空间角定理
高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
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题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
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7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
空间角度
空间角度在机械零件加工中经常可以遇到具有空间角度的斜孔、斜面，在加工这些零件或设计这些零件夹具时，常常需要进行空间角度的计算。
因此，在这里就对空间角度的计算及应用进行讨论。
一、关于双斜线的空间角度计算在机械制图中我们把和三个投影面的位置都倾斜的直线叫做一般位置直线，在这我们称一般位置直线为双斜线。
1、双斜线的空间角度某斜孔零件如图所示，立体图剖切图从图中可以看到：斜孔和三个基本投影面都是倾斜的，但斜孔倾斜的方向和角度大小完全可以由斜孔轴线来表示，而斜孔轴线可看成是一般直线及双斜线，因此倾斜孔的空间角度问题就简化为双斜线的空间角度问题。
下面我们就来讨论双斜线的角度及角度代号。
1）、方向角为便于讨论，可把空间直线和三个投影面的关系抽象成一个长方体，双斜线就作为对角线，如图。
从图中可看出红色直线的方向可以由与投影轴之间的角度来确定。
直线与X轴、Y轴、Z轴的夹角通常用α、β、γ表示，称为方向角。
α表示双斜线与X投影轴之间的夹角。
β表示双斜线与Y投影轴之间的夹角。
γ表示双斜线与Z投影轴之间的夹角。
注意在这里所讨论的夹角都是双斜线与投影轴之间所夹的正锐角。
如图如果双斜线不通过原点，可以在直线上的任意点作三条线分别平行于X、Y、Z轴，这三条线与双斜线的夹角也是方向角。
如图2）、真实倾角从双斜线和三个投影面之间的几何关系看，双斜线和三个投影面之间存在着倾角，即线和面之间的倾角。
双斜线对投影面的倾角是可用双斜线和它在该投影面上投影之间的夹角表示。
双斜线与W （yz）面、V（xz）面、H（xy）面的夹角通常用α0、β0、γ0表示，称为真实倾角。
α0表示双斜线与W（yz）面的夹角。
β0表示双斜线与V（xz）面的夹角。
γ0表示双斜线与H（xy）面的夹角。
由下图可看出方向角和真实倾角之间的关系：α+α0=90°、β+β0=90°、γ+γ0=90°3）、投影角如图所示双斜线在三个投影面上的投影与投影轴之间的夹角也可反应空间直线的方向，我们把这些夹角称为投影角。
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D −中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11AC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】如图1，设1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ， ∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，AC BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B∴AC ⊥平面11BDD B ，由1B D ⊂平面11BDD B ，则1AC B D ⊥， 同理可证：11AD B D ⊥， 1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，∴1B D ⊥平面1ACD ，∵111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥的性质可得：E 为1ACD △的中心， 连接1OD ，∵O 为AC 的中点，∴1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，即PE 是1PB D 的高，设AB a =，PE d =，则1,B D AC =，且1ACD △的内切圆半径r OE ==，则1112PB D S B D PE =⋅=△，))1212ACD S =⨯=△，∵1113PB DACD S S =△△213=，则13d a r =<， ∴点P 的轨迹是以E 为圆心，13a 为半径的圆.∵1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，∴DE ， 故PD 为底面半径为13a，高为=DE 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角α，则3tan 13a α== 所以π3α=，即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3. 直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与直线AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为11AC AC ∥，所以直线PD 与直线11AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以10cos 2θ≤≤. 故选：C.例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C −−的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤ D ．11A BC A DC θ∠+∠≥【答案】C【解析】等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===,可知：30,ACB ACD BD DC ∠=∠=⊥取BD 中点N ,BC 中点M 连接1,A N NM ,则1A N BD ⊥，NM BC ⊥,所以1A NM ∠为 二面角1A BD C −−的平面角，即1A NM θ∠=设122AB AD CD BC ====，则1111,1,2,2A N MN A B A D ==== 2222211111111cos 1222A N NM A M A M A M A N NM θ+−+−∴===−⋅,2222222111111221cos 122228A B BM A M A M A BC A M A B BM +−+−∴∠===−⋅⨯⨯,因为在[]0,π上余弦函数单调递减，又2211111111cos cos 82A M A M A BC A BC θθ−≥−⇒∠≥⇒∠≤，故A 对. 2222222111111221cos 122228A D DC AC AC A DC AC A D CD +−+−∴∠===−⋅⨯⨯222122221111153cos 2416AC AO OC AC AOC AC AO OC +−+−∴∠===−⋅ 当0θ=时,1A 与M 重合,此时160A DC ∠=,故C 不对. 1A DC ∠在翻折的过程中，角度从120减少到60 1AOC ∠在翻折的过程中，角度从180减少到30BD 选项根据图形特征及空间关系，可知正确.. 故选:C例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，BC D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③【答案】B 【解析】如图，设直线BN 与直线CM 垂直相交于点N ，在折叠图里，线段B T '与平面ACM 垂直相交于点T ，,(0,30)BCM θθ∠=∈，由图像知：;B NT B MT αβ''∠=∠=，B N BN θ=='， ()sin ;/sin 30B T B M θαθθ=*='︒+'，cos NT θα*，()tan 60MN θθ=*︒−，()()2sin 30CM θ=︒+，①tan β==，tan β=≤≤，所以tan βα；② ()Δ1sin 902ACM S CM CA θ=*︒−= 设ACB δ∠'=，则()()()2cos cos cos 90sin sin 90cos cos 0.5sin2δθθθθααθ=*︒−+*︒−=*，Δsin ACB S δ'== 由ΔΔ1133ACM M ACB ACB B T S d S −''**=**'，得M ACB d −'=()sin sin 30sin M ACB d B TMC B M γβθα'−====︒+*''，则()()sin sin 2tan 21sin 2sin 30cos 22sin 30γθθβθθθ=≤=≤︒+︒+， 由sin sin γβ≤得γβ≤； ③sin sin sin γγα=⇒，则sin sin 2tan 2sin 2cos 22γθθαθ≤=<sin γα<，所以sin sin γα<，则γα<.故选：B例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B −−的平面角为α，二面角P FC B −−的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥【答案】A【解析】在等边ABC 中，取BC 边中点D ，连接AD ，交EF 于O ，连接PO ， 则,EF PO EF DO ⊥⊥，=PO DO O ⋂，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD 故EF ⊥平面POD ，又EF ⊂平面EFCB ，则平面POD ⊥平面EFCB 在POD 中，过P 做PM 垂直于OD 于M ，则PM ⊥平面EFCB ，连接MF ， 在等边ABC 中，过M 做MN 垂直于AC 于N ，连接PN.由,EF PO EF DO ⊥⊥，则POM ∠为二面角P EF B −−的平面角即POM α∠=， 由PM ⊥平面EFCB ，MN AC ⊥，则PNM ∠为二面角P FC B −−的平面角即PNM β?由PM ⊥平面EFCB ，则PFM ∠直线PF 与平面EFCB 所成角，即PFM γ?，设AO ，则PO ，=FO a ，sin PM α，cos MO αFM ，)1=cos (1cos )2MN αα+=+， 则有FM OM >，FM NM >由cos MO MN α-(1cos )(cos 1)0αα-+=-<可得MO MN <，则有FM MN OM >>，则111FM MN OM<< 又tan tan ,tan PM PM PMOM NM FMαβγ，=== 故tan tan tan αβγ>>，又0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、故αβγ>> 故选：A例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B −−的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．不能确定【答案】B【解析】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ， 由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC 取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ， 连接BH ，易知BH ⊥PE ， 作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又FG ⊂平面PGF ∴ FG ⊥AC , 作FN ⊥BM 于点N . ∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN , 四边形PFNH 为平行四边形， 所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角=BPE α∠， 直线PB 与平面ABC 所成的角PBF β=∠， 二面角P -AC -B 的平面角PGF γ=∠， 又cos cos PH FN BFPB PB PBαβ==<=又,[0,]2παβ∈，∴ αβ> 因为 tan =tan PF PFGF BF γβ>= ,(0,)2πβγ∈∴ γβ>综上所述，,,αβγ中最小角为β，故选 B.。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
三个空间角公式
三个空间角公式1.三余弦定理的基础知识三余弦指的是空间中的三个角的余弦值，在上方链接投影法求一面直线夹角中，三个角分别为直线l1与特定平面所成的夹角θ1,直线l2与特定平面所成夹角θ2，两条直线在特定平面上投影的夹角为α，此时两条异面直线的夹角余弦值公式为：cosX=cosαcosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2，关于该公式的证明自己查看上述链接即可。
在这个异面直线夹角余弦值的公式中，两条直线异面且不在同一个特定平面内，若其中一条直线不在平面内且另外一条直线在平面内，此时在平面内的那条直线与平面的夹角θ2就是0，所以正弦值也为0，余弦值为1，此时公式为cosX=cosαcosθ1，这就是典型的三余弦定理的公式，一定要知道该公式是怎么来的，图示如下图所示：从公式中知道需要有三条线，这三条线形成三个角，三个角又形成三个面，我们求得就是与这三个角有关的内容，这三条线分别为平面内的一条线，平面外的一条线与该直线在平面内的射影，这么一看是不是和三垂线定理一样，没错，如果把平面内的一条直线与平面外直线的射影垂直，那么利用这个公式就能判定斜线和平面内的直线夹角为90°。
2.三余弦定理在求直线夹角中的应用这个公式更多应用在求异面直线夹角的余弦值当中，在同一个面中直接利用三角函数求更容易，因此三余弦定理在高中立体几何中的应用更多体现在异面直线夹角和所推广开的二面角中，有关三余弦定理在异面直线中的应用可参考链接中的这个典型题目：例1：如下图中正方体中，点M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，点P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM之间所成角的余弦值解析：点P为A1B1上运动，无论点P在哪个位置，OP在左侧面上的投影均为O'A1,此时发现AM和O'A1之间的夹角为90°，所以此时直线OP和AM 所成角的余弦值就等于OP与左侧面夹角的余弦值，考虑到AM就在左侧面上，所以AM与左侧面的夹角为0，正弦值也为0，所以可知异面直线OP和AM之间夹角的余弦值等于0，所以两条直线的夹角为90°。
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。
典型题例示范讲解例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求证 四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；(4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形 ∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中， 易得A ′C =3a ，C P =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515 故A ′C 与DE 所成角为另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为 (3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a则cosADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 另法（向量法）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′， 如图建立坐标系，则 (0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=-3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=='，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 (4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，B故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DEOEOD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为(0,0,),m AA a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴(1,2,1)n =∴6cos ,||||6n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD aAA AB AA AD AB AD AA AB b aab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=1111112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴111cos ,||||4BD AC BD AC BD AC ⋅<>==∴BD 1与AC例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α (1)求证 MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角(1)证明 作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NP A 分别是及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与角，∴∠MPB =∠NP A在Rt △MPB 与Rt △NP A 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBDPN PC ===整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ= 2a ＞PN 不合理，舍去 ∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°。
空间的角
空间的角异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法. 直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. 二面角θ范围：0°≤θ≤180° 方法：①定义法； ②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算1.空间角的计算步骤 一作、二证、三算.2.异面直线所成角：（1）范围：(]0,90︒︒；（2）计算方法:①平移法：②向量法：设,a b r r分别为异面直线,a b 的方向向量,则两异面直线所成的角α=arccosa b a buu r u u r uu r u u r g g ；③补形法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒. 3直线与平面所成的角：①定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，若垂直于平面，所成角是直角.②范围[]0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：（1）直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质；（2）通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ，计算这点与斜足之间的线段长l ，则sin d l θ=.（3） 12cos cos cos θθθ=. （4）向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θarcsinl n l n=r r g r r g .4.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线定理及其逆定理法；（3）垂面法；（4）射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法（1）、（2）计算大小；（5）向量法：法一、在α内al ⊥，在β内bl ⊥，则二面角l αβ-- 的平面角αarccosa ba b=ur u r u r u r g g ；或 arccos a ba bπ-ur u r ur u r g g （同等异补）法二、设1n ,2n是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角l αβ--的平面角α1212arccos n nn n=uu r uu ruu r uu r g g课前练习1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是 （ B ）A .45°B .60°C .75°D .90°空间四边形ABC D 中，E 、F 分别为AC 、B D 中点，若C D ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与C D 所成的角为( A )(A)30° (B)45° (C)60°(D)90°如图，AB =2，A C ⊥α，B D ⊥α，C α∈，D α∈，CD=1， 则直线AB 与α所成的角为（ B ）(A)300(B)600(C)a rct an21 (D)4503.AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB =BC . 求AD 与平面ABC 所成角的大小.（ 45°）例53. 已知正方形ABCD ，沿对角线AC 将△ADC 折起，设AD 与平面ABC 所成的角为β，当β 取最大值时，二面角B ―AC ―D 等于( B )(A )1200 (B )900 (C )600 (D )450 例57.正方体AB CD-A 1B 1C 1D 1中，（1）B C 1与底面AB CD 所成角为 450 ；（2）A 1C 与底面AB CD 所成的角的正切值为22；（3）B C 1与对角面BB 1D 1D 所成的角为 300 。
空间角及其求法
空间角及其求法张玉洪异面直线所成角直线与平面所成二面角图示定义在空间任取一点o，分别作a，b的平行线，从而形成的的锐（角）叫作异面直线所成角。
斜线与它在平面内的射影所成的锐角。
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
表示异面直线a、b所成角线a与平面所成角范围备注平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？一.用定义求空间角的步骤1.作出所求的空间角<定位>2.证明所作的角符合定义<定性>3.构造三角形并求出所要求角<定量>简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算”二典例分析例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM 和CN所成角。
解析：途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。
通过解△D1EF即可。
途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。
通过解△ＮＧＣ即可。
方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。
常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。
例2.如图棱长是1的正方体，p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.（1）求证：A1p⊥平面AQD；（2）求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1p ⊥面AQD，设A1p交AR与S，连接SQ即可。
由以上的作法可知即为所求角，只需解三角形SpQ即可。
方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。
由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。
例3. 在四棱锥p-ABCD中，已知ABCD为矩形，pA ⊥平面ABCD，设pA=AB=a，BC=2a，求二面角B-pC-D的大小。
解析1.定义法过D作DE ⊥pC于E，过E作EF ⊥pC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。
空间角的求法
PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
(整理)空间角与距离和空间向量
空间角与距离和空间向量直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。
异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。
直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。
化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。
距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。
异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。
ABC所成的角的距离为（）2,AB PA ==所成的锐二面角θ的大小；在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广． ()a b a b λλλ+=+.共线向量与共面向量:如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意两个向量总是共面的．,满足等式OPOA ta =+.其中向量的方向向量.p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数对件是存在有yMB 或对空间任一定点O ，有OP OM =唯一的有序实数组x 、y zc .,,a b c 都叫做基向量．是不共面的四点，则对空间任一点、y 、z , 使 OP zOC (这里隐含x +)3c 用A AM M =+Q Q 即证.4.两个向量的数量积(1)向量,a b 的数量积cos ;b a b a b =(2)向量的数量积的性质①cos a e a a e =(是单位向量)；②a b ⊥⇔22aa=.(3)向量的数量积满足如下运算律:①交换律:a b b ⋅=⋅②与实数相乘的结合律(a λ⋅()a b ⋅=()a b λ⋅; ③分配律:()a b c a c ⋅++⋅. 注:向量的数量积不满足结合律即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，和一个单位正交基底，如图，以点O 为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，,有序实数．对于空间任一点A ，对应一个向量OA xi y j z =++k ，即点A .空间向量的直角坐标运算12(,,b b ①112(,a b a b a +=±a ∥()b a b R λλ⇔=∈2a a a a=⋅=+a a a a⇒=⋅)2322212322bbbaa++⋅+(AB AB AB x=⋅=所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面①利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设|||AB nn⋅.②利用法向量可求二面角的平面角定理：设,m n分别是二面角lαβ--中平面则,m n所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.||||m n或cos||||m narcm nπ⋅-（m，n为平面sin||||AB marcAB m⋅(m为平面α的法向量||n(12,l l的公垂向量为n实质是CD在公垂向量方向上的投影的绝对值，b＝(2，0，m)137((D)1362. 如图，已知空间四边形)6(D)3OA＝a，OB＝b，OC三点共线的条件是()锐角三角形(D)不确定、＝0，n b⋅＝0是n为平面α 的例66. 设a b法向量的(充分条件(B)充要条件(D)既非充分又非必要条件B C D这四个点是否共面__________.(1,0,1),(4,4,6),(2,2,3),(10,14,17)例70. 如图直角梯形，O A＝AB＝1，SO⊥平轴建立直角坐标系O-xyz.满足(1,,),=⊥n p q n满足且k=⊥⊥k r s k SC k OB(1,,)（注：⑶只要求写出答案）数学基础知识与典型例题(第九章直线、平面、简单的几何体)答案2（3）300例51. A 例52.B 例53B例54.B例55.C 例56.A例57. (1)450（2）2例58. 75 0或1650 例59. 作点A 关于αβ、的对称点A 1，A 2，A 1A 2的长度即为所求最短距离．例60. 解：以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系（1）设E 是BD 的中点， P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD PE ⊥又2,AB PA = ∴2=PE ∴)4,1,1(P ∴ 11(2,2,0),(1,1,2)B D AP =-=∴ 110B D AP ⋅=即11PA B D ⊥ （2）设平面PAD 的法向量是(,,)mx y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==∴02,0=+=z x y , 取1=z 得(2,0,1)m =-，又平面11BDD B 的法向量是(1,1,0)n =,∴10cos ,m n m n m n⋅<>==-∴θ=3）1(2,0,2)B A =-, ∴1B 到平面PAD 的距离16B A m d m⋅==例61.B 例62.A 例63.B 例64.D 例65.C 例66.C 例67.163或－11 例68.10 例69. 是例70. 解：⑴如图所示：C （2,0,0），S （0,0,1），O （0,0,0），B （1,1,0）(2,0,1),(1,1,0)cos ,52SC OB SC OB α∴=-=∴<>===⋅⑵①(1,1,1),(1,1,0)SBCB n SBC =-=-⊥,,1010,:1,2,(1,1,2)n SB n CB n SB p q n CB p p q n ∴⊥⊥∴⋅=+-=∴⋅=-+===∴=解得②SOE BC E BC OE O 面则于作过⊥⊥,,SAB SOE ⊥∴,,,,2,SE O OH SE H OH SBC OA CB F OF FH OFH ⊥⊥=∠又两面交于过作于则延长与交于则连则为所求,3sin 2SO OE OE SE OH SE ββ⋅=∴===又③k 的坐标为()1,1,2-；36=OH。
空间角的求法
空间角的求法一、异面直线所成的角：1、定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上2、异面直线所成的角的范围：2,0(π3、求异面直线所成的角的方法：（1）直接平移法：在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；例1、如图PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成的角正切值。
（2）中位线平移法：构造中位线，利用中位线性质，将异面直线所成角转化为平面角，解三角形求之例2、设S 是正三角形ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值.（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相 同的几何体，以利于找出平行线。
例3、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长8，侧棱长为6，D 为AC 的中点。
求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值.(4).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ二、直线和平面所成的角1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、范围：[0，2π]。
当直线垂直平面时，所成的角θ＝2π，当直线平行平面或在平面内，所成角为θ＝0。
3、求直线与平面所成的角的方法：（1）.直接法：斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
①经过斜线上一点作面的垂线；②找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；③解直角三角形。
例4、在四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点，求：（1）BC 与平面SAB 所成的角；（60°） （2）SC 与平面ABC 所成的角。
几何法求空间角
§8.6 几何法求空间角考试要求 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．理解异面直线所成角、直线和平面所成角和二面角的定义，并会求值．知识梳理1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． (2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角 若有①O ∈l ； ②OA ⊂α，OB ⊂β；③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB . (3)二面角的平面角α的范围：[0，π]． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线l 1，l 2与同一个平面所成的角相等，则l 1∥l 2.( × )(2)异面直线所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)如果平面α∥平面α1，平面β∥平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补．( √ )(4)线面角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围为[0，π]．( √ ) 教材改编题1.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 即为所求的角或其补角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴△B 1D 1C 为等边三角形，∴∠D 1B 1C ＝60°.2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，因为AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC ＝2.3.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中：①二面角D ′－AB －D 的大小为________． ②二面角A ′－AB －D 的大小为________． 答案 ①45° ②90°解析 ①在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ⊥平面ADD ′A ′，所以AB ⊥AD ′，AB ⊥AD ，因此∠D ′AD 为二面角D ′－AB －D 的平面角．在Rt △D ′DA 中，∠D ′AD ＝45°，所以二面角D ′－AB －D 的大小为45°.②因为AB ⊥平面ADD ′A ′，所以AB ⊥AD ，AB ⊥AA ′，因此∠A ′AD 为二面角A ′－AB －D 的平面角，又∠A ′AD ＝90°，所以二面角A ′－AB －D 的大小为90°.题型一 异面直线所成的角例1 (1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55D.22答案 C解析 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理， 得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 延伸探究 若将本例(1)中题干条件“AA 1＝3”变为“异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”．试求AA 1的值． 解 设AA 1＝t ，∵AB ＝BC ＝1， ∴A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝t 2＋1.∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910， 解得t ＝3，则AA 1＝3.(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222 B.53 C.1316 D.113答案 D解析 如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE .又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1.∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3， ∴SC ＝3 2. ∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10.∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10. ∴在等腰△SCF 中，tan ∠CSF ＝(10)2－⎝⎛⎭⎫3222322＝113.教师备选(2022·郑州模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝4，AC ⊥BC ，CC 1＝5，D ，E 分别是AB ，B 1C 1的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为( )A.33 B.13 C.5829D.38729答案 C解析 如图，取A 1C 1的中点F ，连接DF ，EF ，CF .易知EF 是△A 1B 1C 1的中位线，所以EF ∥A 1B 1且EF ＝12A 1B 1.又AB ∥A 1B 1且AB ＝A 1B 1，D 为AB 的中点， 所以BD ∥A 1B 1且BD ＝12A 1B 1，所以EF ∥BD 且EF ＝BD . 所以四边形BDFE 是平行四边形， 所以DF ∥BE ，所以∠CDF 就是异面直线BE 与CD 所成的角或其补角．因为AC ＝BC ＝4，AC ⊥BC ，CC 1＝5，D ，E ，F 分别是AB ，B 1C 1，A 1C 1的中点， 所以C 1F ＝12A 1C 1＝2，B 1E ＝12B 1C 1＝2且CD ⊥AB .由勾股定理得AB ＝42＋42＝42，所以CD ＝AC ·BC AB ＝4×442＝2 2.由勾股定理得CF ＝29，DF ＝BE ＝29. 在△CDF 中，由余弦定理得cos ∠CDF ＝(29)2＋(22)2－(29)22×29×22＝5829.思维升华 求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角或其补角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP .连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt △C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6.方法二如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6.(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．答案2解析 如图，取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角等于异面直线AC1与BC所成的角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.题型二直线与平面所成的角例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)证明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．(1)证明如图，连接BC1，AD1，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得EF∥BC1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1，又EF⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，所以EF ∥平面A 1ADD 1.(2)解 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 因为C 1D 1⊥平面A 1ADD 1，所以AC 1在平面A 1ADD 1中的射影为AD 1，所以∠C 1AD 1(或其补角)为直线AC 1与平面A 1ADD 1所成的角， 由题意知AC 1＝22＋22＋32＝17，在Rt △AD 1C 1中，sin ∠C 1AD 1＝C 1D 1AC 1＝217＝21717，即直线AC 1与平面A 1ADD 1所成角的正弦值为21717.教师备选如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ＝BC ＝1，二面角P －CD －A 为直二面角．(1)若E 为线段PC 的中点，求证：DE ⊥PB ； (2)若PC ＝3，求PC 与平面P AB 所成角的正弦值． (1)证明 ∵PD ＝DC ＝1，且E 为PC 的中点， ∴DE ⊥PC ，又∵二面角P －CD －A 为直二面角， ∴平面PCD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊥CD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ， ∴BC ⊥平面PCD ， ∴BC ⊥DE .∵BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC ∩PC ＝C ， ∴DE ⊥平面PBC ， 又∵PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB .(2)解 若PC ＝3，由余弦定理可求得∠PDC ＝120°，过点P 作PH ⊥CD 的延长线于H ，如图， 可得PH ⊥平面ABCD ， 在Rt △PHD 中， PH ＝PD sin 60°＝32， 过H 点作HG ∥DA ，且HG 与BA 的延长线交于G 点． 可得HG ⊥AB ，从而PG ⊥AB . 在Rt △PHG 中，PG ＝PH 2＋HG 2＝72， ∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PH ＝13×12×32＝312，设点C 到平面P AB 的距离为h ， 则三棱锥C －P AB 的体积 V ＝13S △ABP ·h ＝13×12×72h ＝312，解得h ＝37，设PC 与平面P AB 所成的角为θ， sin θ＝h PC ＝77，即PC 与平面P AB 所成角的正弦值为77. 思维升华 求线面角的三个步骤一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．跟踪训练2 (1)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点．若AB ＝BC ＝BB 1，∠ABC ＝π2，则CC 1与平面BC 1D 所成角的正弦值为________．答案3 3解析过点C作CH⊥C1D于点H，如图，∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D，BD⊂平面BC1D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角，设AB＝2a，则CD＝2a，C1D＝6a，∴sin∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33.(2)(2022·贵溪市实验中学模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．①求证：直线BD1∥平面P AC；②求直线BD1与平面ABCD所成角的正切值．①证明如图，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，又∵P是DD1的中点，故PO∥BD1，又∵PO⊂平面P AC，BD1⊄平面P AC，∴直线BD1∥平面P AC.②解在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1BD是直线BD1与平面ABCD所成的角，∵DD1＝2，BD＝AB2＋AD2＝2，∴tan∠D1BD＝22＝2，∴直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为 2.题型三二面角例3(2022·上海市延安中学模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是正方形，平面BDEF⊥平面ABCD.(1)证明：平面ACE⊥平面BDEF；(2)若点M是线段BF上的一点，且满足DM⊥平面ACE，求二面角A－DM－B的正切值．(1)证明∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，由四边形BDEF是正方形有DE⊥BD，又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，DE⊂平面BDEF，∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC，又BD∩DE＝D，且BD，DE⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，由AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDEF.(2)解设O是AC，BD的交点，连接OE交DM于G，连接AG，如图．由DM⊥平面ACE，AG，OE⊂平面ACE，∴AG⊥DM，OE⊥DM，∴∠AGO是二面角A－DM－B的平面角，由射影定理知，OD2＝OG·OE，OD＝1，DE＝2，则OE＝5，OG＝55.∴tan∠AGO＝AOOG＝15，∴二面角A－DM－B的正切值为15.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1.(1)求λ的值；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值．解 (1)过E 作EG ⊥D 1D 于G ，连接GA ，如图．则EG ∥CD ，而CD ∥F A ，所以EG ∥F A . 因为EF ∥平面ADD 1A 1，EF ⊂平面EF AG ， 平面EGAF ∩平面ADD 1A 1＝GA ，所以EF ∥GA ， 所以四边形EGAF 是平行四边形，所以GE ＝AF . 因为CE ＝2ED 1， 所以GE DC ＝D 1E D 1C ＝13.所以AF AB ＝13，即AF FB ＝12，所以λ＝12.(2)过E 作EH ⊥CD 于H ，过H 作HM ⊥DF 于M ，连接EM ，如图．因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，EH ⊥CD ， 所以EH ⊥平面ABCD .因为DF ⊂平面ABCD ，所以EH ⊥DF . 又HM ⊥DF ，HM ∩EH ＝H ，HM ，EH ⊂平面EMH ， 所以DF ⊥平面EMH .因为EM ⊂平面EMH ，所以DF ⊥EM . 所以∠EMH 是二面角E －DF －C 的平面角． 设正方体的棱长为3a ，则EH ＝2a .在Rt △DHF 中，DH ＝a ，HF ＝3a ，DF ＝10a ， 所以HM ＝DH ·HF DF ＝a ×3a 10a ＝310a .在Rt △EHM 中，求得EM ＝EH 2＋HM 2＝710a ， 所以cos ∠EMH ＝HM EM ＝37，所以二面角E －DF －C 的余弦值为37.思维升华 作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB .(1)求三棱锥P －AMN 的体积； (2)求二面角M －AN －D 的正切值． 解 (1)∵PB ＝PC ， ∴PN ⊥BC ，又∵PN ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， AB ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PN ⊥平面ABCD ，∵AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2， ∴PN ＝3，M 为PD 的中点，V P －AMN ＝V D －AMN ＝V M －ADN ， ∴V P －AMN ＝12V P －ADN ＝14V P －ABCD ＝14×13×4×3＝33.(2)如图，取DN 的中点E ，连接ME ，∵M ，E 分别为PD ，DN 的中点， ∴ME ∥PN ， ∵PN ⊥平面ABCD ， ∴ME ⊥平面ABCD ， 过E 作EQ ⊥AN ，连接MQ ，又ME ⊥AN ，EQ ∩ME ＝E ，EQ ，ME ⊂平面MEQ ， ∴AN ⊥平面MEQ ， ∴AN ⊥MQ ，∠MQE 即为二面角M －AN －D 的平面角， ∴tan ∠MQE ＝MEQE ，∵PN ＝3， ∴ME ＝32， ∵AN ＝DN ＝5，AD ＝2， ∴QE ＝255，∴tan ∠MQE ＝154. 即该二面角的正切值为154.课时精练1.(2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°答案 B解析如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.2.如图，P A⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，P A＝4，BC ＝5，则PB与平面P AC所成角的正弦值为()A.22 B.12C.32 D.175答案 A解析 根据题意，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，则BC ⊥AC ， 又由P A ⊥圆O 所在平面，则P A ⊥BC ， 因为P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，则BC ⊥平面P AC ，故∠BPC 是PB 与平面P AC 所成的角，在△ACB 中，AC ＝3，BC ＝5，AC ⊥BC ， 则AB ＝AC 2＋BC 2＝34，在△P AB 中，AB ＝34，P A ＝4，P A ⊥AB ， 则PB ＝P A 2＋AB 2＝52，在Rt △PCB 中，BC ＝5，PB ＝52， 则sin ∠BPC ＝BC PB ＝22.3．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105D.33答案 C解析 如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D ， ∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos 60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5，易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ，因此cos ∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105.4．在正四面体P －ABC 中，点M 是棱BC 上的动点(包含端点)，记异面直线PM 与AB 所成的角为α，直线PM 与平面ABC 所成的角为β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．α≥β D ．α≤β答案 C解析 根据题意，如图，作PO ⊥底面ABC ，连接OM ，则∠PMO 是直线PM 与平面ABC 所成的角， 即∠PMO ＝β，过点M 作l 平行于AB ，过点P 作PN ⊥l ，与l 交于点N ，∠PMN 是直线PM 与AB 所成的角，即∠PMN ＝α，在Rt △POM 和Rt △PMN 中，有PN ≥PO ，则sin α≥sin β，则α≥β. 5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1－AB －C 为( ) A.π3 B.2π3 C.3π4 D.π4答案 D解析 由图可知C 1B ⊥AB ，CB ⊥AB ，所以∠C 1BC 是二面角C 1－AB －C 的平面角， tan ∠C 1BC ＝C 1C BC ＝1，所以∠C 1BC ＝π4.6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法不正确的是( )A ．A 1C 1⊥BDB ．A 1C ⊥BDC ．B 1C 与BD 所成的角为60° D ．AC 1与平面ABCD 所成的角为45° 答案 D解析对于A，如图，由正方体性质可知B1D1⊥A1C1，又因为BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以A1C1⊥BD，故选项A正确；对于B，如图，由正方体ABCD－A1B1C1D1可得CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，由选项A可知A1C1⊥BD，又A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，所以BD⊥平面A1C1C，因为A1C⊂平面A1C1C，所以BD⊥A1C，故选项B正确；对于C，如图，由选项A 可知BD ∥B 1D 1，所以∠CB 1D 1为直线B 1C 与直线BD 所成的角， 由正方体性质可知△B 1CD 1为正三角形， 所以∠CB 1D 1＝60°，故选项C 正确； 对于D ，如图，由CC 1⊥平面ABCD ，所以∠C 1AC 为直线AC 1与平面ABCD 所成的角， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＝2CC 1， tan ∠CAC 1＝CC 1AC ＝22，所以∠CAC 1≠45°， 故选项D 错误．7．在正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，四棱锥的体积为43，则二面角P －AB －C 的大小为________． 答案 45°解析 如图，连接AC ，BD 交于点E ，依题意，PE ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连接FE ，FP ，易知AB ⊥EF ，AB ⊥PF ，则∠PFE 为二面角P －AB －C 的平面角， 又V P －ABCD ＝13×2×2×PE ＝43，故PE ＝1，∴PE ＝EF ＝1， ∴△PEF 为等腰直角三角形， ∴∠PFE ＝45°.8．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，则AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ________. 答案217解析 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，SD ，过A 作AO ⊥SD ，交SD 于点O ，连接OB ，∵在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形， SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2， ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，SA ⊥AD ， ∵AD ∩SD ＝D ，AD ，SD ⊂平面SAD ， ∴BC ⊥平面SAD ， ∴BC ⊥AO ， AD ＝4－1＝3，SD ＝4＋4－1＝7，∵12×SA ×AD ＝12×SD ×AO ， ∴AO ＝2×37＝2217，∵AO ⊥SD ，SD ∩BC ＝D ，SD ，BC ⊂平面SBC ， ∴AO ⊥平面SBC ，∴∠ABO 是AB 与平面SBC 所成的角，∴AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 sin ∠ABO ＝AO AB ＝22172＝217.9.如图，已知在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB ⊥AD ，BC ⊥AC ，BD ＝3，AD ＝1，AC ＝BC ，M 为线段AB 的中点．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求异面直线MD 与BC 所成角的余弦值； (3)求直线MD 与平面ACD 所成角的余弦值．(1)证明 ∵平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 如图，取AC 的中点N ，连接MN ，DN ，∵M 是AB 的中点， ∴MN ∥BC ，∴∠NMD (或其补角)为异面直线MD 与BC 所成的角， 由(1)知BC ⊥平面ACD ， ∴MN ⊥平面ACD ，MN ⊥ND ， ∵BD ＝3，AD ＝1，AB ⊥AD ， ∴AB ＝22，又∵AC ＝BC ，AC ⊥BC ，∴AC ＝BC ＝2， 在Rt △MND 中，MN ＝12BC ＝1，MD ＝AD 2＋AM 2＝3，∴cos ∠NMD ＝MN MD ＝33，即异面直线MD 与BC 所成角的余弦值为33. (3)解 由(2)知∠MDN 为直线MD 与平面ACD 所成的角， 在Rt △MND 中，ND ＝MD 2－MN 2＝2，∴cos ∠MDN ＝ND MD ＝23＝63， 即直线MD 与平面ACD 所成角的余弦值为63. 10.如图，在三棱锥A －BCD 中，△ABD 为等边三角形，BC ＝BD ，平面ABD ⊥平面BCD 且BA ⊥BC .(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求二面角A －CD －B 的正切值．(1)证明 如图，取BD 的中点E ，连接AE ，则AE ⊥BD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AE ⊂平面ABD ， 则AE ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ，AB ∩AE ＝A ， AB ，AE ⊂平面ABD ，则BC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ， 则BC ⊥AD .(2)解 如图，过点E 作EF ⊥CD 交CD 于点F ，连接AF ，由(1)知AE ⊥CD ，AE ∩EF ＝E ，AE ，EF ⊂平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ， 因为AF ⊂平面AEF ， 则CD ⊥AF ，所以∠AFE 为二面角A －CD －B 的平面角． 因为△ABD 为等边三角形，设BD ＝2， 则AE ＝3，EF ＝22， 则tan ∠AFE ＝AE EF ＝322＝ 6.所以二面角A －CD －B 的正切值为 6.11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，异面直线AB 与A 1C 所成角的大小为π3，则该长方体的侧面积与表面积的比值是( )A.4－227B.4－24C.8－227D.4－28答案 C解析 如图，连接B 1C ，因为AB ∥A 1B 1，所以∠B 1A 1C 是异面直线AB 与A 1C 所成的角， 即 ∠B 1A 1C ＝π3.设AB ＝x ，AA 1＝y ，在△A 1B 1C 中，B 1C 2＝x 2＋y 2，A 1C 2＝2x 2＋y 2， 则cos ∠B 1A 1C ＝x 2＋2x 2＋y 2－(x 2＋y 2)2x ·2x 2＋y 2＝12，整理得y ＝2x ，从而该长方体的侧面积S 1＝4xy ＝42x 2， 该长方体的表面积S 2＝4xy ＋2x 2＝(42＋2)x 2， 故S 1S 2＝42x 2(42＋2)x 2＝8－227. 12．某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 与底面所成的角为( )A.π3B.π4C.π6D.π2答案 A解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示﹐∠PEA 为PE 与底面所成的角． ∵P A ＝6，AE ＝2，∴tan ∠PEA ＝P AAE ＝3，∴∠PEA ＝π3.13．已知正四面体A －BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，点F 在线段BC 上，则下面四个命题中：①∃F ∈BC ，EF ∥AC ； ②∀F ∈BC ，EF ≤3； ③∃F ∈BC ，EF 与AD 不垂直；④∀F ∈BC ，直线EF 与平面BCD 夹角正弦的最大值为33. 所有不正确的命题序号为________． 答案 ①③ 解析 如图，对∀F ∈BC ，EF 与AC 异面或相交，故①错误；当点F 为BC 的中点时，EF 为异面直线AD 和BC 的公垂线段，此时EF 取得最小值，当F 与B ，C 重合时，EF 取得最大值3，故②正确；因为AD ⊥BE ，AD ⊥CE ，BE ∩CE ＝E ，所以AD ⊥平面BEC ，故AD ⊥EF ，故③错误； 因为E 到平面BCD 的距离为定值d ，设直线EF 与平面BCD 的夹角为θ，则sin θ＝dEF ，当F为BC 的中点时，易知EF 为异面直线AD 和BC 的公垂线段，此时EF 取得最小值，sin θ＝dEF 有最大值，此时DF ＝3，DE ＝1，故EF ＝3－1＝2，在Rt △EFD 中，EF ·DE ＝DF ·d ，解得d ＝63，所以sin θ＝d EF ＝33，故④正确． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，使折起后平面ADE ⊥平面ABCE ，则异面直线AE 和CD 所成角的余弦值为________．答案63解析 由题意，取AB 的中点F ，连接CF ，DF ，则CF ∥AE ，可得直线AE 和CD 所成的角为∠DCF (或其补角)， 如图，取AE 的中点M ， 连接DM ，MF ，MC ， ∵AD ＝DE ， ∴DM ⊥AE ，又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE ＝AE ，DM ⊂平面ADE ， ∴DM ⊥平面ABCE ， ∴DM ⊥MF ， 且AM ＝DM ＝22， 结合平面图形可得FM ＝22， ∴DF ＝DM 2＋MF 2＝1，CF ＝2，又MC 2＝52，∴DC 2＝DM 2＋MC 2＝3，∴在△DFC 中，DC 2＝DF 2＋FC 2， ∴△DFC 是直角三角形且DF ⊥FC ， 可得cos ∠DCF ＝23＝63.15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为DD 1，AA 1，AB 的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线D 1P ∥平面EFG ，则D 1P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤33，22 B.⎣⎡⎦⎤22，1C ．[1，2] D.⎣⎡⎦⎤22，63 答案 B解析 由题意，如图所示，平面EFG 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上的截面为EFGH ，且H 为DC 的中点，因为D 1P ∥平面EFG ，而平面A 1BCD 1∥平面EFG ， 所以D 1P ⊂平面A 1BCD 1，又点P 为底面ABCD 上的一个动点，则点P 在BC 上， 所以D 1P 与平面ABCD 所成的角为∠DPD 1， 当点P 与点B 重合时，∠DPD 1最小， 此时tan ∠DBD 1＝DD 1BD ＝22，当点P 与点C 重合时，∠DPD 1最大， 此时tan ∠DCD 1＝DD 1CD ＝1，所以tan ∠DPD 1∈⎣⎡⎦⎤22，1.16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为四边形，△ABD 是边长为2的正三角形，BC ⊥CD ，BC ＝CD ，PD ⊥AB ，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若二面角C －PB －D 的平面角的余弦值为66，求PD 的长．(1)证明 如图所示，E 为BD 的中点，连接AE ，△ABD 是正三角形， 则AE ⊥BD .又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，AE ⊂平面ABCD ， 故AE ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ， 故AE ⊥PD .又PD ⊥AB ，AE ∩AB ＝A ，AE ，AB ⊂平面ABCD ， 故PD ⊥平面ABCD . (2)解 如图所示，过点E 作EF ⊥PB 于点F ， 连接CF .因为BC ⊥CD ，BC ＝CD ， E 为BD 的中点，故EC ⊥BD ， 又EC ⊥PD ，BD ∩PD ＝D ， 所以EC ⊥平面PBD ， 所以EC ⊥PB ，又EF ⊥PB ，EC ∩EF ＝E ， 所以PB ⊥平面EFC ，CF ⊥PB ，故∠EFC 为二面角C －PB －D 的平面角． cos ∠EFC ＝66， 故tan ∠EFC ＝5，EC ＝1，故EF ＝55. sin ∠PBD ＝EF EB ＝55，tan ∠PBD ＝12，即PD BD ＝12，所以PD ＝1.。
空间中线线角、线面角、面面角成法原理及求法思路
DBA Cα空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求〞2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：〔假设线面平行，线在面，线面垂直，那么不用此法，因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求〞注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即假设θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，那么有θβ≤；〔这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为BAD CAD∠>∠〕〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；：如图，BAC∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM⊥⊥且＝〔就是点P到角两边的距离相等〕过P作POα⊥〔说明点O为P点在面α的射影〕求证：OAN OAM∠∠＝〔OAN OAM∠∠＝，所以AO为BAC∠的角平分线，所以点O会在BAC∠的角平分线上〕证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNA PMA∠∠︒＝＝PNA PMA∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
立体几何复习专题(空间角)
专题:空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0,]2π。
（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。
两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。
（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。
平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。
1：三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,OB OO ==OA =B A 1与1AO 所成角的余弦。
2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。
直线和平面所成角范围：[0，2π]。
（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
（3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角， 则有θϕϕcos cos cos 21= 。
由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。
AB O 1A1B1O考点二：直线和平面所成的角例2. 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，四 边形A ABB ''是菱形，四边形BCC B ''是矩形，C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=， 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。
立体几何之空间角
立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤⎝⎛20π，） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm nm⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m //则α⊥a） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法θcos S S =' ☎S 为原斜面面积 S '为射影面积 θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角✆当θ为锐角时，nm nm⋅⋅=arccos θ当θ为锐角时，nm nm ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解在正三棱柱111ABC A B C -中，若1,AB 求1AB 与B C 1所成的角的大小。
解：法一：如图一所示，设O 为C B 1、B C 1的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。
设1,BB a AB ==则，于是在DOB ∆中，122211,,21,,2OB BC BD OD AB BD OB OD =======+ 即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB法二：取11A B 的中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyz O -AB 21的长度单位，则由1AB =有((())((111111110,,,0,1,0,0,2,,,220,A B B C AB C B AB C B AB C B-∴==⋅=-=∴⊥如图二所示，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是一直角梯形，90,//,,2B A D A D B C A BB C a A D a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。
空间角的计算方法
空间角的计算方法当建立空间直角坐标系后，空间图形顶点的坐标容易得出且比较简单时，三类空间角的计算可利用空间向量来处理.但是，当用空间向量处理起来比较困难时，我们还要学会用其它方式来处理.三类空间角的计算有别于平面几何中计算，它要充分地“说理”.因为空间图形不可能像平面图形那样明确、直接，有时看起来是“锐角”或“钝角”的图形，实际上是直角.因此，在立体几何中实施角的计算时，要认真做好三步工作“作——证——算”.“作”——即作出符合要求的平面角；“证”——即证明所作平面角是所求的角；“算”——通过解三角形求出该平面角的大小.本单元我们重点讨论用常规方法，来处理三类空间角的计算问题.【异面直线所成的角】求两异面直线所成角的问题是立体几何中常见且重要的计算之一，其方法通常是在其中一条直线上取一个特殊点通过三角形中位线或平行四边形引另一条直线的平行线来实现平行移动，然后通过余弦定理或解直角三角形来求解；对不易平移的问题可通过补形的方式来求解，也可考虑利用三余弦公式求解.两异面直线所成角θ的取值范围为θ∈(0，π2]. 例1.在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求DE 和BF 所成角的余弦值. 解法1(平移).如图2.5—1.联结AE ，取AE 的中点M ，联结MF 、MB ， ∵ M 、F 分别为AE 、AD 的中点，∴ M F ∥DE ，故∠MFB 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD 的棱长为a ，则由平面几何知识易知BF=√3a 2，MF=√3a4. 在Rt ∆BEM 中，MB=.47)43()2(22a a a =+由余弦定理可得，.324323216716343cos 222=⋅⋅-+=∠aa aa a MFB 解法2(补形). 如图2.5—2.将原正四面体补形为三棱柱.取AC 1的中点M ，联结D 1M 、BM ，BD 1，易知F 是空间角的求法异面直线所成的角 ①利用中位线或平行四边形平移. ③三余弦公式. 直线与平面所成的角二面角①直接法. ②等积转换法. ③三余弦公式法.①直接法——利用三垂线定理或棱的垂面. ②利用等腰三角形底边上的中线. ③利用面积的射影定理.②补形.A BCDF E图2.5—1 M ABCDF E 图2.5—2C 1D 1MBD 1的中点，MD 1∥DE ，∴∠MD 1B 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD的棱长为a.易求得，MD 1=√3a 2，BD 1=√3a ，BM=√7a2(可由余弦定理求得).再由余弦定理可得 cos ∠MD 1B= 23.例2.如图2.5—3.在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1与C 1C 的中点，设DM与A 1N 所成的角为θ，求cosθ的值. 解：在原正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的前面补一个相同的正方体，如图2.5—3.联结A 2M 、A 2D ，易知A 2M ∥A 1N ， ∴ ∠A 2MD 为DM 与A 1N 所成的角θ或补角. 设正方体棱长为a. ∵ DM=A 2M=√(√2a)2+(a2)2=3a 2，A 2D=a a a 5)2(22=+.由余弦定理可得cos ∠A 2MD = - 19. ∴ cosθ= 19.说明：①由于两异面直线所成角的取值范围为θ∈(0，π2]，所以cosθ不可能为负值，当计算得出角的余弦值为“—”时，应将最后结果改为“+”.这是因为在平移时，所得的平面角可能是两异面直线所成角的补角，而互为补角的两角的余弦值互为相反数.②当我们试图在原图形的表面或其中作“平移”较困难时，可考虑“补形”.一般补形方式为：①三棱锥补形为三棱柱；②三棱柱补形为四棱柱；③四棱柱可在某一个侧面或底面“拼”一个相同的四棱柱.三余弦公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，a 与α相交成ϕc 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=证明：设点P 在平面α上的射影为O ，过点O 作O B ⊥b 于B ，连接PB ， 由三垂线定理知AB ⊥PB.如图2.5—4. ∴ θϕϕcos cos cos 21==⋅=APAB AOAB APAO .在此公式中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线. 我们不妨把ϕ1叫做线 面角，θ叫做线线角，ϕ2叫做线影角.很明显，线线角是这三个角中最大的一个角.例3.(1)如图2.5—5(1)，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角.(2)如图2.5—5(2).在立体图形P -ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形.∠BAD=900，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成300角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.解:(1)由图2.5—5(1)可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD所成的角为450，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为450，所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，满足cosθ=cos45°· cos45°= 12，∴ 直线AC 与MB 所成的角为600.ACDA 1B 1C 1D 1 NM BA 2 图2.5—3图2.5—4ϕ2ϕ1cba θP αO AB(2)如图2.5—5(2)，过E 作PA 的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为600，射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为450，∴ 直线AE 与直线CD 所成的角θ满足：cosθ=cos60°· cos45°= √24. 即AE 与CD 所成角的余弦值 √24.想一想①:1.正四面体SABC 的棱长为a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点． 求异面直线SA 和EF 所成角．2.如图2.5—6.A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成 角的余弦值.【直线与平面所成的角】直线与平面所成的角也是立体几何中常见且重要的计算问题之一.它一般可通过解Rt △ 来求解.其解法通常有①直接法；②三棱锥体积等积变形法；③三余弦公式法——此法主要用于解选填题，若用于解答题，则要给出三余弦公式的简略证明.例4.如图2.5—7.在正方体AC 1中.(1)求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角.(2)求A 1B 1与平面A 1BC 1所成的角的余弦值.解:(1)联结BD 交AC 于O ，∵ BO ⊥AC ，BO ⊥A 1A ，由线面垂直的判定定理可得BO ⊥平面ACC 1A 1， ∴ ∠OC 1B 为BC 1与平面ACC 1A 1所成的角. 在Rt ∆BOC 1中，∵ sin ∠OC 1B=OB BC 1=12，且∠OC 1B 为锐角，∴ BC 1与平面ACC 1A 1所成的角为300. (2)法1.如图1.6—7. 联结BC 1、B 1C 交于点E. 易知BC 1⊥平面A 1B 1C.又∵ BC 1⊂平面A 1BC 1，∴ 平面A 1BC 1⊥平面A 1B 1C. 过B 1作B 1H ⊥A 1E 于H ，联结A 1H ，∵ 平面A 1BC 1∩平面A 1B 1C=AE, ∴ B 1H ⊥平面A 1BC 1,因此，∠B 1A 1E 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. ∵ tan ∠B 1A 1E= B 1EA 1B 1=√22，∴ cos ∠B 1A 1E=√63.法2.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1于H ，联结A 1H ，∴∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.∵ △A 1BC 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴ 棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥. 可得点H 是△A 1B 1C 1的外心.设A 1B 1=a,则A 1B=√2a ,得A 1H= √63a. ∴ cos ∠B 1A 1H=A 1H A 1B 1=√63，即所求角的余弦值为√63.说明：F 1 A B D 1C 1A 1B 1图2.5—6C 图2.5—7 PE DFA B C图2.5—5(2)图2.5—5(1) A B C D M1.当题设条件中或由已知可推出两个平面互相垂直时，要作出线面角， 可利用两平面垂直的性质，在一个平面内作交线的垂线即可.2.在求线面角时，很多时候垂线位置的确定，是很费“周折”的.而利用三棱锥体积等积变形可简化此不必要的麻烦. 其思路和原理如下：如图2.5—8.设PA 是平面α的斜线，PB 为平面α的垂线段，其长为h ，则θ为PA 与平面α所成的角.由于sin θ= hPA .一般地PA 之长往往是已知的，因此要求出sin θ就只需要求出点P 到平面α的距离h 即可.这里的h 值可通过三棱锥体积等积变形得到.例5.如图2.5—9所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900.AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. (1)求证：CD ⊥平面PAC.(2)求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值. 解:(1)在直角梯形ABCD 中，∵ ∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC ， 取AD 的中点E ，联结CE ，知四边形ABCE 是正方形，又∵ AD=2a ，∴ CE=ED ，即∠ECD=450，∴ AC ⊥CD. ∵ PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴ CD ⊥PA ，又∵ PA∩AC=C ， PA 、AC ⊂平面PAC ，∴ CD ⊥平面PAC. (2)法1.设点A 到平面PCD 的距离为h ，直线AD 与平面PCD 所成角为θ，则有ADh =θsin .∵ .36,21312131a h CD AC PA CD PC h V V ACD P PCD A =⇒⨯⋅⋅⋅=⨯⋅⋅⋅⇒=，——又∵ AD=2a ，∴66sin ==AD h θ.即直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值为66.法2.由(1)知，平面PAC ⊥平面PDC ，平面PA C ∩平面PDC=PC ，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PDC ，联结DH ，知∠ADH 为直线AD 与平面PCD 所成角. 在Rt △PAC 中，AC=,2a PA=a ，PC=,3a 由Rt △PAC 的面积等积变形得， AH=36a . 又∵ AD=2a ，∴ 66sin ==AD h θ.即AD 与面PCD 所成角的正弦值为66.【一个结论的应用】结论：若平面α的一条斜线PA 与平面α内∠BAC 的两边BA 、BC 所成的角相等，则PA 在平面α上的射影为∠BAC 的角平分线 .例6.(1)有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点B 的东北方向.灯光与地面成600角，求灯光与岸边所成角的余弦值.(2)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB ，C 1D 1的中点，求直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的余弦值.解:(1)如图2.5—10(1).由已知，∠DBA=ϕ1=600， ∠ABC=ϕ2=450，∠DBC=θ，由三余弦公式得，cosθ=cos450·cos600= √24， ∴ 灯光与岸边所成角的余弦值为 √24.图2.5—9B P ACD EHPA θB 图2.5—8αD BCA东图2.5—10(1)ABC DB 1C 1D 1A 1FE图2.5—10(2)(2) 如图2.5—10(2).∵ A 1B 1与A 1E 、A 1F 所成角∠B 1A 1E=∠B 1A 1F ，∴ 直线A 1B 1在平面A 1ECF 上的射影为∠FA 1E 的平分线. 又由已知可推得四边形A 1ECF 为菱形，∴∠FA 1E 的平分线为A 1C. ∵ cos ∠B 1A 1E=sin ∠AA 1E= AEA1E=√55，由余弦定理可得cos ∠CA 1E=√155. 设直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角为ϕ1，由三余弦公式得cos ϕ1= √33. ∴ 直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角的余弦值为 √33.注：(2)也可以联结B 1C ，由上述分析知，直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角为∠B 1A 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，易求得cos ∠B 1A 1C = √33.想一想②:1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，则EF 与平面AA 1C 1C 所成的角为( ). 2.如图2.5—11.空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直， ∠PBA=450,∠PBC=600.则cos ∠ABC=( ).3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为( ).4.求例5中PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【二面角】二面角的计算是三类空间角计算中的难点，解决它的关键在于合理、有效地找出二面角的平面角，常用的方法有如下几种：1.直接法——⎪⎩⎪⎨⎧.)(中线作出平面角利用等腰三角形底边的面角；利用作棱的垂面作出平定理作出平面角；或逆利用三垂线 2.间接法——利用面积的射影定理. 对于无棱的二面角(只给出了两个半平面的一个公共点)，则要先确定棱的位置. 二面角的取值范围为θ∈[0，π].例7.(1)如图2.5—12(1). PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC=a ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值.(2)如图2.5—12(2).已知二面角α－AB －β为1200，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝BD ＝a ，求CD 的长为.解:(1)法1(三垂线定理法).∵ PC ⊥平面ABC, ∴ 平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC.作BD ⊥AC 于点D ，据面面垂直性质定理知BD ⊥平面PAC ，作DE ⊥PA 于E ，连BE ，由三垂线定理，得BE ⊥PA ，从而∠BED 是二面角B －PA －C 的平面角.设PC ＝a ，依题意知三角形ABC 是边长为aPA BC图2.5—11 图2.5—12(1)P ABCDE图2.5—12(2)的正三角形，∴ D 是AC 的中点且BD=√32a ，∵ PC =CA=a ，∠PCA=900， ∴ ∠PAC ＝450. 在Rt △DEA 中，ED=ADsin450= √24a ， ∴ tan ∠BED= BD ED =√6， 即二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6. 法2.(面积的射影定理法).同法1，作BD ⊥AC 于点D ，可知BD ⊥平面PAC ，∴ 三角形ABP 在平面PAC 上的射影为三角形PDA.设所求二面角为θ，则cos θ=S∆PAD S ∆PBA . 由已知易求得PB=PA=√2a ， AB=a ，PC=PA=a ，∴ S ∆PDC =12S ∆PAC =14a 2，S ∆PAB =√74a 2，因此cos θ=S ∆PAD S ∆PBA= √77，从而可得二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6.(2)在平面β内，作AD′∥BD ，连DD′，则DD′∥AB. ∵ AC ⊥AB ，D′A ⊥AB ，∴ ∠D′AC 为二面角α－AB －β的平面角， 即∠D′AC ＝120°.∵ AB ＝AC ＝BD ＝a ，∴ CD′＝3a ，又AB ⊥平面ACD′，DD′∥AB ， ∴ DD′⊥平面ACD′，∴ DD′⊥D′C ，又 DD′＝a ，∴ CD ＝DD′2＋D′C 2＝2a.例8.(1)如图2.5—13(1).在600二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离.(2)如图2.5—13(2).正方体AC 1的棱长为a ，求二面角D —A1B —C 的余弦值.解:(1)设PA 、PB 分别为点P 到平面M 、N 的距离，过PA 、PB 作平面α，分别交M 、N于AQ 、BQ.(相当于作棱的垂面). ∵ PA ⊥M ，a ⊂M ，∴ PA ⊥a. 同理，有PB ⊥a ， ∵ PA∩PB=P ，PA 、PB ⊂平面PAQB ， ∴ a ⊥平面PAQB 于Q.又 AQ 、BQ ⊂平面PAQB ，∴ a ⊥AQ ，a ⊥BQ. 即 ∠AQB 是二面角M －a －N 的平面角. ∴ ∠AQB ＝60°.联结PQ ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有∠PAQ ＝∠PBQ=90°，∴ P 、A 、Q 、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R. 在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA ＝120°，由余弦定理得，AB=√7. 由正弦定理：PQ=2R=.3212237sin ==∠APBAB(2)取A 1B 的中点E ，过点E 作EF ∥BC 交A 1C 与F ，联结DF 、DE.在正方体AC 1中易知 BC ⊥A 1B ，∵ EF ∥BC ∴ EF ⊥A 1B ，又∵A 1D=DB ，E 为A 1B 的中点，∴ EF ⊥A 1B ，因此∠DEF 为二面角D —A 1B —C 的平面角. ∵ DE= √32A 1B = √6a2，EF= BC 2=a2，DF=A 1C 2=√32a.由余弦定理可得，cos ∠DEF=√63.即二面角D —A1B —C 的余弦值为√63.想一想③:1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成二面角的平面角的余弦值PN ABQMa 图2.5—13(1)A BC DA 1B 1C 1D 1图2.5—13(2) EF2.自二面角内的一点到两个平面的距离都是6cm ，两个垂足间的距离也是6cm ，求此二面角的度数.3.在四面体ABCD 中，AC=AB=BC=1，CD=BD=√132，AD=3.求二面角A—BC—D 的余弦值.例9.长方体ADCD—A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，过对角线AC 1的一个截面是锐角为α的菱形，若底面与截面AEC 1F 成θ角，求证：cos θ=tan α2.证法1:如图2.5—14.联结AC 、BD. ∵ 过对角线AC 1的一个截面是菱形，由长方体的特性知， BD ∥EF ，且EF=BD. 由线面平行的判定定理知BD ∥截面AEC 1F ，再由线面 平行的性质定理知BD ∥过点A 的直线l . 其中l 为平面ABCD 与截面AEC 1F 的交线，即下底面与截面所成二面角的棱为直线l .∵ AC 1⊥EF ，AC ⊥BD ，∴ AC ⊥l ，AC 1⊥l ，即∠C 1AC 为底面与截面AEC 1F 所成角，即 ∠C 1AC=θ，∵ cos θ= ACA 1C ，tan α2=EF AC 1=BD AC 1=ACAC 1，∴ cos θ=tan α2.证法2.设底面与截面AEC 1F 成θ角，由面积射影定理知，cosθ=S ∆BCDS ∆EC 1E=BD×AC EF×AC 1=AC AC 1. 下同法1.略.例10.如图2.5—15.在△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a.求二面角A －SC －B 的余弦值. 解: ∵ SA ⊥平面ABC ，SA 平面SAC ，∴ 平面SAC ⊥平面ABC. 过点B 作BD ⊥AC 于D ，平面SAC 平面∩ABC=AC ， ∴ BD ⊥平面SAC ，联结SD. 设二面角A －SC －B=θ， ∵ SA ＝AC ＝a ，∠ACB ＝600，BC ⊥SB ，∴ BC=a2，CD =BC 2=a4，SB=√7a2，∴ cos θ=S ∆SDC S ∆SBC=SA×CD SB×BC=√77. 即二面角A －SC －B的余弦值为√77.想一想④:如图2.5—16所示.在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. 求:(1)二面角P—CD—A 的余弦值.(2)平面PCD 与平面PAB 所成二面角的余弦值.【线面角、二面角的一个统一求法】如图2.5—17，设平面α的斜线PA 与平面α所成的角为θ，点P 到平面α的距离为h ，则 有， sin θ=hPA . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得.图2.5—16BPA C DABCS图2.5—15D 图2.5—14 A BC A 1B 1C 1D 1DFE l如图2.5—18.在平面β内取一点P ，过点P 作PA ⊥平面α于A ，过点A 作AB ⊥l 于B ，联结PB ，由三垂线定理易知∠PBA =θ为二面角α—l —β的平面角(或补角)，设点P 到平面α的距离为h ，则有，sin θ=hPB . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得，PB 为点P 到棱l 的距离，可通过三角形面积等积变形求得.这样一来，求线面角和二面角的问题可统一为，先利用三棱锥的体积等积变形求出点面距h ，再由已知或利用三角形面积等积变形求出点线距，从而易得所成角的正弦值.例11.如图2.5—19.在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA=4，AC=2√3，BD=2.又点E 在侧棱PC 上，且PC ⊥平面BDE. (1)求线段CE 的长.(2)且二面角A —PD —C 的余弦值.解:(1)设AC ∩BD =O ，联结OE ，由已知条件易得PC=2√7.∵ PC ⊥平面BDE ，∴ OE ⊥PC.在Rt ∆PAC 和Rt∆OEC 中， cos ∠OCE=ECOC =ACPC ，⇒EC =3√77.(2)由已知可求得菱形的边长为2，PD=2√5. 设点A 到平面PDC 的距离为h ，点A 到二面角A —PD —C 的棱PD 距离为d ，二面角A —PD —C 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=hd . 在∆PDC 中，S ∆PDC =12DP ×DC ×sin∠PDC =12DP ×DC ×√1−cos 2∠PDC =√19，∵ V A—PDC = V P—ADC ，可求得h=4√5719，又在∆PAD 中利用面积等积变形可得d=4√55， ∴ sin θ=hd =√15√19，∵ 二面角A —PD —C 是钝二面角，故二面角A —PD —C 的余弦值为-2√1919.例12.如图2.5—20.四棱锥P —ABCD 的底面是一个边长为4的菱形，其中∠ADC=600，顶点在底面上的射影恰好为AD 的中点E ，若PA=√7. (1)求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值.(2)求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值.解:(1)设点B 到平面PAD 的距离为h ，直线PB 与平面PAD 所成角为θ，则sin θ=hPB ..∵ PE ⊥平面ABCD ，且E 为AD 的中点，由PA=√7，AD=4，∴ PE=√3. 又∵ V B—PAD = V P—BAD ，得 h =PE×S ∆ABDS ∆APD=2√3，在∆AEB 中，由余弦定理得EB=2√7，再由勾股定理得PB=√31， ∴ sin θ=hPB =2√3√31=2√9331. 即直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为2√9331. (2)设平面PBC 与平面PAD 所成二面角为α，点C 到平面PAD 的距离为h ，点C 到二面角的棱l 的距离为h 1，则 ，sin α=hh 1. ∵ BC ∥AD ，由线面平行的判定和性质知，平面PBC 与平面PAD 的交线l ∥BC ，∴ h 1为∆P CB 的底边BC 边上的高.由AD ⊥平面PEC ，知AD ⊥PC ，又∵ AD ∥BC ，∴ BC ⊥PC ，即h 1=PC.联结CE 、AC 由已知易得∆ACD 为αP A Bθh图2.5—17αP A h 图2.5—18Bθ βlP AEBCD l图2.5—20.PDECBA 图2.5—19.O正三角形，∴ PC=√PE 2+EC 2=√15，由BC ∥平面PAD 和(1)知h=2√3， ∴ sin α=h h 1=2√55，故平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值为2√55.例13.如图2.5—21，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，且PA=PD=√22AD ，在线段AB 上是否存在一点G ，使二面角C —PD —G 的正弦值为2√23，说明理由. 解：取AD 的中点E ，联结PE 、CE ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA=PD= √22AD ， ∴ PD ⊥AB ，DP ⊥平面PAB ，从而可得，DP ⊥P G ，EC=√5， PC=√6， PA =PD =√2，PE =1.设AG=a ，点G 到平面PDC 的距离为h ，二面角C —PD —G 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=h PG.由V G—PDC = V P—DGC ，得 h =S ∆DGCS ∆PDC=√2，又∵ PG=√2+a 2，∴ sin θ=hPG =√2√2+a 2=2√23，⇒a =12. 故存在点G 满足题设条件，且AG= 12.想一想⑤:在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 、O 分别在棱CD 、BC 、CC 1上，且CM=CN=OC 1， 当OM 与平面ABCD 所成角的余弦值为√22时，求二面角N —MO —C 的余弦值.(请用多种方法)习题2.51.四面体ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN 和BD 所成角的正切值为( ).2.在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，则BE 与CD 所成角的余弦值是( ).3.正三棱柱的九条棱都相等，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点. 则MN 与CC 1所成角的余弦值是( ).4.不共面的三条射线OA 、O1B 、OC 两两成600的角，则OC 与平面AOB 所成角的余弦值为( ).5.正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°，则BD 1和底面ABCD 所成的角为( ). A.30°. B.60°. C.45°. D.90°.6.设P 是边长为1的正△ABC 所在平面外一点，且PA=PB=PC= 23，那么PC 与平面ABC 所成的角为( ). A.30°. B.45°. C.60° D.90°.7.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值.(要求用三种不同的方法).8.已知ABCD 是正方形，PB 平面ABCD ，PB=AB=1，求二面角A —PD —C 的大小.9.如图2.5—22.空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ， ∠ACB=90o，求二面角B -PC -A 的余弦值.10.在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与PBα CAE F D图2.5—22 图2.5—21PDAB ECG平面PDC 所成二面角的大小.11.设M 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 1与底面ABCD 所成的二面角的余弦值. 12.AC ⊂α，BD ⊂β，α与β所成的角为600，AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，求A 、B 两点间的距离.【参考答案】想一想①:1. 45°.2.1015.提示，法1.联结D 1F 1，过F 1作F 1M ∥BD 1角BC 与M.法2.在左侧面“拼”一个相同的三棱柱. 3..2222222cb a b a b a ++⋅+-利用三余弦公式，联结AC 、BD 交于O ，其中AC C 11∠=ϕ，COB ∠=2ϕ. 想一想②:1.300.提示，相当于求A 1B 平面AA 1C 1C 所成的角.2.√24.换个角度画图.由已知知CP ⊥平面PBA.∠ABC=θ,∠PBA=450=φ1,∠PBC=600=φ2.由三余弦公式可得.3.√26.直接法或等积变形. V E—ACC 1= V C 1—ACE . 4. √26.等积变形. V B—PCD = V P—BCD .想一想③:1.13.法1.过一个顶点作对面的垂线，由三垂线定理得到二面角的平面角，再求之. 法2.利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角. 法3.利用面积的射影定理亦可求解. 2.1200.仿例8(1)作棱的垂面求解. 3.−√74. 利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角.想一想④:(1) √63.法1.联结AC ，先证CD ⊥平面PAC.可知∠PCA 为平面角，再计算. 法2.利用面积的射影定理求.(cos θ=S∆ACD S ∆PCD).(2) √66.法1.延长DC 交AB 于点E ，则PE 为二面角的棱.再用直接法求之.法2. 利用面积的射影定理求. (cos θ=S∆PAB S ∆PCD).想一想⑤: √33. 习题2.51. 43.. 2. √75. 3.2√55. 4. √33.利用三余弦公式. 5.C. 6.A. 7. √558.1200.注意到∆PCD ≌∆PAD ，过点C 作CE ⊥PD,联结AE,则AE ⊥PD ，∴ ∠AEC 为二面角 A —PD —C 的平面角，利用直角三角形PCD 面积等积变形可求得CE=AE=√63下略.9.13.提示：在射线CP上取点D，作平面DEF ⊥CP.即棱的垂面.10.450.法1.∵ CD∥AB,由线面平行的判断和性质可推得二面角的棱为过点P且平行于AB的直线，又∵ AB⊥平面PAD，可知∠APD为二面角的平面角.法2.利用面积的射影定理. cosθ=S∆PABS∆PCD11.√63.利用面面平行的性质可知过三点B、M、D1的截面如图D2.5—1所示.此二面角的棱l为过点B且MN∥l∥AC的直线.也可用面积的射影定理求.12.√17.仿例7(2)的方法求解.A BCDA1B1C1D1图D2.5—1NM11。
巧用三射线定理求解空间角度问题
巧用"三射线定理”求解空间角度问题巧用“三射线定理”求解空间角度问题数学组：石胜军立体几何试卷中常遇有空间角度计算问题：求异面直线所成的角、求直线与平面所成的角、求平面与平面所成的角等，这是学生们普遍感觉较为困难的一类问题. 这类问题有两种常用的求解方法：一是通过作图，找出并证明问题所涉及到的对应角，然后利用平面几何知识或三角函数知识求出这一角度的值；二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算去求角•本文不打算在这两种固定不变的思路上做文章，而是意图通过介绍一个定理，利用数道例题，来给出用于求解空间角度问题的另外一种手段，以期能帮助激发同学们的求异与创新思维.1三射线定理及其证明从空间一点P任意引三条不共面的射线PA、PB、PC,设/ BPC「•，/ CPA=1 ,■ APB ，且二面角A —PC —B 为二，贝U 二cos ： cos.亠sin ： sin : cos^ . ..（1）面角A - PB - C为〉，则cos 1=cos t cos sin 二sin cos「 (2)面角B - AP -C 为、：，则cos r=cos ： cos sin : sin cos、 (3)证明（1）式：如图1，已知PA、PB、PC是这样的三条射线，不妨设BC丄PC于C, AC丄PC,则乙ACB即为二面角 A —PC—B的平面角，••• . ACB »,设PA = a, PB = b , PC二c , AC = m , BC = n, ABc n在Rt . ：BPC 中，有cos , sin :■b同理在Rt ACPA中，有cos '■2■ a 而在■ : APB中，有cosb22ab2 . 2 _ 2在：ACB 中，有COS： - - n ~P ,2mnc c n •cos： cos ： sin ： sin : cos-b a b m2n2p 2mn2 2 2 2_ j . m n _ p ab2ab 2 2 2 22c m n pab而c2二a2「m2二b2 2 2 2.2〜n , • 2c a b-m2-n2,代入上式即得巧用"三射线定理”求解空间角度问题COS图4巧用"三射线定理”求解空间角度问题中学数学教材没有直接介绍三射线定理，而仅仅介绍了三射线定理的特例：如图2,已知AP 是平面M 的斜线，P 是斜足，AC 垂直于平面 M , C 为垂足，设PB 是平面M内的任意一条直线，且 BC 丄PB ，垂足为B ,若PB 与PC 所成的角为：•，PA 与PC 所成的角为［，而PA 与PB 所成的角为 ，则有cos = COS 二 COS ：此时的三射线还是 PA 、PB 、PC ,但是附加有条件平 面PAC 丄平面 PBC ,.••二面角 A — PC — B 的大小v -'2将COST - cos 0代入三射线定理即得2C 0 歹 cos ..为叙述方便起见，在下文中，我们将把由三条射线两 两形成的三个角都称之为做对应于的某条射线的“面角”.如图1中的.BPC 我们将其称之为对应于射线PA 的一个“面角”；图2中的.APB 我们将其称为对应于射线 PC 的一个“面角”等•因此，三射线定理也被称为三面角的余弦定理， 常被记为COST -曲 Y°s： COS-sina sin P的形式。
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空间角定理
空间角定理是指在三维空间中，两个直线之间的夹角可以通过它们在平面上的投影以及它们在空间中的夹角来求得。
这个定理是空间几何中非常重要的定理之一，可以用在很多不同的数学和物理问题中。
首先，我们来看一下这个定理的几何图像。
假设有两个非平行的直线AB和CD，它们在空间中的夹角为α。
我们将这两个直线在一个平面上的投影分别表示为A'B'和C'D'，它们在平面上的夹角为β。
那么空间角定理告诉我们，这两个夹角之间有一个关系式：
cos(α) = cos(β)cos(γ) +
sin(β)sin(γ)cos(δ)
其中，γ表示A'B'和C'D'的夹角，δ表示这两条直线所在的两个平面的夹角。
这个公式可以用于计算任意两条直线之间的夹角，只需要知道它们在平面上的投影和它们在空间中的夹角即可。
空间角定理的推导可以通过向量的方法进行，它的基本思想是将直线的方向向量表示为一个向量，然后通过向量的点积和叉积来计算夹角。
这个方法虽然比较抽象，但是它的推导过程非常严密，也是空间向量运算的基础之一。
除了可以用于计算直线夹角之外，空间角定理还可以用于解决其他几何问题。
例如，我们可以利用它来计算球体的表面积和体积。
对于一个球体，我们可以将它切割成很多小块，然后计算每一小块的表面积和体积，并将它们加起来得到最终的结果。
在这个过程中，我们需要用到空间角定理来计算每一小块的表面积和体积。
空间角定理在物理学中也有广泛的应用。
例如，在电场和磁场的相互作用中，我们可以用它来计算两个电荷或者两个磁极之间的力和力矩。
在开发物理学理论和设计物理实验时，空间角定理也常常被用到。
总之，空间角定理是空间几何中非常重要的一个定理，它可以用于计算直线之间的夹角，解决球体表面积和体积的问题，以及在物理学中的应用等等。
对于那些热爱数学和物理的人来说，学习空间角定理是非常值得的。