小学六年级数学竞赛讲座第4讲进位制与位值原理

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位值原理与数的进制

位值原理与数的进制位值原理是指在其中一进位制数中，每一位的权值是逐位递增的，即从低位到高位，每一位的权值所代表的数值是上一位权值的进位操作，通常以10进制作为例子进行说明。

数的进制则是指用多少个不同的数位来表示一个数的概念。

常见的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制等。

一、位值原理（以十进制为例）在十进制中，每一位的数值是上一位的数值乘以10的权值次方。

即从右到左，第1位权值为10^0=1，第2位权值为10^1=10，第3位权值为10^2=100，第4位权值为10^3=1000，以此类推。

例如，数值5274在十进制中，表示为：5*10^3+2*10^2+7*10^1+4*10^0即：5000+200+70+4=5274二、数的进制1.二进制：使用0和1来表示数值。

每一位的权值是上一位权值的2倍。

例如，数值1011表示为：1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0即：8+0+2+1=112.八进制：使用0到7的八个不同数位来表示数值。

每一位的权值是上一位权值的8倍。

例如，数值231表示为：2*8^2+3*8^1+1*8^0即：128+24+1=1533.十六进制：使用0到9的十个数位和A到F的六个字母来表示数值。

每一位的权值是上一位权值的16倍。

例如，数值ABC表示为：10*16^2+11*16^1+12*16^0即：2560+176+12=2748三、进制转换在进制转换中，下面的方法可以用来将一个数从一种进制转换为另一种进制：1.从十进制转换为其他任意进制：使用除数取余法将十进制数依次除以进制数，直到商为0为止，将每次的余数逆序排列即可得到结果。

2.从其他进制转换为十进制：将每一位数的权值乘以对应的进制数，再将结果相加即可得到十进制数。

3.在其他任意进制之间转换时，可以先将数值转换为十进制，再由十进制转换为目标进制。

四、应用场景不同的进制在计算机科学和信息技术中有着广泛的应用。

其中，二进制在计算机内部用于数据的存储和处理，八进制和十六进制则常用于表示和调试二进制数，简化了长二进制数的书写方式。

小学奥数精讲第四讲进位制与位值原理

第4讲进位制与位值原理（二）同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)()=【答案】见解析【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=位值原理法：210(101110)(46)=2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．【答案】26【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=54321●○○○●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ．又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立．综上可知小招的年龄是21岁．7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.【答案】7【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.【答案】8,10==k m【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .深化练习11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为2345152524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意19201719+++=-a b ab102017190010++=---a b a b化简得：112107+=a b .所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b12==，a b .这个人的年龄为201720125-=（岁）.14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？【答案】238【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.12+1+21541123415.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.【答案】208【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.综上可得，另一个数必是208.。

【奥赛】小学数学竞赛：位值原理.学生版解题技巧培优易错难

5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【例 2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例 3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例 4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。

位值原理讲课稿

位置原理部分习题讲解讲解1：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大4，求这个两位数。

根据题意可列方程 5a ＋5b － = 44b －5a = 44(b －1)= 5a分析和推理： b －1=5 a=4因此： a=4,b=6,这个两位数即46解决此类问题一般先根据题意列出方程，再化简方程，最后进行分析和推理。

化简方程可以利用的知识有等式的基本性质，加、减、乘、除算式各部分的关系，乘法的分配律等。

分析和推理时要根据题意以及简化的方程分析数的特征，有时能得到确定的数，有时不能得到确定的数，就要进行取值尝试。

讲解2：某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。

统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。

原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。

这个学校学生最多是多少人？根据题意可列方程－ = 270 90a － 90b = 270a －b = 3分析和推理：这个三位数的百位比十位数字大3，再根据题意可知该数是7和5的公倍数，个位必须是0或者5。

列举百位比十位数字大3，个位为0或5的三位数，并逐个尝试是否是7的倍数，可知只有630和525是7的倍数。

所以此题的答案为630人。

讲解3：某个三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。

根据题意列出方程 abc-23(a+b+c)=077a-13b-22c=077a-22c=13b11(7a-2c)=13b分析和推理：11和13互质，所以7a-2c 和 b 应该分别为13和11，但b 不能大于9，所以b 只能为0，那么 7a=2c ，a 与c 分别为2 和 7 ，所以原数是为：207讲解4：a ，b ，c 是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a ＋b ＋c)的多少倍？ abc+acb+bac+bca+cab+cba=222a+222b+222c=222(a+b+c) ab abc bac所以，其和是（a+b+c）的222倍。

小学数学运算技能讲座

小学数学运算技能讲座概述本文档旨在为小学生提供一次关于数学运算技能的讲座。

在讲座中，我们将介绍一些基本的数学运算技巧，帮助学生更好地掌握小学数学。

本讲座将涵盖加法、减法、乘法和除法四种基本运算，以及一些相关技巧和方法。

希望通过本讲座，学生们能够提高数学运算能力，更自信地面对数学学习。

加法加法是数学运算中最基本的运算之一。

小学生们最早接触到的就是简单的一位数相加，例如 1+1=2。

随着学习的深入，加法的难度也逐渐增加。

以下是一些加法运算的技巧和方法：进位与不进位当我们进行多位数相加时，我们需要注意进位的问题。

例如，对于十位数相加，如果十位的和大于或等于10，我们需要将进位的数加到百位数上。

而个位数的相加则不需要进位。

这样，在计算过程中，我们应该始终注意进位的情况。

换位加法换位加法是指将加法运算的顺序改变，以便更容易计算。

例如，对于 67+38，我们可以将其换为 38+67，然后进行计算。

这样，我们可以将更大的数放在前面，方便我们计算。

快速估算有时，我们不需要精确计算加法的结果，只需要一个近似值即可。

在这种情况下，我们可以使用快速估算的方法。

例如，对于 37+49，我们可以将 37 近似为 40，49 近似为 50。

然后，我们进行相加：40+50=90。

虽然这个结果并不精确，但对于快速估算来说已经足够接近了。

减法减法是数学中另一个基本的运算。

和加法一样，减法的难度也逐渐增加。

以下是一些减法运算的技巧和方法：借位与不借位当我们进行多位数相减时，我们可能需要借位。

例如，对于十位数相减，如果被减数小于减数，我们需要从更高位借位。

而个位数的相减则不需要借位。

在计算过程中，我们应该注意是否需要进行借位的操作。

换位减法和换位加法类似，换位减法也是为了简化计算。

例如，对于 72-39，我们可以将其换为 39-72，然后进行计算。

这样，我们可以将更大的数放在前面，方便我们计算。

快速估算和加法一样，我们也可以使用快速估算的方法来得到减法的近似值。

小学奥数位值原理

小学奥数位值原理
小学奥数-位值原理
位值原理是指一个数的每一位在数中所代表的意义。

在十进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到千位的数值；在二进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到二的幂次方位的数值。

例如，在十进制数295中，第三位(百位)为9，可以表示900；第二位(十位)为9，可以表示90；第一位(个位)为2，可以表
示2。

在二进制数1011中，第四位(八位)为1，可以表示8；第三位(四位)为0，可以表示0；第二位(二位)为1，可以表示2；第
一位(个位)为1，可以表示1。

位值原理在奥数中经常用于解决数字运算和问题推理等题目。

理解位值原理有助于孩子们更好地理解数的组成和运算规律，提高算术和逻辑思维能力。

除了十进制和二进制，还有其他进制的数，如八进制、十六进制等。

每一种进制的位值原理都遵循相同的规律，只是对应的基数不同而已。

通过训练和实际操作，孩子们可以进一步掌握不同进制下的位值原理，丰富数学知识和解题技巧。

小学奥数讲义位值原理PPT

课后作业
1、已知 ab0 ab 165 ，求 ab 。
10ab＋ab＝165 11ab＝165 ab＝165 ÷11＝15
2、已知 ab 6 a0b ，求 ab 。
（10a＋b）× 6＝100a＋b
60a＋6b＝100a＋b
60a＋6b＝100a＋b
5b＝40a b＝8a
所以：a＝1；b＝8 答：ab＝18
设这个两位数为ab 新的三位数为1ab,ab1
ab1-1ab = 666 (10×ab+1)-(100+ab) = 666
9×ab-99 = 666 9×ab = 765 ab = 85
a、b的相对位置没有变，a 在前，b在后。a、b能否不拆分？
答：原来的两位数为85。
练习10
有一个两位数，如果把数码2写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码2写在它的后面，则可得到另一个三位数，如果在它前后各写一个数码2，则可得到一个四位数，将这两个三位数和一个四位数相加等于2939。求原来的两位数。
abcabc＝abc×1000＋abc×1
＝abc×（1000＋1）＝abc×1001
例题2
已知 abc ab a 136 ，求 abc 。
abc＋ab＋a
＝a×100＋b×10＋c＋a×10＋b＋a ＝a×111＋b×11＋c ＝136
所以：a＝1 b×11＋c＝136－111＝25 所以：b＝2 c＝25－22＝3 abc ＝123
设这个两位数为ab，则反序数为ba
最大
因此，ab > ba ab - ba = 36
(10a+b)-(10b+a) = 36 9a - 9b = 36 a-b=4 =9

六年级奥数培训第4讲乘法原理和加法原理

乘法原理和加法原理是数学中非常重要的概念，它们在解决问题时起到了重要的作用。

今天我们就来详细学习乘法原理和加法原理。

首先，我们来学习乘法原理。

乘法原理也叫乘法法则，它是指：如果一个事件可以分成两个独立的步骤，第一步有m种可能性，第二步有n种可能性，那么这个事件一共有m×n种可能性。

乘法原理在实际生活中也十分常见。

例如，现在小明要穿衣服去上学，他有2件上衣和3条裤子可以选择，那么他一共有2×3=6种搭配方式。

又例如，小明有3本数学书和4本英语书，他要从中选择一本书来看，那么他有3×4=12种选择的可能性。

乘法原理是非常简单的，但要注意的是，乘法原理只适用于这两个事件是相互独立的情况。

也就是说，第二个事件的结果不会受到第一个事件的结果的影响。

接下来我们来学习加法原理。

加法原理是指：如果一个事件可以分成两个互斥的部分，第一部分有m种可能性，第二部分有n种可能性，那么这个事件一共有m+n种可能性。

例如，小明想吃水果，他可以选择苹果、香蕉或者橙子，那么他有3种选择的可能性。

又例如，小红要去超市买东西，她可以选择买水果或者蔬菜，那么她有2种选择的可能性。

加法原理同样也非常简单，但需要注意的是，加法原理只适用于这两个事件不可能同时发生的情况。

乘法原理和加法原理在解决问题时非常有用，但有时候问题会比较复杂，我们需要运用这两个原理来解决。

例如，小明要做一个三道题的数学作业，第一题有2种解法，第二题有3种解法，第三题有4种解法，那么他一共有2×3×4=24种解题方法。

又例如，小红要去参加学校组织的活动，参加活动的学生可以选择合唱或者跳舞，男生可以选择跳舞或者打乒乓球，女生可以选择合唱或者打乒乓球。

如果有2个男生和3个女生要参加活动，那么一共有2×2+3×2=10种组合的可能性。

通过学习乘法原理和加法原理，我们能够更好地理解和解决问题。

在实际生活中，我们会遇到很多需要使用乘法原理和加法原理的情况，只有通过不断的实践和练习，才能真正的掌握它们。

小学数学竞赛：位值原理.学生版解题技巧培优易错难

【例 31】记四位数为，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为，如果，那么这样的四位数共有_______个．
【例 32】9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有对．
【例 29】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于．求原来的两位数．
【例 30】将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数( )．将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
1.利用位值原理的定义进行拆分
2.巧用方程பைடு நூலகம்位值原理的题
位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。

小学五年级逻辑思维学习—位值原理与数的进制

小学五年级逻辑思维学习—位值原理与数的进制知识定位本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识梳理一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

2二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

例题精讲【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。

【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。

小学数学点知识归纳数的进位和退位

小学数学点知识归纳数的进位和退位数学是一门重要的学科，对于小学生来说，掌握好数学的基础知识非常重要。

在数的运算中，进位和退位是一个非常基础的概念，它们在我们日常生活和数学问题中都有着广泛的应用。

本文将对数的进位和退位进行简要归纳和解析。

一、数的进位在进行数的进位时，我们需要关注的是数的个位、十位、百位等不同位数上的数值变化。

进位的原则是当某一位的数值达到一定的条件时，就要将这一位的数值进1，同时将前一位的数值增加相应的倍数。

以一个简单的例子来说明进位的过程。

假设有一个两位数的加法算式，如25 + 18。

我们从个位开始进行计算，可以看到5和8相加得到13，由于13已经超过了个位数的表示范围，因此需要进位。

我们将3放在个位，而将前一位的数值2增加1，即变成3。

最终的结果为43。

除了加法运算外，进位也在其他数学运算中被广泛应用。

例如，在乘法运算中，当两个数的个位数相乘超过10时，就需要进行进位。

在减法运算中，当被减数小于减数时也需要进行进位操作。

通过不断地进行进位，我们可以准确地计算出复杂的数学问题。

二、数的退位相比进位而言，退位的概念稍微复杂一些。

退位是在进行减法运算时，当某一位的被减数小于减数时，需要向前一位“借位”，并在减数的基础上减去相应的倍数。

我们还是通过一个例子来说明退位的过程。

假设有一个两位数的减法算式，如73 - 48。

我们从个位开始进行计算，可以看到3小于8，无法直接相减，因此需要退位。

我们将7从十位减掉1，得到6，然后将3加上10，即变成13。

最后进行减法运算，13 - 8 = 5。

因此，73 - 48的结果为25。

退位的概念在更高级的数学运算中也起着重要的作用。

例如，在乘法运算中，当两个数的个位数相乘小于被乘数的十位数时，就需要进行退位操作。

在除法运算中，当被除数小于除数时，也需要进行退位操作。

掌握好退位的方法，可以更加准确地解决复杂的减法运算问题。

三、进位退位的应用进位和退位在数学中是密不可分的，并且在实际生活中也有广泛的应用。

进位制的知识

进位制的知识嗨，朋友们！今天咱们来聊聊一个超级有趣的数学概念——进位制。

你可别一听“数学概念”就觉得头疼，这进位制啊，就像咱们生活中的魔法密码一样，可好玩啦！我先给你们讲个小故事吧。

我有个朋友叫小李，他去一个古老的集市上玩。

在一个小摊位上，他看到一个奇怪的算盘。

这个算盘和咱们平常看到的不太一样，上面的珠子分布很奇特。

小李就好奇地问摊主：“大爷，您这算盘怎么这么奇怪呀？”大爷笑着说：“小伙子，这可不是普通的算盘，这是按照一种特殊的进位制做的呢。

”小李当时就懵了，进位制？这是什么东西？其实啊，咱们平时最常用的就是十进制。

为啥是十进制呢？你看啊，咱们的手指头，是不是正好十个呀？这十进制就像是顺着咱们手指头的数量来的。

在十进制里，满十就进一。

比如说，数字9再加1，就变成10了。

这就像咱们把九个小苹果放在一个篮子里，再放一个苹果进去的时候，这个篮子满了，就得换一个新篮子，并且在新篮子上记个1，表示一个满篮子，原来的篮子就清空重新开始装苹果了。

这多像咱们生活中的道理啊，东西装满了就得换个新的容器。

那除了十进制，还有其他的进位制呢。

像二进制，这在计算机世界里可太重要了。

我有个搞计算机的同学小王，他就天天和二进制打交道。

我就问他：“小王啊，你这二进制到底是啥玩意儿，看着那些0和1我就晕。

”小王就跟我解释：“嘿，你看啊，二进制就是满二进一。

就好比有两个盒子，一个装0个东西，一个装1个东西，再想放东西，没地儿了，那就得新开一组盒子，然后在前面记个1，表示新的一组开始了。

计算机里面，所有的信息都可以用0和1来表示，就像咱们生活中的东西都能用不同的符号表示一样神奇。

”我又想起来，还有八进制呢。

这八进制啊，满八就进一。

这就好比是一个特殊的部落，他们计数的时候，不是用咱们的十个手指头，而是用八根手指头，或者是他们有八个一组的什么东西来计数。

比如说在八进制里，数字7再加1就变成10了。

这是不是很有趣呢？感觉像是进入了一个不同的数字王国。

小学奥数数论讲义 15-进制与位值原理强化篇-精编

今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。

【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。

【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。

【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。

【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。

将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。

求原来的两位数。

进制与位值原理逢n 进1借1当n 位值原理十进制除n 取余法【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是。

【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。

【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。

〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。

小学奥数数论讲义 15-进制与位值原理强化篇

今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。

【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。

【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。

【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。

将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。

求原的两位数。

【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是。

进制与位值原理逢n 进1借1当n 位值原理十进制除n 取余法【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。

【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。

位值原理与数的进制

本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f 。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n ，我们有n 0=1。

n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当n ”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

知识点拨教学目标 5-7位置原理与数的进制模块一、位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。

六年级下册数学试题专题复习：位值原理

位置原理一、知识要点1、定义：同一个数字，在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

2、表达形式：。

二、实例演练例1 填一填：1234＝ 1 ×1000＋ 2 ×100＋ 3 ×10＋ 4 ×1练习1填一填：5679＝ ×1000＋ ×100＋ ×10＋ ×1例2 计算：练习21234511000021000310041051=´+´+´+´+´(1234234134124123)1111+++÷(4567567467457456)22+++÷＝[(1+2+3+4)×1000+(1+2+3+4)×100+(1+2+3+4)×10+(1+2+3+4)×1]÷1111＝(1+2+3+4)×1111÷1111＝10例3 已知，那么A 表示的数字为多少？那么答：A 表示的数字是5。

练习3已知，那么B 表示的数字为多少？例4 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新的两位数（与原数不同），新数与原数的和为187，请问原来的两位数数字之和是多少？设原来的两位数为依题意得：则两位数数字之和为17答：两位数数字之和为17。

615AAA AA A ++= (10010)(10)111111123AAA AA AA A A A A A A A AA++=+++++=++=6151235A =÷=0672B B BB +=ab 187ab ba += (10)(10)1010111111()ab baa b b a a b b aa ba b +=+++=+++=+=+1871117a b +=÷=练习4 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新的两位数（与原数不同），新数与原数的和为99，请问原来的两位数数字之和是多少？三、巩固练习参考答案练习15679＝ 5 ×1000＋ 6 ×100＋ 7 ×10＋ 9 ×1 练习2＝[(4+5+6+7)×1000+(4+5+6+7)×100+(4+5+6+7)×10+(4+5+6+7)×1]÷22＝(4+5+6+7)×1111÷22＝22×1111÷22＝1111练习3 那么答：B 表示的数字是6。

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