安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学(文)试题 含答案

安徽省池州市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{1,1}x y == B ．{1,1}C ．{(1,1)}D ．∅【答案】C【解析】根据集合A 和集合B 所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】因为集合{(,)|210},A x y x y =-+={(,)|0}B x y x y =-=集合A 表示满足210x y -+=的点的集合，即直线210x y -+=的图像， 集合B 表示满足0x y -=的点的集合，即直线0x y -=的图像， 所以A B I 表示两条直线的交点，解2100x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=-⎩所以{(1,1)}A B =I . 故选：C. 【点睛】本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题. 2．已知复数21iz i=-，则z 在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】根据复数的除法运算求出复数z 的代数形式，然后可得z 在复平面对应的点的位置． 【详解】由题意得()()()2122211112i i i i z i i i i +-====-+--+， 所以复数z 对应的点的坐标为()1,1-，位于第二象限． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，解题时根据运算法则求出复数的代数形式是解题的关键，属于基础题．3．函数()ln(31)f x x =-的定义域为（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】根据函数解析式，得到2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解出x 的取值范围，得到()f x 定义域.【详解】因为函数()ln(31)f x x =-有意义，所以2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解得112213x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩所以解集为1132x <≤ 所以()f x 定义域为11,32⎛⎤⎥⎝⎦，故选：B. 【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题.4．已知双曲线22122:1x y C a b -=(0,0)a b >>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则1C 的渐近线方程为( )A 0y ±=B ．0x =C ．20x ±= D 20y ±=【答案】A【解析】根据已知条件求出,a b 值，即可求解. 【详解】由题意知1C 的焦点坐标为(20)?，顶点为(1,0)±，0y ±=. 故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质，属于基础题. 5．将函数cos y x =的图象向左平移4π后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( ) A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．1cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．1cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】根据图像的平移，伸缩关系，即可求出2C 的解析式. 【详解】先将cos y x =图象向左平移4π后得到曲线 1:cos 4C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将曲线1:cos 4C y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线21:cos24C y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选:C【点睛】本题考查三角函数图像的变换关系，属于基础题.6．如图所示，ABCV中，2,AB=2,AC=120BAC︒∠=，半圆O的直径在边BC上，且与边AB，AC都相切，若在ABCV内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O内）的概率为（）A．3πB．3πC．4πD．3π【答案】A【解析】根据条件得到半圆O的半径，然后计算出ABCV的面积和半圆O的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】如图所示，1OA=，60OAC︒∠=，32r OD==，所以ABCV的面积132232S=⨯⨯⨯=，半圆O的面积21328S rππ'==，根据几何概型公式得：33883SPSππ'===.故选：A.本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题7．若x ，y 满足12x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则13y z x -=-的最小值为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】做出可行域，目标函数为可行域内的点与定点(3,1)连线的斜率，根据图像即可求解. 【详解】做出可行域如下如所示：13y x --表示(,)x y 与(3,1)连线的斜率， 由图象知(3,1)与(2,2)连线的斜率最小，最小值为-1. 故选:B【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查目标函数几何意义为斜率的最值，属于基础题. 8．如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）A ．最小长度为8B ．最小长度为42C ．最大长度为8D ．最大长度为42【解析】设,BC a =CD b =，得到4ab =，所求的篱笆长度为2a b +，根据基本不等式，得到最小值. 【详解】设,BC a =CD b =，因为矩形的面积为4，所以4ab =， 所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为422a b a a +=+≥= 当且仅当42,a a=即a =. 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 9．若sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-CD． 【答案】A【解析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案. 【详解】因为sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以2cos 2126πα⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭12=-2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.10．过点(2,2)的直线与圆221x y +=相交于A ，B 两点，则OAB V （其中O 为坐标原点）面积的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】设圆心O 到直线AB 的距离为d ，根据垂径定理，||AB 用d 表示，将AOB ∆面积表示为d 的函数，用基本不等式即可求解. 【详解】如图所示，过O 作OMAB ⊥，垂足为M ，设||OM d =，则2||21AB d =-OAB V 的面积1||||2S AB OM =⨯2212d d d -+==≤12=当且仅当d =. 故选:B 【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题的关键是垂径定理的应用，属于基础题.11．直线l 过抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B ，若||||AF t FB =，若直线l 的斜率为125，则t =( ) A ．169B ．32或23C ．94D ．94或49【答案】D【解析】过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为1,A 1B ，过B 作1BD AA ⊥于D ，利用抛物线的定义，结合直角三角形与斜率的关系，即可求解；或利用抛物线焦半径长公式，||,||AF BF 用倾斜角表示，即可求解. 【详解】方法一：不妨设1t ≥，则A 在x 轴上方， 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线， 垂足分别为1,A 1B ，过B 作1BD AA ⊥于D ， 设||FB r =，则||(1),AB t r =+||(1)AD t r =-，所以||BD =2=所以12||tan 5BD BAD AD =∠=2(1)t r =-=，所以94t =. 由抛物线的对称性，t 的值还可以为49. 方法二：当点A 在x 轴上方、点B 在x 轴下方时，设直线l 的倾斜角为θ，则||1cos p AF θ=-，||1cos pBF θ=+，由||||AF t FB =得1cos 1cos t θθ+=-，又l 的斜率12tan 5k θ==得5cos 13θ=，代入得94t =，同理，当点A 在x 轴下方、点B 在x 轴上方时，49t =. 故选:D 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，注意抛物线常用的结论的积累，属于中档题. 12．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（ ）A ．若为的外心，则B ．若为等边三角形，则C ．当时，与平面所成角的范围为D ．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线. 【详解】 若为的外心，则，由射线相等即可知，故A 正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B 错误；当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C 正确；取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D 正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.二、填空题13．等腰直角三角形ABC 中，90,C ︒∠=2CA CB ==，则有CA AB ⋅=u u u r u u u r________.【答案】-2.【解析】先求出AB u u u r ，再根据向量数量积公式，求出CA AB ⋅u u u r u u u r的值，得到答案. 【详解】等腰直角三角形ABC 中，90,C ︒∠=2CA CB ==，所以2AB =u u u r所以()cos CA AB CA AB A π⋅=⋅⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22222⎛=⨯-=- ⎝⎭.故答案为：2- 【点睛】本题考查计算向量的数量积，属于简单题.14．sin 780cos 210tan 225︒︒︒++的值为________. 【答案】1.【解析】由诱导公式将角化为特殊锐角，即可求解. 【详解】sin 780cos 210tan 225︒︒︒++()()()sin 236060cos 18030tan 18045︒︒︒︒︒︒=⨯+++++ sin 60cos30tan 45︒︒︒=-+122=-+1=. 故答案为:1 【点睛】本题考查利用诱导公式化简，求值，属于基础题. 15．已知数列{}n a 满足11,a =11lg n n n a a n---=()*2,n n ≥∈N ，则100a =________. 【答案】-1.【解析】根据递推公式，用累加法求出通项，即可求解. 【详解】11lgn n n a a n ---=()*2,n n ≥∈N ， 累加得11lg n a a n -=lg n =-，所以1lg n a n =-，当1n =时也符合，1001lg100a =-1=-.故答案为:-1 【点睛】本题考查由递推公式求通项，属于基础题.16．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，5,PA BC ==PB AC ==PC AB ==，则球O 的表面积为________.【答案】29π【解析】将三棱锥P ABC -补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥P ABC-补成长方体，球O为长方体的外接球，边长分别为a，b，c，则222222251320a ba cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以22229a b c++=，所以29 R=，则球O的表面积为24S Rπ=22942π⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭29π=.故答案为：29π.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.三、解答题17．已知等比数列{}n a各项均为正数，n S是数列{}n a的前n项和，且116,a=328S=.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设12logn nb a=，求数列{}n b的前n项和n T.【答案】(1) 52nna-=()*n∈N；(2)292n n-.【解析】（1）设等比数列公比q，根据116,a=328S=，得到关于q的方程，解出q，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）写出n b 的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为116a =，328S =， 所以()216128q q++=，因为{}n a 各项均为正数 解得12q =（负值舍去）， 所以151122n n n a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭()*n ∈N ；（2）由已知得，12log n n b a =512log 2n-=5n =-，所以{}n b 为等差数列，所以(45)2n n n T -+-=292n n-=. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题. 18．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积.【答案】(1)b =；【解析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积. 【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=， 所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=， 因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-， 又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =在ABC V 中，由正弦定理sin sin c bC B=， 所以sin sin c B C b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠，因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由37BD CD =，设3,BD t =7CD t =， 所以222(3)1(7)t t +=，所以12t =， 所以3BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=， 所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 131222=⨯⨯⨯34=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数 6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率. 【答案】（1）117.8（分）；（2）75分；（3）12P =. 【解析】（1）根据频率和为1，以及已知条件，求出,,a b c ，由平均数公式，即可求解； （2）根据物理成绩统计表，可估计出中位数；（3）根据已知条件可得，数学优的4人，其中3人物理为优，分别对4人编号，列出4人任取2人的所有情况，确定满足条件的基本事件的个数，按古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）由于20.052,a b c ++=2,a c b +=2c a =， 解得0.008,a =0.012,b =0.016c =， 故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯117.8=（分）， （2）由表知，物理成绩的中位数为75分.（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人. 设两科均为“优”的同学为123,,A A A ，物理成绩不是“优”的同学为B ， 则从4人中随机抽取2人的所有情况有：12,A A 13,A A 23,A A 1,A B 2,A B 3A B ，符合题意的情况有：12,A A 13,A A 23A A ， 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率3162P ==. 【点睛】本题考查频率直方图求平均数，频率分布表求中位数，考查古典概型的概率，属于中档题.20．如图，三棱锥D-ABC 中，2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求点D 到平面CEF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】（1）取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，可证BC ⊥平面DAG ，可得BC DA ⊥，再由90EFC ︒∠=，DA EF ∥，可证DA CF ⊥，可得DA ⊥平面ABC ，即可证明结论；（2）由条件可得点D 到平面CEF 的距离等于点B 到平面CEF 的距离，求出三棱锥E BCF -的体积和CEF ∆的面积，用等体积法，即可求解. 【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ， 因为2AB AC ==，所以BC AG ⊥， 因为DB DC =，所以BC DG ⊥， 又因为AG DG G =I ，所以BC ⊥平面DAG ，所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥，则DA CF ⊥. 又因为BC CF C =I ，所以DA ⊥平面ABC ， 又因为DA ⊂平面DAB ，所以平面DAB ⊥平面ABC . （2）因为点E 为DB 的中点，所以点D 到平面CEF 的距离等于点B 到平面CEF 的距离.设点D 到平面CEF 的距离为h ，因为B CEF E BCF V V --=，又因为EF ⊥平面A BC ， 所以1133CEF BCF S h S EF ⋅=⋅V V ， 在ABC V 中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-. 所以120BAC ︒∠=，在ACF V 中，2,AC =1,AF =120CAF ︒∠=， 所以14122172CF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，又因为22DA DC AC =-2232=-5,=12EF DA =5=， 所以153572CEF S =⨯⨯=V ， 而1132222BCF S =⨯⨯⨯⨯V 3=， 则13534h ⨯⨯135322=⨯⨯217h ⇒=. 所以点D 到平面CEF 的距离为217.【点睛】本题考查面面垂直的证明，空间中的垂直关系的转换是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.21．设函数2()(ln 1)f x x a x =-+.（1）当1a =时，求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当2e a >时，判断函数()f x 在区间⎛ ⎝是否存在零点？并证明.【答案】（1）1y x =-；（2）函数()f x 在⎛ ⎝上存在零点，证明见解析. 【解析】（1）求导，求出(1),(1)f f '，即可求解；（2）根据()f x '的正负判断⎛ ⎝的单调性，结合零点存在性定理，即可求解. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,),+∞22()2a x af x x x x-'=-=. （1）当1a =时，2()ln 1,f x x x =--2121()2x f x x x x-'=-=，又(1)0f =，切点坐标为(1,0)，切线斜率为(1)1k f '==， 所以切线方程为1y x =-；（2）当x ⎛∈ ⎝时，22()0x af x x -'=<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当2e a >时，ln 1022a a f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，又110e e a ---<<1e =<()12220a a f e e a ----=+>，所以函数()f x 在⎛ ⎝上存在零点. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的存在性的判断，属于中档题22．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2211612x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，得到||1PM r =+，||7PN r =-，从而得到||||8PM PN +=，得到28,2a c ==，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设:(l y kx m m =+≠±，代入椭圆方程，得到12x x +，12x x ，表示出直线QA 与直线QB 的斜率，根据2Q QA B k k +=-，得到k ，m 的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l 斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点. 【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆M 外切，所以||1PM r =+， 因为动圆P 与圆N 内切，所以||7PN r =-， 则||||(1)(7)8||4PM PN r r MN +=++-=>=，由椭圆定义可知，曲线C 是以(2,0)M -、(2,0)N 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆， 设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则4a =，2c =，故22212b a c =-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=. （2）①当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，m ≠± 联立2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()2223484480k x kmx m +++-=，设点()11,,A x y ()22,B x y ，则122212283444834km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212Q QA B y y k k x x --+=+ ()()21212112x kx m x kx m x x +-++-=()1212122(2kx x m x x x x +-+==-，所以()1212(22)(0k x x m x x ++-+=，即2224488(22)(03434m km k m k k--++-=++，得212120m k -+-=.则((0m m m +-+-=，因为m ≠0m +=.即m =--直线:l y kx =--(k x =--所以直线l过定点(-.②当直线l 斜率不存在时，设直线:(0)l x t t =≠，且44t -<<，则点,,A t ⎛ ⎝B t ⎛ ⎝QA QB k k +=+t =-2=-，解得t =所以直线:l x =(-.综上所述，直线l过定点(-.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.。