2020_2021学年高中数学5.2.3简单复合函数的导数课后提升训练(含解析)新人教A版选择性必修第二册

新教材高中数学课后提升训练：第五章一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数课后篇巩固提升基础达标练1.下列函数不是复合函数的是( ) A .y=-x 3-1x +1 B .y=cos x+π4 C .y=1lnxD .y=(2x+3)4不是复合函数,B 、C 、D 均是复合函数,其中B 是由y=cos u ,u=x+π4复合而成;C 是由y=1u ,u=ln x 复合而成;D 是由y=u 4,u=2x+3复合而成.2.(2020安徽高二期末)函数f (x )=sin 2x 的导数是 ( )A.2sin xB.2sin 2xC.2cos xD.sin 2xy=sin 2x 写成y=u 2,u=sin x 的形式.对外函数求导为y'=2u ,对内函数求导为u'=cos x ,故可以得到y=sin 2x 的导数为y'=2u cos x=2sin x cos x=sin2x ,故选D .3.(2020福建高二期末)已知函数f (x )=sin2xx,则f'(x )=( )A.xcos2x -sin2xx 2B.xcos2x+sin2xx 2 C.2xcos2x -sin2xx 2D.2xcos2x+sin2xx 2f (x )=sin2xx ,故f'(x )=(sin2x )'x -sin2x ·x 'x 2=2xcos2x -sin2xx 2,故选C .4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a )相切,则a 的值为( ) A.1B .2C .-1D .-2(x 0,x 0+1),依题意有{1x 0+a=1,x 0+1=ln (x 0+a ),由此得x 0+1=0,x 0=-1,a=2.5.(多选)设函数f (x )=cos(√3x+φ)(0<φ<2π),若f (x )+f'(x )是奇函数,则φ的可能取值为( ) A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析f'(x )=-√3sin(√3x+φ),f (x )+f'(x )=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)=2sin √3x+φ+5π6.若f (x )+f'(x )为奇函数,则f (0)+f'(0)=0, 即0=2sin φ+5π6,因此φ+5π6=k π(k ∈Z ).又因为φ∈(0,2π),所以φ=π6或φ=7π6.6.(2020海南中学高二期末)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x ),且f (ln x )在x=e 处的导数为1e2,则f'(1)= .g (x )=f (ln x ),由复合函数的求导法则可得g'(x )=1x f'(ln x ).由题意可得g'(e)=1e f'(1)=1e 2,解得f'(1)=1e .故答案为1e .7.若曲线y=x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 ,切线方程为 .P (x 0,y 0).∵y=x ln x ,∴y'=ln x+x ·1x=1+ln x.∴k=1+ln x 0.又k=2,∴1+ln x 0=2,∴x 0=e .∴y 0=elne=e.∴点P 的坐标是(e,e).故切线方程为y-e =2(x-e),即2x-y-e =0.2x-y-e =08.(2020江苏高三开学考试)已知函数f (x )=m ln x 图象与函数g (x )=2√x 图象在交点处切线方程相同,则m 的值为 .f (x )和g (x )的交点为(x 0,y 0),则由f (x )=m ln x ,得f'(x )=m,∴f (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 1=mx 0,同理,函数g (x )在(x 0,y 0)处的切线方程的斜率k 2=√x0x 0,∵f (x )和g (x )在交点处切线方程相同, ∴k 1=k 2,即m x 0=√x 0x 0,①又y0=f(x0)=m ln x0,②y0=g(x0)=2√x0,③由①②③解得,m=e.9.求下列函数的导数.(1)y=e2x+1;(2)y=1(2x-1)3;(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.函数y=e2x+1可看作函数y=e u和u=2x+1的复合函数,∴y x'=y u'·u x'=(e u)'(2x+1)'=2e u=2e2x+1.(2)函数y=1(2x-1)3可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,∴y x'=y u'·u x'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-6(2x-1)4.(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,∴y x'=y u'·u x'=(5log2u)'·(1-x)'=-5uln2=5(x-1)ln2.(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin x的复合函数,函数y=sin3x可看作函数y=sin v和v=3x 的复合函数.∴y x'=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'=3u2·cos x+3cos v=3sin2x cos x+3cos3x.能力提升练1.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.1解析依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'x=0=-2e-2×0=-2.曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x ,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x 的图象,因为直线y=-2x+2与y=x 的交点坐标是23,23,直线y=-2x+2与x 轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23=13.2.已知点P 在曲线y=4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A.0,π4B.π4,π2C.π2,3π4 D.3π4,π解析因为y=4e x +1,所以y'=-4e x(e x +1)2=-4e xe 2x +2e x +1=-4e x +1ex +2.因为e x >0,所以e x +1ex ≥2,所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈3π4,π.3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=12x+b 能作为下列( )函数的图象的切线. A.f (x )=1x B.f (x )=x 4 C.f (x )=sin xD.f (x )=e xf (x )=1x ,得f'(x )=-1x 2=12,无解,故A 排除;由f (x )=x 4,得f'(x )=4x 3=12,故x=12,即曲线在点12,116的切线为y=12x-316,B 正确;由f (x )=sin x 2,得f'(x )=12cos x 2=12,取x=2k π,k ∈Z ,当k=0时,x=0,故曲线在点(0,0)的切线为y=12x ,C 正确;由f (x )=e x ,得f'(x )=e x =12,故x=-ln2,曲线在点-ln2,12的切线为y=12x+12ln2+12,D 正确,故选BCD .4.曲线y=sin 2x 在点(0,0)处的切线方程为 .y=f (x )=sin2x ,∴f'(x )=2cos2x.当x=0时,f'(0)=2,得切线的斜率为2, 所以k=2.所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.故答案为2x-y=0.x-y=05.函数y=ln e x1+e x 在x=0处的导数为 .ln e x1+e x =lne x-ln(1+e x)=x-ln(1+e x),则y'=1-ex1+e x.当x=0时,y'=1-11+1=12.6.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则x>0时,f(x)的解析式为,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=ln x-3x(x>0).当x>0时,f'(x)=1x-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.(x)=ln x-3x y=-2x-17.(1)已知f(x)=eπx sin πx,求f'(x)及f'12;(2)在曲线y=11+x2上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.∵f(x)=eπx sinπx,∴f'(x)=πeπx sinπx+πeπx cosπx=πeπx(sinπx+cosπx).∴f'12=πeπ2sinπ2+cosπ2=πeπ2.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知y'x=x0=0.又y'=-2x(1+x2)2,∴y'x=x0=-2x0(1+x02)2=0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.素养培优练用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2021,则有f(x)=g'(x).而由等比数列求和公式可得g(x)=x(1-x 2021)1-x =x-x20221-x,于是f(x)=g'(x)=x-x20221-x'=(1-2022x 2021)(1-x)+(x-x2022) (1-x)2=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2,即1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2.。