高二数学定积分曲边梯形面积(教案)
曲边梯形的面积和定积分的概念和微积分基本定理
4.5.1曲边梯形的面积【教学目标】1、通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重难点】教学重点：求一般曲面梯形面积的方法。
教学难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学过程】（一）情景导入、展示目标教师：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。
而现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们重庆市的国土面积？通过实际问题引发学生思考，可结合问题：“在‘割圆术’中, 是如何利用正多边形的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?”做进一步引导，并给出本节目标。
（二）合作探究、精讲点拨 （1）提出概念概念：如图，由直线,,x a x b x ==轴，曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。
（2）引导探究问题：对于由()2101y x x =+≤≤,x 轴所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边梯形，教材第54页） （3）自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
（近似代替）、（求和） 探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限）由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。
老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。
（教材第55-57页）（三）反馈测评练习1：求直线x=0,x=1，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
练习2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
（四）课堂总结思考：1、对于一般曲边梯形，如何求面积？用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
(完整版)1.5.1曲边梯形的面积(优秀教案)
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。
（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程一、问题情境—生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：图形一：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片二：图形二：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片三：图形三：【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？【设计意图】1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。
曲边梯形面积,定积分求体积以及在物理中应用教学设计25
学 科
数学
年 级
高三
教学形式
教 师
单 位
课题名称
学情分析
建议
1.学生的学习特征，能力基础。
2.学生对之前相关知识的掌握程度，知识基础。
3.学生形成本节课知识时可能存在非科学或前科学概念的干扰。
4.学生对所学内容的兴趣、情感、态度、愿望、需求、重视等状况。
教材分析
本节课在整本教材中的地位和作用，知识结构或新旧知识的关联等。
③由两条曲线 与直线
图（1） 图（2） 图（3）
所围成的曲边梯形的面积： （如图（3））；
（2） 型区域：①由一条曲线 与直线 以及 轴所围成
总结
板书设计提示：设计一套测试或练习题，用于检验通过微课学习，学生是否化解了“重难点”。这套题分：易、中、难三个层次，每个层次一道题（三道题围绕该重难点）
易1求直线 与抛物线 所围成的图形面积。
复习旧知，产生碰撞
过程
例1．计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解： ，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S= ，所以 =
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
教学目标
知识目标、能力目标、情感态度与价值观目标。
教学重难点
重点：曲边梯形面积，定积分求体积以及在物理中应用
难点：曲边梯形、面积、体积
教学策略：
建议：
1、信息技术手段的使用
2、通过实例体会定积分在几何中及物理中的应用
教学过程与方法
曲边梯形的面积(教案)
《曲边梯形的面积》教学设计
课题：曲边梯形的面积
教材：人教A版选修2-2第1章第5节第1课时
课程标准
通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．
教学目标
虽然函数的导数和积分可以用极限概念“纯数量”地去定义，但在中学阶段新课标强调在实际背景下直观地、实质地去给出导数和积分的描述，因而我们宁愿把两个概念看成是数形结合的产物．作为定积分概念的背景课，让学生在感受数学文化的同时获得数学思想方法．（1）认知目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定积分概念的认知基础，为理解定积分概念及几何意义奠定基础．（2）能力目标：通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力．（3）情感目标：让学生感受数学文化，体验认识数学本质的快乐，收获探究活动的乐趣．
教学重点、难点
重点：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤——“四步曲”．
难点：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑．
教学基本流程
教学过程
板书设计
教学后记
今天（2007年12月25日）上午的公开课有幸请到三水区数学特级教师卢肇荣点评．以下是卢老师的点评：
（1）本堂课充分体现了新课标的理念，以学生为主体；
（2）驾驭课堂的能力很强；
（3）计算机多媒体使用恰当，没有喧宾夺主；
（4）时间把握准确；
（5）以问题的形式小结，值得肯定；
（6）难点重点把握得当；
（7）可能没有布置学生预习，如果让学生预习，本节课的效果还会更好．。
高中数学1.4.1曲边梯形的面积与定积分教案理新人教B版选修2_2
1.4.1曲边梯形的面积与定积分【教学目标】1.理解求曲边梯形面积的过程和步骤—分割、以直代曲、求和、取极限；了解定积分的概念及几何意义；2.体会化曲为直的极限思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定积分的概念 【教学难点】以曲代直一、课前预习：阅读教材36页—38页，完成下列问题例1：求曲线2x y =与直线0,1==y x 所围成区域的面积.（1）分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间，第一个小区间为[0,n 1]，第二个小区间为[nn 2,1]，第三个小区间为 …，第个i 小区间为 ，…，第n 个小区间为 .每个小区间的长度为=∆x(2)以直代曲：过各分点做轴的垂线，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，则第一个小矩形的高为 ，第二个小矩形的高为 ，第三个小矩形的高为 ，…，第i 个小矩形的高为 ，…，第n 个小矩形的高为 .它们的面积分别为 .（3）近似求和：所有个小矩形的面积的和记为n S ，则n S =（4）取极限：==→∆n x S S lim 0 二、课上学习：1.定积分的概念： 设函数)(x f y =定义在区间],[b a 上，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210...思考：将教材例1，例2的结果用定积分如何表示？2.定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于x 轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．3.（1）⎰⎰=b a b a dx x f c dx x cf )()( （c 为常数）（2）设)(),(x g x f 可积，则=±⎰dx x g x f ba )]()([ 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
高中数学定积分第一课时曲边梯形的面积学案新人教A版选修Word版
定积分第一课时曲边梯形的面积学案一、学习目标1、知识与技能：通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲2、过程与方法：了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法；3、情感态度与价值观：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力。
二、学习重难点重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点: 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、学法指导：阅读教材38---41页四、知识链接1你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？2如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
五、学习过程（一）连续函数与曲边梯形问题1：函数()y f x =________________________ _____________________________，那么我们称函数()y f x =为在区间I 上的连续函数．问题2：在图1.5－1中，由____________________ _________________围成的图形称为曲边梯形．问题3：画出由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲在由2y x =与直线1,0x y ==所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它等分为____个小区间，则第i 个小区间为________，其区间长度为x ∆=___________，当n →+∞时，x ∆→___．练习1：把区间[2,5]n 等分，所得n 个小区间的长度x ∆=（ ）A ．1nB ．2nC ．3nD ．4n练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度x ∆=_____，第3个小区间是__________．问题5：在区间1[,]i i n n-上，函数2()f x x =的值()f x ≈______，曲边梯形在这个小区间的面积'i i S S ∆≈∆=_____________________，即小矩形的面积'i S ∆近似地代替i S ∆，即以直代曲．问题6：求图1.5－4中阴影部分面积n S （写出过程）．问题7：2222123n ++++=__________．练习3：用符号“∑”表示下列运算：（1）123n ++++=___________．（2）2222135(21)n ++++-=____________．问题8：从图 1.5－5及表1－1中，当,n n S S →+∞→，即S =__________＝_______________________＝_______________． 问题9：把区间[0,1]不进行等分可以吗？分割的目的是什么？问题10：若函数()f x 在区间1[,](1,2,,)i i i n n n-=上的值近似地等于右端点i n 处的函数值()i f n ，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意1[,]i i i n n ξ-∈处的函数值()i f ξ作为近似值，情况又怎么样？ （三）典型例题例1：求由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形的面积．解：在区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它n 等分，第i 个小区间为________，区间长度x ∆=___．'i i S S ∆≈∆=111'n n n n i i i i i S S S ===∴=∆≈∆==∑∑∑_____________________________________lim n S →+∞∴==．六、达标训练求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积．七、【课堂小结】1．求曲边梯形面积的四步曲是________________．2．0lim lim ()n i n x S S f x ξ→∞∆→==∆=_____________．八、课后反思曲边梯形的面积当堂检测1．下列函数在定义域上不是连续函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．()f x =D ．1()f x x= 2．在区间[2,5]上等间隔地插入n 个点，所得小区间长度x ∆=（ ）A ．3n B ．5n C ．31n + D ．51n + 3．把区间[,]()a b a b n <等分后，第i 个小区间是（ ） A ．1[,]i i n n- B ．1[(),()]i i b a b a n n--- C ．1[,]i i a a n n-++ D ．1[(),()]i i a b a a b a n n -+-+- 4计算： 21[2(1)3]ni i =-+=∑________；5求20,0,22≤≤=-=x y x x y 围成图形面积（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
选修2-2第一章1.4.1曲边梯形面积与定积分-教案
1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分【提出问题】如上图，函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。
问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13.曲线y=f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。
我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。
下面我们举例来研究这个问题。
【解决问题】求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积．将区间[0,1] 等分为n个小区间，0＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝1，其中x i＝in(i＝0,1,2，…，n)，Δx i＝1n(i＝1,2,3，…，n)，在每个小区间[x i－1，x i]上取右端点ξi＝x i(i＝1,2，…，n)．于是曲线之下小矩形的面积为ξi 21n (i ＝0，1,2，…，n-1)所以曲线之下小矩形的面积和为S n =(0n ) 2∙1n +(1n ) 2∙1n +(2n ) 2∙1n +…+(n−1n ) 2∙1n=02+12+22+⋯+(n−1)2n 3=16(1−1n )(2−1n )由此得到S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞16(1−1n)(2−1n)＝13.从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n 趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将13视为此曲边三角形的面积。
曲边梯形面积,定积分求体积以及在物理中应用教学设计22
学 科
数学
年 级
高三
教学形式
教 师
单 位
课题名称
曲边梯形面积，定积分求体积以及在物理中应用
学情分析
建议
1.学生的学习特征，能力基础。
2.学生对之前相关知识的掌握程度，知识基础。
3.学生形成本节课知识时可能存在非科学或前科学概念的干扰。
4.学生对所学内容的兴趣、情感、态度、愿望、需求、重视等状况。
教材分析
本节课在整本教材中的地位和作用，知识结构或新旧知识的关联等。
教学目标
知识目标、能力目标、情感态度与价值观目标。
教学重难点
重点：曲边梯形面积，定积分求体积以及在物理中应用
难点：曲边梯形、面积、体积
教学策略：
建议：
1、信息技术手段的使用
2、通过实例体会定积分在几何中及物理中的应用
教学过程与方法
教学环节
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
（3）确定被积函数；
（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1） 型区域：①由一条曲线 与直线 以及 轴所围成的曲边梯形的面积： （如图（1））；
易1求直线 与抛物线 所围成的图形面积。
中2求由抛物线 及其在点M（0，－3）
和N（3， 0）处的两条切线所围成的图形的面积。
难3求曲线 与曲线 以及 轴所围成的图形面积。
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
曲边梯形面积与定积分课堂案
学习内容
1.4.1曲边梯形面积与定积分
学习感悟或 教学设计说明 一、课前案总结：
1、基本训练检查：
2、交流探究结果
3、自学检测总结：
二、学习目标
1、定积分概念：
2、定积分几何意义：
3、定积分性质：
三、课堂练习
1、用定积分表示抛物线2y x 与直线y=x 所围成的图形的面积
2、由定积分的几何意义
dx x x ⎰---102))1(1(=_____________
四、归纳总结：
五、课堂检测：
1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为
( )
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n
21 2、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )
A.],1[
n i n i - B. )](),(1[a b n
i a b n i --- C.],1[n i a n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+ 3、在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）
A.只能是左端点的函数值)(i x f
B.只能是右端点的函数值)(1+i x f
C.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）
D.以上答案均正确
4、用定积分表示抛物线2
x y -=与直线4-=y 所围成的图形的面积
5、写出下图中阴影部分S 的计算公式.。
教案曲边梯形面积与定积分.pptx
2.若f
(x)在[a,
b]上连续且f
(x)
0，则
b a
f
(x)dx表示曲线f
(x)
与直线x a, x b, y 0所围成的曲边梯形的面积的相反数；
3.若f
(x)、g(x)均连续且f
(x)
g(x)，则
b [f
a
(x)
g(x)]dx
表示由曲线f (x)、g(x)与直线x a, x b所围成的曲边形
的面积；
强调：当被积函数式中有加减运算时，必须加括号.
三. 定积分的几何意义
应用定积分的几何意义求下列定积分
2
(1) 2
图形称为曲边梯形.
一. 定积分的实际背景 y
1. 求曲边梯形的面积
y f(x)
f (b)
f (a)
oa
bx
【提示】“曲边图形”与“直边图形”有着密切的联系；它们
的主要区别在于前者有一条边是曲线段，而后者各边均为直线段；
(1).如果可以用适当的直线段代替图中的曲线段——以直代曲，就 可以近似地求出曲边梯形的面积；
2. 关于定积分概念的几点说明
(1) f(x)叫做被积函数； a、b分别叫做定积分的下限、上限；
x叫做积分变量； f(x)dx叫做被积式； [a, b]叫做积分区间.
(2) 如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积；
(3) a, b∈D (D为f(x)的定义域)；
(4)
二. 定积分的概念
1. 概念
设连续函数f(x)定义在区间[a, b]上。
(1)用分点a = x0 < x1 < x2 < L < xn-1 < xn = b将区间分成 n个
曲边梯形面积与定积分(二)教案
1.4.1 曲边梯形面积与定积分【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.1．定积分：设函数y ＝f(x)定义在区间[a ，b]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…x n －1<x n ＝b ，把区间[a ，b]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作 ʃba f(x)dx ，即ʃba f(x)dx ＝_____lim λ→0∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i ___.2．在定积分ʃba f(x)dx 中，f(x) 叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限， f(x)dx 叫做被积式．3．如果函数f(x)在[a ，b]的图象是 一条连续的曲线 ，则f(x)在[a ，b]一定是可积的．4．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)dx ＝ k ʃb a f(x)dx (k 为常数)； (2)ʃb a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ ʃb a f 1(x)dx ± ʃb a f 2(x)dx ；(3)ʃb a f(x)dx ＝ ʃc a f(x)dx ＋ ʃb c f(x)dx (其中a<c<b).探究点一 定积分的概念问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．问题2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)dx?答 (1)定积分ʃb a f(x)dx 是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f(x)dx 与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n→＋∞∑i ＝1nf(ξi )·Δx ，而ʃba f(x)dx 只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a 到b 的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a ，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3dx 的值．解 令f(x)＝x 3.(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和：取ξi ＝i n(i ＝1,2，…，n)，则 ʃ10x 3dx≈S n ＝∑ni ＝1f(i n )·Δx＝∑n i ＝1(i n )3·1n ＝1n 4∑ni ＝1i 3 ＝1n 4·14n 2(n ＋1)2 ＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3dx ＝lim n→＋∞S n ＝lim n→＋∞ 14(1＋1n )2＝14. 小结 利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x)dx.解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx ＝1n . (2)近似代替、求和：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)，于是f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ， 从而得∑i ＝1n f(ξi )Δx ＝∑i ＝1n (2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n n －12＝2＋n －12n. (3)取极限：S ＝lim n→＋∞ ⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x)dx ＝52. 探究点二 定积分的几何意义问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃb a f(x)dx 表示什么？答 当函数f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)dx 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b(a<b)，y ＝0及曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．问题2 当f(x)在区间[a ，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃb a f(x)dx 表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答 如果在区间[a ，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于b －a n>0，f(ξi )≤0，故 f(ξi )b －a n≤0.从而定积分ʃb a f(x)dx≤0， 这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即ʃb a f(x)dx ＝－S.当f(x)在区间[a ，b]上有正有负时，定积分ʃb a f(x)dx 表示介于x 轴、函数f(x)的图象及直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb a f(x)dx ＝－S 1＋S 2－S 3.例2 利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃ3－39－x 2dx ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)dx.解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·32. 由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2dx ＝92π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)dx 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积， ∴ʃ3－1(3x ＋1)dx＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2 ＝503－23＝16. 小结 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)ʃ1－1xdx ；(2)ʃ2π0cos xdx ；(3)ʃ1－1|x|dx.解 (1)如图(1)，ʃ1－1xdx ＝－A 1＋A 1＝0.(2)如图(2)，ʃ2π0cos xdx ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x|dx ＝2A 1＝2×12＝1. (A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三 定积分的性质问题1 定积分的性质可作哪些推广？答 定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x)±f 2(x)±…±f n (x)]dx ＝ʃb a f 1(x)dx±ʃb a f 2(x)dx±…±ʃb a f n (x)dx ；②ʃb a f(x)dx ＝ f(x)dx ＋ f(x)dx ＋…＋ f(x)dx(其中n ∈N *)．问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答 奇、偶函数在区间[－a ，a]上的定积分①若奇函数y ＝f(x)的图象在[－a ，a]上连续不断，则 ʃa －a f(x)dx ＝0.②若偶函数y ＝g(x)的图象在[－a ，a]上连续不断，则ʃa －a g(x)dx ＝2ʃa 0g(x)dx.例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)dx 的值．解 如图， 由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2dx ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3dx ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)dx ＝ʃ3－39－x 2dx －ʃ3－3x 3dx ＝9π2. 小结 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x 3dx ＝14，ʃ21x 3dx ＝154，ʃ21x 2dx ＝73，ʃ42x 2dx ＝563，求： 1ca ⎰21c c ⎰nb c ⎰(1)ʃ203x 3dx ；(2)ʃ416x 2dx ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)dx.解 (1)ʃ203x 3dx ＝3ʃ20x 3dx ＝3(ʃ10x 3dx ＋ʃ21x 3dx)＝3×(14＋154)＝12； (2)ʃ416x 2dx ＝6ʃ41x 2dx ＝6(ʃ21x 2dx ＋ʃ42x 2dx)＝6×(73＋563)＝126； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)dx ＝ʃ213x 2dx －ʃ212x 3dx ＝3ʃ21x 2dx －2ʃ21x 3dx ＝3×73－2×154＝7－152＝－12. 4．已知⎰2π0sin xdx ＝⎰π2πsin xdx ＝1，⎰2π0x 2dx ＝π324，求下列定积分： (1)ʃπ0sin xdx ；(2)⎰2π0(sin x ＋3x 2)dx. 解 (1)ʃπ0sin xdx ＝⎰2π0sin xdx ＋⎰π2πsin xdx＝2； (2)⎰2π0 (sin x ＋3x 2)dx ＝⎰2π0sin xdx ＋3⎰2π0x 2dx ＝1＋π38. 1．定积分ʃb a f(x)dx 是一个和式∑i ＝1nb －a nf(ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．。
江苏省泗阳县王集中学高二数学《曲边梯形面积与定积分》教案
【学习目标】通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想初步了解定积分的概念。
【学习重点】定积分的概念，体会如何把曲线围成区域的面积转化为矩形面积的和。
【自主学习】我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面“直边图形”的面积，还会经常遇到计算平面曲线围成的“曲边图形”的面积，如何解决这个问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”的面积来解决呢 ？为此，我们需要学习新的数学知识—定积分。
曲边梯形的定义： 。
【合作探究】1、曲边梯形的面积问题：求曲线y=x 2与直线x=1，y=0所围成的区域面积。
① 分割：② 近似代替：③ 求和：④ 取极限：2、 定积分的概念：设函数y=f （x ）定义在区间[a,b]上有定义，把区间 [a,b]等分为n 个小区间，其长度依次x ∆(x ∆=nab -)，在每个小区间上取一点x 1,……x n 作和式 当x ∆→0时，S n =S(常数)，那么称常数S 为函数f （x ）在区间[a,b]上的定积分记作其中 叫做被积函数， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫做被积式，此时称函数f （x ）在区间 [a,b]上可积。
3、定积分的几何意义：当函数f （x ）在区间[a,b]上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是：【知识应用】例1、利用定积分定义计算： （1）1xdx ⎰（2）baCdx ⎰，C 为常数例2、利用定积分的几何意义计算：（1）2224x dx--⎰（2）121x dx-⎰【总结反思】【当堂检测】不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：（1）1xdx⎰120x dx⎰（2）10xdx⎰21xdx⎰（3）224x dx-⎰202dx⎰。
曲边梯形的面积教学案例
《曲边梯形的面积》教学案例八中高中数学组兰北平“曲边梯形的面积”是定积分的内容，定积分在高中的教材里曾经几进几出，原因可能是这部分内容实在是太有用同时又存在不小的难度，就像是一种美味好吃却不易吃，会使人觉得弃之可惜。
新课程把其加进来，采用了不同于高等数学的处理方式，即不介绍不定积分，而直接通过一个几何问题和一个物理问题引入定积分的概念。
这充分体现新课程返璞归真，回归本质的理念。
不过这样无论对学生还是教师，都将是一个不小的挑战。
对于本节课的设计，笔者将重心放在如何使新课引入自然以及如何突破难点上。
一、对本节课的认识“曲边梯形的面积”是“定积分的概念”的第一课时。
定积分的思想方法是高等数学里的重要思想方法，是微积分的重要组成部分，在求解不规则图形的面积，变速运动的路程，变力做功等问题方面有着广泛的应用。
而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容，所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用。
本节课内容较为单一，目标也比较明确，就是用“以直代曲，无限逼近”的思想求曲边梯形的面积。
然而，这种思想方法给学生带来的理解上的难度却不小，因为要真正理解这种方法必须对极限的思想要有比较清晰的认识。
不过，新课程似乎为了避免增加学生的负担，而不要求深入介绍极限的概念，其旨在用最易于让学生接受的手段，使学生获得最有价值的数学知识。
这节课亦是如此。
基于以上原因，备课时认为本节课有两大难点：一是如何使学生获得“无限分割，以直代曲”的思路；二是对“极限”“无限逼近”的理解，即理解为什么将近似值取极限正好是面积的精确值。
二、教学设计I、教学目标1.知识与技能：（1）了解定积分的实际背景；（2）会用分割-近似代替-求和-取极限的四步曲求曲边梯形的面积；2.过程与方法：（1）体会以直代曲的数学思想方法；（2）体会无限逼近的数学思想；3.情感、态度与价值观：通过以直代曲求曲边梯形面积的过程感受数学化归思想化难为易，化不可计算为可以计算的妙处；II、重点、难点1.重点：以直代曲的思想方法；求曲边梯形的四步曲；2.难点：以直代曲的思想方法；III、教学教法讲授与启发相结合，采用几何画板制作课件IV、教学过程（一）引入问题引入：这是浙江省地图，怎样求其面积？意图：用网格法求面积时边缘往往是不规则的图形，引出曲边梯形及求曲边梯形的面积问题. （二）新课问题1：我们会求正方形、三角形、平行四边形、梯形等“直边图形”的面积，现实生活中遇到的大量“曲边图形”，如何求“曲边图形”的面积？回答问题1：通过将曲边梯形分割成等宽的多个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积用高为左端点函数值矩形代替，求和，取极限得到面积.2、板书分割-近似代替-求和-取极限四步曲的详细步骤；3、用几何画板表格展示当n逐渐增大时，矩形面积和的值的变化趋势，验证计所得结果，并且发现面积和会从小于的方向逐渐接近1/3,思考为什么，引出下面探究问题. 探究：如果认为y=f(x)在每个小区间上的函数值近似地等于右端点的函数值，是否也能求出S=1/3?为什么？2、结合表格数据说明取区间右端点函数值得到的是过剩近似值，是从大于的方向趋近1/3；3、进一步说明取区间中的任何一点来近似也是可以的从而得到求面积的一般表达式01111lim ()lim ()3n n i i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑为引出定积分的概念做铺垫. 练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x(^2)所围成的曲边梯形的面积.38,21111382212→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n n i n S n n n n n i S意图：用一个与例题相仿，只是区间不同的例子进一步体验“分割—求和—近似—取极限”的方法.（三）小结：这节课我们学到了什么？1.求曲边梯形的面积的方法和步骤是：分割、近似代替、求和、取极限2.以直代曲，无限逼近的思想V 、布置作业作业本B 本P51，1、2、3、4、6、7、10三、教学片断实录及反思片断一：新课的引入师（提出问题）：这是浙江省地图，怎样求其面积？生：思考片刻，有的一脸茫然，有的在迟疑，个别窃窃私语：“用割补法”.师：“怎么割补？能否说得具体点？”生：不敢说或者不知道，不能给出答案.师：有一种近似求不规则图形面积的方法——“网格法”，接着介绍这种方法的具体做法。
高中数学 第四章 定积分 4.1 定积分的概念 曲边梯形的面积教案 北师大版选修22
曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点：重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L ，其长度为11i i x n n n-∆=-=分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值1i f n -⎛⎫⎪⎝⎭，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有211i i i i S S f x x n n --⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g 211(1,2,,)i i n n n-⎛⎫== ⎪⎝⎭g L ①（3）求和：由①，上图中阴影部分的面积n S 为2111111nnnn i i i i i i S S f x n n n ===--⎛⎫⎛⎫'∆=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑g g=22111110n n n n n n-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g L g =()22231121n n ⎡⎤+++-⎣⎦L =()()312116n n n n --=1111132n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限：分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111111lim lim lim 11323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑g 从数值上的变化趋势：3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,,i n =L ，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代取”。
人教版数学高二教学设计曲边梯形的面积
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学内容解析微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用．曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴含着定积分的基本思想方法，为引入定积分的概念和体会定积分的基本思想奠定基础二、学生学情分析：学生的思维比较活跃，数学基础较好，理解能力、运算能力和学习交流能力较强．学生在本节课之前已经具备的认知基础有如下几个方面.（1）在过去的学习中，学生已经知道“直边图形”面积的求法，知道通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积.（2）学生在学习本节前已经知道如何对数列进行求和.学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲、无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上，具体来说就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算；二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值.三、教学目标分析依据教学大纲，结合教材内容和学生的认知水平，我将本节课的教学目标确定如下：（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学知识产生的过程，提升学生的交流合作意识，体验“有限与无限对应统一”的辩证观点.四、教学重点、难点：重点：探究求曲边梯形面积的方法.难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”思想的方法. 五、教学策略分析：根据本节课的教学内容，学生情况和教学目标，为了突出教学重点，突破难点，体现新课标“以人为本，主动发展”的教学理念，教学中采用“教师设疑引导，学生交流合作”的教学方法，通过问题激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、交流、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。
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曲边梯形的面积（教案）
杭州市源清中学徐骋【教学目标】
1、知识与技能目标：
通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、过程与方法目标：
通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：
体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重点】
求一般曲面梯形面积的方法。
【教学难点】
对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学准备】
多媒体电脑、课件等。
【教学过程】
此问题在学生九年级中已有涉及，在九
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，提出房屋面积的测量问题。
概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)
y
y=f(x)
曲边梯形的面积（学案）
杭州市源清中学徐骋【学习目标】
1、理解“以直代曲”的意义；
2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；
3、了解“近似代替”时取点的任意性。
【课堂程序】
问题一：我们在小学、初中就学习求平面图形面积的问题。
有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积，比如浙江省的面积？
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，这样的面积又该怎样得出？
概念：如图，由直线x=a,x=b,x 轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
问题三：对于由y=x 2与x 轴及x=1所围成的面积该怎样求？
【知识应用】
1、求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。
x
y
O y=x 2
图3
图4
2、求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。
【总结归纳】
1、对于一般曲边梯形，如何求面积？
2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？ 【曲边梯形的面积 作业】
1、求由y=x 2＋1,和x=0,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。
2、求由y=2x 2＋1,和x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。
特别帮助：12+22+32+…+n 2=16
n(n+1)(2n+1)。