概率论3.3
概率论基础3.3
例6 设X～U(0,1), 求Y=ax+b的概率密度(a≠0)。
y b ， 解: Y=ax+b关于x严单, 其反函数为 h( y ) a
y b 1 故 fY ( y) f [h( y)] | h( y) | f X ( ) a a
1 0 x 1 而 f X ( x) 0 others
a X
i 1 i
n
i
~ N ( ai i , ai2 i2 )
i 1 i 1
n
n
EX 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X (kg)服从
N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000 kg, 问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超 过0.05。
解:设最多装 n袋水泥，Xi为第i袋水泥的重量。 n 2 X ~ N ( 50 n , 2 . 5 n), 则 i 由题意有：P{ X i 2000 } 0.05
FM ( z ) Fi ( z ),
i 1
则，M 和 N 的分布函数分别为： n n
i 1
FN ( z ) 1 [1 Fi ( z )]
特别地，当X1, X2, …, Xn独立同分布时，有
FM(z)＝[F(z)] ; FN(z)＝1－[1－F(z)] .
进一步，若X1, X2, …, Xn独立同分布，其公共密度 为f (x)，则M和N的密度函数可由以下二式表出
y
f Z ( z)
或
f
X
( x) f Y ( z x)dx
x+y z
x+y=z x
＝ f X ( z y ) f Y ( y ) dy
EX 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，
概率论与数理统计3.3条件分布
f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P{ X
1 |Y
0}
P{ X
1 ,Y 2
0}
2
P{Y 0} y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
x
2
12
条件分布
例 设二维随机变量 (X ,Y )服从正态分布,即有
X， Y ~
N
1，
2，
2，
1
2，
0 x y 1,
所以,当0<y<1时
0,
其 它.
fY y
f
x，
ydx
y
0
1 1 x
dx
ln1
y
y.
所以,随机变量Y的密度函数为
1
fY
y
ln1
0,
y,
0 y 1, 其 它.
0
1x
16
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论 二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即
N
1
1 2
y
2
，
2 1
1 2
14
条件分布
例 设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布,当 0<x<1时,随机变量Y在X=x的条件下服从区间(x,1) 上的均匀分布,试求随机变量Y的密度函数.
高中数学第3章概率3.3几何概型(2)教案苏教版必修3
3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：〔问题导入〕以下图是卧室与书房地砖示意图，图中每一块地砖除颜色外完全一样，小猫分别在卧室与书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上概率大？卧室〔书房〕设计思路二：〔情境导入〕在概率论开展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果随机试验是不够，还必须考虑有无限多个试验结果情况.例如一个人到单位时间可能是8：00 至9：00之间任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中任何一点……这些试验可能出现结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全一样，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留可能性一样，对于这样一个随机事件概率，有如下结论：对于一个随机试验，如果我们将每个根本领件理解为从某特定几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到时机都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件概率模型，它特点是：〔1〕试验中所有可能出现结果，也就是根本领件有无限多个. 〔2〕根本领件出现可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中有限性推广到无限性，而保存等可能性，这就是几何概型.几何概型概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内〞为事件A ，那么事件A 发生概率为P(A)= .这里要求D 测度不为0，其中“测度〞意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形与立体图形时，相应“测度〞分别是长度、面积与体积等.对于导入思路二：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型.〔2〕几何概型概率公式：P 〔A 〕=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 〔3〕几何概型特点：1°试验中所有可能出现结果〔根本领件〕有无限多个.2°每个根本领件出现可能性相等.应用例如思路1例1 取一个边长为2a 正方形及其内切圆〔如下图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，豆子落入圆中概率应该等于圆面积与正方形面积比.解：记“豆子落入圆内〞为事件A ，那么 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内概率为4π.点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件概率类型虽然每一个事件发生都是等可能，但是几何概型是有无数个根本领件情形，古典概型是有有限个根本领件情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：〔1〕在Excel 软件中，选定A1，键入“=〔rand 〔〕-0.5〕*2”. 〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V〞.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上均匀随机数.〔3〕选定D1，键入“=power 〔A1，2〕+ power 〔B1，2〕〞；再选定D1，按“ctrl+C〞；选定D2～D1 000，按“ctrl+V〞，那么D列表示A2+B2.〔4〕选定F1，键入“=IF〔D1＞1，1，0〕〞；再选定F1，按“ctrl+C〞；选定F2～F1 000，按“ctrl+V〞，那么如果D列中A2+B2＞1，F列中值为1，否那么F列中值为0.〔5〕选定H1，键入“FREQUENCY〔F1：F10，0.5〕〞，表示F1～F10中小于或等于0.5个数，即前10次试验中落到圆内豆子数；类似，选定H2，键入“FREQUENCY〔F1：F20，0.5〕〞，表示前20次试验中落到圆内豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY 〔F1：F50，0.5〕〞，表示前50次试验中落到圆内豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY〔F1：F100，0.5〕〞，表示前100次试验中落到圆内豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY〔F1：F500，0.5〕〞，表示前500次试验中落到圆内豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY〔F1：F1 000，0.5〕〞，表示前1 000次试验中落到圆内豆子数.〔6〕选定I1，键入“H1*4/10〞，表示根据前10次试验得到圆周率π估计值；选定I2，键入“H2*4/10〞，那么I2为根据前20次试验得到圆周率π估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′概率.所以，当点M 位于以下图中线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d测度就是线段AC′长度，区域D测度就是线段AB长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=.2.答：AM小于AC′概率为2变式训练：假设将例2改为：如以下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC概率.解：此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能.公式中区域D是∠ACB〔内部〕，而区域d求法应该与原题是一样，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度〔如图〕，那么区域d就是∠ACC′〔内部〕.从而区域d测度就是∠ACC′度数，区域D测度就是∠ACB度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件概率为.点评：由此可见，背景相似问题，当等可能角度不同时，其概率是不一样.此题可参考习题3.3第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在12 点到下午5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内各时刻到达是等可能，且二人互不影响.求二人能会面概率.分析：两人相约时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示是一个带状，位于正方形内图形，由于两人到达时刻是随机，而且，在每一个时刻到达可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中阴影局部.所有点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能，所以落在正方形内各点是等可能，符合几何概型条件.二人会面条件是：|X －Y|≤1,故正方形面积为5×5=25，阴影局部面积为5-2×21×42259. 点评： 建立适当数学模型，是解决几何概型问题关键.对于“碰面问题〞可以模仿此题建立数学模型.例4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在以下区域概率：(1)编号为25区域；(2)编号在6到9之间区域；(3)编号为奇数区域.〔每一个小区域面积一样〕分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子每一个位置可能性一样，因此，符合几何概型特点.解： 假设靶子每一个区域面积为1个单位，那么靶子所在圆面积为28个单位.〔1〕记事件A 为“飞镖扎在编号为25区域〞，那么P(A)= 281. 〔2〕记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间区域〞，那么P(B)= .〔3〕记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数区域〞，那么P(C)=.答：〔1〕飞镖扎在编号为25区域概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间区域概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数区域概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供信息进展分析，寻找适当解题方法，是解决此题要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子概率是多少分析：病种子在这1 L 种子中分布可以看作是随机，取得10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子〞这一事件记为A ，那么 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器任何一个位置，而且在每一个位置可能性一样，符合几何概型特点，所以运用几何概型概率计算方法来解决此题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)概率是多少？分析：由于两人到达与离开时刻是随机，而且，在每一个时刻到达或离开可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能，所以符合几何概型条件.根据题意，只要点落到阴影局部，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)==87.5%.点评：建立适当数学模型，该模型符合几何概型特点，这是解答此题关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间均匀随机数，Y也是0到1之间均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟方法：〔1〕选定A1，键入函数“=rand〔〕〞；〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V〞.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上均匀随机数.用A列数加7表示父亲离开家时间，B列数加6.5表示送报人送到报纸时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，那么表示父亲在离开家前能得到报纸.〔3〕选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C〞，选定D2D50，按“ctrl+V〞.〔4〕选定E1，键入函数“=FREQUENCY〔D1：D50，-0.5〕〞，E1表示统计D列中小于或等于-0.5数个数，即父亲在离开家前不能得到报纸频数.〔5〕选定F1，键入“=〔50-E1〕/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸频率.下面是我们在计算机上做50次试验，得到结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形两直角边长都是0到1之间随机数，试求斜边长小于34事件概率.分析：由于直角边长是0到1之间随机数，因此设两直角边长分别为x,y，而x,y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示图形任何一个位置，而且在每个位置可能性一样，满足几何概型特点.解：设两直角边长分别为x,y，那么0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，如右图，样本空间为边长是1正方形区域，而满足条件事件所在区域面积为.因此，所求事件概率为P=.点评：根据条件，构造满足题目条件数学模型，再运用几何概型概率计算方法来计算某个事件发生概率，是一种常用求解概率问题方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面概率.分析：当两人到达碰面地点时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点时间.解： 运用转盘模拟方法.具体步骤如下：〔1〕做两个带指针〔分针〕转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；〔2〕每个转盘各转m 次，并记录转动得到结果，以第一个转盘结果x 表示甲到达碰面地点时间，以第二个转盘结果y 表示乙到达碰面地点时间；〔3〕统计两人能碰面〔满足|x －y|<20〕次数n ；〔4〕计算m n 值，即为两人能碰面概率近似值〔理论值为95〕. 点评：实施模拟方法除了转盘模拟方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：〔1〕新建一个电子表格文件，在A1位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60随机数x ；〔2〕将A1位置处表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60随机数y ；〔3〕在C1位置处输入：=IF 〔A1-B1<=-20，0，IF 〔A1-B1<20，1，0〕，判断两人能否碰面〔即是否满足|x －y|<20〕，如果是，就返回数值1，否那么返回数值0；〔4〕将第一行三个表达式复制100行，产生100组这样数据，也就是模拟了100次这样试验，并统计每次结果；〔5〕在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面频率，即事件“两人能碰面〞发生概率近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型条件，区域d测度是60，区域D测度是360，根据几何概型概率计算公式，得P(A)=.5.运用计算机模拟结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题背景，判断是否符合几何概型特点，如是那么选择符合题意“测度〞，运用求几何概型概率方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题模拟方法来模拟得到问题近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题概率，以及运用模拟方法求某一个事件概率近似值.结合上节课内容可以知道，几何概型概率问题仍然是随机事件概率，与古典概型区别是古典概型所含根本领件个数是有限个，而几何概型所包含根本领件个数是无限.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：〔1〕与长度有关几何概型；〔2〕与面积有关几何概型；〔3〕与体积有关几何概型；(4)与角度有关几何概型.其中我们对与面积有关几何概型与与体积有关几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型又一随机事件概率模型，在解决实际问题时首先根据问题背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者区别在于构成该事件根本领件个数是有限个还是无限个.在使用几何概型概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生概率只与构成该事件区域长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣量〔如概率值、常数〕有关，然后设计适当试验，并通过这个试验结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用方法.习题详解1.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上位置是随机，也就是说灯挂在绳子上位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型条件，根据P=，得P(A)= .答：灯与两端距离都大于2 m概率为13.2.记A={所投点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入大正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入小正方形内概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投点落入小正方形内概率为94.3.记A={所投点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入矩形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入梯形内部概率应该等于梯形面积与矩形面积比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投点落在梯形内部概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型条件，根据几何概型求概率计算公式，得P(A)=. 答：乘客到达站台立即乘上车概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点〞概率比拟困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，再求“硬币落下后与格线有公共点概率〞.解：因为直径等于2 cm 硬币投掷到正方形网格上是随机，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型条件.要求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，根据几何概型求概率计算公式：P(A)=，因为每个小正方形边长都等于6 cm ，硬币直径为2 cm ，设有n 个小正方形，那么区域d 测度为n·π·12，区域D 测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点〞概率为，而事件“硬币落下后与格线有公共点〞是“硬币落下后与格线无公共点〞对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点〞概率为1－36π.答：硬币落下后与格线有公共点概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆内接等边三角形〔如图1〕.因为三角形内角A 所对弧，占整个圆周31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦长度才能超过正三角形边长a ，故所求概率是31.解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 直径PQ.过点P 作圆内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 中点M 〔如图2〕.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直弦，如果通过MN 线段，其弦心距均小于QN ，那么该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形内切圆〔如图3〕，这个圆是大圆同心圆，而且它半径是大圆21，它面积是大圆4141. 图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法前提条件各不一样：第一种假设了弦端点在四周上均匀分布；第二种假设弦中点在直径上均匀分布；第三种假设弦中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同答案.这是因为在那时候概率论一些根本概念〔如事件、概率及可能性等〕还没有明确定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格理论根底，这样，对同一问题可以有不同看法，以致产生一些奇谈怪论.。
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
概率论与数理统计14 3.2 边缘分布3.3独立性
• 设联合概率分布
pij P{ X xi , Y y j } i , j 1,2,
{ X xi } { X xi , Y y j }
P{ X xi } P{ X xi , Y y j } pij i 1,2,
j 1
• 同理:
2 1 2 2
[
( x 1 ) 2
2
( x 1 )( y 2 )
( y 2 )2
]}
• 例 某码头只能容纳一只船.现预知某日 将来到甲乙两只船,且在24小时内来到的 可能性相等.如果两船需要停靠的时间均 为3小时,试求甲船在江中等待的概率. • 解 设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间, • 则(1)
• 所求概率为
P{0 X Y 3}
0 x y 3
f ( x, y)dxdy
P { 0 X Y 3} 1 2 dxdy 24 D 1 24 2 212 2( ) 24 2 2 0.11
• 问X,Y是否相互独立? •解 2 1 x2
1 x 1 f X ( x) 0 其它 2 1 y2 1 y 1 fY ( y ) 0 其它 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) X , Y不相互独立
1 0 x 24 f X ( x ) 24 其它 0 1 0 y 24 fY ( y ) 24 其它 0
• (2)X,Y相互独立
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 2 0 x 24, 0 y 24 24 其它 0 • A=“甲船在江中等待”={0 X Y 3}
概率论-3.3 条件分布
同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为：
Y k
01
PY k | X 1 1 3
44
2020年4月26日星期日
3
目录
上页
下页
返回
二、连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
lim
0
PY
y
|
x
X
x
lim
0
Px X x ,Y Px X x
y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。记为 FY|X ( y | x)
由于
FY |X
(y
|
x)
lim
0
PY
y
|
x
X
x
Px X x ,Y y
lim 0
Px X x
2020年4月26日星期日
4
目录
上页
下页
返回
lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
布律定义为：
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pij , j 1, 2,L pi
2020年4月26日星期日
1
目录
上页
下页
返回
例：已知(X, Y)的分布律如下:
X
求:(1).已知 Y=1的条件下X的
Y
0 1 p j 条件分布律。
0 0.4 0.1 0.5
x
e y y
,
0,
x 0, y 0, 其它.
因此
P
X 1Y y
概率论3
P(X 2) 1 P(X 1) 1 P(X 0) P(X 1) 1 C50 0.4500.555 C510.4510.554 1 0.555 5 0.45 0.554 0.744
例3-1 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯 敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚 导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999? 解 设需要发射n枚导弹，则击中敌机的导弹数是随机 变量X~B(n,0.96),则
0
1
k
n
X ~ Cn0 p0qn
Cn1 p1qn1
Cnk pk qnk
Cnn
p
n
q0
n
( px q)n
C
k n
pk
q
nk
xk
k 0
n
n
所以， b(k; n, p) Cnk p k q nk ( p 1 q)n 1n 1
k 0
k 0
特别地，n=1时，二项分布为二值分布，其分布列
射手甲在一次射击中得分X的概率分布为：
0 1 2
e1
X ~ 0 0.2 0.8
e2
射手乙在一次射击中得分Y的概率分布为：
Y
~
0 0.6
1 0.3
2 0.1
Y的概率分布(律)为：
0 Y ~ 0.6
1 0.3
2 0.1
计算Y的分布函数F(x)=P(Y<x):
当x≤0时， F(x)=P(Y<x)=P()=0
X=X (w) w
X=X(w0)=0, X=X(w1)=1, X=X(w2)=2, …, X=X(w100)=100 事件“废品数少于50”={w : X (w) <50}
概率论与随机过程：3.3 条件分布
1, n1
m=1,2, …,n-P{X m,Y n}
P{X m}
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1 p(1 p) , nm1 n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布
1. 条件分布函数
在讨论二维连续型随机变量(X,Y)的条件分布时，
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某 些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是所谓的条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随
机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和
身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定
的概率分布.
身高Y
体重X
的分布
体重X
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下 去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学 生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑 出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.
例如：P( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P(Y y j | X xi ) 1
(1)
P{ X
j 1
xi |Y
yj}
pij p• j
0,
P{Y
yj
|
X
xi }
pij pi•
0,
(2)
P{Y
j 1
yj | X
xi }
j 1
pij pi•
1 pi•
j 1
y x
( f (u,v)d u)d v
lim 0
x x
fX (u)d u
x y
f (x,v)dv
y
f (x,v) dv
概率论与数理统计--- 随机变量的独立性
F(x, y) = F (x)⋅ F ( y) = ∫−∞ fX(u)du⋅ ∫−∞ fY(v)dv = ∫−∞∫−∞ fX (u) fY (v) dudv X Y
对 F(x,y)求二阶 偏导即得联合密度 ( , ) f (x, y) = fX (x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y) 任 实 x ： “⇐”若 f (x, y) = fX(x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y), 则 任 实 x
0 0 0.2 x −5 y
dy =0.3697
甲乙两人约定中午12时 分在某地会面 分在某地会面. 例4 甲乙两人约定中午 时30分在某地会面 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀 如果甲来到的时间在 到 之间是均匀 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在 而且到达时间在12:00到 分布 乙独立地到达 而且到达时间在 到 13:00之间是均匀分布 试求先到的人等待另一 之间是均匀分布. 之间是均匀分布 人到达的时间不超过5分钟的概率 分钟的概率. 人到达的时间不超过 分钟的概率 又甲先到的 概率是多少？ 概率是多少？ 为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 解: 设X为甲到达时刻 为乙到达时刻 为甲到达时刻 时为起点,以分为单位 依题意, 以12时为起点 以分为单位 依题意 时为起点 以分为单位,依题意 X~U(15,45), Y~U(0,60)
例: 设 ( X , Y ) 的联合密度函数
4 xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y ) = . 其它 0
Байду номын сангаас
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x) =
概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)
P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
x1}
P
xn1
X
xn
n1
P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上 的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)
F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )
概率论第三章
8 July 2010
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) ≥ 0. (非负性) (2) (正则性)
注意: P{(X,Y) ∈D} = ∫∫ p(x, y)dxdy
D
8 July 2010
3.1.5
一,多项分布
常用多维分布 常用多维分布
若每次试验有r 种结果:A1, A2, ……, Ar 记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r 记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为:
2x
+∞
1 2x +∞ 1 3y +∞ = A e × e 2 0 3 0
=A/6 所以, A=6
8 July 2010
例3.1.4
6e(2x+3y) , x ≥ 0, y ≥ 0 若 (X, Y) ～ p( x, y) = 其 它 0,
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
8 July 2010
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态: 若 (X, Y) N ( ), 则 XN( ), YN( ).
二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.
8 July 2010
例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布,求X 的边际密度p(x). 解: 由题意得
e y , 0 < x < y p( x, y) = 其 他 0,
求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1}=
1/2
1x x
y=x
x+y=1
= ∫ dx∫
3.3 概率论——随机变量的方差
DX ( xn EX )2 pn
n1
对于c.r.v. X ,若p.d. f .为 f ( x), DX ( x EX )2 f ( x)dx
由于方差是r.v.( X EX )2的期望，因此方差 DX
也是一个确定的常数，并且 DX 0
D( X Y ) D( X ) D(Y )
此性质可以推广到有限多个相互独立的随机 变量之和的情况.
三、Chebyshev不等式
定理 4 设随机变量 X的期望 EX和方差 DX都存在，
对于任何常数 0，有P( X
EX
)
DX 2
或者
DX P( X EX ) 1 2
注1： Chebyshev不等式给出了大 偏差发生的概率的上界， 方差愈大则上界愈大。
2 3
0 x2 ( x)dx
1
1 x2 xdx 1
0
2
这与我们对分布的直观 认识是一致的
例 6：设c.r.v.X
~
f (x)
1
xb
e a,
2a
求数学期望 EX和方差 DX
解：
EX
xf
( x)dx
x 2a
e
xb a
dx
1 2a
b
xe
xb
a dx
1 2a
b
b x
xe a dx
1 (b a) 1 (b a) b
X2 2 1 0 1 2 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
EX1 EX2 0, 但显然， 甲表比乙表走时稳定 。
一、方差的概念
定义3.3：设X为随机变量，若期望 E( X EX )2存在，
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.3、3.4(部分)参考答案
0 −z
x
y
z
0
x
p(
x,
y)
=
⎧3x, ⎩⎨0,
0 < x < 1, 0 < y < x, 其他.
试求 Z = X − Y 的密度函数．
解：方法一：分布函数法
作曲线簇 x − y = z，得 z 的分段点为 0, 1，
当 z < 0 时，FZ (z) = 0，
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 当 0 ≤ z < 1 时， FZ (z) =
0
x
pZ
(
z)
=
FZ′
(
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
1
2 1
ez, e−z
,
⎩2
z ≤ 0, z > 0.
方法二：增补变量法
（1）函数 z = x + y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， 2
18
可得
⎪⎨⎧z
=
x
+ 2
y
,
⎪⎩v = y,
有反函数
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
2z v,
z
x
dx 3xdy +
0
0
1
x
dx 3xdy =
z
x−z
z 3x 2 dx +
0
1
3xzdx =
x3
z
+
3
x2z 1
=
3
z
−
1
z3，
z
02 z2 2
当 z ≥ 1 时，FZ (z) = 1，
y
因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = X − Y 为连续随机变量，
§3.3 两个随机变量函数的分布
§3.3 两个随机变量函数的分布在实际问题中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，医学上考察某地区40岁以上的人群，用X 和Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知Z 与X ，Y 的函数关系式),(Y X g Z = 我们希望通过),(Y X 的分布来确定Z 的分布. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: （1）Y X Z +=(2) },m ax{Y X Z =和},m in{Y X Z =，其中X 与Y 相互独立. 一、 离散型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维离散型随机变量,其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i ，又),(y x g 是一个二元函数, 则(,)Z g X Y =也是一个一维离散型随机变量, 设),(Y X g Z =的所有可能取值为 ,2,1,=k z k , 则Z 的概率分布为(,){}{(,)}i j kk k ij g x y z P Z z P g X Y z P =====∑,,2,1 =k其中(,)i j kij g x y z P =∑是指若有一些(),i j x y 都使(,)i j k g x y z =，则将这些(),i j x y 对应的概率相加。
例1 设随机变量),(Y X 的概率分布如下表求（1）Z X Y =+的概率分布；（2）Z XY =的概率分布 解 由),(Y X 的概率分布可得把Z 值相同项对应的概率值合并得（1）Z X Y =+的概率分布为（2）Z XY =的概率分布例2 :若X 和Y 相互独立,且分别服从参数为21,λλ的泊松分布,求Y X Z +=的分布律.解:因,X Y 所有可能取值为012，，，，故Y X Z +=,X Y 所有可能取值为012，，，，事件{}{}Z n X Y n ==+=可以写成互不相容的事件{}X k Y n k ==-，(0,1,2,,)k n =之和，由,X Y 相互独立，所以有{}P Z n ={}P X Y n =+={}0nk P X k Y n k ====-∑，{}{}0n k P X k P Y n k ====-∑()1212!!kn k nk ee k n k λλλλ---==⋅-∑()()121201!!nk n kk ek n k λλλλ-+-==⋅-∑()()12120!!!!nk n kk e n n k n k λλλλ-+-==⋅-∑()1212!nk k n k nk e C n λλλλ-+-==⋅⋅∑()()1212!n en λλλλ-+=+()012n =，，，这表明Y X Z +=服从参数为12λλ+的泊松分布。
概率论与数理统计 3.3 c.r.v.及其概率密度
2 F ( ln 2)
1 4
概率论
三、三种重要的c.r.v.
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，记作
X ～ U(a, b)
若X ~ U (a, b),
概率论
1.对于长度l为的区间(c, c l), a c c l b,有
概率论
3.3 c.r.v.及其概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
一、 c.r.v.及其p.d.f.的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
F
x =P( X
x)
x
f
t dt
则称 X为c.r.v, 称 f (x) 为 X 的p.d.f，简称为
x t2
e 2 dt ( x )的性质 :
2π
1 0 1 ;
2
2 x R , x 1 x ;
事实上 , x 1
x t2
e 2 dt
2
1
u2
u t
e 2 du
2π x
1
x u2
1
e 2 du
2π
1 x
概率论
概率论
例 5：已知 X～N (0,1) , 求 P (1 X 2), P ( X 1.96), 概率论
有 P(X s t X s) P(X t)
证明 : X ~ Exp( ), P( X t) 1 P( X t) et ,
概率论第二章3.3-3.5 (2)
2
15
55
2、指数分布
设连续型随机变量X具有概率密度
ex x 0
f (x) 0 x0
则称X服从参数为的指数分布。记作X~e()
其分布函数为
x
1 ex
F(x) P(X x) f (t)dt
0
x0 x0
例2.23 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每
月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，
要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满
足顾客的需要？
解 用X表示每月销量，则X~P()= P(5)。由题意，要
求k，使得P(X≤k)≥0.999，即
k P( X i) k 5i e5 0.999
若X~U[a, b]，则X具有下述等可能性：
X落在区间[a, b]中任意长度相同的子区间里的概率是相同的。
即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的 位置无关。
X的分布函数
0,
F
(
x)
x 1b,
a a
,
x a, a x b, x b.
f (x)
F(x)
1 1 ba
oa
b
xo a
0, k
0,1,2,, n
n
n
P(X k)
C
k n
pk q nk
( p q)n
1
k 0
k 0
C
k n
p
k
q正n好k 是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二项分
布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为0-1
分布。
例2.19 设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批 产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分 布律。 解 （视作放回抽样检验）
396概率论考纲
396概率论考纲
摘要：
1.考试简介
2.考试大纲内容概述
3.考试大纲详细内容
3.1 随机事件与概率
3.2 随机变量及其分布
3.3 多维随机变量及其分布
3.4 大数定律与中心极限定理
3.5 数理统计
3.6 统计推断
正文：
【考试简介】
396 概率论是中国研究生入学考试数学科目中的一部分，主要考察考生对概率论与数理统计的基本概念、基本理论和基本方法的理解和运用能力。
【考试大纲内容概述】
396 概率论考试大纲主要包括随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律与中心极限定理、数理统计和统计推断等内容。
【考试大纲详细内容】
【3.1 随机事件与概率】
本部分主要考察考生对随机事件、样本空间、事件的关系与运算、条件概
率与独立性等基本概念的理解和应用。
【3.2 随机变量及其分布】
本部分主要考察考生对离散型随机变量和连续型随机变量的定义、性质、分布律、概率密度函数等基本概念的理解和应用。
【3.3 多维随机变量及其分布】
本部分主要考察考生对多维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布等基本概念的理解和应用。
【3.4 大数定律与中心极限定理】
本部分主要考察考生对大数定律、中心极限定理等基本概念的理解和应用。
【3.5 数理统计】
本部分主要考察考生对描述性统计、推断性统计、假设检验等基本概念的理解和应用。
【3.6 统计推断】
本部分主要考察考生对参数估计、假设检验等基本概念的理解和应用。
总的来说，396 概率论考试大纲涵盖了概率论与数理统计的基本内容，要求考生具备扎实的基本功和较强的应用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lim P ( X x | y Y y )
P ( X x, y Y y ) lim 0 P( y Y y )
存在， 则称为在条件Y= y下X的条件分布函数， 写成 P( X x |Y= y )，或记为 FX|Y(x|y).
同理,
2 2 1 y , | y | 1 fY ( y ) 0 ， | y | 1
P ( X m， Y n ) q n 2 p 2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
目 录 前一页 后一页 退 出
n 2
2
第三章 随机变量及其分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布列为
§3条件分布
当m=1,2,3,… 时，
P(Y n | X m) P ( X m , Y n)
| y | x, 0 x 1, 其它.
试求：）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X |Y ( x | y), fY | X ( y | x) ; （ 1
解： (1) f ( x ) X
x
1 ( 3) P ( X | Y 0). 2
y
f ( x, y)dy
自然地引出如下定义：
P ( AB) P( A | B) P( B)
§3条件分布
定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定
的 j , 若P(Y= yj )>0, 则称
P ( X xi | Y y j )
P ( X xi , Y y j ) P (Y y j )
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布列分别为：
P ( X xi ) pi pi j ,
j 1
i 1,2,
j 1,2,
前一页 后一页 退 出
P (Y y j ) p j pi j ,
i 1
目 录
第三章 随机变量及其分布
由条件概率公式
目 录
前一页
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击 到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标
所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次
数，试求 X 和 Y 的联合分布列以及条件分布列。 解： X 的取值是 1， 2， ，
Y 的取值是 2， 3， 4， ； X Y． 并且
X , Y 的联合分布列为
n 2,3,; m 1,2,, n 1.
其中q 1 p
P ( X m， Y n ) q m1 p q nm1 p q n2 p2
目 录 前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布 例1（续）
X 的边缘分布列为
0
lim[ F ( x , y ) F ( x , y )]/
0 y x
lim[ FY ( y ) FY ( y )]/
f ( u, v )dudv y fY ( y)
F ( x , y ) y d FY ( y ) dy
X， Y ~ N 1， 2，
则 X， Y 的联合密度函数为
f x， y 1
2 1
， ， r
2 2
2 1 2 1 r 2 x 1 2 2r x 1 y 2 y 2 2 1 e xp 2 2 2 1 2 2 2 1 r 1
1 f x， y f X Y x y fY y 2 12 1 r 2
x
结论：二维正态分布的 条件分布是一维正态分 ,即 布 1 2 2 y 2 ， 1 1 r N 1 r 2
第三章 随机变量及其分布
§3 条件分布
• 条件分布列
• 条件分布函数
• 条件概率密度
目 录
前一页
后一页
退 出
第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布列
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布列为
P(X= xi ,Y= yj )= pi j , i , j=1,2,...
称为随机变量 X 在Y y 的条件下的 条件密度函数.
f x， y fY X y x f X x
称为随机变量Y 在 X x 的条件下的 条件密度函数.
目 录
前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
条件密度函数的性质
§3条件分布
性质 1 对任意的 x，有
f X Y x y 0
1 P ( X , Y 0) 1 2 ( 3 ) P ( X | Y 0) P (Y 0) 2 y
1 1 (1 ) 2 3 2 2 1 4 1 1 2
yx
1 2
0
1
退 出
x
目 录
前一页
后一页
第三章 随机变量及其分布
例 3
§3条件分布
设二维随机变量 X， Y 服从二元正态分布：
目 录 前一页 后一页
退 出
例4 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},
试求：）f X ( x ), fY ( y ) ; （ 1 (2) f X |Y ( x | y), fY | X ( y | x) ;
y 1 x2
1 x2 y2 1 解 (1)由题意得: f ( x , y ) 0 其它
பைடு நூலகம்
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x , y Y y } FX |Y ( x | y ) lim 0 P{ y Y y }
F ( x, y ) F ( x, y ) lim 0 FY ( y ) FY ( y )
0
yx
1
dy 2 x , 0 x 1, x 0, 其它.
x
退 出
y x
目 录 前一页 后一页
第三章 随机变量及其分布 例 2（续）
fY ( y)
y
yx
1
dx 1 y , 0 y 1, y 1 f ( x, y )dx dx 1 y , 1 y 0, y 0, 其它.
p ij p j
, i 1,2,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布列。
目 录 前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
同样对于固定的 i, 若P(X= xi)>0, 则称
P (Y y j | X xi ) P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) pij pi
Y
f X ( x)
f ( x, y )dy
-1
1
X
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,fX(x)=0 当|x|≤1时,
y 1 x2
f X ( x)
1 x 2
dy 2 1 x 2 1 x 2
1
所以,
2 1 x 2 , | x | 1 f X ( x) 0 ， | x | 1
x
f ( u, y )du fY ( y) .
后一页 退 出 前一页
目 录
第三章 随机变量及其分布
FX |Y ( x | y )
x
f ( u, y ) du, fY ( y)
§3条件分布
称为在条件Y= y下X的条件分布函数.
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y)
性质 2
f x y dx 1
XY
简言之，f X Y x y 是密度函数．
对于条件密度函数 fY X y x 也有类似的性质．
目 录
前一页
后一页
退 出
第三章 随机变量及其分布
( 例 2 设随机变量 X , Y )的概率密度为
§3条件分布
1, f ( x, y ) 0,
1
§3条件分布
0
x
1 | y |, 0,
| y | 1 其它.
1 f ( x, y) , | y | x 1 ( 2) 当 | y | 1, f X |Y ( x | y ) 1 | y | fY ( y) 0, 其它。 1, | y | x , 0 x 1, f ( x, y)
m 1
n1
m 2 n 2
(n 1) p2qn2 ,
n 2,3,
P ( X m， Y n ) q n 2 p 2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
目 录
前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布列为
目 录 前一页 后一页 退 出
二、条件分布函数 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
P(Y y ) 0,
所以 P( X x | Y y) 无意义.
因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， P( y < Y y + )>0, 若对于任意实数 x，极限
§3条件分布
, j 1,2,
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布列。