第08章 《整式乘法与因式分解》复习
专题08 整式的乘除与因式分解(知识点串讲)(原卷版)
A．2a2+a=3a3
B．(m2)3=m5
考查题型一 幂的运算法则的应用
C．(x+y)2=x2+y2
D．a6÷a3=a3
1．（2019·浙江杭州外国语学校中考模拟）若 2m＝5，4n＝3，则 43n﹣m 的值是( )
9
A．
10
27
B．
25
C．2
D．4
2．（2019·海口市长流中学中考模拟）已知 x+y﹣4=0，则 2y•2x 的值是( )
1．（2016·江苏中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.．（2018·丹东市第十八中学中考模拟）下列计算正确的是( ).
A． x2 + x2 = x4
B． x8 x2 x4
C． x2 x3 x6
D． (x)2 x2 0
3．（2016·福建中考模拟）下列运算正确的是( )
1．（2017·安徽中考模拟） (am )m (am )2 不等于（ ）
A． பைடு நூலகம்am2 )m
B． (am a2 )m
C． am2 m2
D． (am )3 (am1)m
2．（2018·山东中考模拟）计算：（−x）3·2x 的结果是
A．−2x4 B．−2x3 C．2x4 D．2x3 3．（2018·湖南中考模拟）如果单项式－3x4a－by2 与 x3ya＋b 的和是单项式，那么这两个单项式的积是（ ）
1．（2018·湖南中考真题）下列运算正确的是（
）
A． x3·x3 x9
B． x8 x4 x2
C． ab3 2 ab6
D． 2x3 8x3
整式的乘法因式分解复习课件
因式分解
1.运用前两节所学的知识填空
1).m(a+b+c)= ma+mb+你m能. c发现这 2).(a+b)(a-b)= a2-b2 两组.等式之 3).(a+b)2= a2+2ab.+b2间区的别联吗系? 和
2.试一试 填空:
1).ma+mb+mc= m•( a+b+c )
2).a2-b2=((a+b)(a-b))
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
D. 4) -4a²+1分解因式的结果应是 （D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
B. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
整式的乘法因式分解复习课件
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 指数相减。 整式的乘法因式分解复习课件
保留在商里 作为因式。
解： (1).(2x²y)³·(–7xy²)÷(14x4y³)
=8x6y3 ·(–7xy²)÷(14x4y³)
=-56x7y5 ÷(14x4y³) = -4x3y2 解：(2).(2a+b)4÷(2a+b)²
整式的乘法因式分解复习课件
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
整式的乘除及因式分解单元复习
将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘，合并同类项 。
多项式乘多项式
定义
将两个多项式相乘，得到一个新的多 项式。
方法
根据分配律，将一个多项式的每一项 与另一个多项式的每一项相乘，再合 并同类项。
乘法公式
01
02
03
04
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
题目
计算：$frac{a^6}{a^{-3}}$
答案
$a^{6+3} = a^9$
解析
利用同底数幂的除法法则，$frac{a^6}{a^{-3}} = a^{6+3} = a^9$。
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多项式除以多项式
除法运算
将多项式的每一项分别除以被除式的每一项，再将商相加。
举例
$(x^3 + 2x^2 - x) div (x^2 - 1) = frac{x^3}{x^2} + frac{2x^2}{x^2} - frac{x}{x^2} = x + 2 - frac{1}{x}$。
03 因式分解
VS
详细描述
提公因式法是指从多项式的每一项中提取 公因子，从而将多项式化成几个整式的积 的形式。公因子必须是各项系数的公约数 以及相同字母的最低次幂的乘积。
公式法
总结词
掌握公式法能够更快速地进行因式分解。
详细描述
公式法是指利用平方差公式、完全平方公式 等数学公式进行因式分解的方法。这些公式 可以直接应用于多项式，简化因式分解的过 程。
整式的乘法与因式分解复习基础篇
整式的乘法与因式分解复习基础篇一、整式乘法基础知识 1、同底数幂的乘法：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
字母表示：a m .a n =a m+n (m 、n 都是正整数)2、幂的乘方：法则：幂的乘方：底数不变指数，指数相乘相乘。
字母表示：（a m ）n =a mn (m 、n 都是正整数)3、积的乘方：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
字母表示：（ab ）n =a n b n (n 为正整数)4、整式的乘法：A 、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
B 、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
字母表示： （a+b ）(p+q)=ap+aq+bp+bq5、同底数幂的除法：底数不变指数相减。
字母表示：a m ÷a n =a m-n (a ≠0,m,n 都是正整数，并且m ＞n) 规定：a 0=1(a ≠0), 任何不等于0的数的0次幂都等于1。
6、整式的除法：A 、单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
B 、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
7、乘法公式： （1）平方差公式：字母表示：（a+b ）(a-b)=a 2+b 2语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
（2）完全平方公式：字母表示（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们和积的2倍。
8、添括号法则：字母表示：a+b+c=a+(b+c)a －b －c=a －(b+c) 语言叙述：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
整式的乘法与因式分解复习专题
B.2x3·3x3=6x3
C.x6+x3=x2
D.(x2)4=x8
【解析】选D.A是合并同类项,结果为7x2;
B是单项式乘单项式,应为2x3·3x3=6x6;
C不能合并.
3.(2013·恩施中考)下列运算正确的是( )
A.x3·x2=x6
B.3a2+2a2=5a2
C.a(a-1)=a2-1
D.(a3)4=a7
所以 1 1 • 即a 可b得 到
42
ab 1. 2
2.(2012·柳州中考)如图,给出了正方形ABCD的面积的四个表达 式,其中错误的是( )
A.(x+a)(x+a) C.(x-a)(x-a)
B.x2+a2+2ax D.(x+a)a+(x+a)x
【解析】选C.ABCD可看作是边长为(x+a)的正方形,故A正 确,ABCD的面积也可看作是图中2个小正方形面积与两个小长 方形面积之和,故B正确,也可看作是长为(x+a)、宽为a的长方 形与长为(x+a)、宽为x的长方形面积之和,故D正确.
C.x·x3=x4
D.(2x2)3=6x5
【解析】选C.x+x=2x,所以选项A是错误的;
x6÷x2=x6-2=x4,所以选项B是错误的;
x·x3=x1+3=x4,所以选项C是正确的;
(2x2)3=23·x2×3=8x6,所以选项D是错误的,故应选C.
2.(2013·东营中考)下列运算正确的是( )
【例】(2013·资阳中考)(-a2b)2·a=
.
【教你解题】
【中考集训】
1.(2012·丽水中考)计算3a·(2b)的结果是( )
初中数学整式的乘除与因式分解知识点考点梳理
初中数学整式的乘除与因式分解知识点考点梳理一、整式的乘法整式的乘法是指对两个或多个整式进行乘法运算。
整式乘法主要包括常数与整式相乘、整式与整式相乘和整式与多项式相乘。
1.常数与整式相乘：用一个常数乘以一个整式，只要将该整式的每一项乘以该常数即可。
2.整式与整式相乘：对于两个整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法来进行乘法。
3.整式与多项式相乘：整式与多项式相乘时，要将整式中的每一项分别与多项式相乘，然后将所得的乘积合并同类项。
二、整式的除法整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的操作。
整式的除法主要涉及到多项式的除法和多项式的带余除法。
1.多项式的除法：多项式的除法要求被除式和除式都是多项式。
多项式的除法可以使用长除法的方法，将被除式从左到右每一项与除式进行相除，然后将所得商依次写下。
2.多项式的带余除法：多项式的带余除法是对多项式进行除法运算时同时求出商和余数。
在多项式的带余除法中，我们要先根据需要进行合并同类项或补零操作，然后按正常的多项式除法进行运算。
三、因式分解的基本概念因式分解是将一个整式写成多个整式的乘积的过程，这些被乘积的整式称为因式。
因式分解是整式运算中的重要部分，它在解决实际问题和简化计算中起到了重要的作用。
四、因式分解的常用方法1.提取公因式：提取公因式是指将多项式中多个项的公共因子提取出来。
提取公因式的方法是将多项式中每一项的各个因子进行相应的整理，找出它们的最大公因式。
2.公式法：公式法是指将一些特定的整式的乘积进行因式分解。
例如，平方差公式、差平方公式和完全平方公式等，都是常用的公式法。
3.组合因式法：组合因式法是根据多项式的特点，将多项式进行适当的组合，然后找出其因式。
组合因式法是一个灵活运用的方法，可以根据需要进行不同形式的组合。
五、因式分解的应用因式分解在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们解决实际问题、简化计算和求解方程等。
1.解决实际问题：通过因式分解，我们可以将实际问题转化为求解因式的问题，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。
【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。
在应用法则运算时，要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。
2．幂的乘方一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
另有：（m、n都是正整数）。
当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3。
底数有时形式不同，但可以化成相同。
要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。
3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。
即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(教师版)
A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（A）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ A ）A．–6B．6C．–9D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（D）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A）A．25B．20C．15D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（D）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝19 ．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ 3 ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝-2022 ．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15 ．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 3 ．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是124 ．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（B）A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（B）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（C）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是a3-b3．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是等边三角形三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．18．阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．（1）填空T（15，345）＝．（2）求证：当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．四、课堂小结重难点：多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。
整式的乘法和因式分解专题复习
整式的乘法与因式分解专题复习一、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：—2a2bc的系数为—2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：a2 -2ab x 1，项有a2、- 2ab、x、1，二次项为a2、- 2ab，一次项为x ,常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0,系数分别为1，-2，1，1,叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幕的乘法法则：a m LJa n= a m "( m,n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：(a • b)2|_(a b)‘ 二(a b)55、幕的乘方法则：(a m)n二a mn( m,n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。
如：(-35)2 =310幕的乘方法则可以逆用：即a mn=(a m)n=(a n)m丄 6 2 3 3 2如：4 = (4 ) = (4 )6、积的乘方法则：(ab)n二a n b n( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。
32、5 5/3、5/2、5 5 15 10 5如：(一2x y z) = (-2) *(x ) *(y ) *z = -32x y z7、同底数幕的除法法则：a m_'a n =a m* ( a = 0,m, n都是正整数，且m「n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。
如：(ab)4" (ab) = (ab)3 = a3b38 零指数和负指数；a0 =1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1a国p( a = 0, p是正整数)，即一个不等于零的数的- p次方等于这个数的p次方的精品文库倒数。
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(学生版)
3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（）A．–6 B．6 C．–9 D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）,A．25 B．20 C．15 D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是．}5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣一定能被（）—A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除；13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．:15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，》例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．【18．阅读理解。
第08讲 因式分解(二)
第八讲 因式分解（二）知识导航 1．整式乘法 m n m n a a a +⋅=()nm mn a a =()nn n ab a b =（m 、n 都是正整数）m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc （m ＋n ）（a ＋b ）＝ma ＋mb ＋na ＋nb2．整式除法m n m n a a a -÷=（a ≠0，m 、n 都是正整数，并且m ＞n ）（am ＋bm ）÷m ＝am ÷m ＋bm ÷m ＝a ＋b 3．乘法公式 平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2 完全平方公式 和：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 差：（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 4．复杂乘法公式 三元完全平方公式：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca 和的完全立方公式：（a ＋b ）3 ＝a 3 ＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3差的完全立方公式：()3a b -＝3a －23a b ＋23ab －3b 5．常见式子的变形 x 2＋y 2＝（x ＋y ）2－2xy（x －y ）2＝（x ＋y ）2－4xyx 4＋y 4＝（x 2＋y 2）2－2x 2y 2x y -=222211122x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭例1：（1）已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a （2）若（x ＋m ）（x －8）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A ．8 B ．－8 C ．0 D ．8或－8（3）已知x 2－5x ＋1＝0，则221x x +=____________． （4）已知x ＋y ＝7，xy ＝6，则（x ＋y ）（x －y ）＝__________． 练习（1）下列运算正确的是（ ） A ．x 3＋x 3＝2x 6 B ．x 8÷x 4＝x 2 C ．（－x 3）2＝x 6 D ．x （x －y ）＝x 2－y （2）（2016－2017六中八上12月月考） 已知x ＋y ＝3，（x ＋3）（y ＋3）＝20．①求xy 的值；②求x 2＋y 2＋4xy 的值；③直接写出x －y 的值．（3）先化简，再求值：（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）－2y 2，其中x ＝14，y ＝13-．练习：已知x 2＋x －1＝0，则x 3＋2x 2＋3＝__________． 达标练习将下列各式展开成多项式的形式： （1）（3x ＋4）（5y －6）（2）1113234x y x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）（2a －3b －c ）（2a －3b ＋c ） （4）（2x －3y ）（3x －2y ）（3y ＋2x ）（2y －3x ）模块二 因式分解 知识导航1、因式分解的概念整式乘法：将几个整式的乘积化为一个多项式的形式． 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式． 可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即：多项式 整式乘积，例如：x 2－1 （x ＋1）（x －1）．2、 提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 例如，pa ＋pb －pc ＝p （a ＋b －c ），其中p 叫做这个多项式各项的公因式． 3、 公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式乘积的形式，即因式分解． 常用因式分解： a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ） a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2 a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2 a 3 ＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝（a ＋b ）33a －23a b ＋23ab －3b ＝()3a b -因式分解 整式乘法 因式分解整式乘法立方差的因式分解：a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2） 4、十字相乘法 对于（mx ＋a ）（nx ＋b ）＝mnx 2＋（an ＋bm ）x ＋ab ，将等式反过来写，可以得到mnx 2＋（an ＋bm ）x ＋ab ＝（mx ＋a ）（nx ＋b ）．这个因式分解的过程，可以用“十字相乘”的形式形象地表示：banx mx例2（1）下列是完全平方式的是（ ） A ．x 2＋xy ＋y 2B ．y 2＋y ＋12C ．m 2－m ＋14D ．4x 2＋2x ＋1（2）下列因式分解结果正确的是（ ） A ．6p （p ＋q ）－4q （p ＋q ）＝（p ＋q ）（6p －4q ） B ．x 2＋2x －3＝x （x ＋2）－3C ．a 2－2a ＋1＝（a －1）2D ．4x 2－9＝（4x ＋3）（4x －3） （3）已知a 2＋9b 2－4a ＋6b ＋5＝0，求b a ＝__________． （4）已知a ＋b ＝1，则a 2－b 2＋2b ＝___________________．（5）分解因式：x （x ＋1）3＋x （x ＋1）2＋x （x ＋1）＋（x ＋1）＝_________________． （6）分解因式：x 2－2x －48 ＝__________________． 练习下列哪些多项式可以因式分解？若可以，请你写出因式分解后的结果． （1）4a 2－12ab ＋9b 2（2）22152591264a ab b -+（3）2x 2＋15x －8（4）x 2－x ＋12（5）22144x xy y ++（6）9m 2－50mn ＋64n 2例3：分解因式 （1）（2x －y ）2＋8xy（2）16m 4－81（3）322314x y x y xy -+（4）4x 2－4x －y 2＋4y －3练习分解因式：（1）16x 4－8x 2y 2＋y 4（2）（x 2－4y 2）2－12（x 2－4y 2）＋36（3）（x 2＋4y 2－z 2）2－16x 2y 2（4）81x 2－1－18xy ＋y 2例4：分解因式 （1）x 2－5x －24（2）－x 3＋2x 2＋15x（3）3x4－13x2＋4 （4）（a－b）2－12（a－b）＋12练习分解因式：（1）4x2－24xy＋11y2（2）3x3y－15x2y2＋18xy3（3）－m2－4mn＋96n2（4）6a2b2－17abc＋5c2模块三主元法知识导航在对含有多个字母的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个字母为主元，把其它字母看成是主元的系数进行因式分解，这样可以分解一些较复杂的多项式．实际上，例5和练5就是把x当作主元，a、m、k等当作x的系数再十字相乘法分解因式．例5：分解因式（1）k2x2－4kx－12 （2）mx2－（m2＋m＋1）x＋m2＋m练习分解因式：（1）x2＋（a＋b＋c）x＋（a＋b）c（4）x4－（a2－4）x2－4a2例6：分解因式（1）2a2－b2－ab＋bc＋2ac（2）a2b－ab2＋a2c－ac2－3abc＋b2c＋bc2（3）x2－6xy＋9y2－5xz＋15yz＋6z2（4）a（6a＋11b＋4）＋b（3b－1）－2练习：分解因式（1）1＋a＋b＋c＋ab＋ac＋bc＋abc（2）x2－y2＋5x＋3y＋4第8讲因式分解（二）A基础巩固1．已知多项式x2＋bx＋c因式分解的结果为（x－1）（x＋4），则bc为（）A．12 B．9 C．－9 D．－122．下列各式由左到右的变形中，是分解因式的是（）A．a（x＋y）＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x（x－4）＋4C．10x2－5x＝5x（2x－1）D．x2－16＋3x＝（x＋4）（x－4）＋3x3．已知a－b＝3，则a2－b2－6b的值为___________．4．已知a2＋b2－4a－6b＋13＝0，则a－b＝__________．5．分解因式：1＋a＋a（a＋1）＋a（a＋1）2＋a（a＋1）3＋…＋a（a＋1）2017＝____________．6．已知x2－2x－2＝0，则（x－1）2＋（x＋3）（x－3）＋（x－3）（x－1）＝______________．7．已知a＋b ab＝2，则a2b－ab2＝___________．8．分解因式：（1）3b2－12b＋12 （2）x2－4x－12（3）2x4－8 （4）x2－y2＋2x＋6y－8（5）（x＋y）2－6z（x＋y）＋9z2（2）－4（a－b）2＋16（a＋b）2B综合训练9．分解因式：（1）abcx2＋（a2b2＋c2）x＋abc（2）kx2＋k2x＋x＋k2－1（3）x4＋2（a2＋b2）x2＋（a2－b2）2（4）x2＋xy－6y2＋x＋13y－6 （5）a2＋ab－6b2＋5a＋35b－36 （6）6x2－5xy－6y2＋2x＋23y－20课外阅读 因式定理：如果x ＝a 时，多项式a n x n ＋a n －1x n -1＋… ＋ a 1x ＋a 0的值为0 ，那么x －a 是该多项式的一个 因式．例如，当x ＝2时，x 3－2x 2－x ＋2的值为0，那么x －2是该多项式的一个因式，由此可以找到分解因式的思路：x 3－2x 2－x ＋2＝x 2（x －2）－（x －2）＝（x －2）（x －1）（x ＋1）或者，我们发现，当x ＝1时，x 3－2x 2－x ＋2的值为0，那么x －1是该多项式的一个因式， 由此也可以找到分解因式的思路：x 3 －2x 2－x ＋2 ＝ x 3－x 2 –x 2 ＋x －2x ＋2 ＝（x 3－x 2）－（x 2－x ）－（2x －2） ＝x 2 （x －1）－x （x －1）－2（x －1） ＝ （x －1）（x 2－x －2） ＝（x －1）（x －2）（x ＋1）实际上，当 x ＝2 或x ＝1或 x ＝－1 时，x 3－2x 2－x ＋2 的值都为 0，则x －2、x －1、x ＋1都是该多项式的一个因式．那么以此为出发点，分组构造这样的公因式，可以进行因式分解．本讲的主元法、双十字法主要针对二次多项式的因式分解，当題目需要分解三次或更高 次的多项式时，可以依据因式定理先找到该多项式的一个因式，再分组构造此公因式或者用 大除法进行因式分解． 【例】分解因式：2x 3－x 2－5x －2【解析】当x ＝-1时，2x 3－x 2－5x －2的值为0，那么x ＋1是该多项式的一个因式．这里我们可以用分组构造x ＋1的方法或者大除法，得到此多项式余下的因式． 法一：构造x ＋12x 3－x 2－5x －2＝2x 3＋2x 2－3x 2－3x －2x －2＝（2x 3＋2x 2）－（3x 2＋3x ）－（2x ＋2） ＝2x 2（x ＋1）－3x （x ＋1）－2（x ＋1）＝（x ＋1）（2x 2－3x －2） ＝（x ＋1）（2x ＋1）（x －2） 法二：大除法 232322223212522235332222x x x x x x x x x x x xx x --+---+--------可得原式＝（2x 2－3x －2）（x ＋1）＝（x －2）（2x ＋1）（x ＋1） 【练】因式分解： （1）3x 3－5x 2＋x ＋1 （2）x 4＋2x 3－3x 2－4x ＋4。
整式的乘除与因式分解复习课件
1、利用因式分解计算：
（1）200312 00210012
（2）(1－
1 22
)(1－312
)(1－412
)…(1－
1 102
)
（3）20042-4008×2005+20052
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
2、若a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC 的形状。
（一）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 3、积的乘方 5、单项式乘以单项式 7、多项式乘以多项式 9、完全平方公式
2、幂的乘方 4、同底数的幂相除 6、单项式乘以多项式 8、平方差公式
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
知你 识回
忆 起 了 吗 ？ 就 这 些
（一）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
a a a m n
mn （其中a≠0，m、n为
正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a0 1(a 0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共
的因式，叫做这个多项式各项的公因式
（2）找公因式：找各项系数的最大公约
数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
. （3） 提公因式法：一般地，如果多项式的各
整式的乘法和因式分解的复习资料
［同底数幕的乘法］a m a n=a m+n（m、n都是正整数）［幕的乘方］但》"=a mn（m, n都是正整数）［积的乘方］（ab）n= a n b n（n是正整数）［单项式乘以单项式］单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.［单项式乘以多项式］单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.［多项式乘以多项式］多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.［平方差公式］（a+ b）（a — b = a2—b1.公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数•⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2—异号项2）.2.公式的应用：⑴公式中的字母a, b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算•⑵公式中的a2-b2是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)(a - b)= a2—b2计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2_( 2x )2=1-4x2［完全平方公式］(a+b) 2=a 2+2ab+b 2(a- b)2=a2- 2ab+b2两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加(或减)它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式(首平方，尾平方，二倍乘积在中央). 公式变形：(a+b) =(a - b) +4aba + b = (a+b) - 2ab(a- b)2=(a+b)2- 4aba2 +b2=(a - b)2+2ab2 2(a+b) - (a- b) =4ab［公式的推广］(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac［同底数幕的除法］a m+ a n=a m-n(a丰0, m n都是正整数，并且m>n).a0=1(a丰0)任何非零数的零次幕是 1.［单项式除以单项式］单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.［多项式除以单项式］多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.［因式分解］把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解(或分解因式).［提公因式法］ac+ bc= (a + b) c［公式法］2［十字相乘法］X +( p+ q) x+ pq= (x + p)( x + q)、训练平台1.下列各式中，计算正确的是()1 □恳 5 ^2 J0 6 ^6 ^7 6 ^6 J2A.2 X 2 =2B.2 X 2 =2C.2 +2 =2D.2 +2 =232.当x=^ 时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3) 的值等于()239 39A.-B.-18C.18D.2 21253.已知x-y=3，x-z= ，则(y-z) 2+5(y-z)+ 的值等于()2 4A.254B. -C.-D.04.设n为正整数，若a2n=5，则2a6n-4 的值为（A.26B.246C.242D.不能确定5.( a+b)( a-2b)=.26.(2 a+0.5b)=.7.( a+4b)(m+n)=.8.计算.2 2(1)(2 a-b )(b +2a)=；⑵(5 a-b)(-5 a+b)=.9.分解因式.2 3(1)1-4m+4m ；(2)7x -7x.10.先化简，再求值.2[(x-y) +(x+y)(x-y)] 十2x,其中x=3, y=-1.5.二、探究平台2 21.分解因式(a-b)( a -ab+b )- ab(b- a)为()3 3A.( a-b)( a +b )B.( a-b) ( a+b)C.( a-b)D.-( a-b)2.下列计算正确的是()A. a8十a2=a4(a^ 0)C.a9十a6=a3(a 丰 0)3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是()4 2 2A.x -0.1=(x +0.1)(x -0.1)x-4)n 3n n 3、C.2x +x =x (2+x )2 1x = (1+2x)(1-2x)44.分解因式：-a +4ab-4b =.5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是.3 4B. a — a =a( a 丰 0)2B.-x -16=(-x+4)(- D.8. 计算.123456789021234567891 -1234567890 12345678929. 分解因式.42 2(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) ; (2)x -81x y .x 2 _1110.+x(1+)，其中 x=、、2-1.x -1 x三、交流平台1. 一条水渠其横断面为梯形，如图15-23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2, b=0.8时的面积.2. 已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积? 并将它分解.3. 如果 x+y=0 ,试求 x 3+x 2y+xy 2+y 3 的值.4. 试说明无论 m n 为任何有理数，多项式 4甫+12口+25+9金24n 的值为非负数32 2002 -2 2002 - 2000 3220022002 - 2003。
八年级上册数学《整式的乘法与因式分解》因式分解的常用方法
分解因式的常用方法一、本节学习指导本节较为复杂，因式分解大多讲究技巧，于是我们要多做练习，慢慢总结。
本节有配套二、知识要点1、因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.2、提公共因式法提公因式法.如:ab＋ac＝a（b＋c）（2）、概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb-mc=m(a＋b-c) （3）、易错点:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.3、运用公式法运用公式法.（2）、主要公式:(1)平方差公式:))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-（3）、易错点:))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底.4、怎样选择公式(1)、平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)、完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5、 分组分解法:（1）、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++（2）、概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.（3）、 注意: 分组时要注意符号的变化.5、十字相乘法有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
整式的乘法与因式分解复习
1、判断正误：
(1)x2 y2 (x y)(x y);
（× ）
(2)x2 y2 (x y)(x y);
（√ ）
(3) x2 y2 (x y)(x y); （ × ）
(4) x2 y2 (x y)(x y). （ × ）
其中x2和y2前面的符号如何时可以用平方差公式？
1、若(a+b)2=11, (a-b)2=7,求:ab的值. 2、若a-b=8,ab=20,
求:（1）a2+b2的值； （2）a+b的值.
3、已知：4x2+9y2+4x-6y+2=0，求x、y的值.
乘法公式：
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2
判断下列各式的计算是否正确，错误的请加以改正
乘法公式： 平方差公式
(a+b) (a-b) =a2-b2
判断下列各式能否用平方差公式，若能请直接说出结果.
（1）(a+b) (-a-b)
（4）(a-b) (a-b)
分解因式：（3）16x2+24x+9；（4）-x2+4xy-4y2.
把下列各式分解因式: （1）a2 ( x－y)－b2 ( x－y); （2）a4－16； （3）81x4－72x2y2＋16y4; （4） ( x2－2x)2＋2 ( x2－2x)＋1; （5） (a2 － a)2－(a － 1) 2 ．
知识梳理
概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解．
与整式乘法的关系
因式分解
多项式
整式乘法
几个整式的积
因 式
提公因式法
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1．判断下列等式是否成立. （ 1） a
2
a a
3
6
（ ×）
a
5 6
（ 2） ( a
2 3
) a
5
（ ×）
（ ×）
4
（3） (2a) 2 2a 2 （ 4）
a a a
2 2
（× ）
a 2 4a 2 2a
（5） (2)3 25
（√ ） 28
（6）a m
2，a
n
则 3，
2
2
(x 3 ) (x 3 )
2 2 2 2
2 2
( x 2 32 x 2 32 )( x 2 32 x 2 32 ) 36x 2
分解因式与多项式乘法关系
ma mb mc
m(a b c)
a b
2
2
2
2
2
(a b)(a b)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6 = x 2 – ( x 3) 2
幂
a
底数
n
指数
(a)
n
a
n
同底数幂的乘法
幂的乘方
整 积的乘方 式 的 单项式的乘法 乘 法
a ·a = a ( am )n = amn n ( ab ) = an b n 3 2 2 5 (-3 · 4a x a bx ) 2 3 5 2 =[4 ( -3)](a a ) (x x )b 5 7 =-12a bx
（A） 1 （B）-1 （C） 0 （D） 1或-1
(2) 如果 4
(a+b) = 11, (a-b) =7, 则ab=( A)
(1) 已知
2
2
2
x +12xy+k是一个关于x、y的完全 平方式，则k=( B ) 2 2 2 (B) 9y (D) 36y (A) 3y (C) y x +kxy +9y 是一个关于x、y的完全平 方式，则k=( + 12)
-mx 1、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则m=_____ ±8 4 16 2、已知x2-8x+m是完全平方式，则m=_____ 3、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_____ ±4 4、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b=_____ ±4 5.若 x 2 mx -10 (x - 2)(x 5) 则m=( A. 3 B. -10 C. -3 D.-5 A )
a
m
m n
5 （ ×）
n
6
a a
a
a a
2m
(a ) 2 4
m 2
m 2
2
2 m n 3m 2 n
(a ) a 12
n
(a ) (a ) 72
m 3 n 2
2.计算(口答)：
7 ( x ) ( x ) （ 1） x
3 4
（2）( x)
2 2
a2-4b2-12b-9 （A）a +4b +12b-9 （B） 2 2 （C） a +4b -12b-9 （D）a -4b +12b-9
解： (a-2b+3)(a+2b-3)
=[a-(2b-3)][a+(2b-3)] =a -(2b-3) =a -(4b -12b+9)
2
2 2 2
= a -4b +12b-9
不满足因式分解的含义
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
因式分解是恒等变形而本题不恒等.
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
是整式乘法.
ห้องสมุดไป่ตู้习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？ 平方差公式： a ba b a 2 b2 2 2 a b2 a 2 2 ab b 2 2 完全平方公式： a b2 a2 2ab b2 a b a 2ab b
2 2 2 2
(1 x )(1 x 1 x ) 2 2 x
2
解 : 原式 ( x 3 ) [( x 3)( x 3)]
2 2 2
(12). ( x 3 ) ( x 3) ( x 3)
2 2 2 2
2
x (4 y 6 z ) x 16 y 48yz 36z
3 4
2 5
2 3
( x y)
3 2
（3）试比较3555,4444,5333的大小.
计算:(1)98×102
(2)2992
(3) 20062-2005×2007
(4)、［(a+b)2+(a-b)2] (a2-b2)
(5)、（3x2-4x+5）（3x2+4x-5）
(4)原式=[a2+2ab+b2+a2-2ab+b2]（a2-b2） =(2a2+2b2)(a2-b2) =2(a4-b4)=2a4-2b4 (5)原式=[3x2-(4x-5)][3x2+(4x-5)] =9x4-(4x-5)2 =9x4-16x2+40x-25
(10). (1 x)(1 x)(1 x ) (1 x ) 2 2 2 2 解 : 原式 (1 x )(1 x ) (1 x )
2
2 2 2
2 2
(11). ( x 4 y 6z )( x 4 y 6 z ) 解 : 原式 [ x (4 y 6 z )][x (4 y 6 z )]
因式分解
a 2ab b 整式乘法
a 2ab b
2
(a b)
2
(a b)
是互逆的关系．一定是恒等变形
2
A层练习
下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
（D） (a 2b)(a b) a 2 ab 2b 2
2.下列各式是完全平方式的有(
D
)
2x 1 4 ① x －４
2
③x
2
2xy +y
2
1 ② x x 4 1 2 2 2 ④ x - xy y 9 3
2
A.①②③ C. ①②④
B.②③④ D.②④
3、若|x+y-5|+(xy-6)2=0,则x2+y2的值为（ A ） A.13 B.26 C.28 D.37
计 算 ：
2 x 2x 2 ________ x 4 2 2 5 a __________ a 10a 25 2 m 7 m 7 __________ __ m 14m 49
① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1
5．下列等式成立的是（ D ）
2 2 2 ( x y ) x y （A）
( x y) x 2xy y
2 2
2
（B） (a 2b)2 a 2 4ab 4b2
(a 2b)2 a2 4ab 4b2
2 2 2 2 2 2 ( a 2 b ) a 2 ab 4 b （C） (a 2b) a 4ab 4b
（3） ( x y)( x y)
（2） ( x y)(x y)
（ 4）
(2 x 3 y)(3x 2 y)
（5）( x y z )(x y z ) （6）
(a b)(b a)
( x y) z
a b a b 2 2
(a b)( a b)
3
( x) ( x)（结果用幂的形式表示）
4
7
6 3 ( 2 x y ) 8x y （ 3）
2 3
（4） [(a)
3
b]
2
a b
6
2
（ 5） ( x y ) （ 6）
3
( y x) ( x y)5
2
a 3 2 2 3 6 ( a ) ( a ) （ 7） 2a 3 2 5 6 ( 3 a ) a a （ 8） 8a
1、若10x=5,10y=4,求102x+3y+1 的值.
2、计算：0.251000×（-2）2001
3.(9)
1004
注意点： （1）指数：相加
1 670 ( ) 27
转化 转化
底数相乘 幂的乘方 转化 同底数
（2）指数：乘法
（3）底数：不同底数
化简 (1) （a b c） (b a c) (2) ( y x)
④ x2 – x6
⑤ 6x3 – 54xy2
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1
2 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2 –1) x–1) +1)(
2
2
15.已知：a+b=5,ab=3, 求a2+b2的值
16.已知：a-b=3,a2+b2=17 2 求(a+b) 的值