教师版：圆锥曲线基础题型训练

圆锥曲线基础题型训练
一、求标准方程：先定形，后定式，再定量. 1.定义法：根据圆锥曲线的定义，确定2
2
,a
b
或p 的值，再结合焦点位置，直接写出标准方程.
例1（08，山东理，10）设椭圆1C 的离心率为
513
，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1
C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）
A ．222
2
14
3
x y -
= B ．
222
2
113
5
x
y -
= C ．
222
2
13
4
x y -
= D ．
222
2
113
12
x
y
-
=
解：设1C 的方程为
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>，则226
513
a c a =⎧⎪
⎨=⎪
⎩，解得：135a c =⎧⎨
=⎩.椭圆1C 焦点为12(5,0),(5,0)F F -，因为128F F <，由双曲线的定义知2C 是以12,F F 为焦点，实轴长为8的双曲线，故2C 标准方程为：2
2
22143
x y
-=.
2.待定系数法：根据已知条件（焦点位置），设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定,,a b c
的方程组，从而求得标准方程.
例2（10，陕西理，8）已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为（ ）
A.
12
B. 1
C.2
D.4
解：抛物线2
2(0)y p x p =>的准线方程为2
p x -
=，因为抛物线2
2(0)y p x p =>的准线与圆
22
(3)16x y -+=相切，所以2,42
3==+
p p
练习1（07，全国理，4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）
A ．
2
2
14
12
x
y
-
= B ．
2
2
112
4
x
y
-
=
C ．
2
2
110
6
x
y
-
=
D ．
2
2
16
10
x
y
-
=
解：焦点(40)-，，(40)，在x 轴，设方程为
222
2
1x y a
b
-
=，且4c =.又因为2
c e a
=
=，故2a =.
所以22222
4,16,12a c b c a ===-=，所求方程为：
2
2
14
12
x
y
-
=，选A.
注：若焦点位置不能确定，可设方程为：2
2
1mx
ny +=，其中：
椭圆⇔
0,0,m n m n
>>≠； 双曲线⇔0
m n <； 圆⇔
m n =>.
例3（09，陕西理，7）“0m n >>”是“方程221m x ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：根据“椭圆⇔0,0,m n m n >>≠”，故选C.
练习2
已知双曲线方程经过点(3,(7)P Q -，求双曲线标准方程.
解：设双曲线方程为：22
1mx ny +=(0)mn <.由双曲线经过点,P Q ，所以：1928175724911
25m m n m n n ⎧
=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨
+=⎩⎪=⎪⎩
.
故所求方程为：
2
2
125
75
y
x
-
=.
二、离心率：求值、求范围.
求离心率的问题，本质上是找,,a b c 三个量之间的一个等量关系或不等关系.
例4双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若双曲线上存在点P ，使得120PF PF ⋅=
，且
122PF PF =
，求双曲线离心率大小.
解：设21PF = ，则22PF =
，12211,2
a a =-==.又因为120PF PF ⋅=
，所以12PF PF ⊥，
故12F F =
，2
c =
所以c e a =
=
变式1（08，福建理，11）双曲线222
2
1
x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且122PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
解：由双曲线定义知：12122,2P F P F a P F P F -==，故124,2PF a PF a ==，又12122PF PF F F c +≥=，故62,3a c e ≥≤，又1e >，故13e <≤，选B. （法二：也可以用
122
2
2
221PF PF a a a c PF PF PF c a
++=
=+
≥
-的单调性求解）
思考：椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且122PF PF =,则双曲线离心
率的取值范围为多少？
三、双曲线的渐近线
求双曲线的渐近线可以令双曲线的标准方程右端等于零即可求解。

例5（09，四川，7）已知双曲线
2
22
1(0)2
x
y b b
-
=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，
点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅=
（ ）
A. 12-
B. 2- C .0 D. 4
解：令
2
22
02
x
y b
-
=，则双曲线渐近线方程为：2
b y x
=±.又因为其一条渐近线方程为y x =，所以2b =，双
曲线方程为：
2
2
12
2
x
y
-
=，故2
01y =.又因为12(2,0),(2,0)F F -，故1200(2,)(2,)P F P F y y ⋅=--⋅-=
2
010y -+=，故选C.
练习3双曲线
2
2
16
3
x
y
-
=的渐近线与圆2
2
2
(3)(0)x y r r -+=>相切，则r =（ ）
A. B.2 C.3 D.6
解：双曲线
2
2
16
3
x
y
-
=右焦点为(3,0)，与圆的焦点相同，故由双曲线,,a b c 关系可得r b ==
，选A.
四、抛物线定义的运用
抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，实际解题时这两者常常进行相互间的转换.
例6（09，四川理，9）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.
115
D.
3716
解：直线2:1l x =-为抛物线2
4y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等
于P 到抛物线的焦点(1,0)F 的距离，故本题化为在抛物线2
4y x =上找一个点P 使得P 到点(1,0)F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为(1,0)F 到直线
1:4360l x y -+=的距离，即m in |406|
2
5
d -+=
=，故选择A.
练习4（10，湖南，5） 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
解：抛物线准线方程为：2
x
=-，故P 点到准线距离为6，所以P 到该抛物线焦点的距离也是6.。