一维热传导方程求解例题
一维热传导方程 解析解
一维热传导方程解析解标题：热传导方程与温度的变化在日常生活中，我们经常会遇到各种物体的温度变化现象。
而这些温度变化可以通过一维热传导方程来描述。
热传导方程是一个非常重要的方程，它可以帮助我们理解物体内部温度的分布和变化规律。
假设我们有一根长度为L的金属棒，两端分别与温度为T1和T2的热源相接触。
我们想要知道金属棒的中间位置温度随时间的变化情况。
这时，我们可以使用一维热传导方程来描述这个问题。
热传导方程的数学形式是这样的：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u代表温度，t代表时间，x代表位置，α代表热扩散系数。
这个方程告诉我们，温度随时间的变化率等于热扩散系数乘以温度在空间上的二阶导数。
通过求解这个方程，我们可以得到金属棒中间位置温度随时间的变化规律。
解析解的具体形式会根据初始条件和边界条件的不同而有所变化，但总体上可以分为几个阶段。
在金属棒刚与热源接触的时候，中间位置的温度会迅速上升，接近热源的温度。
然后，随着时间的推移，温度会逐渐向两端传播，金属棒的整体温度会趋于平稳。
在这个过程中，金属棒中间位置的温度会随着时间的增加而不断增加，直到达到一个稳定的值。
而金属棒两端的温度则会保持恒定，不随时间变化。
通过热传导方程的解析解，我们可以更好地理解温度的变化规律。
这对于很多实际问题的解决都非常有帮助，比如热工学、材料科学等领域。
一维热传导方程是描述物体温度变化的重要工具。
通过求解这个方程，我们可以得到温度随时间和位置的变化规律，从而更好地理解和解决实际问题。
通过研究热传导方程，我们可以为人类的生活和科学研究提供更多的帮助和指导。
偏微分一维热传导问题
偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解目录问题描述 (3)1 解析解——分离变量法 (3)2 数值解——隐式格式 (5)3 证明隐式格式的相容性与稳定性 (5)4 数值解——分析与Matlab实现 (6)5 数值解与解析解的比较 (9)6 随时间变化的细杆上的温度分布情况 (11)7稳定后细杆上的温度分布情况 (12)参考文献 (13)附录 (13)有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。
假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。
一维热传导方程：20txx u a u -=，现在令21a =，从而可知本题：0t xx u u -=。
现在要求细杆温度分布：(,)u x t 。
1 解析解——分离变量法热传导偏微分方程：0t xx u u -= (1)(0,t)(1,t)0u u ==(0)()u x x ϕ=，其中，001x x ==，或()x ϕ=100(0,1)x ∈，首先令：(,)()()u x t X x T t = (2)将(2)式带入(1)式得：()T()()()0X x t T t X x -=于是可得：T()()()()t X x T t X x λ==- 可以得到两个微分方程：T()()0t T t λ+= ()()0X x X x λ+=先求解空间项： 当0λ<时， ()xxX x Ae λλ--=+由于(0,t)(1,t)0,.u u t ==∀可知:由于解的收敛性，0B =(0)=(1)00X X A Ae A λ===⇒=则此时是平庸解。
当0λ=时， ()X x A Bx =+(0)=(1)00,0X X A A B A B ==+=⇒==则此时是平庸解。
当0λ>时， ()cos sin X x A kx B kx =+，其中k λ=(0)00X A A ==⇒=(1)sin 0,1,2,3...X B k k n n π==⇒==所以，()sin()n X x B n x π=，1,2,3...n =因为22n λπ=所以，22()n tn T t C eπ-=，1,2,3...n =则，221(,)sin()n tn n u x t D en x ππ∞-==∑初始条件：(0)()u x x ϕ=，1(0)sin()()n n u x D n x x πϕ∞===∑，102()sin()n D x n x dx ϕπ=⎰[]12100sin()1200()cos (1)cos n x dxn n n εεππεπεπ-==⋅-⋅--⎰2000lim =(1cos )n D n n εεππ→∞→-当时，最终，221200(,)(1(1))sin()n n tn u x t e n x n πππ∞-==--∑， 1,2,3...n =2 数值解——隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。
一维热传导方程数值解法及matlab实现
问题描述实验原理分离变量法实验原理有限差分法实验目的利用分离变量法和有限差分法解热传导方程问题利用matlab进行建模构建图形研究不同的情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。
模拟与仿真作业（1）分离变量法（代码）：x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;m=length(j);%matlab可计算的最大数相当于无穷for i=1:ms=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);所得到的三维热传导图形为：有限差分法：u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 构造一个1025列的矩阵（初始化为0）用于存放时间t和变量x 横坐标为x 纵坐标为ts=(1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i=2:9u(i,1)=100;end;for j=1:25u(1,j)=0;u(10,j)=0;end;for j=1:24for i=2:9u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); endenddisp(u);[x,t]=meshgrid(1:25,1:10);surf(x,t,u);xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T');title(' 有限差分法解');所得到的热传导图形为：（2）i分离变量法（取前100项和）x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;for i=1:100s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end;surf(x,t,u);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法');axis([0 pi 0 1 0 100]);所得到的热传导图形为：Ii有限差分法根据（1）我们有如下图结论：比较可得这两幅图基本相同，有限差分法和分离变量法对本题都适应（3）第一种情况（取无穷项）：在原来程序代码的基础上加上disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;m=length(j);%matlab可计算的最大数，相当于无穷for i=1:ms=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);disp(s(:,6));我们得到如下一组数据：当温度低于50度是时间为t=23.5*0.04=0.94第二种情况（取前100项和）在原来程序代码的基础上加上disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);r=0.04/(0.1*pi)^2;fprintf('稳定性系数S为：')disp(r);s=0;for i=1:100s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法');axis([0 pi 0 1 0 100]);disp(s(:,6));当温度低于50度是时间为t=23.5*0.04=0.94第三种情况（有限差分法）在原来程序代码的基础上加上disp(u(5,:));可得出第五行（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 10行25列横坐标为x 纵坐标为ts=(1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i=2:9u(i,1)=100;end;for j=1:25u(1,j)=0;u(10,j)=0;end;for j=1:24for i=2:9u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j);endenddisp(u);[x,t]=meshgrid(1:25,1:10);surf(x,t,u);xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T');title(' 有限差分法解');disp(u(5,:));得到如下结果我们知19列为50.3505 20列是数据为47.8902 所以时间t为20*0.04=0.78结论：比较一二三种情况，我们得到不同的时间，这是由于：1、加和不同一种为100，一种为无穷；2、采用的方法不同：一种为分离变量法，一种为有限差分法造成的。
matlab求解一维带内热源传热问题
matlab 求解一维带内热源传热问题解一维带有内部热源的传热问题通常涉及到热传导方程的求解。
热传导方程描述了温度场随时间和空间的变化。
一维热传导方程通常写作：22()T T Q x t xα∂∂=+∂∂ 其中：• T 是温度，• t 是时间，• x 是空间坐标，• α 是热扩散系数，• Q(x) 是热源。
解这个方程需要适当的边界条件和初始条件。
为了简化问题，我们可以考虑一个稳态（0T t∂=∂）情况。
以下是使用 MATLAB 求解一维带有内部热源的传热问题的简单示例代码：% 参数设置L = 1; % 区域长度alpha = 0.01; % 热扩散系数Q = @(x) 1; % 内部热源% 空间离散化N = 100; % 离散网格数x = linspace(0, L, N);% 热传导方程T = zeros(1, N);T(1) = 0; % 初始条件T(N) = 100; % 边界条件% 离散格式求解dx = x(2) - x(1);dt = 0.01;num_steps = 1000;for step = 1:num_stepsfor i = 2:N-1T(i) = T(i) + alpha * dt / dx^2 * (T(i+1) - 2*T(i) + T(i-1)) + Q(x(i)) * dt;endend% 结果可视化plot(x, T);xlabel('空间坐标');ylabel('温度');title('一维带内部热源传热问题');请注意，这是一个简化的例子，具体的问题可能需要更多的考虑，例如更精确的数值方法、不同的边界条件和初始条件、更复杂的热源分布等。
这个示例主要用于演示MATLAB 中解决这类问题的基本方法。
第四章导热问题(一维导热问题)
kP ke fe
q e f ek E
?
合理
k P Tp TE qe fe xe
?
第四章 导热问题———一维稳态导热
实际上
TP Te qe k P ( x ) e
TP TE kP ( x ) e
k P TP TE ( x ) e ( x ) e ( x ) e
源项负线化的方法示例 3 S 4 5TP 例 3：
Sc 4 Sp
*2 5TP
*3 Sc 4 5TP
*3 Sc 4 10TP *2 Sp 15TP
*3 Sc 4 20TP
Sp 0
S p 25T
*2 P
可自 接然 受法
可懒 取汉 法
最切 佳线 法
4.2.1 基本方程与差分方程
d dT (k )S 0 dx dx
(x)w
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
E
a P TP a E TE a W TW b
第四章 导热问题———一维稳态导热 其中，
ke aE ( x ) e
aW kw ( x ) w
dxdt第四章导热问题一维稳态导热第一类边界条件已知第四章导热问题一维稳态导热第二类边界条件给定q第四章导热问题一维稳态导热第三类边界条件给定第四章导热问题一维稳态导热内节点法网格系统边界节点差分方程的通用形式其中第四章导热问题一维稳态导热对第一类边界条件对第二类边界条件对第三类边界条件第四章导热问题一维稳态导热非线性差分方程的线性化424差分方程的求解紧邻边界节点差分方程引入边界条件内节点法外节点法第四章导热问题一维稳态导热对外节点网格系统n个内节点2个边界节点n2个待求温度n个差分方程2个差分方程n2个差分方程第四章导热问题一维稳态导热线性代数方程组非线性代数方程组温度场假定温度场第四章导热问题一维稳态导热1在所有各个网格节点上猜测或估计或假定一个t值2用这些估计的t值去计算差分方程中的所有系数从而差分方程中的所有系数变成了已知量而使差分方程变成了线性方程
一维热传导问题
一维热传导问题
一维热传导问题，是指在一个维度上的热量传导现象。
这种问题通常涉及到一个物体或介质，它被视为一条长度为L的线段。
物体的两端被放置在不同的温度环境下，例如一个端口处于高温区域，而另一个端口处于低温区域。
这种温差会导致物体内部的热量传输和温度变化。
在这种问题中，我们需要解决以下重要因素：
1. 热传导定律：描述热量在物体中传输的速度。
这个定律通常由傅里叶定律和傅里叶数学公式来描述。
2. 边界条件：这些条件指定物体的两端的温度或热通量。
例如，在一个板材的一端施加高热通量，另一个端口处于恒定温度。
3. 初始条件：这些条件指定物体内部的初始温度分布。
这个因素通常需要通过实验或计算来确定。
通过解决这些问题，我们可以计算出物体内部的温度和热传输速率。
这些计算可以用于设计和优化各种热传输设备，例如散热器、加热器、热交换器等。
matlab练习程序（差分法解一维热传导方程）
matlab练习程序（差分法解⼀维热传导⽅程）差分法计算⼀维热传导⽅程是计算偏微分⽅程数值解的⼀个经典例⼦。
热传导⽅程也是⼀种抛物型偏微分⽅程。
⼀维热传导⽅程如下：该⽅程的解析解为：通过对⽐解析解和数值解，我们能够知道数值解的是否正确。
下⾯根据微分写出差分形式：整理得：已知⽹格平⾯三条边的边界条件，根据上⾯递推公式，不断递推就能计算出每个⽹格的值。
matlab代码如下：clear all;close all;clc;t = 0.03; %时间范围，计算到0.03秒x = 1; %空间范围，0-1⽶m = 320; %时间⽅向分320个格⼦n = 64; %空间⽅向分64个格⼦ht = t/(m-1); %时间步长dthx = x/(n-1); %空间步长dxu = zeros(m,n);%设置边界条件i=2:n-1;xx = (i-1)*x/(n-1);u(1,2:n-1) = sin(4*pi*xx);u(:,1) = 0;u(:,end) = 0;%根据推导的差分公式计算for i=1:m-1for j=2:n-1u(i+1,j) = ht*(u(i,j+1)+u(i,j-1)-2*u(i,j))/hx^2 + u(i,j);endend%画出数值解[x,t] = meshgrid(0:x/(n-1):1,0:0.03/(m-1):0.03);mesh(x,t,u)%画出解析解u1 = exp(-(4*pi)^2*t).*sin(4*pi*x);figure;mesh(x,t,u1);%数值解与解析解的差figure;mesh(abs(u-u1));数值解：解析解：两种解的差的绝对值：。
计算传热学第5节-第2章 一维导热2
I=1A/m2 U=10V/m
y z Байду номын сангаас T=5℃
Sun Jining 2008 @ BUAA
6
2 一维导热
一维导热讨论问题
导热系数为x的函数λ
Pa P1 P2
λ=10W/m·k
(x)
P3
λ=50W/m·k P4 P5 Pb T=5℃
T=3℃
Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m
T
Pa
P1
P2
P3
P4
P5
Pb
x
13
Sun Jining 2008 @ BUAA
2 一维导热
一维导热讨论问题
导热系数为x的函数λ
Pa P1 P2
λ=10W/m·k
(x)
λ=500W/m·k P4 P5 Pb T=5℃
T=3℃
P3
Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m
Sun Jining 2008 @ BUAA
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2 一维导热
一维导热讨论问题
导热系数为x的函数λ
Pa P1 P2
λ=10W/m·k
(x)
P3
λ=50W/m·k P4 P5 Pb T=5℃
T=3℃
Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m
P1 aP1TP1 =aE1TP2 +aW1TPa + b1 aE1 =λ e/δ xe =10/0.6 aW1 =λ w/δ xw =10/0.3 aP1 = aE1 + aW1 =30/0.6 b1 = SP1∆x =1*10*0.6=6 P4 aP4TP4 =aE4TP5 +aW4TP3 + b4 aE4 =λ e/δ xe =50/0.6 aW4 =λ w/δ xw =50/0.6 aP4 = aE4 + aW4 = 100/0.6 b4 = SP4∆x =1*10*0.6=6
一维热传导方程求解例题
一维热传导方程求解例题【原创版】目录一、问题的提出二、问题的分析1.一维热传导方程的定义2.初边值问题的概念3.差分解法求解一维热传导方程三、差分解法的实现1.设定参数2.编写代码3.运行代码并观察结果四、结论正文一、问题的提出在实际应用中，热传导问题非常常见。
例如，在距离为 L 的两个半无限长壁面之间有传热的流体，我们需要求解流体的温度分布。
这类问题可以用一维热传导方程来描述。
本篇文章将通过一个例题，介绍如何用差分解法求解一维热传导方程。
二、问题的分析1.一维热传导方程的定义一维热传导方程是一个偏微分方程，描述了物质在温度场中的传输过程。
在一维空间中，热传导方程只涉及一个空间坐标，即 x。
2.初边值问题的概念初边值问题是指在给定边界条件和初始条件下，求解偏微分方程的问题。
在一维热传导方程中，初边值问题包括两个边界条件（在 x=0 和 x=L 处）和一个初始条件（在 t=0 时）。
3.差分解法求解一维热传导方程差分解法是一种常用的数值方法，可以用来求解一维热传导方程。
该方法将连续的空间和时间离散化，通过求解离散的方程组来逼近连续的解。
三、差分解法的实现1.设定参数在实现差分解法时，需要设定一些参数，如空间步长 h、时间步长 tao、边界条件等。
这些参数会影响到求解的精度和速度。
2.编写代码利用 Matlab 等数值计算工具，可以根据差分解法的原理编写求解一维热传导方程的代码。
代码主要包括以下几个部分：- 定义参数- 初始化网格和变量- 求解离散方程组- 绘制结果3.运行代码并观察结果运行代码后，可以得到一维热传导方程的数值解。
通过观察温度分布的变化，可以验证求解结果的正确性。
四、结论差分解法是一种有效的数值方法，可以用来求解一维热传导方程。
通过合理选择参数和编写代码，可以得到满意的求解结果。
euler解pde例题
euler解pde例题
欧拉方法（Euler method）是一种数值方法，用于解决偏微分
方程（PDE）的初值问题。
以下是一个简单的例子，说明了如何使用
欧拉方法来解决一个PDE：
考虑一个一维热传导方程：
∂u/∂t = α ∂^2u/∂x^2。
其中，u是温度分布，t是时间，x是空间坐标，α是热传导系数。
假设我们有一个初始温度分布u(x,0) = f(x)，其中f(x)是已
知的初始条件函数。
我们想要使用欧拉方法来逼近温度分布u(x,t)
在一定时间间隔内的演化。
首先，我们将空间坐标x离散化为N个点，时间t也离散化为
M个点。
然后，我们利用差分近似来离散化偏微分方程，得到u(x_i, t_j+1) = u(x_i, t_j) + αΔt/Δx^2 (u(x_i+Δx, t_j) 2u(x_i, t_j) + u(x_i-Δx, t_j))，其中Δt是时间步长，Δx是空间步长。
接下来，我们可以根据初始条件f(x)来计算初始时刻的温度分
布u(x,0)。
然后，通过迭代计算上述离散化的偏微分方程，我们可以逐步获得温度在不同时间点的近似解。
需要注意的是，欧拉方法是一种一阶数值方法，可能会受到数值稳定性和精度的限制。
在实际应用中，可能需要考虑更高阶的数值方法或者其他更为精确的解法来解决PDE问题。
总的来说，欧拉方法是一种简单直观的数值方法，可以用来解决PDE的初值问题。
然而，在实际应用中，需要根据具体问题的特点和精度要求来选择合适的数值方法。
一维热传导混合问题
一维热传导混合问题一维热传导混合问题是一种典型的热传导问题，它描述了一个在一维空间中的物体，其温度随时间的变化以及与周围环境的热交换。
这种问题在许多实际应用中都有出现，如材料加工、电子设备冷却、建筑物的温度控制等。
解决一维热传导混合问题需要使用偏微分方程和初始条件，下面我们将详细介绍其数学模型和求解方法。
1.数学模型一维热传导混合问题可以用以下的偏微分方程来表示：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在位置x 和时间t 的物体温度，α 是热扩散率。
该方程基于热传导的物理定律，即傅里叶定律。
对于该方程的求解，通常需要设定初始条件和边界条件。
初始条件表示开始时刻物体的温度分布，例如：u(x, 0) = u0(x)边界条件表示物体边界的温度变化，通常为恒温边界，例如：u(0, t) = u(L, t) = constant其中，L 是物体的长度。
1.求解方法解决一维热传导混合问题的方法主要有解析法和数值法。
解析法适用于具有简单边界条件和初始条件的简单问题，可以通过分离变量等方法得到解析解。
然而，对于大多数复杂问题，解析法难以适用，因此需要使用数值法。
数值法主要包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法通过将连续的温度场离散化为有限个离散点，并建立这些离散点之间的相互关系，从而得到数值解。
其中，有限差分法将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解；有限元法则将物体划分为有限个小的单元，并对每个单元进行离散化处理；有限体积法则将物体划分为一系列小的体积单元，并对每个体积单元进行离散化处理。
在选择具体的求解方法时，需要考虑问题的具体性质和求解精度要求。
一般来说，解析法适用于简单问题和理论分析；有限差分法和有限元法则适用于大多数一维热传导混合问题；有限体积法则适用于具有复杂形状和边界的问题。
此外，对于高维度的问题，也可以考虑使用多维的数值方法。
1.应用举例一维热传导混合问题在许多实际应用中都有出现。
直角坐标系运动控制体的一维稳态热传导问题(3-26)
r1 − r2
代入 r1 , r2 的值便可解出角速度的值
= TL − T∞
直角坐标系运动控制体的一维稳态热传导问题326一维热传导方程一维热传导方程的解一维稳态水质模型在平面直角坐标系中平面直角坐标系在直角坐标系xoy中如图在平面直角坐标系在直角坐标系中直角坐标系
解：取该杆上长为 dx 微段为控制体，由能量守恒有
d dt dt kA − ρ c ω RA − hP ( t − T∞ ) = 0 dx dx dx
即导热微分方程为 导热微分方程为
d 2θ ρ cU dθ hP − − θ =0 dx 2 k dx kA
其中 θ = t − T∞ ，为过余温度 该其次微分方程的特征方程为
r2 −
特征值为
ρ cω R
k
r−
hP =0 kA
2
ρ cω R
r1,2 = =
故微分方程的解为
k
ρ cω R hP ± − 4 − k kA 2
C1 = −
(T0 − T∞ ) r2 , C
r1 − r2
2
=
2
(T0 − T∞ ) r1 ,
r1 − r2
1
Байду номын сангаасθ=
而
(T0 − T∞ ) ( r1er x − r2er x )
r1 − r2
= TL − T∞ ,
t x = L = TL , 即θ
故
x=L
(T0 − T∞ ) ( r1er L − r2er L )
ρ cω RA ±
( ρ cω RA )
2kA
2
+ 4hP
一维热传导方程
一维热传导方程一． 问题介绍考虑一维热传导方程：1 ,0),(22T t x f xu a t u ≤<+∂∂=∂∂ 其中a 是正常数,)(x f 是给定的连续函数;按照定解条件的不同给法,可将方程1的定解问题分为两类：第一类、初值问题也称Cauthy 问题：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ,满足方程1∞<<∞-x 和初始条件：2),()0,(x x u ϕ= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题也称混合问题：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ,满足方程1l x <<0和初始条件：3 ),()0,(x x u ϕ= l x <<0及边值条件4.0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ϕ在相应区域光滑,并且在l x ,0=满足相容条件,使上述问题有唯一充分光滑的解;二． 区域剖分考虑边值问题1,4的差分逼近;去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ,其中N,M 都是正整数;用两族平行直线： 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格,网格节点为),(k j t x ;以h G 表示网格内点集合,即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合;三． 离散格式第k+1层值通过第k 层值明显表示出来,无需求解线性代数方程组,这样的格式称为显格式;第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来,而由线性代数方程组确定,这样的格式称为隐格式;1. 向前差分格式5 ,22111j k j k j kj kjk j f h u u u a u u ++-=--++τ)(j j x f f =, )(0j j j x u ϕϕ==, 00==k N k u u ,其中j = 1,2,…,N-1,k = 1,2,…,M-1;以2/h a r τ=表示网比;则方程5可以改写为： 易知向前差分格式是显格式;2. 向后差分格式6,11111)21(j k j k j k j k j f u ru u u ru τ+=-++-+-+++ )(0j j j x u ϕϕ==, 00==k N k u u ,其中j = 1,2,…,N-1,k = 1,2,…,M-1,易知向前差分格式是显格式;3. 六点对称格式Grank-Nicolson 格式将向前差分格式和向后差分格式作算术平均,即得到六点对称格式：7 111112)1(2+-+++-++-k j k j k j u r u r u r =j k j k j k j f u r u r u r τ++-+-+112)1(2 利用0j u 和边值便可逐层求到k j u ;六点对称格式是隐格式,由第k 层计算第k+1层时需解线性代数方程组因系数矩阵严格对角占优,方程组可唯一求解;将其截断误差)(x R kj 于),(21+k j t x 21+k t =τ)21(+k 展开,则得)(x R kj =)(22h O +τ ; 4. Richardson 格式8τ211-+-k j k j u u j k j k j k j f h u u u a ++-=-+2112,或9 j k j k j k j k j k j f u u u u r u τ2)2(21111+++-=--++; 这是三层显示差分格式;截断误差阶为)(22h O +τ;为了使计算能够逐层进行,除初值0j u 外,还要用到1j u ,这可以用前述二层差分格式计算为保证精度,可将0,τ分成若干等份;四． 格式稳定性通过误差估计方程1 可知对任意的r ,Richardson 格式都不稳定,所以Richardson 格式绝对不稳定;2 当210≤<r 时,向前差分格式趋于稳定；当21>r 时,向前差分格式的误差无限增长;因此向前差分格式是条件稳定;3 向后差分格式和六点对称格式都绝对稳定,且各自的截断误差阶分别为)(2h O +τ和)(22h O +τ;五． 数值例子例1 令f x = 0和a = 1,可求得ux,t 一个解析解为u x , t =exp x + t ;1． 用向前差分格式验证得数值结果如下：请输入n 的值输入0结束程序:2请输入m 的值输入0结束程序:17xj tk 真实值xik近似值uik误差errik当n等于2和m等于17时最大误差为其中r = 1/2,格式是稳定的;2. 用向后差分格式验证得数值结果如下：请输入n的值输入0结束程序:6请输入m的值输入0结束程序:6xj 真实值xi 近似值ui 误差erri 第1层结果时间节点Tk=第1层的最大误差是第2层结果时间节点Tk=第2层的最大误差是第3层结果时间节点Tk=第3层的最大误差是第4层结果时间节点Tk=第4层的最大误差是第5层结果时间节点Tk=第5层的最大误差是第6层结果时间节点Tk=第6层的最大误差是当n等于6时最大误差为3. 用六点对称格式验证数值结果如下：请输入n的值输入0结束程序:6请输入m的值输入0结束程序:6xj 真实值xi 近似值ui 误差erri 第1层结果时间节点Tk=第1层的最大误差是第2层结果时间节点Tk=第2层的最大误差是第3层结果时间节点Tk=第3层的最大误差是第4层结果时间节点Tk=第4层的最大误差是第5层结果时间节点Tk=第5层的最大误差是第6层结果时间节点Tk=第6层的最大误差是当n等于6时最大误差为4．用Richardson格式验证数值结果如下：请输入n的值输入0结束程序:5请输入m的值输入0结束程序:5xj tk 真实值xik 近似值uik 误差errik附录1include <>include <>include <>define Max_N 1000double uMax_NMax_N,bMax_N,aMax_N,cMax_N,fMax_N,errMax_NMax_N,xMax_NMax_N,yMax_N,betaMax_N,ErrMax_N; int n,m;{h=n+1;t=m+1;r=t/hh;fori=0;i<=n+1;i++{h=n+1;t=m+1;r=t/hh;printf"xj 真实值xi 近似值ui 误差erri\n";double M=0;{h=n+1;t=m+1;r=t/hh;printf"xj 真实值xi 近似值ui 误差erri\n";double M=0;{h=n+1;t=m+1;r=t/hh;fori=0;i<=n+1;i++//初值条件{ui0=expih;}fork=0;k<=m+1;k++//边值条件{u0k=expkt;un+1k=expn+1h+kt;}printf"xj tk 真实值xik 近似值uik 误差errik\n"; b1=1+r;c1=-r/2;an=-r/2;bn=1+r;f1=r/2u20+1-ru10+r/2+r/2u01;fn=r/2un+10+1-run0+r/2un-10+r/2un+11;fori=2;i<n;i++{bi=1+r;ai=-r/2;ci=-r/2;fi=r/2ui+10+1-rui0+r/2ui-10;}catchup;fork=2;k<=m;k++{forint j=1;j<=n;j++{ujk=2ruj+1k-1-2ujk-1+uj-1k-1+ujk-2;}}fork=1;k<=m;k++{fori=1;i<=n;i++{xik=expih+kt;errik=xik>uikxik-uik:uik-xik;printf"%lf %lf %lf%lf %lf\n",ih,kt,xik,uik,errik;}}printf"请输入n的值输入0结束程序:";ifscanf"%d",&n printf"请输入m的值输入0结束程序:";}system"PASUE";return 0;}。
一维热传导问题时变边界上热通量重构问题
Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｆｏｕｒ ｐｍ－＊ｔｓ，Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ＆ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ
ｍｅｔｈｏｄ。ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｉｎｔｏ ｓｏｌｖｉｎｇ ａＩｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｋｉｎｄ
ｏ＃ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ＋
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｈｅａｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｓｃｈｅｍｅ，ｈｅａｔ ｆｌｕｘ，ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，ｍｏｄｅｌ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｎｕｍｅｒｉｃｓ．
东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明
一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的
“（ｚ，０）＝妒（ｚ）Ｘ（０）≤ｚ＜ｏｏ
其中，ｑ（ｔ）表示边界热通量（ｈｅａｔ日ｌＤｃ）． 热传导方程热通量重构问题的主要任务是从介质内部的某种观测信息来获
得边界热通的性质．对于这类热通量重构问题已有大量的工作（【１９Ｉ，［３１，ｆ６ｌ，［２５１）．饲 如，（【１９】）中作者构造了近似逆算子来重构未知的热通量，这是一种对于线性不适 定问题的重构的快速的正则化方法．而在（【２５】）中，作者则给出了二维区域ＩＨＣＰ问 题中时变热通的估计和分析．
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一维导热
1. 通过圆筒壁一维稳态导热圆筒壁的内外层半径分别为1r 和2r ，长度为L ，无内热源，导热系数为常数，圆筒壁内侧的流体温度为1f T ，外侧流体温度2f T ，与壁面间的对流换热系数分别为1α和2α。
确定圆筒壁内的温度分布、热通量和热流量。
圆筒壁一维稳态导热简化方程为：()0d dT r dr dr= （2分） 边界条件为：1r r = 时，11()f dTT T dr λα-=- 2r r = 时，22()f dTT T drλα-=- （1分） 解方程得：1dTr C dr = 12ln T C r C =+ （2分） 代入边界条件得：()121211221ln f f TT C r r r λλαα-=---()121212111111(ln )ln f w f T T C T r r r r r λλαα-=++-- （2分） 得到温度分布：()()121211221111221112211ln (ln )ln ln f f f f f TT T T T r T r r r r r r r r r r λλλλλααααα--=+++------ （1分） ()1212112211ln f f T T C dT r dr r rr r r λλαα-==*--- ()122112211111ln f f T T dT q r dr r r r r λααλ-=-=*++ （1分）()122112212111ln 2f f TT Q qF q rL d d L d L L d ππαπαπλ-==*=++()12211221ln 2f f L TT Q q Ld d d παπαπλ-==++1、通过圆筒壁一维稳态导热。
圆筒壁的内外层半径分别为r 1和r 2，长度为L ，无内热源，导热系数为常数，圆筒壁内侧给定温度1w T ，外侧的流体温度为2f T ，与壁面间的对流换热系数为2α。
一维热传导偏微分方程的求解
一维热传导偏微分方程的求解热传导是研究热量如何通过物质传递的过程。
它在工程和科学领域中具有重要的应用价值，例如在热工学、材料科学以及建筑工程等领域。
而一维热传导偏微分方程是描述一维物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
假设我们有一根细长的棒子，它的长度为L，我们想要研究棒子内部温度随时间的变化情况。
为了简化问题，我们假设棒子的横截面积是恒定的，并且没有任何热源或热辐射。
这意味着棒子的热量只能通过传导方式传递。
根据热传导的基本原理，我们可以得到一维热传导偏微分方程：∂u/∂t = α ∂²u/∂x²其中，u是棒子内各点的温度，t是时间，x是棒子上的位置，α是热扩散系数。
这个方程描述了温度随时间和位置的变化率。
要解决这个偏微分方程，我们需要给出一些初始和边界条件。
初始条件指定了在t=0时刻棒子上各点的初始温度分布，而边界条件则指定了棒子两端的温度。
通过对这个偏微分方程进行求解，我们可以获得棒子内各点的温度随时间的变化情况。
通常情况下，这个偏微分方程的解并不是一个简单的函数，而是一个温度场的分布。
为了求解这个偏微分方程，我们可以使用数值方法，如有限差分法或有限元法。
这些方法将连续的空间和时间离散化，然后通过迭代计算将偏微分方程转化为一组代数方程。
在实际应用中，热传导偏微分方程的求解可以帮助我们了解热量在物体内部的传递过程。
例如，在工程设计中，我们可以通过热传导方程来优化材料的热传导性能，以提高设备的效率和可靠性。
一维热传导偏微分方程是研究热传导过程中的重要数学模型。
通过对这个方程的求解，我们可以了解物体内部温度随时间和位置的变化情况，为工程和科学领域中的热传导问题提供解决方案。
一维复合介质热传导方程
一维复合介质热传导方程一维复合介质热传导方程描述了复合介质中热量的传导过程。
复合介质是由不同材料层状排列组成的材料，每一层都具有不同的热导率。
该方程常用于描述墙体、管道、绝缘材料等多层热传导问题。
我们考虑一维情况下的复合介质热传导方程。
设复合介质的总厚度为L，其中第i层的厚度为Δxi，热导率为λi，温度为Ti。
假设热传导仅在x方向发生，不考虑其他热源和热辐射。
根据能量守恒定律，可以得到每一层的热传导方程。
对于第i层介质，在该层内部以及与相邻层之间的界面，热量的传导满足以下方程：$\frac{{\partial}}{{\partial t}}(ρc_i A_i \Delta x_i T_i) = λ_i A_i\frac{{T_{i-1} - T_i}}{{\Delta x_{i-1}}} - λ_i A_i \frac{{T_i -T_{i+1}}}{{\Delta x_i}}$其中，ρ是介质的密度，c_i是该层介质的比热容，A_i是单位截面积，T_i是第i层介质的温度。
根据上述方程，我们可以看出，第i层内部的热传导项是由该层与前一层之间的热传导、以及该层与后一层之间的热传导两部分组成。
这两部分的热传导分别由温度梯度决定。
当相邻层之间的温度差越大时，热传导的强度越大。
在每一层介质的边界条件中，我们通常可以假设第一层和最后一层与外部环境之间的热传导非常小，可以忽略。
因此，我们可以得到边界条件：$\frac{{T_1 - T_0}}{{\Delta x_0}} = 0, \quad \frac{{T_{n+1} - T_n}}{{\Delta x_n}} = 0$其中，T_0和T_{n+1}表示第一层和最后一层与外部环境的温度，Δx_0和Δx_n表示第一层和最后一层与外部环境的厚度。
此外，还需要给出初始条件，即$t = 0$时刻各层介质的初始温度分布：$T_i(x, 0) = T_{i0}(x) \quad (0 \leq x \leq \sum_{i=1}^n \Deltax_i)$其中，T_{i0}(x)表示初始时刻第i层介质的温度分布。
偏微分一维热传导问题
偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解目录问题描述 (3)1 解析解——分离变量法 (3)2 数值解——隐式格式 (5)3 证明隐式格式的相容性与稳定性 (5)4 数值解——分析与Matlab实现 (6)5 数值解与解析解的比较 (9)6 随时间变化的细杆上的温度分布情况 (11)7稳定后细杆上的温度分布情况 (12)参考文献 (13)附录 (14)有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。
假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。
一维热传导方程：20txx u a u -=，现在令21a =，从而可知本题：0t xx u u -=。
现在要求细杆温度分布：(,)u x t 。
1 解析解——分离变量法热传导偏微分方程：0t xx u u -= (1)(0,t)(1,t)0u u ==(0)()u x x ϕ=，其中，001x x ==，或()x ϕ=100(0,1)x ∈，首先令：(,)()()u x t X x T t = (2)将(2)式带入(1)式得：()T()()()0X x t T t X x -=于是可得：T()()()()t X x T t X x λ==- 可以得到两个微分方程：T()()0t T t λ+= ()()0X x X x λ+=先求解空间项： 当0λ<时， ()X x Ae =+由于(0,t)(1,t)0,.u u t ==∀可知:由于解的收敛性，0B =(0)=(1)00X X A Ae A ===⇒=则此时是平庸解。
当0λ=时， ()X x A Bx =+(0)=(1)00,0X X A A B A B ==+=⇒==则此时是平庸解。
当0λ>时， ()cos sin X x A kx B kx =+，其中k =(0)00X A A ==⇒=(1)sin 0,1,2,3...X B k k n n π==⇒==所以，()sin()n X x B n x π=，1,2,3...n =因为22n λπ=所以，22()n tn T t C eπ-=，1,2,3...n =则，221(,)sin()n tn n u x t D en x ππ∞-==∑初始条件：(0)()u x x ϕ=，1(0)sin()()n n u x D n x x πϕ∞===∑，102()sin()n D x n x dx ϕπ=⎰[]12100sin()1200()cos (1)cos n x dxn n n εεππεπεπ-==⋅-⋅--⎰2000lim =(1cos )n D n n εεππ→∞→-当时，最终，221200(,)(1(1))sin()n n tn u x t e n x n πππ∞-==--∑， 1,2,3...n =2 数值解——隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。
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一维热传导方程求解例题
例题：
考虑一个长度为L的杆，其左端温度为T1，右端温度为T2，且假设杆的横截面面积恒定。
我们可以使用一维热传导方程来描述这个问题的温度分布。
一维热传导方程为：∂T/∂t = α * ∂²T/∂x²，其中T表示温度，t表示时间，x表示空间坐标，α表示热扩散率。
已知左端边界条件为T(0, t) = T1，右端边界条件为T(L, t) = T2。
初始条件为T(x, 0) = T0(x)，其中T0(x)是初始时刻的温度分布。
要求解这个一维热传导方程，找出任意时刻的温度分布T(x, t)。
解题过程：
首先，可以将方程进行分离变量，设T(x, t) = X(x) * T(t)。
代入一维热传导方程得到：X''(x) * T(t) = α * T''(t)，其中X''(x)表示X(x)的二阶导数。
由于边界条件和初始条件都与时间t无关，可以得到X(x)的通解为：X(x) = A * cos(πx/L) + B * sin(πx/L)，其中A和B为常数。
根据边界条件，可以得到：X(0) = A * cos(0) + B * sin(0) = A = T1 和X(L) = A * cos(π) + B * sin(π) = -A + B = T2。
通过解这个方程组，可以得到A = (T1 + T2)/2和B = (T1 - T2)/2。
因此，杆内任意时刻的温度分布为：T(x, t) = (T1 + T2)/2 * cos(πx/L) + (T1 - T2)/2 * sin(πx/L)。