高考试题的探究(一)安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思-数学通讯
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思高考数学卷是考生们评价自己数学水平的重要标准之一。
一道高考数学卷的卷压轴题往往具有较高的难度和复杂性，需要考生综合运用数学知识和解题技巧进行分析和解答。
下面对一道高考数学卷压轴题进行研究与反思。
题目：已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a，b，c为常数，满足条件：f(-1)+f(1)=4，f(0)=-2。
若对任意x，f(x)>=0，求a，b，c的取值范围。
我们可以利用已知条件求解c的值。
由于f(0)=-2，我们可以将x代入到函数中，得到c=-2。
接着，我们将c的值代入到方程中，得到f(x)=ax^2+bx-2。
然后，我们将f(-1)+f(1)=4的条件代入到方程中，得到a-b=3。
接下来，我们需要根据题目中的条件f(x)>=0来分析a，b，c的取值范围。
由f(x)>=0可得到ax^2+bx-2>=0。
这是一个关于x的二次函数，我们可以利用二次函数的图像性质来解决问题。
我们考虑a>0的情况。
当a>0时，函数的图像是一个开口向上的抛物线。
根据抛物线的性质，我们可以得到抛物线与x轴的交点x1和x2满足：x1<x2。
由于f(x)>=0，我们可以得到抛物线在x1和x2之间的区域都大于等于0。
而抛物线在x1和x2之外的区域小于0。
考虑函数f(-1)+f(1)=4，由于对任意x，f(x)>=0，我们可以得到f(-1)>=0，f(1)>=0。
将f(x)=ax^2+bx-2代入得到a-b-2>=0，即a-b>=2。
综合以上条件，我们可以得到：a>0，a-b>=2。
根据对题目中条件f(x)>=0的分析，我们得到a>0，a-b>=2和a<0，a-b<=2。
通过对这道高考数学卷压轴题的研究与反思，我们不仅对运用数学知识和解题技巧进行了深入了解，还增强了我们分析问题和解决问题的能力。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思我们先来看一下压轴题的特点。
压轴题通常是一道较为复杂、综合性较强的数学题目，需要运用多种数学知识和技巧进行综合运用。
压轴题往往要求考生运用数学知识解决现实生活中的问题，具有较强的实际应用性。
压轴题的解题过程常常需要一定的创新和思维深度，考查考生的数学建模能力和问题解决能力。
压轴题在一定程度上能够较全面地反映考生的数学素养和综合运用能力。
对于高考数学卷压轴题，教育部门和评卷人员通常会根据题目难度和考生答题情况对分数进行适当调整，以保证公平公正。
这也使得压轴题成为一种重要的教育评估工具。
通过对压轴题的考查，可以全面评估考生的数学能力和素养，促进教学质量的提高和学生数学素养的全面发展。
压轴题的设置也对教学有着积极的意义和影响。
一方面，压轴题的综合性和实际应用性能够激发学生学习数学的兴趣。
学生在解决复杂问题的过程中，不仅能够提升数学技能，更能够培养解决问题的能力和信心，促进学生的全面发展。
教师在备课和教学过程中，也可以通过研究压轴题的设置和解题方法，引导学生掌握数学知识，提高数学思维能力，提升教学质量。
压轴题也存在一些问题和挑战。
由于压轴题的综合性和难度较大，一些学生在面对这类题目时可能会感到困惑和沮丧，甚至影响考试发挥。
一些教师可能会为了迎合考试需求，过度注重压轴题的应试技巧和解题方法，忽略了对基础知识和思维能力的培养。
压轴题的设计和评分标准可能存在一定的主观性和不确定性，需要进一步完善和规范。
针对以上问题和挑战，我们可以从以下几个方面进行改进和完善。
教师在教学过程中应更加关注学生的数学基础知识和数学思维能力的培养，引导学生通过多样化的学习方式和实际应用，提升数学解决问题的能力。
教育部门和评卷人员应该在压轴题的设计和评分标准上加强规范和公正，确保对考生数学能力的全面评估。
学生本身也应该树立正确的学习态度，培养自主学习和解决问题的能力，以更加从容地应对高考数学卷压轴题。
近五年安徽省高考数学理科试卷分析
近五年安徽省高考数学理科试卷分析一、整体评价近五年安徽高考数学试题从整体上看，贯彻了“整体维持稳定，深化能力立意，踊跃改革创新”的指导思想，试卷内容上表现新课程观念，对基础知识、大体技术和数学思想方式都有较全面的考查。
二、试卷特点1、试卷结构维持稳定，近五年来一直是10道选择题、5道填空题、6道解答题的结构；2、试卷分值稳定，选择、填空每题5分，解答题共75分；3、试卷难易安排稳定，大体是由易到难，给学生一个循序渐进的进程。
三、具体分析2021年是安徽省高考自主命题的第六年，是安徽省进入新课程改革高考的第三年，处在由大纲高考到新课标高考的过渡期的最后一年。
11年的数学命题迈出了“稳中求变，变中求新，新中求活，突出应用，切近现实，交汇融合，凸显能力”的命题改革前进步伐，理科数学难度有所增大。
11年的理科试卷相对于以前做了很大的变更。
（1）第（16）题一改往年的做法，不是三角函数题，而是函数与导数整合的题目；（2）第（17）题的立体几何，考的是线线平行与表面积问题，并无依照常规考二面角的求解问题；（3）第（19）题设置的是不等式的证明题，为历年罕有；（4）第（21）题的解析几何直接要求动点的轨迹方程，回归到解析几何的本质却不涉及到韦达定理。
这份卷子学生感觉题目难，根本原因是学生缺乏数学思维。
为了扭转当前这种只重视做题数而不重视数学思维能力培育的不良教学局面，11年的数学试卷进行了创造性的改革，考查的不是学生会不会套用常常利用题型，而是重在考查学生会不会思维，有无良好的思维习惯和创新的精神。
2021高考试卷就比较符合正常思维。
对于选择题第（1）题考查复数的计算，是简单第（2）题考查函数的解析式，主要看学生对函数解析式的理解，第（3）题考查程序框图及算法，利用列举法可以取得答案，第（4）题考查等比数列的性质和指数对数的运算，需要学生有转化能力，属于中等难度的题。
第（5）题频率散布直方图，方差和平均数的计算，第（6）题考查线面的垂直关系和充要条件的概念，要求学生有必然的空间想象能力和逻辑思维能力。
安徽省部分高中2025届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析
安徽省部分高中2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤2．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 34．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．456．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π8．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．409．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．1510．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省潜山市第二中学2025届高考数学押题试卷含解析
安徽省潜山市第二中学2025届高考数学押题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦2．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D3． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1695．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．56．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．2,3⎡⎣C ．2,4⎤⎦D ．[]1,49．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.14710．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1111．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．5412．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
２４９ 对一道高考数学卷压轴题的研究与反思■韩利华 （江西省分宜中学 新余 ３３６６００）【摘 要】对高考数学卷压轴题的研究可以帮助教师提升课堂教学效率，有效调整课堂教学重点。
本文以我国２０１９年高考数学全国卷（Ⅰ）压轴题为例，对其解法以及蕴含思想进行分析研究，进而提出几点高中数学教学反思，希望可以对业内起到一定参考作用。
【关键词】高考；数学压轴题；教学反思【中图分类号】Ｇ６３２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１９）２３－０２４９－０１ 伴随着新课改的实施与高考招生制度的不断改革，高考数学压轴题的设置也发生了一定程度的改变，在高考数学试卷中，压轴题占有关键地位，其本身和考试大纲具有高度相关性，同时，此题往往具有一定特色，具有较高的研究价值。
一、题目论述该题为我国２０１９年高考数学全国卷（Ⅰ）第２０题，为函数压轴题，此题具有题干简洁明了，内涵丰富的特点，其重点考核学生对于函数知识的掌握水平以及推导能力，其具有多种解法，可以考察学生的数学素养，对其进行研究可以为数学教学起到一定导向作用。
题目如下：“已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－Ｉｎ（１＋ｘ），ｆ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导数，证明：（Ⅰ）ｆ′（ｘ）在区间（－１，π２）存在唯一极大值点。
（Ⅱ）ｆ（ｘ）有且仅有两个零点。
二、解法分析１．问题（Ⅰ）解法分析。
（１）解法１。
令ｆ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－１ｘ＋１＝ｇ（ｘ），那么ｇ′（ｘ）＝－ｓｉｎｘ＋１（ｘ＋１）２，且－１＜ｘ＜π２；令ｈ（ｘ）＝ｇ′（ｘ）＝－ｓｉｎ＋１（ｘ＋１）２，且－１＜ｘ＜π２，根据条件分析，因为，ｈ′（ｘ）＝－ｃｏｓｘ－２（ｘ＋１）３＜０，所以可以判定在（－１，π２）上，ｇ′（ｘ）即ｈ（ｘ）具有递减特点，因为ｇ′（０）＝１＞０，且ｇ′（π２）＝－１＋１（π２＋１）２＜０，因此可以判定在（０，π２）上，ｇ′（ｘ）具有唯一零点，如果条件为ｘ０＜ｘ＜π２，那么可以判定ｇ′（ｘ）＜０；如果条件为－１＜ｘ＜ｘ０，那么可以判定ｇ′（ｘ）＞０。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思1. 引言1.1 研究的背景高考数学卷一直是备受关注的话题，考生们都希望能够在这一关键的时刻取得好成绩。
而每年高考数学卷的压轴题往往是考生们最关心的部分，因为它往往代表着考试的难度和学生们的水平。
对压轴题的研究和分析，可以帮助我们更深入地了解数学考试的趋势和规律，从而为今后的备考和教学提供更有效的参考和指导。
研究高考数学卷压轴题的意义在于，它可以帮助我们发现考试制度的问题和不足之处，以及学生在数学学习中存在的困惑和困难。
通过深入分析题目的特点和解题思路，我们可以更好地指导学生备考，帮助他们提高数学学习的效果和成绩。
研究压轴题还可以为教育教学改革提供参考和启示，促进数学教育的不断改进和提高。
对高考数学卷压轴题的研究是一项具有重要意义的工作。
1.2 研究的意义研究的意义在于深入探讨高考数学卷压轴题的设计理念和思维方式，可以帮助我们更好地理解数学教育的目标和方法。
通过对题目的分析和解题思路的探讨，我们可以发现其中蕴含的数学思维和解题技巧，从而提高学生的数学学习能力和应试能力。
通过调查分析学生答题情况，我们可以了解学生对这种类型题目的理解和掌握情况，进而指导教师在教学中重点讲解和训练。
考试制度的影响也是我们需要关注的问题，只有深入研究数学考试的设计和改革，才能更好地推动数学教育的发展和提高教育质量。
这篇研究对于对题目设计的合理性、数学考试的改进建议和教育教学的启示都具有重要意义。
通过深入探讨和思考，我们可以更好地促进数学教育的改革和提升。
2. 正文2.1 题目的分析对于一道高考数学卷压轴题的研究与反思，首先需要对题目进行深入分析。
这道题目应该是整份试卷的难点所在，涉及到数学知识的广度和深度，考察学生的综合运用能力。
通过对题目的分析，可以了解到考查的重点和考点，以及解题的关键思路。
在分析题目时，首先需要理清题目的条件和要求，明确题目所涉及的数学知识点。
然后要思考题目背后的数学原理和思想，找出题目的难点和技巧。
2012年安徽省数学高考理科压轴题的探究
这道 安徽 省 的高 考 压 轴 题 考 查 了 函数 、 列 、 数 不等式 等有关知识 ， 合性 大、 巧性 强、 综 技 内蕴 深
厚 ， 一道 既 考 知 识 又 考 能力 的 好 试 题． 题 的 ２ 是 本
假 设 当 ／＝ｋ时 ， ７ ， 结论 成立 ， 即
ａｋ＋】＞ ａｋ ・
评注
（ ） 理 中 条件 “ １定 函数 Ｙ＝
） 增 函 为
数 ” 可 缺少 ， 不 否则 数 列 ｛ 不单 调 （ ｎ｝ 易证 ） ． （ ） 充 分性 的证 明 中可 看 出 ： ０ ∈Ａ ２从 当 时 ，
）＜ 的解 集 分别 为 Ａ ，。Ａ ， 。Ａ ， 则
ｎ 必须 满 足 口 也 ∈Ａ （ １ ２ ３ ， 即 当 ∈Ａ ，， ）亦 ； 时 ）∈ Ａ 不容 忽 视．
，
（） ； １略
（） ２ 求使 不 等式 ０ ＜０＋ ３成 立 的 Ｃ的取 值 ＜
范 围．
＋∞） 单 调 递 增 ， ｆ（ 上 且 ）∈ （ ，＋ 。 （ ， ３ 。） ３
（０ ０年 全 国数 学 高考理科 试 题 ） ２１
分析 由题 意知 数列 ｛ 的 “ 函数 ” ｏ｝ 原 为
第１ ０期
胡云浩 ： ０ ２年安徽省数 学高考理科压轴题 的探 究 ２１
・３ ７・
２ ２ 安 徽 省 数 学 高 考 理 科 压 轴 题 的 探 究 １ 年 ０
●胡云 浩
１ 试 题探 究
（ 砀山中学 安徽砀山 ２５０ ） ３３０
证 明 （ ） 必要 性） 因为 ｛ 为递 增 数 列 ， １（ ２ １｝
因为 口 ＝１ ０ ０ ＋ ＜ ， 以 １ ， ＜ ｌ ３ 所
Ⅱ ∈［ ，） １３ ．
剖析高考压轴题目,挖掘压轴命题规律--由2014年安徽高考21题引起的思考
解法５㊀提示：适当建立空间直角坐标系后，通过解方程组求出半平面ＡＤＢ的法向量ｎ１㊁半平面ＡＤＥ的法向量ｎ２，则二面角Ｂ ＡＤ Ｅ的平面角θ适合公式ｃｏｓθ＝ʃｃｏｓ ｎ１，ｎ２⓪＝ʃｎ１㊃ｎ２ｎ１ｎ２（酌情取正号或负号）．图４解法６㊀取直线ＤＥ㊁ＤＣ分别为ｘ轴㊁ｙ轴，建立如图４所示空间直角坐标系Ｄ ｘｙｚ，则点Ｄ（０，０，０）㊁Ｅ（１，０，０）㊁Ｂ（１，１，０）㊁Ａ（０，２，２），则ＤＥң＝（１，０，０）．作ＢＨʅＡＤ于Ｈ，则二面角Ｂ ＡＤ Ｅ的平面角等于向量ＤＥң与ＨＢң所成的角．同解法１得ＡＨ＝２ＡＤ３，则ＤＨ＝ＤＡ３，则Ｈ（０，２３，２３），则ＨＢң＝（１，１３，－２３），则ＨＢң＝２３．因为ｃｏｓ ң，ＨＢң⓪＝ＤＥң㊃ＨＢңＤＥң㊃ＨＢң＝３２，所以 ＤＥң，ＨＢң⓪＝３０ʎ．即二面角Ｂ ＡＤ Ｅ的大小等于３０ʎ．评注㊀解法５是教科书介绍㊁大家熟知的向量法，计算两个（面）法向量的通法比较费时，最后确定二面角的大小还要鉴别是取 ｎ１ң，ｎ２ң⓪还是取１８０ʎ－ ｎ１ң，ｎ２ң⓪，全程颇费周折；相比之下，解法６利用 线法向量 就易学易用，避繁就简！思路四㊀运用垂直三折线公式图５㊀㊀解法７㊀将解法１的图３提炼成图５，其中ＢＥ＝１㊁ＥＤ＝１㊁ＤＨ＝１３６㊁ＨＢ＝２３，且ＤＨʅＤＥ㊁ＤＨʅＨＢ，则运用教科书的例题结论求得，二面角Ｂ ＨＤ Ｅ即就是原二面角Ｂ ＡＤ Ｅ的平面角θ，ｃｏｓθ＝ＨＢ２＋ＤＥ２＋ＤＨ２－ＢＥ２２㊃ＨＢ㊃ＤＥ＝４３＋１＋２３－１２ˑ２３ˑ１＝３２，则θ＝３０ʎ．所以二面角Ｂ ＡＤ Ｅ的大小为３０ʎ．评注㊀为了读者们易记㊁活用，可将目前人教Ａ版高中数学课标教科书选修２－１第３ ２节的例２结论重新表述成 如果两条异面直线Ｈ１Ｐ１与Ｈ２Ｐ２的公垂线段是Ｈ１Ｈ２，那么二面角Ｐ１－Ｈ１Ｈ２－Ｐ２的平面角θ适合余弦公式ｃｏｓθ＝Ｈ１Ｐ２１＋Ｈ２Ｐ２２＋Ｈ１Ｈ２２－Ｐ１Ｐ２２２㊃Ｈ１Ｐ１㊃Ｈ２Ｐ２．最后指出，引导学生平时自主摸索或阅读理解多种解题思路，养成探究㊁博览㊁应用的习惯，更有利于开发学生的数学潜能！作者简介㊀甘大旺，男，１９５９年生，湖北咸宁人，１９９７年被评为湖北省特级教师．研究方向是数学高考㊁数学省赛㊁数学史㊁数学研究评论．发表３００多篇教研文章，出版专著２本．剖析高考压轴题目，挖掘压轴命题规律由２０１４年安徽高考２１题引起的思考山东省泰安第一中学㊀㊀２７１０００㊀㊀马启银１㊀问题的提出对于准备考取名校的高三优秀学生来说，在准确解决高考中低档题目后，攻克高考压轴题就显得尤为重要．这就要求我们老师及时全面的研究各地高考压轴题，思考挖掘题中的命题规律，从而形成一些培养尖子生的方案．笔者研究了２０１４年安徽理科压轴题后，产生了一些想法，现把想法整理出来，希望对大家理解新课程理念，把握新课程内容，从容面对新课程下的高考有所帮助．题目㊀（２０１４年安徽卷理科２１题）设实数ｃ＞０，整数ｐ＞１，ｎɪＮ∗．（１）证明：当ｘ＞－１且ｘʂ０时，（１＋ｘ）ｐ＞１＋ｐｘ；（２）数列｛ａｎ｝满足ａ１＞ｃ１ｐ，ａｎ＋１＝ｐ－１ｐａｎ＋ｃｐａ１－ｐｎ，证明：ａｎ＞ａｎ＋１＞ｃ１ｐ．２㊀剖析典型高考题目，洞察压轴命题规律题目第一问是选修４⁃５教材上的例题，证明贝努利（Ｂｅｒｎｏｕｌｉ）不等式，第二问则是应用贝努利不等式结论解决数列问题，体现了高考命题植根于教材又高于教材的特点．２．１㊀第一问解法剖析３５中学数学杂志㊀２０１５年第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀本题第一问，教材中给出的是数学归纳法证明（略）．其实还有很多证法，不等式中的实数ｘ和正整数ｐ让我们联想到函数和数列，从而发现其它两种证法．法一㊀令ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｐ－１－ｐｘ，ｘɪ（－１，＋ɕ），则ｆᶄ（ｘ）＝ｐ（１＋ｘ）ｐ－１－ｐ＝ｐ［（１＋ｘ）ｐ－１－１］，易知ｆᶄ（０）＝０，所以ｘɪ（－１，０）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｘɪ（－１，＋ɕ）且ｘʂ０时，ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，即（１＋ｘ）ｐ＞１＋ｐｘ．法二㊀只需证１＋ｐｘ１＋ｘ()ｐ＜１．设ｂｐ＝１＋ｐｘ１＋ｘ()ｐ，ｂｐ＋１－ｂｐ＝１＋ｐ＋１()ｘ１＋ｘ()ｐ＋１－１＋ｐｘ１＋ｘ()ｐ＝１＋ｐ＋１()ｘ－１＋ｐｘ()１＋ｘ()１＋ｘ()ｐ＋１＝－ｐｘ２１＋ｘ()ｐ＋１＜０，所以｛ｂｐ｝为单减数列，故ｐ＞１时，ｂｐ＜ｂ１＝１．在很多不等式证明的题目中，常常含有函数和数列的特征，那么构造函数和数列解决问题就不失一种好的方法，多角度看待问题很好地训练了学生的发散思维．２．２㊀第二问解法剖析有了第一问的结论，我们就可以使用此结论证明第二问，这种搭设台阶逐步解题的方式也是高考命题中很重要的手段．法一㊀由条件和结论中的ｃ１ｐ，想到把问题拆成两步：ａｎ＞ｃ１ｐ和ａｎ＞ａｎ＋１．先用数学归纳法证明ａｎ＞ｃ１ｐ，当ｎ＝１时显然ａ１＞ｃ１ｐ；假设ｎ＝ｋ时，不等式ａｋ＞ｃ１ｐ成立．要证ａｋ＋１＞ｃ１ｐ，考虑到ａｋ＋１ａｋ＝ｐ－１ｐ＋ｃｐａｐｋ，只需证（ａｋ＋１ａｋ）ｐ＝（ｐ－１ｐ＋ｃｐａｐｋ）ｐ＝（１＋ｃｐａｐｋ－１ｐ）ｐ＞ｃａｐｋ，因为ａｐｋ＞ｃ，所以ｃｐａｐｋ－１ｐɪ（－１ｐ，０）⊆（－１，０），由贝努利不等式知：（ａｋ＋１ａｋ）ｐ＞１＋（ｃｐａｐｋ－１ｐ）ˑｐ＝ｃａｐｋ，所以ａｋ＋１＞ｃ１ｐ．再证ａｎ＞ａｎ＋１，由ａｎ＋１ａｎ＝ｐ－１ｐ＋ｃｐａｐｎ＜ｐ－１ｐ＋ｃｐｃ＝１易证．用数学归纳法证明数列ａｎ大于常数这类问题往往需要很强的构造能力，如果没有贝努利不等式这个台阶，将很难达到以上目的．其实对于已知递推关系但难求通项的数列综合问题，运用函数的相关性质解题也是这类问题的重要方法．把数列递推关系看成函数ａｎ＋１＝ｆ（ａｎ），即得ｆ（ｘ）＝ｐ－１ｐｘ＋ｃｐｘ１－ｐ，且ｆ（ｃ１ｐ）＝ｃ１ｐ（即ｃ１ｐ是不动点），此时由ａ１＞ｃ１ｐ去推ａｎ＞ｃ１ｐ，只需证ｆ（ｘ）在ｘɪ（ｃ１ｐ，＋ɕ）上单调递增即可．法二㊀设ｆ（ｘ）＝ｐ－１ｐｘ＋ｃｐｘ１－ｐ，ｘɪ（ｃ１ｐ，＋ɕ），所以ｘｐɪ（ｃ，＋ɕ），所以ｆᶄ（ｘ）＝ｐ－１ｐ＋ｃ（１－ｐ）ｐｘ－ｐ＝ｐ－１ｐ（１－ｃｘｐ）＞０，所以ｆ（ｘ）在ｘɪ（ｃ１ｐ，＋ɕ）上单调递增，即ｘ＞ｃ１ｐ时，ｆ（ｘ）＞ｆ（ｃ１ｐ）＝ｃ１ｐ．所以由ａ１＞ｃ１ｐ推出ａ２＝ｆ（ａ１）＞ｃ１ｐ，依次推得ａ３＞ｃ１ｐ， ，ａｎ＞ｃ１ｐ．证明ａｎ＞ａｎ＋１时同法一．无独有偶，２００７年湖北省压轴题也考了与贝努利不等式有关的题目（理科２１题）：已知ｍ，ｎɪＮ∗，（１）用数学归纳法证明：当ｘ＞－１时，１＋ｘ()ｎ＞１＋ｎｘ；（２）对于ｎȡ６，已知１－１ｎ＋３æèçöø÷ｎ＜１２，求证：１－ｍｎ＋３æèçöø÷ｎ＜１２æèçöø÷ｍ，ｍ＝１，２，３， ；（３）求出满足等式３ｎ＋４ｎ＋ ＋ｎ＋２()ｎ＝ｎ＋３()ｎ的所有正整数ｎ．把贝努利不等式从右向左应用易证（２），再由（２）的结论可证ｎȡ６时（３）无解，只需特殊检验ｎ＜６时的情况即可．两题的命题思路有很多相似之处，命题规律已然显现：随着新课程标准的实施，部分大学高等数学的内容被引入高中教材，如贝努利不等式，再如选修２⁃２的导数内容（它使函数的研究范围扩展到很多超越函数）．同时随着高考命题自主化的深入，各地高考命题组中高校教师占很重要的地位，他们青睐于以高等数学为背景的问题，从高等数学与中学数学的交汇处命制题目，并通过搭设台阶的方式适当拓展延伸，这类试题既能开阔学生数学视野，又有利于高校选拔优秀人才，经常以压轴题的身份出现，从而达到提高高考区分度的目的．３㊀挖掘有高等数学背景的中学知识，掌握压轴命题方向针对以高等数学为背景的命题的这种规律，高中教师在教学实践中要有意识地渗透一些高等数学与中学教材交汇的知识，将一些常见的㊁有价值的知识挖掘出来，让学生理解这些知识的发生发展过程，熟练掌握它们的一些简单应用，可以有效地提高学生的解题能力，可谓是高考成功的捷径．比如高中教材中‘导数及其应用“一章就有很多可挖掘的点．人教Ａ版选修２⁃２教材３２页有一习题： 证明不等式ｅｘ＞１＋ｘ，（ｘʂ０） ．本题与导数内容紧密相连，而且它与数列试题㊁特别是数列不等式放缩方面的试题颇有渊源，很值得我们挖掘，其实在高等数学泰勒展开式中很容易找到原型：ｅｘ＝１＋ｘ＋ｘ２２！＋ ＋ｘｎｎ！＋ ，４５㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１５年第３期当然我们没必要在教学中搬出泰勒展开式，只需要把它的一些特殊情况和变形拓展给学生．３．１㊀掌握不等式ｅｘ＞１＋ｘ，（ｘʂ０）的证明和直接应用结论可以扩展成：ｅｘȡ１＋ｘ（当且仅当ｘ＝０时取等号）．构造函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１－ｘ易证之．在ｇ（ｘ）＞０的前提下，对于含指数的ｅｘ㊃ｇ（ｘ）形式，可使用结论将其缩小成（１＋ｘ）ｇ（ｘ）．２０１２年山东理科压轴题就使用了类似的方法．２０１２年山东理科２２题：已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｋｅｘ（ｋ为常数），曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线与ｘ轴平行．（１）求ｋ的值；（２）求ｆ（ｘ）的单调区间；（３）设ｇ（ｘ）＝（ｘ２＋ｘ）ｆᶄ（ｘ），其中ｆᶄ（ｘ）为ｆ（ｘ）的导函数，证明：对任意ｘ＞０，ｇ（ｘ）＜１＋ｅ－２．解法剖析㊀只分析（３），ｋ＝１，ｇ（ｘ）＝ｘ２＋ｘｅｘ（１ｘ－１－ｌｎｘ），当ｘȡ１时，ｇ（ｘ）ɤ０，结论显然成立，当０＜ｘ＜１时，由ｅｘ＞１＋ｘ知，ｇ（ｘ）＜ｘ２＋ｘ１＋ｘ（１ｘ－１－ｌｎｘ）＝１－ｘ－ｘｌｎｘ，构造函数ｈ（ｘ）＝１－ｘ－ｘｌｎｘ，（０＜ｘ＜１），易求ｈ（ｘ）ɤｈ（ｅ－２）＝１＋ｅ－２，综上ｇ（ｘ）＜１＋ｅ－２．３．２㊀掌握不等式ｅｘȡ１＋ｘ（当ｘ＝０时取等号）的几个自然对数变形结论（１）在ｘ＞－１前提下对ｅｘȡ１＋ｘ两边取自然对数，得ｌｎ（１＋ｘ）ɤｘ（当ｘ＝０时取等号）．两不等式本质上是相通的，合并可得ｌｎ（１＋ｘ）ɤｘɤｅｘ－１，（ｘ＞－１）．（２）对ｌｎ（１＋ｘ）ɤｘ用ｘ－１代换ｘ得：ｌｎｘɤｘ－１（ｘ＞０），再用１ｘ代换ｘ整理得到ｌｎｘȡ１－１ｘ，（ｘ＞０），有时会使用ｘｌｎｘȡｘ－１，（ｘ＞０）的形式．（３）合并（２）中公式，即得１－１ｘɤｌｎｘɤｘ－１（ｘ＞０），起到对ｌｎｘ的放缩作用．用以上结论，我们易证２０１３年全国课标卷Ⅱ理２１题：已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｌｎ（ｘ＋ｍ）．（１）设ｘ＝０是ｆ（ｘ）的极值点，求ｍ，并讨论ｆ（ｘ）的单调性；（２）当ｍɤ２时，证明ｆ（ｘ）＞０．解法剖析㊀（１）易求ｍ＝１，ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｌｎ（ｘ＋１），定义域为（－１，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ－１ｘ＋１，当ｘɪ（０，＋ɕ）时ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ－１ｘ＋１ȡｘ＋１－１ｘ＋１＝ｘ（ｘ＋２）ｘ＋１＞０，当ｘɪ（－１，０）时，ｅｘ＜１，１ｘ＋１＞１，则ｆᶄ（ｘ）＜０，综上ｆ（ｘ）在（－１，０）单调递减，在（０，＋ɕ）单调递增．（２）因为ｍɤ２，ｘɪ（－ｍ，＋ɕ），所以ｌｎ（ｘ＋ｍ）ɤ（ｘ＋ｍ）－１ɤｘ＋２－１＝ｘ＋１ɤｅｘ，当ｘ＋ｍ＝１，ｍ＝２，ｘ＝０，ìîíïïï时取等号，但ｘ无解，所以等号取不到．所以，当ｍɤ２时，ｆ（ｘ）＞０．４㊀带有高等数学背景的问题同样也是自主招生命题的热点随着国家对自主招生政策的调整，各地自主招生考试命题比较侧重对于数学的基本思想和解题方法的考查，而不是偏题怪题，重视思维的灵活性与发散性．特别值得注意的是带有高等数学背景的函数㊁不等式或数列问题也是自主招生考试的热点，２０１４年华约卷压轴题，也是考查了贝努利不等式和ｅｘȡ１＋ｘ的应用，只不过是放在一个题目同时考查，难度略高于高考压轴题．２０１４年自主招生华约卷７题：已知ｎɪＮ＋，ｘɤｎ，求证：ｎ－ｎ（１－ｘｎ）ｎｅｘɤｘ２．证法剖析㊀首先把ｎ－ｎ（１－ｘｎ）ｎｅｘɤｘ２变成ｎ（１－ｘｎ）ｎｅｘȡｎ－ｘ２，由ｅｘ联想到ｅｘȡ１＋ｘ，直接证明不易证，调整ｅｘ＝（ｅｘｎ）ｎȡ（１＋ｘｎ）ｎ，两侧同乘以正数（１－ｘｎ）ｎ，得（１－ｘｎ）ｎｅｘȡ（１－ｘｎ）ｎ（１＋ｘｎ）ｎ＝（１－ｘ２ｎ２）ｎ，当－ｘ２ｎ２＞－１即ｘ２＜ｎ２时，由贝努利不等式得（１－ｘ２ｎ２）ｎȡ１－ｎ㊃ｘ２ｎ２＝１－ｘ２ｎ，易得ｎ（１－ｘｎ）ｎｅｘȡｎ－ｘ２，而当ｘ２ȡｎ２时，结合ｎɪＮ＋，ｘɤｎ，知ｘɤ－ｎ，此时１－ｘｎȡ２，所以ｎ（１－ｘｎ）ｎｅｘȡｎ㊃２ｅｘ＞ｎ＞ｎ－ｘ２．综上知，ｎ－ｎ（１－ｘｎ）ｎｅｘɤｘ２．证法的成败关键在于ｅｘ放缩成（ｅｘｎ）ｎȡ（１＋ｘｎ）ｎ和贝努利不等式的使用．所用知识都是带有高等数学背景的函数㊁不等式知识．２０１５年自主招生政策已经出台，教育部强调考核中笔试为１至２门，由于数学的重要地位，估计数学仍然会在笔试范围之内，老师在高考备考中及时对学生给以内容引领和方法指导，将会有效提高自主招生考试成绩．作者简介㊀马启银，男，１９７５年９月出生，山东泰安人．主要从事中学数学课堂教学与解题研究． 国培计划（２０１３） 高中数学班学员，山东省泰安市优秀教师，泰山教坛英才．在各类省级报刊杂志上发表教育教学论文十余篇．５５中学数学杂志㊀２０１５年第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思【摘要】本文旨在研究与反思一道高考数学卷压轴题，通过对题目背景和内容的分析，探讨解题方法，解析考生易错点，探讨思维能力的培养以及对考试制度的反思。
通过对这道题目的深入研究，我们可以发现其中蕴含的数学思想和技巧，提高学生解题能力。
也可以反思当前的考试制度是否能真正评估学生的数学能力，是否能激发学生的创新意识和思维能力。
通过本文的研究与反思，我们可以更好地理解高考数学卷的命题思路，为提高学生的数学学习能力提供一定的借鉴。
【关键词】关键词：高考数学卷、压轴题、背景分析、解题方法、考生易错点、思维能力、考试制度、反思、结论。
1. 引言1.1 对一道高考数学卷压轴题的研究与反思现在，让我们来掏探一道高考数学卷压轴题，通过深入研究和反思，探讨其中的奥秘和启示。
这道题目作为高考数学卷的压轴题，往往会引起广泛的讨论和争议。
我们将从题目的背景和内容分析开始，探讨这道题目的设计理念和考察重点。
接着，我们将深入研究解题方法，揭示其中的技巧和逻辑，帮助考生更好地应对类似类型的问题。
我们还将分析考生易错点，指出常见的误区和解题思路，帮助考生避免犯错。
在思维能力的培养方面，我们将探讨如何通过这道题目锻炼考生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力。
我们将对考试制度进行反思，探讨如何更好地发挥高考数学卷的作用，促进学生全面发展。
通过对这道高考数学卷压轴题的研究和反思，我们将深化对数学学科的认识，提高解题能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
2. 正文2.1 题目的背景和内容分析高考数学试卷作为中国高等教育选拔的重要工具，一直备受广大考生和家长的关注。
每年的高考数学试卷都会有一到多道被称为“压轴题”的较为难题，这些题目不仅考察了考生的数学基础知识，还考察了他们的解题能力和创新思维。
在今年的高考数学试卷中，一道压轴题引起了广泛的讨论和研究。
这道压轴题是一道涉及数论和概率的复合题，内容相对较为复杂，题目设立了多个难点。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
高考数学卷压轴题往往是难度最大、思维最复杂的一道题目。
对于考生来说，这不仅是一件考验智商的事情，更是挑战思维和解题能力的机会。
在解答这种类型的题目时，要有耐心、细心、理智，思路清晰，方法得当。
首先，要认真阅读题干，明确问题。
在阅读中须注意数据和条件，梳理各种信息，尤其是一些重要的条件和限制，如区间、范围、等式、不等式以及与相关变量的关系等，对于解题过程中的把握和计算将起到至关重要的作用。
其次，要找到合适的方法和解决思路。
针对不同的题型，应该灵活运用代数、几何、统计、推理、概率等各种数学知识，找到最简单、最快捷的方法来求解问题。
如对于一些图形变换题目或者容斥原理等组合问题，我们可以运用几何知识去思考、解题；对于一些像余弦值或正切值之类的三角函数问题，我们可以通过代数和几何相结合想办法求出其近似值，并进一步搭配其他相关性函数来解决; 使用几何思想推导数学定理等都是一些灵活应用的例子。
最后，在解答过程中也要注意细节，严密把握每一步计算、推导。
不要心急，一定要认真检查，以防万一出错。
此外，要保持冷静，乐观态度，坚定信念，不要让不必要的紧张和焦虑影响到正常解题思路和效率。
总的来说，对于一道高考数学卷压轴题，解答的关键在于平时复习的基础和对综合运用各种解题思路的灵活性。
要不断摸索，积累经验并灵活运用，带着问题思考和解决问题的能力在高考时打出好成绩。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思高考数学卷压轴题通常是一道难度较大、涉及多项知识点、考察学生综合能力的题目，对于考生而言是极具挑战性的。
在我看来，解答这类题目需要有以下几个方面的能力：一、掌握基本数学知识掌握基本数学知识是解答高考数学卷压轴题的基础。
这包括基本的数学运算、等式和不等式、函数和方程、几何图形等等。
只有将这些知识点掌握扎实，才能在面对多项知识点交织的压轴题时游刃有余。
二、良好的数学思维能力数学思维能力是解答高考数学卷压轴题的关键。
好的数学思维能力包括抽象思维、逻辑思维、创新思维以及解决问题的方法和技巧等。
只有具备这些能力，才能综合运用各种知识点来解答题目。
三、实战经验实战经验是解答高考数学卷压轴题的重要保障。
通过大量的练习和模拟考试，可以提高解题速度和准确性，熟悉题目形式和考察方向，增加解题思路和技巧。
然而，尽管考生已经具备以上能力，仍有可能面临解答困难。
这时，对于我们来说，需要全面深入的反思自己的学习方法和学习态度。
可能的原因有：一、学习方法不当在学习中，经常采取死记硬背的方法，不注重理解基本概念和知识点之间的关系，把大量时间和精力放在了题海里。
这种方式虽然可以记住不少知识点，但不利于掌握真正的数学思维方法，难以解决高难题。
二、学习态度不端正学习态度不端正也是一个重要原因。
学生很容易陷入消极或压力过大而放弃的情绪，以至于注意力和精神状态难以调整。
此时，应该让自己冷静下来，多做正面思考和积极心态培养。
三、对错误认识在学习中，我们应该时刻关注自己的问题和错误，积极寻找解决方法。
而很多学生却存在着对错误的恐惧或者不承认错误的态度，不愿意面对自己的错误。
这种心态不但导致了没有及时纠正错误，更重要的是，让学习过程中的疑问积压，最终无法献上最优解。
总之，解答高考数学卷压轴题需要多方面的能力，掌握学习方法和良好的学习态度同样不可或缺。
只有保持冷静、勤于思考和实践，积累实战经验，我们才能在考场上更加从容应对，展现自己应有的水平和风采。
2025届安徽省江淮名校高考压轴卷数学试卷含解析
2025届安徽省江淮名校高考压轴卷数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-2．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．33．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．84．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．85．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A B ．2C ．52D ．546．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2D ．18．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心9．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-10．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A 21B 31C ．2D 511．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．112．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考安徽数学卷分析
2019高考安徽数学卷分析总体来看，2019年一般高等学校招生全国统一考试数学试题(安徽卷)严格根据《课程标准》和《考试说明》的要求命制，遵循了有助于高等院校分层选拔新生，有助于一般中学实施素养教化的指导思想。
2019年是安徽省进入新课程改革高考的的第三年，处在由大纲高考到新课标高考的过渡的后期，因此本着高考促进课改的命题思路，今年的安徽数学卷稳中求变，变中出新，新中见能，是一套很有水平的选拔性考试卷。
主要特点如下：一，整张试卷没有偏题、怪题基础题和中档题所占比例合理，其中文、理试题(1)至(7)、(11)至(13)题着重考查基础学问，属于基础题，这对中学数学平常教学和复习备考时把基础学问放在首要位置起到了良好的导向作用。
客观题和主观题的设计由易到难，层次分明，有利于考生发挥，体现了对考生的人文关怀。
二，留意基础学问，强调通性通法试题留意中学数学的基础学问、基本技能、基本活动阅历和基本思想方法，以理科卷为例，第(1)、(2)、(4)、(8)、(9)、(11)、(12)、(13)、(18)、(19)等题均源自教材，引导考生回来课本，试卷留意通性通法，淡化特殊技巧，形成入口宽、方法多、立意新的设问特点。
全卷题干简明，表述严谨，设问精致，清爽自然。
敢于舍弃刻意的华丽与细枝末节上的雕琢，努力追求自然平和的考查状态，如文、理科(17)、(18)、(19)、(21)题等更多地关注数学本质，重视问题解决的自然生成，平稳大器。
再如文科卷第(17)题、理科卷第(21)题均为解析几何题，今年仍持续了安徽卷的考查风格，其考查方式不同于传统构想，而是回来解析几何的本质，重点考查数形结合思想及运算求解路径的优化和选择。
恒等变形是中学数学最重要、最本质的思想方法之一。
今年理科卷(19)题，形为不等式的证明，实为考查代数式恒等变形和迁移发散思想的应用。
本题设置两个貌似无关的问题，克服了传统命题中考查数列不等式和函数不等式的老套路，折射出对称美和简约美，引导学生通过视察、推断、联想、发散，将第一问的结论迁移到其次问的情境中去，达到考查学生理性思维深度和广度的目的。
对一道高考试题的再探究
y3=p(
(
)
同理,
由过点 N 的切线为b
y4=p a+x4
由
、
得,过两切点 M 、
N 的直线是b
y=
,
证毕.
a+x)
p(
结论3 过点 P(
的动直线l 与抛物线C
a,
b)
、
相交于两不同点A B 时,
在线段AB 上取点Q,
满
→
→
→
→
足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|.则点 Q 总在过
.由椭圆方程 Ax +
y4)
2
得2Ax+2
By =C,
b
'=0,
yy
Ax
则过点 M 的切线方
'= ,
y
By
Ax3
(
程为 y-y3 = xBy3
图2
Ax3
,
(
由点 P(
在切线上得b-y3=x3)
a,
b)
aBy3
x3)
⑤
又点 M 在椭圆上,
即 Ax32+By32=C
⑥
2023年第6期
中学数学教学
由⑤、
双曲线也成立.
可以用相同的方法推导上述结论对抛物线也
是成立的,
请读者自行完成.
定理3 过一点 P 向圆锥曲线 C 作切线,切
点为 M 、
连接 M 、
过点P 的任一条
N,
N 得直线l,
直线与圆锥曲线C 交于 A、
B 两点,与直线l 交于
→
→
→
点 Q,
安徽省高考压轴卷数学文试题含解析
安徽省高考压轴卷 数学文 科本试卷分第I 卷（选择题）和第 II 卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟。
满分：150分。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设i 是虚数单位,a R ∈，若21a ii-+是一个实数，则该实数是（ ）． A ．12-B ．1-C ．12D ．１2.平面区域22,,y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤2的面积是（ ）．Ａ．512π Ｂ．56π Ｃ．712π Ｄ． 76π 3. 如果执行右面的程序框图，那么输出的20132014S =，那么判断框内是（ ）．Ａ．2013?k ≤ Ｂ．2014?k ≤ Ｃ．2013?k ≥Ｄ．2014?k ≥ 4.为得到函数cos y x =的图象，只需将函数sin y x =的图象按照向量a 平移，则a 可以为（ ）． A ．(,0)2πB ．(,0)2π-C ．(0,)2π-D ．(0,)2π5. 向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b x x =，若函数()f x a b =⋅是奇函数，则α可以是Ａ．0 Ｂ．4π Ｃ．3π Ｄ．2π6.一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（ ）．Ａ．25 Ｂ．35 Ｃ．825 Ｄ．17257. 直线10x y -+=被圆2220x y my ++=所截得的弦长等于圆的半径，则实数m =22 Ｃ．１8. 使函数(31)4,1,()log ,1a a x a x f x x x -+⎧=⎨>⎩≤ 在(,)-∞+∞上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）．Ａ．1173a <≤ Ｂ．103a << Ｃ．1173a << Ｄ．107a << 9. 已知向量,ab 满足||2||b a =，b a -与2a b +的夹角为3π，则,a b 的夹角是Ａ．6πＢ．3π Ｃ．23π Ｄ．56π 10. 若,P Q 分别是直线1y x =-和曲线xy e =-上的点，则||PQ 的最小值是（ ）．Ｂ．2Ｃ．Ｄ．第Ⅱ卷 （100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上） 11.若集合1{|1}A x x=<，{|||2}B x x =<，则A B = ． 12.双曲线221x ay +=的一条渐近线的方程为230x y +=，则a = ．13. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则数列{}n S 的前6项和是 ． 14.函数()cos22cos f x x x =-的最小值是 ．15. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是11,BC A B 的中点，则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，4tan 3B =，5sin 13A =． （Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）若ABC △的面积是１，求AB AC ⋅．C D 1C1BB1DE FA1A17．（本小题满分12分）设()ln x af x b x e=+． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，求,a b 的值； （Ⅱ）当,1a e b ==时，求()f x 的单调区间与极值．18．（本小题满分12分）在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的5次培训成绩如下茎叶图所示：（Ⅰ）从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；（Ⅱ） 从乙的5次培训成绩中随机选择2个，试求选到121分的概率．19．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45BAD ∠=︒，1AD =，AB =，PAD △是正三角形，平面PAD ⊥平面PBD ．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求三棱锥P BCD -的体积．20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足奇数项135,,,a a a 成等差数列{}21()n a n N -+∈，而偶数项246,,,a a a 成等比数列{}2()n a n N +∈，且121,2a a ==，2345,,,a a a a 成等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）求n S ．甲89698 乙9101112 2241121．（本小题满分13分）已知椭圆2212x y +=，O 为坐标原点，椭圆的右准线与x 轴的交点是A ． （Ⅰ）点P 在已知椭圆上，动点Q 满足OQ OA OP =+u u u r u u r u u u r，求动点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于点,M N ，求AMN !的面积的最大值．2014安徽省高考压轴卷数学（文科）参考答案1．【答案】B. 【解析】2(21)(21)12a i a a i i ---+=+，当12a =-时，所得实数是1-． 2.【答案】A ． 【解析】区域是圆心角是512π是扇形，故面积是5522412πππ⨯⨯=． 3.【答案】A ．【解析】当判断框内是?k n ≤时，111111223(1)1S n n n =+++=-⨯⨯⨯++，若20132014S =，则2013n =．4.【答案】Ｂ．【解析】验证可得，或者利用sin cos()2x x π=-．5.【答案】D ．【解析】()cos cos sin sin cos()f x x x x ααα=+=-是奇函数，则,2k k Z παπ=+∈．6.【答案】C ．【解析】所有的取法有25种，其中两张标签上的数字为相邻整数的取法有8种． 7.【答案】Ｂ．【解析】圆的方程即222()x y mm ++=，圆心(0,)m -到已知直线的距离|2m d ==，解得2m =+ 8.【答案】C ．【解析】可得310,01,710a a a -<<<-≥，即1173a <≤，所求应该是11[,)73的真子集．解答本题易忽视连接点，认为两段都是递减就可以了；或者以为是求的充要条件．9.【答案】Ｂ． 【解析】b a -与2a b+的夹角为3π，且||2b a =则有2221cos 32()(2)(5b a a b a π===-+，得2a a b =，设,a b 的夹角为θ，则1cos 2||||a b a b θ==，则3πθ=．10.【答案】A ．【解析】求导1xy e '=-=-，得切点为(0,1)-，切点到直线1y x =-的距离即为||PQ 的最小值．11.【答案】(2,0)(1,2)-．【解析】{|0,1}A x x x =<>或，(2,2)B =-，故A B =(2,0)(1,2)-．12.【答案】94-．【解析】双曲线221x ay +=的渐近线是x =，可知94x =-． 13.【答案】120．【解析】可求得21nn S =-，26126(222)6120S S S +++=+++-=．14.【答案】32-． 【解析】213()2(cos )22f x x =--，故当1cos 2x =时，()f x 有最小值32-．15.【答案】6． 【解析】设1CC 的中点是G ，棱长为2，连接EG ，则1//EG AD ，cos FEG ∠为所求，在EFG △中，EG =，EF FG ==cos FEG ∠=16．【答案】解：（Ⅰ）由4tan 3B =，0B π<<，可得4sin 5B =，3cos 5B =；…………2分5sin 13A =4sin 5B <=，由正弦定理，a b <，则A B <，故02A π<<，12cos 13A =． (4)分由A B C π++=，cos cos()sin sin cos cos C A B A B A B =-+=-541231613513556=⨯-⨯=-．…………6分 （Ⅱ）由ABC △的面积是１，可得15sin 1226bc A bc ==，得265bc =．…………9分 122624cos 1355AB AC bc A ⋅==⨯=．…………12分 17．【答案】解：求导可得()x b af x x e '=-．…………2分（Ⅰ）由(1)1a f b e '=-=，(1)11af e==+，…………4分 解得2a e =，3b =．…………5分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞．当,1a e b ==时，()ln x ef x x e=+，1()x x xe e exf x x e xe -'=-=．…………7分 令()xg x e ex =-，求导可得()xg x e e '=-．…………8分当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()0f x '<，()f x 是减函数；…………9分 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()0f x '>，()f x 是增函数．…………10分故()f x 的单调增区间是(1,)+∞，减区间是(0,1)，当1x =时，()f x 有极小值(1)1f =．…12分18．【答案】解：甲、乙两人的平均成绩分别是981061091181191105x ++++==甲，1021021111141211105x ++++==乙．……………2分甲、乙两人成绩的方差分别是2222221306=[(98110)(106110)(109110)(118110)(119110)]55s -+-+-+-+-=甲， 2222221266=[(102110)(102110)(111110)(114110)(121110)]55s -+-+-+-+-=乙．4分由x x =乙甲，22s s >乙甲，可知甲和乙成绩的平均水平一样，乙的方差小，乙发挥比甲稳定，故选择乙．……………6分（Ⅱ）从乙的5次培训成绩中随机选择2个，共有10个基本事件，分别是{111,114},{111,121}，{114,121}，{102,102},{102,111},{102,114},{102,121}，{102,111},{102,114},{102,121}，其中选到121分的基本事件有4个，故选到121分的概率是42105=．……………12分19．【答案】证明：由45BAD ∠=︒，1AD =，AB =，利用余弦定理，可得1BD ===，…2分故AD BD ⊥，又由平面PAD ⊥平面PBD ，可得BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，故PA BD ⊥．……………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面ABCD ，故平面PAD ⊥平面ABCD ．取AD 的中点E ，连结PE ，由于PAD △是正三角形，故PE AD ⊥． 可知PE ⊥平面ABCD ，即PE 为三棱锥P BCD -的高．……………8分在正PAD △中，1AD =，故PE =．……………10分 三棱锥P BCD -的体积11111332212BCD V S PE =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△．……………13分 20．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{}21()n a n N -+∈的公差为d ，等比数列{}2()n a n N +∈的公比为q ，则2(1)22d q +=+，4(1)(12)q d d =+++，解得2q d ==．………3分于是2121n a n -=-，22nn a =，即数列的通项2,2,.n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数；为偶数………6分（Ⅱ）于是当n 为偶数时，数列奇数项的和为21(21)2[]224nn n +⨯-⨯=， 偶数项的和为2122(12)2212nn +-=--，故212224n n n S +=+-．………10分 当n 为奇数时， 1122221(1)2722244n n n n n n n n S S a n ++--+-=+=+-+=+． 于是122212272,;422,.4n n n n n n S n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数………13分21．【答案】解：（Ⅰ）可得点(2,0)A ．设11(,),(,)Q x y P x y ，则11(2,)(,)OP OA OQ x y x y =-=--=uu u r uu r uuu r ，又因为点P 在已知椭圆上，故22(2)12x y -+=为动点Q 的轨迹方程．………………………5分（Ⅱ）椭圆的右焦点(1,0)F ，设直线MN 的方程是1x my =+，与2212x y +=联立，可得22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则111x my =+，221x my =+，于是12|||MN y y ==-221)2m m +=+．……7分点(2,0)A 到直线MN 的距离d =，于是AMN!的面积1||2S MN d ==．………………………10分S ==，当且仅当22111m m +=+，即0m =时取到等号．故AMN!的面积的最大值是2．……13分。
试题研究·一道高考试题的解法研究与解题感悟
形式新颖 内涵丰富——一道高考试题的解法研究与解题感悟张 琥（江苏省泗阳中学数学教育实验室）2009年高考数学安徽卷理科第14题如下：给定两个长度为1的平面向量OA OB 和，它们的夹角为120，如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中x 、y ∈R ，则x+y 的最大值是 ．一、解法研究本题是以圆为载体、向量为背景的最值问题，由于平面向量是融数形于一体，是代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识的交会点，因而解决此类问题主要是根据向量的数和形的双重特征，并以此为切入点寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题的思路和方法．题中选用向量OA 、OB 为基底，把平面内的任一向量OC 表示成OC xOA yOB =+，其中x 、y ∈R ，运用化归思想，将向量形式转化为代数中的数量关系，建立关于x+y 的函数关系式，从函数的角度来解决问题．解法1由题意知0,0x y ≥≥。
由OC xOA yOB =+，得 222222()2OC xOA yOB x OA xyOA OB y OB =+=++。
因为1OA OB OC ===，1120,,2AOB OA OB ∠==-所以xy y x -+=221．下面给出求x+y 最大值的几种思路。
思路1：基本不等式法。
因为 2()4x y xy +≥，所以22231()3()()4x y xy x y x y =+-≥+-+，即21()14x y +≤， 故2x y +≤，当且仅当x=y=1时取等号，所以x+y 的最大值为2．思路2：代数换元法。
令x=a+b,y=a-b,代入1=x 2+y 2+xy,得221()()()(),a b a b a b a b =++--+-化简得1322=+b a ，故21,1a a ≤≤,22x y a +=≤．当且仅当a=1,b=0,即x=y=1时，x+y 取最大值为2．思路3:三角换元法.222211()),2x y xy x y y =+-=-+ 令,sin 23,cos 21αα==-y y x 得 cos ,x y ααα=+=，所以cos 2cos(60)2(0120)x y αααα+==-≤≤≤．思路4:判别式法.令t y x =+，则x t y -=，代入xy y x -+=221，整理得2233(1)0x tx t -+-=，22912(1)0t t ∆=--≥，解得22≤≤-t ，故x+y 取得最大值2，此时x=y=1,OC OA OB =+．【点评】明确目标，合理转化．将等式OC xOA yOB =+两边同时平方，运用向量的数量积和模将原问题转化为221x y xy +-=的代数问题，使问题解决起来方便、简捷．解法2：以OA 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，S8（）·中数高中发稿·杜安利则1(1,0),(2OA OB ==-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思
2014年安徽省理科试题第21题的确让考生和教师费尽思考，第（I ）问为大家所熟悉的待证式即为伯努利不等式的特例，运用导数可简单证明，而（II ）的论证则要困难得多，绝大部分考生都会觉得束手无策！面对高考的参考答案大都感到“想不到”或“突兀”，自然“不知从何入手”．
本文结合本校理科高考学生的答题情况，对今后的高三复习教学提出一些思考，仅供同仁参考.
1.考题
设实数0c >，整数1p n N *>∈，.
（Ⅰ）证明；当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+；
（Ⅱ）数列{}n a 满足11111p p
n n n
p c a c a a a p p
-+->=+，.证明：1
1p n n a a c +>>. 2.审题
本题第（Ⅰ）问的待证式即为伯努利不等式的特例，其求解思路可以构造函数，进行常规处理；如果注意到“整数1p >”，即整数2p ≥，自然应该想到数学归纳法的灵活应用，只不过是条件给出的多变；如果注意到待证式左右两侧的结构特征，或许会联想到二项式定理的灵活应用.
第（Ⅱ）问是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，有较大的难度与区分度，在考查基础知识、基本技能的同时考查分析问题、解决问题的能力，有利于高校选拔人才.
3.第（Ⅱ）问的处理思路
3.1 数列的单调性的研究的通法是比较法，其次是构造函数法
本问要证1n n a a +>，即数列{}n a 单调递减，只需证明
111,n p
n n a p c
a p pa +-=+< 即1p
n c pa p
<，只需证1
.p p n n a c a c >⇔>自然先证1
.p
n a c > 3.2数列不等式的证明的通法是归纳法 当1n =时，11p
a c
>成立；假设当n k =时，1p
k a c
>成立，则当1n k =+时，
111,p
k k k p c a a a p p
-+-=
+ 要证明1
111,p
p k k k
p c a a a c p p
-+-=+>
势必要证1
11,p p
k k p c a a c p p --+>即11,p
k k ca p a p p -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭
3.3 分步设问，层层递进，上问结果，用于下问
111
11,p p p
k k k ca ca ca p p p p p p
-----+=+-=+ 由第（Ⅰ）问可知：()1
(1)1,p
x px +>+
则：11
1111,p p p
p
k k
k k ca ca a a p c p p --⎛⎫⎛⎫--+>+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
4.根据思路 规范书写
4.1 数学归纳 绝招应用 先证1p
n a c
>.
当1n =时，11p
a c
>成立；
假设当n k =时，1p
k a c >成立，此时1
1p k ca p
-->-，
则当1n k =+时，
1111()p
p k
k k k k ca p c p a a a a p p p p
--+--=+=+
11
11(1)(1)p p p
p k k k k ca ca a a p c p p
----=+>+⋅=（利用Ⅰ式），
所以由归纳法原理可知1
p
n a c >；
再证1n n a a +>． 因为
1
1111p n n n a p c p c a c a p p p p
--+--=+<+=，所以1n n a a +>成立； 综上1
1.p
n n a a c +>> 4.2 构造函数 灵活处理
令()1
11,p p p c g x x x x c p p
--=+≥，
则,p
x c ≥ 且()()11110,p p p c p c g x p x p p p x ---⎛⎫
'=
+-=-> ⎪⎝⎭
所以()g x 在1,p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上单调递增，因而，当1
p x c ≥时，()11.p
p g x g c c ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭
①当1n =时，1110,,p p
a c a c >>>则
1211111
1111,p
p p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
且()121,p
a g a c =>故112p
a a c >>成立；
②假设当()1n k k =≥时，不等式11p
k k a a c +>>成立；
则当1n k =+时，()()11,p k k g a g a g c +⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭
即1
12.p k k a a c ++>>
所以1n k =+时，原不等式也成立．
综合①②可得，对于一切自然数，不等式1
1p
n n a a c +>>均成立.
5.反思
此题旨在考察学生的创造性、综合性和灵活性.此题的得分率很低，完全正确解答此题的考生非常少，是一道选拔性极强的试题.
今年的高三老师和考生都普遍感到：高三的数列复习不到位，特别与此压轴题相差甚远.此题综合了数列、函数和不等式等知识，学生必须对函数的单调性和数列单调性的联系和区别要特别清楚,对学生思维的灵活性和观察问题的能力要求高,对今后的高三复习教学有何指导意义呢？
5.1 夯实基础 理解概念的数学本质 理解概念的数学本质，不是机械地、僵化地理解，而是理解概念的强大的生命力，譬如：数学归纳法是研究关于自然数“n ”的有关命题，其中“n ”只是自然数的表述的一种形式，当然也可以自然数“p ”，“t ”，……； 二项式定理中“n ”，当然也可以自然数“p ”，“t ”，……；
夯实基础，理解概念的数学本质是我们高三第一轮复习的重中之重，不能有丝毫的懈怠. 高考题的百分之七十左右是中低档题；综合性的问题都能分解为基础题，最终是概念的理解；只有概念理解了概念的数学本质，解题的基础打牢了，随着能力的提升，综合性试题就能循序渐进地去解决.
5.2淡化技巧 强化解题的通性通法
技巧只是雕虫小技，通法才是阳光大道.我们的高三复习应该强调通性和通法，不能介绍太多的技巧.可以说，高三的解题教学中，客观题的解题训练中，在常规方法的基础上，可以强化利用一些特殊的方法：特殊值法、排除法等.解答题的解题教学务必以常规的通性通法为主.
在教学中经常会出现如下情况：解析几何的问题，用代数方法解决问题是通法，但我在督导中有的老师常用平面几何的方法玩技巧，快速解决，而不讲代数的方法.这就有悖于学生解析几何的本质.
本题是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，数列的单调性的研究的通法
是比较法与构造函数法.如果运用比较法，只需证明
1
1n n
a a +<或10n n a a +-<；如果运用构造函数法，因为111,p n n n
p c a a a p p -+-=
+势必要研究()11p
p c g x x x p p
--=+的单调性； 函数与数列的综合性试题的一个特点是：分步设问，层层递进，上问结果，用于下问.
因此，运用数学归纳法证明的第二个环节的一“凑”归纳假设，二“凑”结论时要想方设法地应用第（Ⅰ）问的伯努利不等式的特例．
5.3 分层教学 摈弃机械的题海战术
学生的认知的基础和能力有差异，我们只能因材施教；一刀切的难题教学只会挫伤中、差学生的积极性，他们会感到学习是件非常痛苦的事.我们的高三复习教学中要分层教学，对不同层次的学生提出不同的要求.我们应该让不同认知结构和能力的学生得到不同的思维锻炼，给他们提出切合实际的要求.当然，具有高思维的学生，应该有高要求，也不能因为其它学生而降低他们的学习需求，给优等生的高要求也是分层教学的目的之一.
数学教学的本质是发展学生的智慧，而不是为了做题.我们的老师为了取得高考的好成绩，每种题型反反复复的练习，学生成为了解题的机器，学生的思维机械、僵化，并且是具有条件反射功能的机器.一旦如此，“见了试卷，首先把脑子抠出来，朝裤腰带上一别：我要做题了！”造成平时做成题、成卷时，成绩优异，真正高考时，却成绩平平．
5.4高屋建瓴 延伸适度的数学背景 因为高考试题的命制有两个有利于，第一个就是有利于高校选拔人才，而高考的命题专家大多是高校教授.作为大学的教师当然希望考生具有一定的高等数学的启蒙.从全国大部分高考试题中发现，许多考题具有一定的高等数学背景.当然，此类题的解答原则上是不需要高等数学的知识的.如果考生具有高等数学的简单知识，高观点下的初等解法就简单.
在学生能够接受的前提下，高三的复习可以适度的延伸.也符合“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.延伸的关键是适度，一定要按照学生的接受能力作介绍和补充.。