全等三角形经典证明方法归类

【第1部分全等基础知识归纳、⼩小结】1、全等三⻆角形的定义：能够完全重合的两个三⻆角形叫全等三⻆角形。

两个全等三⻆角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的⻆角叫对应⻆角。

概念深⼊入理理解：（1）形状⼀一样，⼤大⼩小也⼀一样的两个三⻆角形称为全等三⻆角形。

（外观⻓长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三⻆角形称为全等三⻆角形。

（位置变化）2、全等三⻆角形的表示⽅方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三⻆角形全等时，通常把表示对应顶点的字⺟母写在对应的位置上。

3、全等三⻆角形的性质：全等是⼯工具、⼿手段，最终是为了了得到边等或⻆角等，从⽽而解决某些问题。

（1）全等三⻆角形的对应⻆角相等、对应边相等。

（2）全等三⻆角形的对应边上的⾼高，中线，⻆角平分线对应相等。

（3）全等三⻆角形周⻓长，⾯面积相等。

4、寻找对应元素的⽅方法（1）根据对应顶点找如果两个三⻆角形全等，那么，以对应顶点为顶点的⻆角是对应⻆角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三⻆角形全等时，对应顶点的字⺟母都写在对应的位置上，因此，由全等三⻆角形的记法便便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三⻆角形对应⻆角所对的边是对应边，两个对应⻆角所夹的边是对应边；图3图1图2（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三⻆角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中⼀一个是由另⼀一个经过下列列各种运动⽽而形成的；运动⼀一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三⻆角形的判定：（深⼊入理理解）①边边边（SSS）②边⻆角边（SAS）③⻆角边⻆角（ASA）④⻆角⻆角边（AAS）⑤斜边，直⻆角边（HL）注意：（容易易出错）（1）在判定两个三⻆角形全等时，⾄至少有⼀一边对应相等（边定全等）；（2）不不能证明两个三⻆角形全等的是，㈠三个⻆角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中⼀一⻆角对应相等，即SSA。

全等三⻆角形是研究两个封闭图形之间的基本⼯工具，同时也是移动图形位置的⼯工具。

在平⾯面⼏几何知识应⽤用中，若证明线段相等或⻆角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三⻆角形的知识。

6、常⻅见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如：⑴过点A作BC的平⾏行行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线，垂⾜足为D⑶延⻓长AB⾄至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分线，交AC于D⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点同⼀一条辅助线，可以说法不不⼀一样，那么得到的条件、证明的⽅方法也不不同。

【第2部分中点条件的运⽤用】1、还原中⼼心对称图形（倍⻓长中线法）中⼼心对称与中⼼心对称图形知识：把⼀一个图形绕着某⼀一个点旋转180°，如果它能够与另⼀一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中⼼心对称，这个点叫做对称中⼼心。

这两个图形中的对应点叫做关于中⼼心的对称点。

中⼼心对称的两条基本性质：（1）关于中⼼心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中⼼心，⽽而且被对称中⼼心所平分。

（2）关于中⼼心对称的两个图形是全等图形。

中⼼心对称图形把⼀一个图形绕着某⼀一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中⼼心对称图形，这个点就是它的对称中⼼心。

（⼀一个图形）如：平⾏行行四边形线段本身就是中⼼心对称图形，中点就是它的对称中⼼心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。

例例1、AD是△ABC中BC边上的中线，若AB2，AC4，则AD的取值范围是_________。

例例2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上⼀一点，延⻓长BE交AC于F，AF EF，求证：AC BE。

例例3、如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线。

求证：AC=2AE例例4△ABC中，AD、BE、CF是三边对应中线。

（则O为重⼼心）求证：①AD、BE、CF交于点O。

（类倍⻓长中线）；②练习1、在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD∠CAD，BD CD，求证：AB AC2、如图，已知四边形ABCD中，AB CD，M、N分别为BC、AD中点，延⻓长MN与AB、CD延⻓长线交于E、F，求证∠BEM∠CFM3、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM （基本型：同⻆角或等⻆角的补⻆角相等、K型）2、两条平⾏行行线间线段的中点（“⼋八字型”全等）如图，∥，C是线段AB的中点，那么过点C的任何直线都可以和⼆二条平⾏行行线以及AB构造“8字型”全等例例1已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是AB的中点，连接DE、CE。

求证：例例2如图，在平⾏行行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，∠CEM=40°，求∠DME的⼤大⼩小。

（提示：直⻆角三⻆角形斜边中线等于斜边的⼀一半）例例3已知△ABD和△ACE都是直⻆角三⻆角形，且∠ABD∠ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。

⑴求证：MB MC；⑵设∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE 移⾄至图示位置，此时MB MC是否成⽴立？请证明你的结论。

练习1、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．若BD=BC，F是CD的中点，试问：∠BAF与∠BCD的⼤大⼩小关系如何？请写出你的结论并加以证明；2、Rt△ABC中，∠BAC=90°，M为BC的中点，过A点作某直线，过B作于点D，过C作于点E。

（1）求证：MD=ME（2）当直线与CB的延⻓长线相交时，其它条件不不变，（1）中的结论是否任然成⽴立？3、如图（1），在正⽅方形ABCD和正⽅方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同⼀一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量量关系，并证明；（2）将图（1）中的正⽅方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正⽅方形CGEF的对⻆角线CE恰好与正⽅方形ABCD的边BC在同⼀一条直线上，原问题中的其他条件不不变。

（1）中得到的两个结论是否发⽣生变化？写出你的猜想并加以证明。

（结合前⾯面“8字型”全等，仔细思考）3、构造中位线三⻆角形中位线定义：连接三⻆角形两边中点的线段叫做三⻆角形的中位线三⻆角形中位线性质：三⻆角形的中位线平⾏行行于第三边并且等于第三边的⼀一半．重点区分：要把三⻆角形的中位线与三⻆角形的中线区分开，三⻆角形中线是连结⼀一顶点和它对边的中点；⽽而三⻆角形中位线是连结三⻆角形两边中点的线段。

（全等法）在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，证明：DE∥BC，DE=BC证明：延⻓长DE⾄至F点，使DE=EF，连接CF（倍⻓长中线）三⻆角形的中位线在位置关系和数量量关系⼆二⽅方⾯面把三⻆角形有关线段联系起来，将题⽬目给出的分散条件集中起来（集散思想）。

注：题⽬目中给出多个中点时，往往中点还是不不够⽤用的。

例例1在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平⾏行行四边形。

例例2已知四边形ABCD的对⻆角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的⼤大⼩小关系并加以证明吗？练习1、三⻆角形ABC中，AD是∠BAC的⻆角平分线，BD⊥AD，点D是垂⾜足，点E是边BC的中点，如果AB=6，AC=14，求DE的⻓长。

2、AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲从B出发，沿着BA->AD->DF的⽅方向运动，⼄乙B出发，沿着BC->CE->EF的⽅方向运动，如果两⼈人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F点？3、等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，∠ACB=∠EDC=90°，连AE、BE，点M为BE的中点，连DM。

（1）当D点在BC上时，求的值（2）当△CDE绕点C顺时针旋转⼀一个锐⻆角时，上结论是否任然成⽴立，试证明4、△ABC、△CEF都为等腰直⻆角三⻆角形，当E、F在AC、BC上，∠ACB=90°，连BE、AF，点M、N分别为AF、BE的中点（1）MN与AE的数量量关系（2）将△CEF绕C点顺时针旋转⼀一个锐⻆角，MN与AE的数量量关系4、与等⾯面积相关的图形转换在涉及三⻆角形的⾯面积问题时，中点提供了了底边相等的条件，这⾥里里有个基本⼏几何图形如图，△ABC中，E为BC边的中点，那么显然△ABE和△AEC有相同的⾼高AD，底边也相等，故⾯面积相等。

例例E、F是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则=扩展如图，等腰Rt△ACD与Rt△ABC组成⼀一个四边形ABCD，AC=4，对⻆角线BD把四边形ABCD分成了了⼆二部分，求的值。

【5、等腰三⻆角形中的“三线合⼀一”】“三线合⼀一”是相当重要的结论和解题⼯工具，它告诉我们等腰三⻆角形与直⻆角三⻆角形有着极为亲密的关系。

例例△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，问∠CBD和∠BAC的关系？分析：∠CBD和∠BAC分别位于不不同类型的三⻆角形中，可以考虑转为同类三⻆角形。

例例在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN=_____【6、直⻆角三⻆角形斜边上的中线等于斜边的⼀一半】这可以作为⼀一个定理理直接运⽤用，关于这个定理理的证明有多种⽅方法，包括利利⽤用前⾯面所讲中点的⼀一些知识。

例例如图Rt△ABC中，∠ACD=90°，CD为斜边AB上的中线求证：CD=AB（1）利利⽤用垂直平分线的性质：垂直平分线上任⼀一点到线段的⼆二个端点的距离相等。

取AC的中点E，连接DE。

则DE∥BC（中位线性质）∠ACB=90°BC⊥AC，DE⊥AC则DE是线段AC的垂直平分线AD=CD（2）全等法，证法略略。

例例在三⻆角形ABC中，AD是三⻆角形的⾼高，点D是垂⾜足，点E、F、G分别是BC、AB、AC 的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。

练习1、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB，M、N分别在AC、AB上，且AN=BM。

O为斜边BC的中点。

试判断△OMN的形状，并说明理理由。

2、ΔABC中，∠A=90°，D是BC的中点，DE⊥DF。

求证:（集散思想）3、ΔABC中，AB=AC，点D在BC上，E在AB上，且BD=DE，点P、M、N分别为AD、BE、BC的中点（1）若∠BAC=90°，则∠PMN=_______，并证明（2）若∠BAC=60°，则∠PMN=_______（3）若∠BAC=，则∠PMN=_______【中点问题练习题】1、假设给出如下定义：有⼀一组相邻内⻆角相等的四边形叫做等邻⻆角四边形．请解答下列列问题：（1）写出⼀一个你所学过的特殊四边形中是等邻⻆角四边形的图形的名称；（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延⻓长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻⻆角四边形；（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不不变，EF与CD交于点H，是否存在等邻⻆角四边形，若存在，是哪个四边形，不不必证明；若不不存在，请说明理理由．2、已知：△ABC和△ADE都是等腰直⻆角三⻆角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延⻓长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量量关系为_________________，写出证明过程。