数学与应用数学毕业论文——正交矩阵及其应用
正交矩阵的作用
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义.一.正交矩阵的定义及性质(一)正交矩阵的定义定义1n阶实矩阵A，若满足A A E'=，则称A为正交矩阵.定义2n阶实矩阵A，若满足AA E'=，则称A为正交矩阵.定义3 n阶实矩阵A，若满足1'=，则称A为正交矩A A-阵.定义4n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵.以上四个定义是等价定义.(二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A'=，即ijijaA =； 当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ijijaA =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A-'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1AA AA-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ija A =当1A =-时，*A A '=-，即ij ija A =-所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A-'=，1B B -'= 可知111()()AB B A B AAB ---'''===故A B 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>，,jiw w c d ss==，则称n 阶矩阵11ij cdi T d c j i j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ijT ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ijT 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质：〈1〉ijT 是正交矩阵；〈2〉设12(,,,)ij n T Wu u u '=则有 ,0,(,)ij k k us u u w k i j ===≠；〈3〉用ijT 左乘任一矩阵A ，ijT A 只改变A 的第i 行和j 行元素（用ijT 右乘任一矩阵A ，A ijT 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c ds++== ，故i j i j T T E '=，ijT 是正交矩阵.〈2〉由ijT 的定义知，用ijT 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ijT 左乘W ，使ijT W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.22jii i j w w u cw dw sss=+=+=引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ijn n A a⨯=，可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P P P P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P P P P = nE -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩阵.E -1111n n⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使RP S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1）由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11即ER R =' （2）设R =11121222n nnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其iir >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n nnn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1n E P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ； <2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -.记(1,2,,)ii P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2设()ij n m R A a A m A P O ⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P是n阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得： 定理2 设()ijn m A aA m⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A P P P R R P P A O O ⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令，<2>当1-=P时，112r n R A P P P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，……，12m mm nm a a a α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m mm n n nm a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ijn m A a⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,r P P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４）且),,,(21r P P P P P E='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P P P -''''''''∴==（５）由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ijn m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基.显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用. 例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝002200220010001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,T=1000100000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=100001001002210022⎛⎫⎪ - ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=00111002311110002222⎛⎫-⎪⎪⎪--⎪⎪⎪⎪---⎪⎪----⎪⎝⎭则0011211112222P⎛⎫-⎪⎪⎪--⎪⎪'=⎪⎪---⎪⎪----⎪⎝⎭，12121210022P⎛⎫----⎪⎪⎪---⎪⎪=⎪--⎪⎪⎪-⎪⎝⎭取1P⎛-⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭，21P⎛--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭，312P⎛--=-⎪⎪⎝⎭则321,,PPP就是由,,,,32ααα得到的3V的一组标准正交基.(二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n阶正交矩阵作成的集合，记为()nO，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie群.(1)()nO构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3oℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足： 1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2ost G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ； 3ost G aG a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ；则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的乘法运算 u ：G ⨯G →G ；求逆运算 v ： G →G；是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间.〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群.〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ija 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2nE，也就是将A =()ija对应于2n E 的点111212122231(,,,,,,,,,,)nnn n a a a aa a a a .ℜ是点集2nE 的子集族，则2nE和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o)(,,n O C B A ∈∀由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o stO E n n,)(∈∃AAE A E O A n n n ==∈∀,)(3ostA AO A n ,,1)('=∃∈∀-E A A AAA A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：MM M⨯→设(),()ijij A aB b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M 具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M Eπ→，将矩阵A映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m MM M Eπ⨯→→，将A 和B的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ijmπ连续，投影映射ijπ是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A-∀∈=.由于合成映射1()():ij n n fO O Eπ→→，将()n A O∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*AA A'=，所以ji jiA a A=，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A≠，所以ijfπ为连续的，而投影映射ijπ为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群.（2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析 流形，且映射11212(,)gg g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2nE 的点1112121231(,,,,,,)n n nn aa a a a a a α ，M可作为2n维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素111212123,,,,,,nnn na a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M 的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2nE 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nijkj ik j ab δ==∑ 1,i kn ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E→ A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集1(0)ikf - 1,i k n ≤≤ i k ≠1(1)iif - 1i n≤≤由于(1,)ikfi k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ijj a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A BX= 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E→是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为 ()()n n SOS O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.(三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nkk ii i cφφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，kφ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k kn φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()kl d k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nkii i nik c c c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4C H 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442xyzsa pb pc dp a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 2222x y zs p p p A φφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、dφ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a aaa +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值)因为是等性杂化轨道.222211213141a aaa ===222211121314a a a a +++=1∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++=22222223241()12a aa+++= 222324a a a ==∴取符合条件的2212a =，2312a=，2412a=32333411111022222a a a ⨯+++=22322333243411022a a a a a a ⨯+++=即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=-3334a a =-取3312a =，3412a=-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-=4212a∴=-4312a =-4412a =-111122*********21111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴=⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y z a s p p p φφφφφ=+++ 22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+-- 22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+- 22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵.根据等性杂化理论 2211211a a +=，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=22220,a a =∴=-11A ⎫⎪⎪∴=- sp∴杂化轨道式为：1221)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=-(四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,bb b 是常数.对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''''''''''''==++⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵T A z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111 现在取（1()r t '1()r t '' 1()r t ''' ）=（()r t '()r t ''()r t '''） 来讨论，而（1()r t '1()r t '' 1()r t ''' ）=-（()r t '()r t ''()r t ''' ）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x z x x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6）因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ijija A =且由1(,1,2,3)nji kj jki A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAAy z ''++''''+21122221222311()z x AAAz x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t KK r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院徐仲等编《矩阵论》西北工业大学出版社2001.3 160~164页[2]赵成大等《物质结构》人民教育出版社1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵及其在数学建模中的应用
正交矩阵及其在数学建模中的应用正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行（或每一列）互相垂直且归一化。
其数学特性和应用十分广泛，在数学建模中也有重要的应用。
首先，我们来看一下正交矩阵的基本概念和性质。
正交矩阵的定义是满足 $A A^T = A^T A = I$ 的方阵$A$，其中 $I$ 是单位矩阵。
其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
这里需要注意的是，正交矩阵不一定是方阵，但是一定是列满秩的。
正交矩阵有一个重要的性质是保持向量的模长和内积不变。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 和 $y$ 是$n$ 维向量，则有 $||Ax|| = ||x||$ 和 $<Ax, Ay> = <x, y>$。
这个性质在数学和物理中有广泛的应用。
正交矩阵在数学中有很多重要的应用。
其中一个是它可以用来描述旋转操作。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 是 $n$ 维向量，则 $Ax$ 可以看做将向量 $x$ 绕某个轴旋转一个角度后得到的向量。
这个在三维几何中有着非常广泛的应用。
另一个重要的应用是在信号处理中。
通常情况下，我们需要对信号进行傅里叶变换以提取频率信息。
然而，傅里叶变换只适用于周期性信号，而实际上很多信号并不是周期性的。
因此，我们需要寻找一种方法将非周期性信号转化为周期性信号来进行傅里叶变换。
正交矩阵可以作为一种有效的转换方式，在信号处理中得到广泛的应用。
除此之外，正交矩阵还在机器学习和图像处理中有不少应用。
例如，PCA算法（主成分分析）中利用的就是正交矩阵的性质。
在图像处理中，通过对图像进行奇异值分解并将其分解为正交矩阵和奇异值矩阵，我们可以实现对图像的压缩和降噪等效果。
综上所述，正交矩阵作为一种重要的数学工具，在不同领域中都有广泛的应用。
不仅能够描述旋转操作，还能够用来处理非周期性信号、实现图像压缩和降噪等效果。
标准正交矩阵
标准正交矩阵在线性代数中，正交矩阵是一种非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在物理、工程等应用领域也有着广泛的应用。
本文将对标准正交矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、应用等方面的内容。
首先，我们来看一下标准正交矩阵的定义。
一个n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果它满足下面的条件，A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^(-1)，即A^T·A=I，其中I是n阶单位矩阵。
另外，如果A的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0），那么A也被称为标准正交矩阵。
标准正交矩阵具有一些重要的性质。
首先，它的行列式的值为1或-1，这是因为A^T·A=I，所以|A^T|·|A|=|I|=1，因此|A|^2=1，所以|A|=1或-1。
其次，标准正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵，即A^(-1)=A^T。
另外，标准正交矩阵的行（或列）向量构成一个标准正交基，这对于解决线性方程组、求解特征值等问题非常有用。
标准正交矩阵在实际中有着广泛的应用。
在几何学中，标准正交矩阵可以表示旋转、反射等刚体运动，它可以保持向量的长度和夹角不变。
在信号处理中，标准正交矩阵可以用来进行正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换等。
在密码学中，标准正交矩阵也有着重要的应用，如Hadamard矩阵就是一种特殊的标准正交矩阵，它被广泛应用于分组密码算法中。
总之，标准正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过对标准正交矩阵的深入理解，可以帮助我们更好地理解线性代数的知识，同时也可以为我们在实际问题中的应用提供有力的工具。
希望本文对读者对标准正交矩阵有所帮助，也希望读者能够进一步深入学习和探讨这一重要的数学概念。
正交矩阵在统计中的作用
正交矩阵在统计中的作用
正交矩阵在统计中是一种重要的数据处理工具，它可以帮助研究者从数据中提取有用的信息。
它可用于多种统计方法，如回归分析，协方差分析和多元分析等，为研究者提供了许多有用的工具来提取有效的信息。
正交矩阵是一种类似于矩阵的数据结构，可以把一系列变量进行相互关联，使用它可以把多个变量组合成一个新的变量，比如说可以将几个变量分成几组，每组中的变量都是正交的，即它们的关系不会互相干扰，这样就可以更好地分析原始变量之间的关系。
正交矩阵可以用于数据缩放，可以把原始数据映射到一个新的空间中，通过对数据进行新的处理，可以更好地分析数据之间的关系，正如此，它可以更好地帮助我们探索和发现隐藏的信息。
正交矩阵也可以用于数据维度的减少，它可以将原始数据集包含的特征减少，减少了特征之间的相关性，降低了数据中的噪声，使数据更加简洁，易于分析。
正交矩阵还可以用于构建多元回归模型，可以把多个变量组合起来，形成多元回归模型，更好地探索变量之间的关系，更加准确地预测结果。
正交矩阵在实际应用中也有很多作用，比如它可以用于特征选择，把多个变量中的有用信息从中提取出来，提高分析的准确性和效率，还可以用于降维，将高维数据降至低维，提高分析的效率。
总之，正交矩阵在统计学中是一种重要的数据处理工具，它可以用于数据预处理，特征筛选，多元回归模型构建等，可以帮助研究者从数据中提取有用的信息，从而更好地分析数据，探索变量之间的关系。
正定矩阵和正交矩阵
正定矩阵和正交矩阵
正定矩阵和正交矩阵是线性代数中两种非常重要的矩阵。
它们各有自己的特性与应用，理解这两种矩阵、掌握它们的性质对于深入学习线性代数及其在实际问题中的应用都十分关键。
首先，我们来谈谈正定矩阵。
正定矩阵是一种常见的实对称矩阵。
如果实对称矩阵的所有特征值都大于0，则称该矩阵为正定矩阵。
正定矩阵在实际应用中起到了非常重要的作用，如在优化理论、函数空间、平方和表达式等领域都有广泛运用。
同时，性质善良的正定矩阵在确定系统稳定性、信号处理等领域也是无可替代的重要工具。
然后，我们来看看正交矩阵。
正交矩阵是一个元素为实数或复数的矩阵，它满足自身的转置矩阵等于其逆矩阵的性质，即它的列向量和行向量都是单位长度且两两正交，可以视作是把基向量旋转或翻转到新的位置，但这个过程不改变向量的长度或形状。
正交矩阵在许多数学和物理问题中都有极其重要的应用，像线性方程组求解、线性变换等等。
综合来看，正定矩阵和正交矩阵都是线性代数中十分重要的概念，它们不仅在理论上有重大意义，而且在众多实际问题中都起到了不可忽视的作用。
由此可见，对这两种矩阵有深入的理解，可以让人们更好地理解和处理许多实际问题。
正交矩阵的性质及其应用 2
学号 20090501050227密级兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：苏志升指导教师：宋雪梅二○一三年五月BACHELOR’S DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYProperties and Applications of OrthogonalMatrixCollege ：Mathematics CollegeSubject ：Mathematics and Applied MathematicsName ：Su ZhishengDirected by ：S ong XuemeiMay 2013郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。
尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。
本学位论文的知识产权归属于培养单位。
本人签名：日期：摘要本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。
研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。
关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用ABSTRACTOrthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix.Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.目录第一章引言 (1)第二章正交矩阵及其性质 (2)2.1 正交矩阵的定义 (2)2.2 正交矩阵的性质 (2)2.3 正交矩阵的判定 (7)第三章正交矩阵的应用 (12)结论......................................................................................................... 错误！未定义书签。
标准正交矩阵
标准正交矩阵标准正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
本文将对标准正交矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、以及其在实际中的应用等方面。
首先，我们来看一下标准正交矩阵的定义。
在数学中，一个实数的正交矩阵是一个满足以下条件的矩阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即满足$A^T=A^{-1}$。
同时，正交矩阵的列向量是两两正交的，即它们的内积为0，且列向量的模为1。
这样的矩阵在矩阵乘法下保持向量的长度和角度不变，因此在几何变换中有着重要的作用。
接下来，我们来看一下标准正交矩阵的性质。
首先，正交矩阵的行向量和列向量都是标准正交的，即它们满足单位长度和两两正交的性质。
其次，正交矩阵的行列式的值为1或-1，这意味着正交矩阵是一个保持体积不变的线性变换。
此外，正交矩阵是可逆的，因为其转置矩阵就是其逆矩阵。
最后，正交矩阵的特征值的模长都为1，这使得它在特征分解中有着特殊的性质。
除了上述的性质外，标准正交矩阵还有许多重要的应用。
在计算机图形学中，正交矩阵常常用来表示旋转、缩放和平移等几何变换，它可以保持图形的形状和大小不变。
在量子力学中，正交矩阵常常用来表示旋转和波函数的变换，它在描述粒子的运动和相互作用中起着重要的作用。
在信号处理中，正交矩阵常常用来表示正交变换，例如傅里叶变换和小波变换等，它可以将信号分解成不同频率的分量，方便分析和处理。
总之，标准正交矩阵是线性代数中一个重要且有着广泛应用的概念。
它具有许多重要的性质，可以在几何变换、量子力学、信号处理等领域发挥重要作用。
因此，对于标准正交矩阵的深入理解和应用，对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用标准正交矩阵的相关知识。
正交矩阵的性质及其应用
正交矩阵的性质及其应用正交矩阵是矩阵理论中一类非常重要的矩阵，它拥有许多优良的性质，并且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将针对正交矩阵的性质及其应用展开详细的讨论。
正交矩阵的定义正交矩阵是指一个方阵，满足其转置矩阵和其自身的乘积等于单位矩阵。
即：$A^TA=I$其中，A为正交矩阵，I为单位矩阵。
正交矩阵的性质正交矩阵作为一个特殊的矩阵，具有许多优良的性质：1、正交矩阵的列是一个规范正交基对于一个正交矩阵A，其列向量构成了一个规范正交基。
即，每个列向量都是一个长度为1的向量，且任意两个列向量之间的内积为0。
由于正交矩阵的列是一个规范正交基，因此可以将其用于线性变换。
例如，如果一个向量v乘以一个正交矩阵A，那么就相当于对v进行了一次线性变换，将v从一个坐标系转换到了另一个坐标系。
由于A的列是一个规范正交基，因此该变换可以保持向量的长度和夹角不变。
2、正交矩阵的行也是一个规范正交基和列向量类似，正交矩阵的行向量也构成了一个规范正交基。
具体来说，正交矩阵的每一行都是一个长度为1的向量，且任意两行向量之间的内积为0。
3、正交矩阵是一个保角映射由于正交矩阵会保持向量的长度和夹角不变，因此它是一个保角映射。
即，它保持任意两个向量的夹角不变。
4、正交矩阵的逆等于其转置正交矩阵的逆等于其转置矩阵。
即：$A^{-1}=A^T$这个公式也可以表示为：$AA^T=I$这个公式可以理解为，正交矩阵的行和列构成了一个完整的规范正交基，因此它的逆矩阵和转置矩阵相等。
正交矩阵的应用由于正交矩阵具有这些优良的性质，因此在许多实际应用中都有着广泛的应用。
1、理解相关矩阵的内积对于一个矩阵A和B，可以通过它们的内积来度量它们的相关性。
具体来说，它们的内积等于它们的元素对应相乘后的和。
例如：$A·B=\sum_{i,j}{A_{i,j}B_{i,j}}$如果A和B都是正交矩阵，那么它们的内积就非常有用了。
由于正交矩阵的列都是一个规范正交基，因此它们之间的内积都等于0或1。
正交矩阵概念
正交矩阵概念正交矩阵概念正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将从定义、性质、构造和应用四个方面详细介绍正交矩阵的概念。
一、定义1.1 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由一组数排成若干行若干列的表格形式表示的数学对象。
一个$m\times n$的矩阵$A$可以写成如下形式：$$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：(1) 所有列向量互相垂直；(2) 所有列向量模长为1。
即对于一个$n\times n$的矩阵$Q$，满足以下条件：$$Q^TQ=QQ^T=I_n$$其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵。
二、性质2.1 正交矩阵的性质正交矩阵具有以下性质：(1) 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且互相垂直；(2) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵；(3) 正交矩阵的行列式为$\pm 1$，即$\det(Q)=\pm 1$；(4) 正交矩阵保持向量长度和角度不变，即对于任意向量$x$，有$\|Qx\|=\|x\|$且$\angle(Qx,Qy)=\angle(x,y)$。
2.2 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵如果$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，则它们的乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
证明：由于$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，所以有：$$Q^T=Q_2^TQ_1^T=(QQ)^T=I_n$$因此，乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
正交矩阵与正交变换的性质与应用
正交矩阵与正交变换的性质与应用正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在几何和物理学等领域中具有广泛的应用。
正交矩阵的性质及其在正交变换中的应用使其成为了相关领域中必不可少的工具。
本文将从正交矩阵的定义开始，详细介绍正交矩阵的性质，并讨论其在几何变换以及信号处理领域中的应用。
正交矩阵是一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
用数学符号表示，如果一个方阵A满足A^T * A = I，那么A就是一个正交矩阵，其中A^T表示A的转置，I表示单位矩阵。
正交矩阵具有许多重要的性质。
首先，正交矩阵的逆矩阵是它的转置。
也就是说，对于一个正交矩阵A，A^T * A = A * A^T = I，则A的逆矩阵A^(-1) = A^T。
这一性质使得正交矩阵在求解线性方程组和计算矩阵的逆等问题中非常有用。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一组标准正交基。
这就意味着正交矩阵可以用来描述坐标系的旋转和反射变换。
正交变换是一种保持向量长度和角度不变的变换，它在几何学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，正交矩阵被用来进行三维物体的旋转和放缩操作。
通过将对象的顶点坐标与正交矩阵相乘，可以得到旋转后的新坐标。
正交矩阵在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的计算通常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来加速运算。
而FFT算法的核心思想就是利用正交矩阵的性质，将O(n^2)的计算复杂度降低到O(nlogn)。
此外，正交矩阵还可以用于编码和解码的错误检测和纠正。
在通信系统中，为了保证传输的数据能够正确无误地到达接收端，常常需要使用一些冗余的编码技术。
而正交矩阵的性质使得其在错误检测和纠正方面有着良好的效果。
综上所述，正交矩阵具有重要的性质和广泛的应用。
它不仅可以用来进行几何变换和信号处理，还可以应用于编码和解码等领域。
正交矩阵与其应用毕业论文初稿
本科生毕业设计（论文）正交矩阵与其应用(The orthogonal matrix and its applicalion)学院：专业：学号：学生姓名：指导教师：二〇一年六月正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。
v的长度的平方是2v。
如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。
反过来也成立:正交矩阵蕴涵了正交变换。
但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。
nn⨯正交矩阵形成了一个群，即指示为O的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。
使得它在不同的领域都有()n着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。
本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。
关键词: 正交矩阵;酉矩阵;正交群;正交变换The orthogonal matrix and its applicalion（作者英文名）：WaidyOrthogonal matrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led to the normalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector v. v the length of the square is 2v. If the matrix form of linear transformation Qv maintained vector length, then Therefore finite-dimensional linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. nn⨯orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group,which is indicated ()O,it and its subgroups widely used innmathematics and physical science. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines This article cites the following main three orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix the application of chemistry, orthogonal matrix the application of physics..Key words: orthogonal matrix; unitary matrix; orthogonal group; orthogonal transformation目录1.引言 (1)2. 正交矩阵的定义与其基本性 (1)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2正交矩阵的性质与其证明 (3)3. 正交矩阵的应用 (3)3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 (3)3.2正交矩阵在化学中的应用 (8)3.3正交矩阵在物理学中的应用 (13)参考文献 (15)致谢 (16)附录 (16)正交矩阵与其应用姓名： 学号： 班级：1引言正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
专题正交矩阵的性质及其应用
高等代数资源网 June 25, 2013
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例 3.12 (大连理工04)设V 为4维欧氏空间,σ 为V 的一个正交变换.若σ 无实特征值, 则V 可以分解为σ 的两个正交的不变 子空间的直和. 证明:首先证明若W 是正交变换σ 的不变子空间,则W ⊥ 也是σ 的不变子空间.实际上, 若W = {0},则结论显然成立.下设W ̸= {0},β1 , β2 , · · · , βr 是W 的一组基,由W 是不变子空 间,则σ (β1 ), σ (β2 ), · · · , σ (βr ) ∈ W,于是σ (W ) ⊆ W.而σ 是可逆的,所以σ (β1 ), σ (β2 ), · · · , σ (βr )线 性无关,仍为W 的基.这样W = σ (W ). ∀α ∈ W ⊥ , β ∈ W,由W 是σ 的不变子空间以及W = σ (W ),则存在γ ∈ W,使得σ (γ ) = β,于是 (σ (α), β ) = (σ (α), σ (γ )) = (α, γ ) = 0, 即σ (α) ∈ W ⊥ .所以W 是σ 的不变子空间. 现在证明原问题.由于σ 无实特征值,设u + vi是其一个复特征值,α + βi(α, β ∈ Rn )是对 应的特征向量,则由前题知α, β 正交,从而线性无关,于是W = L(α, β )是V 的2维子空间,且 由前题知W 是σ 的不变子空间,这样 V = W ⊕ W ⊥, 而dimW ⊥ = 2且是σ 的不变子空间. 例 3.13 (大连理工03)设V 是一个n维欧氏空间,σ 是正交变换,在V 的标准正交基下的 矩阵为A,证明: (1)若u + vi为A的一个虚特征根,则存在α, β ∈ V 使得 σα = uα + vβ, σβ = −vα + uβ (2)若A的特征值皆为实数,则V 可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和. (3)(华东师大03)若A的特征值皆为实数,则A为对称阵. 1 例 3.14 设A为n阶正交矩阵,λ为A的一个特征值,则 也是A的特征值. λ ◇※☆■◇◇※☆■◇ 6 高等代数资源网
正交矩阵及其性质-本科毕业论文【范本模板】
本科毕业设计(论文）题目名称：正交矩阵及其性质学院：数学与统计学院专业年级：数学与应用数学学生姓名:班级学号：指导教师：二O一三年五月二十四日摘要正交矩阵是一种常用的特殊矩阵, 在矩阵论中占有重要地位, 有着非常好的性质, 并具有广泛的应用。
本文应用矩阵的行列式，特征值, 秩等概念, 深入研究了正交矩阵的相关性质，并利用这些性质解决实际问题.关键词: 矩阵; 正交矩阵；特征值；行列式; 秩AbstractOrthogonal matrix is a kind of commonly used matrix and plays an important role in matrix theory. Orthogonal matrix has many good properties. It is widely used。
In this paper, we depth study the related properties of orthogonal matrix by applying the concepts of determinant, eigenvalue，rank and so on in matrix，and using these properties solve some practical problems.Kerword：Matrix; Orthogonal matrix；Eigenvalue; Determinant; Rank目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)1.引言 (1)2.正交矩阵的定义及其性质 (1)2。
1正交矩阵的定义 (1)2。
2正交矩阵的性质 (1)3.应用举例 (5)致谢 (7)参考文献 (8)1。
引 言矩阵是数学中一个重要的基本概念, 是代数学的重要研究对象之一。
矩阵是线性代数中的核心内容， 而正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵, 在整个矩阵理论体系中占有重要地位, 有着非常好的性质［1-4]， 并在各领域的数学方法中有着广泛的应用, 对其本身的研究来说是富有创造性的领域. 关于正交矩阵的研究， 如今已取得了丰富的成果， 文献［5]比较全面的分析了正交矩阵的性质; 文献[6]讨论了正交矩阵的特征值与行列式的关系;文献［7］阐述了2阶正交矩阵有哪些类型; 文献［8］利用欧式空间的理论得出了正交矩阵的子式的性质； 文献［9］应用正交矩阵的若干性质， 给出了正交矩阵特征多项式系数的规律; 文献[10］叙述了正交矩阵在近世代数中的应用.国内还有许多学者研究了正交矩阵的性质和应用， 为矩阵理论的发展做出了重大贡献， 对于研究学习高等代数有重大的理论意义. 但他们都是从正交矩阵的某个性质出发进行研究， 没有系统全面的讨论正交矩阵的性质, 所以， 在此基础上， 本文对正交矩阵进行了较为深入的研究, 得到了正交矩阵的一系列常用性质， 并对相关性质进行了概括， 改进和推广， 又研究了其子式与余子式的关系以及正交矩阵的应用。
毕业论文正交矩阵及其应用
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正交矩阵及其应用The orthogonal matrix and its applicalion专业：数学与应用数学作者：指导老师：学校二○一摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词: 矩阵; 正交矩阵; 标准正交基; 集合; 特征根；行列式AbstractOrthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used。
This article cites the following main four orthogonal matrix applications ：orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis； a collection of eigenvalues; determinant目录摘要 (I)Abstract ...................................................... I I0 引言 (1)1 正交矩阵的定义及其简单性质 (1)1.1 正交矩阵的定义及其判定 (1)1.2 正交矩阵的性质 (1)2 正交矩阵的应用 (2)2。
标准正交矩阵
标准正交矩阵
标准正交矩阵是线性代数中重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在
本文中，我们将深入探讨标准正交矩阵的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下标准正交矩阵的定义。
一个n阶实矩阵A如果满足AT·A=I（其中AT表示A的转置矩阵，I为单位矩阵），则称A为标准正交矩阵。
换言之，标准正交矩阵是指满足A的转置矩阵与A的乘积为单位矩阵的实矩阵。
接下来，我们来探讨标准正交矩阵的性质。
首先，标准正交矩阵的行（列）向
量是两两正交的，并且模长为1。
其次，标准正交矩阵是正交矩阵的一种特殊情况，所以它的逆矩阵就是它的转置矩阵。
此外，标准正交矩阵具有保范性，即对于向量x，有||Ax||=||x||，其中||·||表示向量的模长。
这些性质使得标准正交矩阵在解决线
性方程组、最小二乘问题等方面有着重要的应用。
在实际问题中，标准正交矩阵也有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，
标准正交矩阵常用来表示旋转、缩放和平移等变换，它可以保持向量的长度和角度不变，从而保持图形的形状和大小。
此外，在信号处理领域，标准正交矩阵也被广泛应用于正交变换和数据压缩等方面，例如离散余弦变换（DCT）和离散傅立叶变换（DFT）等都是基于标准正交矩阵的算法。
总之，标准正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和在实
际问题中的广泛应用。
通过深入理解标准正交矩阵的定义和性质，我们可以更好地应用它解决实际问题，拓展其在各个领域的应用。
希望本文对读者对标准正交矩阵有所帮助，也希望读者能进一步深入学习和研究这一重要的数学概念。
正交矩阵几何含义
正交矩阵几何含义
正交矩阵是一种特殊的方块矩阵，其行向量和列向量皆为正交的单位向量。
这意味着任意两个行向量或两个列向量都是正交的，即它们的点积为0。
由于这些向量是单位向量，所以它们的长度为1。
当我们用这种矩阵对向量进行变换时，得到的新向量仍然保持原始向量的长度和夹角不变。
因此，正交矩阵经常被用来描述旋转、镜像等几何变换，因为这些变换不会改变物体的大小和方向。
另外，从数学的角度来说，如果一个n阶实矩阵A满足AAT=E或ATA=E，那么这个矩阵A就被称为正交矩阵。
这里的E表示单位矩阵。
这个定义不仅适用于实数矩阵，还可以用于元素来自任何域的矩阵。
酉矩阵和正交矩阵的性质和应用论文
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）; 2) ),(),(βαβαk k =（线性）; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵. 定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵. 定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理： 判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i ji j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵 E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔1000010001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i ji j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i ji jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵 E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔1000010001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i ji j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθc o s s i ns i n c o s c o s s i n s i n c o s 'AA ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质 性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 01,02A A A B A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭也是正交矩阵.3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵. 证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A AB B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及 1122A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1122A A A A A A A A ''-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪''-⎝⎭⎝⎭20010202A AE A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故01,02A A A B A A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,d i a g ,,,d i a g2121 s i E A A i ,,1, =='⇔ s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.性质3 1阶正交矩阵只有11E E -和.性质4 2阶矩阵A 为正交矩阵的充要条件是A 为下列四型之一：()221i 1aa aa ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; ()221ii 1aa aa ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; ()221iii 1aa a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; ()221iv 1aa a a ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 其中11a -≤≤;性质5)1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B B B A B A AB B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆. )3由A 是第二类正交矩阵,则1-=A ,而E A A E A A A A E A +-='+='+=+, 所以0=+E A ,即E A +必不可逆. )4由A 是第一类正交矩阵,则1=A .而()E A A E A E A A A A E A n--=-='-='-=-1.所以当n 是奇数时,有0=-E A ,即E A -必不可逆.性质6 n 阶非零矩阵A 为正交矩阵的充要条件是对任意的n 阶矩阵B 有 错误！未找到引用源。
正交矩阵的性质和应用
目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)1前言 (1)2正交矩阵的性质 (1)3正交矩阵的相关命题 (3)4 正交矩阵的应用 (5)4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)5后记 (10)参考文献 (10)致谢 (11)关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。
正交矩阵与正交变换的性质及应用
正交矩阵与正交变换的性质及应用程祥河南大学数学与信息科学学院 开封 475004摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .性质2 A 为正交矩阵⇔'1,,,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩.的列向量为A i α.性质3 A 为正交矩阵⇔'1,,1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩.的行向量为A i β.1.2 正交矩阵的性质性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(,E A A A A ==*''**)()(,可得*'1,,A A A -均为正交矩阵.性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,可得1))(det(2=A ,故11)det(-=或A .性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得AB 为正交矩阵.性质4 正交矩阵的特征值的模为1.证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特征向量，即X AX λ=，0≠X两边取转置'''X A X λ=，由此得X X AX A X λλ'''=,有E A A ='可得X X X X '2'λ=,从而1=λ.性质5 正交矩阵的实特征值为1±.性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则''')()1()1(A E A E A A A A E n n --=--=-=-A E n --=)1(A E --=, 故0=-A E ,即A 有特征值1.性质7 行列式为-1的正交矩阵必有特征值-1. 证明 设A 为正交矩阵且1)det(-=A 则''')(A E A A E A A A A A E +=+=+=+A E +-=, 故0=+A E ,即A 有特征值-1.性质8]6[ 设λ为正交矩阵A 的特征值，则1-λ也为A 的特征值. 证明 因λ为A 的特征值故存在特征向量λααα=A 使得 从而λαα''A A A =,得αλα1'-=A ,即1-λ为'A 的特征值, 从而1-λ也为A 的特征值.性质9]8[ 设A 为一n 阶正交矩阵，有一特征值为)0(≠+ββαi ，相应的特征向量为iy x +，则.0,'''==xy y y x x 证明 有))(()(iy x i iy x A ++=+βα, 得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αββαy xy x A ,两边转置得⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''y x A y x αββα, 令y x Z y y Y x x X ''',,===,故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Y Z Z X Y Z Z Xαββααββα, 计算可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--+--+Y Z Z XZ X Y Y X Z Z Y X Z Z Z Y X αββααββααββααββα2)()(222222222, 比较第一行元素可知Z Y X αββα2)1(22=+-,)()1(22Y X Z -=-+αβαβ,又A 为正交矩阵，有性质4知122=+βα,代入并注意到0≠β有)(2Y X Z -=-βα, )(2Y X Z -=αβ,可得0))((22=-+Y X βα即Y X =,易得0=Z ,从而0,'''==xy y y x x .下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.例1]1[ 证明：不存在正交矩阵22,B AB A B A +=使得. 证明 设有正交矩阵22,B AB A B A +=使得,则'22''',,B A B A B A 以及都是正交矩阵, 且B A B A B A B A +=-='22',,故B A B A +-,为正交矩阵,从而B A A B E B A B A E '-'-='--=2))((, B A A B E B A B A E '+'+='++=2))((,两式相加，得E E 42=,矛盾 故得证.例2 设1)(,0,≤+=+*B A r B A n B A 证明阶正交方阵且为 证明 因B A ,为正交方阵，故1,±=='A E A A ,又A B B A -==+估,0,从而12-=-='='A B A B A ,得B A '有特征值-1,故0)1('='+-='--B A AA B A E n ,即0,0)1()1('=+=+-='+-B A B A A B A A n n ,因此1)(≤+*B A r .例3]1[ 设1=A A 为一三阶正交方阵且证明：存在一实数31,≤≤-k k 使得023=-+-E kA kA A .证明 设321λλλ，，的三个特征值分别为A 则32131322123213)()()(λλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++-=-=A E f , 因为A 为奇数阶正交矩阵且1=A , 故A 有特征值1，不妨设11=λ则122321===A λλλλλ,于是32313221323211,1λλλλλλλλλλλλλ++=++++=++,从而1)(23-+-=-=λλλλλk k A E f ,其中),(13232为实数或共轭虚数λλλλ++=k , 有因正交矩阵的特征值的模为1, 故323232)(λλλλλλ+≤+≤+-,得2232≤+≤-λλ,于是31≤≤-k ,从而023=-+-E kA kA A ,31≤≤-k .例4]7[有椭球面1222222=++cz b y a x 的中心，引三条两两垂直的射线，分交曲面于点321,,P P P ，设332211,,r OP r OP r OP ===.证明：222232221111111c b a r r r ++=++. 证明 设i i i i OP νμλ,,的方向余弦为， 31≤≤i 则()i i i i i i i r r r P νμλ,,点坐标为，且1222=++i i i νμλ,代入曲面方程可得22222221c b a r ii i iνμλ++=, 故223222122322212232221232221111c b a r r r νννμμμλλλ++++++++=++, 有321,,OP OP OP 两两垂直可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333222111νμλνμλνμλ为正交矩阵, 故1,1,1232221232221232221=++=++=++νννμμμλλλ,从而有222232221111111c b a r r r ++=++. 2.1正交变换的定义及等价条件定义2：欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的V ∈βα,，都有),(),(βαβα=T T .正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.定理]2[ 设T 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等价的：(1) T 是正交变换；（2）T 保持向量的长度不变，即对于ααα=∈T V ,；（3）如果n εεε ,,21是标准正交基，那么n T T T εεε,,,21 也是标准正交基；（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2.2正交变换的性质和应用由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平 移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.例5]2[ 设T 是欧氏空间的一个变换，证明：如果T 是保持内积不变.即对于),(),(,,βαβαβα=∈T T V ，那么它一定是线性的，因而它是正交变换. 证：先证：.)(βαβαT T T +=+由条件得,0),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(),()),((2)),((2))(),(())(,)((=++++-+-++=++++-+-++=--+--+βαββααββααβαβαβαβαββααββααβαβαβαβαβαβαβαT T T T T T T T T T T T T T T T T T从而,)(,0)(βαβαβαβαT T T T T T +=+=--+再证：).()(ααkT k T =同理，由于.).()(,0)()(0),(),(),(),(),()),(())(,())(),(())()(),()((222是线性变换，得证故T T k k T T k k T k k k k k k T T k T k T k k T T k k T k T kT k T kT k T αααααααααααααααααααααααα==-=+--=+--=--例6 设m ααα,,,21 与m βββ,,,21 是n 维欧氏空间V 的两组向量，证明：存在正交变换T 使),,1(m i T i i ==βα的充要条件是m j i j i j i ,,1,),,(),( ==ββαα 证明 设有正交变换).,1(,m i T T i i ==βα使得，则 .,,1,),,(),(),(m j i T T j i j i j i ===ββαααα证 设.,,1,),,(),(m j i j i j i ==ββαα成立.令),,,,(),,,,(212211m m L V L V βββααα ==则.2211⊥⊥⊕=⊕=V V V V V但易知m m m m k k k k ββααϕ++→++ 11111:是1V 到2V 的同构映射.于是dim )(1V =)dim (2V .从而得，)dim()dim(21⊥⊥=V V ,令2ϕ为⊥1V 到⊥2V 得一个同构映射，则对,V ∈γ令⊥∈∈+=12,1121,V V γγγγγ,易知2211:γϕγϕγ+→T 是V 的正交变换且由0+=i i αα得m i T i i i ,,1,021 ==+=βϕαϕα例7]1[设21,T T 是n 维欧氏空间V 的两个线性变换，))(,(),(2211V T T T T ∈∀=ααααα，证明：存在T TT T V =1使得的正交变换.证明 令)(),(2211V T V V T V ==则易知)(:211V T T ∈∀−→−αααϕ,是的一个同构映射与21V V ，因此有)dim ()dim (212211⊥⊥⊥⊥=⊕=⊕=V V V V V V V 得,令知的一个同构映射，则易与是⊥⊥212V V ϕ),,(:2211212211V V V T ∈∈∈+=+−→−ααααααϕαϕα,是V 的正交变换，且对任意V ∈β有，而0,)(11111+==∈αααT T V V T T故ααϕαα21111)()(T T T T TT ===,因此T TT =1.参考文献[1]杨子胥. 高等代数精选习题[M].高等教育出版社，2008.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].高 等教育出版社，2003.9.[3]刘志明.关于正交矩阵性质的探讨[J].重庆师范学院学报(自然科学版),2000，第17卷增刊.[4]吴险峰，张晓林.正交矩阵的进一步探讨[J].齐齐哈尔大学学报，2008，第14卷第6期.[5]戴立辉，王泽文，刘龙章.正交矩阵的若干性质[J].华东地质学院学报，2002，第25卷第3 期.[6]涂文彪.正交矩阵的进一步推广及性质[J].蒙自师专学报，1992，总22期. [7]吕林根，许子道.解析几何(第四版)[M].高等教育出版社，2006.5.[8]胡邦.研究生入学考试考点解析与真题详解[M] .电子工业出版社，2008.。
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本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用学院：专业：数学与应用数学学号：学生姓名：指导教师：二〇一一年六月摘要如果n阶实矩阵A满足,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率AbstractOrthogonal matrices and its applicationsIf a-dimensional real matrixsatisfies,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix inlinear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. Thetransition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with anorthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目录1.引言 12.正交矩阵的基本知识 32.1正交矩阵的定义与判定 32.2 正交矩阵的性质 33.正交矩阵的应用 53.1 正交矩阵在线性代数中的应用 53.2正交矩阵在化学中的应用 113.3正交矩阵在物理学中的应用 14参考文献 18致谢 19正交矩阵及其应用姓名：学号：班级：1.引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把阶实数矩阵满足,称为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在维实数内积空间中的关于正交基写出的向量.的长度的平方是.如果矩阵形式为的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2.正交矩阵的基本知识本节中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行.表示行列式的值即=.2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]阶实数矩阵满足（或,或）,则称为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵是正交矩阵;判定2.1.3 矩阵是正交矩阵;判定2.1.4 矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即（或,或）,也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质([3])：性质2.2.5,则可逆,且其逆也为正交矩阵.证明显然.所以也是正交矩阵.性质2.2.6,,也是正交矩阵, 即有:(1)当时,, 即;(2)当时,, 即证明若是正交矩阵,, 由性质2.2.5,为正交矩阵.因为,所以,当时,, 即;当时., 即.从而为正交矩阵.性质2.2.7是正交矩阵.证明因为,所以.因此,也是正交矩阵性质2.2.8是正交矩阵的充分必要条件是.证明必要性若是正交矩阵,则另一方面,一方面,于是,,;充分性因为是正交矩阵,若,显然也是正交矩阵.性质2.2.9 若也是正交矩阵, 则,,,都为正交矩阵.证明由可知,故为正交矩阵.同理推知,,,均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使,其中为的全部特征值, 即. 这些性质证明略.3.正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens矩阵.定义3.1[1] 设向量则称阶矩阵为向量下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作.下面给出Givens矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.证明由,则,故是正交矩阵.性质3.1.2 设,则有.证明由的定义知,,且,即右乘向量,只改变向量第和第个元素,其他元素不变.性质3.1.3 任意矩阵右乘,只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘,只改变的第行和行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.4[2] 任何阶实非奇异矩阵 ,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10] 设是阶正交矩阵若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即;若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.（）.证明由于是阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵,使（这里是阶上三角阵）,而且的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是（3-11）注意到是正交矩阵,由（3-11）式得,,即（3-12）设=,其中,,则=.由上式得所以, （3-13）即,当时,;当时,.记,注意到是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1] 设其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,是零矩阵.定理3.1.7[10] 设,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明由引理3.1.6知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵.又根据定理1知：,则是初等旋转矩阵.(I)当时,;(II)当时,,则.显然,是阶上三角阵,当时,与除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时时,.综上,知本定理的结论成立.设,,,是欧氏空间的子空间的一组基,记是秩为的的矩阵.若满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵,使（3-14）且所以（3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对、做同样的旋转变换,在把化为的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基为一组标准正交基的方法:（1）由已知基为列向量构成矩阵;（2）对矩阵施行初等旋转变换,化为,同时就被化为正交矩阵,这里是阶上三角阵;（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.例求以向量,,为基的向量空间的一组标准正交基.解方法一用Schimidt正交化把它们正交化：,,再把每个向量单位化,得,,.即,,,就是由,得到的的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵,对分块矩阵依次左乘,,,=,=,=,得=,则,,取,,.那么就是由,得到的的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为,为新的杂化轨道,为参加杂化的旧轨道,为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道满足;（2）杂化轨道的正交性.;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.（A）杂化轨道.以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为,这样在形成分子时,激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道,,,是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量,,,,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即=.A为正交矩阵,分别是,,,在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量,,,在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道,,,进行杂化时形成四个等同的杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道和成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.因为A 是正交矩阵,由定义可得,即,所以,得=(取正值).又因为是等性杂化轨道.有,=1,所以=（取正值）.即得到.又因,,,取符合条件的,,.同理,,即,,得,,取,.又,,得,,.所以,.可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为,,.（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样,线性变换的系数矩阵是正交矩阵.根据等性杂化理论有,,,于是,,（取正值）.又,,故,,即,.所以杂化轨道式为.3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.（为角变量,为弧长）趋向于0的时候,定义就是曲率.即.而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为,=.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为(3-21)其中,是三阶正交矩阵,是常数.对(3-21)两边求阶导数,得.从而有. (3-22)因为是正交矩阵, 所以也有. (3-23) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵.两边取行列式, 由,得.现在取可类似地讨论.因为, (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右边,得=++. （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得,,.由正交矩阵的性质2.2.6知,且由,将上面三式左右分别平方相加,=++=.写成矢量函数, 即得于是我们可推得,.这里的分别是曲线的曲率与挠率.参考文献:[1] 陈景良,陈向晖.《特殊矩阵》.第一版.清华大学出版社,2001：353-360[2] 程云鹏.《矩阵论》.第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-215[3] 王萼芳,石生明.《高等代数》.第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-392[4] 周公度,段连运.《机构化学基础》.第4版.北京大学出版社,2009：79-187[4] 王立东主编《数学》.第一版.大连理工大学出版社,2008：63-74[5] 赵成大等《物质结构》.人民教育出版社. 1982：219-226[6] 强元棨,程嫁夫.《力学》上册.第一版.中国科学技术大学出版社：2005：332-53[7] 张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东大学.1996.3.9卷（1）期：14-16[8] 刘钊南.《正交矩阵的作用》.湘潭师范学院学报.1987.11.16： 3[9] 陈少白.《空间曲线的刚体运动基不变量》. 武汉科技大学学报.2003.12.26卷（4）期：424-426[10] 刘国志.《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》.抚顺石油学院学报.1996.3.16卷（1）期：78-81致谢感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!本毕业论文是在我的导师XX的亲切关怀和悉心指导下完成的,她给我的论文提出了不少宝贵的意见;她严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,XX老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向XX老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。