【高考调研】2016届高考数学一轮复习 第五章 第2课时 平面向量基本定理及坐标运算课件 理
北师大版高中数学一轮复习第五章5.2平面向量的基本定理及坐标运算word版下载
课时作业25 平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )．A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向2．若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( )．A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形3．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )．A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(－2,1)}D ．{(－23，－13)}4．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )． A ．3 B ．－3 C.13 D ．－135．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )．A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <06．若平面内共线的A ，B ，P 三点满足条件OP →＝a 1OA →＋a 4 023OB →，其中{a n }为等差数列，则a 2 012等于( )．A ．1B ．－1C ．－12 D.127．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是( )． A.13 B.23 C.14 D.12二、填空题8．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是__________． 9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝__________. 10．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝__________.三、解答题11．已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AP →，AD →.12．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：由c ∥d 且d ≠0，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d .故c 与d 反向．2．A 解析：当a ，b ，c 为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a ，b ，c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．B 解析：P 中，α＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，β＝(1＋2n ，－2＋3n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时α＝β＝(－13，－23)．4．B 解析：∵a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ， ∴sin αcos α＝1－2，∴tan α＝－12. ∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－12－11－12＝－3. 5．B 解析：由题意及平面向量基本定理易得在OP →＝mOP →1＋nOP →2中，m ＞0，n ＜0.6．D 解析：由OP →＝a 1OA →＋a 4 023OB →及向量共线的充要条件得a 1＋a 4 023＝1，又数列{a n }为等差数列，所以2a 2 012＝a 1＋a 4 023＝1，故a 2 012＝12. 7．A 解析：根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13. 二、填空题8．8 解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴a －1－b －1＝12.∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b 时取等号．∴1a ＋2b的最小值是8. 9．4 解析：a －2b ＝(8－2x ，x 2－2)， 2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x 2－2·(16＋x )， 整理得x 2＝16，又x ＞0.所以x ＝4.10．(－2,0)或(－2,2) 解析：设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，由a ＋b 平行于y 轴，可得x ＋2＝0，即x ＝－2，又由|a ＋b |＝1可得|y －1|＝1，解得y ＝0或y ＝2，则b ＝(－2,0)或(－2,2)．三、解答题11．解：∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ，CP →＝AP →－AC →＝AP →－b又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0.∴3AP →＋4(AP →－a )＋5(AP →－b )＝0∴AP →＝13a ＋512b . 设AD →＝tAP →(t ∈R )，则AD →＝13t a ＋512t b .① 又设BD →＝kBC →(k ∈R )，由BC →＝AC →－AB →＝b －a ，得BD →＝k (b －a )．而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →.∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ②由①②得⎩⎨⎧ 13t ＝1－k ，512t ＝k .解得⎩⎨⎧ k ＝59，t ＝43.代入①得AD →＝49a ＋59b . 12．解：(1)∵m ·n ＝1.即3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝1， 即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝2·⎝⎛⎭⎫122－1＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin (B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2， 12＜sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 理-人教版高三全册数学
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________． 解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量5.2平面向量的基本定理及坐标运算教学案 理
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝__________，其中，__________叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝x i＋y j，把有序数对__________叫做向量a 的坐标，记作a＝____，其中__________叫做a在x轴上的坐标，__________叫做a在y轴上的坐标，显然0＝(0,0)，i＝(1,0)，j ＝(0,1)．(2)设OA→＝x i＋y j，则__________就是终点A的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．3．平面向量的坐标运算已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝__________，即一个向量的坐标等于__________．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝__________⇔__________.1．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是( )．A．(3，－4) B．(－3,4)C．(3,4) D．(－3，－4)2．已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，则向量a＋b所在的直线可能为( )．A．x轴B．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线 3．已知a ＝(4,5)，b ＝(8，y )且a ∥b ，则y 等于( )．A ．5B ．10C ．325D ．154．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )．A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对一、平面向量基本定理的应用【例1】 已知梯形ABCD ，如图所示，2DC →＝AB →，M ，N 分别为AD ，BC 的中点．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，试用e 1，e 2表示DC →，BC →，MN →. 方法提炼应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．请做演练巩固提升1二、平面向量的坐标运算【例2】 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB→＝a ，BC →＝b ，CA →＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .方法提炼1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O 为起点的向量OA →的坐标与点A 的坐标相同．请做演练巩固提升2三、平面向量共线的坐标表示【例3－1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 【例3－2】 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线； (2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．方法提炼向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．提醒：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为：x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．请做演练巩固提升3忽视平行四边形的种类而丢解【典例】 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．错解：设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，D (x ，y )， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB →＝DC →. 而AB →＝(3,0)－(－1,0)＝(4,0)，DC →＝(1，－5)－(x ，y )＝(1－x ，－5－y )，∴(4,0)＝(1－x ，－5－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝1－x ，0＝－5－y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴点D 的坐标为(－3，－5)．错因：(1)此解错因是思维定势，认为平行四边形只是如图所示中的一种情形，由此在解题构思中丢掉了两种情形．(2)若平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求D 点坐标，就只有一种情况，此题目中给出了平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，就可能有▱ABCD 1，▱ACD 2B ，▱ACBD 3三种情形，如解答中的图所示．正解：如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →，而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．由AD 1→＝BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→. 而AB→＝(4,0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5.∴D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →.而AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.∴D 3(1,5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．答题指导：1．本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论．此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口．2．向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解．1．(2012大纲全国高考)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD→＝( )．A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )． A ．(－6,21) B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cos x ，且a ∥b ，则锐角x 等于( )．A.π6B.π4C.π3D.5π124．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 不共线的向量e 1，e 2 2．(1)(x ，y ) (x ，y ) x y (2)向量OA 的坐标3．(2)(x 2－x 1，y 2－y 1) 终点的坐标减去起点的坐标 (3)λb x 1y 2－x 2y 1＝0 基础自测 1．D 解析：∵2b －a ＝2×(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)，故2b －a ＝(－3，－4)．2．A 解析：a ＋b ＝(1，－m )＋(m 2，m )＝(m 2＋1,0)．其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a ＋b 所在的直线可能为x 轴．3．B 解析：∵a ∥b ， ∴4y －40＝0，得y ＝10.4．A 解析：对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确； 对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以； C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对． 考点探究突破【例1】 解：∵2DC ＝AB ，∴2DC ＝e 2，∴DC ＝12e 2.又∵BC ＝BA ＋AD ＋DC ，∴BC ＝－e 2＋e 1＋12e 2＝e 1－12e 2.又由MN ＝MA ＋AB ＋BN ，得MN ＝12DA ＋AB ＋12BC ＝－12e 1＋e 2＋12(e 1－12e 2)＝34e 2.【例2】 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.【例3－1】 B 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，∴a ＋λb ＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)． 又∵(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，解得λ＝12.【例3－2】 解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB ＝λBC ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ.解得m ＝32.演练巩固提升1．D 解析：∵a ·b ＝0，∴a ⊥b . 又∵|a |＝1，|b |＝2， ∴|AB |＝5，∴|CD |＝1×25＝255.∴|AD |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2552＝455. ∴AD ＝4555AB ＝45AB ＝45(a －b )＝45a －45b . 2．A 解析：如图，QC ＝AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC ＝PQ ＋QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC ＝3PC ＝(－6,21)．3．B 解析：∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cos x ，且a∥b ，∴12sin x cos x －34×13＝0， 即14sin 2x －14＝0.∴sin 2x ＝1. 又∵x 为锐角，∴2x ＝π2，x ＝π4.4．{m |m ≠－3} 解析：要使c ＝λa ＋μb 成立， 则只需a 与b 不共线即可，∴只需满足m 1≠2m －33，即3m ≠2m －3，∴m ≠－3.。
高考调研数学目录
目录
第九章 解析几何
第1课时 直线方程 题组层级快练（五十九）（word） 第2课时 两直线的位置关系 题组层级快练（六十）（word） 第3课时 圆的方程 题组层级快练（六十一）（word） 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 题组层级快练（六十二）（word） 第5课时 椭圆(一) 题组层级快练（六十三）（word） 第6课时 椭圆(二) 题组层级快练（六十四）（word） 第7课时 双曲线(一) 题组层级快练（六十五）（word）
目录
第5课时 三角函数的图像 题组层级快练（二十四）（word） 第6课时 三角函数的性质 题组层级快练（二十五）（word） 专题研究 三角函数的值域与最值 专题层级快练（二十六）（word） 第7课时 正、余弦定理 题组层级快练（二十七）（word） 专题研究 正、余弦定理应用举例 专题层级快练（二十八）（word）
第7页
目录
第五章 平面向量与复数
第1课时 向量的概念及线性运算 题组层级快练（二十九）（word） 第2课时 平面向量基本定理及坐标运算 题组层级快练（三十）（word） 第3课时 平面向量的数量积 题组层级快练（三十一）（word） 专题研究 平面向量的综合应用 专题层级快练（三十二）（word） 第4课时 复数 题组层级快练（三十三）（word）
第10页
目录
第八章 立体几何
第1课时 空间几何体的结构、三视图、直观图 题组层级快练（四十八）（word） 第2课时 空间几何体的表面积、体积 题组层级快练（四十九）（word） 专题研究 球与几何体的切接问题 专题层级快练（五十）（word） 第3课时 空间点、线、面间位置关系 题组层级快练（五十一）（word） 第4课时 直线、平面平行的判定及性质 题组层级快练（五十二）（word） 第5课时 直线、平面垂直的判定及性质 题组层级快练（五十三）（word）
2016届高考数学第一轮复习 第五章 平面向量课件 理 北师大版
a
31
=a-b,
1
1
1
=6 =6a-6b,
1
5
6
6
=+= a+ b,
=a+b,
1
1
2
2
2
2
6
3
3
3
= + = + = = a+ b,
1
1
=-=2a-6b.
a
32
题型
共线向量定理
三
设两个非零向量 a 与 b 不共线.
(1)若=a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证:A,B,D 三
D
本题考查平面向量的相关概念及加法、减法法则,
考查数形结合思想、信息迁移和分析解决问题的综合能力.
a
21
(见学生用书 P86)
题型
平面向量的有关概念
一
给出下列四个命题:
①若|a|=|b|,则 a=b;
②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“= ”是“四边
形 ABCD 为平行四边形”的充要条件;
分条件;B 可以推得
A;D 为充分不必要条件.故选 D.
D
a
43
4.已知点 O 是平面上的一定点,△ABC 的内角 A,B,C 所对的
5.相等向量:长度相等且 方向 相同的向量.
6.相反向量:长度相等且 方向 相反的向量.
a
3
向量
运算
二、向量的线性运算
法则(或几
定义
何意义)
运算律
(1)交换律:
a+b=b+a
加法 求两个向量和的运算
(2)结合律:
【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)5-2平面向量基本定理及向量的坐标表
1 [答案] 4
[解析]
1 → → → → → 解法 1：设BA＝a，BC＝b.则BE＝BA＋AE＝a＋ 3
→ b.而AC＝b－a， → → 所以AF＝λAC＝λ(b－a)． → → → 故BF＝BA＋AF＝a＋λ(b－a)＝(1－λ)a＋λb. → → ∵BE与BF共线，且 a 与 b 不共线， 1－λ λ 1 ∴ ＝ ，∴λ＝ . 1 1 4 3
5．平面向量的直角坐标运算 → (1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)， → |AB|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1 ＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． a∥b⇔____________，a⊥b⇔____________. a (3)非零向量 a 的单位向量为± . |a|
(2)直线的向量参数方程式：A、B 是直线 l 上两点，O 为 → → → l 外一点，点 P 在直线 l 上的充要条件是OP＝(1－t)OA＋tOB (t 为参数)． → 1 → → (3)OM＝ (OA＋OB)⇔M 是线段 AB 的________． 2
→ → 2．已知两个非零向量 a 与 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB＝θ 叫做 a 与 b 的夹角．(0° ≤θ≤180° ) 当 θ＝0° 时，a 与 b 方向________；当 θ＝180° 时，a 与 b 方向________；当 θ＝90° 时，称 a 与 b________. 3．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为________ 基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 正交分解．
1→ 4→ B. OA＋ OB 3 3 1→ 4→ D．－3OA－3OB
【高考调研】高考数学一轮复习 第2课时 平面向量基本定理及坐标运算课件 理 新人教版
平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、 减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积 的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中 命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的 思想方法.
1．平面向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对 这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2 使 a ＝ λ1e1＋λ2e2 .
2．平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的 两个单位向量 i，j 作为基底，对一向量 a，有唯一一对实 数 x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量 a 的直角坐 标，记作 a＝(x，y)，显然 i＝ (1,0) ，j＝ (0,1)，0＝ (0,0)．
3．平面向量的坐标运算 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝ (x1－x2，y1－y2)， λa＝ (λx1，λy1) ． (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2) → ＝ (x －x ，y －y ) ， 则AB 2 1 2 1
1．如果 e1，e2 是平面 α 内的一组基底，那么下列命 题正确的是( )
2 A．若实数 λ1，λ2，使 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1 ＋λ2 2＝0
B．空间内任一向量 a，都可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2 其中 λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2 不一定在平面 α 内，λ1，λ2∈R
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→ 根据平面向量基本定理， 一定存在实数 m， n， 使得AD → ＋ CD → ＝ m· → ＋ n· → ， 所 以 ( － 12,8) ＝ m(1,3) ＋ ＋ BD AB AC n(2,4) ． 即 ( － 12,8) ＝ (m ＋ 2n,3m ＋ 4n) ， 可 得
第5章 §5.2 平面向量基本定理及坐标表示--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第五章§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝____________.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个_______.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有基底互相垂直λ1e 1＋λ2e 23.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝ ，λa ＝ ，|a |＝_________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ＝ ，| |＝___________________.(x 1＋x 2，y 1＋y 2)(x 1－x 2，y 1－y 2)(λx 1，λy 1)(x 2－x 1，y 2－y 1)4.平面向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为 .判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.( )(2)设{a ，b }是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成 .( )(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )√×√×1.(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2,3)，e 2＝√√2.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P 的坐标为√A.(2,2)B.(3，－1)C.(2,2)或(3，－1)D.(2,2)或(3,1)3.已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(2，x －1)，若(2a －b )∥a ，则x 为________.2a －b ＝(2x －2,3－x )，∵(2a －b )∥a ，∴2x －2＝x (3－x )，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1.2或－1T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一平面向量基本定理的应用例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于√6方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，所以∠B1OC＝90°.所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以λ＋μ＝6.教师备选√设圆的半径为r，则根据圆的性质得BD＝AB，所以四边形ABDO为菱形，2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC 的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝________.(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.跟踪训练1 (1)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 (λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于√题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于√∵a－2b＋3c＝0，∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，√则D(0,0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，教师备选√设D(x，y)，向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体.跟踪训练2 (1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于√A.1B.2C.3D.4以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，(－3,2)(－6,21)例3 (1)已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，若(a －b )∥c ，则锐角x 等于A.15°B.30°C.45°D.60°题型三向量共线的坐标表示√√A.－3 B.3 C.1 D.－1所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.则(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，教师备选1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝_____.由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，2.已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且，P是(4,2)或(－12，－6)OB的中点，则点B的坐标为___________________.∵点P在直线OA上，设点P(m，n)，∵P是OB的中点，∴B(4,2).∴P(－6，－3)，∵P是OB的中点，∴B(－12，－6).综上所述，点B的坐标为(4,2)或(－12，－6).平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).跟踪训练3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1).(1)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k；a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标.设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，∴d的坐标为(3，－1)或(5,3).。
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 第5章 平面向量 第2讲
()
A．(5,7)
B．(5,9)
C．(3,7)
D．(3,9)
解析 2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．
答案 A
基础诊断
考点突破第五页，编辑于星期五课：十堂八总点 四结十二分。
3．已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b，则实数 m 等于( )
A．－ 2
B． 2
C．－ 2或 2
答案 (1)(2,4) (2)5
基础诊断
考点突破第二十三页，编辑于星课期五堂：总十八结点 四十二分。
[思想方法] 1．对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平 面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． (2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可 以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝ λ1e1＋λ2e2的形式，是向量线性运算知识的延伸．
(√ )
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示
成xx21＝yy12.
(× )
基础诊断
考点突破第四页，编辑于星期五课：十堂八总点 四结十二分。
2 ． (2014·北 京 卷 ) 已 知 向 量 a ＝ (2,4) ， b ＝ ( － 1,1) ， 则 2a － b ＝
基础诊断
考点突破第二十六页，编辑于星课期五堂：总十八结点 四十二分。
若A→B＝3a，则点 B 的坐标为
()
A．(7,4)
B．(7,14)
C．(5,4)
D．(5,14)
(2)在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且B→P＝2P→C，点 Q 是Q＝(1,5)，则B→C等于
高考数学一轮复习第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|＝错误!. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB→，BC →的夹角为∠ABC .( )(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)D [由题意可知P1P2→＝(3，－3)．若P1P →＝13P1P2→，则P 点坐标为(2,2)；若P1P →＝23P1P2→，则P 点坐标为(3,1)，故选D.]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.－12[由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)， 得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.]4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．(1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.]考点一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[典例1] 如图，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA→＝a ，OB→＝b . (1)用a 和b 表示向量OC→，DC →；(2)若OE→＝λOA →，求实数λ的值． [解] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB→＋OC →＝2OA →， 所以OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC→∥DC →，故设EC →＝x DC →.因为EC→＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2a －53b .因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.点评：本例(2)在求解中，以D ，E ，C 三点共线为切入点，借助EC→∥DC →及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设OE →＝x OD →＋(1－x )OC →，利用OA →＝12OB →＋12OC →及同基底下向量表示的唯一性求得λ.[跟进训练]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．(2020·三明模拟)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④B [由向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP→＝u OA →＋v OB →成立，且u ＋v ＝1.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是：满足OP →＝u OA →＋v OB →，且u ＞0，v ＞0，u ＋v ＞1.∵1＋2＞1，∴点P 位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]考点二 平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2] (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ， ①求3a ＋b －3c ；②求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．(1)D [以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.] (2)[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②设O 为坐标原点，∵CM→＝OM →－OC →＝3c ，∴OM→＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN→＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON→＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN→＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．[跟进训练]1．在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (－2,0)，AC →＝(2，－3)，则点D 的坐标为( )A ．(6,1)B ．(－6，－1)C ．(0，－3)D ．(0,3)A [AB →＝(－3，－2)＝DC →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →－AB →＝(5，－1)，则D (6,1)．故选A.]2.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC→＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________. 85[法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，1，AC →＝(1,1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85. 法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.∴λ＋μ＝85.]考点三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．利用向量共线求参数[典例3－1] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB→＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB→∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.点评：熟记两向量a ，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在．利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2] 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) [法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)． 又AC→＝OC →－OA →＝(－2,6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC 与OB 的交点为P ”，实际上变相告知“A ，P ，C 三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P 的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．[跟进训练]1．已知向量a ＝(1,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，－12，若c 为单位向量，且c ∥(a －2b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35，－45或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，45B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22 B [由题意可知a －2b ＝(－3,4)，又c ∥(a －2b )，∴c ＝λ(－3,4)，即c ＝(－3λ，4λ)．又|c |＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±15，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，－45，故选B.]2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A (3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB→∥a ，则点B 的坐标为________．(－3，－6) [设B (x,2x )，则AB →＝(x －3,2x )．∵AB→∥a ，∴x －3＝2x ，即x ＝－3. ∴B (－3，－6)．]备考技法3 共线定理的推广及应用平面向量的等和线由平面向量基本定理，OP→＝λOA →＋μOB →，当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出： OP→＝x OM →＋y ON →，且x ＋y ＝1， 又由平行线分线段成比例定理，得：OM →＝k OA →，ON →＝k OB →⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中k ＝|OM||OA|， 则OP →＝x OM →＋y ON →＝kx OA →＋ky OB →，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k (x ＋y )＝k .把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数.[技法展示] (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP→＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．22C ．5D ．2A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AFAB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3ABAB ＝3，故选A.][评析] 应用等和线解题的步骤 (1)求k ＝1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值． [技法应用]1.如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．[3,4] [当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3,4]． ]2.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC→＝x OA →＋y OB →，则x ＋3y 的取值范围是________． [1,3] [OC →＝x OA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OB →3，如图，作OB′→＝OB →3，则考虑以向量OA→，OB′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP →＝m AB →＋n AF →(m ，n 为实数)，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5]C [随着动点圆心Q 在线段CD (含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G (P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H (P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP1→＝m AB →＋n AF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2ABAB ＝2.此为m ＋n 的最小值． 设AP2→＝m AB →＋n AF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AH AB＝5.此为m ＋n 的最大值． 综上可知，m ＋n ∈[2,5]．]。
2016届高考数学一轮复习课件 第五章 平面向量5.2
第十四页，编辑于星期五：二十点 三十九分。
平面向量基本定理及坐标表示
5.2
第五章
考情概览
考点一
考点二
知识梳理
核心考点
核心考点
学科素养
考点三
考点二平面向量的坐标运算
已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a, =b,=c.
(1)求 3a+b-3c;
(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.
题型
选择题
解答题
知识梳理
核心考点
学科素养
五年考题统计
命题规律
2010 全国,文 2
2014 全国Ⅰ,文
20
本节内容通过向
量的坐标表示,将几何
问题转化为代数问题
来解决.特别地,用坐
标表示的向量共线的
条件是高考考查的重
点,属于中低档题目.
第二页，编辑于星期五：二十点 三十九分。
第五章
5.2
平面向量基本定理及坐标表示
D.(4,3)
关闭
由题意得 b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选 B.
关闭
B
解析
解析
答案
答案
第六页，编辑于星期五：二十点 三十九分。
第五章
5.2
平面向量基本定理及坐标表示
考情概览
知识梳理
双击自测
知识梳理
知识梳理
核心考点
1
2
学科素养
7
3 4 5
3.已知向量 a=(2,3),b=(x,-6),若 a∥b,则 x 的值为(
因为 2a=(4,8),b=(-1,1),
所以 2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选 A.
近年高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示夯基提能作业本文(2021年整理)
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第二节平面向量基本定理及坐标表示A组基础题组1.（2015课标Ⅰ,2，5分）已知点A(0,1），B（3，2）,向量=(—4,-3)，则向量=( ) A。
（—7，—4） B.(7，4）C.(-1，4）D.(1,4）2.（2016北京东城期末）已知向量a=(1，2)，b=（—2,x）.若a+b与a—b平行,则实数x的值是( )A.4 B。
1 C。
-1 D.-43.已知向量a=(5，2),b=(—4，—3）,c=（x,y），若3a-2b+c=0，则c=（)A。
（-23，-12）B。
(23,12）C.(7,0）D.(—7,0)4。
已知在▱ABCD中,=（2,8），=（—3，4），对角线AC与BD相交于点M,则=( ) A.B。
C。
D。
5。
在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0),B（0，1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=,｜|=2,若=λ+μ，则λ+μ=（）A.2B.C.2D.46.(2017北京朝阳期中)设平面向量a=（1,2),b=（-2，y),若a∥b,则y= .7.(2015北京丰台一模)在平面直角坐标系xOy中,点A(—1,0),B(0，）,C（cos x,sin x）,则= ;若∥,则tan x= 。
一轮复习全套复习第五章平面向量第2课时平面向量基本定理及坐标运算
在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底， 对一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
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得∠OCB＝30°，又∠COD＝30° ∴BC∥OD ∴O→C＝O→D＋O→B＝－2O→A＋O→B ∴x＝－2 y＝1 探究 1 注意转化思想在本题中的应用，通过本题可 以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为 基底．
思考题 1 已知 A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和 D(－ 2,3)，以A→B，A→C为一组基底来表示A→D＋B→D＋C→D.
是唯一的
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2.(2011·衡水调研Ⅰ)如图，已知O→P＝ma＋nb，且点
P 位于Ⅰ区域，则(
)
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
答案 C
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3．(09·北京卷)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
请注意!
平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向 量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中 的重要内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了 转化和数形结合的思想方法.
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【解析】 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
－6m＋n＝5， ∴ －3m＋8n＝－5， m＝－1， 解得 n＝－1.
1 2 4 → → 故AH＝λAF＝λ(b＋ a)＝ a＋ b.故选B. 2 5 5 【答案】 B
题型二 向量坐标的基本运算
→＝ 例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB → ＝b，CA → ＝c，且CM → ＝3c， CN → ＝－2b. a，BC (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； → 的坐标． (3)求M，N的坐标及向量MN
A．a＝(1,2)，b＝(0,0) C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
答案 B 解析 根据平面向量基底的定义知，两个向量不共知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实 数，(a＋λb)∥c，则λ＝( 1 A. 4 C．1 1 B.2 D．2 )
答案 B 解析 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4
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授人以渔 自助餐
题组层级快练
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1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这
一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1， λ2使 a ＝λ1e1＋ λ 2 e2 .
2．平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x 轴， y 轴正方向相同的两个
【解析】 过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点 → |＝1，|OC → |＝ 3，OB → ⊥OC → ，得∠OCB＝ D，连接BC，由|OB → ＝OD → ＋OB → ＝－2 OA → 30° .又∠COD＝30° ，∴BC∥OD，∴OC → .∴x＝－2，y＝1. ＋OB
【答案】 x＝－2，y＝1
a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， → ＝(x －x ，y －y )， 则AB 2 1 2 1 → |＝ x －x 2＋y －y 2. |AB 2 1 2 1
4．向量平行与垂直的条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a，b均不为0时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. a (3)若 a≠0，则与 a 平行的单位向量为± . |a|
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) → ，AC → 可以作为基底． (1)在△ABC 中，AB → ＝a，BC → ＝b，则向量 a 与 b 的夹 (2)在△ABC 中，设AB 角为∠ABC. (3)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2， 且 μ1＝μ2.
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以 x1 y1 表示成 ＝ . x2 y2
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向 量的一组基底的是( ) B．a＝(1，－2)，b＝(3,5) 3 1 D．a＝(－4，2)，b＝(3，－2)
2 4 A. 5a－5b 2 4 C．－ a＋ b 5 5
【解析】
→ ＝λAF → ，DH → ＝μDE →. 设AH 1 → → → → 而DH＝DA＋AH＝－b＋λAF＝－b＋λ(b＋ a)， 2 1 → → DH＝μDE＝μ(a－ b)． 2
1 1 因此，μ(a－ b)＝－b＋λ(b＋ a)． 2 2 由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得 1 μ＝2λ， －1μ＝－1＋λ. 2 4 2 解之得λ＝5，μ＝5.
第五章
平面向量与复数
第2课时
平面向量基本定理及坐标运算
1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
请注意
平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减 法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基 础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的 热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的思想．
解析 利用共线向量求参数值． ∵λa＋b＝0，∴λa＝－b. ∴|λa|＝|－b|＝|b|＝ 22＋12＝ 5. ∴|λ |· |a|＝ 5.又|a|＝1，∴|λ |＝ 5.
授人以渔
题型一 平面向量基本定理的应用
→ |＝| OB → |＝1，| OC → |＝ 3 ，∠AOB＝ 例1 如图所示，| OA → ⊥OC → ，设OC → ＝xOA → ＋yOB → .求实数x，y的值． 60° ，OB
单位向量 i ， j 作为基底，对任一向量 a ，有唯一一对实数 x ，
y ，使得： a＝ xi ＋yj，(x ， y) 叫做向量a 的直角坐标，记作a＝ (x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．平面向量的坐标运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
探究1
注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发
现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底．
思考题1
在平行四边形ABCD中，E，F分别
→ ， BC → 分别为a，b， 是BC，CD的中点，DE交AF于H，记 AB → ＝( 则AH ) 2 4 B. 5a＋5b 2 4 D．－ a－ b 5 5
1 －3×2＝0，∴λ＝2.
4 ．已知 ▱ ABCD 的顶点 A(2,1) ， B(3,2) ， C(4 ，－ 1) ，则顶
点D的坐标为________． 答案 (3，－2)
5．(2014·北京理)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且 λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.