二次函数的图像和性质练习题(含答案)

1．下列函数中是二次函数的为 A ．y =3x -1
B ．y =3x 2
-1
C ．y =（x +1）2-x
2
D ．y =x 3
+2x -3
2．抛物线y =2x 2
+1的的对称轴是 A ．直线x =
14
B ．直线x =14
-
C ．x 轴
D ．y 轴
3．抛物线y =-（x -4）2
-5的顶点坐标和开口方向分别是 A ．（4，-5），开口向上
B ．（4，-5），开口向下
C ．（-4，-5），开口向上
D ．（-4，-5），开口向下
4．抛物线y =-x 2
不具有的性质是 A ．对称轴是y 轴
B ．开口向下
C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小
D ．顶点坐标是（0，0）
5．已知点（-1，2）在二次函数y =ax 2
的图象上，那么a 的值是 A ．1
B ．2
C ．
12
D ．-
12
6．已知抛物线y =ax 2
（a >0）过A （-2，y 1）、B （1，y 2）两点，则下列关系式一定正确的是 A ．y 1>0>y 2
B ．y 2>0>y 1
C ．y 1>y 2>0
D ．y 2>y 1>0
7．当函数y =（x -1）2-2的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是 A ．x >0
B ．x <1
C ．x >1
D ．x 为任意实数
8．对于二次函数2(3)4y x =--的图象，给出下列结论：①开口向上；②对称轴是直线
3x =-；③顶
点坐标是34--（，）；④与x 轴有两个交点．其中正确的结论是 A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．①④
9．一种函数2
1
(1)53m y m x x +=-+-是二次函数，则m =__________．
10．把二次函数y =x 2-4x +3化成y =a （x -h ）2
+k 的形式是__________．
11．将抛物线y =2（x -1）2
+2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为__________． 12．如图，抛物线y =ax 2-5ax +4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C （5，4）．
（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．
13．已知：抛物线2y x bx c =-++经过(30)B ，
、(03)C ，两点，顶点为A ． 求：（1）抛物线的表达式；（2）顶点A 的坐标．
14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
15．在平面直角坐标系中，将抛物线y=-1
2
x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位
长度，得到的抛物线的解析式是
A．y=-1
2
x2-x-
3
2
B．y=-
1
2
x2+x-
1
2
C．y=-
1
2
x2+x-
3
2
D．y=-
1
2
x2-x-
1
2
16．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象大致是
A．B．C D．
17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；
②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()(0)a b m am b m +>+≠，其中正确的结论有
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
18．二次函数y =x 2
-2x -3，当m -2≤x ≤m 时函数有最大值5，则m 的值可能为__________． 19．若直线y =ax -6与抛物线y =x 2
-4x +3只有一个交点，则a 的值是__________．
20．如图，已知二次函数y =ax 2
+bx +8（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-2，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标； （2）求△BCD 的面积；
（3）若直线CD 交x 轴与点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 与点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．
21．（2018·四川成都）关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是
A ．图象与y 轴的交点坐标为（0，1）
B ．图象的对称轴在y 轴的右侧
C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．y 的最小值为-3
22．（2018·湖北黄冈）当a ≤x ≤a +1时，函数y =x 2
-2x +1的最小值为1，则a 的值为
A ．-1
B ．2
C ．0或2
D ．-1或2
23．（2018·江苏连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t
（s ）满足函数表达式h =-t 2
+24t +1．则下列说法中正确的是 A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同 B ．点火后24 s 火箭落于地面 C ．点火后10 s 的升空高度为139 m D ．火箭升空的最大高度为145 m
24．（2018·山东德州）如图，函数221y ax x =-+和y ax a =-（a 是常数，且0a ≠）在
同一平面直角坐标系的图象可能是
A ．
B ．
C D ．
25．（2018·湖北恩施州）抛物线y =ax 2
+bx +c 的对称轴为直线x =-1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc >0；②b 2
-4ac >0；③9a -3b +c =0；④若点（-0.5，y 1），（-2，y 2）均在抛物线上，则y 1>y 2；⑤5a -2b +c <0． 其中正确的个数有
A．2 B．3 C．4 D．5 26．（2018·江苏淮安）将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是__________．
27．（2018·山东淄博）已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m>0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
1．【答案】B
2．【答案】D
【解析】∵抛物线y =2x 2
+1中一次项系数为0，∴抛物线的对称轴是y 轴．故选D ． 3．【答案】B
【解析】∵抛物线的解析式为2(4)5y x =---， 10a =-<，∴抛物线的开口向下．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）∴抛物线2(4)5y x =---的顶点坐标为（4，-5）．故选B ． 4．【答案】C
5．【答案】B
【解析】∵点（-1，2）在二次函数2y ax =的图象上，∴2(1)2a ⋅-=，解得2a =．故选B ． 6．【答案】C
【解析】∵抛物线y =ax 2
（a >0）的对称轴是y 轴，∴A （-2，y 1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y 1）．
又∵a >0，0<1<2，且当x =0时，y =0，∴0<y 2<y 1．故选C ． 7．【答案】B
【解析】对称轴是：x =1，且开口向上，如图所示，
∴当x <1时，函数值y 随着x 的增大而减小．故选B ． 8．【答案】D
【解析】∵a =1>0，∴开口向上，①正确；∵x -3=0，∴对称轴为x =3，②错误；∵顶点坐标为：（3，-4），故③错误；∴在第四象限，所以与x 轴有两个交点，故④正确．故选D ． 9．【答案】-1
【解析】根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，可由
2
1
(1)53m
y m x x +=-+-是二次函数，得m 2
+1=2且m −1≠0，解得m =-1，m =1（不
符合题意要舍去）．故答案为：-1． 10．【答案】y =（x -2）2
-1
【解析】y =x 2
-4x +3=（x 2
-4x +4）-4+3=（x -2）2
-1，故答案为：y =（x -2）2
-1． 11．【答案】y =2（x +2）2
+2
【解析】将抛物线y =2（x -1）2
+2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为
y =2（x -1+3）2+2，
即y =2（x +2）2
+2．故答案为：y =2（x +2）2
+2．
13．【解析】（1）把(30)B ，
、(03)C ，代入2y x bx c =-++，
得9303b c c -++=⎧⎨
=⎩，解得2
3
b c =⎧⎨=⎩．
故抛物线的解析式为223y x x =-++．
（2）223y x x =-++=2(21)31x x --+++2(1)4x =--+， 所以顶点A 的坐标为（1，4）．
14．【解析】（1）∵二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）
三点，
∴42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩
， ∴a =
12，b =-1
2
，c =-1， ∴二次函数的解析式为y =12x 2-1
2x -1． （2）当y =0时，得12x 2-1
2
x -1=0，
解得x 1=2，x 2=-1， ∴点D 坐标为（-1，0）． （3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1<x <4． 15．【答案】A
【解析】将抛物线y =-12x 2向下平移1个单位长度，得y =-1
2x 2-1，再向左平移1个单位长度，得到y =-12x +（1）2
-1，即y =-12x 2-x -32
．故选A ．
16．【答案】
C
【解析】∵二次函数图象开口向上，∴a >0，∵对称轴为直线x =-02b
a
，∴b <0，∴一次函数y =bx +a
的图象经过一、二、四象限，故选C ． 17．【答案】B
18．【答案】0或4
【解析】令y =5，可得x 2
-2x -3=5，解得x =-2或x =4，所以m -2=-2或m =4，即m =0或4．故答案为：0或4． 19．【答案】2或-10
【解析】由题意可知：x 2
−4x +3=ax −6，整理得x 2
−（4+a ）x +9=0，∵只有一个交点，
∴Δ=（4+a ）2
−4×1×9=0，
解得a 1=2，a 2=−10．故答案为：2或-10．
（3）如图，
∵C（0，8），D（1，9），代入直线解析式y=kx+b，
∴
8
9
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
8
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
21．【答案】D
【解析】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误；
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误；
当x<-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误；
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．
22．【答案】D
【解析】当y=1时，有x2-2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=-1，故选D．
23．【答案】D
【解析】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m，此选项错误；
C、当t=10时h=141 m，此选项错误；
D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145 m，此选项正确．故
选D．
24．【答案】B
【解析】A．由一次函数y=ax-a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口
向上，对称轴x=-
2
2a
-
>0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口
向上，对称轴x=-
2
2a
-
>0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．
25．【答案】B
26．【答案】y=x2+2
【解析】二次函数y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．
27．【答案】2
【解析】如图，
∵B，C是线段AD的三等分点，∴AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当y=0时，x2+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，x1=1，x2=-3，∴A（-3，0），B（1，0），∴AB=3+1=4，∴AC=BC=2，∴m=2，故答案为：2．。