数学建模简单13个例子全解

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数学建模简单13个例子全解

数学建模简单13个例子全解

数学建模简单13个例子全解1. 线性回归模型线性回归是一种基本的数学建模方法,用于预测一个因变量与一个或多个自变量之间的关系。

通过最小化误差平方和来拟合一个直线或平面,使其能够最好地拟合数据。

2. 逻辑回归模型逻辑回归是一种用于分类问题的建模方法。

它通过将线性回归模型的输出变换为一个概率值,从而将输入样本分为两个不同的类别。

3. K-means聚类模型K-means聚类是一种无监督学习算法,用于将样本分为若干个不同的簇。

它根据样本之间的相似性将它们分配到不同的簇中。

4. 决策树模型决策树是一种基于规则的分类模型。

它通过一系列的决策节点和叶节点来对输入样本进行分类。

5. 随机森林模型随机森林是一种集成学习模型,它由多个决策树组成。

它通过对每个决策树的预测结果进行投票来进行分类。

6. 支持向量机模型支持向量机是一种基于最大间隔原则的分类模型。

它通过寻找一个超平面来将数据样本分成不同的类别。

7. 主成分分析模型主成分分析是一种降维技术,它将原始数据投影到一个低维空间中,以便尽可能保留数据的方差。

8. 马尔可夫链模型马尔可夫链是一种离散时间概率模型,它假设过去的状态对于预测未来的状态是有用的。

9. 指数平滑模型指数平滑是一种时间序列预测方法,它使用加权平均法来对下一个时间点的预测值进行估计。

10. 神经网络模型神经网络是一种模拟人类神经系统的方法,它通过多层神经元之间的连接来进行学习和预测。

11. 遗传算法模型遗传算法是一种通过模拟生物进化过程来求解优化问题的方法。

它通过交叉、变异和选择等操作来生成新的解,并逐步优化。

12. 时间序列模型时间序列模型用于分析和预测随时间变化的数据。

常用的时间序列模型包括自回归移动平均模型(ARMA)、自回归整合移动平均模型(ARIMA)等。

13. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟是一种概率方法,用于通过随机模拟来解决复杂的数学问题。

它通常通过重复随机抽样和运算来估计问题的解。

数学建模简单示例

数学建模简单示例
司机的平均反应时间 t1早有测算,反应时间过 长将考不出驾照),而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的,目的是使交通流量最大, 设想一下黄灯的作用是什么,不难看 可另建模型研究,从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 出,黄灯起的是警告的作用,意思是 既可用曲线拟合方法得出,也可利用牛顿第二定 马上要转红灯了,假如你能停住,请 律计算出来立即停车。停车是需要时间的,在这 ( 留作习题)。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 段时间内,车辆仍将向前行驶一段距 一步,先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 离 L。这就是说,在离街口距离为 L 停得住车。第二步,黄灯亮的时间应当让已过线 处存在着一条停车线(尽管它没被画 的车顺利穿过马路,即 T 至少应当达到 (L+D) 在地上),见图 1-4。对于那些黄灯亮 /v。 时已过线的车辆,则应当保证它们仍 能穿过马路。
否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时,黑匣子会自动打开,发射 出某种射线。为了搞清失事原因,人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置,必须确 定其所在的方向和距离,试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数,至少要 用仪器检测两次,除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 2 的平方成反比,即
例2 某人第一天由 A地去B地,第二天由 B地沿原路返回 A 地。问:在什么条件下, 可以保证途中至少存在一地,此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明,当 然 ,这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法,把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A,问题就化为在什么条件下,两人至少在途中 相遇一次,这样结论就很容易得出了:只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间,两人必会在途中相遇。

初中数学建模的若干简要案例

初中数学建模的若干简要案例

初中数学建模的若干简要案例1.找出一个公园内最短游览路径的问题假设一个公园有多个景点,每个景点之间有不同的距离,我们希望找到一条最短的路径,使得可以在最短时间内游览完所有的景点。

我们可以将每个景点表示为节点,距离表示为边,然后利用图论中的最短路径算法(如迪杰斯特拉算法)来解决这个问题。

2.优化一家快递公司的邮件投递路径假设一个快递公司需要投递邮件到不同的区域,每个区域的邮件数不同,我们希望找到一条最优的路径,使得快递员可以在最短时间内投递完所有的邮件。

我们可以将每个区域表示为节点,不同区域之间的距离表示为边,然后利用图论中的最短路径算法或者启发式算法(如A*算法)来解决这个问题。

3.设计一个购物车的最佳装载方案假设一个网上购物平台需要将一些商品装载到购物车中,每个商品有不同的体积和重量,而购物车有一定的容量限制。

我们希望找到一个最佳的装载方案,使得购物车可以装载尽可能多的商品。

我们可以将每个商品表示为节点,商品之间的限制条件(如体积和重量限制)表示为约束条件,然后利用线性规划算法(如简单的背包问题)来解决这个问题。

4.优化一条生产线的生产效率假设一个工厂有多个生产环节,每个生产环节有不同的效率和成本,我们希望找到一个最优的生产线配置方案,使得生产效率最高,成本最低。

我们可以将每个生产环节表示为节点,不同生产环节之间的依赖关系和成本表示为边,然后利用图论中的最优路径算法(如最小生成树算法)来解决这个问题。

5.设计一个最优的课程表假设一个学校有多个班级和多个教师,每个班级需要上不同的课程,每个教师可以同时教授多个班级的课程,我们希望找到一个最优的课程表,使得教师的利用率最高,学生的课程安排最优。

我们可以将每个班级和教师表示为节点,教师的教学能力和班级的需求表示为边的权重,然后利用图论中的最大流算法或者启发式算法(如基因算法)来解决这个问题。

这些案例都是初中数学建模的常见问题,通过数学建模的方法,可以帮助我们解决这些实际问题,提高问题的解决效率和准确性。

数学建模有趣的例子

数学建模有趣的例子

数学建模有趣的例子
1. 嘿,你知道吗?数学建模能帮我们规划最优的快递配送路线呢!就像给快递小哥设计一条超级捷径,让包裹能最快到达我们手中。

这是不是很有趣呀?
2. 哇塞,数学建模还可以用来模拟传染病的传播呢!就如同解开一个神秘疾病扩散的谜团,太奇妙了吧。

3. 哎呀,想想看,用数学建模来优化城市交通信号灯的时间安排,这不就像是给城市的交通脉络做了一次精心梳理嘛,多有意思啊!
4. 嘿,数学建模甚至能帮助农民伯伯确定最佳的种植布局呢!是不是感觉像给田地施了一次神奇的魔法呀。

5. 哇哦,通过数学建模来分析股票的走势,那不就像是在股海里找到正确的航向嘛,这可太引人入胜啦!
6. 天哪,数学建模可以帮助消防员确定最佳的救援路线,这简直就是给生命开辟快速通道啊,太厉害了吧!
7. 哈哈,数学建模能用来给超市设计最合理的货架摆放呢!这不就像是给商品们找到了最舒适的家嘛。

8. 你想想,利用数学建模来预测天气变化,岂不是像拥有了提前知晓大自然秘密的超能力,有趣极了呀!
我觉得数学建模真的是充满了无限可能和乐趣,它在各个领域都能发挥出神奇的作用,让我们的生活变得更加美好和高效。

数学建模简单13个例子

数学建模简单13个例子

总距离为 n 1 ,
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远,n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时,黑匣子会自动打开,发射出某种 射线。为了搞清失事原因,人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置,必须确定其所在的方向和距离, 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数,至少要用仪器检测两次,除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
分析:在这场“价格战”中,我们将站在乙加油站的立 场上为其制定价格对策.因此需要组建一个模型来描述 甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况.
为描述价格和汽油销售量之间的关系,我们引入如下 一些指标:
影响乙加油站汽油销售量的因素 (1)甲加油站汽油降价的幅度; (2)乙加油站汽油降价的幅度; (3)两站之间汽油销售价格之差.
在这场“价格战”中,我们假设汽油的正常销售价格 保持定常不变,并且假定以上各因素对乙加油站汽油 销售量的影响是线性的.于是乙加油站的汽油销售量 可以由下式给出
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13、遗传模型
1.问题分析
所谓常染色体遗传,是指后代从每个亲体的基因 中各继承一个基因从而形成自己的基因型.
如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的, 那么就有三种可能的基因型:AA,AB和BB.
换显一然种是想由法于,节问省题了就从迎 刃相而遇解点了到。会假合如点他,的又妻从子会遇合 到 点点故他,返,后那回故仍么相由似载这遇相乎着一点遇条他天这点件开他一到不往就段会够会不路合哦合会的点。地提缘需。 前开回5分家钟了。。而提此前人的提十前分了钟三时 间十从分何钟而到来达?会合点,故相遇 时他已步行了二十五分钟。
另建模型研究,从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线

数学建模简单13个例子_2022年学习资料

数学建模简单13个例子_2022年学习资料

7、气象预报问题-在气象台A的正西方向300km处有一台风中心,它以-40km/h的速度向东北方向移动;根 台风的强度,在距-其中心250km以内的地方将受到影响,问多长时间后气象-台所在地区将遭受台风的影响?持续 间多长?-此问题是某气象台所遇到的实际问题,为了搞好气象-预报,现建立解析几何模型加以探-以气象台A为坐标 点建立-平而直角坐标系,设台风中心为B,-如图
某人第一天由A地去B地,第二天由B地沿原路-返回A地。问:在什么条件下,可以保证途中-至少存在一地,此人在 天中的同一时间到达该-假如我们换一种想法,把第二天的返回改变成另一-人在同一天由B去A,问题就化为在什么条 下,两-人至少在途中相遇一次,这样结论就很容易得出了:-只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间,-两人 会在途中相遇。
1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状-假设-R大皮的半径,r小皮的半-模型-S=ns-S=k R,V=k R3V=kS2-s=kr2,v=kr3 v=ks2-=n32v-应用-V=√nv≥vv是nv是√n倍-若1 0个汤圆(饺子包1公斤馅,-则50个汤圆(-问题杀羊方案-现有26只羊,要求7天杀完且每天必须杀奇数只,-问各天分别杀几只?-分析:-1 这是一个有限问题,解决此类问题的一-类方法是枚举,你可以试试。-建模:-2.依题意,设第i天杀2k,+1k 自然数只,-则所提问题变为在自然数集上求解方程-之2k,+10=26-i=1-于是,我们有了该问题的数学语 表达—数学模型-求解:-用反证法容易证明本问题的解不存在。-返回
x+y=l-y+z=m-x+7=n-由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根-电线的电阻。-说明:此问题 难,点也是可贵之处是用方程-“观点”、”立场”去分析,用活的数学思想使实-际问题转到新剑设的情景中去。-返

简单数学建模实例

简单数学建模实例

简单数学建模实例随着社会和科技的发展,数学建模已经越来越成为各个领域的重要手段。

而简单数学建模实例的模拟与实验,也成为了学生学习数学和拓展实际应用的重要方式。

在此,我们将为大家介绍一些简单的数学建模实例。

(一)瓶子里的气体假设一个恒定体积的瓶子装满的气体,其中含有 x % 的氮气,y % 的氧气和 z % 的二氧化碳。

现在在瓶子中加入一定量的氧气,使得瓶子中氮气的百分比降至 v %。

问原瓶子中氧气的百分比是多少?这个问题只需要列出守恒方程即可:氧气的质量与氮气和二氧化碳的质量之和等于瓶子中气体的总质量。

再加上一个初始状态的方程,就可以得到两个关于 y 和 z 的一元二次方程,解它们即可。

(二)小球的弹性碰撞两个小球,一个重量为 m1,在速度为 v1 的情况下运动;另一个球的重量为 m2,在速度为 v2 的情况下静止。

两个小球弹性碰撞后,速度分别为 u1 和 u2。

问 u1 和 u2 在什么情况下相等?这个问题需要利用动能守恒和动量守恒的规律,分别列出两个守恒方程,然后解方程即可。

其中,动能守恒方程是指碰撞前后的总动能是守恒的;动量守恒方程是指碰撞前后的总动量也是守恒的。

(三)植物生长的模拟植物的生长是与光、水、温度等因素有关的,而光照强度、水分充足和温度适宜是保证植物生长的基本条件。

因此,我们可以利用数学方法,建立植物生长与光照强度、水分和温度之间的关系模型。

具体地说,我们可以将光照强度、水分和温度三个因素定量化,例如化学计量法,然后建立该物种的生长速度与光照强度、水分和温度之间的函数关系。

最后,可以通过改变各个因素来预测植物的生长速度。

(四)自然灾害预测自然灾害如洪水、地震、气象灾害等都是由物理或化学规律导致的,因此可以利用数学方法,预测或模拟这些自然灾害。

例如,可以通过建立地震发生的概率模型,分析地震的分布规律和发生的时间等信息,从而预警或预测地震。

在预测洪水方面,我们可以通过搜集洪水历史数据、雨量和地下水位等信息,建立预警模型。

数学建模简单例题

数学建模简单例题

数学建模简单例题
近年来,数学建模迅速发展,成为数学教育的重要组成部分。

不仅如此,数学建模也在实际应用中扮演着重要角色。

以下是举出的一些简单例题,介绍如何应用数学建模解决实际问题。

例1:汽车路线优化
假设有A、B、C三个城市,从A到B需要经历200公里,从B到C需要经历300公里。

同时,存在有限路段,要求尽可能明确最短路径。

此时,可以建立一个图,将A、B、C三个城市看作三个顶点,再建立若干边,表示每条路径的距离,再使用迪杰斯特拉算法,计算出最短路径。

例2:工厂设备调配
假想一家公司有3台生产设备,每台设备有不同的生产能力和每日最大生产量,要求给出每天各台设备的最优配置,以达到每日最大生产量。

给定三台设备的生产能力和每日最大生产量,建立这个问题的数学模型,可以采用最短路径算法的思想,建立一张图,把每台设备看成一个顶点,再建立若干边,表示每台设备的最大生产能力,最后根据路径的长度,计算出各台设备的最优配置。

以上是两个简单的数学建模例题,为了解决具体实际问题,数学建模不仅仅可以使用上述算法,还可以使用线性规划、最优化、反问题等方法来解决实际问题。

本文就介绍了数学建模的一些基础原理,
并举出了几个例子,希望能对读者有所帮助。

简单数学建模应用例子

简单数学建模应用例子

5
建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD,对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后,正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置, 所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地,用数学符号表示出 来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离,那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了,椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同,所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
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建模实例
阻滞增长模型(Logistic模型)
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析,r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数, r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率,称为固有增长率, 它与指数模型中的增长率r不同,显然,对于 任意的x>0,增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义,引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
15
建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合, 记作S,不难写出
S={(x,y)|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策,允许决集合 记作D,由小船的容量可知
2024/5/10
14
建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况,决策变量 表示船上的人员状况,可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内,确定每一步的决策,达到渡河的目标 模型的过成: 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……,xk , yk =0,1,2,3,将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态,

数学建模简单13个例子讲义.

数学建模简单13个例子讲义.

支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮,直至比赛结
束。问共需进行多少场比赛?
一般思维:
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 1 1 36 2 2 2 2 2
逆向思维:
每场比赛淘汰一名失败球队,只有一名冠军,即 就是淘汰了36名球队,因此比赛进行了36场。
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5 时到达山顶并留宿,次日早8时沿同一路径下山,下午5 时回到旅店,则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点,为什么? 解法一: 将两天看作一天,一人两天的运动看作一天两 人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功,因为 两人同时出发,同时到达目的地,又沿向一路径反向 运动,所以必在中间某一时刻t两人相遇,这说明某人 在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
1、从包汤圆(饺子)
今天,1公斤面不变,馅比 1公斤多了,问应多包几 个(小一些),还是少包几个(大一些)?
通常,1公斤面, 1公斤馅,包100个汤圆(饺子)
问题
圆面积为S的一个皮,包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮,每个圆面积为s,包成体积为v。
S V s v s v

s v
( 共 n个 )
定性分析
根据题意,A点的坐标为(-300,0), 单位为km.台风中心的运动轨迹为直 线BC,这里的∠CBA=450,当台风中 心在运动过程中处于以A为圆心、半径 为250 km的圆内(即MN上)时,气象台 A所在地区将遭受台风的影响。 因为圆的方程为: 直线BC的方程为: 当台风中心处于圆内时,有: 解得 其中参数t 为时间(单 位为h)。
马路的宽度D是容易测得的,问题的关键在于L的确定。 为确定L,还应当将L划分为两段:L1和L2。 其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应 时间内驶过的路程,L2为刹车制动后车辆驶过的路程。 L1较容易计算,交通部门对司机的平均反应时间 t1早有测 算,反应时间过长将考不出驾照),而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的,目的是使交通流量最大,可 另建模型研究,从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟 合方法得出,也可利用牛顿第二定律计算出来 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。 第一步,先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停 得住车。 第二步,黄灯亮的时间应当让已过线 D 的车顺利穿过马路, L 即T 至少应当达到 (L+D)/v。

数学建模例题及解析

数学建模例题及解析

.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是:如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de):需要借多少钱,用记;月利率(贷款通常按复利计)用R记;每月还多少钱用x记;借期记为N个月.b.建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d.针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年=60个月,已知;每月还款x=1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N=60,x=1200给定时0A.例如,若R =0.01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946=123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0.01,贷款期25年=300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解:现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现=60000,R=0.01,k=300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告:“若借款60000元,22年还清,只要;(i)每半个月还316元;(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6=1896元.这对夫妇想:提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了;要预付18%元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2:养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位(若经济效益好(de)话)每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及=0.01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和);通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0.01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中=100000吨,R=0.02,x=1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了(资源枯竭了)例2比例分析法——席位分配问题:某学校有三个系联合成立学生会,(1)试确定学生会席位分配方案.(2)若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化(4)因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10: 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第(3)问中将学生会席位增加一席呢(5)试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查(1)—(4).公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例(%)按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列).在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位.因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10:10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊:总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表.看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法.下面就介绍这样一个席位分配模型.设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 /n12和p2/n2.很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de).但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”.从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平.所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准.p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准.因为p/n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1/n13>p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”:若p1/n1>p2/n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1/n1<p2/n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义.当再分配1个席位时,关于p/n(de)不等式有以下三种可能:1)p1/(n1十1)>p2/n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方;2)p1/(n1十1)<p2/n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3)说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是(注意:在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1/n1<p2/(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方;反之应给B方.根据(3)、(4)两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1/(n1十1)>p2/p2也可推出. 于是我们(de)结论是:当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方;反之,应分配给B方.若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方.将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况.下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题.首先每系分配1席,然后计算:甲系n1=1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算:甲系n1=2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止(详见列表).n甲系乙系丙系1(4)(5)578(9)2(6)(8)(15)3(7)(12)(21)4(10)(14)5(11)(18)6(13)7(16)8(17)9(19)10(20)11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题:学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合.学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数.1)惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2)Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传:常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步:假设:令 ,2,1,0=n .(1) 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布(即培育开始时(de)分布),显然有1000=++c b a(2) 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步:建模根据假设(2),先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型;第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设(1),有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步:模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表:并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体(个人、公司、党派、国家)相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一:经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元;甲乙合作可获利7元;甲丙合作可获利5元;乙丙合作可获利4元;三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定.对于某一合作(de)贡献定义为:有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差.例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1=6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元).甲可以参加(de),合作有四个:甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙.甲对这些合作(de)贡献分别是甲:1一0=1元;甲乙:7—1=6元;甲内:5—1=4元;甲乙丙:10—4=6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出.这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下:记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v(s),满足则称为定义在I上(de)特征函数.所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示.在实际问题中.常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de).为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定.(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献;表示对所有包含{i}(de)集合求和.称为由v定义(de)合作(de)Shapley值.我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入.甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表.S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为=3.5元,=元.问题二:三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4;6所示.污水需处理后才能排入河中.三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨/秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=.今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q .L(de)数值38,202312==L L .试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案;包括是单独还是联合建厂;如果联合,如何分担投资额等.三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资.方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资:方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为:=3500C(3)=2300总投资:方案三城2、3合作.C(1)=2300总投资:方案四城1、3合作.C(2)=1600总投资:方案五三城镇合作=5560总投资:比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案. 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用.城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5:3:5分担,铺设管道费应由城1、2担负.城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5:3分担;从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负.城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意;而是先算了一笔账.联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500.结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法.为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de):从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则.至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题. 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题:某甲(农民)有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元;如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元;如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元;当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题.动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策.1951年,美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是:将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机.求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策;②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线.下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念.最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1.阶段.把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2.状态和状态变量.每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态.如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3.决策和决策变量.决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案.用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量.)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4.策略和子策略.由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略.从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5.状态转移方程.系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程.无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关.))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子.分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划. 6.指标函数和最优指标函数.在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等.例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和.最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min . 7.动态规划最优化原理.贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质:即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理:定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略. 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法.8.动态规划(de)数学模型.利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程.下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法.指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段. (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k )0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于:如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题.从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败.建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点: (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。

1-3数学建模的简单实例

1-3数学建模的简单实例

2
≤ (1−δ j )M j ≤ δ5M5
∑x
i=1
i5
∑xi4 ≤ M4
j = 2,3 量 制 (库容 限 )
δ2 +δ3 +δ5 ≤ 2(仓库个数限制)
xij ≥ 0, i =1,2; j =1,2,⋯,55, ykj ≥ 0, k =1,2,3,4,5; j = 6,7,⋯,55,
C n = {( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∈ An & x n ≠ 6}
rn表示 n中所含元素的个数 A , t n表示 n中所含元素的个数 显然 n = Bn = Cn B , t
( 设( x1 , x2 ,⋯, xn−1 ) ∈ An−1 , 欲使 x1 , x2 ,⋯, xn−1 , xn ) ∈ An ,必须:
i xi = 1,2,3,4,5,6, i = 1,2,3,4,5; A = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) xi − xi +1 ≤ 4, i = 1,2,3,4 求A
模型的递推解法
相邻两槽中弹子个数的 差异 问题的工艺要求只牵涉 n n , , 因此 可以考虑前 − 1槽已构成锁具 再添加第 个槽 时仍能构成锁
B′
C′
A
A′
D′
B
θ
C
离地面的高度为: 依次记 A 、 B、 C、 D 离地面的高度为
A
f A fB
fc
fD
A′
D′
设想方桌从BD位置旋转至 设想方桌从 位置旋转至 B ′D ′位置 记转过的角度为 θ
则四脚离地面的高度均 可由θ 唯一确定。 于是这四个高度均

简单数学建模100例

简单数学建模100例
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分析与假设
①将 243 颗珠子平均分成 3 份,每份 81 颗,任取其 2 份放置在天平两边,若平衡则稍重的一颗在另 1 份中;若不平衡则
稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.
②在找出含有稍重珠子的一份中(含 81 颗),再将其 81 颗珠子平均分成 3 份,每份 27 颗,任取其 2 份放置在天平两边,若 平衡则稍重的一颗在另 1 份中;若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.
③在找出含有稍重珠子的一份中(含 27 颗),再将其 27 颗珠子平均分成 3 份,每份 3 颗,任取其 2 份放置在天平两边, 若平衡则稍重的一颗在另 1 份中;若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.
④在找出含有稍重珠子的一份中(含 1 颗),再将其 3 颗珠子平均分成 3 份,每份 1 颗,任取其 2 颗放置在天平两边,若 平衡则另 1 颗稍重的一颗;若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的 1 颗.
【8】甲、乙两人去沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走 20 千米,已知每人最多可带一个人 4 天的食物和水。如果允许将部分食物存放于途 中,其中 1 人最远可深入沙漠多少千米?(要求最后两人返回出发点)
分析与假设 要使其中一位探险者尽可能走得远,另一位须先回,留下食物和水给另一位,所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和 水?
练习题
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小敏把 100 只彩色小灯泡串联起彩灯,用来布置教室,可是其中有只小灯泡坏了,这可急坏了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了 那只损坏的小灯泡吗?
【7】水果店进了十筐苹果,每筐
10 个,共 100 个,每筐里的苹果重 量都一样,其中有九筐每个苹果的 重量都是 1 斤,另一筐中每个苹果 的重量都是 0.9 斤,但是外表完全 一样,用眼看或用手摸无法分辨。 现在要你用一台普通的大秤一次把 这筐重量轻的找出来。你可以办到么?

数学建模优化类问题例子

数学建模优化类问题例子

数学建模优化类问题例子
1.最佳生产计划:有一家汽车零部件制造公司,需要决定该如何安排生产计划以最大化利润。

该公司需要考虑每个零部件的生产成本、供应链的延迟和运输成本等因素,以确定最佳的生产数量和交付时间。

2.最优投资组合:一位投资者有一定资金,希望通过合理的资产配置来最大化投资回报。

该投资者需要考虑不同资产类别的风险和回报率,并使用数学建模优化方法来确定最佳的资产配置比例。

3.旅行销售员问题:一位旅行销售员需要在多个城市之间进行访问,并希望以最小的总行驶距离完成所有访问任务。

通过使用数学建模和优化算法,销售员可以确定最佳的访问顺序,从而减少总行驶距离和时间。

4.最佳路径规划:在一个迷宫中,有一只小老鼠需要找到从起点到终点的最短路径。

通过将迷宫与数学模型相关联,可以使用图论和最短路径算法来确定小老鼠应该采取的最佳行动策略。

以上只是一些例子中的几个,实际上数学建模和优化方法可以应用于各种不同的问题领域,包括金融、物流、能源管理、医疗决策等。

通过数学建模和优化,可以帮助人们做出更明智的决策,提高效率和效果。

数学建模小实例

数学建模小实例

1、司乘人员配备问题某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下:设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班,并连续工作八小时,问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员?解: 设i x为第i班应报到的人员i,建立线性模型如下:)6,(,2,1LINGO程序如下:MODEL:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;x1+x6>=60;x1+x2>=70;x2+x3>=60;x3+x4>=50;x4+x5>=20;x5+x6>=30;END得到的解为:x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0 ;配备的司机和乘务人员最少为150人。

2、铺瓷砖问题要用40块方形瓷砖铺下图所示形状的地面,但当时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块。

一人买了20块长方形瓷砖,试着铺地面,结果无法铺好。

试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢?3、 棋子颜色问题在任意拿出黑白两种颜色的棋子共n 个,随机排成一个圆圈。

然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子,再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?分析与求解:由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子,两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子,故可将黑色棋子用1表示,白色棋子用-1表示。

这是因为-1×(-1)=1,1×1=1,这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子;1×(-1)= -1,这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。

设棋子数为n ,12,,,n a a a 为初始状态。

当n=3时步数 状态(舍掉偶次项) 0 1a 2a 3a1 21a a 32a a 13a a231a a 21a a 32a a3 32a a 31a a21a a412a a 23a a 31a a说明当n=3时,经过3步进入初始状态。

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数学建模简单13个例子全解数学建模是一种将数学方法和技术应用于实际问题解决的过程。

它是数学领域的一个重要分支,具有广泛的应用和重要的研究价值。

数学建模能够帮助我们理解和解决许多复杂的现实问题,对于推动科学研究和技术开发具有重要作用。

在现代科学和工程领域,数学建模被广泛运用于各种领域,包括物理、生物、经济、环境、社会等。

通过数学建模,我们可以通过数学方法对问题进行抽象和化简,然后利用数学工具和技术进行分析和求解。

数学建模的过程通常包括问题定义、模型构建、模型分析和模型验证等步骤,其中数学模型的选择和建立是关键的一步。

数学建模的重要性在于它能够帮助我们更好地理解和解决复杂的现实问题。

通过数学建模,我们可以用精确的数学语言和方法描述问题,通过数学分析和计算实现对问题的量化和定量化,为问题的解决提供科学的依据和方法。

数学建模还能够帮助我们发现问题中的规律和关联,提供新的洞察和预测,促进科学的发展和技术的创新。

本文将介绍数学建模的概念和重要性,并给出简单13个例子的全解。

通过这些例子,我们可以更加深入地了解数学建模的基本方法和技巧,培养和提高自己的数学建模能力,为解决实际问题提供有益的借鉴和参考。

描述如何利用数学建模解决鱼群聚集问题,并阐述模型的步骤和应用在鱼群聚集模型中,我们希望通过数学建模来解释鱼群在水中聚集的现象,并找到一种合适的模型来描述鱼群的行为。

步骤:收集数据:首先,我们需要收集关于鱼群聚集的现实数据。

这些数据可以包括鱼群的数量、鱼群的密度、鱼群的移动速度等。

建立模型:基于收集到的数据,我们可以建立一个数学模型来描述鱼群的聚集行为。

常用的模型包括离散模型和连续模型。

离散模型:离散模型将鱼群视为一组个体,每个个体根据一定的规则进行移动和相互作用。

常见的离散模型包括离散元胞自动机模型和离散粒子模型等。

连续模型:连续模型将鱼群视为一个连续的流体,采用偏微分方程来描述鱼群密度的演化。

常见的连续模型包括Navier-Stokes方程和Birds模型等。

模拟和验证:建立模型后,我们可以使用计算机模拟来模拟鱼群的聚集行为,并与实际观测数据进行验证。

通过调整模型参数,我们可以比较模拟结果与实际观测数据的吻合程度。

应用:鱼群聚集模型的应用非常广泛。

例如,在渔业管理中,鱼群聚集模型可以用来预测鱼群的分布和密度,从而帮助渔民选择合适的捕捞地点。

在生态学研究中,鱼群聚集模型可以用来探索鱼群的栖息地选择和迁徙行为。

此外,鱼群聚集模型还可以应用于智能控制系统和交通流模拟等领域。

通过数学建模解决鱼群聚集问题,不仅可以帮助我们更好地理解鱼群的行为,还能为相关领域的决策提供科学依据和预测能力。

点击这里查看其他12个例子的详细解答](链接到其他12个例子的文档)Note: I have assumed that the prompt requires a general example of a math ___ problem as a response。

Kindly let me know if you need any ___ incorrect.点击这里查看其他12个例子的详细解答](链接到其他12个例子的文档)Note: I have assumed that the prompt requires a general example of a math ___ problem as a response。

Kindly let me know if you need any ___ incorrect.本例将解释如何使用数学建模来优化交通流量,并介绍相关的数学模型和求解方法。

交通流量优化是一个重要的问题,特别是在城市交通管理方面。

通过数学建模,我们可以找到最佳的交通流量分配方案,以提高道路网络的效率和减少拥堵。

为了建立数学模型,我们需要考虑以下几个因素:道路网络:确定交通流量的道路网络。

这包括道路的长度、宽度和道路之间的连接。

车辆:确定车辆的数量、类型和速度等参数。

这些参数将影响车辆的行驶行为。

路口:确定交叉口信号灯的设置和协调,包括绿灯时间和红灯时间等。

需求:确定每个路段的交通需求,即车辆的起点和终点。

这可以通过交通调查或模拟数据获得。

基于以上因素,我们可以利用数学模型来优化交通流量。

常用的数学模型包括:马尔科夫链模型:用于描述车辆在不同路段之间的转移概率。

线性规划模型:用于最小化交通拥堵或最大化交通效率的目标函数。

网络流模型:用于建立道路网络的流量平衡方程。

求解这些数学模型的方法有很多,包括贪婪算法、遗传算法、线性规划算法等。

选择适当的求解方法取决于具体的问题和模型。

通过数学建模优化交通流量,我们可以更好地管理城市的交通系统,提高道路的使用效率,减少交通拥堵,并提供更好的交通服务。

说明如何利用数学建模来优化投资组合,并讨论常用的金融数学模型本例子将介绍如何利用数学建模来优化投资组合,并讨论一些常用的金融数学模型。

投资组合优化是指通过合理配置不同资产,以最大程度地提高投资回报并降低风险。

数学建模可以帮助我们在给定的约束条件下找到最优的资产配置方案。

在金融数学模型中,最常用的模型之一是马科维茨模型。

该模型通过对投资组合的历史数据进行分析,以及对不同资产之间的相关性进行建模,来寻找最优的投资组合。

马科维茨模型考虑的主要因素包括资产的期望收益率、风险(标准差)以及资产之间的协方差矩阵。

另一个常用的金融数学模型是CAPM模型(Capital Asset Pricing Model)。

CAPM模型通过考虑资产的系统性风险与市场风险溢价之间的关系,来估计资产的预期收益率。

这个模型可以帮助投资者评估风险与回报之间的平衡。

除了这些常用的模型,还有一些其他的数学建模方法可以用于投资组合优化,例如线性规划、整数规划等。

这些方法根据具体情况的不同,可以灵活地选择使用。

综上所述,通过数学建模可以优化投资组合,提高投资回报并降低风险。

马科维茨模型和CAPM模型是常用的金融数学模型,而线性规划、整数规划等方法也可用于投资组合优化。

例子4:疾病传播模型本节将讨论如何利用数学建模来研究疾病传播,并介绍流行病学模型和传染病模型。

在现实生活中,我们经常面临疾病传播的问题,如流感、艾滋病等。

为了更好地了解和控制疾病的传播,数学建模提供了一种有力的工具。

流行病学模型主要关注人群之间的传播,通常将人群分为易感者、感染者和康复者。

数学模型可以通过建立差分方程或微分方程来描述这一传播过程,从而预测疾病的扩散速度和范围。

传染病模型则更加详细地考虑了感染者与易感者之间的互动。

常用的传染病模型包括SIR模型、SEIR模型等。

这些模型基于统计数据和疾病的传播机制,通过方程组描述人群之间的相互作用,从而预测疾病的发展趋势。

数学建模在疾病传播研究中具有重要作用。

它可以帮助我们理解疾病的传播规律,评估不同控制策略的效果,指导公共卫生政策的制定。

了解疾病传播模型对于防控疾病具有重要意义,也是数学建模的一个重要应用领域之一。

例子5:生态系统建模本节介绍如何利用数学建模来研究生态系统,并探讨生态学模型的应用。

在生态学中,建立数学模型可以帮助我们理解和预测生态系统的动态变化。

这些模型通常基于一些基本的假设和规则,通过数学方程来描述生物种群之间的相互作用和能量流动。

生态学模型可以应用于许多领域,例如自然资源管理、生态保护和环境政策制定。

它们可以帮助我们更好地了解生物群落的结构和功能,并评估不同干预措施对生态系统稳定性的影响。

在生态学建模的例子中,我们可能涉及到以下几个方面:种群动力学模型:这种模型通常用来研究特定物种的数量随时间的变化规律,如兔子和狼的种群数量之间的相互作用。

食物网模型:这种模型通过描述食物链和食物网的结构来研究生态系统中物种之间的相互作用,有效地评估食物供给和物种消耗之间的关系。

营养链模型:这种模型用来描述一个生态系统中不同植物和动物之间的营养关系,从而分析物种之间的相互依赖性和营养传递的长期影响。

预测和管理模型:这种模型用于预测生态系统的未来状态,并采取相应的管理措施,如制定合理的渔业管理计划或自然灾害风险评估。

通过数学建模,我们可以更好地理解复杂的生态系统,并为生态保护和环境管理提供科学的依据。

生态学模型的建立和应用能够促进人类与自然之间的可持续发展和和谐共生。

本例子将探讨如何利用数学建模来预测股票价格,并介绍相关的时间序列模型。

股票价格预测是金融领域中的一个重要问题。

通过数学建模,我们可以利用历史股票价格数据来预测未来的价格走势,为投资者提供决策依据。

时间序列模型时间序列模型是一种用来分析时间上连续观测值的统计模型。

在股票价格预测中,我们可以使用各种时间序列模型来建立预测模型。

常用的时间序列模型包括AR模型(自回归模型)、MA模型(移动平均模型)、ARMA模型(自回归移动平均模型)和ARIMA模型等。

在建立时间序列模型时,我们需要根据历史数据的特征选择合适的模型参数,并使用合适的算法进行模型拟合。

模型拟合完成后,我们可以利用该模型来预测未来的股票价格。

预测股票价格的步骤数据收集:收集相关股票的历史价格数据。

数据预处理:对收集到的数据进行预处理,包括处理缺失值和异常值等。

模型选择:根据预处理后的数据特征,选择合适的时间序列模型。

参数估计:利用已选定的模型,对历史数据进行参数估计。

模型拟合:使用估计的参数,对模型进行拟合。

模型评估:评估拟合后模型的预测准确度和可靠性。

预测未来价格:利用已拟合的模型,预测未来的股票价格。

通过以上步骤,我们可以建立一个股票价格预测模型,并利用该模型为投资者提供预测结果。

请注意,股票价格预测模型仅为一种参考工具,不能保证准确预测未来股票价格。

投资行为需要慎重考虑风险和其他因素,并建议咨询专业金融顾问的意见。

本例将介绍如何使用数学建模来研究人口增长问题,并探讨人口学模型的应用。

人口增长是一个复杂且重要的问题,对于国家的政策制定和社会发展具有重要影响。

数学建模可以帮助我们理解人口增长的规律和趋势,从而为制定合理的人口发展政策提供支持。

在人口学中,我们常用的模型之一是人口增长模型。

该模型基于人口出生率、死亡率以及迁移率等因素,来描述人口的增长和变化。

人口增长模型可以分为多个类型,包括简单的指数增长模型、Logistic增长模型以及时滞模型等。

通过数学建模,我们可以对这些模型进行参数拟合和预测。

通过收集实际的人口数据,我们可以利用拟合算法来确定模型的参数,从而得到更准确的人口增长预测。

同时,模型的预测结果还可以用于评估各种人口政策的效果,比如计划生育政策、老龄化问题等。

人口学模型的应用领域非常广泛。

除了用于人口预测和政策制定外,人口学模型还可以应用于城市规划、医疗资源分配、社会保障等方面。

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