高三数学考点-三角函数图象的变换

4．4三角函数图象的变换1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示．xωx＋φy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A02.图象变换(ω＞0)路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝A sin(ωx＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝A sin(ωx＋φ)的图象．3．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝A sin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝1T＝________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝________时的相位φ称为初相．自查自纠1.x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π32π2πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A02.||φ1ωA1ω⎪⎪⎪⎪φωA3. 2πωω2π0(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度解：把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象．故选A . (2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.故选D . (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 的图象，再把所得的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.故选D .(南京市、盐城市2017届高三一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.解：因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2（x －φ）＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ是偶函数，则2×0＋π3－2φ＝k π＋π2，φ＝－k 2π－π12，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以k ＝－1，φ＝5π12.故填5π12. (2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3，所以函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．故填2π3.类型一 五点法作图与求解析式(1)作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象． 解：周期T ＝2π12＝4π，振幅A ＝2.按五个关键点列表：x 2＋π30 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 y2－2描点作图：【点拨】用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设X ＝ωx ＋φ，由X ＝0，π2，π，32π，2π来求出相应的x 值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解：由图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法结合各选项可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故选A . 【点拨】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1)升降零点法，由ω＝2πT ，即可求出ω；求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.(2016·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，故ω＝2.由f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－2，得φ＝2k π－π3(k ∈Z )． 因为|φ|<π2，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3∈⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 得x ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )． 解法二：34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π12，π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12， 所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．故选B . 类型二 三角函数的图象变换说明由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π； (3)y ＝||sin x ； (4)y ＝sin ||x .解：(1)将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． (2)解法一：将y ＝sin x 的图象向右平移23π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象． 解法二：先把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象． (3)将y ＝sin x 的图象的x 轴下方部分翻折到x 轴上方，去掉x 轴下方图象，即可得到y ＝||sin x 的图象． (4)先去掉y 轴左边的y ＝sin x 的图象，再将y 轴右边的图象翻折到y 轴左边，保留y 轴右边的图象，即可得到y ＝sin ||x 的图象．【点拨】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换．三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向．(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．(荆门市2017届调考)若将函数y ＝12sin(2x ＋π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解：因为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到g (x )的图象， 所以g (x )＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3， 即g (x )＝12sin(2x ＋π)＝－12sin2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，即k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 故选B .类型三 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的图象及其变换(2017·山东)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f(x)＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3·⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【点拨】(1)用辅助角法，将较复杂的三角式转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)要看清由谁平移到谁，若自变量的系数不为1时，要将系数先提出来，再平移．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π22π x π12 π3 7π12 5π6 13π12A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.1．五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来． 2．根据y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象求解析式的步骤： (1)首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π； 谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(φ由tan α＝ba 确定)的应用是高考的热点，应予以重视．1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解：因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向左平移12个单位长度即可．故选A .2．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解：将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.故选C . 3．(北京昌平区2017届期末)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解：由图可知周期为T ＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋π2－x 0＝π，所以ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数图象经过点(0，3)，故f (x )＝2sin(2×0＋φ)＝3，sin φ＝32，又|φ|<π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故选B . 4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解：由图可知，34T ＝5π12＋π3＝3π4，T ＝π，ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，2在图象上，所以2·5π12＋φ＝π2＋2k π，φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π3.故选A .5．(2017·辽宁抚顺模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π16B.35π6C.49π12D.17π4解：由题意可得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以x ＝π12＋k π，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝⎛⎭⎫π12＋π－⎝⎛⎭⎫π12－2π＝49π12.故选C . 6. (2016·北京)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3解：因为点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝⎛⎭⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin2⎝⎛⎭⎫π4－s ，则2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋56π，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z ，又s ＞0，故s 的最小值为π6.故选A .7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．解：由图象知T ＝2π3，则ω＝2πT ＝2π2π3＝3.故填3.8．(2015·昆明模拟)把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数； ④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中正确判断的序号是________．解：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，①不正确；y ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sinπ＝0，函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12，③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，有y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，得a ＝23，④正确．故填②④.9．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求ω和φ的值．解：由题意，函数f (x )的最小正周期T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－π6，k ∈Z .又－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.10．(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解：(1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos2x )＋sin2x －1＝sin2x －3cos2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.11．(2017·福建福州模拟)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1 ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1. 因为点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z .因为0<ω<1，所以k ＝0，ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1. 由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下： x ＋π6 －5π6 －π20 π2 π 7π6 x －π －2π3 －π6π3 5π6 π f (x )－1131则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．(2016·厦门模拟)已知向量a ＝(2cos x ，3sin x )，b ＝(cos x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋m ，m ∈R ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，f (x )的最小值为2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的所有根之和． 解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m＝cos2x ＋3sin2x ＋m ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，当2x ＋π6＝76π，即x ＝π2时，f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋m ＋1＝2，解得m ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6 (k ∈Z )． (2)将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋3，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象， 所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋3，又g (x )＝4，得sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝12，解得4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z . 即x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π12或π4，故所有根之和为π12＋π4＝π3.。