平衡方程，由杆端剪力求杆端轴力。