牛头刨床的运动和动力分析

二、牛头刨床的运动、动力分析

[H,L1]=solve('H=300','L1=(270*H)/(2*550)',' H','L1')

H =

300

L1 =

810/11

>> [N1,W1]=solve('N1=23',' W1=(N1*2*PI)/60','N1','W1')

N1 =

23

W1 =

23/30*PI

一、任务

根据牛头刨床的机构简图及必要的数据，进行机构的运动学和动力学分析，并给出刨头的位移、速度、加速度和曲柄平衡力矩的曲线。

二、已知条件

1、机构运动简图

2、机构尺寸

mm a 270=， mm b 520=， mm l 5503=， mm l 1004=

3、刨头行程和曲柄转速

行程mm H 420=， 转速min /891r n =

4、刨头的切削阻力

工作行程始终为1000N ，空程为0N 。 三、 表达式推导

如图所示以A 点为坐标原点，平行刨头运动方向为x 轴，建立直角坐标系，标出各杆矢量及方位角。 由机构的结构分析有：

过D 和D '做刨头所在导轨的垂线DG 和D 'G '，从图形中的角度关系易证明GE= G 'E '，所以有EE '=DD '及EE '=θsin 23l =H a

l l =1

32，因而我们可以得到3

12l aH

l =

1、推导出刨头()1ϕE E x x =，()1ϕE E v v =，()1ϕE E a a =的数学表达式。 （1） 位置分析

由矢量封闭三角形ABC 可得封闭矢量方程为

CB AB l l a

=+

即： 312i

i i AB ae l e Se π

ϕϕ

+= （1）

应用欧拉公式θθθsin cos i e i +=，将（1）的虚部和实部分离得： 31sin sin ϕϕS l a AB =+ （2）

31cos cos ϕϕS l AB = （3） 由上面两式求解可得： 当0cos 1=ϕ即21πϕ=

或2

31π

ϕ=时，由（3）得 0cos 3=ϕ 及 2

3π

ϕ=

当0cos 1≠ϕ时：

1

1

3cos sin tan ϕϕϕAB AB l l a +=

（4）

此时按照机构结构简图及反正切的定义范围易得： 当0tan 3<ϕ时： 1

1

3c o s s i n a r c t a n ϕϕπϕAB AB l l a ++=

当0tan 3>ϕ时： 1

1

3c o s s i n a r c t a n

ϕϕϕAB AB l l a +=

由矢量封闭图形CFED 可得封闭矢量方程为

D E CD FE CF l l l l

+=+

即： 4

3

432ϕϕπ

i i i

E e l e l be x +=+ （5）

应用欧拉公式将（4）的虚部和实部分离得：

4433cos cos ϕϕl l x E += （6） 4433sin sin ϕϕl l b += （7）

由式（7）可得 4

3

34sin sin l l b ϕϕ-=

此时按照机构结构简图及反正弦函数的定义范围易得： 4

3

34sin arcsin

l l b ϕπϕ--= （8） 由这两个式子可以消去4ϕ，得到由1ϕ确定的E x 的公式：

()()23323324sin cos ϕϕl b l x l E -+-= （9） 显然式（9）作为计算式时难以确定E x 的符号，因此在编程时我选择式（6）作为计算式。 （2） 速度分析

将式（5）对时间t 求导可得：

)

2

(44)

2

(3343π

ϕπ

ϕϕ

ϕ+++=i i E e l e l x

（10）

应用欧拉公式将（7）的虚部和实部分离得：

444333c o s c o s 0ϕϕϕϕ l l --= （11） 444333s i n s i n ϕϕϕϕ l l x E --= （12）

由式（11）可得：

444333cos cos ϕϕϕϕ

l l =- 对设计方案进行分析可知0cos 4≠ϕ，否则无法完成行程

所以 4

43334cos cos ϕϕϕ

ϕ

l l -= （13）

又由式（4）可得：

()

S

l AB 3113cos ϕϕωϕ

-= （14）

其中的S 的表达式可由（2）求得：

3

1

sin sin ϕϕAB l a S +=

（由设计方案显然3sin ϕ不为零） （15）

由式（12）、（1）可得到由1ϕ确定的E v 的公式：

()4

4333cos sin ϕϕϕϕ

--== l x

v E E （16）

（3） 加速度分析

将式（9）对时间t 求导可得：

()()

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

++⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

+++++=24424

423323

34433πϕπϕπϕπϕϕ

ϕ

ϕ

ϕi i i i E e l e l e l e l x

（17）

应用欧拉公式将（15）的虚部和实部分离得：

34432

443333233sin cos sin cos ϕϕϕϕϕϕϕϕ l l l l x E ----= （18） 44442443333233cos sin cos sin 0ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ l l l l +-+-= （19） 由式（16）可得：

4

44

24433332334cos sin cos sin ϕϕϕϕϕϕϕϕ

l l l l +-= （20） 由式（15）、（17）可得到由1ϕ确定的E a 的公式：

()()4

4

2

4343233433cos cos sin ϕϕϕϕϕϕϕϕl l l x

a E E +---== （21） 其中

由式（14）可求得()S

S l 31312132sin ϕ

ϕϕωϕ

--=

由式（15）可求得()3

111sin ϕϕω--=l S 2、推导出曲柄所加平衡力矩111()M M ϕ=的数学式。

对机构进行受力分析可知，假设在整个力的传递过程中损耗为零，则驱动力矩做的功应当与阻力所做的功相等，若曲柄沿逆时针旋转，令当刨头到达极限位移时杆3与y 轴夹角为θ 则有：

3

322sin l H

l H

==θ

即：3

2arcsin

l H

=θ 所以当[)[]πθπθπϕ2,2,01-⋃+∈时，阻抗力1000-=r F ;