数学与应用数学毕业论文——正交矩阵及其应用

本科生毕业设计（论文）

正交矩阵及其应用

学院：

专业：数学与应用数学

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学生姓名：

指导教师：

二〇一一年六月

摘要

如果n阶实矩阵A满足

,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一

组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率

Abstract

Orthogonal matrices and its applications

If a

-dimensional real matrix

satisfies

,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.

This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in

linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The

transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an

orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.

Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate

目录

1.引言 1

2.正交矩阵的基本知识 3

2.1正交矩阵的定义与判定 3

2.2 正交矩阵的性质 3

3.正交矩阵的应用 5

3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 5

3.2正交矩阵在化学中的应用 11

3.3正交矩阵在物理学中的应用 14

参考文献 18

致谢 19

正交矩阵及其应用

姓名：学号：班级：

1.引言

因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发

现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.

矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一

些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数

学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然

而在历史上次序正好相反.

凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相

结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发

表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的

理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一

系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的

特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老

而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.