全等三角形经典证明方法归类

【第1部分全等基础知识归纳、⼩小结】

1、全等三⻆角形的定义：能够完全重合的两个三⻆角形叫全等三⻆角形。两个全等三⻆角形中，

互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的

⻆角叫对应⻆角。

概念深⼊入理理解：

（1）形状⼀一样，⼤大⼩小也⼀一样的两个三⻆角形称为全等三⻆角形。（外观⻓长的像）

（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三⻆角形称为全等三⻆角形。（位置变化）

2、

全等三⻆角形的表示⽅方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三⻆角形全等时，通常把表示对应顶点的字⺟母写在对应的位置上。

3、全等三⻆角形的性质：

全等是⼯工具、⼿手段，最终是为了了得到边等或⻆角等，从⽽而解决某些问题。

（1）全等三⻆角形的对应⻆角相等、对应边相等。

（2）全等三⻆角形的对应边上的⾼高，中线，⻆角平分线对应相等。

（3）全等三⻆角形周⻓长，⾯面积相等。

4、寻找对应元素的⽅方法

（1）根据对应顶点找

如果两个三⻆角形全等，那么，以对应顶点为顶点的⻆角是对应⻆角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三⻆角形全等时，对应顶点的字⺟母都写在对应的位置上，因此，由全等三⻆角形的记法便便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三⻆角形对应⻆角所对的边是对应边，两个对应⻆角所夹的边是对应边；

图3

图1图2

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三⻆角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中⼀一个是由另⼀一个经过下列列各种运动⽽而形成的；运动⼀一般有3种：平移、对称、旋转；

5、全等三⻆角形的判定：（深⼊入理理解）

①边边边（SSS）②边⻆角边（SAS）③⻆角边⻆角（ASA）④⻆角⻆角边（AAS）

⑤斜边，直⻆角边（HL）

注意：（容易易出错）

（1）在判定两个三⻆角形全等时，⾄至少有⼀一边对应相等（边定全等）；

（2）不不能证明两个三⻆角形全等的是，㈠三个⻆角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中⼀一⻆角对应相等，即SSA。

全等三⻆角形是研究两个封闭图形之间的基本⼯工具，同时也是移动图形位置的⼯工具。在平⾯面⼏几何知识应⽤用中，若证明线段相等或⻆角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三⻆角形的知识。

6、常⻅见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）

如：⑴过点A作BC的平⾏行行线AF交DE于F

⑵过点A作BC的垂线，垂⾜足为D

⑶延⻓长AB⾄至C，使BC＝AC

⑷在AB上截取AC，使AC＝DE

⑸作∠ABC的平分线，交AC于D

⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

同⼀一条辅助线，可以说法不不⼀一样，那么得到的条件、证明的⽅方法也不不同。

【第2部分中点条件的运⽤用】

1、还原中⼼心对称图形（倍⻓长中线法）

中⼼心对称与中⼼心对称图形知识：

把⼀一个图形绕着某⼀一个点旋转180°，如果它能够与另⼀一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中⼼心对称，这个点叫做对称中⼼心。这两个图形中的对应

点叫做关于中⼼心的对称点。

中⼼心对称的两条基本性质：

（1）关于中⼼心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中⼼心，⽽而且被对称中⼼心所平分。（2）关于中⼼心对称的两个图形是全等图形。

中⼼心对称图形

把⼀一个图形绕着某⼀一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中⼼心对称图形，这个点就是它的对称中⼼心。（⼀一个图形）如：平⾏行行四边形

线段本身就是中⼼心对称图形，中点就是它的对称中⼼心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。

例例1、AD是△ABC中BC边上的中线，

若AB2，AC4，则AD的取值范围是_________。

例例2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上⼀一点，延⻓长BE交AC于F，AF EF，求证：AC BE。

例例3、如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD

的中线。求证：AC=2AE

例例4△ABC中，AD、BE、CF是三边对应中线。（则O为重⼼心）

求证：①AD、BE、CF交于点O。（类倍⻓长中线）；②

练习

1、在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD∠CAD，BD CD，求证：AB AC

2、如图，已知四边形ABCD中，AB CD，M、N分别为BC、AD中点，延⻓长MN与AB、

CD延⻓长线交于E、F，求证∠BEM∠CFM

3、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM （基本型：同⻆角或等⻆角的补⻆角相等、K型）

2、两条平⾏行行线间线段的中点（“⼋八字型”全等）

如图，∥，C是线段AB的中点，那么过点C的任何

直线都可以和⼆二条平⾏行行线以及AB构造“8字型”全等

例例1已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是AB的中点，连接DE、CE。

求证：

例例2如图，在平⾏行行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，∠CEM=40°，求∠DME的⼤大⼩小。（提示：直⻆角三⻆角形斜边中线等于斜边的⼀一半）

例例3已知△ABD和△ACE都是直⻆角三⻆角形，且∠ABD∠ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。⑴求证：MB MC；⑵设∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE 移⾄至图示位置，此时MB MC是否成⽴立？请证明你的结论。