《24.2.2 直线和圆的位置关系》第3课时教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系教学设计
（第3课时）
一、教学目标
1．理解切线长的概念和三角形内切圆、内心的概念．
2．掌握切线长定理及其应用．
二、教学重点及难点
重点：三角形内切圆的相关概念；切线长定理及其应用．
难点：切线长定理及其应用．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺、圆规。

四、相关资源
《复习切线的判定定理和性质定理》动画，《操作过程》动画，《辅助线做法》动画，《作三角形内切圆》动画．
五、教学过程
【知识回顾，引入新课】
切线的判定定理和性质定理是什么？
【数学探究】切线的判定定理,探究切线的判定过程
【知识点解析】切线的性质,此卡片可以用于知识总结,也可用于知识复习.
师生活动：教师展示问题和复习的课件，让学生回顾上节课所学知识．
设计意图：通过复习切线的判定定理和性质定理，为本节课学习切线长作好铺垫．
【合作探究，形成新知】
问题：请同学们拿出准备好的材料（材料：透明纸上画出⊙O，并画出过⊙O上A点的切线P A，连接PO），沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B．
请同学们观察并思考：
①PB是⊙O的切线吗？
②判断图中的P A与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
师生活动：教师提出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现解决问题的关键：（1）PB是⊙O的切线？（2）若想得到PB是⊙O 的切线，PB满足什么条件？（3）OB是不是⊙O的半径？为什么？（4）OB是否垂直于PB？为什么？（5）点A与点B有怎样的位置关系？（6）∠OBP与∠OAP有怎样的位置关系？教师关注：（1）学生是否能够明确问题并能积极寻找解决问题的关键知识和方法；（2）学生在活动中发表个人见解的勇气；（3）学生能否在动手操作中获得启示并找到解决问题的方法；（4）对于一系列问题的提出与思考，学生是否对探索线段和角的数量关系有兴趣．设计意图：通过情景设置引发学生探索切线长定理的求知欲．让学生体会从具体情景和实践操作中发现数学条件，进而解决问题．通过问题的设计，给不理解题意和没有解决问题方法的学生以引导，明确结论得出的合理性．
1．只用猜想或测量的方法不能说明结论是否正确，同学们能不能运用逻辑推理的方法证明结论？
师生活动：教师提出证明猜想的要求，学生思考证明猜想，教师介绍切线长的概念并用上图中P A为例．
归纳：经过圆外一点的圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
【数学探究】探究切线长定理,此动画显示切线长定理.
证明：连接OA和OB，如图：
∵P A、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP．
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．
∴P A=PB，∠APO=∠BPO．
设计意图：通过“猜想——实践——验证——归纳”的过程发展探究意识，体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法．
2．切线与切线长有什么区别？表示切线长的线段的两个端点分别是什么？
师生活动：学生回答，引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．小结：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
3．过圆外一点能做几条圆的切线？切线长怎样？相邻两个角相等可以视为∠APB被平分，怎样叙述？
师生活动：小组交流，小组代表汇报．师生共同归纳切线长定理，并用几何语言表示．设计意图：随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
用符号语言表示定理：
∵P A、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点（P A、PB分别与⊙O相切于点A、B），∴P A=PB，∠APO=∠BPO．
4．下面是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？请动手画一画．
问题1作圆的关键是什么？
生：确定圆心和半径．
问题2怎样确定圆心的位置？
生：作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
问题3圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？
生：过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径．
师生活动：先让学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流．让学生自己尝试，教师提问题引导学生如何画三角形的内切圆．
已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三边都相切．
作法：1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I；
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求．
【数学探究】探索与三角形三边都相切的圆,从动画可以展现三角形的五心,重点可以展示内切圆的圆心.
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
设计意图：体会应用内切圆的相关知识把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．
【例题分析，深化提升】
例△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13．求AF，BD，CE的长．
师生活动：学生思考并解决问题，教师选取几名学生的解答过程投影并订正．
解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x．
由BD＋CD=BC可得
(9－x)＋(13－x)=14．
解得x=4．
因此AF=4，BD=5，CE=9．
设计意图：学生解决问题的过程中应用定理加深对定理作用的体会，并树立解决问题的信心，订正几名学生的解答过程能反馈学生掌握知识的情况及对其他学生起到示范作用．【练习巩固，综合应用】
1．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切
点分别为A，B．如果∠APB=60°，P A=8，那么弦AB的长是
（）．
A．4 B．8 C．4
3
D．
8
3
2．如图，P A、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，
且∠AEB=60°，则∠P的度数是（）．
A．60°B．120°C．50°D．30°3．如图，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，
C是AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若
△PDE的周长为12，则P A的长为（）．
A．12 B．6 C．8 D．4
4．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（）．
A．3
a B．
3
a C．
3
a D．
3
a
5．如图，△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =75°，点O 是内心，求∠BOC 的度数．
6．△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积．（提示：设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ．）
目标检测答案
1．B 2．A 3．B 4．A 5．解：∠BOC =180°－1
2
(∠ABC ＋ ∠ACB ) =180°－
1
2
(50°＋75°) =117.5°．
6．解：设AB =c ，BC =a ，AC =b ， 则111
222
AOB BOC AOC S cr S ar S br =
==△△△，，， 所以ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△
()1
2r a b c =
++， 1
2
rl =． 设计意图：巩固了切线长定理，以及三角形的内切圆的有关知识，思考问题使学生保持继续探究的欲望，加深对知识的深入思考．
六、课堂小结
师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从四方面入手： 1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．体会到了哪些数学思想；4．还有哪些发现与猜想？
1．切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
2．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 设计意图：进一步明确本节课所涉及的数学知识、数学思想、解决问题的方法．
七、板书设计
C
B
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
——24.2.2 直线和圆的位置关系（3）1．切线长
2．三角形内切圆、内心。