《24.2.2 直线和圆的位置关系》第3课时教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十四章圆

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.2 直线和圆的位置关系教学设计

（第3课时）

一、教学目标

1．理解切线长的概念和三角形内切圆、内心的概念．

2．掌握切线长定理及其应用．

二、教学重点及难点

重点：三角形内切圆的相关概念；切线长定理及其应用．

难点：切线长定理及其应用．

三、教学用具

多媒体课件，三角板、直尺、圆规。

四、相关资源

《复习切线的判定定理和性质定理》动画，《操作过程》动画，《辅助线做法》动画，《作三角形内切圆》动画．

五、教学过程

【知识回顾，引入新课】

切线的判定定理和性质定理是什么？

【数学探究】切线的判定定理,探究切线的判定过程

【知识点解析】切线的性质,此卡片可以用于知识总结,也可用于知识复习.

师生活动：教师展示问题和复习的课件，让学生回顾上节课所学知识．

设计意图：通过复习切线的判定定理和性质定理，为本节课学习切线长作好铺垫．

【合作探究，形成新知】

问题：请同学们拿出准备好的材料（材料：透明纸上画出⊙O，并画出过⊙O上A点的切线P A，连接PO），沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B．

请同学们观察并思考：

①PB是⊙O的切线吗？

②判断图中的P A与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

师生活动：教师提出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现解决问题的关键：（1）PB是⊙O的切线？（2）若想得到PB是⊙O 的切线，PB满足什么条件？（3）OB是不是⊙O的半径？为什么？（4）OB是否垂直于PB？为什么？（5）点A与点B有怎样的位置关系？（6）∠OBP与∠OAP有怎样的位置关系？教师关注：（1）学生是否能够明确问题并能积极寻找解决问题的关键知识和方法；（2）学生在活动中发表个人见解的勇气；（3）学生能否在动手操作中获得启示并找到解决问题的方法；（4）对于一系列问题的提出与思考，学生是否对探索线段和角的数量关系有兴趣．设计意图：通过情景设置引发学生探索切线长定理的求知欲．让学生体会从具体情景和实践操作中发现数学条件，进而解决问题．通过问题的设计，给不理解题意和没有解决问题方法的学生以引导，明确结论得出的合理性．

1．只用猜想或测量的方法不能说明结论是否正确，同学们能不能运用逻辑推理的方法证明结论？

师生活动：教师提出证明猜想的要求，学生思考证明猜想，教师介绍切线长的概念并用上图中P A为例．

归纳：经过圆外一点的圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．

【数学探究】探究切线长定理,此动画显示切线长定理.

证明：连接OA和OB，如图：

∵P A、PB是⊙O的两条切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP．

又OA=OB，OP=OP，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．

∴P A=PB，∠APO=∠BPO．

设计意图：通过“猜想——实践——验证——归纳”的过程发展探究意识，体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法．

2．切线与切线长有什么区别？表示切线长的线段的两个端点分别是什么？

师生活动：学生回答，引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．小结：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

3．过圆外一点能做几条圆的切线？切线长怎样？相邻两个角相等可以视为∠APB被平分，怎样叙述？

师生活动：小组交流，小组代表汇报．师生共同归纳切线长定理，并用几何语言表示．设计意图：随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展．

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

用符号语言表示定理：

∵P A、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点（P A、PB分别与⊙O相切于点A、B），∴P A=PB，∠APO=∠BPO．

4．下面是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？请动手画一画．

问题1作圆的关键是什么？

生：确定圆心和半径．

问题2怎样确定圆心的位置？

生：作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．

问题3圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？

生：过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径．

师生活动：先让学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流．让学生自己尝试，教师提问题引导学生如何画三角形的内切圆．

已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三边都相切．

作法：1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I；

2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；

3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求．

【数学探究】探索与三角形三边都相切的圆,从动画可以展现三角形的五心,重点可以展示内切圆的圆心.

三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．

三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

设计意图：体会应用内切圆的相关知识把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．

【例题分析，深化提升】

例△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13．求AF，BD，CE的长．