16-1数学文化试题答案 (1)

科目代号：6105

甘肃广播电视大学2016年1月期末考试

开放本科数学应用数学、计算机科学与技术专业

《数学文化》答案（开卷）

一、填空题（每空2分，共20分）

1. 数学方式的理性思维”、“数学文化”、“数学素质”

2. 算术、几何、代数、三角

3. 笛卡儿的变数，变数，辩证法

二、解答题（每题16分，本题共80分）

1. 答：第一，数学的研究对象本身就是抽象的。数学的研究对象是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。

第二，数学的抽象的重点在于事物的数量关系和空间形式。数学的抽象舍弃了事物的其他一切方面，只保留了事物的数量关系和空间形式。

第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，到越高的层次，抽象的程度也越高，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象。

第四，数学本身几乎全在处理抽象概念和概念之间的抽象联系。不仅数学的概念是抽象的，数学的方法、数学的论断也都是抽象的。

例如，数学家从人类生存的现实空间，抽象出三维欧氏空间，又进一步抽象出n维线性空间以至无穷维线性空间，以及其它更加抽象的空间。

2. 答：(1)毕达哥拉斯（Pythagoras 约前572 年—前500 年）是公元前500 多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。

毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。

相传“哲学”和“数学”这两个词是毕达哥拉斯本人所创。

(2)“万物皆数”学说

①数，是世界的法则和关系

毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比n/m，即正分数。

②任意两条线段都是可公度的,“可公度的”，意即有公共的度量单位。

(3)毕达哥拉斯学派在数学上的贡献

①数学证明的起始

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泰勒斯——毕达哥拉斯——欧几里得

证明是要有假设的：“公设”和“公理”。

许多人推测，欧几里得《几何原本》前两卷的大部分材料，来源

于毕达哥拉斯学派。

②数学抽象的提出

从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。

③毕达哥拉斯定理

即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。

3. １）认识宇宙和人类自身――数学是向两个方向生长的大树

为什么大多数数学家并不太担心哥德尔定理所造成的阴影呢？

因为数学这棵大树是向两个方向生长的。它既向上生长，去研究宇宙的深度；也向下生长，去研究人类自身理性思维的深度。如果不是这样，而只向上生长，一旦细微的须根出了问题，基础就要崩溃，大树就会倒下。现在，枝叶也在生长，根须也在生长，大树就不会因为少许须根的“问题”而倒下。因为，认识宇宙的过程中会有许多一时不能解决的问题（如宇宙大爆炸的问题），我们并未因此而气馁；认识人类自身理性思维的过程中也会遇到许多一时难以解决的问题，我们又何必气馁而怀疑整个数学的价值呢？……………4分

哥德尔定理是人类认识自身理性思维的记录，但，这不是失败的记录，而是胜利的记录。如果说哥德尔定理揭示了形式的公理系统的深刻矛盾，则问题在于我们是在探索世界的过程中，自己把数学变成形式系统的，数学本身并不一定要是形式系统。……………3分

２）没有现代数学就没有现代文化

我们再从反面看一下数学与文化的关系。假定没有现代形式化公理化的数学体系，甚至连它的早期形式――欧几里得的《几何原本》都没有，情形会怎样，人类社会又将怎样？那样，人们研究数学只是为了解决具体的实际问题，丈量土地、盖房子、修订历法、计算农时，等等。甚至数学与占星卜卦混在一起。

至于更深层次的规律性的探索，不需要提出。因为《几何原本》中的多数定理，凭直接经验就知道它的正确性。例如“正方形的四条边相等”，例如“圆上所有的点到圆心距离相等”，例如“矩形面积等于长乘宽”，这些命题可以从大量的经验中总结出来。就解决实际问题的需要而言，承认这些命题就够了。不需要逻辑证明，不需要写什么《几何原本》。人们在徘徊中可能有一天觉得，有必要把

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自己的知识整理成一个体系。假定整理时只是归纳式的梳理，而不是采用形式化的公理体系，那么，“过直线外一点能作且只能作一条直线与已知直线平行”这个结论，可能在该体系中作为众多命题中的一个出现，而不是作为一个公设出现。于是，在该体系中不会有人怀疑它，因为它与我们大量的直接经验相符。既然对这一现在称为“平行线公理”的结论没有怀疑，就不会产生非欧几何，自然也就没有相对论，也就没有现代物理，也就没有以现代物理为基础的现代技术，从而也就没有现代文化。……………5分

此外，那样也不会有关于数学基础的研究，不会有“形式系统”这样的思想，自然也不会有哥德尔定理，同样也不会有由数学形式化而产生的计算机。从而也就没有现代文化。更重要的是，没有形式的公理化的数学，就没有人类理性思维今天的高度发展，就没有一代一代数学工作者经年累月的探索精神，从而也就没有现代文化。所以说，如果没有现代数学，就不会有现代文化。……………3分

4. 答：三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。所以，第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。

第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是有穷过渡到无穷的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。

第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。

以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。

5. 答：甲有必胜策略。

“抓三堆”的二进制解法如下：用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，使用模2加法，只要是2的倍数，就记为0。我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写成三行，将位数对齐，各列模2相加，若和全为0，则后抓者有必胜策略；若和中出现1，则先抓者有必胜策略。和中出现1时，先

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