§3.3

u
L C
uC
(3-80)
平均功率P与总电压U、总电流 I 间的关系：
P URI
其中： U
R
U cos
U
U U L C

U R

P UI cos
总电压
总电流
u 与 i 的夹角
cos
----- 功率因数
(3-81)
3. 无功功率 Q：
在 R、L、C 串联的电路中，储能元件 R、L、C
U L
电压三 角形
相 似

U C
UR
U U U L C I
阻抗三 角形
Z

X X L XC
R
(3-79)
三、R、L、C 串联电路中的功率计算 1. 瞬时功率
p u i p R p L pC
2. 平均功率 P （有功功率）
i
R
uR
uL
1 T P pdt T 0 1 T ( p R p L pC )dt T 0 2 PR U R I I R
总电压与总电流 的关系式
(3-71)
R-L-C串联交流电路——相量图 I U L
R
U R
U U L C
U
U
L C
U L
U C
U C
电压 三角形
U R
I
先画出参 考相量
相量表达式：
I R j X X U L C
(3-72)
R-L-C串联交流电路中的
阻抗角
1 X L X C u i tan R
一定时电
路性质由参 数决定
当
X L XC
L
时，
0 表示 u 领先 i －－电路呈感性
表示 u 落后 i －－电路呈容性
当X
X C 时， 0
当 X L X C 时，
0表示 u 、i同相 －－电路呈电阻性
由复数形式的欧姆定律
I Z U
可得：
U U U u Z Z u i I I I i
U Z I
u i
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(3-75)
2. Z 和电路性质的关系
Z Z R j X L X C
Z R (X L XC )
2 2
X L XC tan R
1
Z
阻抗 三角形

R
X X L XC
(3-78)
4. 阻抗三角形和电压三角形的关系
U U U U R L C R j X X I
L
C

Z R j X L X C
UL I X L
ω
R
+ _
ω =0时
L
R
+ _
e
E
XL = 0 直流
(3-53)
电感电路中的功率
1. 瞬时功率 p i u L
i 2 I sin t u 2 U sin(t 90 )

p i u 2UI sin t cos t UI sin 2t
(3-54)
(3-76)
I
R
U R
U
L C
U L
U C
假设R、L、C已定， 电路性质能否确定？ （阻性？感性？容性？）
不能！
1 X L L 、 X C C
当ω不同时，可能出现：
XL > XC ，或 XL < XC , 或 XL =XC 。
(3-77)

3. 阻抗（Z）三角形
Z R j( X L X C ) Z
(3-44)
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u
R
i 2 I sin ( t ) u 2 U sin ( t )
2 2
p u i Ri u / R
小写
(3-45)
p u i Ri u / R
2 2
i
u
ωt
结论：
1.
2.
p
p 0 （耗能元件） p 随时间变化
设
U R
U L
I0 （参考相量） I
U
L C
U C
I R U R 则 I jX U L L I jX U
C
C

I R I jX I jX U L C R j X X I
L C
i 2U C sin(t 90 )

1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 落后
i
90° ）
u
i
I
UC
90
t
U
U
(3-59)
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )

I
1 I 3. 有效值 I U C 或 U C
(3-68)
电流有效值
U 70.7 I 22 . 2 mA X C 3180
瞬时值
i 领先于 u 90°
i
2 22.2sin(314 t 2 22.2sin(314 t

6 3


2
)
) mA

I
3

6
U
(3-69)
3.3.2 R-L-C串联交流电路
一、电流、电压的关系
复数形式欧姆定律
I R j X X U L C
令
I
R
Z R j X L X C
实部为阻Biblioteka 虚部为抗 U R U
感抗 容抗
L C
U L
U C
Z：复数阻抗
则
I Z U
复数形式的 欧姆定律
(3-73)
说明：

Z R j X L X C
§3.3 正弦交流电路的分析计算
3.3.1 单一参数的正弦交流电路
3.3.2 R-L-C串联交流电路
3.3.3 交流电路的一般分析方法
3.3.4 功率因数的提高
(3-42)
3.3.1 单一参数的正弦交流电路
一、 电阻电路
根据 欧姆定律
u iR
设 u 2 U sin t
u
i
R
u U 则 i 2 sin t 2 I sin t R R
定义：
1 XC C
容抗（Ω ）
则：
U I XC
(3-60)
4. 相量关系
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 ) U0 设： U I I90 U C90

I
U 1 则： 90 C I
p dt UI sin (2t ) dt 0
0
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量
交换（能量的吞吐）。
(3-56)
3. 无功功率 Q
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
p i u UI sin 2t
Q U I I XL U
2 2
I
R
Z 是一个复数，但并不是正弦交流
量，上面不能加点。 Z 在方程式中
U R
只是一个运算工具。
U
L C
U L
U C
I Z U
在正弦交流电路中，只要物理量用相量
表示, 元件参数用复数阻抗表示，则电路
方程式的形式与直流电路相似。
(3-74)
二、关于复数阻抗 Z 的讨论
1. Z 和总电流、总电压的关系
U
1 X U I 90 jI C C
(3-61)
电容电路中复数形式的 欧姆定律
U I j X C
I
其中含有幅度和相位信息
领先！ I
U
(3-62)
关于容抗的讨论
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
1 （X C ） 容抗 是频率的函数， 表示电容 C
u 2 I L sin( t 90 )

2 U sin( t 90 )

1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先
i
90 °）
u
i
90
t
IL
U
I
I
(3-49)
u 2 I L sin( t 90 )

2 U sin( t 90 )
XL
Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)
(3-57)
三、电容电路
i u
设： u
则： C
du 基本关系式: i C dt
2U sin t
du iC 2UC cos t dt 2U C sin(t 90 )
(3-58)
电容电路中电流、电压的关系
u 2U sin t
ωt
3.
p 与 u 2、i 2 成比例
(3-46)
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
u
R
i u
2 I sin t 2 U sin t
1 T 1 T P p dt u i dt T 0 T 0 1 T 2 2 UI sin t dt 大写 T 0 P U I 1 T UI (1 cos 2 t )dt UI T 0
i
R
u uR uL uC
uR
uL
若
i 2 I sin t
u
L
C
则 u
2 IRsin t

uC
2 I (L) sin(t 90 ) 1 2I ( ) sin(t 90 ) C
(3-70)
相量模型 I
R
相量方程式：
U U U U R L C
p UI sin 2t
Q UI
（电容性无功取负值）
(3-67)
例 求电容电路中的电流 已知： C ＝1μF 求：I 、i 解：X C
i u
C
u 70.7 2sin(314 t ) 6
1 1 3180 6 C 314 10

电流有效值
U 70.7 I 22 . 2 mA X C 3180
(3-43)
电阻电路中电流、电压的关系
u 2 U sin t u U i 2 sin t 2 I sin t R R
1. 频率相同 3. 有效值关系：U 4. 相量关系：设 则 2. 相位相同
IR
U U 0
U I 0 R
I
U
或
I R U
波有效。
1 Xc C
+
-e
直流
ω＝0 时
ω
+ -E
Xc
(3-63)
电容电路中的功率
1. 瞬时功率 p
i
u
i 2 I sin t u 2U sin(t 90 )

p i u U I sin2t
(3-64)
p i u U I sin2t
i u
i
u L
p i u UI sin 2t
u
i
i
t
i u u i u i
u
P
+
可逆的 能量转换 过程
p <0
+
p >0
p <0
p >0
储存 能量
释放 能量
t
(3-55)
2. 平均功率 P （有功功率）
p i u UI sin 2t
1 P T 1 T

T
0 T
(3-47)
二、电感电路
di 基本关系式：u L dt
设 则
i u
L
i
2 I sin t
2 I L cost 2 I L sin(t 90 )

di uL dt
2 U sin(t 90 )

(3-48)
电感电路中电流、电压的关系
设：
i 2I sin t
虽然不消耗能量，但存在能量吞吐， 吞吐的规模用
无功功率来表示。其大小为：
Q QL QC ULI （ U C I） （U L U C） I IU sin
I
(3-51)
电感电路中复数形式的 欧姆定律
I j X U L
其中含有幅度和相位信息
U
领先！ U
I
u、i 相位不一致 ！
u iL ？
(3-52)
关于感抗的讨论
感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XL

3. 有效值
定义：
U IL
X L L
U I XL
(3-50)
感抗（Ω ）
则：
4. 相量关系
i 2I sin t u 2 U sin( t 90 )
设：
I I0 U U90 I L90
U
U U 则： 90 L90 I I j 90 I L e ( jX ) U I L
ωt i u u P>0
充电
i
u
i u
i
p
放电
放电 充电
P<0
释放 能量
储存 能量
(3-65)
2. 平均功率 P
p i u U I sin2t
1 P T 1 T

T
0 T
Pdt U I sin 2 tdt 0
(3-66)
0
3. 无功功率 Q
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）