2017年高考数学理试题分类总汇编：圆锥曲线

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2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线

2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线是考查的重点之一。

圆锥曲线作为高中数学的重要内容，深受学生们的关注和重视。

本文将从以下几个方面对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线进行分析和总结，帮助学生更好地复习和备考。

一、考查的内容2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线主要考查了椭圆、双曲线和抛物线的相关知识。

涉及的知识点包括曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

考题以解析几何的形式出现，要求考生运用所学知识解题，考察学生对圆锥曲线的理解和掌握程度。

二、难度分析2017年的圆锥曲线考题整体难度适中，但从解题的角度来看，难度考查了学生对圆锥曲线的深入理解和灵活运用能力。

其中，部分考题对于几何图形的分析和推理要求较高，考生需要具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

三、备考建议针对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的考试情况，学生在备考过程中要重点掌握圆锥曲线的相关知识，包括各种曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

在解题方法上，要加强对几何分析和推理的训练，提高解题技巧和应试能力。

也要多做历年真题和模拟题，针对性地进行复习和练习，加深对知识点的理解和掌握。

四、复习方法在复习过程中，建议学生通过系统学习教科书相关章节，掌握圆锥曲线的基本概念和性质。

可以借助辅导书、习题集等辅助资料进行强化训练，加深对知识点的理解。

多做真题和模拟题，及时总结和归纳解题思路和方法，在实践中提高解题能力。

积极参加学校的数学学科活动和竞赛，加强学习氛围，激发学习兴趣。

五、总结2017年的全国1卷理科数学考试中的圆锥曲线部分，考查的内容主要围绕椭圆、双曲线和抛物线展开，难度适中，但要求学生在解题过程中具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

备考时，学生要重点掌握相关知识，加强几何分析和推理的训练，多做真题和模拟题，提高解题能力。

通过科学的复习方法和策略，相信学生们一定能够取得理想的成绩。

以上是对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的分析和总结，希望能够对广大学生在备考中有所帮助。

福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线

福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编圆锥曲线2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（A ）34（B ）57 （C ）58 （D ）32、（福州市2017届高三3月质量检测）已知双曲线2222:1x y E a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若AQ =E 的离心率是（A ）（B（C （D3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知双曲线E 2222:1(0,0)x y a b a b-=>> 点为的左焦点，点F 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足3PF FQ =，若OP b =，则E 的离心率为A B C ．2 D 4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与该双曲线相交于A 、B 两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e 是（） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）如图，已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，以双曲线C 的实轴为直径的圆记为圆O ，过点2F 作圆O 的切线，切点为P ，则以12,F F 为焦点，过点P 的椭圆T 的离心率为（）A ．532- B ．53- C ．734- D ．73-6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足| PF 2 |＝| F 1F 2 |，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A ．54B ． 43C ．53D ．27、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且||||2CF BC =，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±=8、（福州八中2017届高三第六次质量检查）设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是_________9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））设双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，右支上一动点P ，过点P 向此双曲线的渐近线做垂线，垂足分别为点A 与点B ，若 A B ，始终在第一、四象限内，点O 为坐标原点，则此双曲线C 离心率e 的取值范围（） A ．13e <．13e <≤ C.12e <≤．12e <≤10、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））现将一条直线l 经过点()1 1A -，，且与22:40C x x y ++=e 相交所得弦长EF 为23l 的方程是．11、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）设F 1、F 2分别为双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) （A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）25 12、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =u u u v u u u u v g ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．．2 D13、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）过抛物线x y 42=上任意一点P 向圆2)4(22=+-y x 作切线，切点为A ，则PA 的最小值等于_______．二、解答题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向． (Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2、（福州市2017届高三3月质量检测）已知曲线C 上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =-的距离小2．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，交圆()22:11F x y +-=于,M N 两点(,A M 两点相邻).(ⅰ)若BF BA λ=u u u r u u u r ，当1223λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求k 的取值范围；(ⅱ)过,A B 两点分别作曲线C 的切线12,l l ，两切线交于点P ，求AMP △与BNP △面积之积的最小值．3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知曲线222:1(,1)x E y a b a a +=>≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠.（1）若点,A B 均在直线21y x =+上，且线段AB 中点的横坐标为13-，求a 的值；（2）记1212(,),(,)x x m y n y a a==u r r ，若m n ⊥u r r 为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1，()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直于x 轴的直线1l ，直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ．（1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积的最小值．6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (－1，0)，离心率e ＝12左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）. （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求| S 1－S 2 |的最大值，并求此时l 的方程.7、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为()，BC 过椭圆的中心，且0AC BC =u u u r u u u r g ，2BC AC =u u u r u u u r．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点()0,t 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =u u u r u u u r，求实数t 的取值范围．8、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））如图，等边ABC △的边长为83，且其三个顶点均在抛物线():20E x py p =>上. （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设点()4 4S -，，过点()4 5N ，的直线l 交轨迹E 于 A B ，两点，设直线 SA SB ，的斜率分别为12 k k ，，证明：12k k 为定值，并求此定值.9、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21=e ，过点)23,3(. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过A （-a ，0)且互相垂直的两条直线l 1、l 2与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q .问：直线PQ 是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由。

江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线 Word版含答案

江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编圆锥曲线2017.02一、选择、填空题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN = ，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+-=2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））已知双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左右焦点分别为()()12 0 0F c F c -，，，，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216c b E x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，则双曲线的渐近线方程是（）A ．y x =±B ．y = C.y = D ．2y x =±3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 40y +-=平行，则双曲线C 的离心率为（）2 4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则该双曲线C 的离心率为（）A ．．2 C.5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知双曲线方程为222214x y m b-=+，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．(1,2B ．[)2+∞ C ．(1,2D ．()2+∞ 6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线:l 116y =-的距离记为d ，若22MN d λ= ，则λ的最小值为（）17、（新余市2017高三上学期期末考试）已知12F F 、是双曲线22221(a 0,b 0)y x a b-=>>的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，||2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.38、（宜春中学2017届高三2月月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）设A 、B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则21ln ||ln ||2||b a m n a b mn ++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（）B. D. 10、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为 A ．1B ．3C ．19D ．4911、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ． (2，＋∞)二、解答题 1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知椭圆的焦点坐标为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ |=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，右顶点、上顶点分别为 A B ，，直线AB 被圆22:1O x y +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点B 且斜率为k 的动直线l 与椭圆C 的另一个交点为M ，()ON OB OM λ=+，若点N 在圆O 上，求正实数λ的取值范围.3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知抛物线:的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且（I ）求和抛物线的方程;（II ）过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线的距离取得最大值时，四边形的面积.4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）已知圆2219:()24E x y +-=，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F E A ，，三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M N ，，且(0)MN OA λλ=≠.（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆的面积取到最大值时，求直线l 的方程.5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，圆Q ：224230x y x y +--+=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,1)P 到椭圆C 的右焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQB S AQB ∆=∠，求直线l 的方程．6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知右焦点为F 的椭圆222:1(3x y M a a +=>与直线y =相交于P 、Q 两点，且PF QF ⊥.（1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为ABC ∆的重心，试探究ABC ∆的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.7、（新余市2017高三上学期期末考试）已知椭圆()222:11x M y a a+=>右顶点、上顶点分别为A 、B ，且圆1:22=+y x O 的圆心到直线AB 的距离为23. （1）求椭圆M 的方程；（2）若直线l 与圆O 相切，且与椭圆M 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值.8、（宜春中学2017届高三2月月考）已知抛物线E ：y 2=2px （P ＞0）的准线为x=﹣1，M ，N 为直线x=﹣2上的两点，M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8，P 为抛物线上一动点，PN ，PM ，分别交抛物线于A ，B 两点．（1）求抛物线E 的方程；（2）问直线AB 是否过定点，若过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由．9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左右焦点分别为,E F ，过点F 作直线交椭圆C 于,A B两点，若FB AF 2=且0.AE AB ⋅=（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O 为原点，圆)0()3(:222>=+-r r y x D 与椭圆C 交于N M ,两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PN PM ,与x 轴分别交于点,,S R 求证：||||OR OS ⋅为常数.10、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 重合，且点F 到直线10x y -+=的距离为1C 与2C（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||AB CD +的取值范围．11、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线02x y -+=与以原点O 为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切. （1）求该椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记∆GFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．参考答案一、选择、填空题 1、C 2、答案：D解析：设切点为M ，则1EM PF ∥，又22114F E F F =，所以14PF r b ==，所以22PF a b =+，因此()222242b a b c b a ++=⇒=，所以渐近线方程为2y x =±. 3、A 4、B 5、A 6、A 7、C 8、D9、D 解析：设点00(,)P x y 则00(,)Q x y -，所以0000,AP BQ y y m k n k x a x a-====+-，即2022y m n a x ⋅=-，又2200221x y a b -=，即2222002()b y x a a =-，所以22b m n a ⋅=-，则2222212ln ||ln ||ln 2||2b a b a a b m n a b mn a b b a++++=+++，令ba=则222221ln ln 22b a a b x a b b a x+++=++，考查函数1()ln 2f x x x =++，由21)(21)'()2x f x x-=，知1(0,)2x ∈时()f x 单调递减，1(,)2x ∈+∞时()f x 单调递减，所以当12x =时，()f x 取得唯一极小值即为最小值，此时2212b a =，所以2e ==10、A 11、D二、解答题1、解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…由|PQ|=3，可得=3，…又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…故椭圆方程为=1…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…得，，则=，…令t=，则t≥1，则，…令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，≤3，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MNS=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．△F1MN故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π.2、解：（1）2e a b =⇒=，所以直线AB 的方程为12x yb b+=即220x y b +-=，……2分圆心()0 0O ，到直线AB的距离为d =1b =⇒=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；……………………………………6分（2）设点M 的坐标为()()000 0x y y ≠，则N 点的坐标为()()00 1x y λλ+，，所以()2222002200011121x y x y y λλ⎡⎤++=⇒=⎣⎦+++，……8分又220014x y +=，所以()202001 1 1325y y y λ=∈-++，，，得2316λ≥. 所以正实数λ的取值范围是3 4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.………………………………12分 3、（1）准线L 交轴于，在中所以,所以，抛物线方程是 (3分)在中有,所以所以⊙M 方程是：(6分)（2）解法一设所以:切线；切线(8分)因为SQ 和TQ 交于Q 点所以和成立所以ST 方程：(10分)所以原点到ST 距离，当即Q 在y 轴上时d 有最大值此时直线ST 方程是 (11分)所以所以此时四边形QSMT 的面积 (12分)4、（1）如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点1F ，2F ，所以2219(0)24c +-=，解得c =1分因为1F ，E ，A 三点共线，所以1AF 为圆E 的直径，所以212AF F F ⊥…………………………………………2分因为2222121AF AF AF =-=，所以1224a AF AF =+=．所以2a =…………………………………………………4分由222a b c =+，得b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=…………………………………………………………5分（2）由（1）得，点A 的坐标为，因为(0)MN OA λλ=≠所以直线l，设直线l 的方程为y xm =+……………………………6分联立222142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2220x m +-=………………………………………7分设1122(,),(,)M x y N x y，由22)4(2)0m ∆=-->，得22m -<<．因为122122x x x x m ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩所以12MN x =-=9分又点A 到直线l的距离为d =，12AMN S MN d ∆==22422m m -+=⋅=10分当且仅当224m m -=，即m =时，等号成立……………………………………11分所以直线l的方程为2y x =2y x =…………………………………12分 5、解：（1）因为椭圆C 的右焦点(,0)F c ，||2PF =，所以c = 因为(2,1)Q 在椭圆C 上，所以22411a b +=，由223a b -=，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）由tan AQB S AQB ∆=∠得：1sin tan 2QA QB AQB AQB ⋅∠=∠，即cos 2QA QB AQB ⋅∠=，可得2QA QB ⋅=，①当l 垂直x轴时，(1)QA QB ⋅=-(2,1)4132⋅-=+-=，此时满足题意，所以此时直线l 的方程为0x =； ②当l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221,631x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得22(12)440k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以122412k x x k -+=+，122412x x k -=+，代入2QA QB ⋅=可得：1122(2,1)(2,1)2x y x y --⋅--=，代入111y kx =+，221y kx =+，得21212(2)(2)2x x k x x --+=，代入化简得：2224(1)8201212k kk k-+++=++，解得14k =，经检验满足题意，则直线l 的方程为440x y -+=，综上所述直线l 的方程为0x =或440x y -+=．6、（1）设(,0)F c，(P t，则(Q t - ，…………………………（1分）22317t a ∴+=，即2247t a =，①…………………………（2分）PF QF ⊥，1=-，即2297c t -=-，②…………………………（3分） ∴由①②得224977c a -=-，又223a c -=，24a ∴=，…………………………（4分）∴椭圆M 的方程为22143x y +=．…………………………（5分）（2）设直线AB 方程为：y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，122122834634km x x k m y y k -⎧+=⎪⎪+∴⎨⎪+=⎪+⎩O 为重心，2286()(,)3434km mOC OA OB k k-∴=-+=++ ，…………………………（7分） C 点在椭圆E 上，故有222286()()3434143km m k k -+++=，可得22443m k =+，………………………………………………………………………………（8分）而||AB ==，点C 到直线AB 的距离21|3|km d +=（d 是原点到AB 距离的3倍得到），……………………（9分）19||22ABC S AB d ∆∴=== ，……………（10分）当直线AB 斜率不存在时，||3AB =，3d =，92ABC S ∆=， ABC ∴∆的面积为定值92．…………………………………………………………（12分） 7、【解析】（1）据题意：)1,0(),0,(B a A ，故直线AB 的方程为：1=+y ax，即：0=-+a ay x 。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线含答案

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点成F,过点F 且倾斜角为45°的直线l 与抛物线在第一、第四象限分别交于A 、B ，则等于( ）A ．3B ．7+43C ．3+2D ．22、（珠海市2017届高三上学期期末）已知双曲线221C 1164x y =：－,双曲线22222C 1(00)x y a b a b=>>：－，的左、右焦点分别为F 1,F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16,且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为A ．4B ．8C ．16D ．323、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知双曲线)0(1:2222>>=-a b by a x C 的右焦点为F ，O 为坐标原点,若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于B A ,两点，使0=⋅OB OA ，则双曲线离心率的取值范围是________ 4、（广州市2017届高三12月模拟）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=，则双曲线C 的离心率为(A) 25 （B) 5 （C ） 26 (D ） 65、(惠州市2017届高三第三次调研）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ,B 两点，|AB ｜为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为（）（A ）错误! （B)错误! （C)2 （D)36、(江门市2017届高三12月调研）过抛物线y 2=2px （p >0）焦点的直线 l 与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆的方程为(x −3)2+(y −2)2=16，则p = A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、（揭阳市2017届高三上学期期末）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为33则分别以,a b 为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 .8、(茂名市2017届高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线,切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为( ）A ．7224- B ．7224+C ．231+D ．251+9、（清远市清城区2017届高三上学期期末)已知双曲线c:，以右焦点F 为圆心，｜OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O ），若|MN ｜=，则双曲线C 的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．31+10、（汕头市2017届高三上学期期末）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 11、(韶关市2017届高三1月调研)已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，F 是右焦点，若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率e 为（A) 2 （B) 3 （C) 12 (D ） 13二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，且椭圆C 过点P(，）．（1）求椭圆C 的方程;（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线?若能,求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能,说明理由．2、（珠海市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点,左焦点为F 1(－1，0)，离心率e ＝22。

2017圆锥曲线与方程真题(文)

2017高考汇编——圆锥曲线与方程（理）1.(2017北京文理）若双曲线221y x m -=，则实数m =_________.【答案】22m ==2.（2017北京文）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214x y += ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）焦点在x 轴上，2a ∴=，2c e a ==∴c =∴2221b a c =-=∴2214x y += ；（2）设()()()00000,0,,,,D x M x y N x y - ，直线AM 的方程是()0022y y x x =++ ， DE AM ∴⊥，002DE x k y +∴=-，直线DE 的方程是()0002x y x x y +=-- ，直线BN 的方程是()0022yy x x -=-- ，直线BN 与DE 直线联立()()00000222x y x x y y y x x +⎧=--⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理为：()()00000222x y x x x y x +-=-- ，即()()()2200042xx x y x --=-即()()()220004424x x x x x ---=-，解得0425E x x +=，代入求得200441545E x y y =--=- ,∴54N E y y =又4S 5BDE E BDN N S y y ==△△,BDE ∴∆和BDN ∆面积的比为4:5.【题型】解答题3.（2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=＞，＞的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =＞交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【解析】||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+= ，因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py ⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以2222A B pb y y p a b a+==⇒=⇒渐近线方程为22y x =± 4.（2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:22221x y a b +=(a>b>0)的离心率为22，椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M.点N 是M 关于O 的对称点，圆N 的半径为|NO|. 设D 为AB 的中点，DE ，DF 与圆N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.=错误!未找到引用源。

2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题09 圆锥曲线(解析版) Word版含解析

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若PH a =，则双曲线的离心率为2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 .【答案】75【解析】由双曲线的性质可知，1||2PF c =，2||22PF c a =-，∴2||33QF c a =-，1||3FQ c a =-2251270c ac a ⇒-+=，7()(57)05c c a c a e a --=⇒==，故填：75.3. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知F 是椭圆1C ：双曲线2C 的一个公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若0=⋅BF AF ，则2C 的离心率是 ▲ ．【解析】设双曲线的实轴长为2a ，F '为椭圆1C ：2C 的另一个公共焦点，则由对称性知0AF AF '⋅=,4. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】抛物线24y x =上的一点到其焦点距离为3，则该点坐标为．【答案】(2,22)±【解析】由题意知抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-；根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，知该点的横坐标为2，代入抛物线方程得该点坐标为(2,22)±．5. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．6. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知点(50)A 和曲线)522(142≤≤-=x x y 上的点12n P P P ，，，.若12||||||nP A P A P A ，，，成等差数列且公差1(55d ∈，，则n 的最大值为______. 【答案】14【解析】因题设的曲线是双曲线)522(1422≤≤=-x y x 上的一段，而点(50)A 是它的 7. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－23y ＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A B C-的值是．【答案】12- 【解析】试题分析：由正弦定理得2122sin sin sin -=-=-=-=-c a c a AB AC BC C B A 8. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】(2,4)- 【解析】试题分析：由题意得(4)(2)0(4)(2)024m m m m m -+>⇒-+<⇒-<<9. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 . 【答案】24y x =± 【解析】试题分析：由题意得21922a a +=⇒=，而双曲线2221x y a -=渐近线的方程为1,y x a =±即24y x =±10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设双曲线1169:22=-y x C 的两焦点分别为P F F ,,21是C 上一点，若以P 为圆心的圆过C 的一个焦点和顶点，则=⋅21PF PF ．11. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知双曲线22221(0)x y a b ab 的一个焦点为(3,0)，直线10x y 与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为_______.【答案】22154x y【解析】由题意知方程组2222110x y a b x y 有正数解，即2222222()20b a x a x a a b 有正数解，所以0))((44222224≥+-+=∆b a a a b a ，即0122≥-+a b ,又229a b -=,故1022≤a ,即5≤a ,所以离心率53≥=a c e ,即当5a 时双曲线离心率取最小值，此时方程解为5x，双曲线方程为22154x y .12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线22154x y -=有相同渐近线，且一条准线方程为3y =的双曲线的标准方程为_______. 【答案】221810y x -=【解析】与双曲线22154x y -=有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为2254x y λ-=，因为一条准线方程为3y=，所以双曲线焦点在y 轴上，故0,λ<23λ=⇒=-，所求方程为221810y x -=13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，垂线交另一条渐近线于B 点，若向量BF 与FA 同向，且3AB OA OB =+，则双曲线的离心率为_______.14. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，长轴AB 上2016个等分点从左到右依次为点122015,,,M M M ，过1M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于12,P P 两点，1P点在x 轴上方；过2M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于34,P P 两点，3P 点在x 轴上方；以此类推，过2015M 点作斜率为(0)k k ≠的直线，交椭圆C 于40294030,P P 两点，4029P 点在x 轴上方，则4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积为_______. 【答案】20151.2-【解析】因为椭圆的离心率为22，所以22=2a c ，又222=a b c +，所以22=2a b ，设1P ),(11P P y x ，由椭圆对称性知22111222140301111112P P P AP AP AP BP P P P y y y b k k k k x a x a x a a ⋅⋅⋅==-=-+--==,从而4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积配成2015组，每组乘积皆为12-，因此结果为20151.2-15. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率为e ，直线:l y ex a =+与,x y 轴分别交于B A 、点.（Ⅰ）求证：直线l 与椭圆C 有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T 为直线l 与椭圆C 的交点，若ATeAB =，求椭圆C 的离心率；（第8题）（Ⅲ）求证：直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）1.2e -=（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）由22221x y a b y ex a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得：222222()b x a ex a a b ++=，即22222342220b x a e x ea x a a b +++-=， 222322()20b c x ea x a c +++=，2220,x cx c x c ++==-，y ec a =-+，即直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a ……14分2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点，且点A （2，1）在椭圆上（1）试求椭圆的标准方程；（2）若点B 、C 是椭圆上的两点，直线AB 、AC 的斜率1k 、2k 满足等式2121-=k k ， ①试证B 、C 两点关于原点对称；②若椭圆左顶点为P ，直线PB 、PC 与y 轴分别交于点M 、N ，试证以MN 为直径的圆D 必过两定点.【答案】（Ⅰ）13622=+y x （Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】（1）由3212=+=c 得322=-b a ，又11422=+ba ，联立解之得3,622==b a 从而所求椭圆的标准方程为13622=+y x . )66,0(11-x y ,线段MN 中点坐标为D )66,0(2111-x yx ，121126y MN x =-从而以MN 为直径的圆方程为2211221112)66()66(-=--+x y x y x y x因点B 在椭圆上，故1362121=+y x ，故622121=+y x ，代入上式得212112)3()26(y y x y x =++，令0=y 得32=x ，于是3±=x ，故以MN 为直径的圆D 必过两定点)0,3(±.3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b 的离心率为2，直线2x =为椭圆的一条准线. 椭圆上两点1122(,)(,)A x y B x y 、. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点M 满足2OM OA OB =+，且121222x x y y +=-，求证：点M 在椭圆C 上；（Ⅲ）若点(1,0)M -满足2,OM OA OB λ=+求实数λ的取值范围.即实数λ的取值范围为[32,-……16分4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 点到两定点(2,0),(2,0)D E -连线斜率之积为12-.（1）求证：动点P 恒在一个定椭圆C 上运动；（2）过F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，过O 的直线交椭圆C 于,M N 两点，若直线AB与直线MN 斜率之和为零，求证：直线AM 与直线BN 斜率之和为定值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则由题意得1222y y x x ⋅=-+-，化简得：22142x y += 因此动点P 恒在椭圆22142x y +=上 ……4分即直线AM 与直线BN 斜率之和为定值0. ……14分5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>> ,经过点P (1,. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）详见解析【解析】解：（1）由2222213142a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是 2214x y +=. .…………………5分综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于两点Q P ,，且02160=∠PF F ．（1）若21PF F ∆是等腰三角形，求椭圆C 的离心率e 的值；（2）设||||1PF PQ λ=，且3443<≤λ，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．【答案】（Ⅰ）21=e （Ⅱ）]913114447,313624(--∈e 【解析】（1）因21PF F ∆是等腰三角形，且02160=∠PF F ，故21PF F ∆是等边三角形，则c F F PF PF 2||||||2121===，所以由椭圆定义可得a c c 222=+，即21=e ,故所求椭圆的离心率为21=e .----------------------------------------------------------------5分；（2）由椭圆定义可得a PF PF 2||||21=+，a QF QF 2||||21=+，则a QF PQ PF 4||||||11=++，--------------------------------------------------------------------6分；222)2(2)2(4t t t e ---+=，即161222+-=tt e ，再令u t=1，由)3137,4137[++∈t ，得]9137,12137(1--∈t ，即]9137,12137(--∈u --------------------------------------------------------15分．而二次函数1612)(22+-==u u u g e 的对称轴为41=u ，而4112137>-，所以)(u g y =在]9137,12137(--∈u 上单调递增,借助图象可得函数)(u g y =的值域为]271338149,31328(2--∈e ，即离心率e 的取值范围是 ]913114447,313624(--∈e ．-----------------------------------16分．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）定义：若12,P P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率23=e ，且经过点P )23,1( （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问：椭圆C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆E 方程；若不存在，请说明理由．(3)若圆F 是过椭圆C 上下顶点21,A A 的内切圆，过椭圆C 异于其顶点的任意一点Q 作圆F 的两条切线，切点分别为R T ,,(R T ,不在坐标轴上），直线TR 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22141n m +为定值；由题意知，点E 在x 轴上，设点(,0),E t 则圆E 的方程为2222()().x t y m t n -+=-+8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】 (本小题满分14分)已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F .（Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.即2222(16)4(21)(324)0k k k -+->，解得216k <. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+，11(4)y k x =-，22(4)y k x =-.由1212120y y k k x m x m+=+=--，得 10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】 (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)2(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2）①635，②详见解析【解析】解：（1）由题意，得22c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3．因为O 到直线PQ 2，所以△O PQ 63．因为椭圆的对称性，当切线方程为y 2 (x 3)时，△O PQ 63综上所述，△O PQ 的面积为63·································8分②解法二消去y 得5x 2－3x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665．···············6分 ② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ··························10分222612m k -+．·································12分因为OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2＝(1＋k 2)×222612m k -+＋km ×(－2412km k +)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分11. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点()0,2M -，且,,a b c 的公比为22. (1)求猫眼曲线Γ的方程；（2）任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMK k 为与k 无关的定值；（3）若斜率为2的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.k 存在且0k ≠，12x x ∴≠，且0x 0≠ ∴01212012y y y x x x -⋅=-- ，即21k k OM -=⋅ （8分）同理，2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证（10分）（3）设直线l 的方程为2y x m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）如图，已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k λk +=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．13. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)如图21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，E D ,是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，2DEF ∆的面积为231-.若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(00bya x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点1F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上．若点)0,(a A ，)3,0(a B ，且AB →＝32BC →. (1) 求椭圆M 的离心率；(2) 设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P (－3，0)，直线l 过点7)6,0(-，求直线l 的方程； ②若直线l 过点(0，－1)，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）32；（2）①y ＝－x －67或y ＝－95x －67；（3）⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，113【解析】(1) 设C(x 0，y 0)，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－a 3.因为AB →＝32BC →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，代入椭圆方程得a 2＝95b 2.因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23.所以x D ＝－k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，113. 综上所述，点D 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，113.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，点在E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 相交于,A B 两点，M 是线段AB 的中点.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积是一个定值.16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】在平面直角坐标系O x y 中，点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上，过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，试求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2,,Q P F三点共线．（Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线．同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．。

2017年高考数学题分类汇编(10)圆锥曲线

2017年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第10部分:圆锥曲线一、选择题:1．（ 2010年高考全国卷I 理科9）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)2(B)2(C)(D)1.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||y =2．（2010年高考福建卷理科2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0 【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

3．（2010年高考福建卷理科7）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A. )+∞B. [3)++∞C. 7[-,)4+∞D. 7[,)4+∞ 【答案】B【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。

2017年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)

2017年高考数学—圆锥曲线（解答+答案）1.（17全国1理20.（12分））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2.（17全国1文20．（12分））设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.3.（17全国2理20. （12分））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4.（17全国3理20．（12分））已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．5.（17全国3文20．（12分））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.（17北京理（18）（本小题14分））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.7.（17北京文（19）（本小题14分））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．8.17山东理（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9.（17天津理（19）（本小题满分14分））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10.（17天津文（20）（本小题满分14分））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（ⅰ）求直线FP 的斜率；（ⅱ）求椭圆的方程.11.（17浙江21．（本题满分15分））如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13()()22P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.12.（17江苏17.（本小题满分14分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.参考答案：1.解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B的坐标分别为(,t t则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++而 12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++ 解得12m k +=-当且仅当1m >-时，0∆>，于是1:2m l y x m +=-+，所以l 过定点(2,1)-3.解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r由NP =u u u r u u u r得00,x x y y ==因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y += 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -设(3,),(,)Q t P m n -，则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-u u u r u u u r u u u r u u u rg ， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r由1OQ PQ =u u u r u u u r g 得2231m m tn n --+-=又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF =u u u r u u u r g ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又221212,22y y x x ==，故21212()44y y x x ==因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -==-g ，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上（2）由（1）可得21212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+故圆心M 的坐标为2(+2,)m m ，圆M的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r，故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-当1m =时，直线l 的方程为10x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=5．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况（2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

最新-2017年高考文科数学真题汇编：圆锥曲线老师版

（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.17.（2015年安徽文）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510。

[学优高考网]（1）求E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。

∴a b3231＝5525451511052222222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b（Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2,2b a -）∴a b a ba a bb K MN 56652322131==-+= abK AB-=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB18.（2015年福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ A ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4119.（2015年新课标2文）已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为．2214x y -= 20.（2015年陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.21.（2015年陕西文科）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22.(I)求椭圆E 的方程；2212x y += 22.（2015年天津文）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线的方程为（ D ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x2b上，则双曲线的方程为（A）202215x y（C）2325100x2233110025x y新标1) 已知双曲线21=（0,a b>>）的离心率为52，则C．(0,1][4,)+∞D．(0,3][4,)+∞【答案】A【解析】当03m<<，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan603ab≥=，即33m≥，得01m<≤；当3m>，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan603ab≥=，即33m≥，得9m≥，故m的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A.41、(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)3．【答案】C【解析】由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.42．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. 5 B．2 2 C．2 3 D．3 34．【答案】C【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝3(x－1)．联立得方程组⎩⎨⎧y＝3(x－1)，y2＝4x，解得⎩⎨⎧x＝13，y＝－233或⎩⎨⎧x＝3，y＝2 3.∵点M在x轴的上方，∴M(3,23)．∵MN⊥l，∴N(－1,23)．∴|NF|＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为2 3.故选C.43．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A．63B．33C．23D．135．【答案】A【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63. 44．(2017·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1 6．【答案】D 【解析】根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 45．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.1．【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.46、(2017·北京文，10)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________. 【答案】2【解析】由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，∴m ＝2.47、(2017·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.48、(2017新课标1文)设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则2221212121214414AB x x y y x x K x x x x --+====-- （2）设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则C 在M 处的切线斜率'00112AB y K K x x x ====- ∴02x = 则()12,1A ，又AM ⊥BM ，22121212121111442222AM BMx x y y K K x x x x ----==---- ()()()121212222411616x x x x x x +++++===-即()12122200x x x x +++= 又设AB ：y=x ＋m 代入24x y = 得2440x x m --= ∴124x x +=，124x x m =- －4m ＋8＋20=0∴m=7故AB ：x ＋y=749.(2017年新课标Ⅱ文)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P满足→NP ＝2→NM . (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上,且→OP ·→PQ ＝1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【解析】(1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0),→NP ＝(x －x 0,y ),→NM ＝(0,y 0).由→NP ＝2→NM 得x 0＝x ,y 0＝22y .∵M (x 0,y 0)在C 上,∴x 22＋y 22＝1,∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0).设Q (－3,t ),P (m ,n ),则→OQ ＝Q (－3,t ),→PF ＝(－1－m ,－n ),→OQ ·→PF ＝3＋3m －tn , →OP ＝(m ,n ),→PQ ＝(－3－m ,－tn ).由→OP ·→PQ ＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1,安全员工作职责1、协助企业领导组织推动生产中的安全工作和做好劳动保护管理工作，贯彻执行国家安全生产法律、法规、标准和各项管理制度。

2017年北京市各区高三理科数学分类汇编----圆锥曲线(教师版)

2017年北京市各区高三理科数学分类汇编----圆锥曲线(教师版)（2017海淀期末）1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ B ）A.12B.1C.2D.3（2017海淀期末）5.已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是（ A ）A.122y x =-+B.12y x =-C.22y x =-D.2y x =-（2017东城期末）（2）抛物线22y x =的准线方程是（ D ）（A ）1y =-（B ）12y =-（C ）1x =-（D ）12x =- (2017西城期末)3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ B ）（A）0x =（B0y ±=（C ）30x y ±=（D ）30x y ±=(2017通州期末) 4．“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2017昌平期末）(7) 在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（ A ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（2017年朝阳一模）（5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.若直线AF的斜率为=PF （ C ）（A ） 34 （B ） 6 （C ） 8 （D ）16(2017年平谷一模)7.已知点M (0及抛物线x y 42=上一动点)(y x N ，，则||MN x +的最小值为（ C ） A ．5 B ． 32 C ． 3 D ． 4(2017年西城二模)5．设双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（ A ）（A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±=（D ）80x y ±=(2017年丰台二模)4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x=±的是（ D ）（A ）2214yx -=（B ）2214xy -=（C ）2214yx -=（D ）2214xy -=填空题部分：（2017东城期末）（11）若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =____1±___．（2017朝阳期末）9．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 3 ．（2017石景山期末）11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是(0) ．（2017丰台期末）10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 53 ．(2017年东城一模) （13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边,OA OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则a = ___32____． (2017年海淀一模)10.已知12(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为__2213y x -=__.(2017年丰台一模)9. 抛物线22y x =的准线方程是 12x =- ． (2017年石景山一模)11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = 4 ． (2017年平谷一模)12．在平面直角坐标系中，若方程142222=+-m y m x 表示双曲线，则实数m 的范围_______ m >0 ______；若此双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为_____x y 2±=___.xOy（2017年朝阳二模）9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 y = ，离心率是(2017年东城二模)（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA(2017年海淀二模)14.已知椭圆G ：22216x y b+=(0b << 的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_______①③______．解答题部分：（2017西城期末）19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【解析】将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB = 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，所以△MAB ．（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分]令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n-- ()()222202204242=n y n y y n ----22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．（2017海淀期末）18. （本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b ab+=>>上的两点（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-. （2017东城期末）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB的斜率之积为34-，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．【知识点】圆锥曲线综合【难度】4 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设．因为点在直线上且满足，所以．因为三点共线，所以．所以，解得因为点在椭圆上，所以．所以．即， 222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，b =C 22143x y +=112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y P AO ||3||PO OA =11(3,3)P x y ,,B Q P BP BQ λ=12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩Q C 2233143x y +=2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1因为在椭圆上，所以，．因为直线的斜率之积为，所以，即．所以，解得．所以．（2017朝阳期末）18．（本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P与其顶点(A,B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=．所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分（Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±，设直线OM 的方程是y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆,A B C 2211143x y +=2222143x y +=,OA OB 34-121234y y x x ⋅=-1212043x x y y +=2291()1λλλ-+=5λ=||||5||BP BQ λ==②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN === 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-．由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得2OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 (2017石景山期末18)18．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为c e a ==c =1b ==．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-，所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 (2017丰台期末)19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,FS y =--uu r ，24(2,FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分(2017通州期末)19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=① 11,22c e a ==又所以②由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，……………….12分又213-=k k ，所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分(2017房山期末)19．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为（θ为参数），已知圆O 与y 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，点P 为直线l ：y=4上的动点．直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ．（Ⅰ）写出圆O的标准方程；（Ⅱ）若△PAN与△MAN的面积相等，求直线PA的方程；（Ⅲ）求证：直线MN经过定点．【解答】（I）解：由圆O的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x2+y2=4．（II）解：如图所示，A（0，2），B（0，﹣2），设P（t，4）．直线PA方程为：y=x+2，（t≠0）．联立，化为： +x=0，解得x M=﹣，y M=．可得M．∵△PAN与△MAN的面积相等，∴PA=AM．∴0=，解得t=±2．∴直线PA的方程为：y=±x+2．（III）证明：直线PB的方程为：y=x﹣2．（t≠0）．由（II）同理可得：N．k MN==．直线MN的方程为：y﹣=，令x=0，可得y=1．∴直线MN经过定点（0，1）．（2017年朝阳一模）(19)（本小题满分14分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率3e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记,,的面积分别为,,，试证明1322S S S 为定值. 解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又c a =，即22123a a -=. 解得23a =.即a =所以c == 所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(. …………………4分（Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然.设,则12122222,33m y y y y m m --+==++，. 因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =-- 21212121[42()]4m y y m y y y y =-++3x =1AEE ∆11AE F ∆1AFF ∆1S 2S 3S m ∈R 1122(,),(,)E x y F x y 1112(3,),(3,)E y F y22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++ 2223(2)(3)m m +=+，又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-. 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分 (2017年东城一模)（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是椭圆C 的左，右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP 和BP 平行的射线，交椭圆C 于,M N 两点，求证：△OMN 的面积为定值．解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程为． …………………………5分（Ⅱ）设点，，．①，在轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>．射线的方程为，射线的方程为，所以，，且．222248(3)3m m m =+++22224824(3)m m m ++=+2221224(3)m m +=+2222,b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩2,a b ==C 22142x y +=00(,)P x y 11(,)M x y 22(,)N x y 11(,)M x y 22(,)N x y x OM 002y y x x =+ON 002y y x x =-01102y y x x =+02202y y x x =-2200142x y +=过作轴的垂线，垂足分别为，， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ ．由得，即，同理，所以，，即，所以，．② ，在轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN………………14分(2017年海淀一模)19.（本小题满分14分）已知椭圆G :2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+设A (11,x y )，B (22,x y )，,M N x 'M 'N 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩2201102()42y x x x +=+2220010222200004(2)4(2)2(2)2(2)4x x x x x y x x ++===+++++-2202x x =-2222120042x x x y =-=120x x =OMN S ∆=11(,)M x y 22(,)N x y x由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以AB 中点M 21(,)33-，于是直线OM 的斜率为1323=-12-．（Ⅱ）解法1：假设存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立．当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以AM =1)1CM DM ⋅==，矛盾；故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程，得：2222(21)42(1)0kx k x k +++-=，设A (11,x y )，B (22,x y )，则2122421k x x k +=-+，21222(1)21k x x k -=+，于是，2121222(1)(1)2221y y x x k k k k ++=⋅+=⋅-++221k k =+，点M 的坐标为(2222,2121k kk k -++), AB．直线CD 的方程为：12y x k =-⋅，联立椭圆G 的方程，得：222421k x k =+，设C (x 0，y 0)，则2222021(1)4OC x y x k=+=+⋅224121k k +=+，由题知，22244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，即：22228(1)(21)k k ⋅++22222241(41)4()21(21)k k k k k ++=-++，化简，得：212k =，故k =，所以直线l的方程为：1),1)y x y x =+=+．（II ）解法2：假设存在直线l 使得2AMCM DM =成立由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my +--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则12122221,22m y y y y m m -+==++，2122)2m AB y m +=-==+， 212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++，所以AB 中点M 的坐标为222(,)22mm m -++，所以直线CD 的方程为：2my x =-，由22222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2242x m =+，由对称性，设00(,)C x y ，则00(,)D x y --，即20242x m =+222220022(4)(1)(1)4(2)M M M m m m CM DM x x x x m ++=-+=+-=+，由||2||AB AM =，2AMCM DM =得24AB CM DM =，即22222(4)(1)4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭，解得22m =，故m =，所以直线l的方程为：1,1x x =-=-. (2017年西城一模)19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分] 所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [ 9分] 所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分]由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ；因为直线DF 的斜率是 3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分]同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分] 在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分] (2017年丰台一模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为，右焦点为F ，点()01，B 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，交直线2=x 于点P ，设=PM MF λuuu r uuu r ，=PN NF μuuur uuu r ，求证：λμ+为定值．（Ⅰ）解：因为点(01)B ,在椭圆C ：22221x y a b +=上，所以211b =，即1b =.又因为椭圆C的离心率为，所以c a=，由222a b c =+，得a =所以椭圆C 的方程为2212+=x y . ...………………5分（Ⅱ）证明：由已知得(1,0)F ,直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为(1)=-y k x ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(2,)P k . 由λ=PM MF ，μ=PN NF ,得121222,11λμ--==--x x x x ，所以121212*********()2411()1x x x x x x x x x x x x λμ--+--+=+=---++， . 联立221,2(1),y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+.因为 221212224223()243241212k k x x x x k k -+--=⨯-⨯-++ 222212444812k k k k -+--=+0=，所以0λμ+=为定值． ...………………14分 (2017年石景山一模)19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为c e a ==c =2a =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ．联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m < 所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=．所以B 、N两点间距离为定值2． ………14分 (2017年顺义一模)19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a经过点E，离心率为3，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，点(3,0)A 与点P 的垂直平分线交y 轴于点B ，求||OB 的最小值.（Ⅰ）解：离心率为c a =，所以2223c a =，故2213b a =，椭圆C 为2222113x y a a +=把点E 带入得226, 2a b ==，所以椭圆的方程为. ……………5分 O C 22162x y +=（Ⅱ）解：由题意，直线的斜率存在，设点，则线段的中点的坐标为，且直线的斜率，…7分由点关于直线的对称点为，得直线，故直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为：， ………9分令，得，则，由，得，化简，得. …………11分所以…………13分当且仅当，即时等号成立. 所以. ………… 14分（2017年朝阳二模）18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y ab +=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分l 000(,)(0)P x y y ≠AP D 003(,)22x y +AP 003AP y k x =-(3,0)A l P l AP ⊥l 031AP x k y --=D l 000033()22y x x y x y -+-=-0x =2200092x y y y +-=220009(0,)2x y B y +-2200162x y +=220063x y =-20023(0,)2y B y --20023||||2y OB y --=003||2||y y =+≥=003||2||y y =0[y =||OB(Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 00(,1)1xy --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分(2017年东城二模)（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上．解：（Ⅰ）由题意得解得． ……………4分所以椭圆的方程为． ………………5分（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”．……………6分设直线的方程为，则．……7分2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩2a =C 22143x y +=B EF MF EF MFB ÐAM (2)(0)y k x k =+?(2,4),(2,2)N k E k设点，由得，得 ……9分① 当轴时，，此时．所以．此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分． ……10分 ② 当时，直线的斜率为，所以直线的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分所以点到直线的距离2d =222|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==．即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分(2017年海淀二模)18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，所以轨迹E 的方程为24y x =. （Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*），因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，00(,)M x y 22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî2222(34)1616120k x k x k +++-=2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+îMF x ^01x =12k =?3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?E BFM Ð1y x =-1y x =-+EF MFB Ð12k 贡MF 024114MF y k k x k ==--MF E MF所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=，所以2(,2)A m m ，令1x =-得1(1,)nP m+--，因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220n NA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--=u u u r u u u r所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上. 法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*），因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k -+=，所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--，因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=u u u r u u u r ，所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上. (2017年西城二模)18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =．求直线AB 的斜率．解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ，得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分]（Ⅱ）因为||||PM PN =，所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以直线PA 与PB 的倾斜角互补，所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠，将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k --．[11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k +--．[12分]所以 222244()1(2)(2)AB k k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-．[14分](2017年丰台二模) 19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线PA ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k的值.解：（Ⅰ）因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =, ..………………1分所以3242a ==，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++，通分得122112(4)(4)(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++， ..………………11分代入①，得 1k =. ..………………14分(2017年顺义二模)19.（本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.解：（Ⅰ）由点3(1,)2-在椭圆上得，221914a b +=-----------------① 依题设知2a c =，则223b c =. ----------------------------------②②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ---------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 消去y ,得 ()0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ------------③此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以点T 的坐标为43(,)k m m -.由⎩⎨⎧+=-=m kx y x 4得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .则由已知条件知AT AS ⊥,即0=∙对满足③式的k m ,恒成立. 因为()m k x AS +---=4,41，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m x mkAT 3,41，由0=∙得0312********=+-+++m k x x m kx m k ，整理得()034441211=++++x x m kx --------④ 由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=++=+0340441211x x x ，解得11-=x .故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分。

2017年新课标全国理数高考试题汇编：圆锥曲线-老师专用

2017年新课标全国理数高考试题汇编：圆锥曲线1．【2017全国高考浙江卷理数·2T 】椭圆的离心率是（） ABC ．D ．【答案】B 试题分析：，选B ．【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2．【2017全国高考新课标I 卷理数·10T 】已知F为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 22194x y +=2359e ==,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c3．【2017全国高考新课标II 卷理数·9T 】若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2BCD．3【答案】A试题分析：由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．【2017全国高考新课标III 卷理数·5T 】已知双曲线C ：22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B故选B 。

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线-Word版含答案

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编圆锥曲线2017.02一、选择、填空题1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是A.1B.12 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知圆22:4C x y +=，点P为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ， A 、B 为切点，则直线AB 经过定点A.48(,)99 B.24(,)99C.(2,0)D.(9,0)3、（荆门市2017届高三元月调考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为(,0)F c ，圆222:()M x a y c -+=，双曲线以椭圆C 的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M 相切，则椭圆C 的离心率为A C D ．124、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知,O F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的中心和右焦点，点,G M 分别在E 的渐近线和右支，FG OG ⊥，//GM x 轴，且OM OF =，则E 的离心率为A B C D 5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知F 为双曲线22:1(0)33x y C a a -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB ．3 CD ．3a6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知直线23y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则1211k k + A.12 B. 2 C. 12- D. 13- 7、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为1l ，2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l ，2l 于,A B 两点，若OA ，AB ，OB 成等差数列，且AF 与FB反向，则该双曲线的离心率为（）A．528、（襄阳市2017届高三1月调研）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()4,2P ，且它的渐近线与圆(2283x y -+=相切，则该双曲线的方程为 A. 22184x y -= B. 221168x y -= C. 221812x y -= D. 2211212x y -= 9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为A.2210、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知直线:10l x y --=是圆22:210C x y mx y ++-+=的对称轴，过点(,1)A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（）A ． 2B ．C. 6 D．11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C40y +-=平行，则双曲线C 的离心率为2 12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）过点M )23,3(--且被圆2522=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 .二、解答题1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）如图，曲线Γ由曲线)0,0(1:22221≤>>=+y b a b y a x C 和曲线)0,0,0(1:22222>>>=-y b a by a x C 组成，其中点21,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点43,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若)0,6(),0,2(32-F F ，求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A 、B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求△CDF 1 面积的最大值．x2、（荆门市2017届高三元月调考）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴两端点为1(0,1)B -、2(0,1)B ，离心率e =点P 是椭圆C 上不在坐标轴上的任意一点，直线1B P 和2B P 分别与x 轴相交于M ,N 两点，（Ⅰ）求椭圆C 的方程和OM ON ⋅的值；（Ⅱ）若点M 坐标为(1,0)，过M 点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，试求ABN △面积的最大值.3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交于,A B 两点，E 的准线与x 轴交于点C ，CAB ∆的面积为4，以点(3,0)D 为圆心的圆D 过点,A B .（Ⅰ）求抛物线E 和圆D 的方程；（Ⅱ）若斜率为(1)k k ≥的直线m 与圆D 相切，且与抛物线E 交于,M N 两点，求FM FN ⋅的取值范围.4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P 、Q 两点.试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F 2F 1. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知Γ上存在一点P ，使得直线12,PF PF 分别交椭圆Γ于,A B ，若()12122,0PF F A PF F B λλ==>，求λ的值.6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知椭圆的中心在坐标原点，()2,0A ，()0,1B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k => 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于,E F 两点.（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值.7、（襄阳市2017届高三1月调研）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P是椭圆C 上一点，若12PF PF ⊥，12F F =12PF F ∆的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2))如果椭圆C 上总存在关于直线y x m =+对称的两点A,B ，求实数m 的取值范围.8、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()3,0F ，其左顶点A 在圆22:12O x y +=上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线():30l x my m =+≠交椭圆C 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为1N （点1N 与点M 不重合），且直线1N M 与x 轴的交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.9、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）（1）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，以原点为圆心，120+=相切．求椭圆C 的方程；（2）已知⊙A 1：（x ＋2）2＋y 2＝12和点A 2（2，0），求过点A 2且与⊙A 1相切的动圆圆心P 的轨迹方程.10、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点1,2⎛ ⎝⎭，且焦距为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点()2,0P -的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，点10,2G ⎛⎫-⎪⎝⎭，如果GA GB =，求直线l 的方程.11、（荆州中学2017届高三1月质量检测）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为大海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3 kmkm ．现要在海岸线ON 上再建一个码头B ，使得水上旅游线路AB （直线）经过小岛Q ．（Ⅰ）求水上旅游线路AB 的长；（Ⅱ）若小岛正北方向距离小岛6 km 处的海中有一个圆形强水波P ，水波生成t h 时的半径为r =2405a <<）．强水波开始生成时，一游轮以的速度自码头A 开往码头B ，问强水波是否会波及游轮的航行，并说明理由．OMN PBAQ参考答案一、选择、填空题1、D2、A3、A4、D5、A6、A7、C 8、A 9、D 10、C 11、A 12、30x +=或34150y ++=二、解答题1、（Ⅰ）2222223620416a b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩ 则曲线Γ的方程为()22102016x y y +=≤和()22102016x y y -=>…………………….3分（Ⅱ）曲线2C 的渐近线为b y x a =±,如图，设直线():bl y x m a=- 则()()22222222201b y x m a x mx m a x y a b ⎧=-⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩()()()22222242420m m a a m m ∆=-⋅⋅-=->⇒<<又由数形结合知m a ≥，a m ∴≤<设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则1222122x x mm a x x +=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩，12022x x m x +∴==，()002b b my x m a a =-=-⋅ 00b y x a ∴=-，即点M 在直线by x a=-上。

2017-2020高考数学分类汇编-圆锥曲线

2017-2020年高考数学分类汇编-圆锥曲线（2019全国Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若，，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．9.（2017课标III ）已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a ，的左、右顶点分别为21,A A 且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为．2.（2018课标2）已知()221222:0x y F F C a b a b+>>和是椭圆的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F 为等腰三角形，012120F F P ∠=，则C 的离心率为．5.（2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =_________时，点B 横坐标的绝对值最大（2019浙江）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．（2019全国3）设为椭圆C :的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M 的坐标为___________.13.（2018课标I ）设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明:∠OMA=∠OMB.14.（2018课标3）己知斜率为k 的直线l 与椭圆C:22+143x y =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1,m)(m > 0)（1）证明：k <12-.（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=，证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差.15.（2017课标I ）已知椭圆:C 2222=1x y a b +)0(>>b a ，四点)23,1(),23,1(),1,0(),1,1(4321P P P P -中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于B A ,两点.若直线A P 2与直线B P 2的斜率和为1-，证明：l 过定点.5.（2016全国I ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.【2015高考浙江，理19】已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．6.（2016全国II ）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．（Ⅰ）当时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围16.（2017课标II 理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆:C 2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP =.1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1=⋅PQ OP .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2019江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．（2019全国2）已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：是直角三角形；:E 2213x y t +=x A E (0)k k >E ,A M N E MA NA ⊥4,||||t AM AN ==AMN ∆2AM AN =k（ii ）求面积的最大值.（2019天津）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．8（2020北京）已知椭圆22221x y C a b+=：过点()21A --，，且2a b =（I ）求椭圆C 的方程：（II ）过点4,0B -（）的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q 求PBBQ的值 18．（2020天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9．（2020江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．20．(2020全国3)已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．19．(2020全国2)已知椭圆1C :()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与的2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且AB CD 34=．求1C 的离心率；设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．20.(2020全国1)已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.1.（2018课标I 理）已知双曲线C:x 23-y 2=1,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线l与C 的二条渐近线的交点分别为M 、N ，若△OMN 为直角三角形，则│MN │= ．3.（2018课标3理）设12,F F 是双曲线C: 22221x y a b-=（a >O ，b >0）的左、右焦点，O是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF OP =，则C 的离心率为．4.（2018北京）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，双曲线2222:1x y N m n -=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为．6.（2018天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为．7．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是 ▲ . 8.（2017课标II ）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为．10.（2017课标I ）已知双曲线C ：22221x y a b-=)0,0(>>b a 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点.若060=∠MAN ，则C 的离心率为________.11.（2017山东）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .（2019全国2）设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P ，Q 两点．若，则C 的离心率为A ．B ．C ．2D ．（2019全国1）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为_________．xOy ()222210,0x y a b a b-=>>F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=（2019全国3）双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为A ．B ．C ．D ．8．(2020全国2)设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．3211．(2020全国3)设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1B ．2C ．4D ．89．已知曲线22:1C mx ny +=.下列错误的是（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线8．(2020浙江)已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=_______．11．(2020全国3w)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为 A ．72B ．3C ．52D ．29．(2020全国2w)设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：2222-x y a b=l(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．3215．(2020全国1)已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 6．(2020全国3w)平面内，A ，B 是两定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线（2019全国2）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．84．（2020全国1）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．95．(2020全国3)设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)7．(2020全国3w)设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）7．（2020天津）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= （2019全国3）已知曲线C ：y =，D 为直线y =上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.（2019全国1）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．（2019浙江）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记的面积分别为．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G 的坐标．17.（2017天津理）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程.21． (2020浙江)如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A）．（Ⅰ）若116p ，求抛物线2C的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．。

2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编专题09 圆锥曲线(第01期) 含解析

一．基础题组1。

【2017年普通高等学校招生全国统一考试(长郡中学高三入学考试）（理）】已知点(1,0)M ,,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB •=，则MA BA •的取值范围是（）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ．6[,3]3【答案】C考点：1.椭圆的标准方程与几何性质;2。

向量的运算。

2. 【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）（理）】已知点A 是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是( ） A ．52B ．53C ．56D ．59【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线的性质及题意可知,,A B 两点关于y 轴对称,所以可设1111(,),(,)A x y B x y -，则2222211111(10)4x y x y x +=+-=，解之得2112535x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又因为点A在抛物线上，所以25253p =⨯，解得56p =，故选C 。

考点：抛物线的标准方程与几何性质.3. 【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试)（理）】给定双曲线222:151y C x -=+，若直线l 过C 的中心，且与C 交于,M N 两点,P 为曲线C 上任意一点，若直线,PM PN 的斜率均存在且分别记为,PMPN kk ，则PM PN k k •=。

【答案】512+ 考点：1.双曲线的标准方程与几何性质;2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.4. 【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学(理）试题】已知直线980x y --=与曲线32:3C y xpx x =-+相交于,A B ，且曲线C 在,A B 处的切线平行，则实数p 的值为（）A ．4B ．4或—3C ．-3或-1D ．-3 【答案】B考点：导数的几何意义．【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，设切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，第一由这两点处切线平行可得出1223x x p +=,第二，,A B 两点是直线与函数图象的交点，因此有12,x x 是联立后的方程32992680x px x -++=的解,下面是关键的一步,由(1）知112,3px x -都是这个方程的解,因此可代入后两式比较从而得出只含有p 的方程，可解出p 值，1p =-代入检验是我们都容易忘记的,是易错点，解题时要注意．5。

2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线

2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线DOA a=，AN AM b == ∵60MAN ∠=︒，∴3AP =，222234OP OA PA a b --∴2232tan 34AP OP a b θ==-又∵tan ba θ=223234b a a b =-，解得223ab =∴22123113b e a ++【全国2卷（理）】16.已知F 是抛物线C:28yx=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M为FN 的中点，则FN = ．【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-，如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =，且MN NF =，∴6NF NM MF =+=lFN M C B AOyx【北京卷】（9）若双曲线221y x m-=3则实数m =_______________. 【解析】.1321mm +=⇒=【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 .【解析】右准线方程为33101010x ==，渐近线为33y x =±，则31030(,)1010P ，31030(,)1010Q -，1(10,0)F -，2(10,0)F ，则302102310S =⨯=.【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .三、大题【全国I 卷（理）】20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，3），P 4（13C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.20.解：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b =∴椭圆C 的方程为：2214x y+=．（2）①当斜率不存在时，设()():AAl x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kbx x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+则22121211P A P B y y kk x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．【全国II 卷（理）】20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .．解：⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，(0)NP y =，又1022NM ⎛== ⎝， ∴2M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上．∴22122x +=，即222xy +=．⑵设点(3)QQ y -，，()PPP x y ，，(0)Qy ≠，由已知：()(3)1PPPQPOP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，，()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=，∴33PQ P Q P P Q xx y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Qyy x =⋅-，因为直线l 与OQl 垂直．∴3lQk y =故直线l 方程为3()PPQy x x y y =-+，令0y =，得3()PQP y yx x -=-，13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13PQ Px yy x =-⋅+，∵33PQPy yx =+，∴1(33)13PPx x x=-++=-，若0Qy=，则33Px-=，1Px=-，1Py=±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．【全国III 卷（理）】20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=， 2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． (2)若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++= 21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ， 120122y y y +==-，001924x y =-+=，半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为0(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径22||31r OQ ==+则圆22:(3)(1)10M x y -+-= 【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C ：y 2=2px过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.（18）解：（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P =12∴C :y 2=x ，∴焦点坐标（14，0），准线：x =-14. （Ⅱ）设l ：y =kx +12，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，OP ：y =x ，ON ：y =22yx x，由题知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )212y kx y x⎧>+⎪⎨⎪=⎩⇒k 2x 2+（k -1）x +14=0，x 1+x 2=21kk-，x 1·x 2=214k. 1112121112221122,22x kx x y x x y kx kx x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=++=+由x 1+x 2=21k k -，x 1x 2=214k，上式()2111121122122124kk kx kx k x x x k x -=+=+-⋅=∴A 为线段BM 中点.【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1(0)2222x y E :+a b a b=＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.17.解:（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c=②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）设0(,)P x y ，则000,0xy >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得02001x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴2220020(1)33y x y -=，∴2200169,77xy ==，故点P 的坐标是4737(,)77.【江苏卷】B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A = ，B =.(1) 求AB ;(2)若曲线C1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程. B.解:（1）AB ==.（2）设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ⎡⎤⎢⎥⎣⎡⎤⎡⎦⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以112x y y x =⎧⎨=⎩，即1112x y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为11(,)P x y 在曲线1C 上，所以228xy +=即曲线C 2的方程.【山东卷】（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k=，M是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M的半径为MC ，,OS OT 是M的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.（21）解：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =，所以2,1a b ==，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310kx k x +--=，由题意知0∆>，且()112122211231,21221k x xx x k k +==-++，所以22112112211181221k k AB kx x k ++=+-=+.由题意知1224k k =，所以2124kk =由此直线OC 的方程为124y x k =.联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此2221211814k OC x y k +=+=+.由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而2121221121181411822321k OC k rk k k ++=+++21221112324141k k k +=++，令2112t k =+，则()11,0,1t t >∈，因此2223313112221121119224OC t r t t t t t ===≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时122k =±，所以1sin22SOT ∠≤，因此26SOT ∠π≤，所以SOT ∠最大值为3π. 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为122k =±.【天津卷】（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)ypx p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程.（19）（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234ba c =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x=.所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=.【浙江卷】21．（本题满分15分）如图，已知抛物线2xy =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点11()()24P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.21．解：（Ⅰ）由题易得P （x ，x 2），-12<x <32，故k AP=21412x x -+=x -12∈（-1,1），故直线AP 斜率的取值范围为（-1,1）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知P （x ，x 2），-12<x <32，故PA =（-12-x ，14-x 2），设直线AP 的斜率为k ，则AP ：y =kx +12k +14，BP ：y =13924x k k -++，由112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩222234981(,)2244k k k k Q k k +-++⇒++ 故23432221(,)11k k k k k k k PQ k k +----++=++ ，又2(1,)PA k kk =---- ，故323322(1)(1)(1)(1)(1)(1)11k k k k k PA PQ PA PQ k k k k +-+--==+=+-++，即3(1)(1)PA PQ k k =+-，令3()(1)(1),11f x x x x =+--<<，则22()(1)(24)2(1)(21)f x x x x x '=+-=-+-，当112x -<<时，()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<，故max 127()()216f x f ==，即PA PQ 的最大值为2716.。

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2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数）解析一、选择题 ............................................................... 1 二、填空题 ............................................................... 3 三、大题 .. (5)一、选择题【浙江卷】2．椭圆22194x y +=的离心率是 A ．133B ．53C ．23D ．59【解析】94533e -==，选B.【全国1卷（理）】10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22AF GF AK AK AF P P GP Pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+ 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ=21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号即AB DE +最小值为16，故选A【全国Ⅱ卷（理）】9.若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．233【解析】取渐近线by x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为2223b a b =+得224c a =，24e =，2e =．【全国III 卷（理）】5.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为( ) A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.【全国III 卷（理）】10.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23 D.13 【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b==+ 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A【天津卷】（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为2.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A.22144x y -= B.22188x y -= C.22148x y -= D.22184x y -=【解析】由题意得224,14,22188x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=- ，故选B.二、填空题【全国1卷（理）】15.已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴32AP b =，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34b AP OP a b θ==-又∵tan b a θ=，∴223234b b a a b =-，解得223a b = ∴221231133b e a =+=+=【全国2卷（理）】16.已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-，如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =，且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=lFN M C BAOyx【北京卷】（9）若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数m =_______________.【解析】.1321mm +=⇒= 【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 . 【解析】右准线方程为33101010x ==，渐近线为33y x =±，则31030(,)1010P ，31030(,)1010Q -，1(10,0)F -，2(10,0)F ，则302102310S =⨯=. 【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .三、大题【全国I 卷（理）】20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32 ），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.20.解：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()2330112P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-= 222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =-所以l 过定点()21-，．【全国II 卷（理）】20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .．解：⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，(0)NP y =，又1022y NM NP ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴12M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上． ∴22122y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+，令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．【全国III 卷（理）】20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥uu r uu u r，即O 在圆M 上．(2)若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径22||31r OQ ==+ 则圆22:(3)(1)10M x y -+-=【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.（18）解：（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P =12∴C :y 2=x ，∴焦点坐标（14，0），准线：x =-14. （Ⅱ）设l ：y =kx +12，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，OP ：y =x ，ON ：y =22yx x ，由题知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x ) 212y kx y x⎧>+⎪⎨⎪=⎩⇒k 2x 2+（k -1）x +14=0，x 1+x 2=21k k -，x 1·x 2=214k . 1112121112221122,22x kx x y x x y kx kx x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=++=+由x 1+x 2=21k k -，x 1x 2=214k ，上式()2111121122122124kk kx kx k x x x k x -=+=+-⋅=∴A 为线段BM 中点. 【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1(0)2222x y E :+a b a b=＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.17.解:（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c=②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）设00(,)P x y ，则000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得0201x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴222002(1)33y x y -=，∴2200169,77x y ==，故点P 的坐标是4737(,)77.【江苏卷】B .[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A = ，B =. (1) 求AB ;(2)若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.B.解:（1）AB ==.（2）设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ⎡⎤⎢⎥⎣⎡⎤⎡⎦⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以112x y y x =⎧⎨=⎩，即1112x y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为11(,)P x y 在曲线1C 上，所以228x y +=即曲线C 2的方程. 【山东卷】（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.（21）解：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =，所以 2,1a b ==，因此椭圆E 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()112122211231,21221k x x x x k k +==-++，所以 22112112211181221k k AB k x x k ++=+-=+.由题意知1224k k =，所以2124k k = 由此直线OC 的方程为124y x k =. 联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2221221181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=+=+.由题意可知 1sin 21SOT r OC r OC r∠==++，而2121221121181411822321k OCk r k kk ++=+++21221112324141k k k +=++，令2112t k =+，则()11,0,1t t>∈，因此 2223313112221121119224OCt r t t t t t ===≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时122k =±，所以 1sin 22SOT ∠≤，因此26SOT ∠π≤，所以SOT ∠最大值为3π. 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±.【天津卷】（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. （19）（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b a c =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=.【浙江卷】21．（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点11()()24P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值. 21．解：（Ⅰ）由题易得P （x ，x 2），-12<x <32，故k AP=21412x x -+=x -12∈（-1,1），故直线AP 斜率的取值范围为（-1,1）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知P （x ，x 2），-12<x <32，故PA =（-12-x ，14-x 2），设直线AP 的斜率为k ，则AP ：y =kx +12k +14，BP ：y =13924x k k -++，由112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩222234981(,)2244k k k k Q k k +-++⇒++ 故23432221(,)11k k k k k k k PQ k k +----++=++ ，又2(1,)PA k k k =---- ，故323322(1)(1)(1)(1)(1)(1)11k k k k k PA PQ PA PQ k k k k +-+--==+=+-++，即3(1)(1)PA PQ k k =+-，令3()(1)(1),11f x x x x =+--<<，则22()(1)(24)2(1)(21)f x x x x x '=+-=-+-，当112x -<<时，()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<，故max 127()()216f x f ==，即PA PQ 的最大值为2716.。