第一章 集合与常用逻辑用语 试题2

1．(2011·高考辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则綈p为() A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n>1000 C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n<1000
解析：选A.由特称命题的否定是全称命题知，綈p为∀n∈N，2n≤1000. 2．下列命题中的真命题是()
A．∃x0∈R，使得x0＋1
x0
＝
3
2
B．∀x∈(0，＋∞)，e x＞x＋1 C．∃x0∈R，使得x20－x0＋1＝0 D．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x
解析：选B.A选项中，x0＋1
x0
＝
3
2
⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x20－3x0＋2＝0，
x0≠0.
因为Δ＝9－4×2×2＜0，所以方程无解，即不存在任何实数使得方程成立，故A错误；B选项，由函数y ＝e x和y＝x＋1的图象可知，正确；C、D显然错误．故选B.
3．(2012·日照调研)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．
解析：若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．若命题“p且q”为真命题，则p、q 都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中是真命题的有________．
解析：依题意p假，q真，所以“p∨q”、“綈p”是真命题．
答案：p∨q，綈p
一、选择题
1．已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则p的否定形式为()
A．∃x0∈R，x0<sin x0B．∀x∈R，x≤sin x
C．∃x0∈R，x0≤sin x0D．∀x∈R，x<sin x
解析：选C.命题中“∀”与“∃”相对，则綈p：∃x0∈R，x0≤sin x0，故选C.
2．命题p：x＝π是函数y＝sin x图象的一条对称轴；q：2π是y＝sin x的最小正周期，下列复合命题：①p ∨q；②p∧q；③綈p；④綈q，其中真命题有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：选C.由于命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p是真命题，綈q是假命题，因此①②③④中只有①③为真，故选C.
3．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()
A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
解析：选D.全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.
4．(2010·高考天津卷)下列命题中，真命题是()
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是奇函数
解析：选A.当m ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，故A 正确．因为y ＝x 2是偶函数，所以f (x )＝x 2＋mx 不可能是奇函数，故B 错．当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x 是非奇非偶函数，故C 、D 错．
5．(2012·大同调研)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．{a |a ≤－2或a ＝1}
B ．{a |a ≥1}
C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}
D ．{a |－2≤a ≤1}
解析：选A.对于命题p ，当x ∈[1,2]时，x 2－a ≥0恒成立，所以a ≤1；对于命题q ，方程x 2＋2ax ＋2－a ＝
0有实数解，所以4a 2＋4a －8≥0，解得a ≥1或a ≤－2.由于p ∧q 是真命题，所以a ≤－2或a ＝1，故选
A.
二、填空题
6．在“綈p ”，“p ∧q ”，“p ∨q ”形式的命题中，“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，那么p ，q 的真假为p ________，q ________.
解析：∵“p ∨q ”为真，∴p ，q 至少有一个为真．
又“p ∧q ”为假，∴p ，q 一个为假，一个为真．
而“綈p ”为真，∴p 为假，q 为真．
答案：假 真
7．下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；
②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13
是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.
所有真命题的序号是________．
解析：①②显然正确；③中，若α＝π2
，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，∴③正确；④中，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，∴④正确．故填①②③④.
答案：①②③④
8．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋122＋34≥34，因此只需m 2－m <34，即－12<m <32
，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．
答案：真
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)存在一个三角形是正三角形；
(2)至少存在一个实数x 0使x 20－2x 0－3＝0成立；
(3)正数的对数不全是正数．
解：(1)任意的三角形都不是正三角形，假命题；
(2)对任意实数x 都有x 2－2x －3≠0，假命题；
(3)正数的对数都是正数，假命题．
10．已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1＜0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .
解：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．
若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；
若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0Δ＝a 2－4a ≤0⇔0＜a ≤4. 综上知，所求集合A ＝[0,4]．
11．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －2a (x ≥2a )2a (x ＜2a )，函数y ＞1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．
解：若p 是真命题，则0＜a ＜1，
若q 是真命题，则函数y ＞1恒成立，
即函数y 的最小值大于1，而函数y 的最小值大于1，最小值为2a ，只需2a ＞1，
∴a ＞12， ∴q 为真命题时，a ＞12
. 又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 一真一假，
若p 真q 假，则0＜a ≤12
； 若p 假q 真，则a ≥1，
故a 的取值范围为0＜a ≤12
或a ≥1.。