初中数学中整体思想的应用及解题策略
整体思想的解题策略
整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。
本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。
在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。
这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。
一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。
例1：证明21×43×65…×n n 212-＜121+n 证：设M=21×43×65…×n n 212-，N=32×54×76…×122+n n，显然M ＜N则MN=(21×43×65…×n n 212-)(32×54×76…×122+n n )=121+n∵M 2＜MN ∴M 2＜121+n 故M ＜121+n 评注：本解法抓住M ，N 这两个整体，使问题得到解决。
本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。
例2：设三个方程ax 2+bx+c=0，bx 2+cx+a=0，cx 2+ax+b=0有公共实数解，求实数a 、b 、c 之间的关系。
解：设三个方程的公共实数根为x 0，则 ax 02+bx 0+c=0 ① bx 02+cx 0+a=0 ② cx 02+ax 0+b=0 ③①+②+③ (a+b+c)( x 02+x 0+1)=0∵x 02+x 0+1=(x 0+21)+43＞0，∴a+b+c=0评注：本题欲求a 、b 、c 关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c 这一整体，使问题的解决豁然开朗。
二、整体求解解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。
整体思想在数学解决问题中的应用
整体思想在数学解决问题中的应用整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
一、整体思想在代数式求值中的应用例1：m+n=2，mn=1，则 = ；思路：不用单独求m和n，而是把变成在把m+n和mn的值进行整体代入。
例2：已知 +x-1=0，则 = ；思路：不用单独求x值，而是 +x-1=0变化成2（ + x）-1=0得到 + x=进行整体代入。
二、整体思想在解方程（组）中的应用例1：若方程组的解是，则方程组的解是（）。
A． B． C． D．思路：把x+2和y-1看做一个整体，根据已知方程组的解，容易得到x+2=8.3，y-1=1.2，进而求得x和y的值。
例2：若二元一次方程组的解为则a-b=；思路：不用解方程求x和y，只需把方程组中两个方程相加，得到4x-4y=7，得到x-y的值，进而得到a-b的值。
三、整体思想在求线段长中的应用例1(河北2018中考)：如图，点为△ABC的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（）A.4.5B.4C.3D.2思路：阴影部分的周长可以凑成一个整体转化为线段AB的长。
例2：如图，某楼梯示意图，BC＝4米。
要在楼梯上铺设地毯，则地毯的长度大约为（）米。
(取1.73)思路：其实地毯的长度就是所有台阶的长度与高度的和，即AC+BC的长。
四、整体思想在求角度中的应用例1：如图，三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数是( )。
A.90∘B.120∘C.135∘D.180∘思路：∠1+∠2+∠3的度数和看做一个整体去求。
可以利用平移的办法转化为一个平角，也可以用三个平角的和减去两个三角形的内角和。
五、整体思想在求面积中的应用例2：如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，半径都是1cm，则图中阴影部分的面积是( )cm²。
浅谈整体思想在初中数学教学中的应用
浅谈整体思想在初中数学教学中的应用“整体”思想是指在考虑问题时，从大处着眼，由整体入手，把一些看似彼此独立而实质上紧密联系的量作为整体来处理的思维方式。
这种方法可以使很多按常规方法难以处理的问题得到快速便捷的解答。
下面举例说明。
例一、如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠BO C，求∠EOF的度数？分析与解：这是七年级上常见的一道几何题，对于初学几何的同学来说，肯定知道∠EOF=∠EOC+∠COF，但∠EOC 和∠COF分别是多少度，无从得知。
不妨这样来思考：∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=×180°=90°对于初学几何的七年级学生来说，通过这道题学习整体思想很有益处！例二、若x+x=3，则，x+x=______。
分析与解：若按常规，先求出x的值，再代入计算则十分繁冗，因为故可把视为一个整体，得=7.例三、有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购买甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。
问购买甲乙丙各1件共需多少元？分析与解：设购买甲乙丙各1件各需x、y、z元。
由题意得：3x+7y+z=3.154x+10y+z=4.20若按常规解法，求出x、y、z的具体值，则需列出三个方程求解，而题中条件只可列出两个方程，难以解答。
仔细分析题意，只需求出（x+y+z）这个整体即可，故用整体拼凑法对上面方程组整理得：2(x+3y)+(x+y+z)=3.153(x+3y)+(x+y+z)=4.20解此关于x+3y,x+y+z的二元一次方程组，得：x+y+z=1.05例四、如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都为0.5cm，则图中阴影部分的面积是多少？分析与解：由于各个扇形的圆心角的度数均未知，从而不能分别求出各个扇形的面积，为此，将三个阴影部分整体考虑，注意到三角形的内角和为180，所以三个扇形的圆心角的和为180；又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分面积为半径0.5cm的圆的面积的一半；即：2××0.5=(cm)例五、如图，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和。
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整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
“整体”思想在解题中的应用
“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。
运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。
下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。
“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。
解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。
例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。
分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。
解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。
分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。
解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。
这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。
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整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及重要性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
七年级数学上册：整体思想在整式运算中的应用
则这个三角形的周长为
A+2A-1+ 2 (2A-1)=A+2A-1+ 4 A- 2 = 13 A- 5 ,
3
3 33 3
将 A=3a+2b 代入 13 A- 5 , 33
即 13 A- 5 = 13 (3a+2b)- 5 =13a+ 26 b- 5 ,即这个三角形的周长为 13a+ 26 b- 5 .
类型四:整体替换
【例5】 三角形第一边长为3a+2b,第二边长是第一边长的2倍少1,第三边长是第二边长 的 2 ,求这个三角形的周长.
3
点拨:由题意可设 A=3a+2b,则第二边长为 2A-1,第三边长为 2 (2A-1),所以周长为 A+2A-1+ 2 (2A-1).
解:设 A=3a+2b,源自333 33
3
33
33
【针对训练】 已知A=-3x3+2x2-1,B=x3-2x2-x+4,求2A-(A-B).
解:2A-(A-B) =2A-A+B=A+B =(-3x3+2x2-1)+(x3-2x2-x+4) =-3x3+2x2-1+x3-2x2-x+4 =-2x3-x+3.
类型五:整体思想之赋值
专题一 整体思想在整式运算中的应用
在进行整式的加减时,有些题目采用常规解法比较繁琐或根本无法解答,此时若经过适 当变形,利用“整体思想”,可使问题迎刃而解,轻松取胜.
类型一:整体代入
【例1】 如果a+b=5,那么(a+b)2-4(a+b)=
5.
点拨:已知式与要求式中都有a+b,只要把式中的a+b的值代入到要求的式子中即可.
数学中的整体思想
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
整体思想在初中数学解题中的应用——以“图形与几何”问题为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７整体思想在初中数学解题中的应用整体思想在初中数学解题中的应用㊀㊀㊀ 以 图形与几何 问题为例Һ林㊀芹㊀陈豫眉㊀（西华师范大学，四川㊀南充㊀６３７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在初中数学学习阶段，对于一些数学问题若过度拘泥于常规解法，则很难找到解决问题的突破口，容易造成寸步难行的局面．当 山重水复疑无路 时，尝试观察问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，便能使原本的问题化繁为简㊁化难为易，达到 柳暗花明㊁一举成功 的效果．因此，本文将以图形与几何问题过程中蕴含的整体思想为主线，挖掘其内含的解题策略，以期帮助学生了解更多的解题方法，培养学生的整体意识，提升学生数学思维的敏捷性㊁概括性与灵活性．ʌ关键词ɔ整体思想；初中数学；图形与几何著名数学教育家波利亚认为： 掌握数学就意味着要善于解题 ．然而，善于解题并不意味着一味地使用自身熟悉的㊁做过的题型去 套 ．这种只满足于解出答案，不对问题所蕴含的思想㊁方法进行归纳的学习方式已经无法满足学生内在发展的需要．因此，教师在教学中应该有意识地培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力，提高数学素养．整体思想作为数学思想中的重要思想，旨在从已有问题的整体性质出发，认真观察问题的整体结构，对其进行恰当的分析与改造，把握住问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，将其中的某部分看成一个整体［１］，挖掘式子或图形之间的内在联系，再对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使得原有式子或图形的结构变得更加清晰明了，容易解决．图形与几何问题较为重视推理过程，整体思想非常符合这一要求，它能将学生的思维过程有效地融合在一起，而又不至于太过分散［２］．这种以整体的眼光看待问题㊁解决问题的方法，在解决图形与几何问题中发挥着不可替代的作用．１㊀整体思想在求解图形面积中的应用通过观察归纳，不难发现中小学阶段在求解图形面积的相关问题是有共通之处的．求解平面不规则图形的面积问题的解题关键其实就在于需将原有的不规则图形转化为规则图形求解，既能考查学生的读图㊁识图能力，又能考查学生的数学转化思想与思维的灵活性［３］．而数学的整体思想恰好在这一类求解图形面积问题中发挥着不可替代的作用，在求解此类问题时，常常需要学生运用整体的眼光去看待原有的不规则图形，即从原有图形的局部结构特征入手，与其所学的规则图形关联起来，达到解决问题的目的．例１㊀如图１，☉Ａ㊁☉Ｂ㊁☉Ｃ两两不相交，且半径都是０．５ｃｍ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图１分析㊀本题若依据常规思路，我们会考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们发现，尽管上述图形的阴影部分是规则图形扇形，但我们不知道每个扇形所对圆心角的度数，故无法顺利求解出每个扇形的面积．然而，若用整体的眼光去看待问题，由于三个扇形的半径均为０．５ｃｍ，那么自然可以将三个阴影部分转换成一个半径为０．５ｃｍ的半圆，既打通了思维上的阻碍，还简化了计算的过程．例２㊀如图２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，分别以ＡＣ㊁ＢＣ为直径画半圆，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图２分析㊀本题若依据常规思路，我们首先考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们可以发现，上述图形的阴影部分均为不规则图形，无法根据标准图形面积的计算公式直接计算．那么，我们可以转换思路，尝试利用差值思想，结合其他标准图形解决问题．然而，经观察思考发现其他图形中仍包含未知的不规则图形，也无法顺利解㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７决问题．因此，先不考虑结论，我们先从已知的可利用的条件入手．将各部分阴影面积分别用Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，ａ，ｂ来表示，再利用已知条件，建立三个等式：Ｓ１＋Ｓ３＋ａ＝１２π１２ˑ２()２＝π２，①Ｓ１＋Ｓ２＋ｂ＝１２π１２ˑ４()２＝２π，②Ｓ１＋ａ＋ｂ＝１２ˑ４ˑ２＝４，③由①＋②－③，得Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝５π２－４．例３㊀如图３，矩形ＡＢＣＤ被两条对角线分成了四个小三角形，已知四个小三角形的周长和为８６ｃｍ，一条对角线长为１３ｃｍ，求矩形的面积．图３分析㊀本题若依据常规思路，为求解矩形的面积，则需知道矩形ＡＢＣＤ的长和宽．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解矩形相应的边长．然而，若运用整体思想，根据矩形面积公式Ｓ＝ＡＢ㊃ＢＣ，只需求解出ＡＢ㊃ＢＣ的值．由题可知ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝８６－２（ＡＣ＋ＢＤ）＝８６－４ˑ１３＝３４，可以得到ＡＢ＋ＢＣ＝１７．再将上述式子两边同时平方，可得ＡＢ２＋２ＡＢ㊃ＢＣ＋ＢＣ２＝２８９．又因为ＡＢ２＋ＢＣ２＝１３２＝１６９，所以ＡＢ㊃ＢＣ＝６０．例４㊀如图４，两个正方形有一个公共顶点，已知大㊁小正方形的边长分别为ａ１，ａ２，求әＡＢＣ的面积．（用ａ１，ａ２的代数式表示）图４㊀㊀图５分析㊀本题若从常规思路解决问题，想要求解әＡＢＣ的面积，需要知道әＡＢＣ相应的底边与高，方可利用三角形面积公式进行求解．但是，经过观察发现，我们无法根据现有条件直接利用公式求解әＡＢＣ的面积．因此，需要转化为规则图形面积的加减来计算．如图５所示，我们可以利用辅助线补全上述图形，将原有的不规则图形补全为规则图形，使得整个图形成为矩形，这时所求的әＡＢＣ的面积就可以利用整个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即ＳәＡＢＣ＝ａ１（ａ１＋ａ２）－１２ａ１２－１２ａ２（ａ１＋ａ２）－１２ａ２（ａ１－ａ２），化简可得ＳәＡＢＣ＝１２ａ１２．通过观察上述问题，我们不难发现利用整体思想在求解图形面积问题中的关键是善于用 集成 的眼光．在求解此类问题的过程中，若拘泥于常规思路或解法，常常会发现无法运用现有的知识进行求解，即容易走入 死胡同 ．但是，如若我们认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，把握图形的整体结构特征，便能使原有的问题化繁为简㊁化难为易，达到柳暗花明㊁豁然开朗的效果．２㊀整体思想在几何问题中的应用几何问题，说到底也就是图形问题，旨在研究图形的性质．这就要求学生能够分辨出题目所给出的信息，且能够洞察隐藏在已知图形下的与解决问题相关的另一 子图形 ［４］，再利用 局部 或 全局 的整体性，将二者恰当地结合起来，使得原来无从下手的问题，变得简单，解决问题的思路也变得清晰明了．例５㊀如图６，求ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝．图６分析㊀由图可知，ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＥＡＤ，而øＥＡＤ＝øＢＡＣ，故ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＢＡＣ㊀①．同理ø３＋ø４＝１８０ʎ－øＡＢＣ㊀②，ø５＋ø６＝１８０ʎ－øＡＣＢ㊀③．由①＋②＋③可得ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－øＡＢＣ－øＡＣＢ－øＢＡＣ．而现在若想单独求解øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ的度数，将会无计可施．但是，根据题意可知，需要求解的是ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６的值．因此，我们不必拘泥于单个角的度数，应当从整体的角度入手，把握角与角之间的内在联㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７系．øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ是әＡＢＣ的三个内角，根据三角形的内角和定理，可知øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ．因此，我们只需将上述式子看成一个整体，就可得到ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－（øＡＢＣ＋øＡＣＢ＋øＢＡＣ）＝３ˑ１８０ʎ－１８０ʎ＝３６０ʎ．例６㊀如图７，已知在әＡＢＣ中，øＢＡＣ＝５０ʎ，ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，求øＢＤＣ的度数．图７分析㊀本题若依据常规思路，想要求解øＢＤＣ的度数，则需要分别求解出әＢＤＣ中øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解出相应的度数，解题陷入了困局．然而，我们若采用整体思想，不再拘泥于øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数，而是将两者看成一个整体，即尝试求解øＤＢＣ＋øＤＣＢ的度数．由于øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ，且øＢＡＣ＝５０ʎ，得到øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎ．又因为ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，可以得到øＤＢＣ＝１２øＡＢＣ，øＤＣＢ＝１２øＡＣＢ，即øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２（øＡＢＣ＋øＡＣＢ）＝６５ʎ．而在әＢＤＣ中，øＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，则可求得øＢＤＣ＝１１５ʎ．例７㊀如图８，在平行四边形ＡＢＣＤ中，øＤＡＢ＝７０ʎ，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，并且ＡＥ平分øＤＡＦ，求øＥＡＣ的度数．图８分析㊀根据图８可知，øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ．但想要求解øＥＡＣ的度数，无须分别求解两个角的度数，只需要运用整体思想，将øＥＡＦ和øＦＡＣ看成一个整体．根据题意可以发现，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，又因为ＡＥ平分øＤＡＦ，øＤＡＢ＝７０ʎ．故可以得到øＤＡＢ＝øＤＡＥ＋øＥＡＦ＋øＦＡＣ＋øＣＡＢ＝２（øＥＡＦ＋øＦＡＣ）＝７０ʎ，即øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ＝３５ʎ．例８㊀如图９，已知ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ交ＡＯ的延长线于点Ｄ，Ｅ是ＢＣ的中点，求证：ＤＥ＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图９分析㊀通过观察，利用整体思想，对其进行补形，延长ＡＣ，ＢＤ，交于点Ｆ．由题意可知，ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ，可知әＡＢＦ为等腰三角形，可以将原图中的凹五边形看成是等腰三角形ＡＢＦ的一部分，如图１０所示，则点Ｄ就是ＢＦ的中点，ＡＢ＝ＡＦ且ＢＤ＝ＤＦ．又由于Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＥＤ为әＢＣＦ的中位线，即ＤＥ＝１２ＣＦ＝１２（ＡＦ－ＡＣ）＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图１０综上所述，在求解某些图形与几何问题时，不要执拗于计算出某部分具体的值．应当从已有问题的整体出发，认真观察图形与几何的整体结构，运用 集成 的眼光，尝试将部分图形与几何看成一个整体，建立起局部与整体的联系，对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使原有图形与几何的结构变得清晰明了，使问题变得易于解决．ʌ参考文献ɔ［１］贾应龙．整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：３６－３７．［２］石浩冰．整体思想在几何计算题中的应用［Ｊ］．教师，２０１５（３２）：７６．［３］相剑利．平面不规则图形面积求解策略［Ｊ］．数学大世界，２０１０（１０）：１２－１５．［４］魏东升．整体思想在立体几何解题中的应用探究［Ｊ］．教学考试，２０２１（２９）：６５－６８．。
初中数学解题中整体思想的应用策略
初中数学解题中整体思想的应用策略汤永梅(江苏省灌云县中学生社会实践基地ꎬ江苏连云港２２２２００)摘㊀要:新课程改革背景下ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师应注重数学思想的渗透.整体思想是一种重要的数学思想方法ꎬ它是从整体的角度ꎬ将某个式子或者图形看作整体ꎬ根据已知条件与问题之间的联系ꎬ有意识地从整体角度解决问题.文章结合例题ꎬ探究整体思想在初中数学解题中的应用ꎬ希望为教师提供参考.关键词:整体思想ꎻ初中数学解题ꎻ应用策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００５９－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:汤永梅(１９７７.９－)ꎬ女ꎬ江苏省灌云人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中数学教学中ꎬ常见的数学思想比较多ꎬ整体思想是其中重要的思想之一ꎬ在解题中被广泛地使用ꎬ对解决数学问题有着重要的作用.整体思想是通过对问题进行整体处理来解决问题的方法ꎬ其形式比较多ꎬ如整体代换㊁整体变形㊁整体设元等.借助整体思想ꎬ对问题进行深入分析ꎬ化繁为简ꎬ有效解决数学问题[１].１利用整体思想ꎬ解决代数式求值问题代数式求值问题是中考中的常见题型ꎬ一般来说ꎬ学生通常采取逐一求解ꎬ之后代入解题ꎬ这样的解题方式计算量比较大ꎬ而且很容易因为过程繁琐出现错误.因此ꎬ教师可以引导学生利用整体思想ꎬ结合问题的条件或者结论ꎬ将其看作一个整体ꎬ通过等价代换的方式ꎬ深入分析问题ꎬ化繁为简ꎬ完成解题[２].１.１整体求解例１㊀若ａ＝４＋３ꎬｂ＝４－３ꎬ求ａａ－ａｂ－ｂａ＋ｂ的值.分析㊀此题在解答时ꎬ如果直接代入ａ㊁ｂ的值ꎬ计算过程比较繁琐.如果能够对目标式进行变换㊁化简ꎬ将ａ㊁ｂ两式相加或者相减ꎬ可以得到ａ＋ｂ和ａ－ｂ的数值ꎬ之后整体代入化简后的目标式中ꎬ求解出代数式的值.解㊀ȵａ＝４＋３ꎬʑａ＋ｂ＝８ꎬａ－ｂ＝２３ꎬ原式ａａ－ａｂ－ｂａ＋ｂ＝(ａ)２ａ(ａ－ｂ)－ｂａ＋ｂ＝ａａ－ｂ－ｂａ＋ｂ＝ａ(ａ＋ｂ)－ｂ(ａ－ｂ)(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)＝ａ＋ｂａ－ｂ＝８２３＝４３３.１.２分式求解例２㊀已知１ｍ－１ｎ＝３ꎬ试求解３ｍ＋４ｍｎ－３ｎｍ－２ｍｎ－ｎ的值.分析㊀此题如果从条件入手ꎬ不能逐一求解ｍ㊁ｎ的值.观察未知式ꎬ其与已知条件的联系不明显ꎬ因此ꎬ可以对未知式进行整理ꎬ构造成１ｍ－１ｎ的形式ꎬ整体代入求解.解㊀ȵ１ｍ－１ｎ＝３ꎬʑｎ－ｍｍｎ＝３ꎬ即ｎ－ｍ＝３ｍｎꎬ９５ʑｍ－ｎ＝－３ｍｎʑ原式３ｍ＋４ｍｎ－３ｎｍ－２ｍｎ－ｎ＝３(ｍ－ｎ)＋４ｍｎ(ｍ－ｎ)－２ｍｎ＝３ˑ(－３ｍｎ)＋４ｍｎ－３ｍｎ－２ｍｎ＝－５ｍｎ－５ｍｎ＝１.１.３降次求解例３㊀已知ｘ满足ｘ２－ｘ－１＝０ꎬ求解代数式－ｘ３＋２ｘ２＋２０１４的值.分析㊀对于此类求值问题ꎬ学生通常是先求解一元二次方程ꎬ不仅过程比较复杂ꎬ而且求解的根是无理数ꎬ代入所求代数式ꎬ由于代数式最高次是３次ꎬ求解难度比较大.因此ꎬ可以采取整体思想求解ꎬ对所求代数式进行转化ꎬ根据已知变形代入ꎬ完成求解.解㊀ȵｘ２－ｘ－１＝０ꎬʑｘ２－ｘ＝１ꎬȵ－ｘ３＋２ｘ２＋２０１４＝－ｘ(ｘ２－ｘ)＋ｘ２＋２０１４＝ｘ２－ｘ＋２０１４＝２０１５.２借助整体思想ꎬ解决方程及不等式问题在初中数学解题中ꎬ部分方程问题和不等式问题比较复杂ꎬ面对这些问题ꎬ学生常常会无从下手.因此ꎬ教师可以结合题目结构特点ꎬ引导学生利用整体思想ꎬ明确问题解题思路ꎬ有效简化解题过程ꎬ强化学生数学解题思维[３].２.１解答方程(组)例４㊀在实数范围内解方程:２ｘ２＋３ｘ－４＝５２ｘ２＋３ｘ.分析㊀在解此类方程问题时ꎬ不少学生会按照常规方式解题ꎬ先去分母ꎬ之后求解.这样的解题方式出现的最高次是４次ꎬ解题的难度比较大.因此ꎬ可以采取整体思想进行解题ꎬ通过对方程进行观察ꎬ利用整体换元的方式ꎬ将分式方程转化为整式方程解题.解㊀设ｙ＝２ｘ２＋３ｘꎬʑ方程２ｘ２＋３ｘ－４＝５２ｘ２＋３ｘ可以转化为ｙ－４＝５ｙꎬ即ｙ２－４ｙ－５＝０ꎬ解得ｙ＝５或ｙ＝－１ꎬ当ｙ＝５时ꎬ２ｘ２＋３ｘ＝５ꎬ解得ｘ１＝－５２ꎬｘ２＝１.当ｙ＝－１时ꎬ２ｘ２＋３ｘ＝－１ꎬ解得ｘ３＝－１２ꎬｘ４＝－１.例５㊀如果关于ｘ㊁ｙ的二元一次方程组３ｘ－ｍｙ＝５２ｘ＋ｎｙ＝６{的解是ｘ＝１ｙ＝２{ꎬ求解关于ａ㊁ｂ的方程组３(ａ＋ｂ)－ｍ(ａ－ｂ)＝５２(ａ＋ｂ)＋ｎ(ａ－ｂ)＝６{的解.分析㊀在此题解答时ꎬ如果将ｘ㊁ｙ的值代入原方程ꎬ得出ｍ㊁ｎ的值ꎬ之后代入到第二个方程中求解ａ㊁ｂ的值ꎬ解题过程比较繁琐ꎬ很容易出现解题错误.因此ꎬ通过对第二个方程进行观察分析ꎬ未知项的系数与原方程的相同ꎬ因此ꎬ可以将ａ＋ｂ㊁ａ－ｂ各看作整体ꎬ它们的值与ｘ㊁ｙ相同ꎬ可以快速得出ａ㊁ｂ的值.解㊀根据题意得出ａ＋ｂ＝１ａ－ｂ＝２{ꎬ解得ａ＝３２ｂ＝－１２ìîíïïïï.２.２解不等式(组)例６㊀已知ｘ＋２ｙ＝４ｋ＋１２ｘ＋ｙ＝ｋ＋２{ꎬ且０<ｘ＋ｙ<３ꎬ求ｋ的取值范围.分析㊀此题解题时ꎬ如果直接求解方程组ꎬ之后代入不等式ꎬ求解ｋ的取值范围ꎬ从理论上来说是可行的ꎬ但是这样的解题过程非常麻烦ꎬ难度非常大.因此ꎬ可以将题目中ｘ＋ｙ看作一个整体ꎬ对方程组进行整理ꎬ再进行分析求解ꎬ解题过程比较简单容易.解㊀根据题意ｘ＋２ｙ＝４ｋ＋１ ①２ｘ＋ｙ＝ｋ＋２ ②{ꎬ将①＋②得出３ｘ＋３ｙ＝５ｋ＋３ꎬ即ｘ＋ｙ＝５３ｋ＋１ꎬȵ０<ｘ＋ｙ<３ꎬʑ０<５３ｋ＋１<３ꎬ解得－３５<ｋ<６５.３利用整体思想ꎬ解答图形与几何问题图形与几何问题是初中数学解题中的重要题０６型ꎬ对于一些问题ꎬ采取常规方式很难解答.因此ꎬ教师可以引导学生观察整体结构特点ꎬ从整体角度分析问题ꎬ化繁为简ꎬ帮助学生快速找出解题思路ꎬ提高学生解题效率[４].３.１求解图形面积例７㊀如图１所示ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＣ＝９０ʎꎬＡＣ＝４ꎬＢＣ＝２ꎬ分别以ＡＣ㊁ＢＣ作为直径画半圆ꎬ求解图中阴影部分的图形面积.(结果保留π)图１㊀例７题图分析㊀此题如果采取常规方式解题ꎬ先分别计算阴影面积ꎬ之后求和ꎬ但由于阴影部分是不规则图形ꎬ很难利用标准图形面积公式进行计算.因此ꎬ可以利用差值方式ꎬ结合标准图形解题.解㊀设各个部分的面积为Ｓ１㊁Ｓ２㊁Ｓ３㊁Ｓ４㊁Ｓ５ꎬ如图２所示ꎬ图２㊀例７分析图ȵ两个半圆的面积为Ｓ１＋Ｓ４＋Ｓ５＋Ｓ２＋Ｓ３＋Ｓ４ꎬәＡＢＣ的面积是Ｓ３＋Ｓ４＋Ｓ５ꎬ阴影部分的面积是Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ４ꎬʑ图中阴影部分的面积是两个半圆的面积减去三角形的面积ꎬ即Ｓ阴影＝１２ˑπˑ４＋１２ˑπˑ１－１２ˑ４ˑ２＝５２π－４.３.２解答几何问题例８㊀如图３所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬøＢＡＣ＝５０ʎꎬＢＤ是øＡＢＣ的平分线ꎬＣＤ是øＡＣＢ的平分线ꎬ求解øＢＤＣ的度数.分析㊀常规的解题方式是先求解出øＤＢＣ㊁øＤＣＢꎬ然后求解出øＢＤＣ的度数.但是ꎬ根据题目中的已知ꎬ无法求解出相应角的度数ꎬ因此ꎬ可以采图３㊀例８题图取整体思路ꎬ将øＤＢＣ㊁øＤＣＢ的度数看作整体ꎬ求解出两个角的度数和ꎬ完成解题.解㊀在әＡＢＣ中ꎬøＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎꎬȵøＢＡＣ＝５０ʎꎬʑøＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎꎬȵＢＤ是øＡＢＣ的平分线ꎬＣＤ是øＡＣＢ的平分线ꎬ㊀ʑøＤＢＣ＝１２øＡＢＣꎬøＤＣＢ＝１２øＡＣＢꎬʑøＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２(øＡＢＣ＋øＡＣＢ)＝６５ʎꎬ在әＢＤＣ中ꎬøＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎꎬʑøＢＤＣ＝１１５ʎ.在初中数学解题中ꎬ教师需要注重数学思想的渗透ꎬ引导学生分析题目整体结构ꎬ明确问题解题方向ꎬ看出问题的本质ꎬ有效利用整体思想解题.在具体的教学中ꎬ教师应当结合具体例题ꎬ引导学生总结和反思ꎬ灵活利用数学思想ꎬ锻炼学生数学思维ꎬ有效培养学生核心素养.参考文献:[１]魏爽.整体思想在初中数学解题中的妙用[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２２(１７):８７－８８.[２]程小芹.整体思想在初中数学解题中的应用[Ｊ].语数外学习(初中版)ꎬ２０２０(４):２８－２９.[３]林芹ꎬ陈豫眉.整体思想在初中数学解题中的应用:以 图形与几何 问题为例[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２２(１７):６２－６４.[４]张志华.登高望远ꎬ学以致用:谈 整体思想 在初中数学解题过程中的策略达成[Ｊ].中学数学(初中版)ꎬ２０２０(７).６０－６１.[责任编辑:李㊀璟]１６。
整体思想在初一数学中的运用
整体思想在初一数学中的应用解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。
它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。
引例：计算：111111111111111123201623420172320172342016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++-++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L ＝___________________.一、整体思想在代数式求值中的应用1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________.2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=.3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足：1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.二、整体思想在方程（组）中的应用 1.二元一次方程组264316x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3.解方程：226201620172018x x x -+++=三、整体思想在几何图形中的应用1.如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.2.在△ABC 内部有2018个点，将这2018个点与点A 、B 、C 连结，可以把△ABC 分割成多少个互不重叠的三角形？四、课后练习1.已知：2,3,6ab bc ca a b b c c a ===+++，则abc ab bc ca ++＝_______________.2.已知：x =，求322201636731x x x x -+++的值.3.如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成相应的填图游戏．。
整体思想在初中数学解题中的应用
整体思想在初中数学解题中的应用作者：郭伟来源：《学校教育研究》2016年第13期我们在数学的教学过程中，应该注重培养学生的数学思想，以便学生在解答数学题目的过程中，提高解答的速度以及正确性，把复杂的问题简单化。
而整体思想是数学中一种非常重要的思想。
我将从以下几个方面来阐述整体思想在初中数学中的应用。
一、数与式中的整体思想分析：本题按逐步相乘，会非常繁琐，而且容易出错。
本题可以先通过观察，把式子中相同的部分作为一个整体用一个字母来表示，例如设为，为，那么，分析：此题已知条件中的值含有根号，给我们的计算增加了难度，若考虑去掉根号，是否更好些呢？移项，得：，两边平方得：；将整体代入原式，得：说明：通过例1与例2，我们可以发现在解题时，先观察式子本身结构的特点，从而去找到突破点，再用整体代入的方法便简单地解决了这个问题。
二、方程（组）与不等式（组）中的整体思想例3：解方程组分析：通过观察一发现：若用①+②+③便可得到：2（x+y+z）=12，这样有x+y+z=6 ……④，将x+y=3、y+z=5、x+z=4作为一个整体分别代入到④中，就得到了z=3，x=1，y=2。
通过这样的手段，可以提高解题的速度，解题的准确性，使我们创造性思维得到培养，激发学生解题的兴趣。
例4：解方程组这个题的特征似乎不象例3那样的明显，但通过我们的细心观察，就可以发现方程③中含有方程②中的y - z，而y - z =3，那么方程③中的y -z这个整体便可以用“3”代替了，即：x+3=4，从而x=1，将x=1代入①得到 y=5，将y=5代入②得到z=2。
这个整体思想的运用，最主要是来源于对方程结构的观察，其观察的目标应该是定格在未知数的系数上面。
三、几何中的整体思想例5：如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是1cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和。
（友情提示：三个圆心角之间有何关系）分析：若要求每一个扇形的面积，就必须去求每一个扇形的圆心角，这里是办不到的，但我们可以将这些扇形拼凑在一块，通过三角形的内角和公式求出这个拼凑所得的半圆的圆心角，从而求出半圆的面积。
整体思想在初一数学中的运 用
整体思想在初一数学中的应用解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。
它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。
引例：计算：＝___________________.1、整体思想在代数式求值中的应用1. 当x＝－6时，代数式的值为5，则当x＝6时，这个代数式的值为_________.2. 已知：，则（1）＝_________；（2）.3. 已知正数a，b，c，d，e，f同时满足：，求a＋b＋c＋d＋e＋f的值.2、整体思想在方程（组）中的应用1. 二元一次方程组的解是________________.2. 已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3. 解方程：3、整体思想在几何图形中的应用1. 如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.2. 在△ABC内部有2018个点，将这2018个点与点A、B、C连结，可以把△ABC分割成多少个互不重叠的三角形？4、 课后练习1. 已知：，则＝_______________.2. 已知：，求的值.3. 如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成相应的填图游戏．。
初中数学中整体思想的应用及解题策略
初中数学中整体思想在代数中的应用有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一、 整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。
例1：已知22007a d +=，22008b d +=，22009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则 原式＝2221()a b c bc ac ab abc++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488=⨯++= 二、整体设元整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例2：计算：1111111(1)()2320072342008---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()2320082342007----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。
设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，则原式＝11(1)()(1)20082008a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008= 三、整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。
整体思想在初中数学中的应用
＝ ａ （ ａ ＋ ａ ） ＋（ ａ ‘ ＋ ａ ） 一 ａ ＋ ２ ０ １ ２
＝
＝
（ ａ ＋ ａ ） （ ａ ＋ １ ） 一 ａ ＋ ２ ０ １ ２ ｌ ｘ（ ａ ＋ １ ） 一 ａ ＋ ２ ０ １ ２
２ ０１ ３
＝
例２ ： 已知 Ｘ ＝ ２ 时． ａ ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ Ｃ Ｘ 一 ８ ＝ １ ０ ． 求 当ｘ ＝ 一 ２ 时， 代 数 式ａ ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ Ｃ Ｘ 一 ８ 的值 ． 分析： 由于ａ ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ Ｃ Ｘ 中的ｘ 的指 数 均 为 奇 数 ， 故 当ｘ ＝ ２ 和 ｘ ＝ 一 ２ 时． 它的值恰好互为相反数 ， 从 而 可 用 整 体 代 入 的 方 法 求 得 代数 式 的值 ．
将ｘ １ 视为一个整体 ， 设ｘ ‘ｌ ＝ ｙ ， 运用整体思想来分析 ， 就 可 以
化难为易． 解： 设ｘ ｌ ＝ ｙ ， 则 原 方 程 可 化 为
２
、
例１ ： 已知 ａ ＇ － ａ 一 １ ＝ ０ ， 求ａ ＋ ２ ａ ＋ ２ ０ １ ２ 的值 ． 分析： 此题若先从 已知条件ａ ｔ － ａ 一 １ ＝ Ｏ 中解 出ａ Ｍ值 ， 然 后 代人代数式求解 ． 尽 管理 论上 是 正 确 的 ， 但 解 答 相 当麻 烦 且 很
一
［ （ ａ ‘ ＋ ２ ａ ） ＋ ２ ］ ［ （ ａ ‘ ＋ ２ ａ ） ＋ ４ ］ ＋ １
（ ＋ ２ ａ ） 。 ＋ ４ （ ａ ＋ ２ ａ ） ＋ ２ （ ａ ＋ ２ ａ ） ＋ ８ ＋ ｌ
（ ａ 。 ＋ ２ ａ ） ＋ ６（ ａ ￣
：
（ ａ ２ ＋ ２ ａ ＋ ３ ）
２
‘ ．
．
ａ －ａ ＝１
ｆ ｘ ＋ ｙ ＝ ５ ④ ｛ ｙ ＋ ｚ ＝ ４ ②
“整体思想”在初中数学解题中的应用
R (x
+a
)+b
= Rx + R a + b
知 ( =
) 日
。
=
9
．
二
砰 r2 S ． ．
环形 = 订
一 叮r
=
( 砰 1 r
一
r2)
9 =
,rr ．
综上可 知 ，灵活运用整体思 想可 以化难为易
】7 = 茁 +
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“ 整 体思 想 ” 就 是在 数学 解 题过 程 中把 题 中的某 一 部分看成是一 个整体的一 种重要 的数学解题 方法． 在 实
分析
在解 以上 方程组 中，若想单独求出
R
、a
b
、
，
是不 可 能的 ，故采用将 舶 + b 看作是 一 个 整 体来 求解 ，
由题 意 知 ， O C ~ A B
AC =
，
BC ，
舻 c 2 c 2 ． ．
OA D 2
一
r
：
。
一
=A
时 时 且 z = 2
Y=
，
19 ；x
=
3
，，，= m
求 函数的解析式
解 ：由题 意 可 得 ：
19 =
2R + Ra
+b ,
解 得 之
R=
1 ，R a
+b=
17 。
‘ ．．
初中数学中整体思想的应用及解题策略
初中数学中整体思想在代数中的应用有一些数学问题，若是从局部入手，难以各个冲破，但假设能从宏观上进展整体分析，运用整体思想方式，那么常常能出奇制胜，简捷解题。
整体思想，确实是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体构造、整体特点，从而对问题进展整体处置的解题方式．整体思想的要紧表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有专门好的应用，因此，每一年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考察高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些观点和体会．一、 整体代换整体代换是依照问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进展等量代换，从而抵达减少计算量的目的。
例1：22007a d +=，22008b d +=，22009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c ++---的值。
解析：由解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：由可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=那么 原式＝2221()a b c bc ac ab abc ++--= 二、 整体设元整体设元是用新的参元去代替式或式中的某一局部，从而抵达化繁为简、化难为易的目的。
例2：计算：1111111(1)()2320072342008---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：此题数据较多，直接计算显然无法进展，注意到题中显现的一样算式，因此考虑整体设元。
设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，那么原式＝11(1)()(1)20082008a a a a -+--- 三、 整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处置，使之呈现规律性构造形式，从而抵达简化问题或减少运算量的目的。
初中数学 整体思想在解题中的应用学法指导
初中数学 整体思想在解题中的应用学法指导崔子荣所谓整体思想，即在解题时，从大处着眼，从整体入手，把一些表面上不相干而实质上又紧密相连的量作为整体来考虑。
应用这种思想方法，可使一些比较复杂的问题迎刃而解，现举例说明整体思想在解题中的应用。
一、方程组问题例1. 已知方程组⎩⎨⎧=++=++②①.4z y 10x 4,3z y 7x 3求x ＋y ＋z 的值。
解：由①得（x ＋y ＋z ）＋2x ＋6y ＝3。
③由②得（x ＋y ＋z ）＋3x ＋9y ＝4。
④③×3－④×2得x ＋y ＋z ＝1。
二、几何问题例2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，其周长为472+，斜边上的中线长为2，求这个直角三角形的面积。
解：设两条直角边长分别为a 、b ，因为斜边上的中线长为2，所以斜边长为4，则 ②①.16b a ,72b a 22=+=+①2－②得2ab ＝12。
.32ab S ABC ==∴∆三、因式分解问题例3. 分解因式.120)12x 7x )(2x 3x (22-++++解：设m 5x 5x 2=++，则原式120)4x )(3x )(2x )(1x (-++++=).16x 5x )(6x )(1x ()6x 5x )(16x 5x ()11m )(11m (121m 120)1m )(1m (120)4x 5x )(6x 5x (222222+++-=-+++=+-=-=--+=-++++=四、求值问题例4. 已知362a1a .01a 3a +=+-求的值。
解：由.a 31a 01a 3a 22=+=+-得 两边平方得.a 71a 24=+322324236a)a a 7(a 3a )1a a )(1a (a 1a -=+-+=+∴.18a a 6322=⨯=五、行程问题例5. 从A 、B 两汽车站同时相向各发出一辆车，再隔相同时间又同时发出一辆车，按此规律不断发车，所有汽车的速度相同且匀速行进。
初中数学整体思想在解题中的应用学法指导
初中数学整体思想在解题中的应用学法指导吴复将待求问题中的某一部分视为一个整体，这称为整体思想，在应用时需挖掘其整体因素，揭示其潜在的整体特殊性，现举例说明其方法的多种应用，以供参考。
一、求代数式的值例1 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1|x |=，求2x 3cd1b 2a 2+++的值。
分析：因a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1|x |=，故 0b a =+，0b 2a 2=+，1cd =，1x 2=。
解：因a 、b 互为相反数，故0b a =+。
因c 、d 互为倒数，故cd=1。
则2x 3cd1b 2a 2+++ ()431b a 2=+++=。
二、因式分解例2 分解因式()()21b 3b 4b 11a 6a --+++。
分析：展开后，把()b 3a 2+和()b a 3+各看作一个整体。
解：原式=2b a 4b 3ab 11a 622--+++()()()2b a 4b a 3b 3a 2--+++=()()1b a 32b 3a 2-+++=三、解方程例3 解方程141x 261x 1031x 2-+=+--。
分析：把各分子分别看作一个单项式，去分母时，把这个整体加上括号，不易出错。
解：去分母，得()()()121x 231x 1021x 24-+=+--。
整理，得3x 18-=-，即61x =。
四、整体联想例4 化简532151065+++++。
分析：经观察，分子中各根式恰是分母每两个根式的积，很易想到公式()ac 2bc 2ab 2c b a c b a 2222+++++=++。
解：因为()()151********+++=++， 所以()53221532151065++=+++++。
五、凑式成数整体代入例5 若01x 13x 2=+-，则44x 1x +的个位数字为 A. 1 B. 3 C. 5D. 7分析：凑式x1x +成13，从而代入计算。
初一整体思想运用
一、直接代入
二、转化已知式后再代入
三、转化所求式后再代入
四、同时转化所求式和已知式， 寻找共同式子
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初一整体思想运用
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整体代入思想
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程 （组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代 入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处 理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问 题中的具体运用。
有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是 通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母 又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思 想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定 整体。
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初中数学中整体思想在代数中的应用
有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．
一、 整体代换
整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。
例1：已知22007a d +=，22008b d +=，2
2009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c
++---的值。
解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：
由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则 原式＝2221()a b c bc ac ab abc
++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488
=⨯++= 二、整体设元
整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例2：计算：1111111(1)()2320072342008
---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()2320082342007
----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。
设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，则原式＝11(1)()(1)20082008
a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008
= 三、整体变形
整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。
例3：计算：200892008920089
99999919999⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个个个
解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。
原式20089200892008920089
999(9991)99919999=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个个个个
=
2008020089200800010001999个个个+⨯ 2008020081000(99991)=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+个个9
40160
1000=⋅⋅⋅个
四、整体补形
整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。
例4：如图，在四边形ABCD 中，2,1,AB CD ==60,90A B D ∠=︒∠=∠=︒，求四边形ABCD 的面积。
解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。
延长AD BC 、相交于点E ，如图1
在Rt ABE ∆中，60,2A AB ∠=︒= t a n 23B E A B
A ∴==在Rt CDE ∆中，1,18060CD ECD BCD =∠=︒-∠=︒
tan 1tan 60DE CD ECD ∴=∠=⨯︒=1122ABE CDE ABCD S S S AB BE CD DE ∆∆=-=-四边形
11
21222=⨯⨯⨯= 说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等
边三角形或平行四边形，如图2—图5。
五、整体配凑
整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。
例5：若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则22
a b c ++=＿＿＿
解析：要求22a b c ++的值，需求a 、b 、c 的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到222a b c ab bc ca ++=++，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出a 、b 、c 之间的关系，再利用2312a b c ++=就可以求出a 、b 、c 的值。
事
实上，由
222a b c ab bc ca ++=++，有2222222220a b c a b b c c a ++---=，即222()()()0a b b c c a -+-+-=，故a b c -=，将之代入2312a b c ++=有2a b c ===，故2210a b c ++=
六、整体构造
整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题。
例6：已知012,x <<
的最小值。
解析：作出图6，赋予以上式子如下的几何意
义
，AC CE ==，所以
求
的最小值，即求CD CE +的
最小值，当,,D C E
三点共线时值最小，最小值为
13DE ==。
图
6。